Teoría del equilibrio general

Transcripción

1 Capítulo 4 Teoría del equilibrio general 4.1 Introducción La idea de equilibrio conlleva implícita una situación en el que las fuerzas que operan sobre el mercado se compensan de manera que los agentes que intervienen no tienen incentivos para desviarse de las decisiones que les han conducido a esta situación. Hasta ahora hemos estudiado demanda y oferta en un solo mercado, sin tener en cuenta que en una economía, (i) hay tantos mercados como bienes, (ii) los bienes están relacionados entre si, ya sea porque son sustitutivos o complementarios, ya sea porque variaciones de los precios afectan a la renta disponible de los consumidores y por lo tanto a sus decisiones de demanda. En una palabra, hasta ahora hemos desarrollado modelos de equilibrio parcial. Cuando introducimos estas interacciones entre los diferentes mercados de la economía en el análisis planteamos modelos de equilibrio general. Estudiaremos pues, la forma como las condiciones de demanda y oferta de los diversos mercados determinan simultáneamente los precios de equilibrio en cada uno de los mercados. Los modelos de equilibrio general pueden clasificarse de acuerdo con el poder de mercado de los agentes en modelos de equilibrio general competitivo y en modelos de equilibrio general con oligopolios. También podemos distinguir entre modelos de equilibrio general de intercambio puro si las dotaciones de bienes en la economía son exógenas, y modelos de equilibrio general con producción si los bienes disponibles son el resultado de la actividad productiva de las empresas. En este capítulo estudiaremos el modelo de equilibrio general competitivo, tanto de intercambio puro como la versión con producción. El primer ensayo de estudio de la interacción entre los mercados se encuentra en Elements of Pure Economics que Walras publicóen1874. Fundamentalmente,

2 Introducción la idea de Walras consistió en verificar que el número de ecuaciones e incógnitas era igual. Si las ecuaciones fueran lineales e independientes, esto es una condición suficiente para la existencia de una solución. Naturalmente, cuando las ecuaciones son no lineales, como típicamente será elcaso, y hay restricciones adicionales en el sistema como la no-negatividad de las cantidades, este método no asegura una solución y por lo tanto no asegura la existencia de equilibrio. En los años cincuenta Arrow, Debreu y McKenzie independientemente al principio y en colaboración más tarde utilizaron el enfoque del teorema de punto fijo para demostrar la existencia de un equilibrio walrasiano. Esta aproximación al problema se conoce como el modelo de equilibrio walrasiano de Arrow y Debreu (1954). Edgeworth en su Mathematical Physics publicado en 1881 introdujo nuevas herramientas de análisis y nuevos conceptos de negociación. La elaboración moderna de estas ideas se debe a Debreu y Scarf (1963) a partir del concepto del núcleo de la economía Descripción de la economía. La economía está compuesta per tres elementos: mercancías, consumidores y productores. Las mercancías las identificamos por k =1, 2,...,l y las suponemos perfectamente divisibles. El conjunto de consumidores lo denotamos por I. Los consumidores los identificamos por i =1, 2,...,m.Unconsumidor i está descrito por una tripleta (w i, i,x i ) donde w i IR l + representa la dotación inicial de recursos del consumidor; i representa una relación de preferencias sobre el conjunto de mercancías; y X i IR l + representa el conjunto de consumo. Un plan de consumo para el consumidor i lo representamos como x i X i. Supondremos para simplificar X i = X, i I. El conjunto de empresas lo denotamos por F. Les empresas las identificamos por j =1, 2,...,n. Una empresa j está descrita por una tecnología, i.e. por un conjunto de producción Y j IR l +. Una economía se describe por un vector [ ) ) ] IR l +, (X i, i,w i, (Y j. i I j F Notemos que consideramos una economía sin dinero ni sistema financiero.

3 Teoría del equilibrio general Economías de intercambio puro Definición 4.1 (Economía de intercambio). Una economía de intercambio E, es una proyección del conjunto de consumidores sobre el espacio de características de los agentes, es decir, E :I Υ IR l + i [ i,w i ] El problema al que se enfrentan los agentes de una economía es cómo redistribuir los recursos iniciales w = (w 1,...,w m ) de la mejor forma posible. Suponemos pues que no hay ninguna actividad productiva en esta economía pero la naturaleza dota de unos ciertos recursos iniciales como manácaído del cielo. La decisión de los consumidores es pues o bien consumir sus dotaciones iniciales, o bien involucrarse en un proceso de intercambio de sus recursos iniciales para diseñar una cesta de consumo mejor. Este intercambio puede concebirse bajo dos perspectivas diferentes. Por una parte podemos imaginar una economía de trueque en la que un mecanismo de negociación determina el resultado final del intercambio. Hablaremos en este contexto de asignaciones en el núcleo de la economía. Por otra parte, podemos imaginar un subastador anunciando precios y un mecanismo de mercado para determinar las cestas finales de consumo. En este escenario hablaremos de equilibrio walrasiano. Definición 4.2 (Asignación de recursos). Una asignación para una economía E es una función f :I IR l + i x i Definición 4.3 (Asignación factible). Una asignación factible para una economía E es una asignación f para E que satisface x i = i I i I w i. Definición 4.4 (Asignación eficiente). Una asignación factible para una economía E es eficiente (Pareto-óptima) si no hay una asignación factible alternativa que permite mejorar a cada agente sin que otro agente empeore. Formalmente, una asignación x ( x 1,..., x m )

4 Economías de intercambio puro es eficiente si satisface (i) x i = w i i I i I (ii) x i t.q. x i = i I i I w i y x i i x i, i I. Notemos que el criterio de eficiencia paretiana no contiene elementos distributivos. Así, por ejemplo, una asignación que otorgue todos los bienes a un consumidor y nada a los demás es eficiente aunque puede resultar poco satisfactoria bajo otros criterios (equidad, justicia distributiva, etc). Para evitar este tipo de asignaciones eficientes, a menudo limitamos el conjunto de asignaciones eficientes a aquellas que satisfacen una propiedad de racionalidad individual. Definición 4.5 (Racionalidad individual). Una asignación x i la propiedad de racionalidad individual si IR l +, satisface x i i w i i I. Esta propiedad contiene un supuesto implícito consistente en la propiedad por parte de los agentes de sus recursos iniciales. Definición 4.6 (Coalición). Una coalición S es un subconjunto de I. El conjunto de todas las coaliciones lo denotamos como Θ. Definición 4.7 (Mejor asignación para una coalición). Una coalición S Θ puede mejorar sobre una asignación (bloquear) x para una economía E, si existe una asignación alternativa y para E tal que, (i)y i i x i, i S y (ii) y i = w i. i S i S Definición 4.8 (Núcleo de la economía). El núcleo de una economía E, C(E), es el conjunto de las asignaciones factibles para E sobre las que ninguna coalición S Θ puede mejorar. Señalemos que una coalición sólo puede evitar (bloquear) asignaciones sobre las que sus miembros pueden mejorar, pero no impone externalidades sobre los otros agentes de la economía que no pertenecen a la coalición. Un análisis detallado del núcleo y de sus propiedades se encuentra en Hildenbrand y Kirman (1986, cap. 3).

