Guía de Aprendizaje Primer año medio Claudia Aránguiz. Resolver problemas que involucran números enteros.

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Jaime Parra Zúñiga
hace 5 años
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1 E A C O GRANEROS Escuela Agrícola Cristo Obrero Departamento de Matemática CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS (Z) Guía de Aprendizaje Primer año medio Claudia Aránguiz Nombre: Curso: Objetivos Conocer el conjunto de los números enteros. Conocer las propiedades de los números enteros. Resolver problemas que involucran números enteros. Antecedentes Históricos Desde hacía mucho tiempo, los chinos utilizaban bastoncillos de bambú o de madera para representar los números y realizar, en especial, cálculos comerciales de una manera práctica, pero también para tratar cuestiones relacionadas con los aumentos y disminuciones de magnitudes, o con distancias recorridas en sentidos opuestos; esos bastoncillos eran negros o rojos según que representaran cantidades positivas o negativas, de acuerdo con una atribución del color que es justamente la opuesta a la empleada en la contabilidad occidental. Los matemáticos hindúes del siglo VI mencionan también el uso de números negativos para tratar este tipo de problema. Los antiguos griegos, por el contrario, rechazaron que pudieran existir tales números. En Europa medieval, los árabes dieron a conocer los números negativos de los hindúes, que en el siglo XII se utilizaban ya ocasionalmente para designar las pérdidas en el análisis de cuestiones financieras. Durante el Renacimiento, el manejo práctico de esos números en la contabilidad y otros contextos ayudó a su lenta introducción en las matemáticas. El alemán Michael Stifel ( ), monje agustino convertido al protestantismo y amigo personal de Lutero, fue uno de los primeros en admitir el uso de coeficientes negativos para el estudio de las ecuaciones cuadráticas y divulgó

2 Guía de Aprendizaje - Conjunto de los números enteros (Z) el uso del signo menos para designar la resta; de hecho, los signos + y estaban ya en uso entre los comerciantes alemanes del siglo XV para indicar el exceso o el defecto de mercancías en los almacenes. Con todo, la consideración de las cantidades negativas como correspondientes a números matemáticamente legítimos alcanzó aceptación general hasta el siglo XVIII, cuando los números negativos empezaron a ser entendidos como opuestos de los positivos. En la matemática moderna el conjunto de los números enteros (Z) abarca todos los naturales (N = {1,2,3,...}) negativos como positivos junto con el cero, y llega hasta el infinito hacia ambos lados de una recta numérica, por tanto, en rigor no existe un comienzo, salvo que como tal se considere el cero, esto es: y pictóricamente Z = {..., 2, 1,0,1,2,...} Operaciones en Z Para poder realizar las operaciones en el conjunto de los números enteros (Z) debes memorizar las siguientes reglas (son fáciles; sólo requieren de práctica). (i) Suma en Z. Existen únicamente dos casos: números de igual signo y números con signo distinto. Las reglas a memorizar son las siguientes: a) Números de igual signo: Cuando dos números tiene igual signo se debe sumar y conservar el signo. Ejemplos : 3+ 8 = 11 (sumo y conservo el signo) = 37 (sumo y conservo el signo) b) Números con distinto signo: Cuando dos números tienen distinto signo se debe restar y conservar el signo del número que tiene mayor valor absoluto (recuerda que el valor absoluto son unidades de distancia, lo cual significa que se debe considerar el número sin su signo). Ejemplos: 7+12 = = = 20 2

3 Departamento de Matemática - Srta. Claudia Aránguiz Contreras (ii) Resta en Z. Para restar dos números o más, es necesario realizar dos cambios de signo (uno después del otro) porque de esta manera la resta se transforma en suma y se aplican las reglas mencionadas anteriormente. Son dos los cambios de signo que deben hacerse: a) Cambiar el signo de la resta en suma y b) Cambiar el signo del número que está a la derecha del signo de operación por su signo contrario. Ejemplos: 3 10 = = 13 (signos iguales se suma y conserva el signo) = = = 35 (iii) Multiplicación y División en Z. La regla que se utiliza es la misma para multiplicar que para dividir. CÓMO SE HACE? Multiplico los números y luego multiplico los signos de acuerdo a la siguiente tabla: Ejemplos: + + = + = + + = + = 5 10 = 50 (5 10 = 50; = +) 12 4 = 48 (12 4 = 48; + = ) Siempre se deben multiplicar o dividir los números y luego aplicar las reglas de signos para dichas operaciones (las reglas de signos para la suma son para la suma y no deben ser confundidos con los de estas otras operaciones). Actividades Resuelve los siguientes problemas anotando la operación y respuesta: 1. Si pierdes 15 láminas en un juego y 18 láminas en otro. Cuántas láminas has perdido en total? 2. Un equipo de fútbol tiene 8 goles a favor y en otro partido hizo 5 goles más Cuántos goles tiene en total? 3. Un submarino descendió 46 metros y luego subió 18 metros. A qué profundidad se encuentra? 3

