SUPERAR LAS MATEMÁTICAS

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1 Borrador del libro. 0/09/0 Juan Jesús Pascual SUPERAR LAS MATEMÁTICAS PRIMER CURSO Educación Secundaria Contenidos: En este libro - Más encontrarás: de 000 ejercicios para resolver. - Más de 500 ejercicios con guía de - Más de 500 resolución. ejercicios para ser s. - Más de 00 ejercicios detalladamente - Más de 500 s. ejercicios con guía de - Breves notas teóricas de cada uno de resolución. los temas. - Más de - 00 Curiosidades ejercicios y notas detalladamente históricas. s. - Breves notas teóricas de cada uno de los temas

2 Borrador del libro. 4/09/0

3 Borrador del libro. 4/09/0 Presentación: Cuando se realiza el salto de Educación Primaria a Educación Secundaria, hay alumnos que necesitan un refuerzo, especialmente en matemáticas. El presente texto se ha escrito con la vista puesta en lo dificultoso del paso de un nivel a otro. El libro es una colección de más de 500 ejercicios y problemas preparados para ser s, aunque muchos de ellos cuentan con indicaciones y pistas para facilitar el estudio y su resolución e incluso otros están completamente desarrollados, con el fin de que sirvan de modelo. La dificultad de los enunciados tiene una forma creciente, de manera que los más fáciles suelen estar al principio y los más dificultosos al final. En todos los ejercicios se busca que la persona que los vaya haciendo se sienta cómoda desde el principio y que esto incremente la motivación y la seguridad. Está especialmente indicado para ser usado en clase y de forma autónoma cuando es necesario reforzar algún tema. También como preparación y repaso ante los diferentes exámenes que se realizan a lo largo de curso o durante las vacaciones. Y, cómo no, por los padres que, queriendo ayudar a sus hijos en las tareas, se acercan a unas matemáticas que ya tenían olvidadas y que desean poner al día.

4 Borrador del libro. 4/09/0 ÍNDICE:. Enteros. A. Sumas y restas sin paréntesis.8 B. Sumas y restas con paréntesis 8 C. Multiplicaciones...9 D. Multiplicaciones, sumas y restas.0 E. Multiplicaciones, divisiones, sumas y restas. Corchetes. F. Valor absoluto y opuesto.. G. Otros ejercicios...4. Potencias y raíces. A. Concepto de potencia....8 B. Potencia de una potencia.. 9 C. Producto de potencias...0 D. Divisiones de potencias.... E. Exponentes negativos..... F. Ejercicios mixtos. G. Raíces cuadradas....4 H. Otros Ejercicios...7. Divisibilidad. A. Divisiones...9 B. Múltiplos y divisores....9 C. Factorización.. D. Máximo común divisor.... E. Mínimo común múltiplo.. F. Problemas Fracciones. A. Concepto de fracción...7 B. Fracciones equivalentes C. Fracciones de una cantidad.. 4 D. Fracciones con el mismo denominador.. 45 E. Sumas y restas de fracciones con distinto denominador. 46 F. Productos y divisiones de fracciones.. 48 G. Fracciones y potencias..49 H. Ejercicios mixtos Números decimales. A. Ordenación de decimales B. Fracciones y decimales

5 Borrador del libro. 4/09/0 C. Divisiones y multiplicaciones..56 D. Clasificación de decimales 57 E. Redondeo F. Otros ejercicios Factor común Simplificaciones Ecuaciones de grado uno. A. Ecuaciones del tipo x+ab B. Ecuaciones del tipo axb C. Ecuaciones del tipo ax+bc D. Ecuaciones del tipo ax+bcx+d E. Ecuaciones con denominador F. Ecuaciones con paréntesis G. Otros tipos de ecuaciones Problemas de ecuaciones Proporcionalidad. A. Proporcionalidad directa..84 B. Proporcionalidad inversa C. Porcentajes..89. Unidades A. Unidades de masa. 9 B. Unidades de longitud C. Unidades de superficie. Área y hectárea 96 D. Unidades de volumen y capacidad. 98. Funciones. A. Representación de puntos en un plano....0 B. Concepto de función...0 C. Extracción de puntos en una función D. Representación de una función. 06 E. Interpretación de gráficas Rectas y ángulos. A. Posición relativa de rectas en el plano..09 B. Clasificación de ángulos según su medida..0 C. Ángulos complementarios y ángulos suplementarios... 5

6 Borrador del libro. 4/09/0 D. Mediatriz de un segmento y bisectriz de un ángulo.. 4. Polígonos. A. Nomenclatura de polígonos...4 B. Elementos de un polígono.. 5 C. Clasificación de triángulos.5 D. teorema de Pitágoras...6 E. Ortocentro, baricentro y circuncentro Áreas de polígonos. A. Áreas de polígonos regulares.... B. Áreas de triángulos. C. Áreas de rectángulos y romboides....4 D. Áreas de rombos..7 E. Áreas de trapecios Circunferencias y círculos. A. Longitud de una circunferencia. Área de un círculo.. 0 B. Longitud de un arco. Área de un sector circular.... C. Otros ejercicios Cuerpos geométricos. A. Concepto de poliedro. Poliedros regulares.. 6 B. Volumen de cubos y prismas C. Volumen de pirámides...9 D. Volumen de cilindros..40 E. Volumen de conos... 4 F. Volumen de esferas G. Otros problemas Estadística y probabilidad. A. Media, mediana y moda B. Diagrama de barras. 47 C. Diagrama de sectores.. 48 D. Experimento aleatorio versus determinista.5 E. Espacio muestral..5 F. Regla de Laplace..5 6

7 Borrador del libro. 4/09/0. ENTEROS Los números naturales, que se denotan con el símbolo, son los primeros que usaron los humanos para contar: hace 000 años, nuestros antepasados hicieron cuentas en el peroné de un babuino, conocido como Hueso de Ishango. El conjunto de números naturales se escribe como sigue: { 0,,,, 4, 5, 6,... }. Los número enteros*, que se denotan con el símbolo, es el conjunto de los números naturales y los números naturales con un signo negativo delante, es decir: {..., -6, -5,-4,-,-, -, 0,,,, 4, 5, 6,... } Estos números negativos nacen al restar dos naturales cuando el primero es menor que el segundo. Por ejemplo: Aquí está la primera dificultad con la que los estudiantes se pueden encontrar en este curso: Cómo puedo quitar al cuatro siete unidades? No se puede quitar de donde no hay! Por si sirve de consuelo, hasta hace cuatro siglos en Occidente se usaban los números enteros con poca soltura. La jerarquía de operaciones: Primero: Resolución de corchetes y paréntesis Segundo: Realización de las multiplicaciones y divisiones en el orden en que aparecen, de izquierda a derecha. Tercero: Realización de las sumas y las restas en el orden en que aparecen, de izquierda a derecha. Cuarto: Simplificar siempre que se pueda antes de lanzarte a operar. Simplifica también el resultado, cuando sea posible. La regla de multiplicación de signos: Es primordial tener siempre presente la siguiente regla de multiplicación de signos: * Aunque otros autores no lo hacen, nosotros hemos incluido el 0 dentro del conjunto. 7

8 Borrador del libro. 4/09/0 A. SUMAS Y RESTAS SIN PARÉNTESIS ) Realiza las siguientes operaciones: a) 5 - b) 4 7 c) 5. d) 6 0 e) f) m) n) o) p) 7+ 9 q) r) 9 g) s) 605 h) 4. i) j) 5 k) 6 5. l) 64 t) 506 u) v) 465 w) 69. x) B. SUMAS Y RESTAS CON PARÉNTESIS ) Realiza las siguientes operaciones: a) 7 0 f) b) c) d) e) g) 5 h) i) 4 j) 7 8

