Funciones de variable compleja

Transcripción

1 Capítulo 3 Funciones de variable compleja Vamos a trabajar con los ya conocidos números complejos C. Mucho del material de esta primera parte se verá muy rápido y sin mucho cuidado, por ser solo un repaso de conocimientos adquiridos en materias anteriores 3.1. Algebra y topología en C Algebra en C Como conjunto C = R = {(x, y) tq: x R, y R}, con las siguientes operaciones: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) = suma, y (a, b) (c, d) = (ac bd, ad + bc) = producto. Lo nuevo acá con respecto a R es el producto, que transforma la modesta estructura de espacio vectorial de R en estructura de cuerpo, es decir: La suma es asociativa La suma es conmutativa. (0, 0) el único número complejo tal que (a, b) + (0, 0) = (a, b) para todo número complejo (a, b) (neutro aditivo). Para todo complejo (a, b), ( a, b) el único número complejo tal que (a, b) + ( a, b) = (0, 0) (inverso aditivo). El producto es asociativo. 87

2 88 Funciones de variable compleja El producto es conmutativo. (1, 0) el único número complejo tal que (a, b) (1, 0) = (a, b) para todo número complejo (a, b) (neutro multiplicativo). Si (a, b) (0, 0), entonces 1 (a,b) = ( a a +b, ) b a +b ( ) (a, b). a b, = (1, 0) (inverso multiplicativo). a +b a +b La multiplicación se distribuye con la suma. es el único número complejo tal que Se denota (a, 0) = a; esta notación es buena porque respeta la suma y el producto: (a, 0) + (b, 0) = (a + b, 0), y (a, 0) (b, 0) = (ab, 0), es decir, cuando opero con pares que tienen cero en la da coordenada puedo hacer las operaciones como si fueran números reales (no es lo mismo si intercambiamos las coordenadas en el razonamiento anterior: (0, 1) (0, 1) = ( 1, 0)). Esto permite ver a los números reales metidos en los complejos, pensando cada a real como (a, 0). También se denota i = (0, 1), de modo que (a, b) = (a, 0) + (b, 0) (0, 1) = a + ib, y así no se usa más la notación de par ordenado. Notar que ii = i = 1, y que (a, o) (0, b) = (0, ab), es decir, a (ib) = i (ab). Nota importante 3.1 el cuerpo C no es ordenado, es decir, no se puede extender a C el orden que uno conoce en R (ni definir en C ningún orden con las propiedades del orden de R), por lo tanto cada ves que se vea un signo, en sus extremos deberán aparecer números reales. Si z = a + ib, entonces se pone: Re (z) = a, Im (z) = b (parte real e imaginaria de z) z = a ib, el conjugado de z z = a + b, el módulo de z (el mismo módulo de Análisis II, o sea (a, b), o sea es un número real que mide distancias). Notar que z z = z, en particular si z 0 entonces 1 z = Algunas propiedades básicas son: z z. Re (z) = 1 (z + z), Im (z) = 1 i (z z) (z + w) = z + w, zw = z w zw = z w, z/w = z / w, z = z z + w z + w (desigualdad triangular) z Re (z) z, z Im (z) z.

3 Funciones de variable compleja Representación polar Esto es darle al plano complejo las coordenadas polares conocidas de Análisis II, es decir (x, y) = (r cos θ, r sin θ) = r (cos θ + i sin θ), con la notación compleja. Claramente, z = r, y θ se llama el argumento de z y se denota arg (z). Si cambio θ por θ + kπ, con k un entero, me sigue dando el mismo número complejo, o sea el argumento de un número complejo no esta unívocamente determinado, lo que si es cierto es que para todo número complejo z 0 hay un único θ con π < θ π tal que z = r (cos θ + i sin θ), y ese de llama el argumento principal de z. Para escribir menos, se denota cos θ + i sin θ = cis (θ). Si z 1 = r 1 cis (θ 1 ) y z = r cis (θ ), usando la regla de la suma del coseno y del seno se ve que z 1 z = r 1 r cis (θ 1 + θ ), es decir, arg (z 1 z ) = arg (z 1 ) + arg (z ) (ejercicio: que función real f (x) tiene la propiedad de que f (xy) = f (x) + f (y)?). Multiplicando muchos z s, tenemos z 1...z n = r 1...r n cis (θ θ n ), en particular z...z }{{} = z n = r n cis (nθ). Esto es muy útil para encontrar raíces n-ésimas: si n es un natural y w un complejo, una raíz n-ésima de w es un número complejo z tal que z n = w. Si z = rcis (θ) y w = w cis (α), igualando las expresiones queda z n = r n cis (nθ) = w cis (w), n { r n { = w r = nθ = α + kπ, k Z, n w θ = α n + k n π, k Z, lo cual significa que tenemos n raíces complejas distintas: z = n ( α w cis n + k ) n π, con k = 0, 1,..., (n 1) (pues cuando k = n estoy de nuevo en la raíz de argumento α/n) Topología en C Esa palabra se refiere a la calificación de los subconjuntos del plano en abiertos, cerrados, conexos, etc., que son cosas estudiadas y usadas en Análisis II, lo único que cambia ligeramente es la notación, porque ahora en lugar de usar pares ordenados (a, b), usamos a + ib. Para hacer una refrescada de memoria, vamos a hacer una lista de las más importantes. Con z 0 vamos a denotar un número complejo, y con S un subconjunto de C. Un entorno de z 0 es B ε (z 0 ) = {z C tq: z z 0 < ε}, donde ε es un número real positivo (esto es, una bola de radio ε alrededor de z 0 ) 1 z 0 se dice interior de S si hay algún entorno de z 0 todo metido en S. z 0 se dice punto frontera de S si todo entorno de z 0 contiene puntos de S y puntos que no están en S (notar que no importa si z 0 está en S o no). 1 En R en Análisis II poníamos { } (x, y) tq: (x x 0) + (y y 0) < ε

