Planificación de la Producción y Optimización Lineal

Transcripción

1 MaMaEuSch Management Mathematics for European Schools Planificación de la Producción y Optimización Lineal Horst W. Hamacher Este proyecto ha sido desarrollado con ayuda parcial de la Unión Europea dentro del marco del programa Sócrates. El contenido no refleja necesariamente la posición de la Unión Europea ni implica ninguna responsabilidad por parte de la Unión Europea. Technische Universität Kaiserslautern, Fachbereich Mathematik

2 CAPÍTULO : Planificación de la Producción y Optimización Lineal Contenidos:. Discusión: Planificación de la producción en la compañía SchokoLeb...3. Método gráfico para problemas con solo dos productos Determinar la mejor solución mediante sistemas de ecuaciones con dos variables Continuación de la discusión: Planificación de la producción con más de dos productos Optimización lineal y matrices Resolver problemas lineales mediante el método del Simplex Perspectivas futuras: Optimización lineal en economía La solución del problema SchokoLeb...37 Apéndice: Más información...4 Claves Economía: - Decisiones - Nivel de producción - Maximización de beneficios - Restricciones de capacidad Claves Matemáticas elementales: Modelado algebraico: - Conversión de problemas económicos en problemas de optimización lineal Geometría - Descripción y trazado de líneas rectas en un plano - Líneas rectas y semiespacios - Poliedros - Cálculo de los puntos de intersección de líneas rectas - Traslaciones paralelas Álgebra Lineal - Trabajar con inecuaciones - Resolver sistemas de ecuaciones lineales - Dependencia e independencia lineal de vectores - Cálculos inversos - Conversión de inecuaciones en ecuaciones - Operaciones básicas con filas - Operaciones de pivotaje - Método del Simplex

3 3 Combinatoria - Determinar el número de subconjuntos - Números binomiales Funciones - Descripción de funciones lineales - Transformación de maximización a minimización Notas para los Profesores: - Las secciones.,.4 y.8 están escritas en forma de diálogo. Los estudiantes pueden leerlas como trabajo individual, o puede ser acordado por profesores y estudiantes como punto de partida para otros estudiantes. Los diálogos representan situaciones que hemos encontrado en nuestras actividades como asesores. - En algunas escuelas se realizan los contenidos de las secciones. y.3 como actividades de nivel medio. Por esta razón vienen escritas de tal forma que los estudiantes con mejores notas también pueden realizarlas, y usarlas como material de revisión. Además, la sección. ofrece una descripción paso a paso y ejercicios sobre el modelado de problemas económicos mediante programación lineal. Además, los estudiantes que tienen la posibilidad de usar PowerPoint pueden beneficiarse de numerosos ejemplos animados y ejercicios que se incluyen en el CD adjunto. Naturalmente ese material puede ser usado en clases. - El principal objetivo de las secciones.5 y.6 es introducir el método Simplex. Por este motivo se necesita soltura en el uso de matrices, en particular operaciones con filas, operaciones de pivotaje y el método de Gauss. Por tanto el material apropiado está integrado en el texto y viene apoyado con ejercicios y ejemplos. En el CD adjunto se puede encontrar material adicional con soluciones a los ejercicios. La prueba formal de la validez del método del Simplex puede ser difícil de entender por parte de los estudiantes. Aún así, el desarrollo del método no creará problemas si se entienden los conceptos de matrices anteriormente mencionados. - El Apéndice A contiene la explicación del método de Gauss para el cálculo de matrices inversas. Los estudiantes con mayor interés tienen la oportunidad de realizar este método para comprobar la condición de optimalidad (véase el Apéndice B). - El Apéndice C ofrece diferentes fuentes de Internet que pueden ser de utilidad para los estudiantes, tanto en clase como en casa. Y más importante es que se pueden encontrar direcciones de Internet en las que hay material online para practicar.. Discusión: Planificación de la producción en la compañía SchokoLeb. El fin de semana se ha terminado y la mayoría de la gente comienza su semana con una atareada mañana de Lunes. En la oficina de Clever-Consulting la cosa no es muy diferente. Sebastián está instalando nuevos programas en su ordenador. Natalia está ordenando su mesa. Solina está alterada y enfadada con los nuevos cambios de precios. Y Oliver está hablándole a todo el mundo de la fiesta del sábado. Oliver: Sabes que no me gustan este tipo de cosas fiestas en las que se supone que tienes que hacer contactos de negocios. Aún así, la del Sábado fue, sorprendentemente, muy divertida. Allí me encontré con un viejo amigo al que no veía desde... Natalia: Disculpa Oliver, nos contarás las historias de tus conquistas? Sabes que tuvimos que trabajar mucho para que el alcalde nos diera invitaciones para esa fiesta, porque esperábamos hacer algunos nuevos contactos para nuestro negocio.

4 4 Oliver: Si, pero espera un momento. Así que mi viejo amigo me presentó al señor Ritter el que, quien sabe por qué, parecía muy deprimido. Surgió el tema de que él planifica la producción de la compañía SchokoLeb, que produce chocolate y cacao. Este negocio no parece ir muy bien últimamente y por eso la producción está siendo reorganizada. Después de un análisis de mercado la compañía decidió retirar algunos productos, para incrementar la producción de otros, e introdujo algunos nuevos. Él tenía que hacer el trabajo de crear un plan para decidir cuanto hay que fabricar de cada producto para obtener el máximo beneficio posible. Estuvo todo el tiempo hablando de que él simplemente quería dejarlo todo porque era demasiado complicado y, de cualquier forma, nadie entendía realmente de que iba todo eso. Antes de que siguiese revolcándose en su propia desesperación me las arreglé para conseguir su número de teléfono. Qué pensáis chicos? Podría ser un trabajo para nuestro grupo Clever Consulting? Solina: Bueno, no sé, tiene este señor suficiente dinero para pagar nuestros servicios? Sebastián: Por Dios, Solina, al menos pensémoslo un poco, quizás es un problema que nos puede interesar, y quizás nuestros métodos y experiencia pueden ser de utilidad para arreglar algo. Natalia: Suena muy bien! No deberíamos rechazarlo sin pensarlo! Oliver: Sabéis qué? Lo voy a llamar y preguntarle si quiere tener una reunión con nosotros. Estoy seguro que nos será rentable invertir unas pocas horas en esto. Tres llamadas de teléfono más tarde, Oliver consiguió concertar una reunión con el gerente de la compañía SchokoLeb para la siguiente semana. El grupo Clever Consulting decidió enviar a Oliver, Natalia y Sebastián a la reunión. Después de todo, uno siempre puede decidir si involucrarse en el proyecto o no. Una semana más tarde aparece un documento interno, redactado por Natalia y Sebastián después de la primera reunión. Comienzo: 9:30 a.m. Documento interno sobre la Reunión de Contacto con la compañía SchokoLeb 30 de febrero de 003 Final: :00 a.m. Participantes: Natalia, Oliver, Sebastián (Clever Consulting) Ms. Sorrati, Mr. Werkstoll y Mr. Ritter (SchokoLeb) Situación: Se manufacturaban a gran escala más de 0 diferentes productos (tipos de chocolate y cacao). De acuerdo con el análisis de mercado, diez productos más podrían ser vendidos aumentando los beneficios. Mr. Werkstoll nos presentó un diagrama detallado que mostraba como se dirigirá la planificación de la producción (la empresa SchokoLeb no se encuentra preparada para dejarnos el diagrama de flujo durante la reunión de contacto). El diagrama muestra claramente como los productos pasan a través de las instalaciones de la compañía. Además existen datos sobre la capacidad que se requiere para cada unidad de producción, (por ejemplo: 00 gr de chocolate, 50 gr de cacao, etc.) en cada fábrica. Se nos proporcionaron los datos de capacidad de cada planta.

