FORMAS MODULARES CUATERNIÓNICAS

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1 FORMAS MODULARES CUATERNIÓNICAS GONZALO TORNARÍA 1. Álgebras de cuaterniones Sea F un cuerpo de característica. Dados a, b P F ˆ F t0u construimos un álgebra sobre F con base t1, i, j, ku, donde la multiplicación está dada por i a, j b, y k ij ji. La tabla completa de la multiplicación puede obtenerse a partir de éstas relaciones. Por ejemplo k ijij ip ijqj i j ab. A esta álgebra la denotaremos pa, bq F y diremos que es un álgebra de cuaterniones. Esta construcción es una generalización del álgebra de cuaterniones de Hamilton, que es H p 1, 1q R. Para x x 0`x 1 i`x j`x 3 k P H denimos x x 0 x 1 i x j x 3 k y la norma νpxq x x x 0 ` x 1 ` x ` x 3. Como νpxq P Rˆ para x 0 deducimos que H es un álgebra de división. En general, un álgebra de cuaterniones no necesariamente es un álgebra de división: Proposición 1.1. Si a es un cuadrado en F ˆ, entonces pa, bq F M pf q. Demostración. Si a α con α P F ˆ, podemos denir un homomorsmo de álgebras φ : pa, bq F Ñ M pf q por φpiq p α α q, φpjq ` 1 b, φpkq p α b α q. Es fácil vericar que cumple las relaciones, y como tφp1q, φpiq, φpjq, φpkqu es linealmente independiente sobre F (pues α α) se sigue que φ es un isomorsmo. Cuando a no es un cuadrado en F, podemos considerar el cuerpo K F p? aq y resulta que pa, bq F es una subálgebra de pa, bq K M pkq. Denotemos σ al automorsmo no trivial de K{F, entonces podemos describir explícitamente pa, bq F como pa, bq F tp u b v v σ u σ q : u, v P Ku. Notemos que pa, bq K se obtiene por extensión de escalares a partir de pa, bq F, es decir que pa, bq K K b pa, bq F. Proposición 1.. El álgebra pa, bq F es un álgebra central simple sobre F. Demostración. Si a es un cuadrado, entonces pa, bq F M pf q que se sabe es central y simple. Si a no es un cuadrado, podemos considerar el cuerpo K F p? aq como arriba. Como pa, bq F b K M pkq es un álgebra central y simple sobre K, se sigue fácilmente que pa, bq F es un álgebra central y simple sobre F. Corolario 1.3. O bien pa, bq F es un álgebra de división, o bien pa, bq F M pf q. Demostración. Se sigue de la clasicación de las álgebras centrales simples. 1

2 Se puede probar que si D es un álgebra central simple de dimensión 4 sobre un cuerpo F de característica entonces D pa, bq F para algunos a, b P F ˆ. Por eso habitualmente se dene un álgebra de cuaterniones como un álgebra central simple de dimensión 4. Esta denición es adecuada incluso en característica. Veremos ahora cómo denir la norma, lo que nos permitirá caracterizar las álgebras de cuaterniones de división. Un álgebra de cuaterniones D pa, bq F posee una involución canónica : D Ñ D que denimos, para x x 0 ` x 1 i ` x j ` x 3 k P D, como x x 0 x 1 i x j x 3 k. Notemos que es una involución F -lineal que deja jo F y que pxyq y x. Denimos la traza y la norma (reducidas) de x como τpxq x ` x x 0, νpxq x x x x x 0 a x 1 b x ` ab x 3. Como x px ` x q x ` x x 0, tenemos que x P D es raiz de T τpxq T ` νpxq P F rt s, que llamamos polinomio característico (reducido) de x. Observación. Por lo anterior, si x R F entonces F rxs es un álgebra de dimensión con base t1, xu. Se sigue que la traza y la norma quedan determinadas por la relación x τpxq x νpxq y la involución canónica por x τpxq x. Ejemplo 1. En el álgebra de matrices M pf q la involución canónica está dada por p w u v t q ` t v, w u mientras que la traza y norma reducidas estarán dadas por la traza y el determinante de la matriz, respectivamente: τ p u v w t q u ` t, ν p u v w t q ut vw. La norma nos permite caracterizar los elementos invertibles en un álgebra de cuaterniones D. En efecto, x P D es invertible si y solamente si νpxq P F ˆ, y en tal caso el inverso de x está dado por x 1 νpxq 1 x. Proposición 1.4. Sea D pa, bq F un álgebra de cuaterniones sobre F. Son equivalentes (1) D M pf q. () D no es un álgebra de división. (3) La forma cuadrática ν es isotrópica en D (tiene ceros no triviales). (4) La forma cuadrática a x ` b y representa 1. Demostración. El Corolario 1.3 prueba (1) ô (). La equivalencia () ô (3) sigue de la caracterización de los elementos invertibles en D. La implicación (4) ñ (3) es clara. Falta probar (3) ñ (4). Sea x P D, x 0 tal que νpxq 0. El ideal Dx, como espacio vectorial sobre F, tiene dimensión, entonces existe un y P Dx, y 0 tal que y y 0 ` y 1 i ` y j, es decir νpyq y0 a y 1 b y 0. Para concluir, si y 0 0 se sigue que a x ` b y representa 1, mientras que si y 0 0 se sigue que a x ` b y es isotrópica, pero una forma cuadrática isotrópica es universal y por lo tanto representa 1.

