GUÍA N 3 DE CÁLCULO I Derivada de funciones. 1. Un grupo de estudiantes participa de una cicletada que inicia en el centro de

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1 GUÍA N DE CÁLCULO I Derivada de funciones I Concepto de la derivada como límite intuitivo. Un grupo de estudiantes participa de una cicletada que inicia en el centro de Santiago hacia el sur del país. La función f ( ) 0,0 5 entrega la posición de un ciclista (en kilómetros) después de minutos de su partida. a) Cuál es su posición a los 0 minutos de su partida? b) cuál es la velocidad promedio entre los 0 y 60 minutos? c) Determine mediante aproimaciones la Velocidad Instantánea a los 0 minutos de su partida. Utilizar la siguiente tabla de valores, redacte respuesta. Intervalos de Tiempo 8 9 0,5 9,9 0, 9,99 0,0 Epresión Velocidad Promedio f () f (8) 8 f (0,5) f (9) 0,5 9 f (0,) f (9,9) 0, 9,9 f (0,0) f (9,99) 0,0 9,99 Velocidad Promedio

2 . Se espera que dentro de t años, la población de cierta comunidad viene dada por 0,75t la función p ( t) 0,005e (miles de habitantes) a) Dentro de 0 años Cuántos habitantes tendrá la comunidad? b) cuál es la Tasa de Crecimiento promedio entre el 6to y décimo año? c) Determine mediante aproimaciones la Tasa de Crecimiento Instantánea de la comunidad dentro de 0 años, para ello utilizar la siguiente tabla de valores. Redacte respuesta. Intervalos de Tiempo 9,5 t 0,5 9,9 t 0, 9,99 t 0,0 9,999 t 0,00 Epresión Tasa de Crecimiento Promedio p (0,5) p(9,5) 0,5 9,5 p (0,) p(9,9) 0, 9,9 p (0,0) p(9,99) 0,0 9,99 p (0,00) p(9,999) 0,00 9,999 Tasa de Crecimiento Promedio

3 II Derivadas de Funciones Elementales. Definición de Derivadas: La derivada de la función f () con respecto a es la función f ( ) dada por: f ( ) lim h0 f ( h) h f ( ) Notación: Sea y f (), entonces la derivada de la función se puede denotar por: f ( ) y dy d Tipo de Función Epresión Algebraicas Derivada Constante Potencia f ( ) c donde c f ( ) 0 n f ( ) donde n f ( ) n f ( ) donde n f ( ) n Eponencial Logarítmica f ( ) a donde a 0 f ( ) e f ( ) log ( ) a f ( ) ln( ) f ( ) a ln( a) f ( ) e f ( ) ln( a) f ( ) Recordar: n y y / n

4 . Complete el siguiente cuadro Función Tipo de Función Derivada a) df d f ( ) df d b) f ( ) 5 c) f 5 ) ( ) f ( d) ( ) log5( ) g g () e) y e y f) f ( ) log( ) f g) h) i) j) k) l) 5 dg g( ) d 5 g ( ) g () h( ) h () h( ) h () df f ( ) 4 d df f ( ) d m) ) f ( t) t f (t 4

5 n) f ( t) t 4 f (t) o) f df d ( ) p) h( ) loge ( ) h () q) df d 5 f ( ) r) f ( ) f () s) 5 f ( ) f () 4. A continuación identifique el tipo de función y luego calcule su derivada. a) f ( ) b) f ( ) c) f ( ) 5 d) f ) ( e) m ) ( f) h( ) 9 g) ( ) log( ) g h) 4 g ( ) i) g ( ) ln( ) 5 5

6 III Álgebra de derivadas. Operación de Funciones Elementales Derivada Multiplicación por una constante h c f () h c f suma o resta h f ( ) g ( ) h f g multiplicación de dos funciones división de dos funciones h f ( ) g( ) h f g f g f ( ) g( ) h g( ) 0 h f g f g g 5. Complete el siguiente cuadro: Funciones Operación Derivada a) 5 b) c) d) e) f) g) 6

7 6. Derive las siguientes funciones: a) h( ) 7 log( ) b) g( ) c) f ( ) d) f ( ) ln( ) e) ( 5 e f) Q( p) e 5lnp9 g ( ) ) p g) ln( ) f ( ) h) e f ( ) i) ln( ) h( t) 9t 0,9t 0 t 7. Determina la derivada de las siguientes funciones a) g ( ) b) c) f ( ) e log( ) d) e) d( t) t 0 t t 4 t f ( ) e log s ( ) f ( ) f) f ( ) log( ) IV Regla de la Cadena para Derivar una Función Compuesta Si f es una función compuesta, es decir f ( ) h g ( ) será f ( ) h g ( ) h g ( ) g ( ) entonces su derivada Generalmente se trabaja con las siguientes funciones compuestas: g () e su derivada será e g ( ) g n g su derivada será log ( g) n g ( n ) g a su derivada será loga( g) g g ln( a) g 7

8 8. Complete el siguiente cuadro Funciones Determinar Derivada a) 4 b) 8 5 c) log 5 d) 5 0,8 9. Aplique la regla de la cadena y propiedades de las derivadas para calcular la derivada de las siguientes funciones. a) 4 5 f ( ) ( ) b) y ln( ) c) f ( ) log( ) 7 d) f ( ) 8( 6) ln() e) y ( ) f) y e 5 dy 0. Calcule d en las siguientes funciones. a) y e b) y e c) y ln( ) d) log( ) y e) y 5 7 f) y 7 5 8

