decir de las funciones f g. Posteriormente se obtienen los términos independientes

Transcripción

1 4.8. EJERCICIOS DEL CAPÍTULO 157 decir de las funciones f g. Posteriormente se obtienen los términos independientes para cada función. fg2, 3 =dcb f4, 5, 6, 7 =dc f0, 2, 4, 6 =da g0, 2, 8, 10 =ca g2, 6, 10, 14 =ba f(d, c, b, a) =dcb + dc + da g(d, c, b, a) =dcb + c + ba Se debe tomar en cuenta que si son más funciones se requiere una mayor cantidad de mapas. Por ejemplo, las funciones f, g y h requieren de los mapas f, g, h, fg, fh, gh y fgh comenzando la búsqueda de los implicantes primos del último al primero Ejercicios del Capítulo Álgebra Booleana las si- 1. Simplifique a su mínima expresin, utilizando guientes funciones:

2 158 CAPÍTULO 4. SISTEMAS COMBINATORIOS x + xy x(x + y) x yz + xyz + xy (x + y)(x + z)(y + z) xy + xz + yz xy + xy (x + y)(x + y) xyz + xy + xyz xz + xyz (a + b) (a + b) y(wz + wz) + xy abc + a bc + abc + abc + a b c bc + ac + ab + bcd ((cd) + a) + a + cd + ab (a + b + c)(a + c + d)(a + c + d) (bc + ad)(ab + cd) bd + abc + acd + abc ab + c d abd + abcd ac + abc a bcd + a b c d (m + n)(m + p)(n + p) abc + abc + bcd (abc) (a + bc) (abc d) (a(b + c)d) ((a + c)(b + d)) (a + bc) ((a + bc)(d + ef)) (a + b)c) ((r + s + t)q) 2. Exprese las siguientes funciones booleanas como una suma de mintérminos: a + bc d(a + b) + bd yz + wxy + wxz + w xz (a + b + c)(a + b)(a + c + d)(a + b + c + d)(b + c + d) (wy + z)(y + xz) xy + xz a(b + c) ac (abcd) + abc d + abc wy + xz 3. Exprese las siguientes funciones boolenas como un producto de maxtérminos:

3 4.8. EJERCICIOS DEL CAPÍTULO 159 a + bc d(a + b) + b d y z + wxy + wx z + w xz (a + b + c)(a + b)(a + c + n)(a + b + c + d)(b + c + d) (wy + z)(y + xz) xy + xz a(b + c) ac (abcd) + a b c d + ab c wy + x z 4. Obtenga el producto de maxtérminos de las siguientes sumas de mintérminos: f(c, b, a) = Σm(1, 4, 5, 6, 7) f(d, c, b, a) = Σm(1, 4, 5, 6, 7) f(d, c, b, a) = Σm(1, 3, 7) f(e, d, c, b, a) = Σm(0, 2, 6, 11, 13, 15) 5. Obtenga la suma de mintérminos de los siguientes productos de maxtérminos: f(c, b, a) = ΠM(0, 2, 3) f(d, c, b, a) = ΠM(0, 2, 3) f(c, b, a) = ΠM(0, 3, 6, 7) f(e, d, c, b, a) = ΠM(0, 1, 2, 3, 4, 6, 12) 6. Obtenga la tabla de verdad e implemente con compuertas las siguientes funciones booleanas: f(x, y, z) = xy + xy + yz f(a, b, c) = abc + a bc + abc + abc + a b c f(a, b, c, d) = abc(a + d) f(a, b, c, d, e) = d + ((a + b)c)e f(a, b, c) = ac + bc + abc f(a, b, c) = ab + bc f(a, b, c, d) = abc + b(a + d) 7. Simplifique las siguientes funciones s 3, s 2, s 1 y s 0 a su mínima expresin utilizando Álgebra Booleana:

4 160 CAPÍTULO 4. SISTEMAS COMBINATORIOS c b a s 3 s 2 s 1 s Encuentre la suma de mintérminos que forman las siguientes funciones utilizando Álgebra de Boole: f(d, c, b, a) = abc(cbd)(a + b) + (c + d)(bc a + d bc) f(d, c, b, a) = ab + c(ba + d)(c + d) + cd + bd f(d, c, b, a) = (a + b)cd + (a + c)(b + c) + b d ad + cd + bd 9. A partir de los siguientes circuitos encuentre la funcin f(d, c, b, a) como una suma de mintérminos. Utilice Álgebra de Boole: d c b a OR f(d,c,b,a) 10. Sintetice las siguientes funcines utilizando mapas de Karnaugh:

