PROGRAMACIÓN DE TALLERES DE PRODUCCIÓN SERIALES HÍBRIDOS (FLEXIBLES) CON MÚLTIPLES OBJETIVOS MEDIANTE METAHEURÍSTICAS: COLONIAS DE HORMIGAS

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1 PROGRAMACIÓN DE TALLERES DE PRODUCCIÓN SERIALES HÍBRIDOS (FLEXIBLES) CON MÚLTIPLES OBJETIVOS MEDIANTE METAHEURÍSTICAS: COLONIAS DE HORMIGAS ELYN LIZETH SOLANO CHARRIS UNIVERSIDAD DEL NORTE DIVISIÓN DE INGENIERÍAS MAESTRIA EN INGENIERÍA INDUSTRIAL BARRANQUILLA

2 PROGRAMACIÓN DE TALLERES DE PRODUCCIÓN SERIALES HÍBRIDOS (FLEXIBLES) CON MÚLTIPLES OBJETIVOS MEDIANTE METAHEURÍSTICAS: COLONIAS DE HORMIGAS ELYN LIZETH SOLANO CHARRIS MONOGRAFÍA DE GRADO Presentado como requisito para optar al título de Magíster en Ingeniería Industrial Director Ph. D Ing. Carlos D. Paternita Arboleda UNIVERSIDAD DEL NORTE DIVISIÓN DE INGENIERIAS MAESTRIA EN INGENIERIA INDUSTRIAL BARRANQUILLA

3 Nota de Aceptación: Ph. D. Ing. Carlos D. Paternina Arboleda Director del Proyecto Ph. D. Ing. Ángel León González Coordinador Programa Maestría Ingeniería Industrial Ph.D., Mat. Agustín Barrios Profesor Departamento de Matemáticas Jurado M.Sc. Carlos Ardila Profesor, Departamento Ing. de Sistemas Jurado 3

4 A mis padres y a mi hermana, por brindarme el apoyo necesario para salir adelante y cumplir mis propósitos profesionales, gracias por acompañarme en este viaje lleno de tropiezos y alegrías donde ustedes han sido la principal fuente de inspiración para mi lucha. 4

5 AGRADECIMIENTOS Con el presente proyecto de tesis, quiero agradecer a mi Director Ph. D Ing. Carlos D. Paternina Arboleda por sus sugerencias para trabajar en esta temática, su apoyo, y paciencia. A mi amigo Ingeniero de Sistemas Alfredo José Pérez Martínez, por su invaluable colaboración y apoyo incondicional. Y a todos aquellos que hicieron participe de esta tesis por sus sugerencias y motivación. 5

6 RESUMEN En el presente proyecto se desarrolló una aplicación computacional de colonias de hormiga para la solución del problema HF K, (PM (l) k ) l =1 F l (Cmax, C ), definido como un flowshop flexible con K estaciones, M(l) máquinas idénticas, por cada estación (etapa) l. El programa optimiza a través de Metaheurísticas dos objetivos en producción: minimiza el lapso (Cmax) de producción y la suma de tiempos de terminación ( C ). De acuerdo a lo anterior, los modelos de apoyo para la Toma de Decisiones (Decision Support Models, DSM) sirven de soporte para la programación de operaciones en empresas con sistemas de producción flexibles en serie y múltiples objetivos de programación. 6

7 TABLA DE CONTENIDO Pág. 1. INTRODUCCIÓN FORMULACIÓN DEL PROBLEMA Planteamiento del Problema OBJETIVOS Objetivo General Objetivos Específicos ALCANCES Y LIMITACIONES Alcances Limitaciones MARCO DE REFERENCIA Marco Teórico Programación De Operaciones En Planta Optimización Multi-objetivo Función Objetivo Restricciones Vector objetivo Soluciones no comparables Mínimo Global Mínimo Local Máximo Global Máximo Local Dominancia de Pareto Conjunto Pareto Frente de Pareto Heurísticas y Metaheurísticas Algoritmos Evolutivos Inicialización de la población Función de Evaluación (Fitness) Selección 28 7

8 Cruce (Crossover) Mutación Strenght Pareto Evolutionary Algoritm Meta-Heurísticas De Colonias De Hormiga METODOLOGIA Tipo de estudio Método de Investigación Fuentes y Técnicas Tratamiento de la información SUPUESTOS BÁSICOS Y DISEÑO DEL ALGORITMO HÍBRIDO ANT- COLONY SUPUESTOS BÁSICOS DISEÑO DEL ALGORITMO HÍBRIDO ANT- COLONY Construir_solucion Evaluar_solucion Actualizar_Frente_Pareto Actualizar_Feromonas Reiniciar_ feromonas EXPERIMENTACIÓN Y ANÁLISIS DE RESULTADOS DESCRIPCIÓN DEL LOS ARCHIVOS DE ENTRADA CARACTERÍSTICAS DEL EXPERIMENTO CONFIGURACIÓN DE PARÁMETROS RESULTADOS OBTENIDOS COMPARACIÓN DE RESULTADOS ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS CONCLUSIÓN Y TRABAJOS FUTUROS CONCLUSIONES TRABAJOS FUTUROS 66 ANEXOS 67 BIBLIOGRAFÍA 98 8

9 LISTA DE TABLAS Pág. Tabla 1. Escenario Flowshop Flexible 41 Tabla 2. Resultados iteración Tabla 3. Resultados iteración Tabla 4. Resultados iteración Tabla 5. Resultados iteración Tabla 6. Resultados iteración Tabla 7. Resultados iteración Tabla 8. Porcentajes diferenciales iteración Tabla 9. Porcentajes diferenciales iteración Tabla 10. Porcentajes diferenciales iteración Tabla 11. Porcentajes diferenciales iteración Tabla 12. Porcentajes diferenciales iteración Tabla 13. Porcentajes diferenciales iteración Tabla 14. Coordenadas del Frente de Pareto obtenido con la herramienta MHFACO 65 9