9 SIGUE PRACTICANDO:. Determina la derivada de las siguientes funciones a) I b) ( t) 0t 8t 56 d c) f 6w 7 5 f) f ( ) ln( ) d) f ( w) w e) f ( ) 0,4 0,8 t 0,75t 404 g) V( t) 5e h) p ( t) e i) R 0, 4 4 t j) V ( t) k) V l) p( t) 0, 5t 40 0e m) g( ) p) n) f ( ) f ( ) q) N( t) o).000 r) 0.895t 999e log( ) f ( ) 5 P( t). 500e kt 9

10 SOLUCIONES GUÍA N DE CÁLCULO I N a) A los 0 minutos está en el kilómetro b) La velocidad promedio entre los 0 y 60 minutos es de,8 km/min c) Se estima que La velocidad Instantánea a los 0 minutos es de, km/min Intervalos de Tiempo Velocidad Promedio (m/s) 8, 8 9 0,5, 9 9,9 0,, 0 9,99 0,0, 0 N a) La población a los 0 años será de.040 habitantes aproimadamente b) La tasa de crecimiento promedio entre el 6to y décimo año es de 48 habitantes por año c) La tasa de crecimiento instantánea a los 0 años será de 6780 habitantes por año aproimadamente. Intervalos de Tasa de Crecimiento Promedio Tiempo p(0,5) p(9,5) 9,5 t 0,5 6, ,5 9,5 p(0,) p(9,9) 9,9 t 0, 6, , 9,9 p(0,0) p(9,99) 9,99 t 0,0 6, ,0 9,99 p(0,00) p(9,999) 9,999 t 0,00 6, ,00 9,999

11 N Función Tipo de Función Derivada a) f ( ) Potencia b) ( ) 5 c) df d df f Constante 0 d ( ) Eponencial f ( ) 5 ln 5 f 5 g Logarítmica g ( ) ln(5) d) ( ) log 5 ( ) e) y e Eponencial y e f) ( ) log( ) f Logarítmica y ln 0 g) 5 5 dg 5 g( ) Eponencial ln d h) i) j) 5 g ( ) Potencia h( ) Potencia h( ) Potencia g ( ) 5 h ( ) 6 h ( ) k) l) df f ( ) 4 Constante 0 d df f ( ) Constante 0 d m) f ( t) t Potencia f ( t) t

12 n) f ( ) t 4 Potencia f ( ) 4 4 t o) ( ) Eponencial ln f p) h( ) log ( ) Logarítmica q) e 5 f ( ) Potencia df d h ( ) df d 5 5 r) s) f ( ) Potencia f ( ) 5 f ( ) Constante f ( ) 0 N 4 a) Potencia f ( ) d) Lineal f ( ) g) Logarítmica g ( ) ln b) Potencia f ( ) e) Potencia m ( ) h) Constante g ( ) 0 c) Potencia 5 f ( ) f) Eponencial h ( ) 9 i) Logarítmica g ( ) ln 9 N 5 Operación Operación Derivada a) b) Multiplicación por h( ) 5 6 constante h ( ) 0 Suma h ( ) h( ) 5 c) h( ) e Resta 5 4 h ( ) 5 e

13 d) h( ) e Multiplicación de dos funciones h ( ) e e e) h( ) Multiplicación de dos funciones h( ) ln f) 4 h( ) e División h ( ) 4 e e 4 e g) h( ) División h ( ) ( ) N 6 a) 7 h ( ) b) ln 0 d) f ) ln( ) g ( ) c) f ( ) ( e) g ( ) e 5 e f) p 5 Q ( p) e p g) ln f ( ) h) e e ln f ( ) i) ln( ) 0 h ( t) 9,8t t N 7 a) g ( ) b) c) e) f ( ) e e log( ) ln 0 40 d ( t) t t f) t d) e e f ( ) f ( ) ln 5 4 e log f ( ) log ln 0 s 4

14 N 8 Derivada a) 4 f e 4 b) f c) log 5 f 5ln0 d) 5, 5, 0,8 00, N a) f ( ) 5( ) 4 c) () f ( ) d) ln0 e) y ( ) b) y (6 ) f) f ( ) ( 6) y 5 e 4 6 N 0 a) d) dy e b) d dy d ln0 dy d e c) e) dy d dy dy f) 7 5 ln7 5 d d N a) 0 70 I b) d ( t) 0t 8 c) f 6w 6w d) f ( w) w ln 5

15 e) g) i) f ( ) 0 f) f ( ) ln ln 0,8 t V ( t) 00e h) 9,6 R 0,6 k) ,4 0,6 0,4 4, ,4 4 V l) g ( ) 5 6 ln m) 6 o) q) ( ) 5 ln 0 f N ( t) 5780e log( ) 5 5 0, t 999e ln 5 r) p ( t) 0,75e 0,75t j) t V ( t) 60 p ( t) 5e 0,5t 0,5t 0e Programa de Matemática n) f ( ) 6 ln p) f ( ) P ( t). 500k e kt 6

16 GUÍA N 4 DE CÁLCULO I La Derivada como razón de cambio. Hasta el año 000, la estimación de la deuda de EEUU, epresada en millones de dólares está dada por la función ft 0,t,59t 8,9t 7,85t 90, donde t son los años trascurridos a partir de inicios de 980. a) Complete la siguiente tabla Variables Significado Unidad de Medida b) Escriba el dominio contetualizado de la función c) Cuál es la deuda de EEUU al iniciar el año 990? df d) Interprete y calcule dt transcurridos 0 años.. Se espera que desde hoy hasta los próimos años t, la población de cierta comunidad esté dada por la función pt e, 80 miles de habitantes. a) Complete la siguiente tabla Variables Significado Unidad de Medida b) Escriba el dominio contetualizado de la función c) Cuántos habitantes se estima para 5 años más? dp d) Interprete y calcule dentro de 9 años. dt