5 5 Durante el periodo de reorganización, el departamento de marketing averiguó los números de ventas de los viejos productos y de los que iban a ser introducidos. Por lo tanto se asume que uno debe saber cuantas unidades de chocolate y cuantas unidades de cacao se pueden vender en el mercado. Además también se determinó que beneficio se puede obtener por cada unidad producida. A la administración le gustaría ahora saber cuantas unidades de cada producto se deben producir teniendo en cuenta la capacidad de producción de la maquinaria. Transcurso de la reunión: La señora Sorrati quería saber si teníamos experiencia trabajando con problemas como los anteriormente descritos. Mencionamos algunos métodos que se podían usar para afrontar el problema, y casualmente Natalia sacó el tema de la Optimización Lineal, cosa que impresionó mucho a la gente de SchokoLeb. Después de eso Mr. Werkstoll nos enseñó las instalaciones de la compañía. Resultado de la reunión: Pospusimos nuestra decisión hasta componer un memorando sobre como queremos afrontar el problema. Por lo tanto Mr. Ritter hizo hincapié en que a él le gustaría ser capaz de entender lo que íbamos a hacer, es decir, que una persona con conocimientos elementales de matemáticas también debería ser capaz de comprender nuestros métodos. Como ejemplo Ms. Sorrati nos dio los datos para un pequeño número de productos y plantas (ver Tabla ). Éstos, como ella dijo, no revelarían los secretos de la compañía, pero son lo suficientemente realistas para que nos hagamos una idea de si podemos ayudar a la compañía o no. Próxima cita: Tenemos una semana para presentar los resultados. Si nos las arreglamos para convencer a los representantes de SchokoLeb de que somos expertos en el tema, es bastante probable que consigamos un contrato con la compañía SchokoLeb. De todas formas, por el trabajo preparatorio que estamos realizando, no nos van a pagar nada! P P P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P0 Beneficio en 00 Ventas en unidades Capacidad disponible en % A A A A A Tabla. Tabla de muestra de la compañía SchokoLeb con diez productos, cinco plantas, información sobre los beneficios, mercado, capacidad de carga por unidad de producción y capacidad disponible en cada planta. Oliver: Ahora entiendo por qué el señor Ritter estaba tan deprimido esa noche. Pilláis de que va todo esto?

6 6 Natalia: Ya me lo pregunté cuando Sebastián y yo estuvimos redactando el documento. El problema completo es increíblemente complicado. Aunque estamos mirando a sólo 0 productos de cacao, hay infinitas posibilidades para cambiar la producción de SchokoLeb. Sin embargo pienso que podemos afrontar el problema con un método, llamado optimización lineal. Solina: En cualquier caso, deberíamos hacer que SchokoLeb nos haga un contrato por la preparación para la investigación. De esta forma conseguiremos un poco de dinero mientras pensamos. Sebastián: Imposible, olvídalo! Ya lo hemos preguntado varias veces y eso era según Ms. Sorrati y Mr. Werkstoll demasiado. Querían saber si podíamos, gastándose poco dinero, encontrar algo que les fuera de utilidad. Natalia: Creo que primero deberíamos echarle un vistazo a una muestra con menos datos. Digamos, una con dos productos y tres plantas. Oliver: De acuerdo. Sugiero que unamos nuestras ideas y aumentemos nuestros conocimientos sobre el tema. Después de eso trabajaremos en el ejemplo pequeño y trataremos de resolver el problema. Luego comprobaremos si hemos entendido el método y nos centraremos en la muestra que nos dio Ms. Sorrati. Natalia: Creo que es una buena idea. Deberíamos asignar tareas y escribir todo lo que averigüemos. Para el memorando siempre podemos seleccionar lo que queremos que SchokoLeb sepa. Yo buscaré mis apuntes de la carrera sobre optimización lineal, y cualquier cosa que necesitéis saber sobre matemáticas. Solina: Yo comenzaré trabajando en el ejemplo pequeño. Sebastián: Yo buscaré en Internet, a ver que puedo encontrar. Quizás podamos usar programas que estén disponibles gratis, al menos para la preparación de la investigación. Oliver: Creo que es un buen plan. Estaré a tu disposición para lo que necesites y compondré el memorando.. Método gráfico para problemas con dos productos Solina desarrolló el siguiente ejemplo reducido (a partir de ahora nos referiremos a él como pequeño problema SchokoLeb para distinguirlo del resto de los problemas, que deberían ser analizados para la compañía): Cacao en polvo Chocolate Beneficio Capacidad disponible (en % de la capacidad general diaria) Planta 3 8 Planta 0 4 Planta 3 0 Tabla. Capacidad y beneficio para el pequeño problema SchokoLeb En principio éste es el mismo problema que presentamos para la compañía SchokoLeb. Aún así, en este caso sólo hay dos productos; cacao en polvo y chocolate tierno amargo. Las plantas que