10 LISTA DE FIGURAS Pág. Figura 1. Sistema Flowshop Flexible 18 Figura 2. Representación de un Algoritmo Genético 26 Figura 3. Esquema de un Algoritmo Genético 27 Figura 4. Ejemplo de ejecución de un algoritmo genético 27 Figura 5. Las hormigas y el camino más corto 33 Figura 6. Imagen Parámetros para la ejecución del Algoritmo 43 Figura 7. Resultados del Cmax presentados por el LEKIN 51 Figura 8. Resultados del C presentados por el LEKIN 52 Figura 9. Frente de Pareto obtenido con la herramienta MHFACO 64 10

11 1. INTRODUCCIÓN 1.1 FORMULACIÓN DEL PROBLEMA Planteamiento del Problema La mayoría de problemas de optimización del mundo real tienen varios objetivos que deben satisfacerse de manera simultánea, los cuales se encuentran sujetos a ciertas restricciones propias de su entorno. Ante la presencia de problemas de optimización con varios objetivos, la perspectiva o concepción de lo que significa un óptimo, cambia con respecto a los problemas de optimización que presentan un solo objetivo, ya que en la optimización mono-objetivo la solución del problema es única, mientras en los problemas multi-objetivo la solución no es necesariamente única, sino que, podría ser un conjunto de soluciones. Para evidenciar este hecho, se toma como caso de implementación el siguiente problema de programación de operaciones 1 : Datos: n, Número de trabajos k, Número de estaciones (l) M, l =1,, k, Número de máquinas por estación (l) p i, i =1,, n, l =1,, k el tiempo de procesamiento de el trabajo Ji en la estación l, =0,, 1, peso Variables: X i j, u, v,, i, j = 1,,n, u=1,, Ji es procesado en la posición j en la máquina M (v), v =1, k, variable binaria, igual a 1 si el trabajo M u en la estación v, 0 de otra forma (l) C i, i = 1,, n, l =1,, k, tiempo de terminación del trabajo Ji en la estación l C max, Makespan 1 T kind, Billaut. Multicriteria scheduling theory, models and algorithms 11

12 C, suma de los tiempos de terminación de los trabajos Objetivo: Minimizar Restricciones: C ( 1) C max ( v ) M n m1 l1 n i1 X i, l, m, v 1, i 1,..., n, v 1,..., k (A) ( v) X i, l, m, v 1, m 1,..., M, v 1,..., k, l 1,..., n (B) C ( v) i u n l1 j1 ( v) ( X j, l, m, v p j ( X i, u, m, v 1) HV ), m 1,..., M ( v), v 1,..., k, i 1,..., n, u 1,... n (C) v v 1 v Ci Ci pi, i 1,..., n, v 1,..., k (D) C max ( k) Ci, i 1,..., n (E) C n k ) C i i1 ( (F) El programa optimiza el siguiente problema HF K, (PM (l) ) l k=1 F l (Cmax, C ), definido como un flowshop flexible con k estaciones, M (l) máquinas idénticas, por cada estación (etapa) l; donde los dos objetivos en producción son: minimizar el lapso (Cmax) de producción y la suma de tiempos de terminación ( C ). La restricción (A) expresa el hecho de que todos los trabajos deben ser procesados en cada estación. La restricción (B) implica el hecho que debe haber un trabajo en la posición l en cada máquina. La restricción (C) y (D) permiten calcular los tiempos de terminación en cada estación. Finalmente, la restricción (E) y (F) definen los criterios Cmax y C que serán minimizados. De acuerdo a lo anterior, el modelo planteado surge de la necesidad de dar solución al problema mencionado y, para esto, se plantea una alternativa de solución a través de Metaheurísticas: Colonias de Hormiga de concepción Multi-objetivo, que permita optimizar la programación de operaciones en empresas con sistemas de producción flexibles en serie y múltiples objetivos de programación. 12

13 1.2 OBJETIVOS Objetivo General Resolver el problema de programación de operaciones en empresas con sistemas de producción flexibles en serie y múltiples objetivos de programación mediante la aplicación de la metaheurística Ant Colony Objetivos Específicos Diseñar e implementar sistemas de apoyo para la Toma de Decisiones (Decision Support System, DSM) que sirvan de soporte para la programación de operaciones en empresas con sistemas de producción flexibles en serie y múltiples objetivos de programación. Implementar una herramienta computacional que cumpla la función de facilitar la aplicación de los DSM diseñados, y realizar de manera efectiva la actividad de programación de operaciones en planta. Comparar los resultados obtenidos por la herramienta propuesta, con los resultados obtenidos con la herramienta de dominio público LEKIN. 1.3 ALCANCES Y LIMITACIONES Alcances El proyecto de la presente propuesta cumple con los siguientes objetivos específicos: El desarrollo de una aplicación de colonias de hormigas para minimizar el lapso (Cmax) de producción y la suma de tiempos de terminación ( C ) en entornos de producción flexibles en serie y con múltiples objetivos de programación. 13

14 Diseño e implementación del sistema DSM, el cual implica el desarrollo de los siguientes aspectos: 1. Modelos de optimización necesarios para realizar en forma optimizada la programación de operaciones. 2. Herramientas de programación de operaciones. 3. Entrega de resultados y documentación relacionada con los modelos desarrollados. Adicionalmente, el conjunto de modelos implementado permitirá la aplicación de la herramienta en empresas que cumplan con el entorno de producción en estudio, esto a su vez facilitará la elaboración de planes gruesos de contingencia con relación a su sistema productivo Limitaciones El proyecto se encuentra limitado al desarrollo de algoritmos para la programación de operaciones en empresas con entornos de producción flexibles en serie. No se tendrán en cuenta en principio para este problema restricciones sobre el taller de producción o sobre órdenes de producción, tiempos de liberación de las órdenes de producción, y tiempos de alistamiento. 1.4 MARCO DE REFERENCIA Marco Teórico Gran parte de los problemas del mundo real implican la optimización simultánea de varios objetivos que generalmente presentan conflictos entre ellos; es decir, la mejora en uno conduce a un deterioro en el otro. La presencia de tales tipos de problemas es tan significativa, que consume gran parte de nuestro tiempo cotidiano de decisión. Se trata, por ejemplo, de escoger el medio ideal para llegar al trabajo, establecer el orden de nuestras tareas, elegir el restaurante para el almuerzo, hacer las compras en el supermercado, preparar la cena y la distribución de actividades en el tiempo de ocio restante. También es el mismo tipo de problemas que enfrentan los ingenieros y técnicos a la hora de diseñar e implementar sistemas de todo tipo: existen múltiples objetivos a cumplir y se espera lograrlos todos en la medida de lo posible. 14

