Teoría a de Juegos. M. En C. Eduardo Bustos as

Transcripción

1 Teoría a de Juegos M. En C. Eduardo Bustos Farías as 1

2 Qué es un juego? Un juego es un problema de toma de decisiones en el que participan dos o más individuos ( decisores, jugadores, agentes, controladores). Es una herramienta matemática que analiza las interrelaciones entre dos o mas individuos, y busca un modelo de actuación óptimo. Con un individuo el problema es un problema de control. as 2

3 Qué tipos de juegos hay? Juegos estáticos o de una tirada (one-shot games). Juegos repetidos. Juegos dinámicos. Juego diferencial Juego diferencial estocástico Juegos de saltos (tipo cadenas de Markov), juegos híbridos, as 3

4 Juegos cooperativos: los jugadores deciden cooperar entre ellos para alcanzar un resultado que sea benéfico para ellos. Problema: encontrar equilibrios cooperativos conocidos también n como equilibrios de Pareto. Juegos de Stackelberg: uno de los jugadores es el líder (tira primero) y el resto de los jugadores son seguidores etc, etc, etc, as 4

5 Generalmente, en un juego hay un conflicto de intereses los objetivos de los jugadores pueden oponerse unos contra otros. Por lo tanto, los jugadores tienen que negociar, es decir, ponerse de acuerdo cómo jugar el juego. as 5

6 Como se juega un juego? Juegos no cooperativos: los jugadores no cooperan entre ellos; actúan an independientemente, cada uno tratando de satisfacer su propio objetivo. Problema: encontrar equilibrios no-cooperativos también n conocidos como Equilibrios de Nash. as

7 Elementos del juego Jugadores No jugadores ( naturaleza( naturaleza ) Acciones Información Estrategias Resultados Equilibrio as 7

8 Supuestos Los participantes en la relación: Son conscientes de ésta Buscan el máximo provecho Actúan racionalmente Existe un costo de la relación y se obtiene un beneficio de ella. Se supone que el jugador escogerá la elección óptima as 8

9 Juegos Un juego es una situación n competitiva entre n personas o grupos, denominados jugadores Se realiza bajo un conjunto de reglas previamente establecidas con consecuencias conocidas Las reglas definen las actividades elementales o movimientos del juego. Pueden permitirse diferentes movimientos para los distintos jugadores, pero cada jugador conoce los movimientos de que dispone cada jugador Si un jugador gana lo que otro jugador pierde el juego se le denomina de suma cero as 9

10 Un juego de 2 personas es un juego que tiene solo dos jugadores Cada jugador tiene un número n finito de elecciones o infinito llamadas estrategias. Los resultados o pagos de un juego se resumen como funciones de las diferentes estrategias para cada jugador Un juego con 2 jugadores, donde la ganancia de un jugador es igual a la perdida de otro se conoce como un juego de 2 persona y de suma cero En tal juego es suficiente expresar los resultados en términos t rminos del pago a un jugador. Se emplea una matriz para resumir los pagos al jugador cuyas estrategias están n dadas por los renglones de la matriz as 10

11 Una estrategia pura es un plan previamente determinado, que establece la secuencia de movimientos y contra movimientos que un jugador realiza durante un juego completo. La matriz de consecuencias o pagos proporciona una caracterización n completa del juego al que corresponde. as 11

12 Juegos en Forma Normal Un Juego en Forma Normal consiste en: Jugadores Estrategias de acciones factibles. Matriz de Pagos ( Payoffs( Payoffs ) as 12

13 Juegos de suma cero Se dice que un juego es de suma cero cuando lo que gana un jugador lo pierde el otro, como en ajedrez, poquer, etc. Todos los ejemplos que hemos visto de juegos son de suma cero, por eso en las celdas de la matriz del juego un mismo número es la ganancia para el jugador de los renglones y la pérdida p para el de las columnas. as 13