5 Teoría del equilibrio general 117 El núcleo como concepto de solución alternativo al concepto de equilibrio general competitivo (que definiremos a continuación), tiene para una economía dada E algunas ventajas. En particular permite obtener soluciones interpretables en contextos donde la solución competitiva no tiene mucho sentido. Así por ejemplo, (i) en mercados con un número pequeño de agentes conscientes de su capacidad para manipular el funcionamiento del mercado, éstos se comportarán estratégicamente; (ii) en mercados donde la tecnología y/o las preferencias no son convexas; (iii) en mercados donde los bienes no son perfectamente divisibles. En contraste con estas situaciones, la justificación del concepto de equilibrio general competitivo radica en el supuesto de un número grande de agentes (consumidores y productores) que reconocen su incapacidad para afectar el funcionamiento del mercado y por lo tanto la imposibilidad de comportarse estratégicamente. Así pues el estudio de este concepto de solución sólo tiene verdadero sentido en economías grandes. Para ilustrar todos estos conceptos y el funcionamiento del modelo de equilibrio general competitivo presentaremos primero una economía con dos agentes y dos bienes. A continuación supondremos que en nuestra economía de intercambio E hay un número arbitrariamente grande de consumidores, definiremos el concepto de equilibrio y estudiaremos sus propiedades Una ilustración: la economía de la caja de Edgeworth Consideremos una economía con dos (tipos de) consumidores y dos mercancías. 1 Los dos consumidores consideran los precios como dados. Cada consumidor posee una dotación inicial de bienes w i =(w i1,w i2 ), i =1, 2, demanera que la dotación total de cada bien en la economía es w k = w 1k + w 2k > 0, k=1, 2. Una asignación factible es un vector no negativo de consumo x =(x 1,x 2 )= ((x 11,x 12 ), (x 21,x 22 )) tal que x 1k + x 2k w k,k=1, 2 Podemos representar el conjunto de asignaciones factibles gráficamente mediante una caja de Edgeworth como ilustra la figura 4.1. La altura de la caja representa la dotación total de bien 2, w 2,mientras que la anchura representa la dotación total de bien 1, w 1.Elvector de dotaciones iniciales w es un punto en este espacio. Las dotaciones iniciales del consumidor 1 se describen por las coordenadas cartesianas tomando como origen la esquina inferior izquierda. Por su parte las dotaciones iniciales del consumidor 2 se describen por las coordenadas cartesianas tomando como origen la esquina superior derecha. Ambas dotaciones iniciales son compatibles en un único punto porque las dimensiones de la caja representan las dotaciones totales de bienes en la economía. El mismo razonamiento describe una asignación factible para ambos individuos como un punto x. For- 1 Esta sección se basa fundamentalmente en Mas Colell et al. (1995, Cap. 15B)

6 Economías de intercambio puro malmente, la caja de Edgeworth es pues el conjunto de asignaciones factibles E B = {x IR 2 + : x 1k + x 2k w k,k=1, 2}. La riqueza inicial del individuo viene dada por el valor, al sistema de precios dado, de sus dotaciones iniciales. Dado un sistema de precios p =(p 1,p 2 ),larenta del consumidor i es pues m i pw i = p 1 w i1 +p 2 w i2. Esta renta define el conjunto de asignaciones factibles del consumidor, B i (p) ={x i IR 2 + : px i pw i }. 0 2 w 21 w x w 12 w x x 22 w 2 x 12 x w 11 w 1 Figura 4.1: Lacaja de Edgeworth. La figura 4.2 representa los conjuntos presupuestarios de los dos consumidores. Ambos conjuntos tienen la recta presupuestaria en común. Esta es la recta que pasa por el punto w de las dotaciones iniciales y tiene pendiente (p 1 /p 2 ).Es importante observar que sólo las cestas situadas sobre la recta presupuestaria son factibles para ambos consumidores simultáneamente dado el sistema de precios p. A continuación, la figura 4.3 muestra las preferencias de los consumidores en la caja de Edgeworth. Suponiendo preferencias estrictamente convexas, continuas y fuertemente monótonas, éstas están representadas por los respectivos mapas de curvas de indiferencia. La derivación gráfica de la decisión óptima del consumidor 1, dados un sistema de precios p y una renta m 1,semuestra en la figura 4.4 tal como estudiamos en el capítulo sobre teoría de la demanda. El resultado de esta decisión es una función de demanda del consumidor 1 que expresamos como x 1 (p, pw 1 ).

7 Teoría del equilibrio general B (p) 2 B (p) 1 ẉ tg( α )= -p /p 1 2 α 0 1 Figura 4.2: Los conjuntos presupuestarios. 0 2 u 2 u 2 u u 1 Figura 4.3: Mapas de indiferencia.

8 Economías de intercambio puro u x (p, pw) 1 w 12 B (p) 1.w p 0 1 w 11 Figura 4.4: Lademanda del consumidor 1. Por último, la figura 4.5 muestra la curva de oferta del consumidor 1, CO 1, es decir el conjunto de cestas óptimas para diferentes sistemas de precios. Observemos que la recta presupuestaria pivota alrededor del punto de las dotaciones iniciales w conforme varía el sistema de precios. Es importante señalar que para cualquier sistema de precios la dotación inicial del consumidor 1 siempre es factible (puesto que ya la tiene), de manera que cualquier punto sobre su curva de oferta debe ser al menos tan deseable como su dotación inicial. En otras palabras, la curva de oferta es tangente a la curva de indiferencia asociada a la cesta de dotaciones iniciales. Una vez recordado el análisis gráfico del proceso de decisión del consumidor, podemos combinar los procesos de decisión de ambos consumidores simultáneamente. Este proceso de decisión simultáneo consiste en determinar dado un sistema de precios p, elintercambio que están dispuestos a implementar cada uno de los consumidores. La figura 4.6 representa las demandas de ambos individuos dado un vector de precios arbitrario p. Fijémonos que estas demandas son incompatibles. En términos del bien 2, el consumidor 1 tiene una dotación inicial w 12 mientras que quiere consumir una cantidad x 12,demanera que su demanda neta de bien 2 es x 12 w 12. Por su parte, el consumidor 2 tiene una dotación inicial w 22 ysólo quiere consumir x 22 de manera que su oferta neta de bien 2 es w 22 x 22, pero la oferta neta de bien 2 por parte del consumidor 2 no es suficiente para satisfacer la demanda neta del consumidor 1. En resumen, a los precios p, hay un exceso de demanda de bien 2. De forma similar podemos verificar que