7 7 contribuyen a la producción de esos productos tienen exceso de capacidad. En la primera planta se limpian los granos de cacao, se tuestan y se muelen. Esta planta es necesaria para la producción de ambos productos. En las otras dos plantas se refinan los granos de cacao y se convierten en polvo y chocolate. La compañía piensa que los productos se deben vender en grandes cantidades y espera, después de deducir todos los costes, un beneficio de 30 euros por 50 Kg de cacao en polvo y 50 euros por 00 Kg de chocolate. Cuánto cacao en polvo y chocolate se debe producir para conseguir el mayor beneficio posible? Cuando modelamos, en otras palabras, cuando creamos un modelo algebraico, necesitamos pensar en unidades de 50 Kg para el cacao en polvo y unidades de 00 Kg para el chocolate. Por esta razón trabajaremos con variables de decisión x y x, donde x representa el número de unidades del primer producto (cacao en polvo) y x representa el número de unidades del segundo producto (chocolate), que deberían ser producidas. Por ejemplo, x = 5 y x = 3 significa que producimos 50 Kg ( = x 50 Kg = 5 50 Kg) de cacao en polvo y 300 Kg (= x 00 Kg = 3 00 Kg) de chocolate. Usando la función objetivo 30 x + 50 x se calcula el beneficio dependiendo de esas variables de decisión. Como ejemplo veamos el plan de producción anterior, es decir x = 5 y x = 3, y calculemos el beneficio mediante 30 x + 50 x = = 300 euros. El número 300 (sin definirlo en términos de euros) es el valor de la función objetivo para x = 5 y x = 3 ( Ej.. y Ejercicios Adicionales (ver CD).). Hasta ahora hemos ignorado la parte de la tabla que apunta a las restricciones de capacidad. Sin esas restricciones uno podría producir tanto como sea posible y obtener un beneficio infinito. Desafortunadamente esto no funciona así. Interpretamos la tabla con información de capacidad como sigue: La fila de la Planta dice que: cada unidad de cacao en polvo (=50 Kg) y chocolate (=00 Kg) necesita respectivamente 3% y % de la capacidad de la Planta. Si producimos sólo una unidad por producto, necesitaremos 3% + % = 5% de la capacidad de la planta. Esto sería posible, ya que tenemos el 8% de la capacidad de dicha planta a nuestra disposición. Aún así, si quisiéramos, como se muestra en el ejemplo, producir x = 5 y x = 3 unidades, necesitaríamos 3% x + % x = 3% 5 + % 3 = % de la capacidad de la Planta. Debido al hecho de que solo disponemos del 8%, esta producción no es posible. En este caso se dice que la combinación x = 5 y x = 3 o (x x ) = (5 3) es no factible. Las filas de las otras dos plantas se interpretan de la misma forma. Por tanto (x x )=(5 3) tampoco es factible para la Planta, porque % 5 + 0% 3 = 5% es mayor que la capacidad de la Planta, 4%. Por otro lado esa planificación sería factible para la Planta 3. Cómo es eso? La cuestión de la factibilidad depende de si la capacidad necesaria para la producción es alcanzada por las tres plantas. Esto puede ser presentado en forma de inecuaciones o restricciones: 3 x + x 8, x + 0 x 4, 0 x + x.

8 8 Buscamos un plan de producción expresado a partir de las variables de decisión x y x que cumpla todas las restricciones al mismo tiempo. Las dimensiones de los valores (en este caso la dimensión %) se han quitado en ambos miembros de las desigualdades, porque no eran necesarias. Ejemplo: Como se vio antes, el plan (x x ) = (5 3) no es factible, ya que no cumple las dos primeras inecuaciones: 3 x + x = = > 8, x + 0 x = = 5 > 4, 0 x + x = = 6. Por tanto, echemos un vistazo al plan (x x ) = (4 3). Si hacemos x = 4 y x = 3 en las restricciones, obtenemos 3 x + x = = 8 8, x + 0 x = = 4 4, 0 x + x = = 6. De esta forma se cumplen todas las restricciones. Por lo tanto, (x x ) = (4 3) es un plan factible. Obtendremos el beneficio generado calculando el valor de la función objetivo 30 x + 50 x = = = 70. ( Ej.. y Ejercicios adicionales (ver CD).). El número 70 representa el beneficio en euros. También tenemos que vigilar que nuestras unidades de producción sean no negativas, simplemente porque: qué significa una producción de unidades de cacao en polvo? Ok, por lo tanto rechacemos en este caso sin preguntar a SchokoLeb todos los planes de producción en los que las variables de decisión sean negativas. Esto es muy simple, todo lo que tenemos que hacer es introducir restricciones de signo: x 0, x 0. Ahora está completo nuestro modelo algebraico para la solución del problema de producción. Es el primer ejemplo del llamado problema de optimización lineal, también conocido como Problema Lineal: O la versión para los perezosos: Maximizar la Función Objetivo 30 x + 50 x s.a. 3 x + x 8, x + 0 x 4, 0 x + x y Restricciones de signo x 0, x 0.

9 Problema Lineal (PL) max 30 x + 50 x s.a. 3 x + x 8, x + 0 x 4, 0 x + x, x, x 0. De esta forma todo parece claro. Aún así, esto solo es de utilidad si somos capaces de resolver el problema de producción inicial. Por esta razón buscaremos un par (x x ), que sea factible (es decir, que cumpla tanto las restricciones como las restricciones de signo) y que nos asegure el máximo beneficio. Para responder esta pregunta, primero usaremos un poco de geometría: Las variables de decisión pueden ser interpretadas como coordenadas en el plano euclídeo. En consecuencia, las restricciones de signo x 0 y x 0 se interpretan fácilmente: es el conjunto de puntos del primer cuadrante (ver Figura.). Las restricciones pueden ser simplificadas, y queda x + 0 x 4, 0 x + x, x 4, x, i.e. x 6. que también se pueden representar gráficamente (ver Figura.) x x >0 x = 4 x = 6 x < 4 x < x >0 x 3 < -3/ x x = -3/ x +9 x

10 0 Figure. Región factible de LP Aún nos queda la tercera restricción 3 x + x 8, la cual tenemos que representar gráficamente. Para ello es necesario dibujar una línea recta, que es la ecuación 3 x + x = 8 o x = -3/ x + 9 (ver Figura.). El conjunto de todos los puntos que cumplen 3 x + x 8 es, por tanto, el conjunto de los puntos (x x ) para los cuales se cumple que x -3/ x + 9. Al final, lo que se obtiene como área de planes factibles (x x ) es el llamado poliedro P o región factible (el área amarilla en la Figura.). Cada punto de este poliedro está relacionado con un plan de producción factible y viceversa ( Ej..3-4 y Ejercicios Adicionales (ver CD).3). Aún así la compañía SchokoLeb quiere saber que combinación de productos debería ser producida para conseguir el mayor beneficio. Cómo podríamos determinar esto? Primero estableceremos un valor z que represente el beneficio, y veremos todas las combinaciones de productos con las que se puede obtener ese beneficio a partir de la función objetivo: z = 30 x + 50 x. En la Figura. se puede ver como es para diferentes valores de z. 6 x x > z = 50 x >0 3 4 z = 90 z = 50 x Figura. Combinación de productos (x x ) sabiendo el valor de z = 30 x + 50 x Por ejemplo, el conjunto de combinaciones de productos (x x ) con las que se obtiene el mismo beneficio z = 90, está representado por el conjunto de puntos (x x ) sobre la línea recta 90 = 30

