Colegio Nacional Bartolomé Mitre. Profesora: Hasure Ana Valeria Curso: 2º año Turno: Noche

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1 1 Colegio Nacional Bartolomé Mitre Profesora: Hasure Ana Valeria Curso: 2º año Turno: Noche

2 2 PROGRAMA COLEGIO NACIONAL BARTOLOME MITRE CURSO: 2º año TURNO: Noche AÑO: 2016 PROFESORA: Hasure Ana Valeria Unidad nº 1: Números Enteros Lectura, escritura, comparación, orden y representación en la recta numérica. Operaciones: adición, sustracción, producto, cociente, potenciación y radicación. Propiedades. Operaciones combinadas. Ecuaciones. Situaciones problemáticas. Unidad n 2: Triángulos Triángulos. Construcción y análisis. Congruencia. Triángulo rectángulo. Teorema de Pitágoras. Aplicaciones. Firma _

3 Unidad n I: El conjunto de los números enteros Los enteros y la recta numérica. Orden y representación. Si tenemos $150 en una cuenta bancaria podemos retirar $175 solo si el banco nos presta la diferencia. En este caso, el saldo será de $ 25. Si la temperatura es de 14 ºC y desciende 17 ºC, ahora será de ºC bajo cero o de ºC. En estas situaciones aparecen números enteros negativos 25;, llevan un signo ( ) (menos) delante del número, para distinguirlos de los números naturales, que son los enteros positivos. El conjunto de los números enteros (se lo simboliza con la letra Z) esta formado por lo enteros negativos, el cero y los enteros positivos. En la recta numérica los números negativos se ubican a la izquierda del 0 y los positivos, a derecha. En la recta numérica un número es mayor que cualquier otro que se encuentre a su izquierda y menor que cualquier otro que se encuentre a su derecha. 4 es menor que 2. Se escribe 4 < 2 5 es mayor que 99. Se escribe 5 > 99 Se denomina módulo o valor absoluto de un número entero a la distancia que existe entre el número y el cero. El módulo de es. Se escribe = El módulo de 8 es 8. Se escribe 8 = 8 Dos números son opuestos cuanto tienen distintos signos e igual módulo. 5 y 5 son opuestos.

4 4 SUMAS Y RESTAS DE NUMEROS ENTEROS Problema: En mi cuenta bancaria tengo un saldo negativo: debo $15; si deposito $65, cuánto tengo ahora? = 50 Para sumar o restar números enteros pueden seguir estos pasos: Se eliminan paréntesis. - Si el signo que lo precede es +, el signo del número encerrado entre los paréntesis no cambia. 6 + (+4) = ( 2) = Si el signo que lo precede es ( ), el signo del número encerrado entre los paréntesis cambia. 6 (+4) = ( 2) = Se suma o resta teniendo en cuenta las siguientes reglas. Si los números tienen el mismo signo, se suman sus módulos y al resultado le corresponde ese mismo signo. Ejemplo: = = 9 Si los números tienen distinto signos, se restan sus módulos y al resultado le corresponde el signo del número con mayor módulo. Ejemplo: 6 4 = = 5 SUMA ALGEBRAICA Una suma algebraica es una sucesión de sumas y restas. Para resolver una suma algebraica, a la suma de los términos positivos se le resta la suma de los módulos de los términos negativos.

5 5 Ejemplo = = ( ) ( ) = = = 1 MULTIPLICACION Y DIVISION CON NUMEROS ENTEROS Para multiplicar (o dividir) números enteros se deben tener en cuenta las siguientes reglas de los signos. Regla de los signos: (+) (+) = (+) ( ) ( ) = (+) (+) ( ) = ( ) Ejemplos ( ) (+) = ( ) a) 9 8 = 72 d) 7 ( 12) = 84 g) ( 14) ( 7) = 2 b) ( ) 4 = 12 e) 6 12 = h) 4 ( 2) = 17 c) ( 10) ( 6) = 60 f) ( 27) = 9 i) 55 5 = 11 Si se multiplican o dividen más de dos números, se debe aplicar las reglas anteriores resolviendo las operaciones de izquierda a derecha. Ejemplos: (+5) ( 2) ( 7) = ( 10) ( 7) = 70 ( 7) ( 4) ( 2) = (+28) ( 2) = 14 OPERACIONES COMBINADAS El siguiente cálculo se puede resolver de dos formas distintas. Procedimiento 1 5 ( ) + ( 6 2) = = Se suprimen los paréntesis