5 4.8. EJERCICIOS DEL CAPÍTULO 161 d c b a OR f(d,c,b,a) d c b a OR f(d,c,b,a) f(e, d, c, b, a) = ΠM(1, 2, 3, 4, 5, 10, 11, 14, 17, 19, 21, 28) + δ(9, 12, 30) f(c, b, a) = Σm(1, 4, 5, 6, 7) + δ(0) f(d, c, b, a) = Σm(1, 3, 7, 15) + δ(0, 2, 5) f(d, c, b, a) = Σm(0, 2, 5, 6, 11, 13, 14) + δ(1, 4) f(c, b, a) = Σm(0, 2, 3) + δ(6, 7) f(c, b, a) = Σm(0, 3, 6, 7) + δ(2, 4) f(e, d, c, b, a) = Σm(0, 1, 2, 3, 4, 6, 12, 17, 23, 25, 27) + δ(11, 14, 15, 31) f(c, b, a) = ΠM(1, 4, 5, 6, 7) + δ(0, 3) f(c, b, a) = ΠM(1, 3, 7) + δ(0, 4, 6) f(d, c, b, a) = ΠM(0, 2, 6, 9, 11, 13, 14) + δ(1) f(d, c, b, a) = ΠM(0, 2, 3, 5, 12, 14) f(d, c, b, a) = ΠM(0, 2, 3, 6, 7, 13) + δ(11, 14) f(d, c, b, a) = ΠM(0, 1, 2, 3, 4, 6, 12) + δ(10, 11, 15) f(e, d, c, b, a) = ΠM(1, 2, 3, 4, 5, 10, 11, 14, 19, 21, 28) + δ(9, 12, 26, 30) f(e, d, c, b, a) = Σm(0, 6, 7, 8, 13, 18, 22, 23, 24, 27, 29, 31) + δ(9, 12, 30)

6 162 CAPÍTULO 4. SISTEMAS COMBINATORIOS 11. Una compañía que maneja materiales peligrosos requiere se desarrolle un control de accesos. El control se realizará a partir del cdigo binario del personal. Cada persona tiene asignado un cdigo y la puerta deberá abrirse slo cuando el cdigo este autorizado. Las personas que tienen acceso cuentan con el siguiente cdigo: 00000, 00010, 00110, 00111, 01000, 01011, 01101, 01111, 10000, 10110, 10111, 11000, y Las combinaciones que no existen son: 00100, 01010, 01110, y Haga la tabla de verdad, redúzcala utilizando mapas de Karnaugh y realice el diagrama lgico correspondiente. 12. Un excéntrico profesor de diseño lgico encarg a sus alumnos un sistema para determinar si los alumnos aprobaban o reprobaban el curso. El sistema cuenta con 6 entradas y una salida. La salida es la señal de aprobado. Dicha señal deberá encender únicamente cuando el alumno apruebe el curso. Si el alumno reprueba, la señal permanecerá apagada. Las 6 entradas son: a = 1 si el proyecto fue aprobado y a = 0 si el proyecto fue reprobado. b = 1 si todas las prácticas fueron aprobadas y b = 0 si las prácticas fueron reprobadas. c = 1 si el cuarto examen fue aprobado y c = 0 si el cuarto examen fue reprobado. d = 1 si el tercer examen fue aprobado y d = 0 si el tercer examen fue reprobado. e = 1 si el segundo examen fue aprobado y e = 0 si el segundo examen fue reprobado. Finalmente f = 1 si el primer examen fue aprobado y f = 0 si el primer examen fue reprobado. Recuerde que a es la variable menos significativa en el orden. Las reglas para aprobar el curso son: i Aprobar los 4 exámenes y las prácticas ii Aprobar por lo menos 3 exámenes y el proyecto iii Aprobar por lo menos 2 exámenes, las practicas y el proyecto Si los exámenes 1 2 y 3 fueron aprobados, el cuarto examen se considera aprobado aunque aparezca como reprobado (C=0). Haga la tabla de verdad del sistema combinatorio y reduzca la funcin utilizando mapas de Karnaugh. 13. Diseñe un sistema combinatorio utilizando mapas de Karnaugh que tenga 5 bits de entrada (e, d, c, b, a) y 3 salidas (x, y, z) definidas de la siguiente forma. La salida x enciende si el número de 1 en la combinacin de entrada es mayor o igual a 3. La salida y enciende si el número de