15 Aunque la mayoría de los problemas de decisión involucran este tipo de situaciones, las propuestas computacionales que se han presentado para resolverlos habitualmente se limitan a convertir el problema de objetivos múltiples en uno con objetivo único. Esta reducción es debida a los modelos matemáticos empleados y puede realizarse de varias maneras, por ejemplo se prioriza uno de los objetivos y los demás se colocan como restricciones, o también se genera un objetivo compuesto otorgando pesos a los objetivos en juego y armando una suma ponderada de los mismos. De todos modos, ninguna de estas reducciones refleja fielmente al problema y, por tanto, tampoco otorga soluciones completamente satisfactorias. Se pone como ejemplo el problema de la compra de un automóvil. El comprador desea un automóvil óptimo y por tanto no puede preocuparse solamente en minimizar el precio del auto, ya que también le interesan otros factores. Si se tratase de un problema de objetivo único, se conformaría con llamar a todos los distribuidores y hacer una lista de precios (sin considerar marcas, modelos, tamaño, confort, etc.) y escogería el automóvil de menor precio sin mayores complicaciones. Sin dudas, el modelo matemático que está empleando en su búsqueda no es el más apropiado!. Por ende, los resultados tampoco son satisfactorios, y por ahorrarse unos pesos inicialmente, el comprador acaba gastando todos sus ahorros en combustible y costos de mantenimiento. Sin embargo, el estado actual de la ciencia podría generar mejores resultados ya que existen modelos matemáticos que se ajustan mejor a la naturaleza de éstos problemas. Tales modelos provienen de un área de la Investigación de Operaciones conocida como optimización con objetivos múltiples o multiobjetivo. En los problemas de optimización de un solo objetivo (SOPs, del inglés Single Objective Problem) el resultado óptimo deseado está claramente definido. Partiendo del ejemplo anterior el objetivo sería minimizar precio del automóvil, y el resultado sería el automóvil con menor precio. Sin embargo, esta condición no se cumple para los problemas de optimización multiobjetivo (MOPs, por sus siglas en inglés: Multiobjective Optimization Problem) donde, en vez de un único óptimo, contamos con todo un conjunto de soluciones de compromiso. 15

16 Para evidenciar este hecho se vuelve al ejemplo del problema de la compra de un automóvil. El comprador tiene varios objetivos que desearía alcanzar, pero también múltiples restricciones. En cuanto a objetivos podríamos mencionar: minimizar el costo del automóvil, la cantidad de combustible consumida en una distancia dada, los gastos de mantenimiento implicados, etc. Además, deseará maximizar el confort, el espacio, la confiabilidad, la seguridad, tiempo transcurrido entre mantenimientos, costos de reventa, etc. Cuando se plantean las restricciones descubrimos que este comprador cuenta con un presupuesto limitado, desea un vehículo fabricado en la región y confía más en algunas marcas que en otras. Los conflictos que surgen entre los objetivos mencionados son obvios e inmediatamente considerando la propia experiencia surgen posibles soluciones. Así tenemos el automóvil que tiene el menor precio, pero está bastante alejado de los objetivos relacionados al confort, la seguridad y la confiabilidad. También tenemos el de costo superior a los demás pero con óptimas características, aunque amplio consumo de combustible. Así podemos citar numerosos ejemplos. Entre éstos se encuentran los automóviles promedio, que cumplen con las restricciones dadas y que implican una solución de compromiso entre todos los factores en juego. Entre ellos no se puede decir que alguno sea mejor, ya que al alterar un factor para mejorarlo, estamos empeorando otro. Así, en un problema de optimización multiobjetivo cotidiano, resulta evidente la existencia de múltiples soluciones y la imposibilidad de decidir cuál de ellas es mejor si se consideran todos los objetivos al mismo tiempo. En el caso del comprador, para realizar su elección deberá necesariamente contar con algún criterio, posiblemente de índole subjetiva, que le permita optar por una u otra alternativa. Se dice que las soluciones de un problema con objetivos múltiples son óptimas porque ninguna otra solución, en todo el espacio de búsqueda, es superior a ellas cuando se tienen en cuenta todos los objetivos al mismo tiempo, i.e. ningún objetivo puede mejorarse sin degradar a los demás. Al conjunto de estas soluciones óptimas se conoce como soluciones Pareto óptimas. Su nombre les fue dado en honor al ingeniero y economista Wilfredo Pareto, quien fue el primero en definir un nuevo criterio de optimalidad para los problemas en que existen múltiples objetivos a cumplir, y persisten conflictos al realizar la optimización simultánea de los mismos. A partir de este concepto se establece, como requisito para 16

17 afirmar que una situación es mejor que otra, el que en ella no se disminuya a nadie, pero se mejore a alguno; es decir que una situación será mejor que otra sólo si en la nueva es posible compensar las pérdidas de todos los perjudicados... y aún queda un sobrante. En todo otro caso, según Pareto, para decidir se requiere un juicio de valor y la ciencia no puede guiarnos. El presente capítulo presente las definiciones necesarias que fundamentan teóricamente el presente proyecto Programación De Operaciones En Planta La programación de la producción ha sido uno de los temas de investigación más recurrentes en el área de administración de operaciones durante la última mitad de siglo XX. Debido a la cada vez más fuerte competencia en los mercados, para muchas empresas se ha hecho necesarios amplias su portafolio de productos, buscando de esta manera satisfacer a más clientes potenciales. Este cambio aparentemente trae consigo grandes problemas de planeación y el control de los sistemas productivos: Un número amplio de referencias implica mayores niveles de inventario o mayores exigencias en cuanto a capacidad instalada, lo que a su vez implica mayores costos operacionales. Si a estos problemas se le suma una pobre programación de la producción, estos se pueden ver multiplicados. Debido a estas razones y a la gran complejidad que implica encontrar una solución al problema de la programación de la producción, éste ha sido el tema de muchos proyectos de investigación durante los últimos cuarenta años. Programar es el proceso de organizar, elegir y dar tiempos al uso de recursos para llevar a cabo todas las actividades necesarias, para producir las salidas deseadas en los tiempos deseados, satisfaciendo a la vez un gran número de restricciones de tiempo y relaciones entre las actividades y los recursos. La enorme cantidad de combinaciones existentes en un sistema productivo, hacen imposible la evaluación de todos los posibles programas para la determinación de el programa de operaciones optimo, incluso implementando el mas poderoso sistema de 17

