1 E L E C T R Ó N I C A ELECTRÓNICA

Transcripción

1 1 E L E C T R Ó N I C A ELECTRÓNICA

2 CAPACITORES 2 E L E C T R Ó N I C A

3 CAPACITORES Capacitor Modelo Lineal: Capacitor De Placas Planas Paralelas: E = Permeabilidad Magnética A = Área de las placas planas D = Distancia entre las placas C = dx dt C = Ea dt Material Dieléctrico: Poliéster, Papel, etc. Placas Metálicas: Aluminio, Cobre. CAPACITOR EN SERIE CAPACITOR EN PARALELO 3 E L E C T R Ó N I C A

4 Z = (R^2) + (1/C) ^2 Z= R J 1/wc W = 2 f Zeq = (1/r) + (C) ^2 Z= 1/R + jwc W = 2 f 4 E L E C T R Ó N I C A

5 CAPACITORES E INDUCTORES El capacitor: Ideal definido, por la ecuación anterior solo es el modelo, matemático de un dispositivo real, Un capacitor se compone de las superficies conductoras, sobre los que se pueden almacenar, a una carga, y están separadas: Un capacitor se compone de dos factores. Ejercicio: 5 E L E C T R Ó N I C A

6 Ejercicio: 6 E L E C T R Ó N I C A

7 EJERCICIO: Hallar Ceq y Leq. XL1 = jwc XL2 = jw 10 XL1 = 1/x (4Mf) XL2 = jwl EJERCICIO: 7 E L E C T R Ó N I C A

8 EJERCICIO: 8 E L E C T R Ó N I C A

9 9 E L E C T R Ó N I C A

10 MODELO IDEAL DE LA BOBINA S ea una bobina o solenoide de longitud l, sección S y de un número de espiras N, por el que circula una corriente eléctrica i(t). Aplicando la Ley de Biot-Savart que relaciona la inducción magnética, B(t), con la causa que la produce, es decir, la corriente i(t) que circula por el solenoide, se obtiene que el flujo magnético Φ(t) que abarca es igual a: Si el flujo magnético es variable en el tiempo, se genera en cada espira, según la Ley de Faraday, una fuerza electromotriz (f.e.m.) de autoinducción que, según la Ley de Lenz, tiende a oponerse a la causa que la produce, es decir, a la variación de la corriente eléctrica que genera dicho flujo magnético. Por esta razón suele llamarse fuerza contraelectromotriz. Ésta tiene el valor: A la expresión se le denomina Coeficiente de autoinducción, L, el cuál relaciona la variación de corriente con la f.e.m. inducida y, como se puede ver, depende únicamente de la geometría de la bobina o solenoide. Se mide en Henrios. Así obtenemos la expresión: 10 E L E C T R Ó N I C A

11 Circuito con inductancia. S uponiendo una bobina ideal, (figura 2), sin pérdidas de carga, aplicando la segunda Ley de Kirchhoff, se tiene que: Es decir, en toda bobina eléctrica dentro de un circuito se produce en ella una caída de tensión: Despejando la intensidad: Si en el instante t = 0, la bobina está cargada con una corriente I, ésta se puede sustituir por una bobina descargada y una fuente de intensidad de valor i(0) = I en paralelo. La corriente por la bobina y por tanto el flujo no pueden variar bruscamente ya que si no la tensión vl(t) debería hacerse infinita. Por eso al abrir un circuito en donde se halle conectada una bobina, siempre saltará un arco de corriente entre los bornes del interruptor que da salida a la corriente que descarga la bobina. 11 E L E C T R Ó N I C A

12 Cuando el inductor no es ideal porque tiene una resistencia interna en serie, la tensión aplicada es igual a la suma de la caída de tensión sobre la resistencia interna más la fuerza contra-electromotriz autoinducida. 12 E L E C T R Ó N I C A

13 IMPEDANCIA L a impedancia es una magnitud que establece la relación (cociente) entre la tensión y la intensidad de corriente. Tiene especial importancia si la corriente varía en el tiempo, en cuyo caso, ésta, la tensión y la propia impedancia se describen con números complejos o funciones del análisis armónico. Su módulo (a veces impropiamente llamado impedancia) establece la relación entre los valores máximos o los valores eficaces de la tensión y de la corriente. La parte real de la impedancia es la resistencia y su parte imaginaria es la reactancia. El concepto de impedancia generaliza la ley de Ohm en el estudio de circuitos en corriente alterna (AC).El término fue acuñado por Oliver Heaviside en En general, la solución para las corrientes y las tensiones de un circuito formado por resistencias, condensadores e inductancias y sin ningún componente de comportamiento no lineal, son soluciones de ecuaciones diferenciales. Pero, cuando todos los generadores de tensión y de corriente tienen la misma frecuencia constante y sus amplitudes son constantes, las soluciones en estado estacionario (cuando todos los fenómenos transitorios han desaparecido) son sinusoidales y todas las tensiones y corrientes tienen la misma frecuencia que los generadores y amplitud constante. La fase, sin embargo, se verá afectada por la parte compleja (reactancia) de la impedancia. El formalismo de las impedancias consiste en unas pocas reglas que permiten calcular circuitos que contienen elementos resistivos, inductivos o capacitivos de manera similar al cálculo de circuitos resistivos en corriente continua. Esas reglas sólo son válidas en los casos siguientes: Si estamos en régimen permanente con corriente alterna sinusoidal. Es decir, que todos los generadores de tensión y de corriente son sinusoidales y de la misma frecuencia, y que todos los fenómenos transitorios que pueden ocurrir al comienzo de la conexión se han atenuado y desaparecido completamente. 13 E L E C T R Ó N I C A