4 90 Funciones de variable compleja La clausura de S es el conjunto formado por S y todos los puntos frontera de S. S se dice abierto si todos sus puntos son interiores, y cerrado si contiene todos sus puntos frontera. S se dice conexo si todo par de puntos en S se pueden unir con una línea poligonal en S. S se dice simplemente conexo si toda curva cerrada en S contiene en su interior sólo puntos de S (o si el complemento es conexo). S se dice acotado si existe algún número M > 0 tal que S {z C tq: z M}. S se dice compacto si es cerrado y acotado Comentario argumental En muchos libros sobre números complejos se encuentra la expresión si z = x + iy entonces arg (z) = arctan (y/x), pero en general no se explica que es arctan, y merece cierto cuidado: la tangente de un ángulo θ con π/ < θ < π/ se define como tan (θ) = y x (ver dibujo), resultando tan (θ) > 0 si (x, y) esta en el primer cuadrante, y tan (θ) < 0 si está en el cuarto cuadrante. y 0 µ x z 0 x µ y 1 º z 1 º Después se extiende a todo R por periodicidad, o sea como una función periódica de período π. Por lo tanto, si (x, y) esta en el segundo cuadrante (o sea si x < 0, y > 0), o sea si π/ < θ < π, tan (θ) = tan (θ π) = y/x (!), y símil para el tercer cuadrante, resultando tan (θ) = y/x para todo θ donde está definida, o sea para todo x 0 (todo esto se podría hacer con más cuidado diciendo que tan está definida si x > 0, y luego hacer el cambio de cuadrante de forma de que x quede positivo, pero no es el punto). y µ x µ º x 3 º º 1 º 0 1 º º 3 º º 5 º y

5 Funciones de variable compleja 91 Entonces, el problema no está en el y/x que aparece en todas las explicaciones dibujado invariablemente en el primer cuadrante, sino en lo ambiguo de la expresión arctan ( es una inversa de tan?, es la inversa de la rama central de tan?), que cambia según donde esté el punto (x, y) y según que argumento estemos usando. Por ejemplo, si (x, y) está en el segundo cuadrante y estamos usando el argumento principal entonces arctan será una inversa de tan en el intervalo (0, π) (y entonces nuestra calculadora no nos servirá para calcular el argumento de z = x + iy). º Funciones de variable compleja Así se llama a las funciones con dominio e imagen en C. De nuevo, como C=R, tenemos de Análisis II muchas funciones f : D R R, como por ejemplo f (x, y) = ( x y, xy ), nada más que ahora vamos a usar la notación compleja. Así, si z = x + iy, la función de arriba queda f (z) = f (x, y) = x y + ixy = (x + iy) = z. Es decir, una función compleja es una regla que asigna a cada número complejo z de un conjunto D, otro número complejo que se denota f (z). Notar que dice regla y no fórmula: la { z si z 1 f (z) = z si z > 1 es una función. Al conjunto D de arriba se lo llama el dominio de la función, y cuando no se especifica se toma como dominio al mayor conjunto donde la regla tiene sentido. Como toda función compleja f tiene su imagen en R, resulta que f tiene dos coordenadas; usualmente se denota f (z) = u (z) + iv (z), donde u : D C R es la parte real de f, y v : D C R es la parte imaginaria. z Ejemplo 3. f (z) = z+1, es una función compleja cuyo dominio es C {±1}. Para encontrar la parte real e imaginaria de f la escribimos en coordenadas: f (z) = z z + 1 = z(z + 1) (x + iy) (x iy + 1) = (z + 1) (z + 1) (x + iy + 1) (x iy + 1) = = x (x + 1) + y + iy (x + 1) xy (x + 1) + y = x + x + y + iy (x + 1) + y,

6 9 Funciones de variable compleja o sea f (x, y) = x + x + y (x + 1) + y + i y (x + 1) + y. Todas las nociones límite, de continuidad, derivadas parciales, etc. de Análisis II se pueden aplicar acá, pues si tenemos una función de variable compleja f (z), entonces tenemos una función f (x, y) = (u (x, y), v (x, y)), y tiene perfecto sentido hablar de u x, por ejemplo. Veamos cómo quedan las nociones de límite y continuidad con esta nueva notación: si f (z) es una función compleja definida en un conjunto abierto D C, z 0 D, y w 0 C, entonces diremos que lím f (z) = w 0 si ε > 0 δ > 0 tal que f (z) w 0 < ε si z z 0 < δ. z z 0 Dicho en criollo, si para cada bolita (de radio ε) centrada en w 0 que yo ponga, hay una bolita (de radio δ) centrada en z 0 que f lleva adentro de la primer bolita. Dicho más en criollo, cuando la variable z está cerca de z 0, la imagen f (z) está cerca de w 0. De nuevo, todas las nociones de límite de Análisis II se aplican. Ejemplo 3.3 Si f (x + iy) = x sin (y) + i ( x y ) e y, entonces lím f (z) = sin (1). z 1+i Proposición 3.4 Sean f, g funciones complejas definidas en un entorno de z 0, entonces: 1. lím (f + g) (z) = lím f (z) + lím g (z).. lím (fg) (z) = lím f (z) lím g (z). 3. lím (f/g) (z) = lím f (z) / lím g (z), siempre que lím g (z) lím f (z) = w 0 = x 0 + iy 0 si y solo si lím Re f (z) = x 0 y lím Im g (z) = y Si lím f (z) existe, entonces lím f (z) = lím f (z) z z 0. Demostración. Ejercicio, es un corolario de las propiedades del límite en Análisis I y II. Las primeras tres afirmaciones deben ser entendidas así: si dos de los tres límites que aparecen existen, entonces existe el tercero y vale al igualdad. Definición 3.5 Si f es una función compleja, diremos que f es continua en z 0 si esta definida en un entorno de z 0 y lím f (z) = f (z 0 ). Si f es continua en todos los puntos de un conjunto D, diremos que f es continua en D (notar que necesariamente D es abierto). Teorema 3.6 Sean f, g funciones complejas continuas definidas en D, entonces: 1. f + g, fg, f g, son continuas en D, y f/g es continua en todos los puntos de D donde g no se anula.