17 . En un estudio realizado determinó que el impuesto predial en un determinado I( ) 50 e país estaba dado por la función: son los años trascurridos desde inicios del 005. en miles de pesos, donde a) Complete la siguiente tabla Variables Significado Unidad de Medida b) Cuál es la razón de cambio del impuesto predial, con respecto al tiempo, a inicios del año 0? 4. Una empresa determinó que meses después de aumentar los valores de sus productos las ventas de la compañía se pueden calcular con la función 0,8t V ( t),5e en miles de pesos. A qué razón cambiarán las ventas, con respecto al tiempo, trascurridos 5 meses? Nota N La rapidez instantánea corresponde a la razón de cambio instantánea de la posición con respecto al tiempo La aceleración instantánea corresponde a la razón de cambio instantánea de la rapidez con respecto al tiempo Es el impuesto cuya recaudación, administración y fiscalización corresponde a la municipalidad donde se ubica el predio

18 5. Un grupo de estudiantes participa de una cicletada que inicia en el centro de Santiago hacia el sur del país. La función s ( t) 0,0t 5 entrega la posición de un ciclista (en kilómetros) después de minutos de su partida. a) Complete la siguiente tabla (ver nota, página ) Variables Significado Unidad de Medida b) Determine e interprete los siguientes valores 0, 0 y 0 6. Un automóvil se mueve a lo largo de una carretera en línea recta durante 5 horas, de modo que la posición en kilómetros está dada por la función d ( ) e 5 trascurridas horas. Determine la rapidez instantánea que lleva a las horas y su aceleración instantánea a las 4 horas. 7. Un carro se mueve durante minutos a lo largo de un riel horizontal, de tal manera, que su posición en el instante desde el punto de partida, está especificado por la función f ( t) t t 8t 45. La distancia se mide en cm y el tiempo en minutos. a) Complete la siguiente tabla Variables Significado Unidad de Medida b) Escriba el dominio contetualizado de la función c) El carro en qué posición inicia su recorrido? d) Determine e Interprete f y f a los minutos

19 8. Si un tanque cilíndrico contiene galones de agua que se pueden drenar por el fondo del depósito en hora, la ley de Torricelli da el volumen V del agua que queda después de t t minutos como V ( t) t a) Complete la siguiente tabla Variables Significado Unidad de Medida b) Determine la función c) Determine e interprete 0 9. La concentración de un medicamento t horas después de haber sido inyectado en 0,5t el brazo de un paciente está dado por la función c ( t) (en ml). Calcule t 0,8 e interprete dc cuando t dt 0. Se estima que la población de una colonia de bacterias está dada por la siguiente función cuando t, 5 4 t 0 dp P t (en miles) después de t horas. Calcule e interprete dt t Nota N El Ingreso Marginal es la razón de cambio de la función ingreso respecto a la cantidad de unidades. Corresponde al cambio en el ingreso total cuando la cantidad vendida aumenta en una unidad. El Costo Marginal es la razón de cambio de la función costo respecto a la cantidad de productos. Corresponde a la variación que sufre el costo debido a la fabricación de una unidad más. El galón es una unidad de medida equivalente a 4,546 litros aproimadamente 4

20 . Una empresa calcula que al vender kilos de fertilizante, su ingreso en pesos está dado por la función 8000 donde,00 I ( ). Suponiendo que el costo total en pesos de fabricación de kilos es 000. c( ) a) Complete la siguiente tablas (ver nota, página 4) Variables Significado Unidad de Medida b) Determine la función ingreso marginal c) Calcule e interprete I (0) y I (0) d) Determine la función costo marginal e) Calcule e interprete C (0) y C (0). Si una empresa produce desde 0 hasta 000 productos diarios, el ingreso y costo en dólares de la producción de unidades estaría dado por las funciones I ( ) y C( ) 00 0, 0 respectivamente a) Complete la siguiente tabla Variables Significado Unidad de Medida b) Calcule e interprete 700 y 700) 5

21 . Un fabricante de pinturas para autos advierte que los ingresos y costos (en euros) por vender y producir litros de pintura están dado por la funciones I 00 0,0 y C respectivamente a) Determine la función ingreso marginal y costo marginal b) Calcule e interprete CM (4) y IM (59) 4. En ciertas circunstancias, un rumor se esparce según la ecuación donde ( t) 00 0e p( t) 0, 5t p es el porcentaje de la población que lo conoce en el tiempo t (horas). Determine e interprete p (t) a las 5 horas. 5. Suponiendo que el porcentaje de alcohol presente en la sangre t horas después C( t) 0,t e de consumido está dado por y horas. t dc. Calcule e interprete después de, dt 6. En un colegio, el porcentaje de estudiantes que sufre mononucleosis 4 después de t días del primer caso reportado, está dado por la función dp interprete dt después de y 7 días. p t 50t. Calcule e t 6 Nota N La corriente es la razón de cambio de la cantidad de carga con respecto al tiempo, en otros palabras es la rapidez con que la carga fluye por una superficie, se mide en unidades de carga por unidades de tiempo, a menudo en coulombs por segundo (amperes). El tiempo que demora el alcohol en llegar al torrente sanguíneo depende de varios factores, entre ellos la cantidad de comida ingerida previamente 4 La mononucleosis también conocida como enfermedad del beso es causada por un virus perteneciente a la misma familia del virus del herpes. Aparece más frecuentemente en adolescentes y adultos jóvenes, y los síntomas que la caracterizan son fiebre, faringitis o dolor de garganta, inflamación de los linfonodos y fatiga 6