14 Si todos los componentes son lineales. Es decir, componentes o circuitos en los cuales la amplitud (o el valor eficaz) de la corriente es estrictamente proporcional a la tensión aplicada. Se excluyen los componentes no lineales como los diodos. Si el circuito contiene inductancias con núcleo ferromagnético (que no son lineales), los resultados de los cálculos sólo podrán ser aproximados y eso, a condición de respetar la zona de trabajo de las inductancias. Cuando todos los generadores no tienen la misma frecuencia o si las señales no son sinusoidales, se puede descomponer el cálculo en varias etapas en cada una de las cuales se puede utilizar el formalismo de impedancias. Sea un componente electrónico o eléctrico o un circuito alimentado por una corriente sinusoidal. Si la tensión a sus extremidades es, la impedancia del circuito o del componente se define como un número complejo cuyo módulo es el cociente y cuyo argumento es.. Es la oposición total (Resistencia, Reactancia inductiva, Reactancia capacitiva) sobre la corriente Como las tensiones y las corrientes son sinusoidales, se pueden utilizar los valores pico (amplitudes), los valores eficaces, los valores pico a pico o los valores medios. Pero hay que cuidar de ser uniforme y no mezclar los tipos. El resultado de los cálculos será del mismo tipo que el utilizado para los generadores de tensión o de corriente. 14 E L E C T R Ó N I C A

15 EJERCICIO: Hallar XL1, XC1, XC2, XC2, XL3, XC3 XL1 = JW1 XL2 = JW3 XC1 = -J (1 / JW(2M)) XL3 = JW3 XC2 = -J (1 / JW(4M)) XL3 = XW5 = 10 F XL4 = JW5 XC3 = -J ( 1 / JW(4M)) XC4 = -J ( 1 / JW(6M)) 15 E L E C T R Ó N I C A

16 Tipos de reactancias C uando circula corriente alterna por alguno de estos dos elementos que poseen reactancia la energía es alternativamente almacenada y liberada en forma de campo magnético, en el caso de las bobinas, o de campo eléctrico, en el caso de los condensadores. Esto produce un adelanto o atraso entre la onda de corriente y la onda de tensión. Este desfase hace disminuir la potencia entregada a una carga resistiva conectada luego de la reactancia sin consumir energía. Si se realiza una representación vectorial de la impedancia inductiva y de la capacitiva, estos vectores se deberán dibujar en sentido opuesto y sobre el eje imaginario, ya que las impedancias se calculan como y respectivamente. No obstante, las bobinas y condensadores reales presentan una resistencia asociada, que en el caso de las bobinas se considera en serie con el elemento, y en el caso de los condensadores en paralelo. En esos casos, y como ya se indicó arriba, la impedancia (Z) total es la suma vectorial de la resistencia (R) y la reactancia (X). En fórmulas: Donde: j es la unidad imaginaria X = (WL 1 / WC) es la reactancia en Ohm. W es la frecuencia angular a la cual está sometido el elemento, y L y C los valores de inductancia y capacitancia respectivamente. Dependiendo del valor de la energía y la reactancia se dice que el circuito presenta: Si, reactancia Inductiva (WL > 1 / WC) 16 E L E C T R Ó N I C A

17 Si, no hay reactancia y la impedancia es puramente Resistiva (WL = 1 / WC) Si, reactancia Capacitiva (1 / WC > WL) Reactancia capacitiva La reactancia capacitiva se representa por fórmula: y su valor viene dado por la En la que: = Reactancia capacitiva en ohmios = Capacitancia en faradios = Frecuencia en hercios = Frecuencia angular Reactancia inductiva La reactancia inductiva se representa por y su valor viene dado por: en la que: = Reactancia inductiva en ohmios = Inductancia en henrios = Frecuencia en hercios = Frecuencia angular 17 E L E C T R Ó N I C A

18 CIRCUITOS RC 18 E L E C T R Ó N I C A

19 CIRCUITOS RC EJERCICIO: Rc= dvc/dt +vc = Rc= ʃ Vd/dt=0 Rc=45/dt ʃ vc/1. ʃt dt. Rc= ʃvc dv vc + ʃ t dt. Dvc/dt+vc=0 Dvc/dt +vc=0 Dvc= dvc/dt. Dv=1/C Dvc/dt=-dt Dvc=Vc/vc=dt Dvc=vc/vc+1 Dvc/dvc+1 Dvc=-vc+vdt Dvc/vc=-dt -dvc/vc=vc7-1(vc)-1 ʃ-1(vc)-1 dvc= ʃdvc = ʃdt -1 ʃ 1/vc dvc = ʃdt Ln vc =-t/rc Vc= -t/rc Comprobacion de este resultado: Rlc+1/c ʃ lc + dt=0 IC=0 19 E L E C T R Ó N I C A

