Análisis Matemático I. Tema 11: Teorema de la función inversa de diciembre de 2017

Transcripción

1 Análisis Matemático I Tema 11: Teorema de la función inversa de diciembre de 2017

2 1 Regla de diferenciación 2 Teorema local 3 Aplicaciones 4 Teorema global

3 Regla de derivación de la función inversa Motivación: caso de funciones reales de variable real /0 A R, f : A R inyectiva, B = f (A), f 1 : B R Supongamos que f es derivable en un punto a A A y sea b = f (a) entonces b B y las siguientes afirmaciones son equivalentes: f 1 es derivable en el punto b f 1 es continua en b y f (a) 0 En caso de que ambas se cumplan, se tiene: ( f 1 ) (b) = 1 f (a) Observaciones para generalizar el resultado anterior En general necesitaremos que b B, habrá que suponerlo f (a) 0 D f (a) biyectiva ( f 1 ) 1 (b) = f D f 1 (b) = D f (a) 1 (a)

4 Caso general Homeomorfismo lineal X, Y espacios normados, T : X Y es un homeomorfismo lineal cuando: T L(X,Y ), T es biyectiva y T 1 L(Y,X) Regla de diferenciación de la función inversa X,Y normados, Ω = Ω X, F : Ω Y inyectiva, B = f (Ω), f 1 : B X Supongamos que f es diferenciable en a Ω y que b = f (a) B Entonces, las siguientes afirmaciones son equivalentes: f 1 es diferenciable en el punto b f 1 es continua en b y D f (a) es un homeomorfismo lineal En caso de que ambas se cumplan, se tiene: D f 1 (b) = D f (a) 1 Una consecuencia X,Y espacios normados, U = U U, V = V Y, f : U V biyectiva. Si f es diferenciable en a U y f 1 es diferenciable en b = f (a), entonces X e Y son linealmente homeomorfos. dim (X) = N N dim (Y ) = N

5 Motivación para el teorema de la función inversa Versión global del teorema de la función inversa en R I R, I intervalo no trivial, f : I R derivable. Supongamos que f (x) 0 x I. Entonces: f es inyectiva J = f (I) es un intervalo f 1 es derivable con ( f 1) ( f (x) ) = 1/ f (x) x I Versión local del teorema de la función inversa en R I R, I intervalo no trivial, f : I R derivable, a I. Supongamos que f es continua en a y f (a) 0. Entonces, existe δ > 0 tal que, si I δ = I ]a δ,a + δ[ y ϕ = f Iδ, se tiene: f es inyectiva en I δ J δ = f (I δ ) es un intervalo f (x) 0 x I δ ϕ 1 es derivable en J δ con ( ϕ 1) ( f (x) ) = 1/ f (x) x I δ

6 Preparativos para el teorema de la función inversa en R N Continuidad del determinante T L(R N,R N ), A T matriz de T, A T determinante de A T Sabemos que T es biyectiva si, y sólo si, A T = 0 La aplicación T A T, de L(R N,R N ) en R, es continua Determinante jacobiano Ω = Ω R N, f : Ω R N diferenciable en a Ω J f (a) es el determinante jacobiano de f en a Si f D(Ω,R N ) y D f es continua en a Ω, entonces: la aplicación x J f (x), de Ω en R, es continua en a

7 Enunciado del teorema de la función inversa local en R N Teorema de la función inversa (local) Ω = Ω R N, f D(Ω,R N ), a Ω Supongamos que D f es continua en a y J f (a) = 0. Entonces: Existe un abierto U, con a U Ω, tal que, si ϕ = f U, se tiene: f es inyectiva en U V = f (U) es abierto J f (x) = 0 x U ϕ 1 D(V,R N ) con Dϕ 1( f (x) ) = D f (x) 1 x U Se dice que ϕ 1 es una inversa local de f en el punto a Nótese que ϕ 1 está definida en V, que es un entorno de f (a)

8 Esquema de demostración. Caso particular: a = f (a) = 0, Primera fase: uso de las hipótesis Las hipótesis sobre f se trasladan a la función g = Id f Se usa que Dg es continua en 0 con Dg(0) = 0 Se usa que x J f (x) es continua en 0 con J f (0) = 1 Conclusión: existe un r > 0 con B(0, 3r) Ω, tal que: x < 3r = Dg(x) 1/2 y J f (x) = 0 Segunda fase: Desigualdad del valor medio D f (0) = Id x,z B(0,3r) = g(x) g(z) (1/2) x z y g(x) 1/2 x Tercera fase: Teorema del punto fijo de Banach Para cada y 0 B(0,r) existe un único x 0 B(0,2r) tal que f (x 0 ) = y 0 Si además y 0 < r, entonces x 0 < 2r Cuarta fase: Fin del caso particular U = B(0,2r) f 1( B(0,r) ) Las tres primeras afirmaciones son fáciles Para la cuarta, se prueba que ϕ 1 es lipschitziana, luego continua

