Estadística I Tema 3: Análisis de datos bivariantes

Transcripción

1 Estadística I Tema 3: Análisis de datos bivariantes

2 Tema 3: Análisis de datos bivariantes Contenidos 1. Introducción. Datos bivariantes. 2. Representaciones. Tablas de doble entrada. Distribución conjunta de frecuencias. Frecuencias marginales y condicionadas. Tabla de doble entrada con alguna variable cuantitativa. 3. Gráficos y resúmenes numéricos: Variables cualitativas: diagramas de barras (agrupadas, apiladas) Variable cualitativa y cuantitativa: Múltiples diagramas de caja, histogramas Múltiples resúmenes numéricos. Variables cuantitativas: Diagrama de dispersión. Tipos de relación entre dos variables cuantitativas. Medidas de asociación lineal: covarianza y coeficiente de correlación

3 Tema 3: Análisis de datos bivariantes Lecturas recomendadas Peña, D. y Romo, J., Introducción a la Estadística para las Ciencias Sociales. Capítulos 7, 8 y 9. Newbold, P. Estadística para los Negocios y la Economía. Secciones 2.5 y

4 Introducción. Datos bivariantes Afecta el paro en igual medida a toda la población independientemente de su formación? Los individuos con mayor nivel educativo están más, menos o igualmente satisfechos con su vida que aquellos que tienen menor nivel educativo? Cambia el patrón de consumo y producción responsable en los países con mayores ingresos con respecto a aquellos con menores ingresos? Sigue habiendo brecha de género en el salario? Existe alguna relación entre el volumen de ventas de una empresa y sus activos humanos? Están relacionadas la superficie de una vivienda y su precio? Hay alguna relación entre los resultados medios de un país en comprensión lectora y en matemáticas en las evaluaciones PISA?

5 Introducción. Datos bivariantes Datos bivariantes: provienen de la observación simultánea de dos variables (X, Y ) en una muestra de n individuos. Los datos bivariantes son pares de valores, numéricos o no, de la forma (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x n, y n ) Además de analizar cada variable por separado, queremos estudiar si existe relación entre ellas, y en tal caso analizar tal relación.

6 Tablas de doble entrada. Distribución conjunta de frecuencias absolutas. Muestra: 10 madrileños. Variable X : Nivel educativo (1=Primaria o menor, 2=Secundaria, 3=Post-secundaria) Variable Y : Situación laboral (1=Empleado, 2=Desempleado, 3=Inactivo) Individuo Nivel educativo (X ) Situación laboral (Y ) X \Y Empleado (1) Desempleado (2) Inactivo (3) Primaria (1) Secundaria (2) Post-secundaria (3) 2 0 1

7 Tablas de doble entrada. Distribución conjunta de frecuencias absolutas. Muestra: 10 madrileños. Variable X : Nivel educativo (1=Primaria o menos, 2=Secundaria, 3=Post-secundaria) Variable Y : Situación laboral (1=Empleado, 2=Desempleado, 3=Inactivo) Individuo Nivel educativo (X ) Situación laboral (Y ) X \ Y Empleado (1) Desempleado (2) Inactivo (3) Primaria (1) Secundaria (2) Post-secundaria (3) 2 0 1

8 Ejemplo: Distribución conjunta de frecuencias absolutas. Cuando al menos una variable es cualitativa, la tabla de doble entrada también se denomina tabla de contingencia. Muestra: 1508 madrileños (Encuesta de Condiciones de Vida, INE). Variable X : Nivel educativo (1=Primaria o menos, 2=Secundaria, 3=Post-secundaria) Variable Y : Situación laboral (1=Empleado, 2=Desempleado, 3=Inactivo) X \ Y Empleado Desempleado Inactivo Primaria Secundaria Post-secundaria

9 Distribuciones de frecuencias absolutas: conjunta y marginales. Y si solo nos interesa la situación laboral de los madrileños? o solo su nivel educativo? X \ Y Empleado Desempleado Inactivo Total Primaria Secundaria Post-secundaria Total

10 Tabla de doble entrada de frecuencias absolutas Tabla de doble entrada con k filas y m columnas Y c 1 c j c m Total c 1 n 11 n 1j n 1m n 1 Notación:..... X c i n i1 n ij n im n i..... c k n k1 n kj n km n k Total n 1 n j n m n Frec. absoluta conjunta para las clases c i de X y c j de Y : n ij Frec. absoluta marginal para la clase c i de X : n i = n i1 + + n im Frec. absoluta marginal para la clase c j de Y : n j = n 1j + + n kj Tamaño muestral: n = n

