DEFORMACIONES ANGULARES LANDEO ANTEZANA, SANDRO UNIVERDIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA CIVIL HUANCAVELICA. Huancavelica Perú.

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1 DEFORMACIONES ANGULARES LANDEO ANTEZANA, SANDRO UNIVERDIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA CIVIL HUANCAVELICA Huancavelica Perú

2 CONTENIDO Pág. DEFORMACIONES ANGULARES O SLOPE DEFLEXION... 3 Ecuaciones Fundamentales de Wilson y Maney... 3 PROBLEMA N Comprovando con el software SAP DEFORMACIONES ANGULARES O SLOPE DEFLEXION EN PORTICOS Ecuaciones Fundamentales de Wilson y Maney Utilizando la fórmula de Maxwell para cada tramo PROBLEMA N Diagrama de fuerzas cortantes Comprobando los Resultados con Software sap Diagrama de fuerza cortante Diagrama de momento flector BIBLIOGRAFIA

3 DEFORMACIONES ANGULARES O SLOPE DEFLEXION Ecuaciones Fundamentales de Wilson y Maney La ecuación siguiente es para secciones constantes M ij = M ij + 2 E I M ji = M ji + 2 E I (2 θi + θj 3 ) (2 θj + θi 3 ) ωij = ωij = Las ecuaciones anteriores no permiten primeramente calcular los giros en los apoyos o en nudos de pórticos y desplazamientos de los nudos de pórticos o sistemas donde existen rotulas. PROBLEMA N 01 Dibujar el Diagrama de Momento Flector y Fuerza Cortante debidamente acotada para la figura mostrada si EI= cte 10 tn 10 tn 12 tn 10 tn 4 tn/m 10ton-m 2 m A 1.5 m 1.5 m 3 m 1.5 m 3m B C 6 m 2 m D Momentos de empotramiento perfecto A a M AB = P a b2 (a+b) 2 LAB P b M AB = + P b a2 (a+b) 2 B A M AB = W L2 12 W LAB m P B M BA = + W L2 12 La carga en puntual volado lo convertimos en un momento externo para el apoyo A 3

4 Tramo AB: Tramo BC: Tramo CD: M AB = P a b2 P a b2 (a+b) 2 (a+b) 2 M BA = + P b a2 P b a2 + (a+b) 2 (a+b) 2 Tramo AB: M BA = (3+1.5)2 (6) 2 M BA = + 10 (3+1.5) 1.52 (6) 2 Tramo BC: M BC = P a b2 (a+b) 2 M CB = + P b a2 (a+b) 2 12 (1.5+3) 1.52 (6) (1.5+3)2 (6) 2 = tn m = tn m M CD = W L2 12 M DC = + W L2 12 M BC = = [Tn m] M (3+2) 2 CB = (2+3) 2 = [Tn m] Tramo CD: M CD = 4 62 = [Tn m] M 12 DC = = [Tn m] 12 M AB = [Tn-m] M CB = [Tn-m] M BA = [Tn-m] M CD = [Tn-m] M BC = [Tn-m] M DC = [Tn-m] Utilizando la fórmula de o ecuación de Mohr o Ecuaciones Fundamentales de Wilson y Maney para cada tramo. M ij = M ij + 2 E I M ji = M ji + 2 E I (2 θi + θj 3 ) (2 θj + θi 3 ) ωij = = 0 ωij = = 0 Debido a que no existe asentamiento en los apoyos o no existe rotulas para considerar la variable Tramo AB: TramoBC M AB = M AB + 2 E I AB (2 θ L A + θ B ) M BC = M BC + 2 E I BC (2 θ AB L B + θ C ) BC M BA = M BA + 2 E I AB (2 θ L B + θ A ) M CB = M CB + 2 E I CB (2 θ BA L C + θ B ) CB M AB = (2 θ 6 A + θ B ) M BC = (2 θ 5 B + θ C ) M BA = (2 θ 6 B + θ A ) M CB = (2 θ 5 C + θ B ) TramoCD: M CD = M CD + 2 E I CD L CD (2 θ C + θ D ) M DC = M DC + 2 E I DC L DC (2 θ D + θ C ) M CD = (2 θ C + θ D ) 4