3 1.1. Clasicación de álgebras de cuaterniones. En esta sección vamos a mencionar resultados de clasicación de álgebras de cuaterniones sobre algunos cuerpos, particularmente sobre Q. Proposición 1.5. Toda álgebra de cuaterniones sobre C es isomorfa a M pcq. Demostración. Todo a P Cˆ es un cuadrado, entonces pa, bq C M pcq. Proposición 1.6. Un álgebra de cuaterniones sobre R es isomorfa a M prq o a H. Demostración. Si a ą 0 o si b ą 0 entonces pa, bq R M prq. Por otra parte si a x y b y entonces es claro que p x, y q R p 1, 1q R H. Proposición 1.7. Toda álgebra de cuaterniones sobre un cuerpo nito F q es isomorfa a M pf q q. Demostración. Vamos a probar que a x ` b y 1 tiene solución en F q. En efecto, la imágen de a x tiene pq ` 1q{ elementos y la imágen de 1 b y también tiene pq ` 1q{ elementos. Por el principio del palomar, tienen un valor en común, es decir una solución de a x 1 b y como armamos. Sea D un álgebra de cuaterniones sobre Q. Consideramos D 8 D b R, que es un álgebra de cuaterniones sobre R. Decimos que D es denida cuando D 8 H y que D es indenida cuando D 8 M prq (esto corresponde a que la forma norma ν sea denida o indenida, respectivamente). Es claro que la clase de isomorsmo de D 8 es un invariante de D; por ejemplo, p 1, 1q Q fl p 1, 3q Q Sin embargo, esto no alcanza para tener una clasicación sobre Q. Por ejemplo las álgebras D p 1, 1q Q y D 1 p 1, 3q Q son ambas denidas pero no son isomorfas. Consideremos las respectivas formas normas: νpxq x 0 ` x 1 ` x ` x 3, ν 1 pyq y 0 ` y 1 ` 3 y ` 3 y 3. Es fácil ver que la segunda no tiene ceros no triviales módulo 9, mientras que la primera los tiene (1 ` ` 9). ¾Es posible usar esto para probar que p 1, 1q Q fl p 1, 3q Q? Esto presenta algunas dicultades. En primer lugar los enteros módulo 9 no son un cuerpo. Si trabajamos módulo 3, para tener un cuerpo, entonces ambas formas tienen ceros no triviales módulo 3, y de todas maneras ya vimos que hay una única clase de isomorsmo de álgebras de cuaterniones sobre F 3. Por otra parte Q no está contenido en los enteros módulo 9 o módulo 3, por lo que no es tan claro el cambio de base. Para resolver estas dicultades, debemos emplear el cuerpo de los números 3-ádicos Q 3. En primer lugar Q Ă Q 3 por lo cual podemos considerar el cambio de base D b Q 3. Por otra parte, las armaciones hechas arriba acerca de los ceros módulo 9 de las formas normas se traducen en: ν es isotrópica en D b Q 3 (tiene ceros no triviales), y ν 1 es anisotrópica en D 1 b Q 3 (no tiene ceros excepto el trivial ν 1 p0q 0). Entonces D b Q 3 M pq 3 q mientras que D 1 b Q 3 es un álgebra de división. Interludio: los números p-ádicos. Si consideramos el valor absoluto usual en Q obtenemos una métrica en Q cuya completación son los números reales. De la misma manera podemos construir, para cada primo p, los números p-ádicos como la completación de Q con respecto al valor absoluto p-ádico. 3