14 Ejemplo 1 Construya la matriz de pagos para el siguiente juego. Considere un juego de igualar monedas en el cual cada uno de 2 jugadores A y B elige sol (S) ó águila (A). Si son iguales los 2 resultados (S y S) ó (A y A) el jugador A gana 1 peso al jugador B, de otra manera A pierde un peso que paga a B as 14

15 Solución 1.- Son dos jugadores 2.- Lo que uno gana el otro lo pierde 3.- Cada jugador tiene 2 estrategias puras 4.- La matriz de juegos es de 2x2 expresado en términos t del pago al jugador Jugador A Jugador B A S A 1-1 S -1 1 as 15

16 Ejemplo 2 Construya la matriz de juegos para el siguiente juego Considere un juego en el cual 2 jugadores muestran simultáneamente 1, 2 ó 3 dedos uno al otro. Si la suma de dedos mostrados, es par, el jugador II paga al jugador I esta suma en pesos. Si la suma es non, el jugador I paga esa cantidad al jugador II. as 16

17 Solución Son dos jugadores Lo que gana 1 el otro lo pierde por lo que es de suma cero Cada jugador tiene 3 estrategias puras, mostrar 1, 2, 3 dedos La matriz de juegos es de 3x3 expresada en términos del pago del jugador I Jugador II Jugador I as 17

18 A B 10 kms 15 kms 20 kms C Ejemplo 3 Construya una matriz de consecuencias para el siguiente juego. Dos cadenas de supermercados se proponen construir, cada una, una tienda en una región rural en donde se encuentran 3 pueblos. 45% de la población n vive cerca del pueblo A 35% de la población n vive cerca del pueblo B 20% de la población n vive cerca del pueblo C Debido a que la cadena I es más m s grande que la cadena II, la cadena I controlará la mayoría a de los negocios, siempre que sus ubicaciones sean comparativas. Ambas cadenas conocen los intereses de la otra en la región n y ambas han terminado estudios de mercado que dan proyecciones idénticas. as 18

19 Si ambas cadenas se sitúan en el mismo pueblo o los equidistantes de un pueblo, la cadena I controlará el 65% de los negocios en ese pueblo. Si la cadena I está más s cercana a un pueblo que la cadena II, la cadena I controlará 90% de los negocios en este pueblo. Si la cadena I está más s alejada de un pueblo que la cadena II, atraerá a 40% de los negocios de este pueblo. El resto de las operaciones, bajo cualquier circunstancia, irán n a la cadena II. Además s ambas cadenas saben que la política de la cadena I es no ubicarse en pueblos que sean demasiado pequeños, y el pueblo C cae dentro de esta categoría. a. as 19

20 Solución Hay 2 jugadores. El jugador I tiene 2 estrategias puras y el II tiene 3 estrategias puras. as 20

21 I I B A II C Si I se ubica en A y II en B entonces I tendrá (0.9)(0.45) + (0.4)(0.35) + (0.4)(0.2) = O sea el 62.5% de los negocios de la región. as 21

22 A B I C II Si I se ubica en B y II en C, entonces I tendrá (0.9)(0.45) + (0.9)(0.35) + (0.4)(0.2) = 0.8 O sea el 80% de los negocios de la región. as 22

23 A II B I C Si I se ubica en B y II en A entonces I tendrá (0.9)(0.35) + (0.4)(0.45) + (0.9)(0.2) = O sea un 57% as 23

24 A II I B I II C Si ambas cadenas se ubican en el mismo pueblo I recibirá 65% de los negocios de toda la región. as 24

25 Tabla de pagos o consecuencias Jugador I Jugador II A B C A B as 25

26 DOMINANCIA 26

27 Estrategia dominante Se dice que una estrategia es dominante cuando es la mejor opción n del jugador para todas las posibles opciones del contrincante (similarmente para varios contrincantes). as 27

28 Dominancia Algunas veces una fila o columna de la matriz de pagos carece de efectividad para influir sobre las estrategias óptimas y el valor del juego Una estrategia pura P es dominada por una estrategia pura Q si, para cada estrategia pura del oponente, el pago asociado con P no es mejor que el pago asociado con Q. Ya que una estrategia pura dominada no puede ser nunca parte de una estrategia óptima, el renglón n o columna correspondiente en la matriz del juego debe ser eliminada as 28

