Probabilidades. Sección: A B C. Perito: Matutina: 4to 5to 6to. Bachiller: D E F. Vespertina: Código Técnico

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1 2018 Probabilidades Apellido(s) Nombre (s) Carn et fecha Jornada: Matutina: Vespertina: Carrera: Perito: Bachiller: Sección: A B C D E F Grado: 4to 5to 6to Código Técnico

2 REGLA EMPÍRICA PARA DATOS CON DISTRIBUCIÓN NORMAL Esta regla establece que las siguientes propiedades se aplican a conjuntos de datos con una distribución aproximadamente normal. Aproximadamente el 68% de todos los valores están dentro de una desviación estándar de la media. Aproximadamente el 95% de todos los valores están dentro de 2 desviaciones estándar de la media. Aproximadamente el 99.7% de todos los valores están dentro de 3 desviaciones estándar de la media. Ejemplo: El tiempo empleado por un grupo de estudiantes durante el último mes tienen una distribución normal, con una media de 100 min al mes y una desviación estándar de 15 min al mes. Qué porcentaje de las puntuaciones se ubican entre 70 y 130 min al mes? Solución: Media: 100 min. Desviación Estándar: 15 min. Media Desviación Rango % 100 ±15(1) 85 y % 100 ±15(2) 70 y % 100 ±15(3) 55 y % Con base a la tabla se puede indicar que el 95% de todos los usuarios emplearon 70 y 130 min en el mes pasado. 1

3 CURVA NORMAL En estadística y probabilidad se llama distribución normal, distribución de Gauss o distribución gaussiana, a una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que con más frecuencia aparece aproximada en fenómenos reales. Como existen diferentes fenómenos y todos poseen diferentes distribuciones normales sería imposible tener una tabla para cada distribución normal, por ello se elaboró solo una tabla, la tabla de la distribución normal estándar, que es la distribución con media igual a cero y desviación estándar igual a uno. Para estandarizar los valores de una variable, se utiliza la siguiente fórmula: X X z = S Ejemplos 1: Hallar la probabilidad p ( z 0.45 ) Z En la 1ª columna buscamos el valor de las unidades y las décimas. En la 1ª fila el valor de las centésimas. Basta buscar 0.4 en la columna y 0.05 en la fila. Su intersección nos da la probabilidad. Leemos y nos da La probabilidad p ( z 0.45 ) = = 67.36% Ejemplo 2: Probabilidad de un valor positivo p ( z > 1.24) En este caso la probabilidad pedida no está en las tablas. Sin embargo, si tenemos en cuenta que el área total bajo la gráfica ha de ser 1, deducimos de la figura que: p (z > 1.24) = 1 1 p (z 1.24) = R// p (z > 1.24) = = 10.75% Ejemplo 3: Probabilidad entre dos valores p (0.5 z 1.76) La diferencia entre ellas es la probabilidad que nos piden. = p (z 1.76) p (z 0.5) = R// p (0.5 z 1.76) = = 26.93% 2