7 4.8. EJERCICIOS DEL CAPÍTULO en la combinacin de entrada es mayor a 3. La salida z enciende si el número de entrada es múltiplo de 3, 5, 7, 8 y 11. Haga la tabla de verdad y reduzca las 3 funciones utilizando mapas de Karnaugh. 14. Un comparador es un elemento combinatorio cuyas entradas son dos operandos a y b de 3 bits cada uno (b 2, b 1, b 0 y a 2, a 1 y a 0 ). Tiene 3 salidas: s 2 a > b, s 1 a = b y s 0 a < b. La salida s 2 enciende cuando la magnitud de operando a es mayor al operando b. La salida s 1 enciende si y slo si, la magnitud de a es igual a la de b. La salida s 0 enciende slo cuando la magnitud de b es mayor que la de a. Haga la tabla del sistema que se comporte de la forma señalada y sintetice cada una de las 3 salidas utilizando mapas de Karnaugh. 15. Se define una funcin f(a, l, e, x, t) que debe valer 1 siempre que a las entradas haya más unos que ceros, y 0 en el caso contrario. Excepcin a esta regla son aquellas combinaciones que presenten un patrn alternado de unos y ceros a lo largo de toda la palabra, en cuyo caso se invertirá la funcin (será 1 cuando haya más ceros y 0 cuando haya más unos). Exprese la funcin como suma de Mintérminos y simplifíquela por mapas de Karnaugh. 16. Sintetice las siguientes funcines utilizando el método de Quinne-McCluskey:

8 164 CAPÍTULO 4. SISTEMAS COMBINATORIOS f(d, c, b, a) = Σm(0, 6, 7, 8, 13, 15, 16, 18, 22, 23, 24, 27, 29, 31) +δ(9, 12, 20, 26, 30) f(d, c, b, a) = Σm(4, 5, 6, 9, 11, 13, 14, 15, 20, 21, 22) +δ(25, 27, 29, 31) f(e, d, c, b, a) = Σm(0, 6, 7, 8, 13, 15, 16, 18, 22, 23, 24, 27, 29, 31) +δ(9, 12, 20, 26, 30) f(e, d, c, b, a) = ΣM(1, 2, 3, 4, 5, 10, 11, 14, 18, 19, 21, 25, 28) +δ(9, 12, 22, 26, 30) g(f, e, d, c, b, a) = Σ(20, 28, 52, 60) +δ(11, 14, 15, 31) h(g, f, e, d, c, b, a) = Σ(20, 28, 38, 39, 52, 60, 102, 103, 127) g(f, e, d, c, b, a) = Σ(6, 9, 13, 18, 19, 25, 27, 29, 41, 45, 57, 61) f(e, d, c, b, a) = Σ(0, 1, 2, 3, 4, 6, 12, 17, 23, 25, 27) +δ(11, 14, 15, 31) g(f, e, d, c, b, a) = Σ(0, 3, 5, 6, 9, 13, 15, 17, 22, 35, 41, 45, 48, 53, 55, 57, 60, 62) + δ(1, 11, 23, 34, 37, 49, 58, 63) g(f, e, d, c, b, a) = Σm(0, 1, 2, 6, 7, 11, 15, 21, 32, 35, 37, 42, 45, 51, 60, 62, 63) + δ(3, 8, 14, 20, 22, 23, 24, 26, 27, 31, 33, 34, 36, 38, 39, 41, 43, 46, 47, 48, 49, 52, 53, 54, 56, 57, 58, 59) g(f, e, d, c, b, a) = ΠM(4, 5, 9, 10, 12, 13, 16, 17, 18, 19, 25, 28, 29, 30, 40, 44, 50, 55) + δ(3, 8, 14, 20, 22, 23, 24, 26, 27, 31, 33, 34, 36, 38, 39, 41, 43, 46, 47, 48, 49, 52, 53, 54, 56, 57, 58, 59) f(e, d, c, b, a) = Σm(3, 7, 8, 10, 11, 15, 19, 23, 24, 25, 26, 27, 31) 17. Se define una funcin f(d, c, b, a) que debe valer 1 si la combinacin binaria representa un número primo. Diseñe con el método tabular de Quinne-McCluskey un circuito lgico mínimo que ejecute esta funcin. 18. Electrnica Los Patitos le solicita un trabajo de ingeniería. Debe diseñar un sistema combinatorio en base a Multiplexores. El número de variables de entrada es de 5 (a, b, c, d, e). Electrnica Los Patitos cuenta únicamente con Multiplexores de 3 selectores (8 entradas). Le piden que les entregues los mapas divididos en regiones con todas las combinaciones, indicando la zona claramente y un diagrama del multiplexor indicando las variables que llegan a los selectores. 19. Repita el ejercicio anterior utilizando únicamente Multiplexores de 2