22 7. Si la cantidad de carga que pasa por un punto de un alambre hasta un tiempo t se epresa con ( t) t t 6t Q (t en segundos y Q en coulombs). Determine la corriente (ver Nota, página 6) a los 0,5 segundos. SIGUE PRACTICANDO: 8. Un banco implementa un nuevo sistema de cajero automático en el cual se determinó que el número de personas que utiliza este nuevo sistema, viene dado por la función , donde representa las semanas dp transcurridas después de la implementación. Interprete y calcule transcurridas d 0 semanas de su implementación. 9. En un criadero de conejos después de días la cantidad de conejos crece a cierta razón. Se sabe que la función de población de conejos del criadero está dada por la función 0 50, 400. A qué razón cambiará la población de conejos, con respecto al tiempo, dentro de 5 días? 0. Si una empresa produce desde 5 hasta 00 productos diarios el costo total de producción en dólares de unidades es c ( ) y el precio de ventas es de i( ) dólares a) Determine la función ingreso marginal y costo marginal b) Calcule e interprete c (50) y i (60). Un carrito eperimental conectado a un PC, se mueve a lo largo de un riel de tal manera que su posición en el instante t del punto de partida está dada por la función 8 55 la distancia se mide en cm y el tiempo en minutos. Interprete y calcule de d () y d (,5 ). 7

23 SOLUCIONES GUÍA N 4 DE CÁLCULO I N a) Tiempo Años Deuda Millones dólares -Tasa de crecimiento de la deuda -Razón de cambio de la deuda - ò ñ -Millones dólares por año b) 0,0 c) La deuda de estados unidos al inicio de 990 es de.47,7 millones de dólares d) df Derivada : 0,44t 0,77t 57,8t 7, 85 dt df Valor: ( 0 ) 0, 65 dt Posibles interpretaciones: Transcurrido 0 años la tasa de crecimiento de la deuda nacional de EEUU corresponde a 0,65 millones de dólares por año (o dólares por año) La deuda de EEUU transcurrido 0 año aumento a razón de 0,65 millones de dólares por año N a) Tiempo Años Población Miles habitantes -Tasa de crecimiento de la población -Razón de cambio de la población - ñ -Miles de habitantes por año

24 b) 0, c) Dentro de 5 años se estima que la población sea de.5 habitantes Derivada : dp 0, 75 t 0,75 e dt dp Valor: ( 9) 640, 544 dt Posibles interpretaciones: La tasa de crecimiento de la población trascurrido nueve años será de personas por año (o 640,544 miles de habitantes por año) La población transcurrido 9 año aumenta a razón de personas por año N a) Tiempo Años Impuesto Predial Miles de pesos -Tasa de crecimiento del impuesto -Razón de cambio del impuesto - ñ -Miles de peso por año b) I e ( 50) e Derivada : Valor: I ( 6) 956, 076 Posibles interpretaciones: - La tasa de crecimiento del impuesto predial a inicios del año 0 corresponde a pesos por año (o 9.56,0 miles de pesos por año) - La razón de cambio del impuesto predial a inicios del año 0 corresponde a pesos por año (o 9.56,0 miles de pesos por año)

25 N 4 Derivada : V ( t) 0e 0,8 t Valor: V ( 5 ) 545, 985 La tasa de crecimiento de las ventas trascurrido 5 meses corresponde a pesos por mes. (o 545,98 miles de pesos por mes) N 5 a) Tiempo Posición Rapidez Instantánea Aceleración Instantánea Minutos km - -Kilómetros por minutos - -Kilómetros por minutos b) Derivada : s ( t) 0, 04t s ( t) 0, 04 Valor: s ( 0) s ( 0), s ( 0) 0, 04 Interpretación: - A los 0 minutos de su partida el ciclista se encuentra en el kilómetro -La rapidez instantánea a los 0 minutos de su partida corresponde a, km/min -La aceleración instantánea a los 0 minutos corresponde a 0,04 km/min

26 N 6 Derivada : d ( t) e 5 e 5 d ( t) 6e e 6 e 5 e 5 Valor: ) 7, d ( d ( 4) 67, 69 La rapidez instantánea del automóvil a las horas es de 7, km/h y su aceleración instantánea a las 4 horas corresponde a 67,7 km/h. N 7 a) Tiempo Posición Rapidez Instantánea Aceleración Instantánea - - minutos cm -centímetros por -centímetros por minuto minutos b) 0, c) Inicia su recorrido a los 45 cm del punto de partida c) f f ( ) 6t Derivada : ( ) t t 8 f ( f ( ) 0 Valor: ) 6 La rapidez instantánea que lleva el carro a los minutos corresponde a 6 cm/min y la aceleración instantánea es de 0 cm/min.