29 Ejemplo 1. Dominancia I II Observe que entre las filas 1 y 2, la 2 no desempeña ningún papel de importancia en la estrategia del jugador I. 4 > 3-8 > -9 7 > 2-2 > -3 as 29

30 Por lo tanto la probabilidad asociada a ella será cero. La solución n del juego anterior sería a la misma si la matriz de pago fuera: I II as 30

31 Estrategia débilmente d dominante Decimos que una estrategia es débilmente dominante cuando no es peor que ninguna otra estrategia. Es lo mismo que decir que es la mejor o al menos igual a otra. Ojo: Una estrategia dominante es también débilmente dominante; lo contrario no es cierto. as 31

32 Estrategia dominante, ejemplo (cont) Análisis de casos para ver si B tiene estrategia dominante Si A elige 1 (renglón sup.), la mejor opción de B es 2 (u=-2). Si A elige 2 (renglón cen.), la mejor opción de B es 2 (u=0). Si A elige 3 (renglón inf.), las mejores opciones de B son 1 y 2 (u=-5). b 1 b 2 b 3 a a a B tiene una estrategia débilmente dominante as 32

33 Ejemplo 2. Dominancia Determine si alguna de las estrategias puras del problema de la ubicación n de los supermercados en los pueblos A, B y C pueden descartarse por dominación. n. La matriz del juego era: I II A B C A B as 33

34 Solución El jugador I puede descartar ubicarse en A, ya que las consecuencias de esta estrategia siempre son menores o iguales a las consecuencias de B 67.5 > > = 80 I II A B C A B as 34

35 El jugador II puede descartar A y C, ya que son inferiores a B. La matriz es: I II A B C A B II I A B A B C La matriz de consecuencias se reduce al valor en que coinciden ambas tablas B. Lo que indica que el supermercado I debe ubicarse en el pueblo B y controlar as 35 el 65% de los negocios y la cadena II ubicarse en el mismo pueblo y manejar el 35% de los negocios restantes II I A B A B C 20 20

36 VALOR DEL JUEGO EL PAGO QUE SE OBTIENE PARA EL JUGADOR 1 CUANDO AMBOS JUEGAN DE MANERA OPTIMA. JUEGO JUSTO: EL VALOR DEL JUEGO ES 0. as 36

37 CRITERIO MINIMAX JUGADOR 2 ESTRATEGIA JUGADOR QUE OPCION ESCOGE CADA JUGADOR DE MANERA QUE LA MAYOR PERDIDA POSIBLE SEA MINIMIZADA? as 37

38 CRITERIO MINIMAX JUGADOR 2 ESTRATEGIA MÍNIMO JUGADOR MÁXIMO VALOR MAXIMIN PUNTO SILLA VALOR MINIMAX SE SELECCIONA LA OPCION 2 VALOR DEL JUEGO= 0 (JUEGO JUSTO). as 38

39 PUNTO SILLA MINIMAX= MAXIMIN PUNTO SILLA ->NINGUN JUGADOR PUEDE APROVECHAR LA ESTRATEGIA CONOCIDA DE SU OPONENTE -> SOLUCION ESTABLE as 39

40 SOLUCIONES SIN PUNTO SILLA JUGADOR 2 ESTRATEGIA MÍNIMO JUGADOR MÁXIMO maximin minimax as 40

41 Solución Óptima de juegos de 2 personas y suma cero - Juegos estables (Valor de juego, estrategias minimax y maximin). Puntos silla - Juegos Inestables (estrategias mixtas) as 41

42 Juegos inestables o estrategias mixtas El objetivo en la teoría a de juegos es determinar una estrategia mejor para un jugador dado, bajo la consideración n de que el oponente es racional y realizará movimientos inteligentes en contra. En consecuencia si un jugador siempre selecciona la misma estrategia pura o selecciona estrategias puras en un orden fijo, su oponente reconocerá a tiempo el patrón n y tratará de vencerlo, si es posible. Por esto, la estrategia más m s efectiva es una estrategia mixta, definida por una distribución probabilística sobre un conjunto de estrategias puras. as 42