9 Borrador del libro. 4/09/0 k) l) o) 4. p) 45. q) r) 0 5. s) 5 5. t) m) n) u) v) 5 4 w) x) y) 6 7 z) 47 C. MULTIPLICACIONES ) Realiza las siguientes operaciones: a) 4 ( - ) b) c) 5 d) 47 e) 9.. f) 00. g) -- ( ) ( - ) h) - ( - ) 6 8 i) -4 ( - ) j) 54. k) 6.. k) 46 l) 07 m) 60.. n).. o) 56.. p) 5 q) r) 4 s) 4 9

10 Borrador del libro. 4/09/0 t) u) 5 v) 74 w) x) 6 y) D. MULTIPLICACIONES, SUMAS Y RESTAS Propiedad distributiva de la suma a ( b+ c) a b+ a c Propiedad distributiva de la resta a ( b- c) a b-a c La propiedad distributiva es la operación contraria a sacar factor común, que veremos en el tema 6. 4) Completa la tabla: Raíz Operando el paréntesis Aplicando la ley distributiva 4 ( 4- ) ( - + 4) 5 (- 8 ) 5 (- ) ( -- ) -5 ( - 6) - (- + 5) -7 (-- ) 9 ( - 7) ( + 5) 4 ( 5-) 6 ( 4-5) ( - ) (--) ( - 7) -( -) ( - ) -( 4-) ( - 5) 0

11 Borrador del libro. 4/09/0 5) Realiza las siguientes operaciones: a) b) 0- c) d) e) - ( - ). f) - ( - ).. g) -8- (- 4 ). h) --6 (- ) i) 4- ( - 5).... j) ( -) k) l) 7-0. m) n) ( - ) p) - (- ) + 5. q) r) 0 ( - ) +... s) t) 9 ( - ) + 0. u) v) ( - ) w) x) y) - (-)- 4. z) -0 (- ) + (- 5). o) 5 ( -5)-.. 6) Realiza las siguientes operaciones: a) (--4) ( - 5) (- 5) b) (--) ( - ) c) (--5) 4+ 0 d) (- + 6) + e) (- 7+ 4) + f) ( 9-) ( - ) + 4 g) ( -) ( -)- h) (--) ( - 5) + 7 i) -( 5-) j) 9+ ( 4-7) 5 k) --( -5) 6

12 Borrador del libro. 4/09/0 l) 7+ ( -) ( - 5)... m) --( -7) ( - ) n) -9-( 4-) ( - ) o) ( -)- (- ).. p) - (-)- (- 4 )... q) -7 (- ) + ( - 5 )... r) - (-5)-7 (- )... s) ( -) ( -) t) - (-5) ( - ) +... u) -4 ( -) v) - ( -) ( - ) w) 5+ 4 ( -) ( - ) x) -5-(-) ( -) y) -0-(-) ( -) ( - ) E. MULTIPLICACIONES, DIVISIONES, SUMAS Y RESTAS. CORCHETES 7) Realiza las siguientes operaciones: a) - é 4 ( ) ù ë- + - û (-4 - ) (- 6) b) - é -+ ( ) ù ë û- c) é -+ ( ) ù ë û+ d) - é -- ( ) ù ë û+ e) é ( ) ù ë7-+ û ( -)- f) é -- ( ) ù ë9 û:6-5 g) é6 ( ) ù ë -+ û : :7.. h). i) 0 : j) 6: 0:

13 Borrador del libro. 4/09/0 k) : 6 : l) é9 ( ) ù ë -- û :- (- ). m) 6 : 4 5 F. OPUESTO Y VALOR ABSOLUTO 8) Realiza las siguientes operaciones: a) b) c) Opuesto de un número d).. El opuesto de un número q, que se denota como op() q es ese número cambiado de e) 9.. signo. Ejemplo: el opuesto de se escribe así: op.. () y tiene el valor de -. f) 6 5 Valor absoluto de un número El valor absoluto de un número p, que se denota como p es la parte positiva de ese número. Ejemplo: El valor absoluto de - se escribe así: - y tiene el valor. g) 8.. h).. e) 5 f) 0 5 g) op h) op i) op op4 j) op5 op k) op op7 l) op op op5. m) op op op4. n) 4 op.. o) op.. p) op4.. q) op. r) op op.

14 Borrador del libro. 4/09/0 s) op op t) op op G. OTROS EJERCICIOS 9) Completa la tabla (- 4) ( - 5) ( - 5) 4- ( 4- ) ( - 4) 4 ( -)- é ( ) 4 ù ë - - û 0) La temperatura más alta registrada ha sido en California* (USA): 57ºC, en 9 y la más baja en la Antártida: 89ºC. Cuál es la diferencia que hay entre estas dos temperaturas? ) Un tiburón está a 50 m bajo el nivel del mar. Si asciende 450 m, cuál será su distancia a la superficie? ) Un globo aerostático que está a 50 m de altura desciende 70 m. Luego asciende 05 m y por último sube 0 m más. A qué altura se encuentra ahora? *En septiembre del 0, la Organización Meteorológica Mundial cambió el record de temperatura máxima que tenía el desierto libio, de 58º, en el año 9, por un registro recogido en el Valle de la Muerte, en California, de 57º, medido en 9. Esto ha sido así al haberse demostrado 90 años después! un error de medida. 4

15 Borrador del libro. 4/09/0 ) Qué dos números nos están indicando las dos flechas en la siguiente escala? 4) Encuentra dos números enteros consecutivos cuya suma es 5) El punto más alto de la tierra es el Monte Everest, a 8848 m de altura sobre el nivel del mar. El punto más bajo, en tierra firme, es la costa del Mar Muerto, a 47 m por debajo del nivel del mar. Cuál es la diferencia de alturas entre esos dos puntos? 6) A la vista del siguiente termómetro (ºC), contesta a las siguientes cuestiones: a) Qué temperatura está indicando? b) Si la temperatura aumenta en 7 grados, qué temperatura marcará? c) Una vez alcanzada esa nueva temperatura, cuántos grados marcará el termómetro si desciende º C? 5

16 Borrador del libro. 4/09/0 7) Durante una ola de frío, se registran las siguientes temperaturas mínimas: CIUDAD Oviedo León Huelva Ávila Ceuta Cádiz Gijón ºC a) Cuál es la diferencia de temperatura entre la ciudad más fría y la más cálida? b) Cuál es la diferencia de temperatura entre Ávila y Oviedo? Y entre Ávila y León? c) Construye una tabla en la que la temperatura de todas estas ciudades sea ocho grados mayor. 8) Un edificio tiene5 plantas, 5 de ellas subterráneas. Tomamos el ascensor en la planta 0. a) Descendemos hasta la planta - 4 y luego subimos hasta la planta 7. Cuántos plantas hay entre esos dos niveles? b) Si estamos en la planta 8 y bajamos plantas, en qué nivel nos encontraremos? 6