11 x + 50 x. La combinación de productos x = 3 y x = 0 (es decir 3 unidades = 50 Kg de cacao en polvo y nada de chocolate) da éste beneficio, porque el punto (x x ) = (3 0) pertenece a esa recta. Ese mismo caso tenemos cuando producimos la combinación x = y x =. (es decir, unidad = 50 Kg de cacao en polvo y. unidades = 0 Kg de chocolate). Todos estos puntos situados en las rectas y al mismo tiempo en la región factible de PL se corresponden con el mismo beneficio, z = 90 euros. Gráficamente hablando, los puntos factibles representan la intersección entre las rectas y la región factible. Otras rectas que se corresponden con beneficios 50 = 30 x + 50 x, 50 = 30 x + 50 x, son paralelas a la primera. Debido a que la intersección de esas rectas y la región factible es no vacía, sabemos que existen combinaciones de productos con las que se obtienen los beneficios z = 50 y z = 50. De esta forma se pueden producir, por ejemplo, nada de cacao en polvo y 3 unidades (= 300 Kg) de chocolate, para ganar 50 euros (es decir, (x x ) = (0 3)), o unidades (= 00 Kg) de cacao en polvo y 3.8 unidades (=380 Kg) de chocolate, para conseguir un beneficio de 50 euros (es decir, (x x ) = ( 3.8)) ( Ej..5 y Ejercicio Adicional (ver CD).4-5). Al expresar z de la forma z = 30 x + 50 x se puede reconocer el beneficio muy fácilmente, porque éste permanece aislado en uno de los miembros de la ecuación lineal. En la expresión equivalente, que es la ecuación estándar de una recta, x 30 z = x +, ya no está tan claro cual es el valor del beneficio. Aún así, echemos un vistazo otra vez a las ecuaciones de la Figura. en forma estándar. En esta forma queda claro que todas las ecuaciones, independientemente del beneficio z, tienen la misma pendiente, en este caso -30/50. Para alcanzar el beneficio máximo, tendremos que encontrar la recta, de entre las rectas paralelas, para la que se tenga, por un lado el valor de z más alto posible, y por el otro que la intersección entre dicha recta y la región factible sea no vacía. Esto significa que trasladaremos la línea recta en la dirección en la que z crezca, hasta el punto donde un cambio más nos obligaría a salirnos de la región factible. En nuestro ejemplo se puede ver que podemos hacer esta operación hasta que la recta cruce el vértice (x * x *) = ( 6) (ver Figura.3). Este es el punto en el que la función objetivo alcanza el valor z = 360. La función objetivo no puede tomar un valor más alto porque todas las rectas que están por encima no tienen ningún punto de intersección con la región factible. Por lo tanto recomendaremos a la compañía SchokoLeb una solución óptima, que es producir x * = unidades (= 00 Kg) de cacao en polvo y x * = 6 unidades (= 600 Kg) de chocolate. De esta forma se obtiene un beneficio de z* = 360 euros. Con PowerPoint se pueden representar esas traslaciones muy fácilmente. Al leer este texto online (ver el CD adjunto) en un PC que tenga PowerPoint instalado, si se hace doble clic sobre la figura. se visualiza la figura dividida en secuencias. También se pueden encontrar otros ejemplos animados en dicho CD. Los problemas de programación lineal tal y como los hemos usado para resolver el pequeño problema SchokoLeb, aparecen en muchos otros contextos (comparar con la Sección.7). Para comenzar proporcionaremos una fórmula general del método gráfico usado antes, y después lo aplicaremos a otros ejemplos. Ahora estamos resolviendo, con el método gráfico, problemas con dos variables x y x (en el ejemplo anterior eran unidades de producción de cacao en polvo y chocolate). Después veremos que se puede hacer cuando hay más de dos variables en el problema.

12 Tenemos que saber que beneficio c y c podemos obtener por cada unidad de x y x, por eso nuestra función objetivo general adquiere la siguiente forma c x + c x, (en el problema pequeño de SchokoLeb c = 30 y c = 50). Llamaremos a c y c coeficientes de la función objetivo. Ahora queremos maximizar la función objetivo, es decir, queremos incrementar el valor de la función objetivo z = c x + c x tanto como sea posible ( Ej..6 y Ejercicios Adicionales (ver CD).6). 6 x x >0 (x * x *) z* = 360 x >0 3 4 x Figura.3 Combinación óptima de productos (x * x *) = ( 6) con beneficio máximo z* = 360 euros Además las restricciones han de cumplirse (como en el ejemplo de la sección. para las restricciones de capacidad). No se puede predecir el número de restricciones con las que tendremos que trabajar, y por lo tanto simplemente supondremos que tenemos m restricciones (en la sección. m = 3). La i-ésima restricción tiene la siguiente forma a i x + a i x b i. Los números a i y a i se llaman coeficientes (de las restricciones) y los b i son los coeficientes de capacidad (o coeficientes de limitación). En el ejemplo de la sección. a = 3, a =, b = 8, a =, a = 0, b = 4, a 3 = 0, a 3 =, b 3 =.

13 3 Por lo tanto podemos resolver un problema de programación lineal (o problema de optimización lineal) con el algoritmo.. Al escribir el algoritmo anterior omitimos es práctica común en matemáticas los signos de Algoritmo.: Método grafico de resolución de problemas de programación lineal con dos variables Entrada: Problema lineal de esta forma max c x sujeto a : + c x a x + a x b a x + a x b a x + a x b m m m x, x 0 Salida: Solución óptima (x * x *) con valor óptimo de lal función objetivo z*. Paso : Para i =,,m dibujar las rectas a i x + a i x = b i y las respectivas regiones a i x + a i x b i. Paso : Determinar la región de factibilidad como el poliedro P, determinado como la intersección de los semiplanos a i x + a i x b i y x, x 0. Paso 3. Elegir un número z y dibujar la recta c x + c x = z. Paso 4: Trasladar paralelamente esa recta de tal forma que el valor de z crezca. Hacerlo hasta que se alcanze el valor z =: z*, hasta que la recta c x + c x = z* sólo toque al poliedro P en un punto, es decir que el poliedro debe estar completamente en uno de los lados de dicha recta. Paso 5: Dar como salida el punto (x * x *), uno de los vértices en los que la recta c x + c x = z toca al poliedro.. multiplicación. Haremos lo mismo en el transcurso de este capítulo para evitar malentendidos. A partir del Algoritmo. se pueden enunciar los siguientes resultados de importancia: Teorema fundamental de la programación lineal (para variables de decisión): Si el problema lineal tiene una solución óptima, siempre hay un vértice (x * x *) de la región factible que es óptimo. Como ejemplo resolveremos el siguiente PL (problema lineal) trabajando solo a partir de los datos, sin saber que problema económico estamos resolviendo.