4 Guía de Aprendizaje - Conjunto de los números enteros (Z) 4. Las temperaturas máximas y mínimas de tres días fueron las siguientes: Temperatura Temperatura Mínima Máxima Cómo se calcula habitualmente la diferencia de temperaturas en un día? 5. Encuentra la diferencia entre la máxima y la mínima en los siguientes tres casos: Temperatura Temperatura Mínima Máxima (a) Realiza cálculos apoyándote en una representación gráfica. (b) Escribe las operaciones correspondientes, es decir: (temperatura máxima) (temperatura mínima) = incremento de temperatura 5 ( 4) = 9 6. Complete el siguiente cuadro: Temperatura Temperatura Operación Mínima Máxima Santiago tuvo ayer una temperatuea de 3 bajo cero en la mañana y en la tarde subió 18 grados. Cuál fue la temperatura alcanzada? 8. Una sustancia química que está a 5 bajo cero se calienta en un mechero hasta que alcanza una temperatura de 12 sobre cero. Cuántos grados subió? 4

5 Departamento de Matemática - Srta. Claudia Aránguiz Contreras 9. María deposita el día lunes, en su libreta de ahorros, cuya capital ascendía a $ , la cantidad de $ El día miércoles por una urgencia, realiza un giro de $ Cuál es el nuevo capital que posee? Escribe una operación utilizando números enteros. 10. En invierno en cierto lugar del sur de Chile la temperatura a las 16 horas fue de 12 C. A las 3 de la mañana hubo un descenso de 17 C. Cuál fue la temperatura registrada a esa hora? A) 29 grados sobre cero B) 29 grados bajo cero C) 5 grados bajo cero D) 5 grados sobre cero 11. Un submarino de la flota naval, desciende a 50 metros bajo el nivel del mar y luego desciende 20 metros más. Entonces queda a una profundidad de: A) 30 metros bajo el nivel del mar B) 30 metros sobre el nivel del mar C) 70 metros sobre el nivel del mar D) 70 metros bajo el nivel del mar 12. Cuántos años transcurrieron desde la muerte de Julio Cesar (año 44 antes de Cristo) hasta la caída del Imperio Romano de Occidente (año 395 después de Cristo)? 13. Eucĺıdes, geómetra griego, nació en el año 306 antes de Cristo y murió en el año 283 antes de Cristo. Qué edad tenía cuando murió? 14. La invención de la escritura data del año antes de Cristo. Cuántos años han transcurrido hasta hoy? 15. En cada una de las siguientes actividades imagina que partes del número cero: (i) Retrocedes 5 pasos y avanzas 3 pasos. En qué punto te encuentras? (ii) Avanzas 10 pasos y retrocedes 8 pasos. En qué punto te encuentras? (iii) Avanzas 2 pasos y retrocedes 2. En qué punto te encuentras? (iv) Si avanzas 13 pasos. Cuántos pasos debes retroceder para llegar al punto 5? 16. Cuál es la diferencia de nivel entre un punto que está a metros sobre el nivel del mar y otro que está a 300 metros bajo el nivel del mar? 5

6 Guía de Aprendizaje - Conjunto de los números enteros (Z) 17. En Calama la temperatura de hoy fue de 8 o sobre cero en la tarde y 5 o bajo cero en la noche. En cuántos grados varió la temperatura? 18. Un autoestá ubicadoa7metros aladerecha deunpuntoa, luegoavanza 23 metros, retrocede 36 metros vuelve avanzar 19 metros y retrocede 36 metros. A qué distancia del punto A se encuentra? 19. Dada la siguiente serie numérica:..., 7, 4, 1,2,5,... Cuál es la suma del número entero anterior a 7 con 5? 20. En la primera parada de un bus suben 7 personas, en la segunda suben 5 y bajan 2, en la tercera suben 9 y baja 1, en la cuarta parada baja la mitad de los pasajeros. Cuántos pasajeros quedan en el bus? 21. Encuentra el valor de las siguientes expresiones, sabiendo que: a = 2, b = 5 y c = 4. a) a+b+c = b) a b+c = c) a b c = d) a+b c = 6

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