7 Funciones de variable compleja 93. Si h : R C D es una función continua entonces f(h(z)) es continua en R. 3. Si f = u + iv, entonces f es continua si y solo si u, v : R R son ambas continuas. 4. Si f (z 0 ) 0 para algún z 0 D, entonces existe un entorno B de z 0 en D tal que f (z) 0 para todo z B. 5. Si K D es un conjunto compacto entonces existe z 0 tal que f (z) f (z 0 ) para todo z K, en particular, f es acotada en K. Demostración. Para 1 y ver la carpeta de Análisis I. El punto 3. es un campo vectorial es continuo si y solo su sus funciones coordenadas lo son, y los puntos 4. y 5. son aplicaciones de resultados de Análisis II al campo escalar continuo f. Ejemplo 3.7 La función f(z) = 1/z es continua en C {0} pues si z = x + iy entonces 1 z = x iy (x + iy)(x iy) = x x + y + i y x + y, y claramente las funciones coordenadas son continuas en R {0} Funciones analíticas, ecuaciones de Cauchy-Riemann La novedad en C (con respecto al R de Análisis II) es que acá podemos dividir. En Análisis II, si teníamos una f (x, y) entonces calculábamos sus derivadas parciales, derivadas direccionales, diferenciales, etc., pero nunca derivada porque la expresión no tenía sentido. Acá sí: f ((x, y) + ( x, y)) f (x, y) ( x, y) Definición 3.8 Sea f (z) una función definida en un abierto D C, y z 0 D. La derivada de f en z 0 es df dz (z 0) = f f (z 0 + z) f (z 0 ) (z 0 ) = lím, z 0 z siempre que tal límite exista. En estas condiciones, diremos que f es derivable en z 0. Si f es derivable en todos los puntos de D diremos que f es derivable en D; en tal caso, f es una nueva función compleja definida en todo D. Notar que el límite de la expresión de arriba es un límite del tipo de los de Análisis II, es decir z = ( x, y) R, y hacemos ( x, y) (0, 0) ; lo que es nuevo es que estamos dividiendo por z (y se pide D abierto para poder tomar dicho límite). Otra expresión para la derivada de f en z 0 es f (z) f (z 0 ) lím, z z 0 z z 0 que se obtiene de la anterior cambiando z por z z 0.

8 94 Funciones de variable compleja Ejemplo 3.9 f (z) = z, f (z + z) z (z) = lím z 0 z z + z z + ( z) z = lím z 0 z = lím (z + z) = z. z 0 Como primer resultado análogo a la teoría de variable real tenemos el siguiente: Teorema 3.10 Si f es derivable en z 0 entonces es continua en z 0. Demostración. Que f sea continua es que lím f (z) = f (z 0 ), que es lo mismo que lím (f (z) f (z 0 )) = 0 z z 0 Pero [ ] f (z) f (z0 ) lím (f (z) f (z 0 )) = lím (z z 0 ) = f (z 0 )0 = 0, listo. z z 0 z z 0 No todas las funciones continuas son derivables, por ejemplo la función f (z) = z es continua en todo C y no es derivable en ningún punto. En el siguiente teorema recopilamos más propiedades análogas a la teoría de variable real: Teorema 3.11 Sean f, g funciones complejas derivables en z 0, entonces: 1. f + g es derivable en z 0 y (f + g) (z 0 ) = f (z 0 ) + g (z 0 ).. fg es derivable en z 0 y (fg) (z 0 ) = f (z 0 )g (z 0 ) + f (z 0 ) g (z 0 ). 3. Si g(z 0 ) 0 entonces f/g es derivable en z 0 y (f/g) (z 0 ) = f (z 0 )g(z 0 ) f(z 0 )g (z 0 ) g(z 0 ). 4. Si h es una función compleja derivable en f (z 0 ) entonces (h f) es derivable en z 0 y (h f) (z 0 ) = h (f (z 0 ))f (z 0 ). 5. La derivada de las funciones constantes es cero. 6. La derivada de z n es nz n 1, con n N. Demostración. Ejercicio, ver la carpeta de Análisis I y copiar, todas las demostraciones hechas ahí deberían funcionar por tener C las mismas propiedades de cuerpo que R. Hay otro camino para hacerlo, que se verá más adelante (reduciendo las propiedades a parte real e imaginaria). El hecho de que una función compleja sea derivable es muy fuerte, es decir, le estamos pidiendo a la función que cumpla algo medio difícil de cumplir porque el límite de la definición de derivada debe existir (como todo límite) haciendo z 0 por todos los caminos. Vamos a usar esto para encontrar condiciones para que una función sea derivable. Para esto, tomamos una función f = u + iv que sea derivable en z = x + iy, entonces f f (z + z) f (z) f ((x, y) + ( x, y)) f (x, y) (z) = lím = lím = z 0 z ( x, y) (0,0) x + i y = lím ( x, y) (0,0) u (x + x, y + y) u (x, y) + i [v (x + x, y + y) v (x, y)]. x + i y