18 computo que pueda ser adquirido en la actualidad. Lo anterior impulsó el desarrollo de técnicas inteligentes de optimización, las cuales no están diseñadas bajo la premisa de obtener la solución óptima de un problema, sino en cambio, sacrificar un pequeño margen de exactitud en beneficio de no requerir una desmesurada potencia de cómputo. Un importante grupo de técnicas de optimización inteligentes son las denominadas heurísticas y metaheurísticas. Los países industrialmente desarrollados, poseen cerca de 30 años de investigación y desarrollo en esta área, gran parte de estos desarrollos se gestan en las universidades. Los países industrializados, son productores y distribuidores de esta tecnología. Colombia se encuentra en una posición de consumidor, pero solo un pequeño grupo de empresas, localizado en el sector de los grandes contribuyentes posee capacidad de adquisición. En esta investigación se estudia y se propone una nueva metodología para resolver el problema de secuenciar apropiadamente n actividades independientes y disponibles simultáneamente en N estaciones ó etapas con mj maquinas en paralelo. Esto es la solución al sistema productivo flowshop flexible. Figura 1. Sistema Flowshop Flexible. Cada trabajo será procesado en cada etapa una sola vez. Además, todos los trabajos serán procesados en la primera estación, luego en la segunda estación hasta completar la secuencia. El tiempo de procesamiento para cada producto en cada estación estará compuesto el tiempo de alistamiento de la máquina, el tiempo en que la máquina transforma al producto, es decir lo procesa y el tiempo para retirar el producto de la máquina, antes de colocar el siguiente. 18

19 La función Objetivo de interés es minimizar makespan Cmax y la suma de los tiempos de terminación de los trabajos simultáneamente. También es ampliamente conocido como lapso. Definido de otra forma, es el tiempo en donde la última actividad deja al sistema. A pesar que el problema flowshop flexible con múltiples maquinas ha sido estudiado en otras investigaciones, a la fecha no se encontraron instancias publicadas para este tipo de problemas. Sin embargo, durante la investigación se generaron varias instancias que pueden ser utilizadas por otros investigadores para sus futuros análisis. Incluyendo medidas desempeño de la heurística y el valor óptimo para cada conjunto de datos. Una de las principales limitaciones para comparar la heurística con el óptimo es lo extenso del espacio de posibles secuencias para el problema en estudio. De allí que para n productos, N estaciones y Mj maquinas por estación (con n > mj; para todo j tal que j = 1, 2,.. N). El numero total de soluciones o secuencias viene dada por la ecuación: N j ( n 1)!( n)! 1 ( n m )!( m 1)!( m )! j j j Observemos que para una de las instancias de la investigación: problema con 7 productos, 5 estaciones y 3, 4, 3, 2 y 2 maquinas en cada estación respectivamente, el problema esta sujeto a un espacio de 1.52 x 1020 posibles secuencias. Si se cuenta con un equipo de computo que pueda procesar un billón de secuencias por segundo, dicho equipo finalizará su labor en 4 años y 10 meses. El problema de estudio es aún un problema abierto en la literatura. La mayor cantidad de información asume trabajos no idénticos y máquinas paralelas idénticas (ver por ejemplo los trabajos de Guinet y Solomon, Gupta, Gupta y Tung, Lee y Vairaktarakis. Desouki et al. Propone un procedure O(n log n) basado en la regla LST para resolver un problema más sencillo mono-objetivo: F1(Q1) rj, pj = 1, Cmax. T kindt y Billaut presentan una propuesta más cercana al problema de interés de esta investigación, pero sólo introducen el modelo matemático de programación entera binaria con ponderación de objetivos. 19

20 Optimización Multi-objetivo La optimización multi-objetivo puede ser definida como el problema de encontrar un vector de variables de decisión que satisfacen restricciones y optimiza un vector de funciones cuyos elementos representan las funciones objetivo. Estas definiciones aparecen en los trabajos de Coello y Deb. Se desea encontrar un vector de decisión: x x1, x2,..., T x n con n x R, que deberá satisfacer restricciones de desigualdad: g i ( x) 0 i 1,2,..., w y optimizar el vector de funciones f x) f ( x), f ( x),..., f b ( x) ( 1 2 T que generalmente cumple con f ( x ) R b. El conjunto de todas las soluciones que satisfacen la condición es conocido como dominio de soluciones factibles, y se representa como, en general define como: n R. El correspondiente conjunto imagen o se o f ( x) R b x Función Objetivo: Denotada con f, función objetivo convierte los vectores de decisión en un espacio K-dimensional llamado Espacio Objetivo, k Z R ( R, el conjunto de los números reales). f es un conjunto de funciones f ) T ( f1, f 2,..., f k Restricciones: En todo problema de optimización con restricciones, el entorno, la disponibilidad de recursos o las características inherentes al problema, 20

21 imponen sobre éste un conjunto de restricciones, que deben ser satisfechas al solucionar el problema, con el fin de tener soluciones factibles. Las restricciones están dadas en términos de las variables de decisión y de los operadores de(<,,, > y 0). Una posible forma de enunciar restricciones sería: ri(x) >=0; i=1, 2,, m si(x) <=0; i=1, 2,, p gi(x) =0; i=1, 2,..., k donde m+p+k debe ser menor que el número de variables de decisión n, para que puedan existir grados de libertad a optimizar Vector objetivo: (vector de criterio, punto): Denotado con z representa la imagen en el espacio objetivo de un vector de decisión a través de f. Z f ),... f ( x )) ( x) ( z1, z2,... zk ) ( f1( x1 ), f 2( x2 k k T Soluciones no comparables: Dados u, v, si u v ni v u, se dice que son soluciones no comparables, lo que se denota como u ~ v Mínimo Global: Dada la función f, supongamos que θ el conjunto de soluciones factibles es diferente de vacío, entonces x*, es llamado un mínimo global si para toda x θ, se tiene que: f(x*) f(x) Mínimo local: Dada la función f, supongamos que θ el conjunto de soluciones factibles es diferente de vacío, entonces x*, es llamado un mínimo local si para toda x I θ, se tiene que: f(x*) f(x) 21