14 4 Ejemplo.: Tenemos un problema de PL con coeficientes de la función objetivo c = - y c =, y coeficientes (de capacidad) a =, a = 0, b = 5, a = 0, a =, b = 3, a 3 = -, a 3 =, b 3 =, a 4 =, a 4 =, b 4 = 5. Por tanto el problema de PL tiene la forma max x + x sujeto a : x x 5 3 x + x x + x 5 x, x 0 La Figura.4 muestra el poliedro factible tal y como se presentan en los pasos y del algoritmo. y la recta de la función objetivo, del paso 3. En el paso 4 alcanzamos la recta que sigue tocando a la función objetivo z*= 5 = -x + x y da el valor óptimo (x * x *) = ( 3) con valor óptimo de la función objetivo x + x = = 5, como se muestra en el paso x =0 x >0 -x +x = x = 5 z* = 5 = -x * + x * Contiene a la solución óptima (x * x *) = ( 3) 4 -x +x < x < 5 z = 0 = -x + x 3 Solución óptima (x * x *) = ( 3) x = 3 x < 3 z = - = -x + x z = -4 = -x + x x >0 x = x +x <5 x +x =5 Figura.4 Aplicación del algoritmo. para resolver el problema de programación lineal del ejemplo. (Al hacer doble clic sobre la figura se activa PowerPoint, de esta forma se puede seguir el algoritmo paso a paso) ( Ej..7 y Ejercicios Adicionales (ver CD).7)

15 5 Ejercicios Ej.. Determinar el valor de la función objetivo (f.o.) para los siguientes valores de x y x. x X Valor de la f.o.: 30 x + 50 x Ej.. Decidir si los siguientes planes de producción determinados por x y x son factibles. X x 3 x + x 8 x + 0 x 4 Se cumple que 0 x + x? Calcular el valor de la función objetivo 30 x + 50 x 3,5 5,8 7 3,5 3,9-6 Ej..3 Situar los puntos (x x ) del Ej.. en la figura.. Ej..4 Dibujar el conjunto de puntos factibles del problema de programación lineal con las siguientes restricciones: -x + x, x + x 3, x, x 0. Ej..5 Qué beneficio se obtiene con las combinaciones de productos (x x ) = (3 4)? Es factible dicha combinación? Con qué otras combinaciones obtenemos el mismo beneficio? Ej..6 a) Después de presentar nuestros resultados a la compañía SchokoLeb, la dirección de la empresa nos informa de que los beneficios supuestos en un principio han cambiado. El beneficio de cacao ha aumentado drásticamente de 30 a 50 euros. Tiene esto alguna influencia en la decisión sobre el plan de producción óptimo? Cómo es el nuevo plan de producción óptimo? b) La compañía SchokoLeb quiere conocer cuál debería de ser el beneficio en cada producto para que el plan de producción (x x ) = (0 6) de el máximo beneficio posible. Podemos ayudarles con esto?

16 6 Ej..7 Encontrar una solución para los siguientes PL a) max sujeto a : x x + x x + x 3 x, x 0 b) max x + 8x sujeto a : 6x + 0x 6 6x + 3x 756 x, x 0 Cuando resuelvas estas cuestiones sigue los pasos del algoritmo.. Dibuja una línea recta que represente la función objetivo z = c x + c x en a) y b) para z = y z = 6. Determina la dirección en la que la función objetivo crece y finalmente trata de encontrar una solución óptima en el paso 4. La solución a estos ejercicios y las transparencias de PowerPoint, así como más ejercicios, se pueden encontrar en el CD adjunto..3 Determinar la mejor solución mediante sistemas de ecuaciones con dos variables En los ejemplos anteriores intentamos determinar la solución óptima utilizando únicamente geometría. En el ejercicio.7 b) se vio que a menudo es difícil obtener exactamente la solución óptima a partir de un dibujo. En el transcurso de este capítulo veremos que se puede ir de la geometría a los métodos de cálculo, los cuales principalmente se apoyan en conceptos de álgebra lineal. Esto puede ser implementado en ordenadores, sin tener que dibujar los gráficos. Por consiguiente, en esta sección mostraremos primero como podemos calcular la solución óptima si sabemos, basándonos en la traslación de la recta de la función objetivo, en qué vértice está situado. Consideraremos el PL del ejercicio.7 b), que está dibujado en la figura.5. La solución óptima (x * x *) = (7/3 7/) difícilmente se puede obtener a partir del gráfico ( por qué?). Aún así, a partir del algoritmo. sabemos sin duda que la solución óptima es un vértice del poliedro factible, que es la intersección de las rectas -6x + 0x = 6, 6x + 3x = 756. Por lo tanto obtendremos la solución óptima cuando resolvamos el sistema de ecuaciones anterior, con dos ecuaciones y dos incógnitas. Podemos suponer que sabemos como resolver estas ecuaciones. Aún así repasaremos un poco los métodos necesarios. Al sumar ambas ecuaciones obtenemos (-6 + 6) x + (0 + 3) x = ( ), por lo tanto 5 x = 88 o x = 88/5 = 3,5 = 7/. Insertando este valor en una de las ecuaciones originales, por ejemplo la primera, obtenemos -6 x + 0 3,5 = 6, es decir -6 x = 6-0 3,5 = 6 40 = -94, por lo tanto x = -94/-6 = 7/3. De esta forma hemos conseguido confirmar que (x * x *) = (7/3 7/) es efectivamente el vértice buscado de la región factible y, por tanto, la solución óptima del problema lineal del ejercicio.7 b).