43 Ejemplo 1: Estrategias mixtas. En el juego de mostrar 1,2 ó 3 dados se puede construir una estrategia mixta X=[1/6, 1/3, ½], que significa que el jugador uno, planea mostrar el dedo 1 1/6 de veces, 2 dedos 1/3 de veces, 3 dedos ½ de las veces. as 43

44 Ejemplo 2: Estrategias Mixtas. Sea la siguiente matriz de pagos para un juego de 2 jugadores de suma cero Este juego no tiene punto de silla, ni se puede calcular el valor de juego. Se dice que es un juego inestable. Jugador A Jugador B as 44

45 Solución n del problema de estrategias mixtas Se basa en el criterio mínimax.. La única diferencia es que A (ó( jugador I) elije Xi, la cual maximiza el pago esperado más m pequeño o en una columna, en tanto que B (ó jugador II) selecciona Yj,, la cual minimiza el pago esperado en un renglón. n. Igual que en estrategias puras se verifica la relación: pago esperado minimo < pago esperado maximin as 45

46 Cuando Xi y Yj corresponden a la solución óptima, se cumple la igualdad y los valores resultantes llegan a ser iguales al valor esperado (óptimo)( del juego. Si Xi* * y Yj* * son las soluciones óptimas ptimas para ambos jugadores, cada elemento de pago Aij estará asociado a la probabilidad (Xi*, Yj*). Por consiguiente, el valor esperado óptimo del juego es: En otras palabras cualquier juego matricial tiene un valor as 46

47 Métodos para resolver juegos Métodos para resolver juegos (2xn) ó (mx2) Gráfico De programación n lineal as 47

48 Solución n gráfica de juegos de (2xN) y (Mx2) Las soluciones gráficas son únicamente aplicables a juegos en los cuales, por lo menos uno de los jugadores, tiene solamente 2 estrategias. as 48

49 Solución n gráfica de juegos (mx2) 49

50 Ejemplo 1 Considere el siguiente juego: B A as 50

51 SOLUCIÓN 51

52 El juego no tiene un punto silla. Sean y1 y y2 (=1- y1) dos estrategias mixtas de B. Estrategia pura de A Pagos esperados para B 1-2y y y y1 + 6 as 52

53 El juego no tiene punto silla. Sean Y1 y Y2 (Y2( = 1-Y1) 1 dos estrategias mixtas de B Estrategias puras Pagos esperados Y1 = 0 Y1 = 1 de A de B 1-2Y Y Y Y as 53

54 El punto minimax se determina como el punto mas bajo de la envolvente superior El valor de Y1* se obtiene como el punto de intersección n de las líneas l 1 y 3-2Y1 + 4 = Y Y = -2 Y = 2/3 (Esta es la estrategia óptima para A) Sustituyendo en 1 y en 3 V* = -2(2/3) + 4 = 8/3 2/3 + 2 = 8/3 El valor del juego es 8/3 as 54

55 as 55

56 as 56

57 POR WINQSB ESTRATEGIA ÓPTIMA PARA EL JUGADOR A ESTRATEGIA ÓPTIMA PARA EL JUGADOR B as 57

58 Ejemplo2: Considere el siguiente juego (2x4) 1. Encuentre el punto máximom 2. Calcule la estrategia optima de A 3. Calcule el valor del juego A B as 58

59 Solución El juego no es estable ya que las estrategias puras maximin = 2 es diferente a la mínimax = 3 Por lo que los pagos esperados de A corresponden a las estrategias puras de B son: as 59

60 Estrategias puras Pagos esperados X1 = 0 X1 = 1 de B de A 1-2X X X X Resolviendo 2 y 3 -X1 + 3 = X1 +2-2X1 = -1 X1 = ½ (maximin) La estrategia óptima es (½, ½) V* = - ½ +3 = 5/2 as 60