22 Máximo Global: Dada la función f, supongamos que θ el conjunto de soluciones factibles es diferente de vacío, entonces x*, es llamado un mínimo global si para toda x θ, se tiene que: f(x*) (x) Máximo local: Dada la función f, supongamos que θ el conjunto de soluciones factibles es diferente de vacío, entonces x*, es llamado un mínimo local si para toda x θ, se tiene que: f(x*) f(x) Dominancia de Pareto: Sean dos soluciones u, v. Se dice que u domina a v (denotado como u v) si es mejor o igual que v en cada uno de los objetivos y estrictamente mejor en al menos un objetivo. Como ejemplo, en un contexto de minimización u v si y solo si: 1,2,..., b j 1,2,... f ( ) f ( u) f ( v) i u < (v) i i j f j Conjunto Pareto: El conjunto de todas las soluciones x no dominadas en se denomina Conjunto Pareto, lo que se denota como CP. Las soluciones x que pertenecen a CP se denotarán como x* Frente de Pareto: La imagen del Conjunto Pareto a través de la función f se denomina Frente Pareto, denotado por Y Heurísticas y Metaheurísticas En general existe una gran cantidad de problemas que se consideran difíciles de resolver. La dificultad de los problemas está caracterizada por la teoría de complejidad computacional. 22

23 Se sabe que muchos problemas son NP-duros, esto es, el tiempo que requieren para resolver una instancia de ese problema crece en el peor de los casos de manera exponencial con respecto al tamaño de la instancia. Por lo mismo, muchas veces se tienen que solucionar usando métodos de solución aproximados, que regresan buenas soluciones (inclusive a veces óptimas) a bajo costo computacional. Las heurísticas proviene de la palabra griega eureka, utilizada por Arquímedes, y ha sido utilizado para agrupar un conjunto de algoritmos de búsqueda basados en estructuras repetitivas, con los cuales se dirigen procesos de decisión 2. En términos generales, una heurística es el procedimiento repetitivo que identifica una solución factible, con la cual se espera acercarse a la solución óptima. Muchas de las estrategias de búsqueda podrían usarse, aunque algunas pueden resultar ser demasiado costosas o quedar atrapadas en mínimos locales. Las metaheurísticas se proponen como métodos, determinísticos o estocásticos para salir de mínimos locales, es decir, son estrategias maestras que permiten resolver de manera inteligente un problema 3. El término metaheurísticas se obtiene de anteponer a heurística el sujeto meta, que significa más allá o a un nivel superior, lo que concuerda con la descripción que Crainic y Toulouse (2003) hacen de estas técnicas al afirmar que modifican otras heurísticas para producir mejores soluciones que las encontradas de la manera clásica. Algunas de las propiedades deseables para una metahuerística son: Simplicidad: debe de ser simple y basada en un principio claro que pueda ser aplicable en general. Precisión: debe de estar formulada en términos matemáticos precisos. 2 Burke, E., Kendall, G., Newall, J., Hart, E., Ross, P. and Schulenburg, S., Hyper-heuristics: an emerging direction in modern search technology., En: Glover, F. y Kochenberger, G. (Eds.). Handbook of metaheuristics. Kluwer academic publisher, Melián, B., Moreno, J. y Moreno, M., Metaheurísticas: una visión global. Inteligencia Artificial., Revista Iberoamericana de Inteligencia Artificial, No.19, 2003, pp

24 Coherencia: todos los pasos deben de seguir en forma natural los principios de la metaheurística. Eficiencia: debe de tomar un tiempo razonable de tiempo. Efectividad: debe de encontrar las soluciones óptimas para la mayoría de los problemas de prueba en donde se conoce su solución. Robustes: debe de ser consistente en una amplia variedad de instancias. Amigable: debe de ser claramente expresada, fácil de entender y fácil de usar, y con la menor cantidad de parámetros posibles. Innovación: debe de poder atacar nuevos tipos de aplicaciones. La mayoría de la metaherísticas cumplen con solo algunas de las propiedades arriba mencionadas Algoritmos Evolutivos Los algoritmos genéticos (en adelante AGs) son métodos adaptativos que se emplean principalmente para la resolución de problemas de búsqueda y optimización. Se enmarcan dentro de la rama de Inteligencia Artificial conocida como Computación Evolutiva o Algoritmos Evolutivos. Esta rama trata el estudio de los fundamentos y aplicaciones de técnicas heurísticas de búsqueda que emplean los principios de la evolución natural. Existen otras técnicas que junto con los AGs pertenecen a esta rama, las más importantes son; Programación Evolutiva, Estrategias Evolutivas, Programación Genética y Sistemas Clasificadores. Las diferencias entre estas técnicas se basan principalmente en los diferentes operadores que emplean y en las distintas técnicas de selección y reproducción de los individuos de la población. Los AGs son muy potentes y efectivos sobre todo para aquellos problemas con un gran espacio de búsqueda y para los que no existe una técnica específica para resolverlo. Podemos aprovecharnos de los AGs para realizar tareas muy complejas que de otra forma sería muy difícil, o imposible, llevarlas a cabo con un enfoque más determinista; problemas basados en variables con interdependencias muy complejas, en ingeniería para optimizaciones numéricas de algunos problemas no lineales que resultan muy difíciles de resolver por métodos analíticos, son muy eficientes para el control de robots, e incluso resultan muy útiles para el ajuste de los pesos de las conexiones de redes neuronales, etc. 24