17 Borrador del libro. 4/09/0 9) Escribe el número adecuado que haga que las siguientes igualdades sean ciertas a) 4 0 b) 0 7 c) 6 7 d) 7 e) 5 f) 5 g) 4 : h) 5 i) 6 5: 4 5 j) 6 : k) 0: l) 0 El problema más difícil del mundo Desde hace casi 00 años, millones de matemáticos intentan demostrar si es cierta o no la siguiente afirmación: Todo número par* mayor que dos puede escribirse como suma de dos números primos** Ejemplos: 6 ; 8 5; ; 5 7 ; Etc. Será esto cierto, por ejemplo, para el número: ? Nadie lo sabe! Hay prestigio y mucho dinero para el primero que desvele el misterio. Este enigmático problema se llama Conjetura de Goldbach, propuesta por Christian Goldbach en 74. El cero El concepto de 0 tardó mucho en manejarse en nuestra cultura. Tanto que en la forma que tenemos de nombrar los años de la historia, que viene del año 5 D.C, el año cero no existe. Así, hay año antes de Cristo, año antes de Cristo, año después de Cristo, año después de Cristo. Pero no hay año cero. Se desconocía el año cero y así se ha quedado la numeración histórica! *Números pares son números enteros que son múltiplos de dos. Los que no cumplen esto son impares. Ejemplo de números pares:..., 6 4,,, 4, 6,..., 050,... **Número primo es un número natural mayor que que sólo es divisible por si mismo y por la unidad. Ejemplo de números primos:,, 5, 7,,, 7, 9,,... 7

18 Borrador del libro. 4/09/0. POTENCIAS Y RAICES A. CONCEPTO DE POTENCIA Potencia: Es el producto reiterado de un número por si mismo. Se expresa b del siguiente modo: a, en donde a es la base (es el número que se multiplica por si mismo) y b el exponente (indica el número de veces que hay que multiplicar a por sí misma a la base). b a base exponente Ejemplo: 5 significa, es decir, el tres multiplicado 5 veces por sí mismo. 0 Exponente cero, a Cualquier potencia con exponente cero tiene valor. Ejemplo: ) Completa la siguiente tabla POTENCIA BASE EXPONENTE SE LEE ASÍ VALOR Dos elevado a seis ) Escribe en forma de potencia los siguientes productos: 4 a). b). c)... d)... e) f) g) h) (-) ( - )... i) (-7) ( -7) ( -7) ( - 7 )... j) (-) ( -) ( - )... k) (-9) ( -9) ( - 9)... 8

19 Borrador del libro. 0/09/0 ) Desarrolla y halla el valor de cada una de estas potencias a) (- 5).. (-5) (- 5) 5 b) (- 5).. (-5 ) (-5 ) (- 5) -5 c) (- ). d) (- 7). e) (- ) f) (- ). g) (- ) 4. h) (- ) 5. i) (- 5) 4. j) (- 7 ) 4. k) (- 0 ) 5 l) (- 0) 8.. B. POTENCIA DE POTENCIA Potencia de potencia los exponentes se multiplican. b ( ) c bc a a 7. Ejemplo: ( ) ) Expresa en forma de potencia, b a, las siguientes potencias de potencia 4 a) ( ) 4 8 g) ( ) b) ( ) 6 c) ( 5 ) 7 4 h) ( ) i) ( ) - - d) ( ) - (-) j) ( ).. -5 e) ( ) - - f) ( ) k).... l)... 9

20 Borrador del libro. 4/09/0 m) n) 7 o) p). é ù { ê ú } q) ( 5) ë û 4 4 é -ù { ê ú } - r) ( 5 ) ë - é - ù { ê ú } -5 s) ( 9 ) t) ( ) ë - é - ù { ê ú } ë û û û C. PRODUCTO DE POTENCIAS: Multiplicación de potencias con la misma base Los exponentes se suman. b c b c a a a Ejemplo: 5) Expresa en forma de potencia, b a, los siguientes productos de potencias 4 a) 4+ 6 f) b) g) c) h) d) i) e) j) ) Escribe la base de cada potencia en forma de potencia. Luego opera la potencia de potencia que aparece. 7 ( ) a) 7 9 Si tienes dificultades con la descomposición de números acude al tema, punto C: Factorización b)

21 Borrador del libro. 4/09/0 c) d) e) 5... f) g) ( ) ( ) + h) ( ) ( ) i) j) k) l) D. DIVISIONES DE POTENCIAS División de potencias con la misma base Los exponentes se restan. b c b c a :a a Ejemplo: :

22 Borrador del libro. 4/09/0 7) Expresa en forma de potencia, b a, las siguientes divisiones de potencias a) 5 : n) q q p :p - 5 b) : 5 c) 7 :7.. d) 9 4 : 0 94 e) :. f) g) 8 a :a b b a :a.. o) p) q) r) s) t) : : : c :c :4 5 ( ) ( ) : : :4 h) : - -- ( ) + 6 u) 9 :9 i) 5 - :.. v) 8 :4 j) 7-0 :.. w) 5 9 :7... k) 0-5 :.. x) 8 :7... l) 4-5 :5.. y) :7... m) 6 0 b :b -.. E. EXPONENTES NEGATIVOS 8) Expresa las siguientes fracciones, cuyo denominador es una potencia de exponente negativo, en forma de potencia con exponente positivo: a) b) c) d) e) f) g) h) 8 i) j) k) l) - 4 m) n) ( )

23 Borrador del libro. 4/09/0 o) p) q) r) ) Expresa las siguientes potencias en forma de fracción: a) g) ( 5 ) 5 0 b) h) c) i) d) j) e) k) f) 5 - l) F. EJERCICIOS MIXTOS 0) Opera y expresa el resultado en forma de potencia. Si el exponente es negativo, escribe el resultado como una fracción, en donde el denominador es una potencia con exponente positivo. a) ( ) ( ) 5 :( 5 ) 7 ( 5 ) :... b) ( ) ( ) 7 : 7 c) ( ) ( ) - 5 d) ( ) :

24 Borrador del libro. 4/09/0 e) 5 ( ) ( ) f) g) h) i) j) k) l) m) n) ( ) ( 7 ) 7 :7 4 ( ) ( ) : 4 4 ( 5 ) :( 5 ) ( 5 ) 5 ( ) ( ) : ( ) ( ) :... ( 7 ) ( ) 5 ( ) 6 7 ( ) ( ) -5 : :... - ( ) ( ) - 5 : o) - ( ) 5 5 : 4... p) ( ) 5 :(( 5 ) ) 5 5 : ( ) : 5 5 : : 5 5 :

25 Borrador del libro. 4/09/0 q) ( - - ) ( - : ) ( ) ( )... G. RAÍCES CUADRADAS ) Halla el valor de cada una de las siguientes raíces, siguiendo los mismos pasos que el ejercicio a) Raíz de b) Raíz de c) Raíz de d) Raíz de e) Raíz de f) Raíz de g) Raíz de h) Raíz de i) Raíz de j) Raíz de k) Raíz de l) Raíz de m) Raíz de n) Raíz de o) Raíz de p) Raíz de ) Realiza las operaciones indicadas - - ( - ) a) ( 4) 5 b) ( 6-4) + 9 c) ( 49-5) + 6 d) ( 00-64)

26 Borrador del libro. 4/09/0 e) ( 00 - ) - 6 f) ( 4-5) ( 4-0) 7 -(- 6) g) 49 ( 6 00) h) 8 -( 64-69). i) 5 -( 4-49). j) 49 + ( 6-6). k) 00 -( ). l) m) n) o) 4 ( - 8) - 5. p) q) r) ( - 44) s) 6 :(- 5 + )... t) ( 6-00 ): 4. u) 64-- ( 5+ 6).. v) 00 : 5 -- ( - 44).. w) ( 49-6) 4 -- ( 5). x) ( ) y) ( ) + 69 z) ( ) : 9-4 : 6. 6