6 6 ( ) ( ) = = 4 Se resuelve la suma algebraica Procedimiento 2 5 ( ) + ( 6 2) = 5 (+1) + ( 8) = Se resuelven las operaciones que encierran los paréntesis = 4 Se suprimen los paréntesis Para resolver un cálculo combinando las cuatro operaciones se deben seguir estos pasos: ( 8) = = = 11 Se separa en términos Se resuelven las multiplicaciones y divisiones Se resuelven las sumas y restas Para resolver cálculos combinados donde hay paréntesis y corchetes deben seguir estos pasos: [( 8 5 2) ( 1 1)] ( 6) + 2 = [( 18) ( 2)] ( 6) + 2 = 6 ( 6) + 2 = = 4 Se separa en términos Se resuelven las operaciones que encierran los paréntesis Se resuelven las operaciones que encierran los corchetes Se resuelven todas las operaciones POTENCIACION DE NUMEROS ENTEROS La potenciación es una forma abreviada de escribir una multiplicación de factores iguales. exponente base a n = a a a a a El signo de la potencia depende del signo de la base y del exponente. Si el exponente es par, la potencia siempre es positiva. Si el exponente es impar, la potencia tiene el mismo signo de la base.

7 7 PROPIEDADES DE LA POTENCIACION PROPIEDADES EJEMPLOS Producto de potencias de igual base, se suman los = 2 2+ = 2 5 = 2 exponentes. Cociente de potencias de igual base, se restan los = 2 5 = 2 2 = 4 exponentes. Potencia de otra potencia, se multiplican los exponentes. (2 ) 2 = 2 2 = 2 6 = 64 La potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y división. (2 5) 2 = = 4 25 = 100 (4 2) 2 = = 16 4 = 4 RADICACION DE NUMEROS ENTEROS La radicación es la operación inversa a la potenciación. Índice Radicando 8 = 2 Radical Raíz Ejemplos 27 =, porque ( ) = 27 "se lee la raíz cúbica de 27 es " 4 = 2 porque 2 2 = 4 "se lee la raíz cuadrada de 4 es 2" Si el radicando es positivo, la raíz es positiva. 4 Ejemplo 16 = 2 Si el radicando es negativo y el índice es impar, la raíz es negativa. Ejemplo 8 = 2 Si el radicando es negativo y el índice es par, la raíz no tiene solución en el conjunto de los números enteros, ya que ningún número entero elevado a un exponente par da por resultado un número negativo. 4 Ejemplo 4 o 16

8 8 PROPIEDADES La radicación es distributiva con respecto a la multiplicación y división. EJEMPLOS 9 16 = = Para multiplicar o dividir raíces de igual índice, se escribe una raíz con el mismo índice y con el radicando igual a la multiplicación o división de los radicandos dados, según corresponda. 8 2 = = 24 9 Simplificación de índices 4 = = 2 = 9 Raíz de raíz 16 = = 16 = 2 ECUACIONES Se denomina ecuación a toda igualdad donde aparece un valor desconocido llamado incógnita. x + 6 = 10 Resolver una ecuación significa encontrar el o los valores que hacen verdadera la igualdad. Verificar una ecuación consiste en reemplazar el o los valores encontrados en ella para comprobar si la igualdad se cumple. El valor o los valores encontrados forman el conjunto solución. Para x + 6 = 10, 4 es el conjunto solución porque es el único valor que hace verdadera la igualdad. Ejemplo: 1º miembro 2º miembro x = 4 verificación = 10 a. 2x 7 = 1 verificación 2 7 = 1 b. x = 7 2x = = 1 x 2 8 = 7 2x = 6 1 = 1 x 2 = x = 6 2 x = x 2 = 1 x = 1 x = ±1

9 9 UNIDAD Nº 2: TRIANGULOS Elementos y propiedades. Un triangulo es un polígono de tres lados. Los triángulos se clasifican según sus lados y según sus ángulos. En todo triangulo se cumplen las siguientes propiedades: La medida de cada lado es menor que la suma de las medida de los otros dos. La suma de los ángulos interiores es igual a 180. La suma de los ángulos exteriores es igual a 60. Todo ángulo exterior es suplementario con el ángulo interior correspondiente. Todo ángulo exterior es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes. TRIANGULO RECTANGULO Un triangulo es rectángulo cuando tiene un ángulo recto. En los triángulos rectángulos, los lados que forman el ángulo recto se llaman catetos y el opuesto al ángulo recto es la hipotenusa, que es el mayor de los tres lados. c Cateto Hipotenusa a Cateto b Los triángulos rectángulos pueden ser escalenos o isósceles, nunca equiláteros.