9 Teoría del equilibrio general 121 u u CO ẉ 0 1 Figura 4.5: Lacurva de oferta del consumidor 1. existe un exceso de oferta de bien 1. La noción de equilibrio general competitivo nos dice que los consumidores deben poder satisfacer sus demandas y ofertas netas de bienes a los precios que prevalecen en cada mercado. Formalmente, Definición 4.9. Un equilibrio walrasiano para la economía de la caja de Edgeworth es un sistema de precios p y una asignación x =(x 1,x 2) en la caja de Edgeworth tal que x i B i (p ), x i i x i, i =1, 2. La figura 4.7 muestra una situación de equilibrio en la que la demanda neta de cada bien coincide con su oferta neta. La figura 4.8 presenta la caracterización completa del equilibrio. Muestra las curvas de indiferencia tangentes en la asignación x de equilibrio, las curvas de indiferencia que pasan por las dotaciones iniciales w,ylas curvas de oferta. El conjunto de equilibrios walrasianos es pues W (w, p) ={x E B : x i B i (p), x i i x i,i=1, 2.} En el equilibrio x las curvas de oferta CO 1 y CO 2 se intersectan. De hecho cualquier punto de intersección de las curvas de oferta en una asignación diferente de w corresponde a un equilibrio porque en ese punto de intersección las cestas de

10 Economías de intercambio puro Bien x (p, pw ) 1 1 w - x x (p, pw ) 2 2 u 1. w w - x u 2 p 0 1 Bien 1 Figura 4.6: Intercambio incompatible. x* x* x* 22 u 1 x* 12 u 2. w p* 0 1 x* 11 Figura 4.7: Equilibrio walrasiano.

11 Teoría del equilibrio general 123 CO x* CO 2 u 1. w u 2 p* 0 1 Figura 4.8: Caracterización del equilibrio walrasiano. consumo correspondientes para cada consumidor son óptimas dado que la recta presupuestaria pasa por w yesunplano tangente en x. Tanto la figura 4.7 como la figura 4.8 muestran un equilibrio walrasiano en el interior de la caja de Edgeworth. Podemos tener también equilibrios en el límite de la caja de Edgeworth. La figura 4.9 muestra un ejemplo de esta situación. A los precios p,las demandas netas de ambos consumidores son compatibles. Recordemos que las funciones de demanda de los consumidores son homogéneas de grado cero en precios. Ello quiere decir que si p es un equilibrio walrasiano, un sistema de precios αp,α>0 también es equilibrio. Por lo tanto, en equilibrio sólo los precios relativos p 1 /p 2 quedan determinados. El análisis realizado hasta ahora ha servido para identificar un equilibrio walrasiano. La caja de Edgeworth resulta también útil para estudiar la multiplicidad ylaexistencia de equilibrio. La figura 4.10 muestra una situación de multiplicidad de equilibrios competitivos. En este ejemplo, las preferencias de los consumidores son tales que las curvas de oferta se cruzan varias veces, de manera que cada sistema de precios al que ocurre una intersección es un equilibrio walrasiano. Finalmente, la figura 4.11 muestra una primera situación de no existencia de equilibrio. En ésta la dotación inicial de recursos se encuentra en el límite de la caja de Edgeworth. El consumidor 2 tiene toda la dotación de bien 1 y sólo quiere consumir bien 1. El consumidor 1 tiene toda la dotación de bien 2 y su mapa de indiferencia muestra curvas con pendiente infinita en w. Supongamos un sistema

12 Economías de intercambio puro 0 2 x* u 1.w u 2 p* 0 1 Figura 4.9: Unequilibrio en el límite de la caja de Edgeworth. CO CO 2 ẉ 0 1 Figura 4.10: Multiplicidad de equilibrios walrasianos.

13 Teoría del equilibrio general 125 de precios arbitrario p tal que p 2 /p 1 > 0. Lademanda óptima del consumidor 2 es consumir precisamente su dotación inicial w 2. Elconsumidor 1 por su parte desea comprar bien 2 puesto que la recta de precios no es tangente en w 1 ala curva de indiferencia (cuya pendiente en ese punto es infinita). Si por el contrario, nuestro sistema de precios arbitrario es tal que p 2 /p 1 =0,lademanda de bien 2 por parte del consumidor 1 es infinita. El problema que provoca la no existencia de equilibrio en este ejemplo es la no monotonicidad fuerte de las preferencias del consumidor 2. Bien 2 w 0 2 u 1 u Bien 1 Figura 4.11: Noexistencia de equilibrio walrasiano (1). La no convexidad de las preferencias también puede provocar la no existencia de equilibrio. La figura 4.12 ilustra el argumento. El consumidor 1 tiene preferencia no convexas, de manera que su curva de oferta es discontinua y la única intersección con la curva de oferta del consumidor 2 ocurre en w. Análisis de Bienestar Presentamos a continuación el análisis normativo del modelo de equilibrio general competitivo de intercambio puro estudiando sus propiedades de bienestar. El concepto que utilizamos es el de optimalidad de Pareto. Definición Decimos que una asignación x en la caja de Edgeworth es óptima de Pareto si no existe otra asignación alternativa x factible tal que x i i x i para i =1, 2 y x i i x i para algún i.