27 N 8 a) Tiempo minutos Volumen galones -Razón de cambio del volumen -Taza de decrecimiento del volumen - -Galones por minutos b) c) Valor: V ( 0 ) 666, 66 Posibles interpretaciones: -La rapidez instantánea a los 0 minutos, con la que el agua sale del depósito corresponde a.667 galones por minuto. -A los 0 minutos, el agua sale del depósito a una razón de.667 galones por minuto N 9 0,5t 0,8 Derivada : ( ) t 0,8 c ( ) 0,007 0,5t t c Valor: Posibles interpretaciones: -A las dos horas la concentración de medicamento está disminuyendo en 0,007 ml/hr. -La rapidez con la que disminuye la concentración de medicamento a las dos horas de su aplicación es de 0,007 ml/hr

28 N 0 4t 4t 0 Derivada : p ( t) t t Valor: p (,5) 5, Posibles interpretaciones -La rapidez instantánea a las,5 horas con la que disminuye la población, es de bacterias por hora. -la tasa de decrecimiento de la población a las,5 horas es de bacterias por hora. N a) Variables Significado Unidad de Medida Cantidad de fertilizante Kilos Ingreso pesos -Ingreso marginal -Tasa de crecimiento de los ingresos -Razón de cambio de los ingresos - -Pesos por kilo costos pesos -Costo marginal -Tasa de crecimiento de los costos -Razón de cambio de los costos - -Pesos por kilo b) Derivada : I ( )

29 c) Valor: I ( 0) Al vender 0 kilos de fertilizante, el ingreso será de pesos Valor: I ( 0) d) Posibles interpretaciones: - Si la producción es de 0 kilos de fertilizante, la tasa de crecimiento del ingreso será de pesos por kilógramo - Si la producción es de 0 kilos de fertilizante, el ingreso marginal será de pesos por kilógramo Derivada : C ( ) 000 e) Valor: C ( 0) El costo de 0 kilos de fertilizante será de pesos Valor: C `( 0) 060 Posibles interpretaciones: - Si la producción es de 0 kilos de fertilizante, la tasa de crecimiento del costo será de.060 pesos por kilógramo - Si la producción es de 0 kilos de fertilizante, el costo marginal será de.060 pesos por kilógramo

30 N a) Variables Significado Unidad de Medida Cantidad de productos unidades Ingreso dólares -Ingreso marginal -Tasa de crecimiento de los ingresos -Razón de cambio de los ingresos - ó -dólares por unidad costos pesos -Costo marginal -Tasa de crecimiento de los costos -Razón de cambio de los costos - ó -dólares por unidad b) Derivada : ( ) 50 CM ( 700) 0,0 IM y CM ( ) 0, 0 Valor: IM( 700) 50 y - Si la producción es de 700 unidades, la tasa de decrecimiento del costo será en 0,0 dólares por unidad O Si la producción es de 700 unidades, el costo marginal será de -0,0 dólares por unidad - Si la producción es de 700 unidades, la tasa de crecimiento del ingreso será de 50 dólares por unidad O Si la producción es de 700 unidades, el ingreso marginal será de 50 dólares por unidad

31 N Derivada : ( ) 40 i ( 59) 98,8 c i ( ) 00 0, 0 Valor: c ( 4) 40 - Si la producción es de 4 litros, la tasa de crecimiento del costo será en 40 dólares por litro. O Si la producción es de 4 litros, el costo marginal será de 40 dólares por litro - Si la producción es de 59 litros, la tasa de crecimiento del ingreso será de 98,9 dólares por litro O Si la producción es de 59 litros, el ingreso marginal será de 98,9 dólares por litro N 4 Derivada : p 5e 0,5 t ( t) Valor: p ( 5) 0, 0,5t 0e Posibles interpretaciones -La rapidez instantánea de esparcimiento del rumor a las 5 horas corresponde a un,% de la población por hora -la tasa de crecimiento del rumor a las 5 horas corresponde a un,% de la población por hora N 5 Derivada : C ( t) 0, e t 0 t e Valor: C ( ) 0,06 C () 0 C () 0, 0 t -la tasa de crecimiento del % de alcohol en la sangre a cabo de una hora es de 0,06% por hora, es decir, el % de alcohol está aumentando en la sangre a 0,06% por hora. -la tasa de crecimiento del % de alcohol en la sangre a cabo de dos hora es de 0,0% por hora, es decir, el % de alcohol no está aumentando en la sangre. -la tasa de decrecimiento del % de alcohol en la sangre a cabo de tres horas es de 0,0% por hora, es decir, el % de alcohol está disminuyendo en la sangre a 0,0% por hora.

32 N 6 Derivada : p 7 0, 9 t 50t 800 p Valor: 0, 56 t 6 p ; - A los días del primer caso reportado la rapidez con que aumenta del % de estudiantes que sufre la enfermedad es de 0,56% por día. En otras palabras a los días la tasa de crecimiento del % de estudiantes que sufre la enfermedad es de 0,56% por día - A los 7 días del primer caso reportado la rapidez con que disminuye % de estudiantes que sufre la enfermedad es de 0,9% por día. En otras palabras a los 7 días la tasa de decrecimiento del % de estudiantes que sufre la enfermedad es de 0,9% por día N 7 Derivada : 46 Valor: 0,5 4,75 La corriente que pasa a los 0,5 minutos por el alambre corresponde a 4,75 amperes (coulombs/seg.). N 8 Derivada : t 5 p Valor: p 0 5 Transcurridas 0 semanas la tasa de crecimiento de la población corresponde a 5 personas por semana. N 9 p t 0 50e Valor: p 5 9, 0,04 Derivada : - A los 5 días la población crecerá a una razón de 9 conejos por día - La tasa de crecimiento a los 5 días será de 9 conejos por día

33 N 0 Derivada : ( ) 50 c i ( ) 00 Valor: i ( 60) 00 c ( 50) 50 - Si la producción es de 50 unidades, la tasa de crecimiento del costo será en 50 dólares por unidad - Si la producción es de 60 unidades, la tasa de crecimiento del ingreso será de 00 dólares por unidad N Derivada : d( t) 9t 6t 55 d( t) 8t 6 Valor: d() 6 d(,5) 6 La rapidez instantánea del carrito a los minutos es de 6 cm seg La aceleración instantánea del carrito a los,5 minutos es de 6 cm seg