20 PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS Y LOS EXPONENCIALES 1. El logaritmo del producto de dos números es igual a la suma de los logaritmos de cada uno de los factores Vamos a demostrar que. Si. Por definición de logaritmo (1) Si. Por definición de logaritmo. (2) Multiplicando estas dos igualdades tenemos que : Tomando logaritmos en base a a ambos lados: Por definición de logaritmo. Y teniendo en cuenta (1) y (2):. 2. El logaritmo del cociente de dos números es igual a la resta de los logaritmos de cada uno de los números Vamos a demostrar que. Si. Por definición de logaritmo (3) Si. Por definición de logaritmo. (4) Dividiendo estas dos igualdades tenemos que : Tomando logaritmos en base a a ambos lados: Por definición de logaritmo. Y teniendo en cuenta (3) y (4):. 20 E L E C T R Ó N I C A

21 3. El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base Vamos a demostrar que Es sencillo demostralo usando la primera propiedad. n veces Aplicando la primera propiedad esto es igual a: n veces 4. El logaritmo de un radical es igual al cociente en el logaritmo del radicando y el índice Vamos a demostrar que Es sencillo utilizando la propiedad de la potencia (3). Usando el radical como un exponente fraccionario y aplicando la propiedad (3) tenemos que: Si y : Propiedades De los Exponentes. 1. Regla del producto. es decir, se copia la base y se suman los exponentes. 2. Potencia a potencia, un exponente elevado a otro exponente, es la multiplicación de ambos. 3. Regla del producto a una potencia, 2 números multiplicados elevados a una potencia, es lo mismo que la multiplicación de cada número elevado a la potencia. 21 E L E C T R Ó N I C A

22 4. Regla de cociente a una potencia, una fracción elevada a una potencia es lo mismo que el numerador elevado a la potencia y el denominador elevado a la potencia. 5. División de Exponentes, la división de dos números elevados a una potencia, con la misma base, es lo mismo que la base, elevada a la resta de sus exponentes. R1 c+1/cv 1+cdt=0 Rd lc/dt+1/c = dt/dt+lc dt=0 Rdc /dt +1/c dt/dt lc +dt=0 Rdc/dt+1/c )+(lc) =0 R dtc/dt +lc/c=0 R dc=1c+(dt)/c (c)*d Dic =-Icdt Dic/-ic =dt/dr -1 1/ic dic =-Ic dt Di c / -Ic dt= t/cv ln Ic = -t/cr e ln Ic =e t/cr I=e t/cr COMPROBACION DE ECUACION 22 E L E C T R Ó N I C A

23 CIRCUITO SOBREAMORTIGUADO LC > 4R^2 C^2 Desigualdades: ( ^2 w0^2) < (- - ^2 w0^2) < (- + ^2 w0^2) < 0 L a respuesta v(t) se expresa como la suma algebraica de 2 términos exponenciales que tienden a 0 cuando aumenta el tiempo. Para valores de tiempo grande la expresión límite se escribiría como: v(t) -> Ai e^sit -> 0 como t -> Se determinarían con facilidad los valores de varios parámetros: = 3.5 w0= 6 S1= -1 s2= -6 (todo s^-1) Respuesta Natural: V (t) = 84 (e^-1 e^-6t) v 23 E L E C T R Ó N I C A

24 AMORTIGUAMIENTO CRÍTICO S e ajustan los valores de los elementos hasta que y w0 sean iguales, esto es el amortiguamiento critico: Se obtiene cuando: = w0 LC = 4R^2 C^2 L = 4R^2 C Amortiguamiento Critico El valor necesario de r es 7 g/2, L = 7H y C = ¼ F Así: = w0 = 6 s^-1 S1 = s2 = - 6 s^-1 Forma de respuesta: Suma de dos exponenciales: V (t) = Ate ^- 6t + A2 e^- 6t Así: V(t) = 420 t^e -24 v 24 E L E C T R Ó N I C A

25 CIRCUITO SUBAMORTIGUADO M ediante uso de números complejos, la respuesta exponencial se convierte en respuesta senoidal amortiguada. Respuesta Forma Exponencial: V (t) = A1 e^-s1t + A2 e^s2t Donde: S12 = - +- ^2 w0 ^2 Frecuencia Resonante Natural: Wd = w0^2 - ^2 Valores: V (t) = B2 e^-2t sen 2t Por lo Tanto: V (t) = 210 2e^-2t sen 2t 25 E L E C T R Ó N I C A