14 Economías de intercambio puro CO CO 2 u 1. w u Figura 4.12: Noexistencia de equilibrio walrasiano (2). La figura 4.13(a) presenta un ejemplo de asignación x que no es óptima de Pareto. Cualquier asignación dentro del área coloreada, la intersección de los respectivos conjuntos de planes de consumo no peores que x i,esuna asignación factible que mejora la satisfacción de ambos consumidores simultáneamente. Las asignaciones en los paneles (b) y (c) de la figura 4.13 son óptimas de Pareto. En el panel (b) la asignación x es la única de la intersección de los respectivos conjuntos de planes de consumo no peores que x i. Señalemos que cuando una asignación óptima de Pareto se encuentra en el interior de la caja de Edgeworth, está caracterizada por la tangencia de las dos curvas de indiferencia que pasan por x. El panel (c) muestra una asignación óptima de Pareto situada en el límite de la caja de Edgeworth. En tal situación la tangencia entre las curvas de indiferencia puede no aparecer. Podemos pues, definir el conjunto de asignaciones óptimas de Pareto como PO = {x E B : x E B, i x i i x i, y i x i i x i }. El conjunto de todas las asignaciones óptimas de Pareto se denomina conjunto de Pareto. El subconjunto de asignaciones óptimas de Pareto que se encuentran entre las dos curvas de indiferencia que pasan por la dotación inicial de bienes w se denomina curva de contrato. La figura 4.14 presenta un ejemplo de conjunto de Pareto y de la curva de contrato asociada. En otras palabras, la curva de contrato son aquellas asignaciones óptimas de Pareto con las que ambos consumidores obtienen por lo menos el mismo nivel de satisfacción que con sus dotaciones ini-

15 Teoría del equilibrio general u 2 u 1 u 1 u 2 x x 0 1 (a) 0 1 (b) 0 2 u 2 x u (c) Figura 4.13: Optimalidad de Pareto.

16 Economías de intercambio puro ciales. Este es el conjunto de asignaciones candidatas a aparecer como resultado del intercambio entre ambos consumidores. Formalmente, la curva de contrato es el conjunto de asignaciones de equilibrio P C = {x PO : x i i w i,i=1, 2}. También, como veremos más adelante, estas asignaciones son candidatas a ser la solución de un proceso de negociación entre los consumidores, es decir a formar parte del núcleo de la economía w 0 1 Figura 4.14: Elconjunto de Pareto y la curva de contrato. Qué relación podemos determinar entre las asignaciones de equilibrio walrasiano y las asignaciones óptimas de Pareto? La respuesta a esta pregunta se concreta en los denominados teoremas fundamentales del bienestar. Teorema 4.1 (Primer teorema del bienestar). Las asignaciones de equilibrio walrasiano son óptimas de Pareto. La definición de equilibrio walrasiano identifica asignaciones sobre la recta presupuestaria para las que dos curvas de indiferencia son tangentes. Por lo tanto en una asignación como esta no podemos encontrar otra asignación factible que permita mejorar a ambos consumidores simultáneamente. Así pues, cualquier asignación de equilibrio de Walras necesariamente es una asignación óptima de Pareto. Además, dado que en una asignación de equilibrio cada consumidor debe obtener por lo menos el nivel de utilidad que le proporciona su dotación inicial, necesariamente tal asignación debe encontrarse en la curva de contrato.

17 Teoría del equilibrio general 129 Teorema 4.2 (Segundo teorema del bienestar). Cuando las preferencias de ambos consumidores son convexas, continuas y fuertemente monótonas, cualquier asignación óptima de Pareto puede soportarse como equilibrio walrasiano con las adecuadas transferencias entre los consumidores. La figura 4.15 ilustra el contenido del teorema considerando dos tipos de transferencias entre ambos consumidores. El panel (a) considera una transferencia de riqueza a través de impuestos; el panel (b) considera una transferencia de dotaciones iniciales p* p* x* x*..w w ~. w.w 0 1 (a) 0 1 (b) Figura 4.15: Elsegundo teorema del bienestar. Supongamos una situación inicial con una dotación inicial de bienes w. Supongamos también que por razones distributivas, socialmente es deseable alcanzar la asignación óptima de Pareto x. Una posibilidad, ilustrada en la figura 4.15(a), es transferir a través de impuestos (de tipo lump-sum) riqueza entre ambos consumidores. Ello desplaza la recta presupuestaria paralelamente de manera que corte al conjunto de Pareto en x.así pues dado el sistema de precios p,laasignación óptima x vacía los mercados y puede implementarse como equilibrio walrasiano. Alternativamente, como muestra la figura 4.15(b), tal asignación x puede alcanzarse transfiriendo, por ejemplo, una parte de la dotación de bien 1 del consumidor 1 al consumidor 2 de manera que la nueva dotación inicial de recursos es w. A partir de esta nueva dotación inicial y dado el sistema de precios p, la asignación x emerge como equilibrio walrasiano. El mismo resultado podría obtenerse transfiriendo bien 2 del consumidor 1 al consumidor 2 de manera que la nueva dotación inicial sería w. Finalmente, también podríamos implementar una transferencia de bienes desde w directamente a x con lo que obtendríamos la asignación deseada sin intercambio entre los consumidores. El problema con este tipo de razonamiento es que no siempre es fácil transferir dotaciones iniciales especialmente cuando entre éstas consideramos e.g. el capital humano.

18 Economías de intercambio puro Análisis formal del intercambio Supongamos que las demandas del consumidor i, i = 1, 2 vienen dadas por x i1 (p),x i2 (p). Para que estas demandas puedan ser de equilibrio han de satisfacer que para el sistema de precios p, x ik (p) +x jk (p) =w k, i,j =1, 2,i j; k =1, 2. Reescribiendo estas expresiones en términos de las demandas netas obtenemos (x 11 (p) w 11 )+(x 21 (p) w 21 )=0, (x 12 (p) w 12 )+(x 22 (p) w 22 )=0. de manera que la suma de demandas netas de cada bien ha de ser nula. Definamos ahora, para simplificar la notación la función de exceso de demanda del bien k para el consumidor i como e ik (p) =x ik (p) w ik,demanera que podemos reescribir el anterior sistema de demandas netas en términos de las funciones de exceso de demanda, e 11 (p)+e 21 (p) =0, e 12 (p)+e 22 (p) =0. Podemos finalmente definir la función de exceso de demanda agregada del bien k como z k (p) =e 1k (p)+e 2k (p),loque nos permite definir el equilibrio walrasiano como un vector de precios p tal que z k (p ) =0,k =1, 2. Una propiedad de estas funciones agregadas de exceso de demanda es la denominada Ley de Walras que dice que la suma del valor de las funciones de exceso de demanda agregada es idénticamente igual a cero. Lema 4.1 (Ley de Walras). p, p 1 z 1 (p)+p 2 z 2 (p) =0 Demostración. Consideremos el consumidor 1. Cualquier cesta de consumo, dado un sistema de precios arbitrario, ha de ser factible, es decir p, p 1 x 11 (p) + p 2 x 12 (p) =p 1 w 11 + p 2 w 12 lo que podemos expresar como p 1 e 11 (p)+p 2 e 12 =0. Paralelamente, la decisión de consumo del individuo 2 podemos expresarla como p 1 e 21 (p)+p 2 e 22 =0. Sumando ambas expresiones obtenemos p 1 (e 11 (p)+e 21 (p))+p 2 (e 12 +e 22 (p)) = 0 que es el contenido de la ley de Walras. Corolario 4.1. Si la demanda se iguala a la oferta en cada uno de los l 1 mercados de la economía, en el mercado l también se verifica la igualdad entre oferta y demanda.