27 Borrador del libro. 4/09/0 ) Completa la tabla Raíz Cuadrado perfecto anterior Cuadrado perfecto posterior Valor aproximado < 8 < + - < < < 6 < H. OTROS EJERCICIOS 4) Completa la siguiente tabla a ;b a ;b 5 a a a + b b - b b a - a + b ( a- b) ( a+ b) ( b a) - - ( b - a ) 7

28 Borrador del libro. 4/09/0. DIVISIBILIDAD A. DIVISIONES Para una división se cumple: Dividendo resto divisor üï Dividendo divisor cociente + resto cocienteï ) Completa la siguiente tabla División D d c r D d c+ r 5 : : 7 : 5 48 : 8 7 : : 4 97 : 765 : 45 : : 48 Nomenclatura: D es el dividendo d es el divisor c es el cociente r es el resto B. MÚLTIPLOS Y DIVISORES Múltiplos de un número: Son los que se obtienen multiplicando dicho número por, por, por etc. Divisores de un número: Son todos los números menores o iguales que el número y que lo dividen de forma exacta ) Escribe los 5 primeros números múltiplos del. Múltiplos de un número son los que se obtiene multiplicando ese número por, por, por etc. 8

29 Borrador del libro. 4/09/0 Así: ; ; ; 4; 5 son los cinco primero múltiplos del dos, e decir:, 4, 6, 8 y 0. ) Escribe los 5 primeros números múltiplos del. 4) Escribe los 5 primeros números múltiplos de 5. 5) Halla los divisores de 0. Los divisores de un número son aquellos menores o iguales que el número y que lo dividen de forma exacta. Así: 0 : 0; 0 : 5 ;0 : 5 ;0 : 0, es decir: el, el, el 5 y el 0 dividen de forma exacta al 0, por lo que son sus divisores. 6) Halla los divisores de. 7) Halla los divisores de 6. 9

30 Borrador del libro. 4/09/0 C. FACTORIZACIÓN Descomposición factorial Para descomponer un nº compuesto en factores primos se divide ese número por los números primos, tantas veces como haga falta, siguiendo el orden ascendente:,, 5, 7,,, etc. 8) Descompón en productos de factores primos cada uno de los siguientes números: 0, 99, 480, 504, 64,, 575, 648, 04,

31 Borrador del libro. 4/09/0 D. MÁXIMO COMÚN DIVISOR Máximo común divisisor, M.C.D El M.C.D de varios números es el mayor de los divisores comunes de esos números. O lo que es equivalente: los primos comunes elevados al menor exponente 9) Halla el M.C.D de los números a 7 y 4 b 5 - El M.C.D viene dado por los primos comunes elevados al menor exponente: M.C.D a, b 6 0) Halla el M.C.D de los números 4 a 5 y b - El M.C.D viene dado por los primos comunes elevados al menor exponente: M.C.D a, b ) Halla el M.C.D de los números a 5 7 y b 7 ) Halla el M.C.D de 5,45 y70 - Descomponemos en factores primos: El M.C.D viene dado por los comunes elevados al menor exponente: M.C.D 5, 45,70 5

32 Borrador del libro. 4/09/0 ) Halla el M.C.D de 5 y M.C.D 5, 0 4) Halla el M.C.D de 90 y M.C.D 90, 44 5) Halla el M.C.D de 7 y y M.C.D 8,, 7 E. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO Mínimo común múltiplo, m.c.m El m.c.m de varios números es el menor de los múltiplos comunes de esos números. O de otro modo: los primos comunes o no comunes elevados al mayor exponente 6) Halla el m.c.m de los números a 7 y 4 b 5 - El m.c.m viene dado por los primos comunes y no comunes elevados al mayor exponente: 4 m.c.m a, b 5 7

33 Borrador del libro. 4/09/0 7) Halla el m.c.m de los números a 5 y b 7 8) Halla el m.c.m de los números a 5 y b 5 9) Halla el mínimo común múltiplo de 8, 60 y Descomponemos en factores primos: El m.c.m viene dado por los comunes y no comunes elevados al mayor exponente: m.c.m 8, 60, ) Halla el m.c.m de 8, y m.c.m 8,,75 ) Halla el m.c.m de 5,45 y70

34 Borrador del libro. 4/09/ m.c.m 5, 45,70 F. PROBLEMAS ) De cuántas formas se pueden guardar en cajas 0 manzanas, siendo cajas con igual número de manzanas cada una? ) Un alumno con muchas faltas de asistencia va a clase cada 8 días. Y otro, con más faltas aún, va a clase cada 4 días. Hoy han estado los dos en clase. Dentro de cuántos días volverán a coincidir? Hallamos el m.c.m ( 8, 4 ): 8 4 m.c.m ( 8, 4) 7 Tenemos que 0 : 0; 0 : 5;0 : 5 ;0 : 0, es decir: el, el, el 5 y el 0 dividen de forma exacta al 0, por lo que son sus divisores. 4) En un reloj A suena la alarma cada 5 minutos. En otro B cada 0 y en otro C cada 5. Si todos se sincronizan, cuánto tiempo pasará para que las alarmas suenen a la vez? 4

35 Borrador del libro. 4/09/0 5) Hay que almacenar 50 l de leche y 50 l de agua en la despensa del colegio. Como hay poco espacio, los envases tienen que ser iguales y de la mayor capacidad posible. Cuántos envases necesitaremos y qué capacidad tendrá cada uno de ellos? 6) Tenemos un cartón de 00 cm de alto y 75 cm de ancho. Queremos hacer, a partir de ese cartón, láminas cuadradas lo más grande posibles. a) Cuál será la longitud del lado de cada cuadrado? b) Cuántos cuadrados obtendremos del cartón inicial? a) La longitud del cuadrado será el mayor divisor común de 00 y 75. Hallamos el m.c.d ( 75, 00 ) : 75 5 m.c.m ( 70, 00) b) El área del cartón es Acartón cm, mientras que el área de cada cuadrado es A cm. El número de cuadrados cuadrado 7000 es,» cuadrados. Sobra un poco de 65 material. 7) Tenemos una losa de mármol de 0 cm de alto y 90 cm de ancho. Queremos hacer con ella losetas cuadradas lo más grande posibles. a) Cuál será la longitud de cada lado de una de esas losetas? b) Cuántas losetas enteras podremos obtener del mármol inicial? 5

36 Borrador del libro. 4/09/0 4. FRACCIONES A. CONCEPTO DE FRACCIÓN Una fracción son dos cantidades, una a y otra b, que se están dividiendo. Se representa así: a, en donde a se llama numerador y b se llama denominador. b Ejemplo de fracción: 5. Ello significa que el 5 está siendo dividido por el. El 5 es el numerador y el es el denominador. El conjunto de fracciones se conoce como números racionales, el cual se denota con el símbolo. Los números enteros, son realmente un tipo de fracciones. La antigua civilización egipcia y las fracciones: Los antiguos egipcios sentían una profunda atracción por las fracciones, tanto que las de mayor uso se simbolizaban mediante trozos del Ojo de Horus, una especie de amuleto sagrado que daba protección y buena suerte Otra cosa interesante era su rechazo a las fracciones que tenían no tenían al como denominador, exceptuando al. Ellos expresaban cualquier fracción como suma de varias fracciones con numerador. Por ejemplo, en vez de 5 preferían usaban, en su lugar, +. Y en vez de 5 7 Una fracción se puede escribir como suma de fracciones unitarias de muchas formas, pero los egipcios tenían ciertas predilecciones en el modo de hacerlo. Algunas de ellas eran las siguientes: les g las taban las que tenía números pares, ponían como primera fracción a la más pequeña, disponían las fracciones en orden decreciente sin repetición 6