34 GUÍA DE N 5 DE CÁLCULO I Aplicación de la derivada: Valores Máimos y Mínimos. Programa de Matemática. La función f muestra el % de las utilidades de una empresa los primeros años de funcionamiento, f 0,58,6,, donde son los años trascurridos desde su creación a) Transcurridos el primer, cuarto, octavo y décimo año de funcionamiento se observaron los valores (utilidades) críticos, determínelos e indique las coordenadas en la gráfica, al igual que los % de utilidades al inicio y final del estudio. b) Determine la función f y calcular en los años donde se observan los valores críticos. Qué puedes concluir? c) Escriba los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las utilidades, indicando el comportamiento (signo) de la derivada en esos tramos. Par ello puedes completar el siguiente cuadro Valor 4 8 Valor f 0 Signo d) Durante todos los años de análisis dónde se observa el mayor y menor % de utilidad? (indique el valor).

35 Los valores máimos o mínimos de una función son los valores más grandes o más pequeños que toma una función en un punto situado ya sea dentro de un intervalo o en el dominio de la función. Determinar estos valores responde a buscar respuesta a problemas de optimización. Para encontrar los valores mínimos y máimos es necesario determinar los puntos crítico, que se definen a continuación: Punto Crítico: Dado un valor c que pertenece al dominio de la función f donde ( c) 0 definido se dirá que es un valor crítico, y c c, f será un punto crítico. f o no está. Andrea tiene un depósito a plazo desde inicios del año 00 hasta inicios del año 009. El % de interés que generó está dado por f 6 donde son los años transcurridos desde el 005. Considerando el grafico de la función f y que f0 corresponde al % de interés al inicio del año 005, responder las siguientes preguntas. a) Determinar Dominio contetualizado b) Encontrar los valores críticos utilizando la derivada de la función. c) Marcar en la gráfica los puntos críticos y coordenadas final e inicial d) Determine los intervalos donde la derivada es positiva y los intervalos donde es negativa. e) Señale punto máimo y mínimo. Interprete valores

36 . Dada la función f ϵ,.5 y su gráfica, se pide: a) Encontrar los valores críticos utilizando la derivada de la función. b) Marcar en la gráfica los puntos críticos y valores etremos del intervalo. c) Determinar coordenada del punto máimo y mínimo de la función Máimo y Mínimo relativo: Criterio de la Primera derivada: Para encontrar los valores máimos y mínimos relativos de una función continua f, se debe:. Encontrar los puntos críticos de la función f. Si f cambia de positiva a negativa alrededor del valor crítico, entonces f tiene un máimo relativo.. Si f cambia de negativo a positivo alrededor del valor crítico, entonces f tiene un mínimo relativo. 4. Si f no cambia de signo (es decir, f es positiva en ambos lados o es negativa en ambos lados), entonces f no tiene máimo ni mínimo relativo. En resumen: Si c es un valor crítico, a y b dos valores cercanos a c con se analizan los signos de la derivada se tiene: f a f c b f Conclusión 0 El valor c es un máimo relativo 0 El valor c es un mínimo relativo 0 El valor c no es mínimo ni máimo relativo 0 El valor c no es mínimo ni máimo relativo a c y b c, si

37 Máimo y Mínimo absoluto: Para encontrar los valores máimos y mínimos absolutos de una función continua f sobre un intervalo cerrado c, g, se debe:. Encontrar los puntos críticos de la función f en el intervalo ( c, g). Encontrar los valores de f en los valores críticos. Encontrar los valores de f en los valores etremos de la función, es decir, determinar f (c) y (g) f. 4. El más grande de los valores de los pasos y es el valor máimo absoluto; el más pequeño, el valor mínimo absoluto. Ayuda: Te recomendamos seguir los siguientes pasos para determinar un máimo y mínimo absoluto: º. Determinar Dominio Contetualizado º. Encontrar Punto Críticos º. Determinar si los Puntos Críticos son máimos o mínimos relativos 4º. Determinar Máimo y Mínimo Absoluto 5º. Para identificar intervalos de crecimiento o decrecimiento, se recomienda esbozar el gráfico de la función considerando máimos y mínimos relativos, y coordenada final e inicial. 4

38 4. El rendimiento de un ciclista está dado por la rapidez que alcanza. Si entrena siete horas en forma continua su rendimiento será de Rt t t 6t km/h, donde t son las horas transcurridas desde que inicia la práctica. a) Después de cuantas horas de entrenamiento se observa el máimo rendimiento del ciclista? b) Durante que tramos de tiempo en rendimiento del ciclista disminuye? 5. Se desea colocar una casa en línea recta a km de una planta industrial. Si la vivienda es construida a una distancia que fluctúa desde los 6 y km las emisiones de partículas contaminantes que le afectan se pueden determinar con la función , ppm (partículas por millón). a) Si coloca la casa a 8 km, Será la mejor ubicación? Si no determínela. b) Determine e intérprete intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función 6. El costo total C. (en miles de pesos) de pedido y almacenaje dependerá de la cantidad que se requiera, considerando como mínimo 50 artículos: a) Qué tamaño de pedido minimiza el costo total? b) Indique e interprete intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función. 7. La virulencia de cierta bacteria se comenzó a estudiar a comienzos del año 997 obteniendo el siguiente modelo 0,5 5 (en porcentaje) donde son los años transcurridos desde inicios del año 000. a) Señale el dominio contetualizado de la función b) Determine los periodos en que la virulencia aumenta y disminuye c) Dónde se observa la mínima virulencia? Indique su valor Es el grado de la capacidad de producir una enfermedad 5