19 Teoría del equilibrio general 131 Demostración. Dado que la ley de Walras se verifica para un sistema arbitrario de precios, también se debe verificar para el sistema de precios que hace que el exceso de demanda agregada de un bien es cero. Sea pues p el sistema de precios para el que z 1 (p ) =0.Deacuerdo con la ley de Walras, debe verificarse que z 1 (p ) +z 2 (p ) =0. Deestas dos igualdades se deduce que z 2 (p ) =0 también. Así pues el sistema de l ecuaciones que caracteriza el equilibrio de Walras en una economía con l bienes, sólo tenemos l 1 ecuaciones linealmente independientes, de manera que en el equilibrio sólo obtenemos l 1 precios independientes. La normalización del sistema de precios (ya sea definiendo un bien como numerario, ya sea definiendo el sistema de precios en un simplex) completa la caracterización de los precios. Una vez obtenido el sistema de precios de equilibrio, derivamos las demandas de equilibrio y caracterizamos el intercambio entre los consumidores. La pregunta que nos hacemos ahora es si el intercambio conduce a una asignación óptima de Pareto. Consideremos pues una asignación x que sea equilibrio walrasiano y supongamos que no es óptima de Pareto. Esto quiere decir que existe una asignación factible x preferida para ambos consumidores simultáneamente, es decir x E B tal que x i i x i. Ahora bien, si x es una asignación de equilibrio, por la propia definición de equilibrio, quiere decir que cada consumidor ha escogido la mejor cesta de consumo dentro de su conjunto factible. Necesariamente pues, si x i i x i debe implicar que x B i (p),esdecir Sumando ambas expresiones obtenemos p 1 x 11 + p 2 x 12 >p 1 w 11 + p 2 w 12 p 1 x 21 + p 2 x 22 >p 1 w 21 + p 2 w 22. p 1 ( x 11 + x 21 )+p 2 ( x 12 + x 22 ) >p 1 (w 11 + w 21 )+p 2 (w 12 + w 22 ). (4.1) Como x es factible, es decir podemos reescribir (4.1) como x 11 + x 21 = w 11 + w 21 x 12 + x 22 = w 12 + w 22, p 1 (w 11 + w 21 )+p 2 (w 12 + w 22 ) >p 1 (w 11 + w 21 )+p 2 (w 12 + w 22 ), que es una contradicción. Este argumento es el contenido del primer teorema del bienestar.

20 Economías de intercambio puro Teorema 4.3 (Primer teorema del bienestar). Todas las asignaciones de equilibrio walrasiano son óptimas de Pareto. Este teorema nos dice que cuando las preferencias son regulares, en equilibrio los agentes de la economía obtienen todas las posibles ganancias del intercambio. Es oportuno recordar ahora que el criterio de la optimalidad de Pareto no contiene ninguna consideración normativa sobre la distribución de los recursos entre los agentes de la economía en equilibrio. El teorema exige que las preferencias sean regulares. Esto quiere decir, en particular, que deben satisfacer la no saciabilidad local y la convexidad. Veamos qué ocurre cuando se viola alguno de estos supuestos. La figura 4.16 ilustra el caso de preferencias no saciables localmente. En este caso las curvas de indiferencia pueden ser anchas. Todas las cestas de consumo en u 2 están saturadas (mayor cantidad no proporciona más satisfacción). La asignación x es una asignación de equilibrio competitivo pero no es óptima de Pareto porque tanto x como x son asignaciones preferidas para el consumidor 1 sin que empeore la situación del consumidor ~. x. x^ x* u* B p^ 0 1 Figura 4.16: Curvas de indiferencia anchas. La figura 4.17 ilustra una situación en la que los bienes no son perfectamente divisibles (las preferencias no son convexas). Dada una dotación inicial W = (0, 2; 4, 0), consideremos las asignaciones x =(3, 0; 1, 2), x =(1, 1; 3, 1), x = (2, 1; 2, 1) yunsistema de precios p. Supongamos las preferencias siguientes

21 Teoría del equilibrio general 133 Consumidor 1 x 1 W 1 x y todas las demás asignaciones por debajo de la línea de precios. x 1 x Consumidor 2 x 2 x x 2 W ytodas las demás asignaciones (excepto x) por debajo de la línea de precios (respecto a 0 2 ) En este escenario podemos concluir que x es una asignación de equilibrio walrasiano y p es el sistema de precios que permite implementar x. Ahora bien, x no es óptima de Pareto porque x 1 x y x 2 x. 0 2 W x ~ x^ 1.. p* 0 x* Figura 4.17: Bienes no divisibles. Consideremos a continuación la proposición inversa. Consideremos una asignación óptima de Pareto. Podemos encontrar un sistema de precios que soporte esta asignación como equilibrio walrasiano? La respuesta es no siempre. La figura 4.18 ilustra el caso en el que la respuesta es afirmativa. Cuando las preferencias de los consumidores son regulares, podemos identificar una asignación óptima de Pareto como la tangencia de dos curvas de indiferencia. La pregunta es pues si podemos dibujar un (hiper)plano tangente a ambas curvas de indiferencia que represente el sistema de precios. Como vemos en el gráfico de la izquierda de la figura 4.18 podemos efectivamente hacer pasar una recta por la asignación x,demanera que el sistema de precios p permite implementar x como asignación de equilibrio competitivo. La figura 4.19 ilustra una situación en la que la asignación óptima de Pareto no es implementable como equilibrio walrasiano. La razón de ello es la no convexidad de las preferencias del consumidor 1. En particular, la asignación x