9 Fin de la demostración: caso general Quinta fase: el caso general se deduce del caso particular ya resuelto Ω 0 = {z R N : z + a Ω}, f 0 (z) = D f (a) 1( f (z + a) f (a) ) z Ω 0 f 0 cumple las mismas hipótesis que f y está en el caso particular Existe un abierto U 0 que cumple lo pedido, para f 0 U = {z + a : z U 0 }, f (x) = D f (a) ( f 0 (x a) ) + f (a) x Ω El abierto U cumple todo pedido en el teorema

10 Aplicaciones del teorema de la función inversa (I) Coordenadas polares en el plano Ω = R + R, f (ρ,θ) = (ρcosθ, ρsenθ) (ρ,θ) Ω f (Ω) = R 2 \ {(0,0)} = G, pero f no es inyectiva (x,y) G (ρ,θ) Ω : x = ρcosθ, y = ρsenθ Todo (x,y) G tiene coordenadas polares (ρ,θ) Ω, que no son únicas f C 1 (Ω,R 2 ) con J f (ρ,θ) = ρ 0 (ρ,θ) Ω f admite una inversa local en cada punto (ρ,θ) Ω, es decir, En un entorno de cada punto de G, se pueden definir de manera única las coordenadas polares, como una función diferenciable de las coordenadas cartesianas Si g : G R es un campo escalar, y h = g f, entonces h es diferenciable si, y sólo si, g es diferenciable

11 Aplicaciones del teorema de la función inversa (II) Coordenadas cilíndricas Ω = R + R 2,, f (ρ,θ,z) = (ρcosθ, ρsenθ, z) (ρ,θ,z) Ω f (Ω) = R 3 \ {(0,0,z) : z R} = G, pero f no es inyectiva (x,y,z) G (ρ,θ,z) Ω : x = ρcosθ, y = ρsenθ Todo (x,y,z) G tiene coordenadas cilíndricas (ρ,θ,z) Ω, que no son únicas f C 1 (Ω,R 3 ) con J f (ρ,θ,z) = ρ 0 (ρ,θ,z) Ω f admite una inversa local en cada punto (ρ,θ,z) Ω, es decir, En un entorno de cada punto de G, se pueden definir de manera única las coordenadas cilíndricas, como una función diferenciable de las coordenadas cartesianas Si g : G R es un campo escalar, y h = g f, entonces h es diferenciable si, y sólo si, g es diferenciable

12 Aplicaciones del teorema de la función inversa (III) Coordenadas esféricas Ω = { (r,θ,ϕ) R 3 : r R +, ϕ < π/2 } f (r,θ,ϕ) = (r cosθcosϕ, r senθcosϕ, r senϕ) (ρ,θ,z) Ω f (Ω) = R 3 \ {(0,0,z) : z R} = G, pero f no es inyectiva (x,y,z) G (r,θ,ϕ) Ω : x = r cosθcosϕ, y = r senθsenϕ, z = r senϕ Todo (x,y,z) G tiene coordenadas esféricas (r,θ,ϕ) Ω, que no son únicas f C 1 (Ω,R 3 ) con J f (r,θ,ϕ) = r 2 cosϕ 0 (r,θ,ϕ) Ω f admite una inversa local en cada punto (r,θ,ϕ) Ω, es decir, En un entorno de cada punto de G, se pueden definir de manera única las coordenadas esféricas, como una función diferenciable de las coordenadas cartesianas Si g : G R es un campo escalar, y h = g f, entonces h es diferenciable si, y sólo si, g es diferenciable

13 Teorema global Teorema de la función inversa global Ω = Ω R N, f C 1 (Ω,R N ) Supongamos que f es inyectiva y que J f (x) = 0 x Ω. Entonces W = f (Ω) es abierto f 1 es diferenciable con D f 1( f (x) ) = D f (x) 1 x Ω De hecho, f 1 C 1 (W,R N ) Observación para probarlo G = {T L(R N,R N ) : T biyectiva } La aplicación T T 1, de G en G, es continua