11 Distribuciones de frecuencias relativas: conjunta y marginales. X \ Y Empleado Desempleado Inactivo Total Primaria Secundaria Post-secundaria Total El 0.53 % de los encuestados tiene estudios de Post-secundaria y está desempleado. Empleando frecuencias relativas podríamos comparar los resultados obtenidos en estudios similares (de otros países) con distintos tamaños muestrales.

12 Tabla de doble entrada de frecuencias relativas f ij = n ij /n: Frec. relativa conjunta para las clases c i de X y c j de Y Y c 1 c j c m Total c 1 f 11 f 1j f 1m f X c i f i1 f ij f im f i..... c k f k1 f kj f km f k Total f 1 f j f m 1 Frecuencia relativa marginal para la fila i (clase c i de X ): f i = f i1 + + f ij + + f im Frecuencia relativa marginal para la columna j (clase c j de Y ): f j = f 1j + + f ij + + f kj

13 Representaciones gráficas. Diagramas de barras agrupadas y apiladas En Excel: Insertar gráfico Columna agrupada

14 Distribuciones de frecuencias condicionadas Y si solo nos interesa la situación laboral de los individuos con nivel educativo más alto? Y si queremos analizar la relación entre el nivel educativo y la situación laboral? Tiene sentido comparar el número de desempleados con estudios de secundaria con el número de desempleados con estudios de post-secudaria sin tener en cuenta cuántos individuos hay en cada categoría?

15 Distribuciones de frecuencias condicionadas Dada la distribución conjunta de (X, Y ), llamaremos distribución condicionada a la distribución de frecuencias (absolutas o relativas) de una variable, suponiendo conocido el valor de la otra variable. Notación: Y X = c i, o X Y = c j. Distribución condicionada de frecuencias de la situación laboral (Y ) para personas con un nivel educativo (X ) de Post-secundaria: Y X = Post-secundaria Empleado Desempleado Inactivo Total Frec. cond. absoluta Frec. cond. relativa El 1.93 % de los encuestados con estudios de Post-secundaria está desempleado Qué porcentaje de individuos con estudios de secundaria o superiores está desempleado?

16 Distribuciones de frecuencias condicionadas Puede condicionarse también a que una variable tome varios valores: Y X Secundaria. Y (X Secundaria) Empleado Desempleado Inactivo Total Frec. cond. absoluta Frec. cond. relativa El 3.3 % de los encuestados con estudios de secundaria o superiores está desempleado.

17 Distribuciones de frecuencias condicionadas Podemos emplear las distribuciones condicionadas para analizar la relación entre la situación laboral y el nivel de estudios? En Excel: Insertar gráfico Columna 100 % apilada

18 Tabla de doble entrada para variables cuantitativas Muestra: 43 alumnos. Variable X : Núm. de veces que ha ido al teatro en el último mes. Variable Y : Núm. de veces que ha ido al cine en el último mes. X e Y son variables cuantitativas discretas y toman un número pequeño de valores distintos datos sin agrupar Teatro / Cine Total Total Cuál es el número medio de veces que han ido al cine en el último mes (independientemente del número de veces que hayan ido al teatro)? y al teatro? Cuál es el número medio de veces que han ido al cine en el último mes aquellos que no han ido ninguna vez al teatro? y entre los que han ido 1 vez al teatro? y 2? y 3?

19 Tabla de doble entrada para variables cuantitativas Muestra: 1000 empresas americanas. Variable X : Volumen de ventas. Variable Y : Núm. de trabajadores. X e Y son cuantitativas discretas y toman un número grande de valores distintos (o si son continuas) datos agrupados X / Y [1,25) [25,50) [50,75) [75,99] Total [1,100) [100,200) [200,300] Total Cuántas empresas tienen un volumen de ventas menor que 100? Qué porcentaje de empresas con menos de 25 trabajadores tiene un volumen de ventas de al menos 200? Qué proporción de empresas tiene menos de 25 trabajadores y un volumen de ventas de al menos 200? Cuál es el tamaño medio de todas las empresas de la muestra? Y de aquellas con un volumen de ventas menor que 100?