25 Cuando se va a aplicar un Algoritmo Genético (AG) para resolver un problema, el primer movimiento que se debe hacer es codificar dicho problema en un cromosoma artificial. Los cromosomas artificiales pueden ser cadenas de unos y ceros, listas de parámetros o hasta códigos complejos, pero la clave que debemos tener en mente es que la maquinaria genética manipulará una representación finita de soluciones, no las soluciones por sí mismas. Otro componente que se debe tener en cuenta cuando intentamos resolver un problema es el procedimiento o los medios para discriminar las soluciones buenas de las malas. La idea es que algo debe determinar la aptitud hacia el propósito de una solución. Esa determinación la logra la función de evaluación o función de Fitness, que será usada por el AG para guiar la evolución de las generaciones futuras. Una vez codificado el problema de manera cromosómica y teniendo los medios para discriminar las buenas soluciones de las malas, se está en condiciones de evolucionar soluciones para nuestro problema mediante la creación de una población inicial de soluciones posibles. Esta población puede ser creada aleatoriamente o utilizando algún conocimiento previo de buenas soluciones posibles, pero la idea principal es que se partirá la búsqueda desde una población y no desde un punto. Con la población en su lugar, los operadores genéticos pueden procesar la población iterativamente para crear una secuencia de poblaciones que esperanzadamente contendrán más y mejores soluciones para el problema en cuestión. Existe una amplia variedad de operadores utilizados en un AG, pero en general son selección, recombinación (o crossover) y mutación. El operador de selección aporta mayor supervivencia a los mejores individuos, en términos del problema. Es el mecanismo conocido como supervivencia del más apto. Su idea principal es la de seleccionar preferentemente las mejores soluciones. Por supuesto, si solo se eligieran las mejores soluciones en forma repetida de la población inicial, se esperaría hacer un poco más que simplemente ocupar la población con los mejores de la primera generación. Por lo tanto, la mera selección de los mejores no es suficiente, y deben hallarse los medios para crear nuevos y posiblemente mejores individuos. Es aquí cuando aparecen la recombinación y la mutación. La Recombinación es un operador genético que combina bits y partes de soluciones padres para formar nuevos y posiblemente mejores descendientes. De nuevo, existen 25

26 muchos caminos para lograrla, y alcanzar una performance competente depende de su aplicación apropiada. Mientras la recombinación crea un nuevo individuo mediante la cruza de material genético, la mutación actúa simplemente modificándolo. Existen muchas variaciones para la mutación, pero la idea principal es que un descendiente sea idéntico a su progenitor excepto en uno o más cambios en sus genes. De esta manera, la mutación representa un movimiento al azar en los alrededores de una solución particular. Figura 2. Representación de un Algoritmo Genético Fuente: CASTRO VENTURA, Yanina Katherine; CERNA ALVARADO, Rolando Carlos; ZUTTA MALAGA, Nelly Jasmín. Algoritmos Genéticos. Esquema de un Algoritmo Genético: Paso 1: t=0; generar una población aleatoria P={x1,...,xn} Paso 2: calcular f(x1),...,f(xn) Paso 3: t=t+1; aplicar los procedimientos de - selección - cruce - mutación generando una nueva población P ={x 1,...,x n} Paso 4: reemplazar P por P Paso 5: si no se cumple un criterio de optimalidad ir al paso 3 26

27 Figura 3. Esquema de un Algoritmo Genético Fuente: CASTRO VENTURA, Yanina Katherine; CERNA ALVARADO, Rolando Carlos; ZUTTA MALAGA, Nelly Jasmín. Algoritmos Genéticos. La idea de los AG consiste en aplicar estas ideas sobre conjuntos de soluciones de un problema matemático, logrando nuevas y mejores soluciones. Figura 4. Ejemplo de ejecución de un algoritmo genético Fuente: CASTRO VENTURA, Yanina Katherine; CERNA ALVARADO, Rolando Carlos; ZUTTA MALAGA, Nelly Jasmín. Algoritmos Genéticos Inicialización de la población. La inicialización de la población determina el proceso de creación de los individuos para el primer ciclo del algoritmo. Normalmente, la población inicial se forma a partir de individuos creados aleatoriamente. Se puede crear también utilizando alguna técnica heurística pero los 27

28 pocos estudios que existen sobre este tema indican que el AG tenderá a converger más rápidamente pero con el riesgo de que el algoritmo converja hacia un óptimo local. 4 Las poblaciones iniciales creadas aleatoriamente pueden ser sembradas con cromosomas buenos para conseguir una evolución más rápida, si se conocen a priori, el valor de estas semillas buenas Función de Evaluación (Fitness). La evaluación es la unión entre el GA y el mundo externo. La evaluación se realiza a través de una función que representa de forma adecuada el problema y tiene como objetivo suministrar una medida de aptitud de cada individuo en la población actual. La función de evaluación es para un GA lo que el medio ambiente es para los seres humanos. Las funciones de evaluación son específicas de cada problema. En el ejemplo, la función matemática f(x)=x2 mide la aptitud de cada individuo. C1 es un individuo más apto que C2. 5 Un buen diseño de la función de evaluación (también conocida como función objetivo o función de adaptación) resulta extremadamente importante para el correcto funcionamiento de un AG. Esta función determina el grado de adaptación o aproximación de cada individuo al problema y por lo tanto permite distinguir a los mejores individuos de los peores. A esta puntuación en función de su proximidad a la mejor solución del problema se le denomina fitness Selección. Este operador es una versión artificial del concepto de selección natural (Darwin). La función objetivo está asociada al beneficio, utilidad o bondad que desea optimizarse La selección es el mecanismo por el cual soluciones más próximas al óptimo (individuos mejor adaptados ) tienen mayor probabilidad de sobrevivir y ser elegidos (seleccionados) para reproducirse. Supongamos que, en una determinada iteración del algoritmo, tenemos un conjunto de soluciones, que denominaremos población: Ibid 3 28

29 x, x2,..., x x S Z P, 1 r j y que cada una de ellas (que denominamos individuos) tiene un valor de la función objetivo f ( x1 ), f ( x2 ),..., f ( xr ) La selección supone que cuanto mayor sea f ( x i ), mayor sea la probabilidad pi de que x i sea elegido y se reproduzca. 6 Una manera sencilla de hacer esto es tomar: p i r j1 f ( x ) i f ( x ) j Se debe garantizar que los mejores individuos tienen una mayor posibilidad de ser padres (reproducirse) frente a los individuos menos buenos. De tal forma, hay que ser cuidadosos para dar una oportunidad de reproducirse a los individuos menos buenos. Éstos pueden incluir material genético útil en el proceso de reproducción. Esta idea nos define la presión selectiva que determina en qué grado la reproducción está dirigida por los mejores individuos Cruce (Crossover). Se denomina técnica de cruce a la forma de calcular el genoma del nuevo individuo en función del genoma del padre y de la madre. El operador de cruce es fuertemente responsable de las propiedades del algoritmo genético, y determinará en gran medida la evolución de la población. 8 Después de seleccionar a los individuos que engendrarán a la siguiente generación, llega el momento de cruzarlos (crossover) entre ellos, y al igual que en la naturaleza, el proceso consiste en crear a los descendientes a partir del intercambio de material genético de sus padres. Existen dos técnicas principales; intercambio a partir de un solo 6 Computación Neuronal 7 Bioinformatica 8 Varios 29