9 Funciones de variable compleja 95 Ahora, haciendo z real, o sea haciendo y = 0 (o sea haciendo que z tienda a cero por el eje x del plano), queda f u (x + x, y) u (x, y) + i [v (x + x, y) v (x, y)] (z) = lím = x 0 [ x ] u (x + x, y) u (x, y) v (x + x, y) v (x, y) = lím + i = x 0 x x = u x (x, y) + iv x (x, y). Por otro lado, haciendo z imaginario puro (o sea x = 0) queda f u (x, y + y) u (x, y) + i [v (x, y + y) v (x, y)] (z) = lím = y 0 i y [ ] u (x, y + y) u (x, y) v (x, y + y) v (x, y) = lím + i = x 0 i x i y = 1 i u y (x, y) + v y (x, y) = v y (x, y) iu y (x, y). Es decir, hemos obtenido dos expresiones para f (z), que obviamente deben ser iguales. Esto lleva a concluir que u x (x, y) + iv x (x, y) = v y (x, y) iu y (x, y) o lo que es lo mismo, u x = v y u y = v x Estas son ecuaciones muy famosas e importantes, y se llamas las ecuaciones de Cauchy- Riemann (C-R para nosotros, de ahora en más). Con las cuentas de arriba hemos probado el siguiente teorema: Teorema 3.1 Si la función f = u + iv es derivable en z, entonces u y v tienen derivadas parciales en z, y cumplen las ecuaciones de C-R en z. Seguimos avanzando en la misma dirección: veremos que además u y v son diferenciables. y entonces 0 = lím f (z) z = [u x (z) x v x (z) y] + i [u x (z) y + v x (z) x] = = [u x (z) x + v y (z) y] + i [u y (z) y + v x (z) x] = = [ u (z) ( x, y)] + i [ v (z) ( x, y)] f(z+ z) f(z) f (z) z z 0 z = [ u(z+ z) u(z) [ u(z) ( x, y)] z [ u(z+ z) u(z) [ u(z) ( x, y)] z = lím z 0 = lím ( x, y) (0,0) z = lím [A ( z) + ib ( z)] ( x, y) (0,0) z, ] + i v(z+ z) v(z) [ v(z) ( x, y)] z = + i v(z+ z) v(z) [ v(z) ( x, y)] z ] z z

10 96 Funciones de variable compleja (donde hemos renombrado los términos con A y B). Como z z lím [A ( z) + ib ( z)] = 0, ( x, y) (0,0) = 1, eso implica que por lo tanto cada coordenada tiene límite cero, es decir, u y v son diferenciables en z. La recíproca sale leyendo al revés: supongamos que u y v son dos funciones diferenciables (cualquiera) y que cumplen las ecuaciones entonces si llamo f = u + iv, w = u x + iv x, luego (con la misma notación) lím [A ( z) + ib ( z)] = 0, ( x, y) (0,0) y entonces (leyendo toda la cuenta al revés) llegamos a 0 = lím z 0 f (z + z) f (z) w z, z es decir, f es derivable y z y f (z) = w. Hemos probado el siguiente teorema: Teorema 3.13 f : D ab C una función, f = u + iv, entonces f es derivable en z D si y solo si u y v son diferenciables en z, y cumplen las ecuaciones de Cauchy Riemann en z. Además, en tal caso se tiene que f = u x + i v x = v y i u y. Ejemplo f (z) = f (x + iy) = e x cos y + ie x sin y = u (x, y) + iv (x, y) es una función compleja definida en todo el plano complejo, las funciones coordenadas tienen derivadas parciales continuas en todo el plano, y u x (x, y) = e x cos y, v y (x, y) = e x cos y, u y (x, y) = e x sin y, v x (x, y) = e x sin y, es decir se cumplen las ecuaciones de C-R, o sea f es una función derivable en todo el plano.. f (z) = f (x + iy) = x + ia, con a un número real fijo, no es derivable en ningún punto, ejercicio. En variable compleja no nos interesan las funciones que sean derivables en un punto, sino las que son derivables en conjuntos abiertos. Hemos llegado a un punto muy interesante de la materia, donde vamos a formular una definición muy importante y que nos va a acompañar por el resto de estas notas: Definición 3.15 Si f (z) es una función compleja derivable en un conjunto abierto D diremos que f es analítica en D (o sea las funciones son analíticas en conjuntos abiertos). La expresión f es analítica en z 0 significará que f está definida y es derivable en todo un entorno de z 0. El siguiente es una reformulación del teorema anterior:

11 Funciones de variable compleja 97 Teorema 3.16 f : D ab C una función, f = u + iv, entonces f es analítica en D si y solo si u y v son diferenciable en D y cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en D. Además, en tal caso, se tiene que f = u x + i v x = v y i u y. Ejemplo f (z) = z es analítica en todo C.. f (z) = e x (cos y + i sin y) es analítica en todo C. 3. f (z) = 1 z es analítica en C {0}. 4. f (z) = z no es analítica en ningún abierto de C. Un poco más adelante (Teorema 5.8) veremos que si f es analítica en D entonces f también es analítica en D, y por lo tanto f también, etc. Es decir, una función compleja que tiene derivada (en algún abierto), tiene necesariamente derivadas de todos los órdenes en dicho abierto, y entonces sus funciones coordenadas tienen derivadas parciales de todos los órdenes, en particular, derivadas parciales continuas. Una forma de ver esta última afirmación es la siguiente: si f = u + iv entonces f = u x + iv x = u y iv y, por lo tanto, si existe f entonces u x, v x, u y, y v y son todas diferenciables, en particular continuas, y entonces u, v son funciones diferenciables con derivadas parciales continuas. Siguiendo con el mismo razonamiento, llegamos a que u y v tienen infinitas derivadas continuas. Antes de seguir derivando, una definición: Definición 3.18 Una función ϕ : D R R definida y con derivadas parciales segundas continuas en un abierto D se dice armónica si satisface la ecuación de Laplace ϕ x + ϕ y = 0. Si f = u + iv es analítica en D, ya anticipamos arriba que f tiene derivadas de todos los ordenes, entonces las funciones coordenadas tienen derivadas parciales continuas de todos los ordenes. Con esto, podemos seguir derivando las ecuaciones de C-R para obtener: Teorema 3.19 Las partes real e imaginaria de un función analítica son armónicas. Demostración. Si f = u + iv es analítica, entonces u x = v y u y = v x Derivando la 1 er ecuación respecto de x y la segunda respecto de y, obtenemos u xx = v xy u yy = v yx Pero como las derivadas parciales segundas son continuas, entonces v xy = v yx, y entonces u xx = u yy. De manera análoga se ve que v es armónica.