4 Al cuerpo de los números p-ádicos lo denotaremos Q p, y en ocasiones denotaremos Q 8 al cuerpo de los números reales; estos son ejemplos de cuerpos locales. Usaremos la letra v para referirnos a un primo p o al primo arquimediano 8. Para construir el valor absoluto p-ádico denimos la valuación p-ádica v p : Qˆ Ñ Z dada por v p pp r a b q r siempre que p a, b. Finalmente denimos x p p vppxq para x P Qˆ, y 0 p 0. Es un ejercicio vericar que x p es un valor absoluto. Como Q p es la completación de Q, todo x P Q p puede ser escrito como límite de una sucesión de números racionales. Observar que p r p Ñ 0 cuando r Ñ 8, y podemos escribir x como una serie ř něn 0 a n p n. Las sumas parciales corresponden a considerar x módulo p r. Por más detalles consultar la sección.1 de las notas de Pacetti. En nuestro ejemplo, la forma cuadrática y0 ` y 1 ` 3 y ` 3 y 3 no tiene ceros no triviales en Q 3, pues no los tiene módulo 9. Por otra parte, la forma cuadrática x 0 ` x 1 ` x ` x 3 tiene ceros módulo 9, e.g. 1 ` ` 0 pmod 9q. A partir de este cero es posible construir ceros en Q 3 mediante una construcción conocida como Lema de Hensel. Una solución es 1 ` ` x 0 con x ` 3 ` 3 4 ` 3 6 ` 3 9 ` P Q 3. Proposición 1.8 (Clasicación local). Hay exactamente dos clases de isomorsmo de álgebras de cuaterniones sobre Q v. En otras palabras, además del álgebra de matrices M pq v q, existe un álgebra de cuaterniones de división sobre Q v, única a menos de isomorsmo. Cuando D es un álgebra de cuaterniones sobre Q, podemos considerar D v D b Q v para todo v (primo o 8). Decimos que D ramica en v cuando D v es un álgebra de división. La ramicación de D, denida como el conjunto de los v en los que D ramica, es un invariante de D. Teorema 1.9 (Clasicación global). Sean D y D 1 dos álgebras de cuaterniones sobre Q. (1) D D 1 ðñ D v D 1 v para todo v ðñ D y D1 tienen igual ramicación. () La ramicación de D es un conjunto nito de cardinal par. (3) Dado un conjunto de lugares que sea nito y de cardinal par, existe un álgebra de cuaterniones sobre Q con esa ramicación. Es un ejercicio probar que si a, b P Z y p ab entonces pa, bq Qp M pq p q. Es decir que pa, bq Q solo puede ramicar en los divisores de ab o en 8. Ejemplo. Sea N un primo (nito). De acuerdo al teorema existe un álgebra de cuaterniones ramicada en tn, 8u. Por ejemplo: (1) El álgebra p 1, 1q Q ramica en t, 8u. () Si N 3 pmod 4q, el álgebra p 1, Nq Q ramica en tn, 8u. (3) Si N 5 pmod 8q, el álgebra p, Nq Q ramica en tn, 8u. Cuando F es un cuerpo de números, los lugares de F corresponden a las inmersiones de F en R o en C (lugares arquimedianos) y a los ideales primos en su anillo de enteros (lugares no arquimedianos). Las completaciones de F con respecto a los lugares arquimedianos son R o C, y las completaciones con respecto a los lugares no arquimedianos son extensiones nitas de los Q p. 4

5 Los resultados mencionados se generalizan para F. En otras palabras, si D es un álgebra de cuaterniones sobre F, la ramicación de D (el conjunto de lugares de F donde D es de división) es un conjunto nito de cardinal par que deterimina la clase de isomorsmo de D. Además, dado un conjunto de lugares de F que sea nito y de cardinal par, y que no contenga ningún lugar complejo, existe un álgebra de cuaterniones sobre F con esa ramicación. 1.. Órdenes de cuaterniones. Sea D un álgebra de cuaterniones sobre Q. Un retículo en D es un subgrupo M Ă D tal que M es nitamente generado y tal que QM D. Equivalentemente M es un Z-módulo libre de rango 4; en otras palabras existe una base td 1, d, d 3, d 4 u de D que genera M como Z-módulo. Recíprocamente, cualquier base de D genera un retículo en D. Usaremos la notación rd 1, d, d 3, d 4 s para referirnos al retículo generado por esos elementos. La norma de un retículo M se dene como νpmq mcd tνpdq : d P Mu, que existe pues M es nitamente generado. En efecto νprd 1, d, d 3, d 4 sq mcd td 1, d, d 3, d 4 u. Un