37 Borrador del libro. 4/09/0 ) Completa la tabla siguiente FRACCIÓN NUMERADOR DENOMINADOR SE LEE ASÍ Tres quintos ) Qué fracción representa la parte coloreada de la siguiente figura? Nº total de partes: 0 Nº de partes coloreadas: 6 Fracción: 6 0 ) Qué fracción representa la parte coloreada de la siguiente figura? Nº de partes: Nº de partes coloreadas:... Fracción: 4) Qué fracción representa la parte coloreada de la siguiente figura? Nº de partes: Nº de partes coloreadas:. Fracción: 7

38 Borrador del libro. 4/09/0 5) Qué fracción representa la parte coloreada de la siguiente figura? Nº de partes: Nº de partes coloreadas:. Fracción: 6) Dibuja una figura que se corresponda con la fracción siete novenos 7) Dibuja una figura que se corresponda con la fracción cinco catorceavos 8) Colorea en cada caso la fracción indicada

39 Borrador del libro. 4/09/0 B. EQUIVALENCIA DE FRACCIONES Simplificación de fracciones: Simplificar una fracción es obtener una fracción equivalente más simple. Ello se consigue dividiendo el numerador y el denominador por el mismo número. Cuando esto no se pueda hacer se dice que la fracción es irreducible. Ejemplo: 6 4 se puede simplificar en otra fracción equivalente más sencilla si dividimos el numerador y el denominador por : 6. Tres medios es una fracción irreducible. 4 9) Simplifica siempre que sea posible a) No podemos seguir simplificando porque siete novemos es irreducible Hemos dividido el numerador y el denominador por 5. Hemos dividido el numerador y el denominador por. b) No podemos seguir simplificando porque tres quintos es irreducible Hemos dividido el numerador y el denominador por. c) d) 64 8 e) 5 70 f)

40 Borrador del libro. 4/09/0 g) h) i) j) k) ) Ordena las siguientes fracciones de menor a mayor: 5, 7 5, 6 Para poder ordenar las fracciones dadas las escribimos con un denominador común. Eso se hace así: - Hallo el m.c.m de cada uno de los denominadores y ese será el denominador común: m.c.m, 5, Los nuevos nominadores son los antiguos multiplicados por el cociente entre el m.c.m y el denominador antiguo: ; ; Entonces podemos escribir que: , o lo que es lo mismo:

41 Borrador del libro. 4/09/0 ) Ordena las siguientes fracciones de menor a mayor 7, 5, 7 5 ) Ordena las siguientes fracciones de menor a mayor 6, 5, 7 4 ) Ordena las siguientes fracciones de menor a mayor 0 7, 7 5, 0 4) Ordena las siguientes fracciones de menor a mayor 0 7, 7 5, 0 4

42 Borrador del libro. 4/09/0 5) Escribe tres fracciones equivalentes a cada una de las dadas a) b) c) d) e) f) g) h) ; ; ) Encuentra el término que falta para que las fracciones sean equivalentes a) 4 8 e) 7 70 i) 77 b) c) d) f) g) h) j) k) l) C. FRACCIÓN DE UNA CANTIDAD En la vida cotidiana es muy común que ciertas cantidades sean aumentadas o disminuidas, expresando ese cambio en forma de fracción. Ejemplo: Iván ha gastado 4 de 00. Cuántos euros son? (Multiplicamos la fracción por la cantidad) 4

43 Borrador del libro. 4/09/0 7) Completa la tabla: Fracciones de cantidades El correspondiente de 5 para la fracción será: El correspondiente de 00 para la fracción será: ) El pasado año la bacteria Erwinia carotovora echó a perder los dos séptimos de las toneladas producidas en España de patatas. Cuántas toneladas de patatas se estropearon por esa causa? 9) En un examen de lengua suspenden tres quintas partes de una clase de 5 alumnos. a) Cuántos han suspendido? b) Cuántos han aprobado? c) Qué fracción de la clase ha aprobado? 4

44 Borrador del libro. 4/09/0 D. SUMAS Y RESTAS DE FRACCIONES CON EL MISMO DENOMINADOR En la suma y resta de fracciones con el mismo denominador, los denominadores se conservan sin cambios, mientras que los numeradores se operan. Ejemplos: a) ; b) ) Haz las operaciones indicadas. Simplifica cuando sea posible. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) o) p) q) r) En la suma y resta de fracciones con distinto denominador hay que escribir todas las fracciones de forma que tengan el mismo denominador. Ejemplo: Sea la siguiente suma: + 7. Las fracciones y 7 se pueden escribir de la siguiente 6 forma completamente equivalente: 6 y entonces:

45 Borrador del libro. 4/09/0 E. SUMAS Y RESTAS DE FRACCIONES CON DISTINTO DENOMINADOR ) Haz las operaciones indicadas: a) m.c.m (, ) b) m.c.m (, 5) c) m.c.m (, 6) d) m.c.m ( 4, 4) 7 8 e) m.c.m (,, 6 ) 45

46 Borrador del libro. 4/09/0 5 f) - + m.c.m (,, ) g) m.c.m (,, 6 ) h) m.c.m ( 0, 0, 0 ) i) m.c.m ( 0, 5, 60 ) j)

47 Borrador del libro. 4/09/0 k) -ç æ ö - çè5 ø l) æ ö ç çè8 ø m) æ ö -- ç çè 4 ø n) 5 F. PRODUCTOS Y DIVISIONES ) Haz las operaciones indicadas: a) b)

48 Borrador del libro. 4/09/0 c) d) e) f) g) h) (-) (-) 4 7 (-5)... (-5) (-) : 4 i) 6 (- ) : 7 j) k) l) m) 7 (- ) : (-) : (-) : : G. FRACCIONES Y POTENCIAS Fracción con exponente positivo C æaö a a a a ç çèb ø b b b b C veces Fracción con exponente negativo C æ ö -C C C æaö æ aö æbö b b b b : ç èb ø a ç b ça è ø è ø a a a a ç çè C veces b ø 48

49 Borrador del libro. 4/09/0 ) Calcula el valor de las siguientes fracciones con exponente positivo a) b) c) d) e) f) g) æ ö 7 ç çè ø 8 æ ö 7 7 ç çè ø... æ ö 7 ç çè5 ø... 4 æ ö 7 ç çè0 ø... æ ö 5 ç - 7 çè ø... æ ö 7 ç - 7 çè ø... 4 æ ö - 7 ç çè ø... h) i) j) k) l) m) n) 0 æ ö 7 ç çè ø... 4 æ ö ç - 7 çè ø... 5 æ ö ç - 7 çè 0 ø... æ ö - 7 ç çè4 ø... æ ö -- 7 ç 7 çè 5 ø... æ ö -- ç 7 çè 5 ø... æ ö -- ç 7 çè ø... 4) Calcula el valor de las siguientes fracciones con exponente negativo a) b) c) d) - æö 8 ç çè ø 7 - æ ö 7 7 ç çè ø... - æ ö 7 ç çè5 ø æ ö 7 ç çè0 ø... e) f) g) h) - æ ö 5 ç - 7 çè ø... - æ ö 7 ç - 7 çè ø æ ö - 7 ç çè ø... - æ ö 4 ç - 7 çè 9 ø... H. MIXTOS 5) Realiza las operaciones indicadas. Simplifica previamente los ejercicios k), m) y n). a) : b) : + m.c.m ( 5,7) 5 49