61 as 61

62 as 62

63 Ejemplo 3: Considere el juego (2x4) Encuentre el punto maximin Calcule la estrategia óptima Calcule el valor de juego P1 P as 63

64 Solución El juego no es estable ya que las estrategias puras maximin = 15 es diferente a mínimax = 16 Estrategias puras Pagos esperados de P2 de P1 1 (19-0)X1 + 0 = 19X1 2 (15-20)X = -5X (17-15)X = 2X (16-5)X1 + 5 = 11X1 + 5 X1 = 0 X1 = as 64

65 Resuélvalo por winqsb as 65

66 Método simplex 66

67 Solución n de juegos (mxn( mxn) ) por programación n lineal Se trata de Maximizar el valor del juego (representado por las estrategias de un jugador). Sujeto a la combinación n lineal por renglón n de la matriz de juego. Si el valor maximin es positivo se procede de este modo, si es negativo se agrega a la matriz de juego una constante k as 67

68 Ejemplo 1. Sea la matriz de consecuencias para el juego (2x2): Jugador 1 Jugador 2 B1 B2 A1 0 ½ A2 1 0 as 68

69 Solución n por programación lineal Como el valor maximin = 0, se procede a resolver: MAX Z = Y1 + Y2 S.A. Jugador 1 0Y Y2 <= 1 1Y1 + 0Y2 < = 1 Y1, Y2 >= 0 Jugador 2 B1 B2 A1 0 ½ A2 1 0 as 69

70 Solución n por Winqsb: planteamiento Jugador 1 Jugador 2 B1 B2 A1 0 ½ A2 1 0 as 70

71 Datos importantes as 71

72 Estrategias óptimas Estrategias óptimas del jugador 2 V* = 1/3 Y1* = 1/3 Y2* = 2/3 (.3,.6) Estrategias para uno de los jugadores Para obtener las estrategias óptimas del jugador 1 resolvemos por simplex dual y se tiene: X1* = 2/3 X2* = 1/3 (0.66, 0.33), véase v que suman 1. as 72

73 Ejemplo 2. Solución n por PL Considere el juego (4x2) A B as 73

74 Solución: planteamiento Como el valor maximin = 2 >= 0, la estrategia óptima del jugador B se obtiene resolviendo el siguiente problema de programación n lineal. MAX z = Y1 + Y2 s.a. 2Y1 + 4Y2 <= 1 2Y1 + 3Y2 <= 1 3Y1 + 2Y2 <= 1 A -2Y1 + 6Y2 <= 1 Y1, Y2 >= 0 B as 74

75 Método simplex Resolviendo por el método m simplex Z = Y1 = 0.257/ Y2 = 0.125/ Valor de juego V* = 1/Z = 2.66 La estrategia óptima de B es: (Y1/V1*, Y2/V2*) = (0.66, 0.33) Para el jugador A su estrategia óptima resulta al resolver el problema dual: (0.33, 0, 0.66, 0) as 75

76 Ejemplo 3: Considere el siguiente juego Resolver por el método simplex as 76

77 Solución Como el valor maximin = 15 >= 0, la estrategia óptima del jugador P2 se obtiene resolviendo el siguiente sistema. MAX Z = Y1 + Y2 + Y3 +Y4 s.a. 19Y1 + 15Y2 + 17Y3 + 16Y4 <= 1 0Y1 + 20Y2 + 15Y3 + 5Y4 <= 1 Y1, Y2, Y3, Y4 >= 0 Resolviendo por el método m simplex Z = Y1 = Y3 = 0 Y2 = Y4 = El valor del juego V* = 1/Z = 15.3 La estrategia óptima del jugador P2 es: (Y1*, Y2*, Y3*, Y4*) = (0, 0.68, 0, 0.32) as 77