5 M DC = (2 θ D + θ C ) Sumatoria de equilibrio estático Nudo A Nudo B Nudo C Nudo D MAB+Mext(+10)+Mext(+volado)=0 MBA+MBC=0 MCB+MCD=0 MDC+Mext(-volado)=0 De la sumatoria de equilibrio estático tenemos la siguiente expresión en sistema de ecuaciones * θa *θb *θc * θd = * θa *θb *θc * θd = * θa *θb *θc * θd = * θa *θb *θc * θd = Forma matricial para el sistema de ecuaciones θa = θb = θc = θd = Utilizando la siguiente expresión determinamos los giros en cada nudo θi = A 1 B θa = θb = θc = θd = Giros finales θa = θb = θc= θd = Calculando los momentos finales en cada extremo del elemento M AB = * θa *θb *θc * θd M BA = * θa *θb *θc * θd M BC = * θa *θb *θc * θd M CB = * θa *θb *θc * θd M CD = * θa *θb *θc * θd M DC = * θa *θb *θc * θd 5

6 Reemplazando los giros en la ecuación precedente M AB = * * * * M BA = * * * * M BC = * * * * M CB = * * * * M CD = * * * * M DC = * * * * Momentos finales M AB = [Tn-m] M CB = [Tn-m] M BA = [Tn-m] M CD = [Tn-m] M BC = [Tn-m] M DC = [Tn-m] Con los momentos finales podemos calcular los esfuerzos en cada extremo de cada elemento. EL TIPO DE CARGAS W P a b Mji Mij Mij i j i Lij Lij Carga Distribuida Carga Puntual Qij Qji Qij j Qji Mji Cortante debido a las cargas V ij = W 2 ; V ji = W 2 V ij = P b ; V ji = P a Q ij = V ij 1 (M ij + M ji ) (α) Q ji = V ji 1 L ji (M ij + M ji ) (β) Reemplazando en las dos ecuaciones R AB = +V AB (M L AB + M BA ) = ( ) AB R BA = V BA (M L AB + M BA ) = 1 ( ) BA R BC = +V BC 1 (M L BC + M CB ) = ( ) BC 5 5 R CB = V CB 1 (M L CB + M CB ) = ( ) CB 5 5 R CD = +V CD 1 (M L CD + M DC ) = CD 2 1 ( ) 6 6

7 R DC = V DC 1 (M L CD + M DC ) = 4 6 DC 2 1 ( ) Cortantes finales R AB = [Tn] R CB = [Tn] R BA = [Tn] R CD = [Tn] R BC = [Tn] R DC = [Tn] Diagrama de los momentos flectores y fuerzas cortantes de la viga. Diagrama de Fuerzas Cortantes tn tn ton 2.778tn 2.778tn tn 8.000tn A B C D 10.00tn 10.00tn 8.133tn 8.133tn 7.222tn 7.222tn tn Diagrama de momentos flectores A B C D 7

8 Comprovando con el software SAP2000

9 9

10 10

11 DEFORMACIONES ANGULARES O SLOPE DEFLEXION EN PORTICOS Ecuaciones Fundamentales de Wilson y Maney. La ecuación siguiente es para secciones constantes M ij = M ij + 2 E I M ji = M ji + 2 E I (2 θi + θj 3 ) (2 θj + θi 3 ) ωij = ωij = P W Mij i Lij j Mji Utilizando la fórmula de Maxwell para cada tramo. M ij = M ij + K ij (2 φi + φj φij) M ji = M ji + K ij (2 φj + φi φij) φi = 2 E θi ; φj = 2 E θj; φij = 6 E ωij Las ecuaciones anteriores no permiten primeramente calcular los giros en los apoyos o en nudos de pórticos y desplazamientos de los nudos de pórticos o sistemas donde existen rotulas.