22 Economías de intercambio puro x x p* Figura 4.18: Elsegundo teorema del bienestar (1). es eficiente en el sentido de Pareto pero no hay ningún vector de precios que la soporte. Dado un sistema de precios p, el consumidor 1 prefiere la cesta x a la cesta x mientras que el consumidor 2 prefiere la cesta x alacesta x. x x ~ Figura 4.19: Elsegundo teorema del bienestar (2). Estos argumentos permiten ilustrar el segundo teorema del bienestar. Teorema 4.4 (Segundo teorema del bienestar). Si las preferencias de los agentes son convexas, para cualquier asignación óptima de Pareto podemos encontrar un sistema de precios que la soporte como equilibrio competitivo. El segundo teorema del bienestar permite separar los problemas de distribución de los problemas de eficiencia. El mecanismo competitivo nos permite implementar la asignación óptima de Pareto que deseemos con independencia de criterios distributivos. Es decir, podemos identificar la asignación que genera una distribución de recursos justa y sabemos que podemos encontrar un sistema de precios que la soporte El modelo walrasiano de equilibrio general competitivo Una vez introducidos todos los elementos podemos ofrecer la descripción completa del modelo competitivo para una economía de intercambio. Esta contiene

23 Teoría del equilibrio general 135 los siguientes elementos: (i) el espacio de mercancías: IR l +, (ii) el conjunto de consumidores I, donde i I está descrito por un conjunto de consumo: X i = X IR l +, unas preferencias: i Υ, una dotación inicial de recursos: w i IR l +, (iii) un sistema de precios: p IR l +, (iv) un conjunto presupuestario: B i (p, w i ), i I, (v) un conjunto de demanda: Φ i ( i,w i,p), i I Equilibrio de Walras Dado un sistema de precios, los agentes demandan la mejor cesta de consumo dentro de sus conjuntos presupuestarios. Si la demanda total se iguala a la oferta total para todos los bienes, decimos que la economía se encuentra en un equilibrio de Walras. En este equilibrio, el sistema de precios permite descentralizar el problema de la asignación de recursos. Formalmente, Definición 4.11 (Equilibrio de Walras). Un equilibrio de Walras para una economía E es una asignación x IR l +,yunsistema de precios p IR l + tal que, x i Φ i ( i,w i,p), i I, x i = w i, i I i I l l x ik = w ik. k=1 i I Definición 4.12 (Asignación de Walras). Una asignación x para una economía E para la que existe un sistema de precios p tal que ( x, p) es un equilibrio de Walras, se denomina una asignación de Walras. El conjunto de asignaciones de Walras lo denotamos como W (E). Definición 4.13 (Sistema de precios de Walras). Un sistema de precios p para una economía E para la que existe una asignación x tal que ( x, p) es un equilibrio de Walras, se denomina un sistema de precios de equilibrio. El conjunto de estos sistemas de precios lo denotamos como Π(E). k=1 i I

24 Economías de intercambio puro Existencia de equilibrio de Walras Implícitamente hemos definido una economía sin tener en cuenta el dinero ni las instituciones financieras. La consecuencia inmediata de esto es que la única información relevante son los precios relativos y no sus valores absolutos. Por lo tanto podemos escoger una representación del espacio de precios que nos resulte conveniente. Esta representación consiste en imponer una normalización de los precios. Esta normalización puede realizarse fundamentalmente de dos maneras. Podemos fijar el precio de una mercancía k en la unidad, p k =1,demanera que el intercambio en esta economía se realiza en términos de este bien cuyo precio está normalizado que denominamos el numerario de la economía. Alternativamente podemos fijar en la unidad la suma de todos los precios de todas las mercancías de la economía, l k=1 p k =1.Eneste caso, cada precio esta relativizado con respecto a la suma de los precios, y el espacio en el que representamos estos precios se denomina el simplex unitario ylodenotamos como l 1 puesto que está definido en el espacio de dimensión l 1 correspondiente a los l 1 precios linealmente independientes. Formalmente, l 1 = {p : p IR l +, l p k =1} Adoptaremos esta normalización en nuestro análisis. Geométricamente el simplex unitario es un triángulo generalizado en el espacio l 1-dimensional. Para el caso de l =2,elsimplex unitario es un segmento desde el punto (1, 0) al punto (0, 1). Para l =3es un triángulo con vértices en (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1). La figura 4.16 representa ambos casos. La demanda de un consumidor es un vector en el espacio IR l +. Para cada consumidor i I definimos su demanda x i (p) en función del sistema de precios p l 1,esdecir, k=1 x i : l 1 IR l + p x i En esta versión de la economía, la oferta individual de bienes está descrita por las dotaciones iniciales w i IR l + de bienes. Agregando las funciones individuales de demanda y de oferta obtenemos la función de exceso de demanda, z(p) que representa demandas no satisfechas (como coordenadas positivas) y ofertas innecesarias (como coordenadas negativas). Formalmente, z : l 1 IR l z(p) = i I x i (p) i I w i

25 Teoría del equilibrio general 137 p 1 1 p p p 2 1 p 2 Figura 4.20: Elsimplex unitario en IR 2 yenir 3. es decir, z(p) =(z 1 (p),z 2 (p),...,z l (p)) IR l donde z k (p) representa el exceso de demanda del bien k a los precios p. Estudiamos a continuación las propiedades de la función de exceso de demanda agregada. Estas son tres: Proposición 4.1. Si para cada consumidor i I, lafunción de utilidad u i es continua, estrictamente creciente y estrictamente cuasicóncava en IR l +, entonces para cualquier sistema de precios estrictamente positivos, la función de exceso de demanda agregada satisface, 1. Continuidad. z(p) es una función continua (y por lo tanto la RMS es decreciente). 2. Homogeneidad de grado cero. 3. Ley de Walras p l 1,λ>0, z(λp) =z(p). p l 1,pz(p) = l p k z k (p) =0. k=1 Demostración. La continuidad se deriva de la continuidad de las funciones de exceso de demanda individuales. La homogeneidad de grado cero se deriva de la homogeneidad de grado cero en precios de las funciones de exceso de demanda individuales.