26 26 E L E C T R Ó N I C A ECUACIONES DE 2º ORDEN

27 CIRCUITOS RL 27 E L E C T R Ó N I C A

28 CIRCUITOS RL os circuitos RL son aquellos que contienen una bobina (inductor) que L tiene auto inductancia, esto quiere decir que evita cambios instantáneos en la corriente. Siempre se desprecia la auto inductancia en el resto del circuito puesto que se considera mucho menor a la del inductor. Para un tiempo igual a cero, la corriente comenzará a crecer y el inductor producirá igualmente una fuerza electromotriz en sentido contrario, lo cual hará que la corriente no aumente. A esto se le conoce como fuerza contraelectromotriz. Esta fem está dada por: V = -L (inductancia) di/dt Debido a que la corriente aumentará con el tiempo, el cambio será positivo (di/dt) y la tensión será negativa al haber una caída de la misma en el inductor. Según kirchhoff: V = (IR) + [L (di / dt)] IR = Caída de voltaje a través de la resistencia. Los circuitos RL son aquellos que contienen una bobina (inductor) que tiene 28 E L E C T R Ó N I C A

29 autoinductancia, esto quiere decir que evita cambios instantáneos en la corriente. Siempre se desprecia la autoinductancia en el resto del circuito puesto que se considera mucho menor a la del inductor. Para un tiempo igual a cero, la corriente comenzará a crecer y el inductor producirá igualmente una fuerza electromotriz en sentido contrario, lo cual hará que la corriente no aumente. A esto se le conoce como fuerza contraelectromotriz. Esta fem está dada por: V = -L (inductancia) di/dt Debido a que la corriente aumentará con el tiempo, el cambio será positivo (di/dt) y la tensión será negativa al haber una caída de la misma en el inductor. Según kirchhoff: V = (IR) + [L (di / dt)] IR = Caída de voltaje a través de la resistencia. Esta es una ecuación diferencial y se puede hacer la sustitución: x = (V/R) I es decir; dx = -di Sustituyendo en la ecuación: x + [(L/R)(dx/dt)] = 0 dx/x = - (R/L) dt 29 E L E C T R Ó N I C A

30 Integrando: ln (x/xo) = -(R/L) t Despejando x: Debido a que x = xo e Rt / L xo = V/R El tiempo es cero, y corriente cero V/R I = V/R e Rt / L I = (V/R) (1 - e Rt / L ) El tiempo del circuito está representado por = L/R I = (V/R) (1 e 1/ ) Donde para un tiempo infinito, la corriente de la malla será I = V/R. Y se puede considerar entonces el cambio de la corriente en el tiempo como cero. Para verificar la ecuación que implica a y a I, se deriva una vez y se reemplaza en la inicial: di/dt = V/L e 1/ Se sustituye: V = (IR) + [L (di / dt)] V = [ (V/R) (1 e 1/ )R + (L V/ L e 1/ )] V V e 1/ = V V e 1/ 30 E L E C T R Ó N I C A OSCILACIONES EN UN CIRCUITO LC Cuando un condensador se conecta a un inductor, tanto la corriente como la carga den el condensador oscila. Cuando existe una resistencia, hay una disipación de energía en el sistema porque una cuanta se convierte en calor en la resistencia, por lo tanto las oscilaciones son amortiguadas.

31 Por el momento, se ignorará la resistencia. En un tiempo igual a cero, la carga en el condensador es máxima y la energía almacenada en el campo eléctrico entre las placas es U = Q 2 máx/(2c). Después de un tiempo igual a cero, la corriente en el circuito comienza a aumentar y parte de la energía en el condensador se transfiere al inductor. Cuando la carga almacenada en el condensador es cero, la corriente es máxima y toda la energía está almacenada en el campo eléctrico del inductor. Este proceso se repite de forma inversa y así comienza a oscilar. En un tiempo determinado, la energía total del sistema es igual a la suma de las dos energías (inductor y condensador): U = Uc + UL U = [ Q 2 /(2C) ] + ( LI 2 /2 ) 31 E L E C T R Ó N I C A

32 EJERCICIO: V=C 1RL +L dl VLC +VR +V2=0 VR+VC=0 VR=VC+VC=0 VL=dl/dt VR+VC=0 IR+VL=0 R/L ʃul+dt +vc =0 Dvc/dt +R/L vc =0 Dvc/vl +R/L Vc =0 Dvc/dt +R/L +dt =0 Dvl/vl =0 Dvl/v?-R/L ʃ dt Ln =In R/L Ln=vl=eR/l Vl=e r*t Il= ʃdt E ln = e * l t 1R+L dl/dt =0 Dl/l +R/L = DT=0 Dl/l = -R/L ʃ dt VL = e^ -R/L+T 32 E L E C T R Ó N I C A

33 CIRCUITOS RL y RC CON FUENTES 33 E L E C T R Ó N I C A

34 CIRCUITOS RL CON FUENTE E stas funciones se consideran especiales ya que son utilizadas para moderar entradas de excitación de cualquier tipo de sistema. Las fuentes son: *Funciones escalares unitarias. *Funciones impulso Unitario *Función de rampa Unitaria Las mas usadas por este tipo son : FUNCION VALOR UNITARIO: V(t) = 0 t<0 F(t) = 1t>0 Con retraso: V(t-t0)= 0t<t 34 E L E C T R Ó N I C A