elemento x P D es integral si τpxq, νpxq P Z. Equivalentemente Zrxs es nitamente generado como Z-módulo. Un orden en D es un retículo R Ă D que es un subanillo, esto es tal que 1 P R y R es cerrado por el producto. Los elementos de R deben ser integrales, pues si x P R entonces Zrxs Ă R debe ser nitamente generado; sin embargo el conjunto de los elementos de D integrales no forma un anillo! como y ` 1 0 1{ 1 son elementos integrales en Por ejemplo, tanto x ` 1 1{ 0 1 M pqq, pero x ` y no lo es. En efecto, tanto Zrxs como Zrys son nitamente generados como Z-módulos, pero no así Zrx ` ys. Si R es un orden en D su determinante se dene det R detpτpd i d jqq P Z donde td 1, d, d 3, d 4 u es una base de R. Es fácil ver que no depende de la elección de la base. Además det R es un cuadrado, y denimos el discriminante de R como disc R? det R. Cuando R 1 Ă R tenemos que disc R 1 rr 1 : Rs disc R y deducimos que existen ordenes maximales (aquellos con discriminante minimal). Proposición Si R es un orden maximal en D entonces disc R es el producto de todos los primos donde D ramica. En particular todos los ordenes maximales tienen igual discriminante, que es libre de cuadrados; a este número lo denotamos disc D. Ejemplo 3. Sea D p 1, 1q Q. Tenemos un orden R r1, i, j, ks (cuaterniones de Lipschitz) pero su discriminante es 4, entonces R no es maximal. Sea ρ 1`i`j`k, que es integral, entonces R ` Z ρ es un orden y es maximal (cuaterniones de Hurwitz). Ejemplo 4. Sea D p 1, Nq Q donde N 3 pmod 4q es primo. Entonces el retículo r1, i, 1`j s es un anillo y tiene discriminante N, por lo tanto es maximal., i`k Fijemos un orden R en un álgebra de cuaterniones D. Un ideal a derecha para R es un retículo I Ă D tal que IR I. Decimos que I es propio si es localmente principal (cuando R es maximal todos los ideales son propios). Denotaremos IpRq al conjunto de ideales a derecha para R propios. El grupo multiplicativo Dˆ actúa en IpRq por multiplicación a la izquierda. Las órbitas de IpRq por esta acción se llaman clases de ideales. Llamaremos hprq al número de clases de ideales de R. Teorema El número de clases de ideales hprq es nito. 5

6 . Formas modulares cuaterniónicas En esta sección haremos una introducción a las formas modulares cuaterniónicas en un caso particular. En las notas de Harris se verá una denición más general. Sea D un álgebra de cuaterniones sobre Q; suponemos que D es denida (es decir, D 8 D b R es un álgebra de división). Denición.1. Dado un orden R Ă D, una forma modular cuaterniónica para R es una función f : IpRq Ñ C tal que fpd Iq fpiq para todo d P Dˆ. Denotaremos MpRq al espacio de formas modulares cuaterniónicas para R. Dado un ideal I, la función característica de la clase de I es una forma modular cuaterniónica que denotaremos ris. A efectos computacionales es conveniente jar un conjunto de representantes de las clases de ideales ti 1,..., I h u, de modo que tri 1 s,..., ri h su es una base de MpRq. Para cada ideal I P IpRq el grupo Γ I td P Dˆ : d I Iu{Zˆ es nito, ya que es discreto dentro de Dˆ8{Rˆ SO 3 prq que es compacto. Denotamos w I #Γ I, que depende solamente de la clase de I. Denimos un producto interno en MpRq que está dado en la base por # xris, rjsy : 1 # d P Dˆ : I d J ( w I si ris rjs, 0 si ris rjs. Notar que tri 1 s,..., ri h su es una base ortogonal de MpRq. El grado de una forma modular se dene como un funcional lineal tal que grprisq 