10 La suma de los ángulos agudos de un triangulo rectángulo es igual a 90, es decir, son complementarios. Propiedad pitagórica En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la medida de la hipotenusa es igual a la suma de los dos cuadrados de las medidas de los catetos. Esta relación se denomina relación pitagórica. c A 2 = B 2 + C 2 10 B A Comprobación a C b

11 11 TRABAJOS PRACTICOS

12 12 Trabajo Práctico nº 1: Números Enteros Orden, representación y comparación Apellido y Nombre: Curso: Fecha: 1. Escriban el número entero que corresponde. a. El buzo se encuentra a 250 metros de profundidad. b. Un avión se encuentra a 20 metros de altura. c. El tercer subsuelo de un edificio. d. El año 400 antes de Cristo. e. Ana tiene $1200. f. Claudia debe $150. g. El momento de despegue de una nave espacial. h. La temperatura es de 10 ºC bajo cero. 2. Completen con <o >, según corresponda a e i b. 4 9 f. 2 j c g k d. 1 2 h. 0 0 l Completen el cuadro. Número Opuesto Anterior Siguiente Módulo Ordena en forma decreciente los siguientes números enteros. Luego, represéntalos en la recta numérica 5; 8;; 0; -9; 7; 6; 14; 15; 5; 2; 1; 1; 4

13 1 Trabajo Práctico nº 2: Números Enteros Adición y sustracción Apellido y Nombre: Curso: Fecha: 1. Responda y explique la respuesta. a. Es cierto que la diferencia entre un número positivo y uno negativo da un número positivo? b. Si la suma entre dos números enteros es 0, Cómo son esos números? c. Está bien resuelta la siguiente suma algebraica? = (4 + 10) 8 2 = Complete el siguiente cuadro y responda. En un juego se agregan o quitan puntos según las cartas que van saliendo. Esta tabla registra los puntajes de los distintos jugadores. Complétala considerando que el nuevo puntaje resulta de agregarle 9 a cada uno de ellos. Puntajes Nuevos puntajes En un juego Nicolás fue obteniendo los siguientes puntos: 2, 7, 4, 10, 0, 2, 4,, 6, 7, 2, 4, 7, 10, 6 Para saber cuál fue su puntaje final, debe sumar todo lo obtenido. Con cuántos puntos terminó?. Plantear y resolver. a. El encargado de un edificio realiza el reparto de la correspondencia. Parte en ascensor desde el quinto piso y baja pisos, luego sube 6, baja 8 y sube 2. En qué piso se encuentra? b. Un comerciante está haciendo la caja al final del dio. Compró mercadería por $2150, ganó $2900 por lo que vendió y pagó $850 de impuestos. Si al empezar el día había $900 en la caja, cuánto dinero tiene? c. El submarino está a 100 metros. El capitán ordena sucesivamente: - Elevarse 10 metros. - Descender 0 metros. - Elevarse 50 metros. Cuál es la posición cuando acaba de cumplir todas las órdenes? 4. Supriman el paréntesis y resuelvan. a. 5 + ( 8) = e. (+10) = i. ( 15) + (+) = b. 26 (+45) = f. 2 + (+14) = j. ( 4) + 8 = c. 2 (+4) = g ( 9) = k. ( 9) + ( 8) =

14 14 Trabajo Práctico nº : Números enteros Multiplicación y división Apellido y Nombre: Curso: Fecha: 1) Resuelve las siguientes multiplicaciones y divisiones a. ( 5) = d. 18 ( 6) = g. 45 ( 5) = b. 8 2 = e = h. 2 ( 10) = c. 5 ( 1) = f. 2 2 = i. 40 ( 8) = 2) Une con flechas cada cálculo con su resultado, cuando sea posible. a. 16 ( 8) 8 = b. 2 ( 4) ( 1) = 1 8 c. 2 4 ( 1) = d. 5 ( 6) ( ) = e. 5 6 ( ) = f = g. 25 ( 1) ( 25) = ) Escribe V (verdadero) o F (falso). a. El producto entre dos números enteros negativos es negativo. b. El producto entre dos enteros positivos es positivo. c. El producto entre tres enteros negativos es positivo. d. El cociente entre un entero negativo y su opuesto es siempre 1. 4) Complete la tabla. a b c a b b c a b c a b c

15 15 Trabajo Práctico nº 4: Números Enteros Potenciación. Propiedades Apellido y Nombre: Curso: Fecha: 1) Escribe el desarrollo de cada potencia y resuelve. a. ( 7) 2 = e. ( 10) 0 = b. ( 2) 5 = f. ( 9) 2 = c. ( 1) 4 = g. ( 1) = d. ( 4) 1 = h. (8) 2 = 2) Resuelve aplicado propiedades. a. ( ) 2 ( ) ( ) 4 = b. [( 2) 2 ] 2 = c. (4 5) 2 = d. (4 2) = e. [( 2) ( ) ( 4)] 2 = f. [( 6) 8 ( 6) 6 ] 2 = ) Escribe = o, teniendo en cuenta las propiedades. En caso de ser distinto exprésalo correctamente. a. ( 2) b. ( 2) 2 ( 2) 2 ( 2) 8 c. ( 5) 6 ( 5) ( 5) 2 d. [( ) 2 ] 0 1 e. [( 7) ] 1 ( 7) 4 f. ( 4 + 6) ( 4) + 6