12 98 Funciones de variable compleja Una pregunta que uno se hace inmediatamente es: si u y v son funciones armónicas, es f = u + iv analítica?. La respuesta de esta es bien fácil, y es no, por ejemplo tomar u (x, y) = x, v (x, y) = 3. La segunda pregunta es: si tengo una función u (x, y) armónica en un abierto D, existe alguna función armónica v en D tal que la función f = u + iv sea analítica en D?. ( ) En algunos casos no (por ejemplo u (x, y) = ln x + y en C {0}, como veremos más adelante), pero en otros casos si. Cuando tal v existe se llama una armónica conjugada de u. Notar que no hay una única armónica conjugada: si v es armónica conjugada de u entonces v + c también lo es, donde c es un número complejo cualquiera. Tenemos el siguiente resultado (parcial, ver Corolario 5.5 ) sobre existencia de funciones armónicas conjugadas: Teorema 3.0 Sea D = C ó D = bola centrada en (0, 0), y u una función armónica en D, entonces u tiene una armónica conjugada en D. Demostración. Proponemos como v a la función v (x, y) = y 0 u x (x, t) dt + ϕ (x), donde ϕ es una función real de variable real desconocida, que vamos a elegir para que u y v cumplan las ecuaciones de C-R. Calculamos v x (usando la regla de Leibnitz), y usamos que u es armónica: y v x (x, y) = u xx (x, t) dt + ϕ (x) = u yy (x, t) dt + ϕ (x) = 0 0 = u y (x, t) t=y + t=0 ϕ (x) = u y (x, y) + u y (x, 0) + ϕ (x), como queremos v x = u y, elegimos ϕ (x) = u y (x, 0), es decir, y es fácil verificar que la función v (x, y) = ϕ (x) = y 0 x 0 u x (x, t) dt y u y (t, 0) dt, x 0 u y (t, 0) dt satisface v y = u x, o sea listo. Como una herramienta práctica, terminamos la sección con el siguiente: Teorema 3.1 (Regla de L Hospital) Si f, g son funciones derivables en z 0, f (z 0 ) = g (z 0 ) = 0, y g (z 0 ) 0, y existe f (z) lím z z 0 g (z), entonces lím z z 0 f (z) g (z) = lím z z 0 f (z) g (z).

13 Funciones de variable compleja 99 Demostración. f (z) lím z z 0 g (z) = lím f (z) f (z 0 ) g (z) g (z 0 ) = lím z z 0 [f (z) f (z 0 )] / (z z 0 ) [g (z) g (z 0 )] / (z z 0 ) = = lím z z 0 [f (z) f (z 0 )] / (z z 0 ) lím [g (z) g (z 0 )] / (z z 0 ) = f (z 0 ) g (z 0 ) = lím f (z) z z 0 g (z), donde el último igual vale pues f y g son continuas en z 0 (según lo anticipado son analíticas en z 0 ) Ecuaciones de Cauchy-Riemann en coordenadas polares Muchas funciones complejas quedan más lindas cuando se expresa la variable en coordenadas polares. Por ejemplo, vimos que todo número complejo z = rcis (θ) tiene n raíces n-ésimas. Si fijamos el argumento principal, entonces una de esas raíces es la función ( ) f (z) = n θ rcis, n pero no sabemos si es analítica o no. Para contestar este tipo de preguntas vamos a ver como quedan las ecuaciones de C-R expresadas en coordenadas polares. Si f (x + iy) = u (x, y) + iv (x, y) es analítica, x = r cos θ, y = r sin θ, entonces por la regla de la cadena de Análisis II tenemos Análogamente, y usando C-R obtenemos u r = u x x r + u y y r = u x cos θ + u y sin θ u θ = u x x θ + u y y θ = u x r sin θ + u y r cos θ. v r = v x cos θ + v y sin θ = u y cos θ + u x sin θ v θ = v x r sin θ + v y r cos θ = u y r sin θ + u x r cos θ. Comparando estas ecuaciones con las de arriba obtenemos u r = 1 r v θ 1 r u θ = v r que son las ecuaciones de Cauchy-Riemann en coordenadas polares. Donde valen las cuentas hechas? Necesitamos que la transformación de coordenadas T (r, θ) = (r cos θ, r sin θ) sea continuamente diferenciable e invertible, lo cual se logra tomando 0 < r < y θ en cualquier intervalo abierto de amplitud menor o igual a π. En el fondo lo que estamos haciendo es lo siguiente: si f p = u p + iv p es nuestra función en coordenadas polares, entonces f p (r, θ) = f (T (r, θ)). Diferenciando y aplicando la regla de la cadena se obtiene df p (r, θ) = df (x, y) dt (r, θ),