39 8. En enero de 985 se funda un club deportivo. La función estima el total de personas inscritas trascurridos años desde su fundación P (Miles de socios) a) Durante qué periodo disminuye la cantidad de socios? b) A partir de qué año se estima que la cantidad de socios siempre aumentará? c) Determine e interprete Un fondo de inversión genera una rentabilidad que depende de la cantidad de dinero invertida la que debe ser mayor o igual a 500 euros. R ( ) 0,0 0, 0,5, donde está en miles de euros a) Si la rentabilidad disminuye entre que valores fluctúa la inversión? b) A partir de qué monto de inversión se estima que la rentabilidad siempre aumenta? c) Cuándo se observa la mínima rentabilidad? d) Determine e interprete Un estudio arrojó que el rendimiento de un alumno antes de realizar un eamen se comporta de acuerdo a la función 0,45 4,5 0 (en %), donde es la cantidad de horas que estudia con un máimo de 8 horas diarias. a) Cuántas horas conviene estudiar para obtener el mayor rendimiento? b) Si el alumno no estudia Cuál será su rendimiento? La rentabilidad es la ganancia que una persona recibe por poner sus ahorros en una institución financiera y se epresa a través de los intereses, que corresponden a un porcentaje del monto de dinero ahorrado. 6

40 SOLUCIONES GUÍA N 5 DE CÁLCULO I N a) U () U (0),6 U (4) U () 0,5,86 U (8),56 b) ,8, U ( ) U (4) U (8) U (0) 0 c) Intervalos de crecimiento 4,8, 0,, la derivada siempre positiva Intervalos de decrecimiento,4, 8,0, la derivada siempre negativa Valo r Valo r f Sign o d) Transcurridos años se registra el mayor % de utilidad correspondiente a,86% y en trascurridos 4 años el menor registrando un pérdida de 0,5%.

41 N a) Dominio Empírico,4 b) Valores Críticos: -, 0, c) c) Intervalos (de crecimiento) derivada positiva,0,,4, Intervalos (de decrecimiento) derivada negativa,, 0,, d) El punto máimo (, 8.5) El punto mínimo (, 9.75) Interpretación: A inicios del año 00 se observa el mayor % de interés correspondiente a un 8,5%. A inicios del año 008 se observa el menor % de interés correspondiente a una pérdida de un 9,75%

42 N a) Valores Críticos: -,5 0,5 b) c) punto máimo (.5, 646,88) puntos mínimos (.5, 5.) y (.5, 5.) N 4 a) Terminando la da hora de entrenamiento se observa el máimo rendimiento con una rapidez de km/h. b) Entre el término de la segunda hora y el término de la seta hora, el rendimiento del deportista disminuye.

43 N 5 a) No es la mejor ubicación ya que a los 8 km las emisiones contaminantes son 768 ppm y si la colocara a 5 km la cantidad de partículas serian de 55 ppm. c) Crecimiento6,8, 5, La contaminación aumenta a una distancia de la fábrica entre los 6 y 8 km y entre los 5 y km. Decrecimiento 8,5 Entre los 8 y 5 kilómetros de distancia la contaminación tiende a disminuir N 6 a) Se minimiza el costo cuando el pedido es de 87 artículos y su valor será de $ b) 50,87: Cuando la cantidad está entre los 50 y 87 el costo disminuye, la función es decreciente. 87, : Cuando la cantidad de artículos esta sobre los 87 la función crece, aumenta el costo. 4

44 N 7 a) dom V, Programa de Matemática b),0,,7: La disminución de la virulencia se observa en dos periodos, Después de iniciado el año 997 hasta antes de comenzar el 000. Y luego después del inicio del 00 hasta antes de comenzar el ,, 7, : El crecimiento de la virulencia se observa después de iniciado el año 000 hasta antes de comenzar el 00, y después de iniciado el 007. c) La mínima virulencia se registró a inicios del año 007 siendo de un 0,7% N 8 a) Entre los 8 y 4 años desde su creación la cantidad de socios disminuyen en el club deportivo. b) Se estima que a partir del año 009 la cantidad de socios comienzan a aumentar en forma indefinida. 5

45 c) 5 90,4 Transcurrido 5 años hay socios inscritos 5 4,5 La tasa de crecimiento de la cantidad de socios transcurrido 5 años es de 4,5 miles de personas por año N 9 a) Si la inversión fluctúa entre los 667 y 5000 euros la rentabilidad disminuye. b) Sobre los 5000 euros de inversión, la rentabilidad crecerá. c) La mínima rentabilidad ocurre cuando la inversión es de 5000 euros y corresponde a un %. 6

46 d) 4,04 Al invertir 4 mil euros la rentabilidad es de,04% 4 0,07 - Cuando la inversión es de 4 mil euros La rentabilidad disminuye en 0,07% por cada mil Euros invertidos - La tasa de decrecimiento de la rentabilidad cuando se invierten 4 mil euros corresponde a 0,07 por cada mil Euros N 0 a) Para obtener el mayor rendimiento se debe estudiar 4, horas diarias aproimadamente b) Si el alumno no estudia, su rendimiento será de un 0% c) 7