50 Borrador del libro. 4/09/0 c) : d) : - 4 e) (-) 5 (-7) - : 5 (-) f) ì ïæ ö ü í + - ï ç ïî è ø ï g) ì ïæ ö ü í + - ï ç : ïî è 4ø ï h) ì ïæ ö ü 5 í - ï ç : ïî è ø ï i) ç æ ö - - çè7 4 ø j) æ ö : ç çè 5 5 ø 50

51 Borrador del libro. 4/09/0 k) 00 æ ö 0 00 ç : - 0 çè 50 00ø 50 l) ìæ ö (-) ü : í ï + : ï - ç ïî è ø ï m) 00 æ ö 0 00 ç : - 0 çè 50 00ø 50 n) æ ö ç : - çè ø

52 Borrador del libro. 4/09/0 5. NÚMEROS DECIMALES Un número decimal es el que está comprendido entre dos números enteros. Tiene una parte entera (a la izquierda de la coma) y una parte decimal (a la derecha de la coma) A. ORDENACIÓN DE DECIMALES El mayor de dos números decimales será el que mayor parte entera tenga. Si tienen la misma parte entera, será mayor el que mayor parte decimal tenga. Ejemplos: Entre,9 y 4, es mayor 4,, ya que su parte entera es mayor. Pero entre 4,05 y 4,06 es mayor 4,06 ya que su parte entera es mayor. ) Compara estos pares de números decimales a) 9,4 y 9,4 La parte entera de los dos números es 9. Por ello nos fijamos sólo en la parte decimal: 4<4. Entonces : 9,4<9,4 b) 9,7 y 8, c) 4,5 y,9 d) 4, y 4, e) 0,75 y 0,95 5

53 Borrador del libro. 4/09/0 ) Ordena de menor a mayor: a) 0,0; 9,99; 0,0;,00 9,99 < 0,0 < 0,0 <,00 b) 50,405; 50,450; 50,85; 50,90 c) 0,678; 0,0678; 0,687; 0,0698 d),;,0;,;,0 e) 50,05; 50,50; 50,05; 50,5 ) Compara estos pares de números decimales y emplea los signos <, > a),85 y 0,85 De estos dos números negativos será mayor el que menor tenga su valor absoluto. Así que: -,85 < 0,85 b) 5, 85 y 5, 58 c) 5, y 4, d) 00, 5 y 000, 5 e) 00, 00 y 0,000 5

54 Borrador del libro. 4/09/0 4) Ordena de menor a mayor, empleando el signo < a),05;,5;,0;,;, -,5 < -, < -,05 <,0 <,0 b) 60, 5; 60, ; 60,050; 60, 00; 6,5 c) 00, 0; 00, 0; 00,0; 00, 00; 00, d) 0, 04, 5; 0, 05; 0, 0009,9; 0,09; 0, 00 e) 50,7, 5; 0, 005; 500,; 0, 0499; 0, 005 5) Escribe tres números que estén entre los dos que se indican a) 4,5 y 4,4-4,5 < -4,49 < -4,46 < -4,44 < -4,4 b) 5,5 y 5,5 c) 60, y 60, d) 0,54 y 0,5 e) 0,00 y 0,0009 B. FRACCIONES Y NÚMEROS DECIMALES 6) Escribe en forma decimal las siguientes fracciones: a) 9 4 Hacemos la división : 9 4 0,

55 Borrador del libro. 4/09/0 b) 5 c) 5 8 d) 9 e) 8 División de un nº decimal entre 0, 00, 000 La coma se mueve hacia la izquierda tantos lugares como ceros hay. Ejemplo: 6,04:00 0, ) Escribe en forma decimal las siguientes fracciones, pero sin hacer la división a) b) 9 00 c)

56 Borrador del libro. 4/09/0 d) e) División de un nº decimal entre 0,, 0,00, 0,000 La coma se mueve hacia la derecha tantos lugares como ceros hay. Ejemplo: C. DIVISIONES Y MULTIPLICACIONES 8) Efectúa las siguientes divisiones mentalmente a) 75, 45 : 0,0 Movemos la coma dos lugares hacia la derecha porque dividimos por 0,0, que tiene dos ceros: 7545 b) 40,:0, c) 0,9:0,00 d) 0,90:0,000 e) 0,00:0,000 f) 0,00:0,000 56

57 Borrador del libro. 4/09/0 D. CLASIFICACIÓN DE DECIMALES Decimal exacto: Tiene un número limitado de decimales. Ejemplo:,444 Decimal periódico puro: Tiene un número ilimitado de decimales que se repite indefinidamente. Ejemplo:, Decimal periódico mixto: Hay decimales que no se repiten y otros que se repiten indefinidamente. Ejemplo:, ) Indica de qué tipo es cada uno de los números decimales dados (decimal exacto, periódico puro o periódico mixto) a) 6 5 Es decimal exacto porque el número de decimales es finito: 6 5 0, 0 b) 7 c) d) 9 e) 4 5 f)

58 Borrador del libro. 4/09/0 Multiplicación de un nº decimal por una potencia de 0. La coma se mueve hacia la derecha tantos lugares como ceros tiene la potencia de 0. Ejemplo: 5, ) Realiza las siguientes multiplicaciones a) b) 5000 c),5000 d) 0,00 e) 9, f) 0, g) 0, 00 0, 0... h) 0,0040,. i) 0, 000 0, j) 0,00000,0... k) 0, l) 00000, 00. ) Si sumas las columnas obtendrás el mismo valor que sumando las filas o sumando las diagonales. Rellena los cuadros en blanco para que ello sea así. 4,5 6,5,75,5,5,5 5,5 5,50,50 4,75,75,75 0,50,5 E. REDONDEO Redondear un número: Es aproximarlo según las siguientes reglas: - Si el valor de la primera cifra que se sustituye es menos que 5, la cifra anterior no varía. - Si el valor de la primera cifra que se sustituye es mayor o igual que 5, la cifra anterior se aumenta en una unidad. 58

59 Borrador del libro. 4/09/0 ) Redondea a las centésimas los siguientes números decimales Número decimal Redondeo a una cifra decimal Redondeo a dos cifras decimales,78»,,8 5,66» 4,46» 06,5» 0,6» 0,05» 0,67» 0,94»,846»,055» F. REDONDEO ) Con la vista puesta en la figura, contesta a las siguientes cuestiones: a) Cuál es el número de triángulos pequeños necesarios para cubrir todo el cuadrado? b) Y de triángulos medianos? c) Y de triángulos grandes? d) Y de cuadrados pequeños? e) Y de romboides 4) Fijándote en la figura del ejercicio anterior, completa la siguiente tabla: Fracción Decimal Triángulo pequeño Triángulo mediano Triángulo grande Cuadrados pequeños Romboides 59

60 Borrador del libro. 4/09/0 6. FACTOR COMÚN FACTOR COMÚN Cuando una suma tiene varios factores comunes es posible transformar la suma en un producto: abaca bc En este caso, el factor común es a. El proceso inverso de sacar el factor común es aplicar la propiedad distributiva: a bc abac ) + + ) + + ) + 4) a + b ( + ) 5) a + b 6) 4p - 4q 7) a b + a c + a d a ( + + ) 8) p q -r q q ( - ) 9) pq + rq -sq.. 0) aa -ab + ac.. ) a b b + a a b a b ( + ) )