35 Aplicación del circuito V(t-t0) 0+t>t0 Vo>t>t0 Se puede expresar como : V(t-t0) v=0 v(t-t0) Para una fuente de tensión Funcion fuente Corriente: Las funciones de impulso es la derivada de delta: Funcion escalar unitaria: Dv(t)/d(t) =d(t) 0 t<0 Indefinida t=0 0>t>t0 35 E L E C T R Ó N I C A

36 CIRCUITOS RC CON FUENTE C uando la fuente de CD de un circuito RC se aplica de repente, la fuerza de tensión o corriente puede modelarse como una función escalón, se conoce como respuesta escalón. V (T) = ( V0 VS ) E ^ -T/RC + VS 36 E L E C T R Ó N I C A

37 RESPUESTA ESCALÓN DE LOS CIRCUITOS RC Y RL 37 E L E C T R Ó N I C A

38 CIRCUITOS RC Para RC: V0 t < 0 V (t) (V0 VS) e^-t + Vs / R t>0 T < 0 v (t) vs ( e ^-t ) t > 0 i (t) = VS / R * e ^-t v(t) 38 E L E C T R Ó N I C A

39 CIRCUITOS RL EJERCICIO: (Vo-Vi)= R t/rc +Vs + > 0 Respuesta Natural u Respuesta Forzada. Ri+Ldi/dt =Vo=+Vs t>0 R(i) +L dt/dt =V0 t> 0 Ldi/Vo-Ri L/R ln(vo-ri) =t+k -L/R ln(vo-ri) ln Vo)=t Vo-Vr/Vo = e Rt/2 t> 0 I= Vo/R V/R e ½ t>0 L(V0/r-Vo/r )*e = V(t) 39 E L E C T R Ó N I C A

40 CIRCUITOS RLC SIN FUENTE 40 E L E C T R Ó N I C A

41 CIRCUITOS RLC SIN FUENTE Al circuito RLC en serie. Lo está excitando la energía almacenada inicialmente en el capacitor y en el inductor. Ésta se representa por medio del voltaje inicial a través del capacitor y de la corriente inicial en el inductor. De tal manera, a t = 0, Al aplicar de la LKV alrededor en la malla del circuito RLC serie. Ésta es una ecuación diferencial de segundo orden. Nuestra meta es resolver la ecuación. Para eliminar la integral, diferenciamos con respecto a t y reordenamos los términos. Obtenemos: Utilizando métodos matemáticos para solución de ecuaciones diferenciales, sustituimos la diferencial por la variable S: La ecuación anterior es una ecuación de segundo grado que puede resolverse por la fórmula general 41 E L E C T R Ó N I C A

42 Entonces podemos igualar algunos términos por constantes conocidas y Ejemplo: para un arreglo serie de C=1mF, R=100Ω y L=5H determine a, w, s1 y s2 42 E L E C T R Ó N I C A

43 CIRCUITOS RLC CON FUENTE 43 E L E C T R Ó N I C A

44 CIRCUITOS RLC CON FUENTE Para encontrar la ecuacion del circuito escribimos la fem total, Donde Vc es el voltaje en el condensador; Vc = Q/C ( C es la capacidad del condensador) y Vr es la caída de tensión en la resistencia, Vr= RI, finalmente Esta ecuacion puede resolverse para la corriente o la carga en el condensador. Las condiciones iniciales serán (si el interruptor se cierra en t=0): Q(t=0) = 0 I(t=0) = 0. Una solución particular de la ecuacion se obtiene con Q= constante, lo que da: Esta es la solución que se obtiene al cabo de un tiempo largo: el condensador se carga y no circula corriente. La solución de la ecuacion homogénea es de la forma: Q(t) = A e at Donde a y A son constantes, y a se determina resolviendo la ecuacion característica: L a 2 + R a + 1/C = 0, Cuya solución es Por lo tanto, hay tres casos, dependiendo del signo del argumento de la raíz cuadrada, 44 E L E C T R Ó N I C A

45 La solución que satisface I=0 en t=0 es.. I(t) = A t e -Rt/2L.. 45 E L E C T R Ó N I C A

46 RESPUESTA NATURAL Y RESPUESTA FORZADA 46 E L E C T R Ó N I C A

47 RESPUESTA NATURAL S i en cualquier circuito se anula la entrada, sus derivadas sucesivas también se anulan y en la ecuación diferencial general: El segundo miembro se anula: resultando una ecuación diferencial en la que sólo aparece la salida y sus derivadas. Esta clase de ecuaciones se denominan homogéneas. Si se anula la fuente de tensión de entrada, resulta una ecuación homogénea de primer orden: En general, una ecuación homogénea de primer orden tendrá la forma: Cuya solución es inmediata: 47 E L E C T R Ó N I C A

48 Se llama respuesta natural del circuito a la solución de la ecuación homogénea. La respuesta natural representa el funcionamiento del circuito cuando no está sometido a la acción de una señal de entrada. La respuesta natural está determinada exclusivamente por las características propias del circuito puesto que la señal de entrada ha sido anulada. 48 E L E C T R Ó N I C A