26 Economías de intercambio puro La ley de Walras nos dice que el valor del exceso agregado de demanda siempre es cero para cualquier sistema de precios positivos. La ley de Walras se verifica porque cuando las funciones de utilidad de los consumidores son estrictamente crecientes, la restricción presupuestaria de cada consumidor se satisface con igualdad. (Veremos que debemos ser más cuidadosos en la formulación de la ley de Walras en las economías con producción). En este caso pues, podemos escribir la restricción presupuestaria del individuo i como m ( ) p k xik (p, pw i ) w ik =0. k=1 Sumando sobre el conjunto de consumidores obtenemos, m ( ) p k xik (p, pw i ) w ik =0. i I k=1 Dado que la suma es conmutativa, podemos reescribir la expresión anterior como, m ( ) p k xik (p, pw i ) w ik =0. k=1 i I Asuvez, dado que p k no está afectado por la suma sobre el conjunto de consumidores, podemos escribir, m k=1 p k( i I x ik (p, pw i ) i I w ik ) =0. La expresión entre paréntesis es precisamente la definición del exceso de demanda agregado del bien k,demanera que podemos escribir, m p k z k (p) =0. k=1 Concluimos pues que dado un sistema de precios p, cualquier exceso de demanda en el sistema de mercados debe compensarse exactamente con un exceso de oferta de igual valor. A su vez, si para un sistema de precios l 1 mercados están en equilibrio, la ley de Walras asegura que el l-ésimo mercado también estará enequilibrio. Como hemos comentado en el caso de dos bienes y dos consumidores, el sistema de l ecuaciones que caracteriza el equilibrio de Walras en una economía con l bienes, sólo tenemos l 1 ecuaciones linealmente independientes, de manera que en el equilibrio sólo obtenemos l 1 precios independientes. La normalización del sistema de precios completa la caracterización del equilibrio.

27 Teoría del equilibrio general 139 Ahora podemos redefinir el equilibrio de Walras a partir de la función de exceso de demanda. Definición 4.14 (Equilibrio de Walras). Decimos que un vector p l 1 es un vector de precios de equilibrio si z(p ) 0, con p k =0para aquellos bienes k tales que z k (p ) < 0. En otras palabras, p es un vector de precios de equilibrio si oferta y demanda se igualan en todos los mercados (con posible exceso de oferta de bienes libres). Cuando en una economía existen bienes de libre disposición (el agua de la lluvia, el aire, el acceso al mar para navegar,...) seguramente no tiene sentido hablar de la propiedad de estos bienes. Esto plantea una indefinición sobre la diferencia entre un precio igual a cero o la ausencia de ese precio. Esta es una cuestión más allá del objetivo de estas notas, de manera que cuando la cuestión surja, supondremos que los bienes libres que puedan existir en la economía se obtienen a precio cero y se (pueden encontrar) encuentran en exceso de oferta. Teorema 4.5 (Existencia de equilibrio de Walras). Supongamos z : l 1 IR l + es continua y satisface pz(p) = 0. entonces, existe un vector de precios p l 1 tal que z(p )=0,esdecir p es un equilibrio (en el sentido de la definición anterior). Demostración. Las condiciones del teorema están garantizadas a partir de la proposición 4.1. Imaginemos que un subastador anuncia precios. Tras cada anuncio, p l 1,elmercado reacciona con un vector de exceso de demanda z(p). Este vector de demandas netas nos dirá que algunos bienes se encuentran en exceso de oferta y otros en exceso de demanda. Con esta información el subastador confecciona un nuevo vector de precios aumentando el precio de aquellos bienes en exceso de demanda y rebajando el precio de los bienes en exceso de oferta. Tras este nuevo anuncio p l 1,elmercado vuelve a reaccionar con un nuevo vector de exceso de demanda z(p ),yasí sucesivamente. Este mecanismo de ajuste de precios en el simplex lo podemos formalizar con una función T : l 1 l 1 donde T (p) =T 1 (p),t 2 (p),...,t l (p)) y T k (p) representa el proceso de ajuste del precio del bien k. Este proceso de ajuste esta descrito por T k (p) = max[0,p k + z k (p)] 1+ l h=1 max[0,z h(p)]. Por lo tanto, el numerador garantiza que T k (p) 0 ya que el denominador no puede ser cero. También k T k(p) = 1 lo que garantiza que T (p) es una proyección del simplex en si mismo.

28 Economías de intercambio puro Para verificar k T k(p) =1consideremos el siguiente cambio de variable: z k (p) max{0,z k (p)}. Entonces, T k (p) = Sumando sobre las k mercancías, k=1 p k + z k (p) 1+ l h=1 z h(p). l l p k + z k (p) T k (p) = 1+ l k=1 h=1 z h(p) l = k=1( pk + z k (p) ) 1+ l h=1 z h(p) l k=1 = p k + l k=1 z k(p) 1+ l h=1 z h(p) = 1+ l k=1 z k(p) 1+ l h=1 z h(p) =1. Notemos que la función T k (p) hace aumentar el precio del bien k cuando se encuentra en situación de exceso de demanda y lo hacen disminuir en caso de exceso de oferta. La expresión de T en forma de fracción nos dice que después de cada ajuste del precio del bien k, todos los precios se reajustan proporcionalmente para mantenerse dentro del simplex l 1.Laley de Walras asegura que el denominador de la fracción nunca es cero. Para que el denominador fuera cero onegativo todos los bienes deberían encontrarse en situación de exceso de oferta simultáneamente, lo que es contradictorio con la ley de Walras. Dado que z(p) es continua, T (p) es también una función continua que proyecta el simplex sobre si mismo. Aplicando el teorema de punto fijo de Brower, podemos afirmar que existe un sistema de precios p l 1 tal que T (p )=p. Esto representa que el mecanismo de ajuste de precios deja los precios inalterados, odeforma más prosaica, el subastador detiene el proceso de ajuste. Por último debemos demostrar que que la decisión del subastador de detener el proceso de ajuste de precios en p es la decisión adecuada porque p representa un sistema de precios de equilibrio para la economía. En otras palabras, tenemos que demostrar que a los precios p todos los mercados se vacían (excepto quizás los bienes libres que pueden presentar exceso de oferta). La situación T (p )=p quiere decir que T k (p )=p k,ypor lo tanto, p k = max[0,p k + z k(p )] 1+ l h=1 max[0,z, k =1, 2,...,l. h(p )]