14 100 Funciones de variable compleja o sea ( ur u θ v r v θ ) ( ) ( ux u = y cos θ r sin θ sin θ r cos θ v x v y y lo que hicimos fue despejar u r, u θ, v r, v θ. Análogamente (invirtiendo la matriz de dt ) se ve que si f p cumple las ecuaciones de C-R en coordenadas polares entonces u x, u y, v x, v y (existen, son continuas y ) cumplen las ecuaciones de C-R usuales. Más explícitamente (y manteniendo la notación): las relaciones u = u p ( T 1 ) y v = v p ( T 1 ) muestras que si u p y v p son diferenciables como función de (r, θ) en (r 0, θ 0 ), entonces u y v son diferenciables en r 0 cis (θ 0 ), y si u p y v p cumplen C-R en polares en (r 0, θ 0 ), entonces u y v cumplen C-R en r 0 cis (θ 0 ). Todo lo hecho nos permite expresar cierto teorema anterior en coordenadas polares: Teorema 3. Si f (z) es una función tal que f (rcis (θ)) = u (r, θ) + iv (r, θ), (r, θ) D ab R. Entonces f es derivable en z 0 = r 0 cis (θ 0 ) si y solo si u y v son diferenciables en (r 0, θ 0 ) (como funciones de r y θ) y cumplen las ecuaciones de C-R en coordenadas polares u r = 1 r v θ y 1 r u θ = v r en (r 0, θ 0 ) (notar que el dominio de f es {z C : z = rcis (θ), con (r, θ) D}; la hipótesis D abierto es fundamental). Ejemplo 3.3 Si f (rcis (θ)) = ln (r) + iθ = u (r, θ) + iv (r, θ), con (r, θ) (0, ) ( π, π) (es decir, si z = rcis (θ) entonces z C {x R : x 0}, y f (z) = ln ( z ) + iθ (z), donde θ (z) es el argumento principal de z). Es inmediato que u y v son diferenciables en (0, ) ( π, π), y u r (r, θ) = 1 r, v θ (r, θ) = 1, u θ (r, θ) = v r (r, θ) = 0, con lo cual podemos decir que f es analítica en C {x R : x 0}. Sin embargo, notar que el dominio de f es (se puede extender hasta) C {0} (tomando (r, θ) (0, ) ( π, π]), pero f no es ni siquiera continua en los puntos de la forma z = rcis (π), pues como v debe asignar el argumento principal a cada número complejo, al movernos ligeramente hacia abajo desde un punto de la forma rcis (π), los valores de v saltan violentamente de π a π. Ejemplo 3.4 Consideremos la función f (rcis (θ)) = n rcis ( θ n), con (r, θ) (0, ) ( π, π) (es decir, si z = rcis (θ) entonces z C {x R : x 0}), de la cual estuvimos hablando al comienzo de esta sección. Expresada como suma de parte real e imaginaria queda f (rcis (θ)) = n r cos (θ/n) + i n n r sin (θ/n) = u (r, θ) + iv (r, θ). Claramente u y v son diferenciables en (0, ) ( π, π), y u r (r, θ) = 1 ( ) n r 1 θ n 1 cos n ( ) u θ (r, θ) = r 1 θ 1 n sin n n v r (r, θ) = 1 ( ) n r 1 θ n 1 sin n ( ) v θ (r, θ) = r 1 θ 1 n cos n n = 1 1 n r r 1 n cos = 1 1 n r r 1 n sin ), ( ) θ n ( ) θ n

15 Funciones de variable compleja 101 que satisfacen las ecuaciones de C-R en coordenadas polares en (0, ) ( π, π), es decir, nuestra función es analítica en C {x R : x 0} (todavía no sabemos cual es su derivada). Notar que el dominio de f es C (basta con tomar (r, θ) [0, ) ( π, π]), pero f no es ni siquiera continua en {x R : x 0}. Observación 3.5 No hay que confundir el hecho de que cada número distinto de cero tiene n raíces n-ésimas con una función raíz, n-ésima. Por ejemplo g (z) = ) z cis, α (z) = ( α(z) argumento de z en [0, π), es una función tal que g (z) = z, y discontinua en {z : Re (z) > 0} (pero analítica en el resto del plano), y g (z) = z cis ( θ ), θ [ π, π) es una función tal que g (z) = z discontinua en {z : Re (z) < 0}. Es decir, no esperar n funciones analíticas definidas en C {0} que nos de c/u de las n raíces n-ésimas de cada número complejo Funciones elementales En esta sección estudiaremos la extención al plano complejo de las funciones trascendentes La función exponencial Una de las virtudes de la pocas funciones analíticas que conocemos es que siguen teniendo muchas propiedades que tienen sus equivalentes reales. Por ejemplo, la función f (z) = z extiende a la función real f (x) = x (extiende en el sentido de que si en la de arriba ponemos un complejo z con parte imaginaria nula nos da lo mismo que en la de abajo), es derivable, y su derivada es la función f (z) = z (igual que su contraparte real). Queremos definir ahora la función exponencial exp (z) de la misma manera, o sea de modo que extienda la conocida e x y tenga sus propiedades. Específicamente, queremos que (a) exp (z) sea analítica y que su derivada sea ella misma, o sea d dz exp (z) = exp (z). (b) exp (z) debe ser exactamente e x cuando Im (z) = 0. Pongamos exp (z) = u + iv, y tratemos de encontrar u y v. De cierto teorema anterior (Teorema 3.16) sabemos que d dz exp (z) = u x + iv x, así que para satisfacer (a) debemos tener u x + iv x = u + iv, o sea y u x = u, (3.1) v x = v (3.) La ecuación (3.1) implica que u (x, y) = φ (y) e x (resolviendo para cada y fijo), donde φ tiene derivada de todos los ordenes (esto pues queremos exp (z) analítica y ya hemos anticipado que