1. Alternativamente sea e 0 ř h i 1 1 w Ii ri i s, entonces grpfq xf, e 0 y. Decimos que f es cuspidal si es ortogonal a e 0, equivalentemente si grpfq 0. A continuación vamos a denir una familia de operadores en MpRq que llamaremos operadores de Hecke. Dado un ideal I P IpRq y m ě 1 un entero denimos T m piq I 1 P IpRq : I 1 Ă I, νpi 1 q m νpiq (. Entonces el operador de Hecke t m : MpRq Ñ MpRq se dene, en la base, como t m ris ÿ ri 1 s. I 1 PT m piq Lema.. Sean I, J P IpRq y m ě 1. Entonces J P T m piq ô m I P T m pjq. Demostración. Supongamos que J d I con d P Dˆ. Si d I P T m piq entonces νpdq m y d I Ă I. Entonces también d I Ă I y concluimos que m I d d I Ă d I, y comparando normas concluimos que m I P T m pd Iq. Cuando I y J no son equivalentes se prueba del mismo modo pero localmente. Proposición.3. Los operadores de Hecke en MpRq satisfacen (1) t m es autoadjunto. () Si pm, m 1 q 1 entonces t m t m 1 t m 1 t m t m m 1. (3) Si p disc R es primo entonces t p k` t p k`1 t p p t p k. (4) Si pm m 1, disc Rq 1 entonces t m t m 1 ř d pm,m 1 q d t m m 1 {d 6

7 En particular los operadores t p con p disc R primo generan un álgebra conmutativa T R que contiene todos los operadores t m con pm, disc Rq 1. Además éstos últimos generan T R como Z-módulo. Demostración. Calculamos xt m ris, rjsy ÿ I 1 PT mpiq ÿ I 1 PT ri 1 s, rjs D 1 # d P Dˆ : I 1 d J ( 1 # d P Dˆ : d J P T m piq ( Se prueba que d J P T m piq ô m I P T m pd Jq entonces la última expresión es 1 # d P Dˆ : m I P T m pd Jq ( 1 # d P Dˆ : m d 1 I P T m pjq ( 1 # d 1 P Dˆ : d 1 I P T m pjq ( xris, t m rjsy Las armaciones () y (3) se prueban localmente. La armación (4) es un ejercicio a partir de () y (3). Corolario.4. El espacio MpRq tiene una base ortogonal de vectores propios para T R. Para p disc R primo se prueba que #T p piq p ` 1. Entonces t p es homogéneo de grado p ` 1 en el sentido de que grpt p fq pp ` 1q grpfq, y se deduce que e 0 es un vector propio para T R con t p e 0 pp ` 1q e 0. Cualquier otro vector propio será ortogonal a e 0, es decir cuspidal. Ejemplo 5. Consideramos el álgebra D p 1, 11q Q ramicada en t11, 8u y el orden maximal R r1, i, 1`j, i`k s de discriminante 11. El número de clases es, y un conjunto de representantes es I 1 r1, i, 1`j, i`k s I r, i, i ` 1`j, 1 ` i ` i`k s Los estabilizadores son Γ I1 t 1, iu y Γ I 1, i`k 4, i`k ( 4, de modo que w I1 y w I 3. Se puede calcular T pi 1 q p1 ` iq I 1, I, i k ( 4 I, T pi q I 1, `i k I 1, i`k ( I 1. Entonces el operador de Hecke t está dado por t ri 1 s ri 1 s ` ri s, t ri s 3rI 1 s, y tiene vectores propios e 0 1 ri 1s ` 1 3 ri s con valor propio 3, y f 1 ri 1 s ri s con valor propio. Podemos calcular otros operadores de Hecke, que en la base tri 1 s, ri su 7

8 resultan: t p q, t 3 p 3 1 q, t 5 p q, t 7 p q,.... El vector propio e 0 tiene valores propios 3, 4, 6, 8,..., como ya habíamos observado, mientras que f 1 tiene valores propios -, -1, 1, -, Correspondencia de Eichler. Para evitar dicultades técnicas nos limitaremos al caso de un orden R de discriminante N primo en un álgebra denida. Necesariamente R es un orden maximal en un álgebra de cuaterniones D ramicada en tn, 8u. Hemos visto que el espacio MpRq tiene una acción por operadores autoadjuntos del álgebra conmutativa T T R, que es similar a la acción de Hecke en espacios de formas modulares. Observemos que las relaciones de la Proposición.3 son las mismas que para los operadores