78 Puntos de equilibrio 78

79 Puntos de equilibrio En muchos juegos ningún n jugador tiene una estrategia dominante. Sin embargo, hay combinaciones de estrategias que son razonables para los jugadores, en el sentido de que a ninguno le conviene cambiar su estrategia. A estas celdas de la matriz del juego se les llama equilibrio de Nash as 79

80 Ejemplo de juego con punto de equilibrio (cont( cont) Se supone que las compañí ñías A y B consideran las tres mismas estrategias para ganar una mayor parte relativa del mercado como sigue: a1 o b1: Sirve refrescos durante el viaje. a2 o b2: Introduce autobuses con aire acondicionado. a3 o b3: Anuncia diariamente en estaciones de televisión as 80

81 Ejemplo de juego con punto de equilibrio (cont( cont) Cambiamos los puntos de la tabla de modo que ningún n jugador tiene una estrategia dominante: b 1 b 2 b 3 a a a Mínimo de fila Maximin Máximo de columna Minimax as 81

82 Puntos de equilibrio.- ejemplo - b 1 b 2 b 3 a a a Sin embargo, el punto (a 2,b 2 ) es de equilibrio: Al jugador A no le conviene cambiar de a 2 (u=-8) a a 3 (u=-10) o a a 1 (u=-11). Al jugador B no le conviene cambiar de b 2 (u=-8) a b 1 (9) o a b 3 (u=-6) as 82 El otro jugador (A) escogería a 3 para contrarrestar su estrategia

83 Ejemplo de juego de suma cero con Considérese la siguiente matriz: mas de un equilibrio b 1 b 2 b 3 Mínimo de la fila a a a Máximo de la columna Minimax Maximin Es un juego con dos puntos silla. Aquí se tienen dos puntos de equilibrio; uno corresponde a a 2 y b 1, y el otro corresponde a a 2 y b 2. as 83

84 JUEGOS DE DOS PERSONAS QUE NO SON DE SUMA CERO 84

85 JUEGOS Y DECISIONES ESTRATÉGICAS Juegos que no son de suma cero Pueden ser: Cooperativos. Si los jugadores pueden negociar contratos obligatorios que les permitan planear estrategias conjuntas No Cooperativos: Si no son posibles la negociación n y la aplicación n de un contrato obligatorio. Equilibrio en juegos que no son de suma cero Tipos de Equilibrio: De estrategia dominante De Nash as 85

86 El equilibrio de estrategias Dominantes Estoy haciendo lo mejor que puedo sin importar lo que tu hagas Tu estas haciendo lo mejor que puedes sin importar lo que yo haga. as 86

87 El equilibrio de Nash Yo estoy haciendo lo mejor que puedo dado lo que tu estas haciendo Tu estas haciendo lo mejor que puedes dado lo que yo estoy haciendo. as 87

88 Juegos no cooperativos de dos personas de suma no cero En los juegos de suma no cero las celdas de la matriz tienen dos números, n meros, uno para la ganancia del jugador de los renglones y el otro para la ganancia del jugador de las columnas. as 88

89 Un Juego en Forma Normal Jugador 2 Jugador 1 Estrategia A B C a b c 12,11 11,12 14,13 11,10 10,11 12,12 10,15 10,13 13,14 as 89

90 Un Juego en Forma Normal: Análisis de Escenarios Supongamos que 1 piensa que 2 escogerá A. Jugador 2 Jugador 1 Estrategia A B C a b c 12,11 11,12 14,13 11,10 10,11 12,12 10,15 10,13 13,14 as 90

91 Un Juego en Forma Normal: Análisis de Escenarios Entonces 1 debería a escoger a. La mejor respuesta de 1 a A es a. Jugador 2 Jugador 1 Estrategia A B C a b c 12,11 11,12 14,13 11,10 10,11 12,12 10,15 10,13 13,14 as 91

92 Un Juego en Forma Normal: Análisis de Escenarios Supongamos que 1piensa que 2 escogerá B. Jugador 2 Jugador 1 Estrategia A B C a b c 12,11 11,12 14,13 11,10 10,11 12,12 10,15 10,13 13,14 as 92