17 7 5 4 x =0 x >0 Solución óptima (x * x *) = (7/3 7/) -6x +0x =6-6x +0x < 6 max x + 8x unter den Nebenbedingungen 6x + 0x 6 6x + 3x 756 x, x 0 3 z* = 3 /3 = x z = 6 = x + 8x + 8x Contiene a la solución óptima (x * x *) = (7/3 7/) x >0 x = x +3x < 756 6x +3x =756 Figura.5 Aplicación del algoritmo. para calcular la solución del ejercicio.7 b). Como ejemplo adicional tomaremos el pequeño problema SchokoLeb max 30 x + 50 x s.a. 3 x + x 8, x 4, x, x, x 0. El método gráfico nos ha convencido de que el vértice del poliedro factible en el que se cortan las rectas 3 x + x = 8 y x =, determina la solución óptima. La segunda ecuación muestra que x = 6. Insertándola en la primera ecuación, obtenemos que 3 x = 8 6 = 8 = 6, por lo que x =. El vértice, y por tanto la solución óptima del pequeño problema SchokoLeb, se expresa de la forma (x * x *) = ( 6), que es lo que ya sabíamos a partir del gráfico. ( Ej..8 y Ejercicios Adicionales (ver CD).8-4) Ejercicios Ej..8 a) Comprobar las soluciones de (i) Ej..6 a), (ii) Ej..6 c) y (iii) Ej..7 a) calculando el punto de corte de las rectas (i) x = 4 y 3x + x = 8, (ii) x = 5 y 3x + x = 8, (iii) x + x = y x + x = 3.

18 8 b) Encontrar una solución para el siguiente PL a partir del método gráfico (algoritmo.) y determinar el valor exacto de la solución óptima resolviendo el sistema de ecuaciones. max x + 4x sujeto a x 8, 6x 36, x + 4x 68, -6x + 4x 96, x, x 0..4 Continuación de la discusión: Planificar la producción con más de dos productos Natalia: Solina, lo que escribiste me parece genial. A partir de esto se puede entender muy bien la solución de los problemas de programación lineal con dos variables. Pero tenemos que resolver el problema SchokoLeb, que tiene más de dos variables, muchas más. Oliver: Sí, será igual que el problema que resolvió Solina. Simplemente dibujaremos todas las posibles decisiones disponibles y encontraremos la mejor, al igual que hicimos con SchokoLeb. Sebastián: No, no creo que sea así de fácil. Este problema tiene más de tres variables de decisión, tantas como queramos, no podemos hacer nada dibujando. O, puedes dibujar en cuatro dimensiones, Oliver? Según nuestro plan de trabajo Natalia se ofreció voluntaria para encontrar algo en general. Natalia: De hecho creo que ya he encontrado algo. La mayoría de los libros que he mirado buscando algo sobre como resolver problemas de programación lineal comienzan así: Dado un problema de programación lineal min <c, x> sujeto a Mx = b, x 0. Tuve que pensar un poco y buscar muchas cosas en libros y en Internet, hasta que encontré la conexión con nuestros problemas, que en un principio pareció ser algo totalmente diferente. Pero todos deberíais refrescar un poco vuestros conocimientos sobre álgebra lineal, es decir, como trabajar con vectores y matrices. Para ayudaros a recordar, primero explicaré como se trabaja con un problema de optimización lineal en forma de igualdades, para que podamos ocuparnos de él adecuadamente, y porque aunque suene extraño da igual si maximizamos o minimizamos. Entonces, veamos como resolvemos ecuaciones mediante operaciones básicas con filas, operaciones de pivotaje y el Método de Gauss. Finalmente os mostraré el método del Simplex para resolver problemas de programación lineal, el cual necesita los conceptos anteriormente mencionados. Oliver: Bien, pero seguro que dibujar no es más sencillo? Sebastián: Venga hombre, déjalo ya. Lo discutimos antes. Sin manejar las operaciones con matrices no haremos mucho. Deberíamos estar contentos de que Natalia haya averiguado esto.

19 9.5 Optimización lineal y matrices Cuando uno tiene dos variables de decisión x y x, se pueden integrar en un vector x = (x x ) (vector de decisión). Si tenemos más de dos, digamos cinco variables de decisión, podemos usar la misma simbología, es decir x = (x x x 3 x 4 x 5 ). Análogamente podemos representar los datos del problema de decisión en una forma compacta usando más vectores y matrices. Para el ejemplo pequeño de SchokoLeb tenemos: se emplea el vector de la función objetivo los coeficientes de la matriz y el vector de capacidades max 30 x + 50 x sujeto a 3x + x 8, x + 0x 4, 0x + x, x, x 0. ( ) c = ( c c ) = 30 50, a a 3 A = a a = 0 a3 a 3 0 b 8 b = b = 4. b 3 Una vez introducidos los datos c, A, b, podemos recobrar la información detallada haciendo productos escalares y multiplicaciones de matrices. El producto escalar entre el vector de la función objetivo x y el vector de decisión c viene dado de la siguiente forma ( ) ( ) c, x = c c, x x : = c x + c x. En la muestra de SchokoLeb es <c, x> = <(30, 50), (x x )> := 30 x + 50 x. Utilizaremos los ángulos <> como símbolo del producto escalar entre dos vectores. Si tuviéramos cinco en lugar de dos variables de decisión, el producto escalar sería ( ) ( ) c, x = c c c c c, x x x x x : = c x + c x + c x + c x + c x En los ejemplos siguientes no haremos distinción entre vectores fila y vectores columna. Alternativamente, se podría introducir en este punto la transposición y definir, en principio, los vectores como vectores fila. En un momento dado se llevaría a cabo la transposición.

20 0 ( Ejercicios Adicionales (ver CD).43-44) La multiplicación de matrices entre la matriz de coeficientes A y el vector de decisión x se realiza de la siguiente forma a a a x + a x x Ax = a a = ax a x x +. a3 a 3 a3x + a3 x 3 En este caso el vector x viene definido como un vector columna. En el caso SchokoLeb es ( Ejercicios Adicionales (ver CD).45-50) 3 3x + x x 0 0 x 0 0x + x 3 Ax = = x + x. Si consideramos la inecuación vectorial quiere decir que tres inecuaciones b Ax b b x 0 = b 3 a x + a x b, a x + a x b, a 3 x + a 3 x b 3 y las restricciones de signo x,x 0, tienen que ser satisfechas al mismo tiempo. En nuestro pequeño ejemplo SchokoLeb Ax b, x 0 significa que las restricciones 3x + x 8, x + 0x 4, 0x + x y, adicionalmente, las restricciones de signo x 0 y x 0 han de cumplirse. Si ahora examinamos todos los posibles vectores x que cumplen las restricciones, desde el punto de vista matemático será mucho más fácil trabajar con ecuaciones que con inecuaciones. Por esta razón introduciremos una variable de holgura para cada inecuación: 3 x + x 8 3 x + x + x = 8 3 x + 0 x 4 x + 0 x + x = x + x 0 x + x + x = 5 Además de las dos variables de decisión, tenemos el mismo número de variables de holgura que de restricciones (en el pequeño problema SchokoLeb hay, por tanto, tres variables de holgura x 3, x 4 y x 5 ). Se puede notar que (x x ) con x 0, x 0 cumple todas las inecuaciones del sistema de inecuaciones de la izquierda si y sólo si el vector (x x x 3 x 4 x 5 ) con x, x, x 3, x 4, x 5 0 cumple todas las ecuaciones del sistema de ecuaciones. Las variables de holgura no son