4 Función de distribución (acumulativa) de la distribución normal tipificada. X X z = S Z

5 CONJUNTOS El concepto de conjunto es primitivo, en el sentido de que no es posible definirlo en términos de nociones más elementales, por lo que su estudio puede realizarse de manera informal, apelando a la intuición y a la lógica. Por otro lado, son el concepto fundamental de la matemática: mediante ellos puede formularse el resto de objetos matemáticos, como los números y las funciones, entre otros. Un conjunto es una colección de objetos, entendiendo que dichos objetos pueden ser cualquier cosa: números, personas, letras, otros conjuntos, etc. Los conjuntos se denotan habitualmente por letras mayúsculas. Los objetos que componen el conjunto se llaman elementos o miembros. Simbología de Conjuntos Símbolo Descripción { } conjunto Es un elemento del conjunto o pertenece al conjunto. No es un elemento del conjunto o no pertenece al conjunto. Tal que. U Conjunto Universo. Conjunto Vacío. Subconjunto de. Subconjunto propio de. No es subconjunto propio de. > Mayor que. < Menor que. Mayor o igual que. Menor o igual que. Intersección de conjuntos. Unión de Conjuntos. A c Complemento del conjunto A. = Símbolo de igualdad. No es igual a.... El conjunto continúa. FORMAS DE DEFINIR UN CONJUNTO Al definir un conjunto es habitual meter sus elementos entre llaves: A = { }, siendo irrelevante el orden. Se puede hacer de dos maneras: Por extensión: mediante la lista de todos sus elementos. Ejemplo: A = {1, 2, 3, 4} Por comprensión: mediante una propiedad que todos sus elementos poseen. Ejemplo: A = {Números naturales menores que 5} o A = {x x N, x < 5} Para representarlos gráficamente se usan los llamados diagramas de Venn. Cardinalidad de conjuntos El número de elementos en un conjunto particular es una propiedad conocida como cardinalidad, que informalmente se conoce como el tamaño de un conjunto. Para el ejemplo anterior, la cardinalidad del conjunto A es 4: n(a) = 4 Tipos de conjuntos Conjunto vacío El conjunto que no contiene ningún elemento se llama el conjunto vacío y se denota por o { } Conjunto universal El conjunto universal, que denotaremos por U, es el conjunto que contiene todos los elementos posibles, dentro del contexto considerado. Conjuntos disjuntos Dos conjuntos A y B son disjuntos si no tienen ningún elemento en común. Es decir, su intersección es el conjunto vacío. 4

6 Relaciones entre conjuntos Relación de Un elemento se dice que «pertenece» al conjunto y se denota mediante el símbolo, si forma parte de él. pertenecía La expresión a A se lee «a pertenece a A». Para la noción contraria se usa el símbolo. Relación de Un conjunto está definido únicamente por los elementos que lo componen, y no por la manera en la que se igualdad lo representa. Por ello, la relación de igualdad entre conjuntos se define como: Dos conjuntos A y B, son iguales (A=B) si y sólo si tienen los mismos elementos (Axioma de extensionalidad). Esto implica que no importa el orden, la forma de representación; si no únicamente que contengan los mismos elementos. Relación de inclusión. Subconjuntos Un conjunto B es un subconjunto del conjunto A si cada elemento de B es a su vez un elemento de A. Lo denotaremos B A. Se lee "B está incluido en A", "A contiene a B", "B está contenido en A", "A incluye a B" o "A es un superconjunto de B". Nota: significa que está contenido o que es igual. Si B es un subconjunto propio de A si es un subconjunto de A pero no es igual a A. Lo denotaremos B A. (este es el caso de los polígonos regulares) Operaciones con conjuntos Unión: La unión de dos conjuntos A y B, que se representa como A B, es el conjunto de todos los elementos que pertenecen al menos a uno de los dos conjuntos. A B = {x x A x B} Intersección: La intersección de dos conjuntos A y B, que se representa como, es el conjunto de todos los elementos comunes a los dos conjuntos. Complementario: El complementario de un conjunto A es el conjunto (o bien, ) que contiene todos los elementos que no pertenecen a A, respecto a un conjunto universal U que lo contiene. Diferencia: La diferencia del conjunto A con el conjunto B es el conjunto que resulta de eliminar de A cualquier elemento que esté en B. Diferencia simétrica: La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto con todos los elementos que pertenecen, o bien a A, o bien a B, pero no a ambos a la vez. Producto cartesiano: El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto de todos los pares ordenados (a,b) formados con un primer elemento "a" perteneciente a A, y un segundo elemento "b" perteneciente a B. 5

7 Ejemplo 1: Realice la operación de conjuntos siguiente A B Pasos 1: Realizamos el complemento de A = A Esto es: todo menos A Paso 2: Se debe realizar la diferencia simétrica entre A y B = A B En ese caso hay que recordar que la diferencia simétrica es la unión de ambos conjuntos menos la intersección de ellos. A B = A B A B Respuesta: Ejemplo 2: Que operación se efectuó para obtener la siguiente gráfica: Solución Para solucionar este problema se dividirá en dos partes: Parte 1 Al observar la imagen, se puede decir que es esta compuesta del inverso de la unión de A y B A B (A B) Parte 2 La parte faltante es una intersección: A C, menos B A C B = (A C) B Por último, se debe de unir la parte 1 y la parte 2 (A B) [(A C) B] = (A B) [(A C) B] = Una de forma de escribir la solución es: (A B) [(A C) B] 6