9 4.8. EJERCICIOS DEL CAPÍTULO 165 selectores (4 entradas) y 3 selectores (8 entradas). 20. La Estacin Espacial Internacional sufri un desperfecto en sus sistemas de comunicacin con la Tierra debido a una partícula que se impact a muy alta velocidad contra uno de los equipos. El mdulo que se dañ es el codificador de Hamming. Ninguno de los demás astronautas conoce la teoría del Diseño Lgico por lo tanto, usted tiene que diseñar el codificador de Hamming usando únicamente 3 multiplexores de 2 selectores y 4 entradas cada uno y un negador (slo uno de los 6 del chip), que fueron los únicos circuitos que no se quemaron del equipo. La entrada al sistema combinatorio es de 4 bits (d 3, d 5, d 6 y d 7 ) y como salida se necesitan los bits de paridad (p 1, p 2 y p 4 ). 21. Se requiere un codificador de Gray a Binario para 4 bits. Slo se cuenta con 4 multiplexores de 1 selector (2 entradas), 2 negadores y un XOR de 3 entradas. Obtenga el circuito que realiza esta funcin. 22. Se requiere un codificador de Gray a Binario para 4 bits. Slo se cuenta con 4 multiplexores de 1 selector (2 entradas), 2 negadores y un XOR de 3 entradas. 23. Se cuenta con el despliegue de un elevador que tiene los siguientes Leds: un led para el piso 1, un led para el piso 2, uno para el 3, uno para el 4, uno más indica si el elevador va subiendo y el último indica si el elevador va bajando. El mecanismo del elevador cuenta con las siguientes señales TTL: 3 bits (C, B y A) que indican el piso en el que se encuentra el elevador: 001 es piso 1, 010 es piso 2, 011 es piso 3 y 100 es piso 4, además de un cuarto bit (S) que indica si el elevador va subiendo o bajando, cuando sube vale 0 y cuando baja vale 1. Usted ha sido contratado para desarrollar un sistema que a partir de los 3 bits de piso y el bit del sentido del elevador, encienda y apague los leds del despliegue. El edificio únicamente cuenta con 4 pisos. Como condicin, la empresa que lo contrat le exige que el desarrollo se haga utilizando multiplexores que tienen 4 entradas (2 selectores) y compuertas básicas. Sobra decir que el diseño para cada una de las salidas deberá ser ptimo. El diseño deberá estar claramente especificado con diagramas lgicos. 24. Construya un multiplexor de 32 entradas (5 selectores) a partir únicamente de multiplexores de 4 entradas (2 selectores). Realice el diagrama lgico del circuito.