93 Un Juego en Forma Normal: Análisis de Escenarios Entonces 1 debería a escoger a. La mejor respuesta de1a B es a. Jugador 2 Jugador 1 Estrategia A B C a b c 12,11 11,12 14,13 11,10 10,11 12,12 10,15 10,13 13,14 as 93

94 Un Juego en Forma Normal: Análisis de Escenarios De forma similar, si 1 cree que 2 escogerá C La mejor respuesta de 1 a C es a. Jugador 2 Jugador 1 Estrategia A B C a b c 12,11 11,12 14,13 11,10 10,11 12,12 10,15 10,13 13,14 as 94

95 Estrategia Dominante Independientemente de si el Jugador 2 escoge A, B, o C; la mejor respuesta del Jugador 1 es escoger a a es la Estrategia Dominante para el Jugador 1 Jugador 2 Jugador 1 Estrategia A B C a b c 12,11 11,12 14,13 11,10 10,11 12,12 10,15 10,13 13,14 as 95

96 Póngase en la posición n de su Rival Qué debería a hacer el Jugador 2? 2 no tiene una estrategia dominante Pero 2 debería a razonar que 1 va a escoger a. Por tanto, 2 debe escoger C. Jugador 1 Jugador 2 Strategy A B C a b c 12,11 11,12 14,13 11,10 10,11 12,12 10,15 10,13 13,14 as 96

97 El Resultado Jugador 2 Jugador 1 Estrategia A B C a b c 12,11 11,12 14,13 11,10 10,11 12,12 10,15 10,13 13,14 Este resultado se conoce como Equilibrio de Nash: a es la mejor respuesta del jugador 1 a C C es la mejor respuesta del Jugador 2 a a. as 97

98 Ejemplo 2. Juegos que no son de suma cero Dos empresas A y B venden productos competidores están n decidiendo si han de emprender campañas as de publicidad o no. No negocian entre ellos, pero ambas se verán n afectadas por la decisión n de su competidora. Analizar: Si es un juego cooperativo o no El equilibrio de estrategia dominante El o los equilibrios de Nash as 98

99 Matriz de pagos del ejemplo 2 Empresa A Hacer Publicidad No Hacer Publicidad Empresa B Hacer No Hacer Publicidad Publicidad 10, 5 15, 0 6, 8 10, 2 as 99

100 Solución Es no cooperativo, ya que las empresas no negocian Para la empresa A la estrategia pura dominante es hacer publicidad, (No importa lo que haga B, tiene pagos mayores a lo de B 10 > 5 y 15 > 0). Para la empresa B una estrategia pura dominante es hacer publicidad ya que sus pagos 5 y 8 son mayores a los de no hacer publicidad 0 y 2. Como ambas estrategias coinciden para este juego no cooperativo la estrategia dominante es hacer publicidad. Empresa A Hacer Publicidad No Hacer Publicidad Empresa B Hacer No Hacer Publicidad Publicidad 10, 5 15, 0 6, 8 10, 2 as 100

101 El equilibrio de Nash se obtienen en aquellos puntos donde cada jugador esta haciendo lo mejor que puede dadas las acciones del oponente. También n coincide con la estrategia de que ambas empresas hagan publicidad, cada empresa esta satisfecha y no tiene ningún n incentivo para cambiarla. as 101

102 Ejemplo 3. Juegos que no son de suma cero Dos jugadores eligen águila o sol en su moneda y la muestran al oponente. Analizar: Si es un juego cooperativo o no La estrategia dominante El equilibrio de Nash as 102

103 Jugador B A S A 1, -1-1, 1 Jugador A S -1, 1 1, -1 as 103

104 Solución No es un juego cooperativo ya que cada jugador elige que mostrar y ello le de una ganancia o una perdida. No pueden ponerse de acuerdo los jugadores ya que cada uno busca su beneficio Las estrategias puras dominantes para A son obtener AA ó SS. Las estrategias puras dominantes para B son obtener AS ó SA. No hay equilibrio de estrategias dominantes en este juego. Jugador B A S A 1, -1-1, 1 Jugador A S -1, 1 1, -1 as 104