47 GUÍA N 6 DE CÁLCULO I Máimos y Mínimos. Problema de Optimización Un problema de optimización consiste en buscar la mejor solución mediante la minimización o maimización de uno de sus aspectos. En otras palabras se trata de calcular o determinar el valor mínimo o máimo de una función de una variable. Se debe tener presente que: - Generalmente la función que se desea minimizar o maimizar debe ser epresada en función de las variables relacionadas en el problema. - En ocasiones las restricciones del problema generan ecuaciones donde se involucran las variables del problema. Estas ecuaciones permiten obtener la función de una variable que se quiere minimizar o maimizar. Te recomendamos seguir los siguientes pasos para resolver un problema de optimización: º. Identificar los datos del problema º. Determinar la Función a Optimizar. Epresarla en función de una variable º. Determinar puntos críticos (derivando Función a Optimizar) 4º. Verificar si los puntos críticos son un máimos o mínimos 5º. Responder la pregunta. Un granjero tiene 400 metros de cerca y desea rodear un campo rectangular que limita con un río recto. No necesita cercar a lo largo del río Cuáles son las dimensiones del campo que tiene el área más grande? Ten en cuenta: Contorno P y Área A y

48 . Se requiere fabricar una lata cilíndrica para que contenga litro de aceite (000 cm ). Encuentre las dimensiones que minimizarán el costo del metal para fabricar la lata. Ten en cuenta: Para minimizar el costo del metal, minimizaremos el área de la superficie del cilindro (tapa, fondo y lados), por lo que se debe considerar: Área 6,8 6,8 Volumen,4. Donde correspondel al radio del cilindro y a la altura Nota: Las fórmulas originales son Aπr πrh y Vπr h, se reduce considerando π,4. Un granjero que dispone de 750 metros de cerca desea cercar un área rectangular y luego dividirla en cuatro corrales iguales con un cercado paralelo a un lado del rectángulo. Determine las dimensiones de cada corral optimizando la función área e interprete dichos resultados. Ten en cuenta: Perímetro del área rectangular P 5 8y Área de corral A y 4. Se cuenta con 00 cm de material para hacer una caja de base cuadrada y la parte superior abierta. Determine las dimensiones de la caja optimizando el volumen e interprete dichos resultados. Ten en cuenta: Área Volumen A 4 h V h.

49 5. Una ventana normada tiene forma de rectángulo rematado por un semicírculo. Si el perímetro es de 0 pies, encuentre las dimensiones de la ventana de modo que se admita la cantidad más grande posible de luz. Ten en cuenta: Área 0,95 Perímetro,57 Nota: Las fórmulas originales son y y y, se reduce considerando,4 6. En un cartel rectangular los márgenes superior e inferior miden 6 cm cada uno y los laterales, 4 cm. Si el área del cartel impresa se fija en 84 cm. Determine el ancho y largo del cartel optimizando la función Área del cartel e interprete dichos resultados Ten en cuenta: Área parte impresa Área cartel 7. Un cartel rectangular debe medir 80 pulgadas cuadradas con márgenes de pulgada abajo y a los lados y pulgadas arriba Qué dimensiones resultarán el área impresa máima? Ten en cuenta: Área parte impresa Área cartel

50 8. Una ventana presenta forma de un rectángulo coronado por un semicírculo. Encuentre las dimensiones de la ventana con área máima, sí su perímetro es de 0 m. Ten en cuenta: Área 0,95 Perímetro,57 SIGUE PRACTICANDO: 9. Se va a construir una caja con la parte superior abierta a partir de un trozo cuadrado de cartón que tiene pie de ancho, al recortar un cuadrado de cada una de las cuatro esquinas y doblar los lados hacia arriba. Encuentre el volumen más grande que puede tener una caja semejante. Ten en cuenta: Para maimizar el volumen de la caja se debe considerar 4

51 0. Una caja con base cuadrada y parte superior abierta debe tener un volumen de.000 cm. Encuentre las dimensiones de la caja que minimicen la cantidad de material usado. Ten en cuenta: Área Volumen A 4 h V h.. Se desea construir un recipiente cilíndrico de conservas con tapa, que tenga una superficie total de 80 cm. Determine sus dimensiones de modo que tenga el mayor volumen posible Ten en cuenta: Para minimizar el costo del metal, minimizaremos el área de la superficie del cilindro (tapa, fondo y lados), por lo que se debe considerar: Área 6,8 6,8 Volumen,4. Donde correspondel al radio del cilindro y a la altura 5

52 SOLUCIONES GUÍA N 6 DE CÁLCULO I N El campo rectangular debe tener 600 metros de profundidad y 00 metros de ancho N Para minimizar el costo de la lata, es radio debe ser de 5,4 cm y la altura será 0,84 cm. N Las dimensiones del corral serán de 46,975 metros para obtener la mayor área posible. N 4 Las dimensiones de la caja deben ser 00 cm de base y altura 0 cm para abarcar el mayor volumen posible. N 5 Para que ingrese la mayor cantidad de luz las medidas de la ventada deben ser aproimadamente ancho,8 pies, largo del rectángulo 0,09 pies. N 6 Para que la superficie del cartel sea las más pequeña sus medidas deben ser de 64 cm. N 7 Para que la superficie del cartel impresa sea la más grande sus medidas deben ser de,48,95 pulgadas aproimadamente. N 8 Para que la ventana abarque la mayor superficie las medidas del rectángulo deben ser,8,4 metros. N 9 Para que la caja tenga el volumen más grande el alto será de 0,5 pies y el ancho y largo de pies. N 0 Para minimizar el costo del material el ancho y largo de la caja debe ser de 40 cm y el alto de 0 cm N El tarro de conserva tendrá el mayor volumen cuando la atura sea de 4, cm y el radio de,06 cm aproimadamente.