21 variables de decisión y, por lo tanto, tienen valor 0 en la función objetivo. En ese caso podemos escribir el pequeño problema de SchokoLeb de la siguiente forma: max 30x + 50x + 0x + 0x + 0x sujeto a : x + x + x3 = 8. x + 0 x + x = x + x + x = 5 x, x, x, x, x En general así es como aparece un problema de programación lineal: max < c, x > sujeto a :, Mx = b x 0 donde M = (A I) es una matriz de coeficientes con m filas y m+n columnas, y sus últimas m columnas son vectores unitarios = 0 = 0 = = 0, e, e, e3, e m que consecuentemente forma una matriz unidad I = El problema tiene n variables de decisión x,,x n y m variables de holgura x n+,,x n+m. Ejemplo.: En el pequeño problema de SchokoLeb c = ( ) Ejemplo.3: M = 0 0 0, b = Consideremos el problema de programación lineal

22 max 7x + 3x x sujeto a : 3 - x 4x 3 5x + 9x 6 3 3x + 7x 0x 0 3 5x 6x 9 3 x, x, x 0 3 Si se escriben las restricciones en forma de igualdad el problema queda así: max 7x + 3x x + 0x + 0x + 0x + 0x sujeto a : x 4x + x = 3 4 5x + 9x + x = x + 7x 0x + x = x 6x + x = x, x, x, x, x, x, x Contiene n = 3 variables de decisión x, x, x 3 y para cada una de las m = 4 restricciones una variable de holgura respectivamente, por lo tanto m = 4 variables de holgura x 4, x 5, x 6, x 7. El vector de la función objetivo es c = ( ), la matriz de coeficientes es M = y el vector de capacidades es ( Ej..9) 3 6 b =. 0 9 Casi hemos alcanzado ya la forma estándar de un problema de programación lineal, de la que Natalia nos habló. La única diferencia es que en la forma estándar hay que minimizar en lugar de maximizar. Aún así, esto se puede lograr cambiando los signos de los coeficientes de la función objetivo. Es cierto, claramente, que: minimizar < c, x > = - maximizar < (-c), x >.

23 3 Ejemplo.4: Si dibujáramos el pequeño problema SchokoLeb en forma estándar, al minimizar usaremos el vector de la función objetivo ( ). ( Ex..0-) La forma estándar de un problema de programación lineal se define así: min c, x sujeto a : Mx = b x 0 ( Ej..-3) Ejercicios Ej..9 Transformar los siguientes sistemas de inecuaciones en sistemas de ecuaciones. Después escriba tanto el sistema de ecuaciones como el de inecuaciones en forma matricial y compárelos. 3x + 5x + 7x 5 3 6x x x3 3 a) 7 x + x 5 x 6 3 9x + 7x 4x x + x 43x + 3x b) 8x + x 3x 4x x 7x + 4x + 5x Ej..0 Transformar los siguientes problemas de maximización en problemas de minimización. a) max 3x + x 3x + x b) max 3x x 3 4 c) max 53x 3x + 4x 3x 3 4 d) max 5x + x x + x 3x Ej.. Transformar los siguientes problemas de maximización en problemas de minimización. ( ) x ( ) x ( ) x ( ) a) max , b) max , c) max 8 8, d) max , x

24 4 Ej.. Escribir los siguientes problemas de programación lineal en su forma estándar. a) max 3x + x 4x sujeto a : sujeto a : c) max sujeto a : 7x + 3x 5x 8 x 6x + x 0 3 8x + 9x 9 3 x, x x 0, 3 x 7x + 6x 9 4x x 7 3x + x 44 4x + 4x 4 x, x 0 b) min3x + 0x + 6x + 3x 3 4 8x 6x 8x 4x x + 3x + 6x + 3x x + 6x + 8x 4x x x + 35x 3 4 x, x, x, x d) max x + 3x + 5x + 7x + x + 3x sujeto a : x 9x + 3x 9x 3x x + 8x 6x + 5x 30x + 3x x 36x x x + 6x + 7x 7x 6x 5x x, x, x, x, x, x Ej..3 Escribir los siguientes problemas de programación lineal en su forma estándar. a) max3x 3x + 6x 4 8x 9x + 4, 5x x + 7x + 7x x 5x 33x 3 4 8x + 9x + 4,5x 36 3 b) max x x x x sujeto a : sujeto a : c) min x + x x 3 sujeto a : sujeto a : 8x + 3x 60x x + 3x 99 3x + 4x 5 3 x + 0x + 6x 3 x, x, x, x x + x + x + x 3 4 x x + x + x 3 4 x + x x + x 3 4 x + x + x x 3 4 x, x, x, x d) max 5x 4x 3x x x x + 4x 5x + 47x + 9x x + 67x 7x + 44x x + 8x 8x + 84x 49x x + 3x + 6x x, x, x, x, x Resolver problemas de programación lineal con el método del Simplex Para introducir el método del Simplex necesitamos definir los conceptos clave de las operaciones básicas con filas, operaciones de pivotaje y sistemas de ecuaciones. En este caso las

25 5 operaciones con filas y de pivotaje se usan para poder resolver los sistemas de ecuaciones más fácilmente. Dada una matriz, veamos tres operaciones básicas con filas: Z i := kz i : Multiplicación de una fila. Todas las componentes de la fila Z i se multiplican por un número k. Z i Z k : Intercambiar las filas Z i y Z k. Z k := Z k +kz i : Sumar k veces la fila Z i a otra fila Z k. Ejemplo.5: En el siguiente ejemplo observamos una serie de operaciones básicas con filas en la matriz M Z : = 3 Z Z3 : = Z3 Z Z Z3 0 3 Z 3 : = Z Cuando llevamos a cabo una operación de pivotaje, en la matriz M elegimos una entrada m ij, que debe ser distinta de cero. A partir de ese momento giraremos en torno a dicho elemento m ij, por eso a m ij se le llama elemento pivote, del francés pivot = centro de rotación. De acuerdo con la terminología aritmética de las matrices m ij está situado en la i-ésima fila (la fila pivote) y en la columna j-ésima (la columna pivote) de M. Ahora aplicaremos las operaciones básicas con filas y las operaciones de pivotaje sobre el elemento pivote m ij. Nuestro objetivo es convertir la columna j-ésima en el vector unitario e i. Esto se puede hacer: - Dividiendo la i-ésima fila por el elemento pivote m ij, i.e. Z i := (/m ij ) Z i - Eliminando todas las componentes de la columna j excepto la i-ésima: Z k := Z k m kj Z i Ejemplo.6: Veamos la última fila del ejemplo.5 y apliquemos operaciones de pivotaje (los elementos pivote están recuadrados en azul en este ejemplo y en los siguientes) Z : = Z Z Z 3 : = Z Z30 3 Z : = Z Z

