UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE ECONOMIA TEORIA DE JUEGOS Profesora: Marcela Eslava Solución Taller 2 Fecha de Entrega: lunes 23 de febrero

Transcripción

1 UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE ECONOMIA TEORIA DE JUEGOS Profesora: Marcela Eslava Solución Taller 2 Fecha de Entrega: lunes 23 de febrero 1.a) FR A : C A = C M + 1 FR M : C M = C A b) El juego en cuestión no tiene un equilibrio de Nash. Lo anterior se ve con claridad en las gráficas de las correspondencias de reacción: no hay punto en el que estas dos líneas se encuentren, motivo por el cual las jugadoras siempre tendrán un incentivo para moverse unilateralmente. Es de notar que en este caso el teorema de Nash no aplica, pues estamos hablando de un juego infinito (infinitas acciones disponibles para cada jugadora) que, además, no permite estrategias mixtas. Note también que en este caso la falla para generar equilibrio de Nash se deriva de que el juego sea infinito, pues el problema es que las funciones de reacción se extienden indefinidamente hacia el infinito; de hecho, el siguiente punto demuestra que cuando se pone un límite a las acciones posibles de las jugadoras sí se encuentra un equilibrio de Nash (que, de hecho, es en estrategias puras, respaldando la conclusión de que la falla de incluir estrategias mixtas no es la razón para la inexistencia de equilibrio en ESTE PROBLEMA ESPECÍFICO).

2 1.c) 1.d) Hay al menos dos formas de proceder en este punto: 1. Encontrar todos los posibles equilibrios en estrategias mixtas permitiendo probabilidades genéricas de que cada jugador juegue cada estrategia.. Los equilibrios de estrategias puras serán aquellos en los que las probabilidades q y p adopten el valor de 0 y/o 1. Por ejemplo, si p es la probabilidad con la que Andrea juega 1 y q aquella con la que Margarita juega 1, la función de utilidad esperada de Andrea sería (luego de algunos pasos): E(U A )= pq 1.5p -0.5q Que es decreciente en p para cualquier q en el rango posible (note que la derivada de esta función con respecto a p es q-1.5, que es negativa si q cae en el rango [0,1]. Es decir, el p óptimo es 0. Procediendo de manera similar, el q óptimo para Margarita es también 0. Es decir, el único equilibrio es que ambas escojan una cantidad de Note, sin embargo, que para cada jugadora i la estrategia Ci= 2 domina estrictamente a la estrategia Ci=1. Es decir, sin importar qué estrategia (pura o mixta) juegue la otra jugadora, i no será indiferente entre Ci=1 y Ci=2. En estas circunstancias, jamás escogerá una estrategia mixta entre Ci=1 y Ci=2, sino que preferirá la estrategia pura Ci=2. Por tanto, 1.e) EN = {C A = C M = 2} Este juego no tiene equilibrio de Nash en estrategias mixtas ( estrictamente mixtas). La razón es que hay una estrategia de cada jugador que domina estrictamente a otra. Más en general (es decir, más allá de este juego específico) como un jugador en equilibrio sólo escoge una estrategia mixta si es indiferente entre las estrategias puras que está mezclando, y como una estrategia que domina a las demás para un jugador será siempre estrictamente preferida a las demás por él, no se dará indiferencia y no habrá equilibrios en que ese jugador juegue estrategias mixtas.

3 2.a) Revisando las mejores respuestas de cada en la matriz de pagos, podemos encontrar lo siguiente: De esta forma llegaríamos a los siguientes dos Equilibrios de Nash: 2.b) EN = {(S G = Subsidiar, S C = Renegociar), (S G = Subsidiar, S C = Subsidiar)} Iniciamos notando que para los Campesinos S C = Renegociar domina estrictamente a S C = Apoyo, ya que S G, U C (S G, Renegociar) > U C (S G, Apoyo). Tomando la matriz reducida, y procediendo con el mismo método de eliminación de estrategias estrictamente dominadas, notamos que para el Gobierno S C = Subsidiar domina estrictamente tanto a S G = Apoyo como a S G = Renegociar. Por tanto podemos realizar las siguientes eliminaciones:

4 Así, quedamos con la siguiente matriz reducida: Note que la matriz reducida se limita a los Equilibrios de Nash hallados en el numeral anterior. De proseguir con un proceso de eliminación iterativa de estrategias débilmente dominadas, llegaríamos a una solución única, pero estaríamos eliminado uno de los equilibrios de Nash. Así, tanto (S G = Subsidiar, S C = Renegociar) Como (S G = Subsidiar, S C = Subsidiar) podrían ser soluciones resultantes de la eliminación iterativa de estrategias débilmente dominadas. También es importante resaltar que, a diferencia del proceso de eliminación iterativa de estrategias estrictamente dominadas, el orden de las eliminaciones sí importa (i.e., sí altera el resultado final) cuando se sigue un proceso de eliminación débil. 2.c) Observando el resultado tras el proceso de eliminación iterativa de estrategias estrictamente dominadas (la primera parte del proceso explicado en el anterior numeral), notamos que el Gobierno elegiría tanto S G = Renegociar como S G = Apoyo con una probabilidad cero (ya que estas estrategias resultan eliminadas). De igual forma, notamos que los Campesinos elegirían S C = Apoyo con probabilidad cero.

5 Por otra parte, de la matriz reducida podemos concluir que los campesinos son indiferentes entre siempre que el gobierno elija S G = Subsidio. S C = Subsidio y S C = Renegociar Podemos definir p como la probabilidad con que el Gobierno elige S G = Subsidio. Por otra parte, podemos definir q como la probabilidad con que los Campesinos elijen S C = Subsidio y (1-q) como la probabilidad con que éstos eligen S C = Renegociar. Tomando tales probabilidades, y en consonancia con el análisis realizado en el anterior párrafo, podemos concluir que el juego tiene infinitos Equilibrios de Nash, los cuales están dados por la siguiente expresión 2.d) EN = {(p = 1, q) q [0,1]} Tomando la matriz inicial de pagos podemos concluir que la combinación (S G = Apoyo, S C = Apoyo) constituye un óptimo social. Lo anterior es cierto tanto desde una perspectiva utilitaria como desde una perspectiva de Pareto. Por un lado, la suma de los pagos (20+10) es siempre mayor a la suma de los pagos dados por los EN (pues dado un q [0,1], tenemos que 30 > 15(1-q) + 5q +5). Por el otro, notamos que cada jugador podría mejorar su utilidad individualmente (dado que 20>15(1-q) + 5q y que 10>5). El hecho de que no coincidan con el Equilibrio de Nash indica que, dada la estructura de pagos de los jugadores, en este juego la optimalidad entendida como la coincidencia de mejores respuestas no corresponde a otras formas de entender la optimalidad (por ejemplo, como un concepto de optimalidad individual en un sentido absoluto el mejor pago posible que los agentes pudieron haber obtenido-, ni como un concepto de optimalidad en sentido social ni de equidad). Lo anterior no implica que el EN falle intrínsecamente como criterio de optimalidad en cuanto a su coincidencia con un óptimo social (i.e., no es preciso decir que los agentes de este juego están en contra del bienestar social). Lo único que este resultado implica es que, dada la estructura de pagos, los individuos no van a tener incentivos a desviarse unilateralmente de estos Equilibrios de Nash, así existan una combinación de estrategia distinta que provea unos mejores pagos tanto individual como socialmente.