49 RESPUESTA FORZADA A l aplicar una función senoidal a un circuito simple, el resultado o respuesta del circuito estará compuesto de dos partes, una respuesta natural que depende de la clase de circuito únicamente, y una respuesta forzada que será una composición de las funciones derivadas de la función de excitación; el estado senoidal permanente se refiere entonces al estado en el que el circuito a alcanzado la respuesta forzada. Para diferencial: y Dado que el circuito tiene que cumplir con la ecuación La respuesta forzada debe tener la forma: Reemplazando en esta ecuación y agrupando los términos semejantes se tiene: 49 E L E C T R Ó N I C A

50 Al igualar los coeficientes de y se obtienen dos ecuaciones que permiten encontrar los coeficientes e de la respuesta forzada: De donde se obtiene: Con esto se obtiene la respuesta forzada completa: De la misma manera si ahora se aplica una función de excitación compleja que tiene una parte real y una imaginaria, la respuesta de el circuito tendrá una parte real y otra compleja también. Para el circuito RL mostrado como compleja es: la fuente de excitación y la respuesta compleja de el circuito tendrá la forma: donde la amplitud y el ángulo de fase son desconocidos. La ecuación diferencial particular para este circuito es : 50 E L E C T R Ó N I C A

51 Remplazando los valores anteriores en la ecuación diferencial y derivando se obtiene: Ahora es necesario calcular los valores de y,para esto se divide toda la expresión entre : Que es lo mismo que: si se expresa el lado derecho de la ecuación en forma polar o exponencial se tiene: De esta forma se puede obtener: Que representan la parte real y la imaginaria de la respuesta compleja. Si se toma la respuesta real de la corriente en función del tiempo se obtiene: 51 E L E C T R Ó N I C A

52 CIRCUITO RLC EN PARALELO 52 E L E C T R Ó N I C A

53 CIRCUITO RLC EN PARALELO SIN FUENTE C uando se conecta un circuito RLC (resistencia, bobina y condensador) en paralelo, alimentado por una señal alterna (fuente de tensión alterna), hay un efecto de ésta en cada uno de los componentes. En el condensador o capacitor aparecerá una reactancia capacitiva, y en la bobina o inductor una reactancia inductiva, dadas por las siguientes fórmulas: Para esta ω 0, la impedancia es máxima e igual a la resistencia Z= R, la intensidad es mínima I= V/Z y las intensidades por las bobinas y el condensador se anulan entre si. Se dice que el circuito esta en resonancia y fo es la frecuencia de resonancia. En estos circuitos la reactancia capacitiva es grande para valor inferior a su frecuencia de resonancia y disminuye para valor superiores a la frecuencia de resonancia. La reactancia inductiva tiene un comportamiento contrario. Ecuación Nodal Simple: (v/r) + (1/L) vdt i(t0) + c dv/dt = 0 Se debe resolver de acuerdo a las siguientes condiciones iniciales: I(0+)=i0 V(0+)=v0 El resultado es una ecuación de segundo orden: 53 E L E C T R Ó N I C A C d2v/dt2 + 1/r dv/dt + 1/L v = 0

54 Así supondrá que V= Ae^st. Al sustituir esto en lo anterior de obtiene: Ae^st (Cs^2 + (1/r) s + (1/L))=0 Se iguala a 0 el factor restante y se obtienen 2 ecuaciones: S1= - 1/2RC + (1/2RC)^2 (1/LC) S2= - 1/2RC - (1/2RC)^2 (1/LC) Al sumar se obtiene: C * D^2 (v1+v2)/(dt^2) + 1/r * d(v1+v2)/dt + 1/l * (v1+v2)=0 De este modo la ecuacion general es: FUENTE V(T) = A1 e^s1t + A2 e^s2t La impedancia tiene resistencia propia RL 2=R+Z. 1/Z1 = 1/ZC + 1/(ZL+RL) Z = (RL + JWL)*(-J/WC) / RL + J (WL 1/WC) Entonces: W0 = 1/ LC * 1-RL^2 * C/L Si RL = 0 entonces: W0=1/ LC 54 E L E C T R Ó N I C A

55 EJERCICIO: El interruptor ha estado mucho tiempo en la posición A en t=0, se mueve a B. Determine V(t) pata t>0 y calcule su valor para t(1s),10s,20s. CONDICIONES INICIALES: V(0-) = 2A (5/(3+5)) = 15V V(0) = 15V RTH=4Ko V=30v Entonces: V(t) = 30 + ( ) e^-.5t V(t) = e^-.5t v Para t = 1s V(1) = ^ -0.5 (1) = V. Para t = 10s V(1) = ^ -0.5 (10) = V. 55 E L E C T R Ó N I C A Para t = 20s V(1) = ^ -0.5 (20) = V.