26 6 En la primera matriz m es el elemento de pivotaje, es decir, la fila de pivotaje es la fila y la columna de pivotaje es la columna. En la segunda matriz el pivote es m 33, es decir, la fila pivote es la 3 y la columna pivote es la 3. Usando operaciones de pivotaje se pueden resolver fácilmente sistemas de ecuaciones, que usualmente aparecen en problemas de programación lineal. En los siguientes ejemplos echaremos un vistazo a esto. Integraremos los datos del sistema de ecuaciones Mx=b en la matriz ampliada (M b), en la que la última columna es el vector cuyas componentes son los lados derechos de las inecuaciones. Ejemplo.7: Observemos el sistema con dos ecuaciones y cinco variables 3x + 6x + x 4 + 3x 5 =, x + 4x + x 3 + 0x 4 + x 5 = 9. La matriz de coeficientes M y el vector b, el lado derecho de las inecuaciones, describen ( M b) = de forma compacta los datos del sistema de ecuaciones. Si aplicamos las operaciones básicas con filas a la matriz ampliada (A b), en efecto cambiamos los coeficientes, pero los cambiamos en ambos miembros de las ecuaciones, por lo que el conjunto solución no cambia. De esta forma podemos simplificar el sistema de ecuaciones hasta el punto que podemos deducir la solución directamente. Este método lleva el nombre del matemático Friedrich Gauss ( ) (Método de Gauss). Algoritmo.: Método de Gauss para sistemas de ecuaciones Entrada: Salida: Sistema de ecuaciones lineales, dado a partir de su matriz ampliada (M b). Solución del sistema de ecuaciones Mx = b o prueba de que dicho sistema no tiene solución. Paso Comienzan las operaciones de pivotaje en la primera columna, de tal forma que se creen tantos vectores unitarios como sea posible. Paso Nombrar a la matriz ampliada resultante ( M b ). Paso 3 Dar a cada una de las variables del vector unitario i el valor i-ésimo del vector b y cero a las otras. Paso 4 O el vector x producido de esa forma es el vector solución del sistema, o no existe solución.

27 7 Ejemplo.8: Consideremos el sistema de ecuaciones del ejemplo.7. Resolverlo mediante el método de Gauss: M b = : Z = Z Z : = Z Z = ( M ' b' ) ( ) Los vectores unitarios e y e (en rojo) corresponden a la primera y la tercera columna de la matriz ampliada x y x 3. Sus valores se obtienen de la última columna: x = 4 y x 3 =. Las demás variables tienen valor 0, es decir x = x 4 = x 5 = 0. En términos generales, obtenemos el vector solución x = ( ). Como comprobación: M x = = = = b Ejemplo.9: En este ejemplo observamos como el método puede detectar que un sistema no tiene solución Z : = Z Z Z3: = Z3 Z Z : = Z Z : = Z 5 Z Z3: = Z3 Z Ya que el conjunto de soluciones permanece igual a través de operaciones de pivotaje, nos damos cuenta observando la última fila, que corresponde a la ecuación 0x +0x +0x 3 +0x 4 +0x 5 =, que no hay solución. En lugar de hacer operaciones pivote de izquierda a derecha en la matriz M, podemos convertir las columnas en vectores unitarios mediante operaciones de pivotaje. (Si esto es posible, se dice que los vectores de la matriz M son linealmente independientes). Esta técnica sería sencilla si uno casi viera los vectores unitarios en la matriz. Ejemplo.0: En el sistema de ecuaciones definido a partir de la matriz ampliada ( M b) = , se pueden reconocer los vectores unitarios e y e en las columnas cinco y tres. Por lo tanto resolveremos el sistema de la siguiente forma:

28 8 ( M b) Z : = Z Z: = Z Z = ' ' = ( M b ) y por consiguiente obtenemos la solución x 5 =, x =4, x 3 = 7/, por tanto x =(4 0 7/ 0 ) a partir de las columnas de los vectores unitarios. ( Ejercicios Adicionales (ver CD).5-5) La solución en el ejemplo.0 se obtiene de la siguiente forma: En la matriz M con m filas seleccionamos m columnas, de tal forma que esas columnas se pueden transformar mediante operaciones de pivotaje en (M b) con m vectores unitarios diferentes. Por consiguiente, después de la transformación se pueden obtener los valores de las variables a partir de la última columna. El valor para cada una de las variables restantes será cero. Dicha solución se denomina solución básica del sistema de ecuaciones lineales. (El nombre proviene del hecho de que las columnas seleccionadas en la matriz constituyen una base del espacio generado por las columnas de la matriz M.) Cuando se resuelve un problema de programación lineal (en forma estándar), de entre todas las soluciones del sistema de ecuaciones M x = b, solo podemos considerar aquellas que además satisfacen las restricciones de signo x 0. Una solución básica que posee esa condición adicional se denomina solución básica factible ( Ejercicios Adicionales (ver CD).55-56). Teorema fundamental de la programación lineal: Para cada problema de programación lineal que tenga una solución óptima, existe siempre una que contiene a una solución básica factible. La demostración de este teorema está basada en teoría de poliedros. Se sabe que se puede transformar una solución óptima, que no es básica, en una solución básica, sin cambiar el valor de la función objetivo. 3 Ya nos hemos encontrado este caso especial en la sección., cuando determinamos que la solución óptima de un problema de programación lineal (o una de ellas) con dos variables siempre es un vértice. Las soluciones básicas de un sistema de ecuaciones están muy relacionadas con los vértices de un poliedro, y consideraremos esto más detalladamente en los siguientes párrafos. Al crear un teorema fundamental, hemos reducido el problema de encontrar la mejor solución factible de un problema de programación lineal entre infinitas de dichas soluciones, a hacerlo entre un número limitado de soluciones básicas factibles. Aún así, desafortunadamente, hay demasiadas de esas soluciones básicas, porque si elegimos m columnas de entre n+m posibles, tenemos 3 Para una prueba detallada ver Hamacher, H.W., & Klamroth, K. Lineare und Netzwerkoptimierung Linear and Network Optimization: Ein bilinguales Lehrbuch. Vieweg Verlag, 000.