16 10 Funciones de variable compleja las funciones analíticas tienen infinitas derivadas). Usando (3.) y que u y v deben satisfacer C-R, concluimos que u y (x, y) = v (x, y), (3.3) Puesto que u es armónica concluimos u xx = φ (y) e x = u yy = φ (y) e x, es decir φ (y) + φ (y) = 0. Resolviendo la ecuación diferencial queda y entonces usando (3.3) tenemos que o sea φ (y) = A cos y + B sin y, u (x, y) = e x (A cos y + B sin y), v (x, y) = e x (A sin y B cos y), exp (z) = e x (A cos y + B sin y) + ie x (A sin y B cos y). Por último, haciendo y = 0, y usando la condición (b) llegamos a e x = e x (A ib), (A ib) = 1, A = 1, B = 0, o sea,. exp (z) = e x (cos y + i sin y) = e x cis (y) (!!) Definición 3.6 Para todo número complejo z = x+iy, se define la exponencial compleja como exp (z) = e x cis (y) = e Re(z) cis (Im (z)) = e z. Queda como ejercicio verificar que esta función, así definida, cumple las condiciones (a) y (b) (Notar que no sabemos eso, que supusimos que cumplir eso para ver como debía ser). La notación e z se utiliza en correspondencia con el caso real. La función exponencial tiene las siguientes propiedades: 1. e z = e x cis (y) = e x = e Re(z) ; esto implica que e z 0 para todo z C.. arg (e z ) = arg (e x cis (y)) = y = Im (z). 3. e z es periódica de período πi: e z+πi = e x+iy+πi = e x cis (y + π) = e x cis (y) = e z. 4. Como e iθ = cis (θ), todo número complejo z = rcis (θ) es z = re iθ, y esa es la notación que vamos a usar de ahora en más. 5. e z+w = e (x+iy)+(a+ib) = e (x+a)+i(y+b) = e (x+a) e i(y+b) = e x e a e iy e ib = e z e w, donde la tercer igualdad vales pues cis(y + b) = cis(y)cis(b).

17 Funciones de variable compleja Función logaritmo Ahora que tenemos e z queremos una función que invierta su acción, o sea que si z = e w, (3.4) el logaritmo de z debería ser w (eso equivale a despejar la w de la ecuación 3.4). Notar que necesariamente z debe ser distinto de cero. Pongamos w = x + iy y z = re iθ, y busquemos w: la ecuación (3.4) queda re iθ = e x+iy = e x e iy, y este último es un número complejo expresado en coordenadas polares. Igualando el módulo y el argumento queda y entonces o sea r = e x y θ = y + kπ, con k Z, x = ln (r) = ln z y y = θ + kπ = arg (z), con k Z, w = ln z + i arg (z) (con arg (z) estamos denotando todos los argumentos de z). Es decir, hay infinitos w que cumplen la ecuación (4), o sea todo número complejo no nulo tiene infinitos logaritmos. Si fijamos un argumento, o sea si fijamos una banda de ancho π, todo complejo no nulo tiene un único logaritmo cuya parte imaginaria está en esa banda. Cuando el argumento fijado es el principal, la función que se obtiene se denota log (z) = ln z +iθ (z) y se llama la rama principal del logaritmo (θ (z) acá esta denotando el argumento principal de z). Otra función logaritmo L (z) se obtiene fijando el argumento en el intervalo [0, π), y es una función definitivamente distinta de log pues log ( i) = ln () i 1 π y L ( i) = ln () + i 3 π, y ambas son funciones logaritmo en el sentido de que e log( i) = e L( i) = i. Definición 3.7 Sea D C un conjunto abierto y f : D C una función continua tal que e f(z) = z z D, entonces f se llama una rama del logaritmo en D (notar que necesariamente 0 / D). La rama principal del logaritmo es una rama del logaritmo en C {x R tq: x 0} pues es continua en tal conjunto (ejercicio) y e log(z) = z para todo z en ese conjunto. Lo que no sabemos es si es analítica, eso lo contesta el siguiente teorema: Teorema 3.8 Las ramas del logaritmo son analíticas, más aún, si f : D C es una rama del logaritmo, entonces f (z) = 1 z para todo z en D. Demostración. Tomamos z 0 fijo en D y z 0 chico de modo que z 0 + z esté incluido en D (se puede porque D es abierto). Como e f(z 0+ z) = z 0 + z y e f(z 0) = z 0,

18 104 Funciones de variable compleja tenemos que f (z 0 + z) f (z 0 ) ( por qué?), y entonces se puede dividir por f (z 0 + z) f (z 0 ). Entonces 1 = z 0 + z z 0 z = ef(z 0+ z) e f(z 0) z = ef(z 0+ z) e f(z 0) f (z 0 + z) f (z 0 ) f (z 0 + z) f (z 0 ). (3.5) z Como f es continua, y entonces lím z 0 e f(z 0+ z) e f(z 0) f (z 0 + z) f (z 0 ) = lím f (z 0 + z) = f (z 0 ), z 0 lím e w e f(z 0) w f(z 0 ) w f (z 0 ) = d dz ez f(z0 ) = e f(z 0) = z 0. Como además lím z 0 1 = 1, tenemos que dos de los factores de (3.5) tiene límite y tal límite es no nulo (recordar que dijimos que 0 / D), por lo tanto tomando lím z 0 en (3.5) queda es decir f (z 0 ) = 1/z 0, listo. f (z 0 + z) f (z 0 ) 1 = z 0 lím = z 0 f (z 0 ), z 0 z Ejercicio 3.9 Verificar que la rama principal del logaritmo es analítica en C {x R : x 0} usando las ecuaciones de C-R en coordenadas polares. Observación 3.30 Si L (z) = ln ( z ) + iα (z) es una rama del logaritmo en algún abierto D (donde α (z) es un argumento de z), entonces es continua y por lo tanto la función α (z) lo es. Si θ (z) es el argumento principal de z, entonces α (z) = θ (z) + k (z) π (donde k (z) es un entero que depende de z). Pero entonces k (z) = (α (z) θ (z)) /π es una función continua y que toma valores enteros, y por lo tanto es constante sobre conexos (pensar!). En particular, es constante en D si este es conexo Potencia general Ahora que tenemos exponencial y ramas del logaritmo, podemos definir potencias complejas en general. Si z 0 y c es un número complejo, definimos z c = e cln(z), donde Ln es alguna rama del logaritmo en algún abierto D. O sea que en general parece que va a haber muchas z c (como por ejemplo había muchas raíces n-ésimas). Cuando tomamos la rama principal del logaritmo, nos queda la función f (z) = e c log(z), que se llama la rama principal de z c. Esta nueva definición nos trae algunos problemas, por ejemplo nosotros ya teníamos definido z n cuando n era un número natural, y había un solo z n, veamos qué pasa con esta nueva definición: pongamos z = re iθ con θ el argumento principal, entonces nueva def z n {}}{ vieja def = e nln(z) = e n(ln(r)+i arg(z)) = e n(ln(r)+iθ+ikπ) = e n ln(r) e inθ e inkπ = r n e inθ = z n, 1