30 punto de cruce y a partir de dos puntos de cruce. En ambas técnicas se obtienen dos descendientes fruto del cruce. Para ciertos problemas es necesario emplear una técnica de cruzamiento especializada que controle el proceso de intercambio genético evitando que se codifiquen en él soluciones inválidas. Independientemente de la técnica de cruce que se emplee, se suele implementar la reproducción en un AG como un valor porcentual que indica la frecuencia con la que se deben realizar los cruces, y los que no se crucen pasarán como réplicas de si mismos a la siguiente generación (hay que tener también en cuenta que existe la posibilidad de que se produzca una mutación durante la replicación del código). Esto nos lleva a una técnica muy importante desarrollada hace unos cuantos años conocida como elitismo. Consiste en que el mejor individuo de la población permanece inalterable generación tras generación (ni siquiera se le aplica ningún tipo de mutación) hasta que aparece un individuo con un fitness mejor que lo sustituye. Su importancia reside en que de esta forma nunca se pierde la mejor solución encontrada hasta el momento Mutación. Da la posibilidad de recuperar material "genético" perdido en el continuo proceso de reproducción y crossover. Durante la fase de cruce se aplica el operador de mutación; aleatoriamente se modifican uno o más genes de los individuos descendientes de la anterior generación. Esto se realiza para aumentar la diversidad genética que favorece la aparición de individuos con un código genético distinto con la posibilidad de que sea mejor, es especialmente importante la mutación cuando la población, después de un cierto número de generaciones, tiende a converger hacia un óptimo local. No es conveniente abusar del operador de mutación si no queremos que el AG se convierta en un algoritmo de búsqueda al azar. 9 Javier Ventoso 30

31 Igual que sucede en la fase de cruce (reproducción), el proceso de mutación suele implementarse como un valor porcentual y se ha comprobado que el ajuste correcto del porcentaje de mutación es de vital importancia para el correcto funcionamiento del AG Strength Pareto Evolutionary Algorithm 2 El SPEA 2 es un algoritmo genético evolutivo utilizado para Optimización Multiobjetivo creado por Zitzler, Laumanns y Thiele 10 en el año Este algoritmo mejora al algoritmo SPEA propuesto por Zitzler, Laumanns en SPEA 2 mantiene una población elitista en la que guarda los mejores elementos de la población en cada generación. Los elementos de la población elitista pueden estar conformados por elementos no dominados exclusivamente, o por la combinación de elementos no dominados y los mejores elementos no dominados, esto se debe a que en el SPEA 2 la población elitista es de tamaño fijo. Las principales diferencias entre el SPEA y el SPEA2 son las siguientes: Un esquema mejorado de asignación de Fitness que toma en cuenta a cuántos individuos domina un individuo y por cuántos individuos es dominado ese individuo. Una técnica de estimación de densidad del vecino más cercano. Un nuevo método de truncamiento en la población elitista que garantiza la preservación de soluciones en el Frente Pareto. A continuación, se muestra el esquema del SPEA 2. Entrada: N (Tamaño de la Población) N (Tamaño del archivo) T (Número máximo de Generaciones) 10 ZITZLER, Eckart; LAUMANNS, Marco and THIELE Lotear. SPEA2: Improving the Strength Pareto Evolutionary Algorithm. Zurich: Swiss Federal Institute of Tecnology (ETH), Computer Engineering and Networks Laboratory (TIK) Report No. 31

32 Salida: A (Conjunto de no dominado) Paso 1. Inicialización: Generar la población inicial P o y crear el archivo vacío (Conjunto Externo) Po Φ. Colocar t=0 Paso 2. Asignación del Fitness: Calcular los valores de fitness de los individuos en P t y P t Paso 3. Selección Ambiental: Copiar todos los individuos no dominados de P t y P t1. Si el tamaño de t1 P t a P excede a N, reducir P t1 mediante el operador de truncamiento, de lo contrario, si el tamaño de P t1 < N, entonces llenar con individuos dominados de P t y P t. Paso 4. Terminación: Si t T o se satisface otro criterio de paro entonces retorne el conjunto A de soluciones no dominadas tomadas de P t1. Paso 5. Selección: Realizar torneo binario con reemplazo en P t1 para llenar el conjunto de apareamiento. Paso 6. Cruzamiento: Aplicar los operadores de recombinación y cruzamiento al conjunto de apareamiento y construir P t 1. Incrementar t=t+1 e ir al paso Metaheurísticas De Colonias De Hormiga El proyecto MOSCA (dirigido por Luca Gambardella, director del IDSIA en Suiza) es una herramienta integrada de planificación, programación y control de sistemas de producción y distribución que brinda soporte a procesos de desarrollo sostenible. MOSCA se basa en colonias de hormiga como herramienta principal de optimización por sus características particulares de complejidad computacional y calidad de soluciones encontradas. A continuación se presenta una breve introducción a la metaheurística de colonias de hormiga. 32

33 Originalmente propuesto por Dorigo y Gambardella, las Colonias de Hormigas es una propuesta de fines de los ochenta. Esta técnica es una metaheurística destinada originalmente a problemas de optimización combinatoria y basada en la teoría de optimización mediante procedimientos de aprendizaje reforzado. El algoritmo principal es realmente un sistema multiagentes en el que las interacciones de bajo nivel entre agentes simples (llamados "hormigas") producen, en su conjunto, un comportamiento mucho más complejo, correspondiente a toda la colonia de hormigas. La idea se inspiró en colonias reales de hormigas. Las hormigas reales son capaces de encontrar el camino más corto entre una fuente de comida y su nido - por ejemplo - sin usar mecanismos visuales, sino sólo explotando el rastro de Feromona. Una forma en que las hormigas explotan la feromona para encontrar el camino más corto entre dos puntos es el que se muestra en la figura 5. Figura 5. Las hormigas y el camino más corto En a) las hormigas llegan a un punto en el cual deben decidirse por uno de los dos caminos a seguir. En b) se realiza una elección de camino, la que puede ser aleatoria, al haber bajos niveles de feromona, o guiada, al haber una diferencia notable entre la cantidad de feromona depositada en cada camino. En c), dado que la velocidad de una hormiga se considera aproximadamente constante, es claro sostener que las hormigas que eligieron el camino más corto se demorarán menos que las otras en llegar hasta el otro extremo, lo cual genera una mayor acumulación de feromona en el camino más 33