56 EJERCICIO: El interruptor ha estado cerrado mucho tiempo y se abre en t=0, halle i y v para cualquier tiempo. CONDICIONES INICIALES 30 v(t) = 0 t<0 y 30 t>0 Para t<0 30v (t)=0 el circuito equivalente es: V = 10 v I = -10/10 = -1 amp. Además el capacitor esta totalmente cargado y se sustituye por circuito abierto. Para t>0 se tiene el siguiente circuito: 56 E L E C T R Ó N I C A

57 V = 30 (20/(10+30)) = 20 v. RTH = = (20 * 10) / ( ) = 20/3 ohm Entonces: RTH * C = (20/3) * (1/4) = 5/3 Por lo tanto: V (t) = V + (V (0) V) e^-t V (t) = 20 + (10-20) = e^-t V (t) = e^-2/5 t = e^-.6t volts Para obtener i, se sabe que es igual a la suma de las corrientes a través del resistor de 20 ohm y del capacitor. I = v / 20 + C d v / d t I (t) = e ^ (-0.6) (-10) e ^ -0.6t = 1 + e^-0.6t Ampere 57 E L E C T R Ó N I C A

58 EJERCICIO: V (0) = 10v ((1/2) / (2/1)) = 3 t>0 T= (30v) (5v) = 150 V (t) = (15 10) * e ^ - 5t V (t) = 5 * 10 ^6 V (alfa) = 10 * ((1/6) / (6 + 2)) = 1.32 Entonces: V (t) = v (alfa) = + 2v (0)(-v) * e ^ -t/2 = v/2 + d(v) / 10 d(t) = E L E C T R Ó N I C A

59 EJERCICIO: Para t > 0 I (0) = 20 (5/8.2) = 4 Por lo tanto: I (t) = Vs/r = e ^ t RT = V0 e ^ -t = V0 (1 e ^ t/r) T= r c = ½ Rth = = (-5 * -2) / (5-2) = - 10/7 * 10 = E L E C T R Ó N I C A

60 EJERCICIO: l + 2l2 + 0v=0 4l1 + 2l2 = 30v -10v + 2l2 + 6l3 2l2 + 6l3 = cl I1 = i2 + i3 I3 = 2.72 ampere L (alfa) = 40v/10 = 4 ampere L (t) = 4 4 e^-2t RT = 1 / ( ) + 6 = 7.23 T = l / rth = 5 / 7.33 =.682 2l2 + 6l3 = 10v 18 l2 + 8l3 = 136 v 18 l l3 = 126 v 28l3=10v 60 E L E C T R Ó N I C A L (s) = ( 4 2.7) e ^ t/6 L(s) = e ^ 60t

61 CIRCUITOS RL EJERCICIO: Hallar l (t) pata t > 0, suponer que el interruptor ha estado cerrado mucho tiempo. Cuando t < 0 el resistor de 3 ohm está cortocircuitado y el inductor actúa como cortocircuito. La corriente que circula por el inductor en t = 0 es entonces: I (0)=10/2=5ampere 61 E L E C T R Ó N I C A

62 Cuando t > 0 el interruptor está abierto, las resistencias están en serie. I (alfa) = 10 / 5 = 2 ampere Entonces: I (t) = i (alfa) + i (0) i (alfa) e^-t I (t) = 2 + (5-2) ^ - t/rh I (t) = e 62 E L E C T R Ó N I C A

63 EJERCICIO: El interruptor ha estado cerrado mucho tiempo y se abre en t = 0. I (alfa) = 30 / 15 = 2 ampere RTH = 15 ohm 63 E L E C T R Ó N I C A

64 I (t) = i (alfa) + i (0) i (alfa) e^-t Así: I (t) = 2 + e ^ - 10t EJERCICIO: En t = 0 el interruptor se cierra, en t = 4 el interruptor s2 se cierra. Hallar i(t) para t = 2 > y t = 5 seg. I (alfa) = 40 / 10 = 4 I (0) = 40 / 4 = 10 RTH = = 10 T = L / RTH = 5 / 10 = 0.5 seg I (t) = 4 4 e ^ -2t = E L E C T R Ó N I C A

65 CIRCUITOS RLC Halle: A) I (0+), v (0+) B) di(0+) / d t, dv (0+) / dt C) i (alfa), v (alfa) Si el interruptor estuvo mucho tiempo cerrado entonces: 65 E L E C T R Ó N I C A

66 I(0) = 12 / 4+2 = 2 ampere V(0) = 2i(0-) = 4 volts Entonces: I (0+) = i (0-) = 2 ampere V (0+) = v (0-) = 4 volts EJERCICIO: En t = 0 el interruptor esta abierto entonces: I(c) = i (0+) = 2 ampere 66 E L E C T R Ó N I C A

67 Y puesto que: C= dv / dt = ic = dv / dt= ic /c Y como: Vl di/dt = vl/l Analizando por LTK i(0+) + vl(0+) + v(0+) = 0 VL (0+) = =0 Entonces: VL(0+)/L = 0 /.25 = 0 Ampere/seg Para t > 0, t > alfa, entonces: I (alfa) = 0 V (alfa) = 12 v 67 E L E C T R Ó N I C A

68 EJERCICIO: Calcule las raíces características del circuito de la respuesta natural esta sobre 0 es críticamente amortiguado. Solución: Alfa = R/2L = 40/2(4) = 5 W0 = 1/ lc = 1/ 4(1/4) = 1 Las raíces son: S1 = - alfa +- alfa^2 w0^2 S1 = S1 = S1 = E L E C T R Ó N I C A