12 PROBLEMA N 01 TRABAJO DOMICILIARIO UNH II Para el pórtico mostrado dibujar los diagramas de fuerzas cortantes y momentos flectores las secciones y propiedades físicas se dan en la figura tn/m A 4 m 5 m 6 m 30*40 cm C 30*40 cm 30*40 cm B f'c=210 Kg/cm2 D 30*50 cm 6 m E VIGA I 1.00 I COLUMNAS I 1.95 I MIN= I LONG. LAB LBC LCD LCE 4 m 5 m 6 m 6 m MCM= INERCIAS IAB IBC ICD ICE I I I I RIG. REL I I I I K ij = K ji = I Rigidez relativa L W A LAB m M AB = W L2 12 B P M BA = + W L

13 Momentos d empotramiento perfecto, utilizando la figura anterior para carga distribuida uniforme. M AB = [Tn-m] M CD = -2.4 [Tn-m] M BA = [Tn-m] M DC = 2.4 [Tn-m] M BC = [Tn-m] M CE = 0 [Tn-m] M CB = [Tn-m] M EC = 0 [Tn-m] Utilizando la ecuación de Maxwell, para cada elemento vertical y horizontal. M ij = M ij + K ij (2 φi + φj); φij = 0 M ji = M ji + K ji (2 φj + φi); φij = 0 En este caso no existe desplazamiento horizontal y vertical de los elementos, por lo tanto solo se usara la ecuación anterior. M AB = * θa * θb * θc * θd * θe M BA = * θa * θb * θc * θd * θe M BC = * θa * θb * θc * θd * θe M CB = * θa * θb * θc * θd * θe M CD = * θa * θb * θc * θd * θe M DC = * θa * θb * θc * θd * θe M CE = * θa * θb * θc * θd * θe M EC = * θa * θb * θc 0.00 * θd * θe Equilibrio estático * θa * θb * θc * θd= * θa * θb * θc * θd= * θa * θb * θc * θd= * θa * θb * θc * θd= Llevamos a un modo de sistemas ecuaciones para la sencilla solución θa θb = θc θd Utilizando la ecuación θ i = A 1 B θa θb θc = θd

14 Los giros en cada nudo de la estructuras aporticada. θa = [rad] θb = [rad] θc = [rad] θd = [rad] θe = [rad] Reemplazando los giros en la ecuaciones de Maxwell determinados anteriormente. M AB = M BA = M BC = M CB = M CD = M DC = M CE = M EC = Los momentos finales en cada extremo de los elementos M AB = [Tn-m] M CD = [Tn-m] M BA = [Tn-m] M DC = [Tn-m] M BC = [Tn-m] M CE = [Tn-m] M CB = [Tn-m] M EC = [Tn-m] Para determinar las cortantes finales en cada extremo del elemento bastara utilizar solo las ecuaciones de la estática. Los cortantes finales en cada extremo de los elementos. El procedimiento del cálculo de las cortantes se procede al igual que en la viga del problema anterior. Q AB = Q BA = Q BC = Q CB = [Ton] [Ton] [Ton] [Ton] Q CD = Q DC = Q CE = Q EC = [Ton] [Ton] [Ton] [Ton] Los diagramas de fuerzas cortantes se grafican a continuación, con los valores calculados de momentos y cortantes finales. 14

15 1.229 ton Diagrama de fuerzas cortantes ton ton A x=1.536 m B x=2.316 m ton C x=3.670 m ton ton D ton E Diagrama de Momentos Flectores t-m t-m t-m 0.00 t-m 0.00 t-m A t-m B t-m t-m C t-m D E t-m 15

16 Comprobando los Resultados con Software sap2000 Diagrama de fuerza cortante 16

17 Cxzcx A RW34578 Diagrama de momento flector 17

18 BIBLIOGRAFIA Resistencia de materiales I y II. (A. Arteaga. N, P. Iberico C, Gonzales, A. Mego C.) Análisis estructural (Teoria y Problemas Resueltos, Ing. Biaggio Arbulú G.-UNI) Calculo de Estructuras Hiperestáticas (Volumen II, Ing. Biaggio Arbulú G.-UNI) Calculo de Estructuras Hiperestáticas (Volumen III, Ing. Biaggio Arbulú G.-UNI) Apuntes de Clases de Resistencia de Materiales I y II Universidad Nacional de Huancavelica (2014-I, 2014-II) ING. CABALLERO SANCHEZ, Omar. Apuntes de clases de Análisis Estructural I - II Universidad Nacional de Huancavelica 2015-I, ING. CABALLERO SANCHEZ, Omar. Apuntes de Clases de Resistencia de Materiales I y II Universidad Nacional de Huancavelica ING. BENDEZU BOZA, Reyder E. Apuntes de clases de Análisis Estructural I II Universidad Nacional de Huancavelica 2015-I, ING. BENDEZU BOZA, Reyder E. 18