19 Funciones de variable compleja 105 es decir, por más que usemos cualquier rama del logaritmo siempre nos da nuestro viejo z n (a lo largo del razonamiento anterior y de los siguientes, k denotará un entero que depende de la rama del logaritmo que tomemos). Una situación análoga se da cuando c = n con n N: la misma cuenta de arriba muestra que z n = r n e inθ cualquiera sea la rama del logaritmo que usemos. Como z n = r n e iθ se tiene que z n z n = r n e iθ r n e inθ = 1, es decir que z n debe ser el único inverso multiplicativo de z n, es decir z n = 1/z n (ojo, no teníamos definido de ninguna manera la cantidad z n ). Por último, veamos qué pasa cuando c = 1 n con n N: nos gustaría que z1/n sea una raíz n-ésima de z, o sea en este caso la nueva definición debería darnos n valores distintos. La cuenta de arriba con 1/n en lugar de n es nueva def z 1/n = e 1 n Ln(z) = e 1 n (ln(r)+i arg(z)) = e 1 n (ln(r)+iθ+ikπ) = e ln(r)/n e i(θ+kπ)/n = n rcis es decir, nos da las n raíces n-ésimas de z. ( θ + kπ Todavía no hemos dicho nada sobre la derivabilidad de las ramas de z c (en realidad ya habíamos visto que las funciones raíces n-ésimas son analíticas con C-R en polares): sea Ln una rama del logaritmo en D, entonces sabemos que dln dz (z) = 1 z, así que usando la regla de la cadena tenemos d ( e cln(z)) = e cln(z) c dz z = ecln(z) cz 1 = e cln(z) ce Ln(z) = ce (c 1)Ln(z) pues vimos que para calcular z 1 se puede usar cualquier rama del logaritmo. Entonces quedo que si tenemos una rama de z c, su derivada es cz c 1, donde la potencia z c 1 es la misma rama de la potencia de z c. n ), Funciones trigonométricas e hiperbólicas Tomemos y un número real. A partir de las expresiones se despeja e iy = cos (y) + i sin (y), e iy = cos ( y) + i sin ( y) = cos (y) i sin (y), cos (y) = eiy + e iy, y sin (y) = eiy e iy. i Teniendo en cuenta que las expresiones de la derecha tienen sentido si cambio y por un número complejo z, y las ganas de extender funciones que tenemos, vamos a definir cos (z) = eiz + e iz, y sin (z) = eiz e iz i z C.

20 106 Funciones de variable compleja La cuenta hecha arriba muestra que estas definiciones extienden nuestras viejas y conocidas funciones trigonométricas reales. También definimos donde cos (z) no se anule, y tan (z) = sin (z) 1, sec (z) = cos (z) cos (z) cosh (z) = ez + e z, sinh (z) = ez e z. Todas estas funciones complejas extienden a sus contrapartes reales conocidas (extiende en el sentido de que si pongo un complejo z con parte imaginaria nula en las expresiones, el resultado es el mismo que se obtiene al usar las funciones de variable real). Tenemos las siguientes propiedades: 1. Como e z es analítica en todo C, sin, cos, sinh, y cosh también lo son, y tan y sec son analíticas donde cos (z) 0. Encontremos esos puntos: cos (z) = 0 e iz + e iz = 0 e iz = e iz, multiplicando ambos lados de esta última igualdad por e iz obtenemos cos (z) = 0 e iz = 1. Si z = x + iy, esto es 1 = e i(x+iy) = e y e ix. Como 1 = 1 y arg ( 1) = π + kπ, de la igualdad de arriba se deduce que y = 0 y x = π + kπ, o sea y = 0 y x = π + kπ, es decir que los ceros de cos son los puntos de la forma z = π + kπ + 0i, donde k es un número entero, es decir que los ceros de la función compleja cos (z) son los mismos números reales que anulan la función real coseno.. cos (z) = sin (z) y sin (z) = cos (z), estas dos fórmulas se obtienen sencillamente derivando la definición (ejercicio). 3. cos (z) es una función par (cos (z) = cos ( z) z) y sin (z) es impar, y ambas son periódicas de período π (ejercicio). 4. Valen las fórmulas de la suma para el seno y el coseno: cos (z + w) = cos (z) cos (w) sin (z) sin (w), sin (z + w) = cos (z) sin (w) + cos (w) sin (z), se ve fácilmente usando la definición (ejercicio). 5. sin (z) + cos (z) = 1 z C, pero sin (z) y cos (z) NO son funciones acotadas en C, es decir, no existe ningún número M tal que cos (z) M z C, y lo mismo pasa con sin (z), pues por ejemplo si y es un número real entonces cos (iy) = eiiy + e iiy = e y + e y = cosh (y) y.