105 No hay un equilibrio de Nash en estrategias puras ya que ninguna combinación n de A ó S dejan satisfechos simultáneamente a ambos jugadores. as 105

106 Ejemplo 4. Juegos que no son de suma cero Dos prisioneros son atrapados in fraganti.. Son encerrados en celdas separadas, no pueden comunicarse. No saben que hará el otro. Analizar Si el juego es cooperativo o no El equilibrio de estrategias dominantes El equilibrio de Nash as 106

107 El dilema de los prisioneros El dilema de los prisioneros es un juego que se usa para producir predicciones. as 107

108 El dilema de los prisioneros Arturo y Roberto fueron capturados robando un automóvil. El Ministerio Público P sospecha que son responsables de un robo cometido hace unos meses. El Ministerio Público P decide hacerlos participar en un juego. as 108

109 El dilema de los prisioneros Reglas del juego A los prisioneros se les coloca en habitaciones separadas y no pueden comunicarse entre sí. s Se les informa que son sospechosos del robo anterior. Si ambos confiesan, serán n sentenciados a cinco años. a Si uno confiesa y el otro no, el que confiese será sentenciado a 2 años a y el otro a 10 años. as 109

110 El dilema de los prisioneros Estrategias (posibles acciones) Ambos pueden: Confesar el robo anterior Negar haber cometido el robo anterior as 110

111 El dilema de los prisioneros Recompensas Existen cuatro resultados posibles: Ambos confiesan. Ambos lo niegan. Arturo confiesa y Roberto lo niega. Roberto confiesa y Arturo lo niega. as 111

112 Matriz de Pagos del Dilema de los Prisioneros Estrategias de Arturo Confesar Negar 5 años 10 años Confesar Estrategias de Roberto 5 años 5 años Negar 10 años 5 años 2 años 2 años as 112

113 Otra presentación n de la matriz de pagos Prisionero B Prisionero A Confiesa No Confiesa Confiesa -5, -5-5, -10 No -10, -5-2, -2 Confiesa El primer número en cada lugar de esta matriz es la recompensa (negativa, ya Que los años de prisión no se desean) al prisionero B, y el segundo elemento De cada elemento es la recompensa del prisionero A. as 113

114 El dilema de los prisioneros Surge una estrategia dominante. Ambos deberían negarlo porque: Si ambos lo niegan, serán n sentenciados solamente a 2 años; a pero no saben si el otro lo negará. Si Arturo lo niega pero Roberto no, Arturo recibirá solamente 5 años. a Si Arturo lo niega, pero Roberto confiesa, Arturo recibirá 10 años. a Al final, ambos deciden que les conviene confesar equilibrio de Nash. as 114

115 Solución Es no cooperativo ya que no pueden ponerse de acuerdo La estrategia dominante para cada prisionero es confesar sin importar lo que haga el otro El equilibrio de Nash también n seria confesar, considerando lo que haga el otro prisionero (-5,( 5,-5). 5). as 115

116 Como en un juego de 2 personas de suma cero, la elección n de la estrategia por parte de cada jugador (prisionero) es un punto de equilibrio si ningún n jugador puede sacar provecho de un cambio unilateral de estrategia. as 116

117 Dilema del prisionero (cont( cont) Como vemos la estrategia de traicionar es una estrategia dominante para ambos, aunque terminan peor que si ambos se hubieran puesto de acuerdo para no confesar. Dos individuos que persiguen sus intereses personales, se ven guiados a un resultado adverso para ambos salvo que existan normas que impidan la traición. El resultado es una solución n de equilibrio. as 117

118 Qué tipo de estrategias garantizan la cooperación n entre individuos que persiguen su propio interés? Las estrategias que priorizaron la cooperación n en lugar de tratar de aprovecharse del otro jugador generan mejores resultados, demostrando que aun cuando dos jugadores tienen en cuenta solamente sus intereses, les conviene cooperar entre sí. s as 118