10 166 CAPÍTULO 4. SISTEMAS COMBINATORIOS 25. Utilizando multiplexores de 4 selectores (16 entradas) sintetice la siguiente funcin encontrando las mejores combinaciones de entre las 5 posibles. La funcin es f(e, d, c, b, a) =Σm(1, 5, 9, 10, 13, 18, 20, 26, 28) + δ(2, 6, 8, 12, 14, 16, 21, 22, 24, 29, 30) 26. Dadas las siguientes funciones, sintetice con multiplexores mapeando una y dos variables y encuentre la configuracin ptima: f(d, c, b, a) = Σ(1, 4, 5, 6, 7, 11, 15) f(d, c, b, a) = Σ(1, 3, 4, 7, 15) f(d, c, b, a) = Σ(0, 2, 3, 9, 10, 12, 13) f(d, c, b, a) = Σ(0, 3, 6, 7, 10) f(d, c, b, a) = Σ(1, 3, 4, 5, 7, 12) f(d, c, b, a) = Σm(2, 3, 4, 6, 8, 10, 11, 12, 14) f(d, c, b, a) = Σm(1, 2, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 13, 15) 27. Diseñe un sistema cuya entrada es un dígito BCD, es decir 4 bits. La salida es un vector de 10 leds numerados del 0 al 9. El sistema debe encender todos los leds desde el cero hasta el número que indica la entrada. La restriccin es que únicamente se pueden utilizar EPROMs, switches para simular las entradas y leds (o probes) de salida. Haga la tabla de programacin en Hexadecimal y el circuito eléctrico indicando claramente tanto en la tabla como en el circuito cada bit de los circuitos. 28. El siguiente circuito muestra el decodificador de un cdigo alfanumérico de 5 bits (E,D,C,B y A) a un display de 14 segmentos (a,b,c,...,n). Los segmentos se muestran a continuacin y por claridad se encuentran separados. El circuito ya se encuentra alambrado. Obtenga la tabla de programacin de los EPROMs en binario y hexadecimal de acuerdo al cdigo mostrado. h g a f b e c d n i m j l k

11 4.8. EJERCICIOS DEL CAPÍTULO 167 A 0 O 0 s a A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6.. E P R O M O 1 O 2 O 3 O 4 O 5 O 6 O 7 s b s c s d s e s f s g s h. A n-1 OE 0 CE a A 0 O 0 s i b c d e A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6.. E P R O M O 1 O 2 O 3 O 4 O 5 O 6 O 7 s j s k s l s m s n. A n-1 OE 1 CE

12 168 CAPÍTULO 4. SISTEMAS COMBINATORIOS 29. Obtenga la tabla de programacin del EPROM para sintetizar la siguiente funcin: d c b a X 7 X 6 X 5 X 4 X 3 X 2 X Un extravagante profesor de Diseño Lgico se ha cansado del tradicional sistema decimal para calificar, y ha inventado un cdigo de cuatro bits para reemplazarlo. La equivalencia se muestra en la tabla siguiente. Los alumnos requieren de un circuito digital que convierta de este cdigo al convencional, representado por una línea luminosa de 10 LEDS. Lo único que los alumnos tienen a su disposicin son algunos EPROMs 2716 (2K X 8) y 10 LEDS. Sintetice la funcin con el material disponible especificando la tabla de programacin detalladamente e indicando todas las conexiones de Hardware.

13 4.8. EJERCICIOS DEL CAPÍTULO 169 C 3 C 2 C 1 C 0 Decimal Se requiere la realizacin de un codificador múltiple de BCD, que reciba como entrada un dígito BCD y que presente a la salida el equivalente en dos cdigos posibles: Exceso 3 y Cdigo Gray. Se seleccionará el cdigo deseado con 1 switch. Solamente puede utilizar EPROMs, cuidando de aprovechar lo mejor posible los recursos. Escriba la tabla de programacin detallada y el diagrama eléctrico, indicando todas las conexiones de Hardware. 32. Se requiere de un circuito que reciba como entrada un número binario de cuatro bits y que entregue como resultado su raíz cuadrada, con dos cifras decimales de precisin en dígitos BCD. Como ejemplo, si se introduce un (12 10 ), a la salida se encontrará su raíz en BCD: 0011, BCD (3,46 10 ). Todos los resultados deben ser redondeados a centésimas. Para esto se cuenta únicamente con EPROMs 2716 y algunos LEDs. Realice con este material el circuito deseado, escribiendo detalladamente la tabla de programacin e indicando todas las conexiones de hardware. 33. Compare los diferentes métodos para obtener la expresin mínima de una funcin booleana. Incluya ventajas y desventajas de unas con respecto a otras.