16 16 Trabajo Práctico nº 5: Números Enteros Radicación. Propiedades Apellido y Nombre: Curso: Fecha: 1) Calcule las siguientes raíces, cuando sea posible. a. 16 = b c d. 1 = = e. 216 = f. 6 = 4 g. 81 = h. 100 = = 2) Resuelve aplicando propiedades. a. 256 = b = c = d. ( 64) ( 1) e. 729 = f = = ) Escribe el cálculo correspondiente y resuelve. a. La raíz cuadrada del triple de doce. b. La raíz cúbica del producto entre dos y menos cuatro. c. La suma entre la raíz cuadrada de nueve y la raíz cúbica de menos veintisiete. d. La diferencia entre la raíz cuadrada de cien y el doble de cuatro. e. La suma entre el doble de doce y la raíz cuadrada de ochenta y uno. f. El cociente entre la raíz cuadrada de ciento veintiuno y once.

17 17 Trabajo Práctico nº 6: Números Enteros Operaciones combinadas Apellido y Nombre: Curso: Fecha: 1) Une con flechas cada cálculo con su resultado. a ( ) = b. 4 ( 10) 6 = c. ( ) ( 2) + 4 = d. ( 5) 18 = 17 e. 40 ( 5) = f ( ) = 2) Resuelve. a. ( 2) + 1 ( 4) 144 = b. 64 ( 2) (5 2 1) = c. ( 2) ( ) 6 ( 1) 9 = 5 d ( ) = e. ( 8) 0 + ( 4) = ) Plantee el cálculo y resuelva. a. La diferencia entre el doble de la raíz cuadrada de 144 y la raíz cubica de b. El cociente entre la raíz cuadrada de 100 y la raíz cubica de ( 5). c. El producto entre el cubo 6 y el cuadrado de 6. d. La suma entre la raíz cuarta del doble de 8 y el cubo del módulo de 15. e. La tercera parte del producto entre 8 y 6. 4) Complete la tabla. a b c c + a b 2 ( 2)

18 18 Trabajo Práctico nº 7: Números Enteros Ecuaciones Apellido y Nombre: Curso: Fecha: 1) Resuelve las siguientes ecuaciones y verifica. a. 2x + 12 = 15 b. 20 = x 5 ( 4) c. x + x + 5 = 5 d x = 4 2 e. 7x + 8 = 9 f. 1x + x 5 = 27 2) Resuelve las siguientes ecuaciones aplicando propiedad distributiva. a. 9 (x + 5) = 45 b = 7 (x 4) c. (2a ) 4 = 12 d. (15b + 10) 5 = 8 e. (12x 20) 4 = 7 ) Resuelve. a. x = 20 b. x 15 = 0 4 c. 2x 2 5 d. 5x 2 = 2 = 7 0 e. x = 0 4) Plantee la ecuación y resuelva. a. El cuádruple de la suma entre un número y cinco es igual a cincuenta y dos. b. La suma de un número y el doble de su anterior es igual a veintiocho. c. El doble de un número más el triple de nueve es igual cuarenta y uno. d. La diferencia entre el cuadrado de un número y cuatro es igual a doce. e. La mitad de un número aumentado en el doble de siete es igual veintiuno.

19 19 Trabajo Práctico nº 8: Triángulos Elementos y propiedades Apellido y Nombre: Curso: Fecha: 1) Calcule las medidas de los lados y de los ángulos que faltan. a. El triangulo ab c es isósceles y rectángulo. a 8,5 cm c = 45 b 6 cm c b. El triangulo de f es obtusángulo e isósceles. f 11 cm d 7 cm e 2) Calcule la medida de los ángulos teniendo en cuenta las propiedades. a. Datos: a = 7x + b = 95 2x c = 4x + 7 b. Datos: α = 8x 9 β = 7x 41 ε = 26 + x c a b c. Datos: δ = 77 d = 4x 8 f = 6x 5 f e

20 20 Trabajo Práctico nº 9: Triangulo rectángulo Teorema de Pitágoras Apellido y Nombre: Curso: Fecha: 1) Calcule el valor de los lados que faltan en cada triangulo. a. Datos: ac = 8 cm ab = 6 cm bc = c a b b. Datos: df = 1 m ef = 12 m de = f e d c. Datos: ac = 10 cm ab = 6 cm bc = c a 2) Calcule los ángulos α y β en los triangulos rectángulos. b a. c α = β = 124 b. a e b α = α 72 β β = f d

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