de Hecke en formas modulares de peso para Γ 0 pnq. Eichler calcula la traza de t m actuando en MpRq y por otra parte calcula la traza de T m actuando en M pγ 0 pnqq. Comparando ambas obtiene el siguiente resultado. Teorema.5. Para todo m ě 1 tenemos Trpt m ü MpRqq TrpT m ü M pγ 0 pnqqq Como consecuencia de este resultado, y puesto que ambas álgebras de Hecke son semisimples y están generadas como Z-módulo por los operadores de Hecke, se deduce que son isomorfas y que hay una correspondencia tvectores propios en MpRqu{Cˆ ÐÑ tvectores propios en M pγ 0 pnqqu{cˆ donde formas correspondientes tienen los mismos valores propios. Otra forma de enunciar lo mismo es decir que existe un isomorsmo MpRq M pγ 0 pnqq que preserva la acción de Hecke. Sin embargo este isomorsmo no es canónico. Sabemos que en M pγ 0 pnqq los espacios propios tienen dimensión 1 (no hay formas viejas porque N es primo y M pγ 0 p1qq t0u), y lo mismo vale entonces para MpRq. Denición.6. Sean f, g P MpRq. Denimos ϕpf, gq grpfq grpgq ` ÿ mě1 xt m f, gy q m Proposición.7. ϕpf, gq es una forma modular de peso para Γ 0 pnq y ϕpt m f, gq ϕpf, t m gq T m ϕpf, gq. En otras palabras ϕ : MpRq b MpRq Ñ M pγ 0 pnqq T es T-equivariante, y como MpRq es un T-módulo libre de rango 1 se sigue que ϕ es un isomorsmo de T-módulos. Demostración. Sean I, J P IpRq. Consideramos el retículo M td P D : d J Ă Iu. En la demostración de la Proposición.3 calculamos xt m ris, rjsy 1 # d P Dˆ : d J P T m piq (. Ahora d J P T m piq es equivalente a d P M con νpdq m νpmq, es decir que xt m ris, rjsy 1 # td P M : νpdq m νpmqu. 8

9 Luego ϕpris, rjsq 1 ÿ dpm q Qpdq es la serie theta asociada a la forma cuadrática Qpdq νpdq{νpmq, que es una forma modular en M pγ 0 pnqq. En general ϕpf, gq es combinación lineal de estas series theta. La igualdad ϕpt m f, gq ϕpf, t m gq se deduce fácilmente pues t m es autoadjunto y es homogéneo respecto al grado. La última igualdad basta probarla con m p primo. Usando la fórmula de T p en términos de coecientes de Fourier calculamos grpfq grpgq T p ϕpf, gq pp ` 1q ` ÿ `xtmp f, gy ` t m{p f, g D q m mě1 bajo la convención que t m{p 0 si p m. Por otra parte ϕpt p f, gq grpt p fq grpgq ` ÿ xt m t p f, gy q m. El resultado se sigue pues por la Proposición.3 tenemos t m t p t mp ` p t m{p. Ejemplo 6. Continuando con el ejemplo 5, las series theta asociadas a la base de MpRq son θ ij ϕpri i s, ri j sq: mě1 θ 11 1 ` q ` q ` 4q 3 ` 10q 4 ` 8q 5 ` 16q 6 ` 8q 7 ` 18q 8 ` 14q 9 ` Opq 10 q θ 1 1 ` 6q ` 6q 3 ` 6q 4 ` 6q 5 ` 1q 6 ` 1q 7 ` 18q 8 ` 18q 9 ` Opq 10 q θ 1 ` 3q ` 3q3 ` 1q 4 ` 9q 5 ` 18q 6 ` 6q 7 ` 18q 8 ` 1q 9 ` Opq 10 q Con estas series theta podemos calcular E 0 ϕpe 0, ri 1 sq 1 θ 11 ` 1 3 θ 1 ϕpe 0, ri sq 1 θ 1 ` 1 3 θ 5 1 ` q ` 3q ` 4q 3 ` 7q 4 ` 6q 5 ` 1q 6 ` 8q 7 ` 15q 8 ` 13q 9 ` Opq 10 q F 1 ϕpf 1, 1 ri 1sq 1 pθ 11 θ 1 q ϕpf 1, 1 3 ri sq 1 3 pθ θ 1 q q q q 3 ` q 4 ` q 5 ` q 6 q 7 q 9 ` Opq 10 q 0 ϕpf 1, e 0 q 1 θ θ θ Las dos primeras son las dos autoformas modulares normalizadas de peso para Γ 0 p11q. La forma E 0 es una serie de Eisenstein, y F 1 es una autoforma cuspidal que corresponde a la curva elíptica y ` y x 3 x 10x 0. Observación. Notamos que e 0 1 ri 1s` 1 3 ri s 1 ri 1s 1 ri s 1 f 1 pmod 5q. Se deduce que E 0 ϕpe 0, ri 1 sq ϕp 1 f 1, ri 1 sq F 1 pmod 5q. En efecto, E 0 F θ 1. Esta congruencia está relacionada con el hecho que la curva elíptica y `y x 3 x 10x 0 tiene torsión de orden 5. 9