34 circulado. En d), la feromona acumulada en mayor cantidad en el camino más corto y más circulado guía a las hormigas a la fuente de alimento de la forma más rápida. Desde la perspectiva de la Inteligencia Artificial, las colonias de hormigas son realmente técnicas de búsqueda local con registro histórico (como la búsqueda tabú) de las rutas recorridas más y/o menos promisorias. Combinada con algoritmos evolutivos y con aprendizaje mediante reforzamiento, esta técnica ha sido aplicada recientemente con gran éxito a problemas de diseño en ingeniería, a optimización combinatoria y a optimización no lineal en general. El pseudo-codigo de las Metaheurísticas Colonias de Hormigas Genérico 11 se muestra a continuación: Procedimiento Inicializar_Parametros ( ) While not condicion_parada ( ) Generacion= Generacion + 1 for ant = 1 to m //m es la cantidad de hormigas Construir_solucion ( ) Evaluar_solucion ( ) Actualizar_Frente_Pareto Actualizar_Feromonas ( ) Actualizar_Conjunto_Pareto ( ) End for End While End 11 PACIELLO CORONEL, Julio Manuel; MARTÍNEZ SANTACRUZ, Héctor Daniel; LEZCANO RÍOS, Christian Gerardo; BARÁN CEGLA, Benjamín. Algoritmos de Optimización Multi-Objetivos basados en Colonias De Hormigas. 34

35 Procedimiento Construir_solucion Sol= While existen_estados_no_visitados ( ) siguiente= seleccionar_siguiente_estado ( ) sol= sol siguiente marcar_como_visitado siguiente if (actualización_paso_a_paso) End While End actualizar_feromonas_paso_a_paso ( ) 1.5 METODOLOGIA Tipo de estudio El tipo de estudio enmarcado en el proyecto se considera de tipo descriptivo, aplicativo, ya que dentro de la investigación, es necesario llegar a los factores o variables que desencadenan el problema, así mismo, se plantea como solución factible la aplicación e implementación del algoritmo propuesto para dar solución al problema de programación de operaciones en empresas con sistemas de producción flexibles en serie y múltiples objetivos de programación, procediendo a la descripción última de su utilización y los beneficios que surgen de la aplicación del sistema Método de Investigación El método de investigación principal utilizado en la realización del proyecto es el método analítico, el cual se basa en la identificación de las variables del problema. En este caso, se hace necesario el análisis de los componentes del sistema. 35

36 1.5.3 Fuentes y Técnicas La información requerida para el proyecto se toma de fuentes secundarias diversas como textos, prensa, documentos, revistas e Internet y de fuentes primarias como entrevistas con las personas con conocimientos en el área manejada Tratamiento de la información La información, materia prima principal de la investigación, se clasifica teniendo en cuenta la que esté relacionada con el DSM utilizado en algunos escenarios del problema planteado. 36

37 2. SUPUESTOS BÁSICOS Y DISEÑO DEL ALGORITMO HÍBRIDO ANT- COLONY 2.1 SUPUESTOS BÁSICOS Los supuestos básicos de los que parten la mayor parte de soluciones propuestas son las siguientes (Sipper, 1997): Los tiempos de operación son conocidos con certidumbre. Los tiempos de cambio de referencias son conocidos e independientes del orden de procesamiento. Todos los trabajos que se van a procesar están disponibles en tiempo cero. Sólo se consideran restricciones de precedencia entre las operaciones de un mismo trabajo. Una vez que el trabajo está montado en una máquina, éste no puede ser interrumpido. Aunque en algunos casos, estos supuestos no se ajustan mucho a la realidad, tratar de relajarlos implicaría una complejidad aún mayor en el ya bastante complejo problema. Adicionalmente existen en la realidad condiciones frecuentes tales como: Operaciones que se realizan fuera del taller (recubrimientos superficiales, tratamientos térmicos, etc.) Restricciones de recursos: Las herramientas y/o dispositivos y operarios son recursos limitados que suelen ser compartidos por máquinas de una estación o estaciones diferentes. Lotes de transporte: Cuando un trabajo está conformado por K piezas idénticas, la cantidad de piezas que se producen después de cada setup en cada máquina la denominaremos Lote, y la cantidad de piezas que se transportan entre máquinas la denominaremos Lote de transporte, el cual no necesariamente es igual al Lote, 37

38 por el contrario, el desempeño del sistema aumenta cuando el tamaño del lote de transporte se aproxima a la unidad. 2.2 DISEÑO DEL ALGORITMO HÍBRIDO ANT- COLONY La metaheurística para diseñar algoritmos de optimización basados en colonias de hormigas no fue concebida para tratar problemas multiobjetivo, por lo tanto se tiene que proponer una modificación que permita resolver el modelo propuesto en este trabajo. A continuación se presenta la adaptación del algoritmo: Procedimiento Inicializar_Parametros ( ) While not condicion_parada ( ) Generacion= Generacion + 1 repeat para cada hormiga k Construir_solucion ( ) Evaluar_solucion ( ) End repeat Actualizar_Frente_Pareto Actualizar_Feromonas ( ) If (no_cambio (CP, K') //sin cambios en K' generaciones Reiniciar_ feromonas ( ) End While End Para resolver el modelo planteado con anterioridad, se utilizará el grafo de construcción AQ(r, s) que tiene componentes AQ = r (nodos de la red) y s (enlaces entre los nodos). f 2 A cada enlace l ij L se le asocia un vector feromona R donde f F y 0< s 2, esto quiere decir que para cada flujos maneja un vector de feromonas independiente. ijs 38