8 Ejemplo 3 En un avión viajan 120 personas, de las cuales: 2/3 de ellas no beben café 4/5 de ellas no son vegetarianos 72 no son vegetarianos y no beben café. Cuántas personas son vegetarianas y beben café? SOLUCIÓN Paso 1 El universo es 120, es el total de personas Paso 2 Si 2/3 no beben café (120 3 = 80) 2 entonces 40 toman café Paso 3 Información: Si 4/5 no son vegetarianos ( = 96) entonces 24 son vegetarianos Paso 5 Paso 4 Grupo de no vegetarianos Paso 6 Grupo de no vegetarianos y no beben café: 72 Si la unión de los que toman café con los vegetarianos es: = 48 Paso 7 La cantidad de los que toman café es 40 y la unión de los de café y vegetarianos 48, entonces 8 son vegetarianos y no toman café Paso 8 Si los que solo son vegetarianos y no toman café son 8, y en total hay 24, la intersección entre ambos es 16. Por lo que podemos concluir que el diagrama completo quedará de la siguiente forma: Contestando la pregunta: Cuántas personas son vegetarianas y beben café? R// Las personas que son vegetarianas y beben café es la intersección de ambas y es de 16 personas. 7

9 Ejemplo No. 4 A 156 estudiantes de cuarto se les aplico una encuesta respecto de su actividad favorita. La encuesta arrojó los siguientes resultados: A 52 Jóvenes les gusta el futbol A 63 les gusta jugar en el celular A 87 les gusta los videojuegos. Además algunos de ellos coinciden en que les gustaba más de un Actividad: 26 juegan con futbol y con el celular Con la anterior información conteste las siguientes preguntas: a) A cuántos jóvenes les gusta otra actividad no mencionado en la encuesta? b) A cuántos jóvenes les gusta solamente jugar con los videojuegos? 37 juegan con el celular y con videojuegos 23 juegan con futbol y los videojuegos; por último 7 expresaron su gusto por los tres. c) A cuántos jóvenes les gusta solamente jugar futbol? SOLUCIÓN: Paso 1 Se debe de iniciar por la que contiene mayor información 7 expresaron su gusto por los tres. Paso 2 Luego la información de las que contienen 2 datos y uno de ellos debe de ser el anterior. 26 juegan con futbol y con el celular F C = 26 Paso 3 Paso 4 37 juegan con el celular y con videojuegos C V = juegan con futbol y los videojuegos F V = 37 Paso 5 Paso 6 Trabajamos ahora con la información de un solo dato: A 52 Jóvenes les gusta el futbol Al finalizar la fase de dos datos se tiene x = x = 52 x = 10 Paso 7 A 63 les gusta jugar en el celular A 87 les gusta los videojuegos y = y = 63 y = z = z = 87 z = 34 Respuestas: a) Jóvenes que les gusta otra actividad = 33 b) Jóvenes que les gusta solamente jugar videojuegos = 34 c) Jóvenes les gusta solamente jugar futbol = 10 8