61 Borrador del libro. 4/09/0 ) ) ) ) ) xxxxxy x... 8) ) abc ab ac 0) pq pqr qr ) r s + r r s + r ( + ) ) x y + z + ( + ) ) a b + a a b + ( + ) 4) + + 5) 5-5 x. 6) xy xz x 7) aabac 8) pq + p+ pr. 9) ab + a b abb + aab ab ( + ) 0) p q+ q p... 6

62 Borrador del libro. 4/09/0 ) ) ) p q + p q r p p q q + p q r ( + ) 4) r s+ rs + rs rrs + rss... 5) x + 6x xx + x.... 6) x + 9x.. 7) 5x - 5x.. 8) 8a - 6a. 4 9) xy + 4xz... 40) 4p + 7pq + 7r... 4) 0x y- 0x y.. 4) 0ab- a + 0ac 5ab - a + 5ac... 4) abc + 9ab- abd. 44) 4x x y 6x... 45) xy 5xy 6x y. 46) abc 6ab 6a bc.. 47) xy 4x y 0x y... 6

63 Borrador del libro. 4/09/0 7. SIMPLIFICAR. x x xx 5 x x x x x x + 4. x x x x x x 5 x x 4. 5 a a 6 a a b b b 4 5 b b 6 5 x x x 6 x x x x 4 5x x x x 8-6 x x x 5x x x 5x 6 x 5x 4 x 5x 7x x 7x a b 6 a 5b. p q r p q 5r a+ b a ( + b) a+ b c+ d c ( + d) c+ d x+ y z + t ab + bc bc 6

64 Borrador del libro. 4/09/0 5. ab -a b ab ab ( b - a) ab b - a 6. a a+ ab a b a + b ( + ) 7. x xy + x 8. r r+ rs 9. 4x x x x- 4. 6x - x x 4. x+ x+ x + ( x + ) 5. x+ 5 x x- 5 x-5 7. x+ x x- x x- 6 x-9 64

65 Borrador del libro. 4/09/ x- 5 8x-0 5x 0x x y -5x -0x - xy 9xy-y. 4xy-xy 8xy- 4xy a b - a 9ab-a 7pq -4p 4pq -8p 6. ab-ab ab -ab 65

66 Borrador del libro. 4/09/0 8. ECUACIONES Concepto de ecuación: Una ecuación es un signo y letras y números a un lado y a otro. Cada lado se llama miembro. Las letras se llaman incógnitas. x 4 9 x er o miembro miembro Resolver una ecuación es hallar el valor de esos términos desconocidos, que en el ejemplo anterior son las x. Ecuaciones equivalentes Sumando, o restando, o multiplicando o dividiendo los dos miembros de una ecuación por el mismo número, obtendremos una ecuación equivalente. Resolver una ecuación no es más que encontrar una ecuación equivalente a la dada en la que en un miembro aparece solo la incógnita. Ejemplos de ecuaciones equivalentes a una dada. La ecuación x7 es equivalente a esta otra: x 7, en donde a los dos miembros se le ha sumado el número. La ecuación x7 es equivalente a esta otra: x 7, en donde a los dos miembros se le ha sumado el número x x La ecuación 7 es equivalente a esta otra: 7, en donde se han multiplicado los dos miembros por. x 7 La ecuación x 7 es equivalente a esta otra:, en donde se han dividido los dos miembros entre. A. ECUACIONES DEL TIPO x+ab ) Resuelve las siguientes ecuaciones: a) x+ 4 Para x se quede sola en un miembro, restamos el número a ambos miembros: b) x- 4 x x 66

67 Borrador del libro. 4/09/0 Para que x se quede sola en un miembro, sumamos el número 4 a ambos miembros: c) x- 5-8 x Para que x se quede sola en un miembro, sumamos el número.. a ambos miembros y operamos:... d) x x x - - x x - e) x x f) x j) 6+ + x- 9+ n) -- x g) x k) x + 4 o) x- h) x l) 4- x p) -- 7 x+ + 5 i) - + x+ - 8 m) x q) x

68 Borrador del libro. 4/09/0 r) x s) x t) x B. ECUACIONES DEL TIPO axb ) Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 0x 60 Ecuación axb Se divide ambos miembros entre a El 0 que multiplica a la x se puede quitar dividiendo ambos miembros entre 0: 0x 60 0 x x 0 b) x - 4 El que multiplica a la x se puede quitar dividiendo ambos miembros entre : c) - x - 4 f) - 40x 5 i) - x - d) - 0x 5 g) 0x 50 j) - 04x e) 4x - 0 h) - 5x - 55 k) 5x

69 Borrador del libro. 0/09/0 C. ECUACIONES DEL TIPO ax+bc ) Resuelve las siguientes ecuaciones: a) x+ Ecuación ax+bc Primero se restan ambos miembros por b y luego se dividen ambos miembros entre a. Para despejar x damos dos pasos: a. A los dos miembros se les resta : x x 9 b. Ambos miembros se dividen entre : x 9 9 x b) 9x 4 4 Para despejar x hay que dar dos pasos: a. Sumar a ambos miembros la cantidad b. Dividir ambos miembros entre.. (simplifica el resultado) c) 0x- 4- d) 8x

70 Borrador del libro. 4/09/0 e) 5x- x+ x 8 f) x- x + 4x - 0 D. ECUACIONES DEL TIPO ax+bcx+d 4) Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 9x- x - 4x Ecuación ax+bcx+d Se convierte en una ecuación del tipo ex+fg haciendo lo siguiente: - A los dos miembros se les resta cx. - A los dos miembros se les resta b Para despejar x hay que dar dos pasos: a. Sumamos 4x a los dos miembros y simplificamos: 9x - x + 4x - 4x + 4x x b. Dividimos ambos miembros entre (simplifica el resultado) b) 7x- - 5x a. Añadimos 5x a los dos miembros y también la cantidad, simplificando luego: b. Dividimos ambos miembros entre 70

71 Borrador del libro. 4/09/0 c) x + 9 x- 4 a. Restamos x en los dos miembros y luego restamos también en los dos miembros, simplificando: b. Dividimos ambos miembros entre : d) 5x + x- 6 h) 7 - x 4x + 6 e) x- - x + i) - - 5x 7x + f) 0x- 0 - x + 5 j) - - 5x 7x + g) - x- + 4x k) 5x 7x

72 Borrador del libro. 4/09/0 E. ECUACIONES CON DENOMINADOR 5) Resuelve las siguientes ecuaciones: a) b) x + 7 m.c.m(,7). Entonces: 7 x 7 7 7x x x x 7 x - 4 Ecuaciones con denominador Los denominadores se quitan buscando el común denominador y transformando la ecuación en una del tipo ax+bc, que resolveremos como de costumbre. cuando todos los denominadores son iguales, se quitan m.c.m(4, ). Entonces: 4 x x + + c) x + 4 m.c.m(, 4) 4. Entonces: x

73 Borrador del libro. 4/09/0 d) 5x m.c.m(, 6,7) - - e) x m.c.m(, 4, 6,8) f) x + x- + x 4 m.c.m(, 4) 7

74 Borrador del libro. 4/09/0 F. ECUACIONES EN LAS QUE APARECEN PARÉNTESIS 6) Resuelve las siguientes ecuaciones: a) -4(- x) x x - 4x - + 4x 9 x 9 b) -4(-x)-(-- 5x) - + x 4 c) -4(-x)-(-- 5x) (x-x- ) d) x- x 8 m.c.m(,8) e) x+ x+ + 6 m.c.m(,,6) 74