69 Como alfa > w0 es una respuesta sobreamortiguada. V(t) = A1 e ^ -101t + A2 e^-9.8t Hallar i (t), suponer que el circuito ha llegado a estado estable en t = 0. Para t<0. 1 (0) = 10v / 10 ohm = 1 ampere V (0) = 6 (i) (0) = 6 volts RTH = 9 ohm Alfa = 9 / (2*0.5) = 9 W0 = 1 / l c = 10 Respuesta Subamortiguada I (t) = l (A + cos A2 sen 4.3 t ) 69 E L E C T R Ó N I C A

70 Para A y A2-6 = A (A1 + 0) A2= 3 / 4.35 = L (T) = e ^ -at / cos 4.35t sen 4.35 EJERCICIO: I ( C ) = I ( 0 ) = 2v 24 / 10 = 2.4 volts Ldc / dt = vl / l Analziando por LTK (0+) + v(0^-1) + v(0+) = 0 VL (0+) = = 34 Alfa = r / 2l 70 E L E C T R Ó N I C A

71 Alfa = 34 / 2 (34) Alfa = 0.6 EJERCICIO: S1 = ALFA +- ALFA ^2 W ^2 = S1 = S2 = Como alfa > w es una respuesta subamortiguada S1 = alfa +- 2^2 w^2 S1 = S1 = 26 = E L E C T R Ó N I C A

72 CIRCUITO RLC EN PARALELO SIN FUENTE 72 E L E C T R Ó N I C A

73 CIRCUITOS RLC EN PARALELO SIN FUENTE Hallar v(t) para t>0, suponiendo v (0) = 5v, i (0) = 0, l = i m y c = 10 mf, considere estos casos: r = 1.9 ohm, r = 5 ohm y r = 6.25 ohm. Solución: Caso 1: r = 1.9 ohm = 1 / 2RC = 1 / (2) * (1.9) (10 * 10^-3) = 126 W0 = 1 / lc = 1 / 1* 10 * 10 ^-3 = 10 Como > wo la respuesta es sobreamortiguada. S1 = ^2 10 ^2 S1 = - 2, S2 = - 50 Calculamos A1 Y A2 Para A t = 0 V (0) = A1 + A2 73 E L E C T R Ó N I C A

74 D (v) (0) / dt = -5 / (1.92) * (10*10^-3) = Entonces: Dv (t) / dt = -2A 1 e^-2t 50 A2 e^-50t. La respuesta es : V(t) = e^-2t + 5e^-50t Caso 2: r = 5 ohm = 1 / 2RC = 1 / (5) * (1.9) (10 * 10^-3) = 250 W0 = 1 / lc = 1 / 1* 10 * 10 ^-3 = 10 Como > wo la respuesta es sobreamortiguada. S1 = ^2 10 ^2 S1 = - 2, S2 = - 50 Calculamos A1 Y A2 Para A t = 0 V (0) = A1 + A2 D (v) (0) / dt = -10 / (1.92) * (10*10^-3) = - 50 Entonces resolviendo las ecuaciones: A1 = 5 A2 = -50 La respuesta es : V(t) = (5-50t) e^-10t Caso 3: r = 6.25 ohm = 1 / 2RC = 1 / (2) * (6.25) (10 * 10^-3) = 8 W0 = 1 / lc = 1 / 1* 10 * 10 ^-3 = 10 Como > wo la respuesta es sobreamortiguada. S1 = j S1 = 8 6 j 74 E L E C T R Ó N I C A

75 Calculamos A1 Y A2 Para A t = 0 V (0) = A1 + A2 La respuesta es: V(t) = e^-8t (5 cos t + b2 sen t) 75 E L E C T R Ó N I C A

76 CIRCUITO RLC EN Serie CON FUENTE 76 E L E C T R Ó N I C A

77 CIRCUITOS RLC EN SERIE CON FUENTE Halle v (t) e i(t) para t >0. Considerar los casos: R = 5 ohm, R = 4 ohm, R = 1 ohm Caso 1 = R = 5 ohm. I (0) = 24 / 6 = 4 ampere V (0) = 4 v Para t > 0 = r / 2l = 5 / 2.1 = 2.5 W0 = 1 / lc = 1/ 1*0.25 = 2 Respuesta sobreamortiguada S1 = E L E C T R Ó N I C A

78 S2 = -4 A1 + A2 = -20 ec 1 16 = - A1 4 A2 ec 2 Resolviendo: V (t) = 24 64/3 e^-t + 4/3 e^-4t Para i (t) Como i (t) = C dv (t)/ dt Entonces: I (t) = 4/3 (4^e-t e^-4t) Caso 2 = R = 4 ohm. I (0) = 24 / 5 = 4.8 ampere V (0) = 4.8 v Respuesta críticamente amortiguada S1 = -2 S2 = -2 A1 + A2 = 19.2 ec 1 A2 = = Resolviendo: V (t) = (1 + t) e ^-2t 78 E L E C T R Ó N I C A

79 Para i (t) Como i (t) = C dv (t)/ dt Entonces: dv (t) / d t = [(1+t) e^-2t (-2)(t)(e^-2t] = 38.4 [(1+t ) e^-2t-19.2 e^-2t. 79 E L E C T R Ó N I C A