10 PROBABILIDADES Las probabilidades constituyen una rama de las matemáticas que se ocupa de medir o determinar cuantitativamente la posibilidad de que un suceso o experimento produzca un determinado resultado. La probabilidad está basada en el estudio de la combinatoria y es fundamento necesario de la estadística. Las estadísticas se utilizan en casi cada industria incluyendo las aseguradoras, productos de consumo, ventas al por menor, productos farmacéuticos e incluso en el gobierno federal. Las estadísticas son importantes en la industria y los negocios debido a distintas razones. Experimento aleatorio: es aquel que al repetirlo varias veces, se obtienen resultados diferentes en forma aleatoria (al azar). Ejemplo: al realizar la medición del tiempo en que se tardan en contestar un examen de conocimientos, los estudiantes aspirantes para entrar al Colegio; es decir, es aquel que no se puede prever el resultado. Experimento determinístico: Es aquel que nos proporciona siempre el mismo resultado. Ejemplo: Un ingeniero químico, al determinar el número de moléculas de hidrógeno y oxígeno que hay en el agua (H2O) siempre encontrará que es el mismo, no cambia. Espacio Muestral (E). El conjunto de todos los posibles resultados de un experimento, pudiendo ser también el equivalente del conjunto universal en términos de la teoría de conjuntos. Ejemplo 1. Al lanzar un dado al aire y observaremos los posibles resultados siguientes en que puede caer un dado. Ejemplo 2. Para el lanzamiento de dos monedas tendremos de acuerdo al conjunto potencia. 2² = 4, donde la base representa el número de caras de la moneda y el exponente el número de monedas, por lo tanto; A = { SS,CS, SC,SS }, A = { 4 } (Cuatro elementos compuestos). El espacio muestral se clasifica en dos tipos: Espacio Muestral Discreto: Es aquel en el cual los resultados se pueden enumerar. Los espacios muestrales discretos a su vez se dividen en dos tipos: 1. Espacios muestrales discretos finitos. 2. Espacios muestrales discretos infinitos Espacio Muestral Continuo: Este se define en intervalos de la recta de los números reales. Evento. Es el resultado de un experimento. Cuando cada evento es seleccionado al azar, el experimento se denomina aleatorio o al azar. Pudiendo ser todos los posibles subconjuntos del espacio muestral. Evento Simple. Cada uno de los posibles resultados de un experimento y que no se puede descomponer. En el caso del lanzamiento del dado, cada uno de los posibles números en la cara del dado es un evento simple ya que no se puede descomponer en otros eventos cuando los eventos se representan en un diagrama de Venn) se denominan puntos Muestrales. Evento Compuesto. Los eventos A, B, C, etcétera, son eventos compuestos si se componen de dos o más eventos simples. Evento seguro: Es decir que siempre puede ocurrir, por lo tanto: Es un conjunto que contiene todos los elementos S; Evento imposible: Aquel es imposible que ocurra, por lo tanto: Es el conjunto vacío, F= { }. 9

11 PROBABILIDADES COMO CONJUNTOS 1) U: espacio muestral o conjunto de todos los resultados posibles. 2) A B: al menos uno de los eventos A ó B ocurre. 3) A B: ambos eventos ocurren 4) A c : el evento A no ocurre. Ejemplo: En el experimento "lanzar un dado de seis caras" sean los eventos: A = sale par, B = sale primo. El evento "A ó B" = A B: "sale par o primo" se describe: A B = {2, 3, 4, 5, 6} Ejemplo: En el experimento "lanzar un dado de seis caras" sean los eventos: A = sale par, B = sale primo. El evento "A y B" = A B: "sale par y primo" se describe: A B = {2} Ejemplo: En el experimento "lanzar un dado de seis caras" sean los eventos: A = sale par, B = sale primo. El evento "no ocurre A" = A c : "no sale par" se describe: A c = {1, 3, 5} 10

12 HERRAMIENTAS PARA CONTAR PUNTOS MUESTRALES TEOREMA 0 Con m elementos a 1, a 2,, a m y n elementos b 1, b 2,, b n, es posible formar mn = m n pares que contengan un elemento de cada grupo. Ejemplo 1: Evento m = 6 elementos Un experimento incluye lanzar un par de dados y observar los números de sus caras superiores. Encuentre el número de puntos muestrales en S, el espacio muestral para el experimento. Evento n = 6 elementos R// el número total de espacios muestrales es mn = puntos muestrales Ejemplo 2: Una moneda balanceada se lanza tres veces al aire. Calcule el tamaño del espacio muestral Evento m = 2 elementos Evento n = 2 elementos Evento p = 2 elementos Total del espacio muestra m n p = = 8 Si un espacio muestral contiene N puntos muestrales igualmente probables y un evento A contiene exactamente n a puntos muestrales, es fácil ver que P(A) = n a N Ejemplo 1: Halla la probabilidad de sacar un cinco al tirar un dado. Espacio muestral N = mn = 1 6 = 6 Puntos muestrales n a = 1 (porque el dado solo tiene un número cinco) Evento A= Probabilidad de sacar exactamente un 5. R// P(A) = 1 o P(A) = 16.7% o P(A) = Ejemplo 2: Puntos muestrales n a = sacar al menos un uno = 11 R// P(A) = 11 o 36 P(A) = 30.56% o P(A) = Halla la probabilidad de sacar al menos un uno al tirar dos dados. Espacio muestral N = mn = 6 6 = 6 Puntos muestrales n a =? (herramienta usada dibujo) Diagrama de árbol Un diagrama de árbol es una herramienta que se utiliza para determinar todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. Ejemplo: 1er. autobus que toma: A 2do. Autobus que toma: B Jotapé debe ir desde su casa a KINAL, pero antes debe pasar por la casa de un amigo. Para ir desde su casa a la de su amigo, le sirven tres buses y para ir desde la casa de su amigo a KINAL le sirven solo dos. Cómo puedes representar gráficamente esta situación? Cuál es el espacio muestral del que dispone Jotapé para esta situación? Total del espacio muestral R// 6. 11