75 Borrador del libro. 4/09/0 f) (x- 4) 5(x + ) x + 4 m.c.m(,, 4) g) (x- 4+ x) 5(x-) (x-) - 4 m.c.m(,, 4) G. OTROS TIPOS DE ECUACIONES 7) Resuelve las siguientes ecuaciones: a) x m.c.m x, x x x x x x x x x x x x Hay un método que en principio es más sencillo. Consiste en multiplicar en cruz y eliminar los denominadores: x x x b) 5 7x 75

76 Borrador del libro. 4/09/0 m.c.m,7x 4x x 4x 4x 4x 7x 7x x 4x c) 5-7x m.c.m,,7x 4x 4x 4x 4x 7x 7x 4x - 4x 4x 4x d) x m.c.m,, x 6x 6x 6x 6x 6x x + - 4x 76

77 Borrador del libro. 4/09/0 e) x -x 5 m.c.m,,7x x 5 ( - x) 5 ( - x) 5 - x 5 f) - x 77

78 Borrador del libro. 4/09/0 9. PROBLEMAS DE ECUACIONES ) Completa la siguiente tabla Lenguaje ordinario Lenguaje algebraico Un número cualquiera más x+ Un número cualquiera menos El doble de un número cualquiera El triple de un número cualquiera La mitad de número cualquiera La quinta parte de un número cualquiera La sexta parte de un número cualquiera La décima parte de un número cualquiera La séptima parte de un número cualquiera menos su mitad Un número menos el doble del anterior Un número más su triple Un número menos su cuadrado El consecutivo de un número cualquiera x+ Un número más dos veces su consecutivo Un número menos el cuadrado de su consecutivo El triple de un número menos el doble de su consecutivo La suma de tres números consecutivos La suma de los cuadrados de dos números consecutivos El resultado de sumar al número el anterior y el posterior El triple del resultado de restar 5 a un número 78

79 Borrador del libro. 4/09/0 ) Fui a la librería con 00 euros y compré libros Cuánto me costaron si uno valía el doble que el otro? - Los euros que cuestan el libro barato: x - Los euros que cuesta el libro caro: x - La relación entre los dos libros: x x 00 - Resolvemos la ecuación: x x 00 x x 00 x x, Conclusiones: - El libro barato cuesta, euros. - El libro caro cuesta, 66, 66 euros. ) Fui a la librería con 60 euros y compré libros Cuánto me costaron si el más caro valía el doble de uno y el triple del otro? - Los euros que cuestan el libro barato: - Los euros que cuesta el libro intermedio: - Los euros que cuesta el libro más caro:. - La relación entre los tres libros:. - Resolvemos la ecuación:.... Conclusiones: - El libro más barato cuesta - El libro intermedio cuesta - El libro más caro cuesta 4) Cuántos años tiene Ricardo si su hermano Pelayo tiene uno más que él y entre los dos suman 5 años? - Años de Ricardo, en función de x: - Años de Pelayo, en función de x: - La relación entre sus edades: - Resolvemos la ecuación: Conclusiones: - La edad de Ricardo es - La edad de Pelayo es 79

80 Borrador del libro. 4/09/0 5) La suma de las edades de mis padres es 84 años. Si mi madre tiene dos años menos que mi padre, que edad tiene cada uno? - Edad de mi padre: - Edad de mi madre: - Relación entre sus edades: - Resolvemos la ecuación: Conclusiones: - La edad de mi padre - La edad de mi madre 6) Si al dinero que tengo le sumo su triple y le resto 0, me quedan 8. Cuanto dinero tengo? 7) Las dos terceras partes de una clase aprueban un examen. Si hay 6 aprobados, cuántos alumnos hay en la clase? 8) Si Juan compra dos entradas para el concierto le sobran ; en cambio, si compra entradas le sobran. Averigua cuánto cuesta cada entrada. 80

81 Borrador del libro. 4/09/0 9) Si a la edad que tiene mi prima le sumo dos años me da la mitad de la edad de mi hermano. Cuántos años tienen mi prima y mi hermano? 0) Perfecto tiene 40 años y su hijo Iván 0. Cuántos años han de pasar para que la edad de Perfecto sea el triple de la edad de Iván? ) Larisa es tres años más joven que su hermana Ramona y un año mayor que su hermano Eusebio. Entre los tres igualan la edad de su madre, que tiene 8 años. Cuál es la edad de cada uno? ) Las vacas y las gallinas de una granja dan un total de 60 cabezas y 80 patas. Cuántas vacas y gallinas hay en total? 8

82 Borrador del libro. 4/09/0 El papiro de Ahmes Volvemos a hacer referencia a Egipto. Se conserva una colección de problemas matemáticos, de hace 4000 años, en un papiro de 6 metros de largo y 0, de ancho, conocido como papiro de Ahmes, reproducido en la imagen inferior. En el contexto del presente tema es posible resolver varios de estos problemas. Dejamos el enunciado de algunos de ellos. Problema 4 del papiro de Ahmes ) Una cantidad y su séptima parte suman 9. Cuál es la cantidad? Problema 6 del papiro de Ahmes 4) Una cantidad y su cuarta parte suman 5. Cuál es la cantidad? Problema 9 del papiro de Ahmes 5) A una cierta cantidad se le suman sus dos terceras partes, a la suma se le añade su tercera parte y la tercera parte de todo eso es 0. Cuál es la cantidad? 8

83 Borrador del libro. 4/09/0 0. PROPORCIONALIDAD A. PROPORCIONALIDAD DIRECTA Dos magnitudes son directamente proporcionales si al aumentar una de ellas la otra aumenta de forma proporcional, o de forma equivalente, si al disminuir una de ellas la otra disminuye de forma proporcional. Ejemplo: Si un libro cuesta 0 euros, dos libros costarán 40 euros, tres libros 60 euros,, etc. Al aumentar el número de libros aumenta el número de euros y al disminuir el número de libros disminuye el número de euros. Pongamos esto en forma de tabla: Libros 4 5 Euros Observamos que: 4 5 0,05. Ese número es la razón de proporcionalidad del problema ) Observa la siguiente tabla. Intenta completarla y responde a las siguientes cuestiones: a) La proporcionalidad es directa o inversa? b) Cuál es la razón de proporcionalidad? c) Qué distancia se recorre en una jornada? Velocidad (km/h) Distancia recorrida en una jornada (km) ) Observa la siguiente tabla. Intenta completarla y responde a las siguientes cuestiones: a) La proporcionalidad es directa o inversa? b) Cuál es la razón de proporcionalidad? c) Qué masa tiene una silla? Número de sillas 7 9 Masa (kg)

84 Borrador del libro. 4/09/0 0) Quince libros cuestan 00. Cuánto costarán 7 libros?. Tabla de datos. Tabla de proporcionalidad libros x libros üï ï P. Directa ï ï. Ecuación x 00 7 x 40 7 x 5 ) Un árbol de 5 m da una sombra de 7 m. Qué sombra da un edificio de 5 m?. Tabla de datos. Tabla de proporcionalidad altura (m) sombra (m) x altura sombra üï ï... ï ï. Ecuación ) Un alumno tarda en escribir palabras en 0 s. Cuánto tiempo tardará en escribir, como mínimo, una redacción de 50 palabras?. Tabla de datos. Tabla de proporcionalidad palabras s palabras s üï ï P. Directa ï ï. Ecuación 84