29 Teoría del equilibrio general 141 El numerador de esta expresión nos dice que la ecuación se satisface en dos escenarios diferentes. Estos son, 0 Caso 1 p k = p k + z k(p ) 1+ l h=1 max[0,z > 0, Caso 2 h(p )] Caso 1: En este caso p k =0=max[0,z k(p )]. Por lo tanto, z k (p ) 0. Este es el caso de los bienes libres que en equilibrio pueden vaciar el mercado o presentar exceso de oferta. Caso 2: Simplifiquemos la notación definiendo de manera que λ 1 1+ l h=1 max[0,z h(p )] > 0, T k (p )=p k = λ(p k + z k (p )) > 0. (4.2) Dado que λ es igual para todos los bienes k, laexpresión anterior se satisface para todos los bienes h tales que p h > 0. Agrupando términos en (4.2) podemos escribir multiplicando por z h (p ), (1 λ)p h = λz h (p ), (1 λ)p hz h (p )=λ(z h (p )) 2, y sumando sobre los h bienes del caso 2 (1 λ) h p hz h (p )=λ h (z h (p )) 2. (4.3) La ley de Walras nos dice l p kz k (p )=0, k=1

30 Economías de intercambio puro de manera que podemos expresarla como l k Caso 1 p kz k (p )+ l k Caso 2 p kz k (p )=0. Para los bienes que se encuentran en el caso 1 ya sabemos que p k z k(p )=0, de manera que la ley de Walras se reduce a l k Caso 2 p kz k (p )=0. Aplicando esta expresión de la ley de Walras en (4.3) podemos escribir (1 λ) h p hz h (p )=λ h (z h (p )) 2 =0. Así pues, a partir de la ley de Walras, obtenemos que la expresión de la izquierda de (4.3) es igual a cero. Pero la expresión de la derecha sólo puede ser cero si z h (p ) = 0 para los bienes h que se encuentran en el caso 2, de manera que p es un equilibrio. Esta demostración permite ver la interacción entre los elementos económicos y matemáticos que confluyen en la existencia del equilibrio general competitivo. Estos elementos son el teorema de punto fijo de Brower, la ley de Walras y la continuidad de las funciones de exceso de demanda. Si la economía satisface la continuidad y la ley de Walras, el teorema de punto fijo asegura la existencia de equilibrio El núcleo y el equilibrio walrasiano Hemos definido dos conceptos de equilibrio en el marco del modelo de equilibrio general competitivo, el núcleo y el equilibrio walrasiano. Veamos pues la relación entre ellos. Proposición 4.2. Consideremos una economía de intercambio en la que la función de utilidad de cada consumidor, u i,escontinua y estrictamente creciente en IR l +. Entonces, todas las asignaciones walrasianas se encuentran en el núcleo, es decir W (E) C(E).

31 Teoría del equilibrio general 143 Demostración. Procederemos por contradicción. Supongamos pues que dado un vector de precios de equilibrio p,laasignación x(p ) es una asignación de equilibrio de Walras. Supongamos también que x(p ) C(E). Ello quiere decir que podemos encontrar una coalición S Θ y una asignación alternativa y para S tal que y i i x i i S (4.4) y i = w i. (4.5) i S i S Dado que x(p ) es una asignación de Walras, (4.4) implica que para el vector de precios de equilibrio p, asociado a x(p ) debe verificarse que p y i >p w i para todo i S. Esdecir, p z i (p ) > 0, demanera que p i S y i = i S p y i > i S p w i = p i S w i lo que es contradictorio con (4.5). Para obtener un resultado con la implicación contraria (y por lo tanto un teorema de equivalencia) necesitamos ser muy precisos en la forma de obtener una economía grande a partir de una economía pequeña en la que hemos identificado una asignación que se encuentra en su núcleo. Una vez tenemos esta economía grande, podemos mirar las condiciones que nos permiten asegurar que una asignación en el núcleo puede implementarse descentralizadamente mediante un vector de precios de equilibrio. Hay dos maneras de obtener una economía grande a partir de una economía pequeña. Una primera posibilidad se conoce como la versión del teorema límite. Este consiste en replicar la economía un número grande de veces. Asíloque en la economía pequeña son los consumidores i I,en la economía grande pasan a ser los tipos de consumidores i I, donde de cada tipo de consumidor hay tantos como réplicas hemos hecho de la economía. En este contexto el objetivo es poder demostrar que como más grande es la economía, más pequeña es la distancia entre la solución competitiva y el núcleo de la economía. La segunda posibilidad consiste en considerar directamente el caso de una economía ideal en la que hay un continuo de agentes. Una economía de este tipo captura la idea de la competencia perfecta. Con esta economía ideal podremos demostrar que W (E) =C(E). Este resultado, aunque muy elegante, no deja de ser un caso especial si no demostramos que la distancia entre W (E) y C(E) disminuye conforme la economía se hace más ymás grande. Adoptaremos la primera forma de multiplicar una economía. Definiremos pues en primer lugar la distancia entre el conjunto de soluciones walrasianas, W (E) y el conjunto de asignaciones en el núcleo de la economía,

32 Economías de intercambio puro C(E). Si W (E) contuviera un único elemento, definiríamos la distancia δ como el número más pequeño tal que todas las asignaciones en el núcleo estuviesen a una distancia inferior a δ de W (E). Sin embargo, en general hemos de considerar una asignación en el núcleo y verificar si hay una asignación walrasiana cerca. Así pues diremos que C(E) se encuentra a una distancia δ de W (E) si para cada asignación en el núcleo hay una asignación en W (E) a una distancia no superior a δ. Formalmente, Definición 4.15 (Distancia entre C(E) y W (E)). Sea δ(ε) el número más pequeño δ que satisface la propiedad siguiente x C(E), x W (E) t.q. x i x i δ i I. Por lo tanto si δ(ε) es pequeño, desde el punto de vista de cada consumidor i I, cualquier asignación en el núcleo es una asignación competitiva. Consideremos pues una economía E y repliquémosla r veces para obtener una economía E r como la original en la que cada consumidor i aparece r veces. Cada copia del agente i I tiene las mismas preferencias y dotaciones iniciales que tenía el agente i en la economía original E. Formalmente, una economía la replicamos r veces E : I Υ IR l + E r : I {1, 2,...,r} Υ IR l + donde en la k-ésima réplica las dotaciones iniciales y las preferencias de cada agente (i, k) son, w k i = w i y i,k = i,i I; k =1, 2,...,r. También queremos replicar r veces las asignaciones de la economía E y en particular, las asignaciones que se encuentran en el núcleo. Así, para una asignación x C(E), definimos el resultado de replicarla r veces como, x r : I {1, 2,...,r} IR l + donde, como antes, para un agente i I, enlak-ésima réplica le corresponde x k i = x i i I; k =1, 2,...,r. Con este instrumental ya podemos abordar la conexión entre asignaciones en el núcleo y asignaciones walrasianas. El resultado que queremos obtener es que