13 PERMUTACIONES DEFINICIÓN 1 Un arreglo ordenado de r objetos distintos se denomina permutación. El número de formas de ordenar n objetos distintos tomados r a la vez estará designado por el símbolo P r n. TEOREMA 1 P r n = n! (n r)! Ejemplo 1: Los nombres de 3 empleados se han de sacar al azar, sin restitución, de un tazón que contiene los nombres de 30 empleados de una pequeña compañía. La persona cuyo nombre sea sacado primero recibe Q100 y aquellos cuyos nombres se saquen en segundo y tercero recibirán Q50 y Q25, respectivamente. Cuántos puntos muestrales están asociados con este experimento? Solución: Debido a que los premios otorgados son diferentes, el número de puntos muestrales es el número de arreglos ordenados. n: Cantidad de objetos = 30 nombres de empleados r: Cantidad de objetos elegidos = 3 nombres premiados P 3 30 = R// Pueden elegirse de 24,360 formas diferentes. 30! (30 3)! = 30! = = 24,360 (27)! Ejemplo 2: Suponga que una operación de ensamble en una planta de manufacturas consta de cuatro pasos que se pueden efectuar en cualquier secuencia. Si el fabricante desea comparar el tiempo de ensamble para cada una de las secuencias, cuántas secuencias diferentes estarán involucradas en el experimento? 4 pasos diferentes, se trata de arreglos ordenados n: Cantidad de objetos = 4 pasos r: Cantidad de objetos elegidos = 4 formas de hacerlo R// Puede realizarse de 24 secuencias distintas. P 4 4 = Solución: 4! (4 4)! = = 24 (0)! 12

14 COMBINACIONES DEFINICIÓN 2 El número de combinaciones de n objetos tomados r a la vez es el número de subconjuntos, cada uno de tamaño r, que se pueden formar a partir de los n objetos. Este número estará denotado por C r n o ( n r ). TEOREMA 2 El número de subconjuntos desordenados de tamaño r escogidos (sin restitución) de n objetos disponibles es ( n r ) = C r n = P r n r! = n! r! (n r)! Ejemplo 1: Encuentre el número de formas de seleccionar dos solicitantes de entre cinco y por tanto el número total de puntos muestrales S Solución: La elección de los 2 empleados no importa, por lo tanto, se trata de arreglos sin ordenados. n: Cantidad de objetos = 5 solicitudes r: Cantidad de objetos elegidos = 2 solicitudes de empleo R// se puede seleccionar de 10 formas distintas. ( 5 2 ) = C 2 5 = 5! 2! (5 2)! = 10 Ejemplo 2: En un examen de Lenguaje se requiere contestar cinco de doce preguntas. Cuántas maneras diferentes hay de contestar este examen? Solución: Quiere contestar solo 5 no importando que preguntas conteste. Se trata de arreglos sin ordenados. n: Cantidad de objetos = 12 preguntas disponibles r: Cantidad de objetos elegidos = 5 preguntas ( 12 5 ) = C 5 12 = R// El estudiante puede contestar de 792 formas distintas. 12! 5! (12 5)! =