20 Ejercicio (Encuesta de Condiciones de Vida. Modulo año 2013, INE) Qué distribuciones están representadas en la tabla anterior? Qué porcentaje de encuestados con educación secundaria primera etapa puntúa su satisfacción entre 5 y 6? Muchas tablas en informes son tablas de frecuencias condicionadas

21 Ejercicio (Encuesta de Condiciones de Vida. Modulo año 2013, INE) Verdadero o falso? Si es falso, tienes suficiente información para calcular el porcentaje verdadero? Entre los encuestados más satisfechos con su vida actual (puntuación entre 9 y 10), el 23.3 % tiene educación superior. El 75.5 % de los encuestados con educación superior está satisfecho o muy satisfecho con su vida actual (puntuación por encima de 7) El 38.5 % de los encuestados puntúa su satisfacción con su vida actual por debajo de 5. Es incorrecto sumar frecuencias condicionadas cuando se condiciona en valores distintos

22 Ejercicio Comenta los siguientes gráficos: Qué distribuciones están representadas en el gráfico de barras? Qué relación observas entre la satisfacción media con su vida actual y el nivel educativo de los individuos?

23 Peligros de las comparaciones no homogéneas: Paradoja de Simpson Sex Bias in Graduate Admissions: Data from Berkeley, Bickel et al., Nature 187 (1975) ADMISIONES Admisiones Denegadas 56% 65% 44% 35% H O M B R E S M U J E R E S Discriminó la Universidad de Berkeley a las mujeres que habían solicitado su ingreso al postgrado?

24 25 6% 7% % 24% % 34% 33% 35% 35% % % 63% % 82% 825 Peligros de las comparaciones no homogéneas: Paradoja de Simpson Datos de admisiones desglosados por departamentos (A,, F) y sexo: ADMISIONES SOLICITUDES Hombres Mujeres Hombres Mujeres A B C D E F T O T A L A B C D E F Discriminó la Universidad de Berkeley a las mujeres que habían solicitado su ingreso al postgrado?

25 Variables cualitativas y cuantitativas En la mayoría de los estudios se recogen datos de distinta naturaleza, cualitativos y cuantitativos. Es habitual que las variables cualitativas se utilicen para clasificar: se estudia el comportamiento de la variable cuantitativa según las categorías de la variable cualitativa. Ejemplo Muestra: 157 países. Variable Y : Puntuación promedio obtenida acerca del grado de cumplimiento del ODS12 (Producción y Consumo Responsables) Variable X : Grupo de Ingresos en Cómo cambia la puntuación promedio en el ODS12 de los países según su nivel de ingresos?

26 FRECUENCIA Variables cualitativas y cuantitativas. Múltiples Box-Plot Average score on SDG12 (Producción y consumo responsables) 60 Average score on SDG CLASE Fuente: SDG Index & Dashboards Report 2017,

27 FRECUENCIA FRECUENCIA FRECUENCIA FRECUENCIA Variables cualitativas y cuantitativas. Múltiples Histogramas Average score on SDG12 (Producción y consumo responsables) LIC-Average Score SDG12 LMIC-Average Score SDG CLASE CLASE UMIC-Average Score SDG12 HIC-Average Score SDG CLASE CLASE Fuente: SDG Index & Dashboards Report 2017,

28 Variables cualitativa y cuantitativa. Histogramas múltiples Sigue habiendo brecha de género en el salario?

29 Resúmenes numéricos múltiples. Tablas de datos Existe relación entre el salario y el nivel de formación? Son habituales las tablas que presentan medidas numéricas de la variable cuantitativa para cada categoría de la variable cualitativa:

30 Resúmenes numéricos múltiples. Tablas de datos Existe relación entre el salario y el nivel de formación? Los resultados de una tabla se pueden representar gráficamente. La desviación del salario medio en % de un grupo g con respecto al salario medio total se obtiene como: ( xg x ) total Desv g = 100 x total

31 Resúmenes numéricos múltiples. Pictogramas Se observan diferencias entre los salarios de los trabajadores dependiendo de su CCAA? Los resultados de una tabla se pueden representar por medio de pictogramas. En este caso, de un cartograma:

32 Variables cuantitativas. Diagrama de dispersión Hay relación entre la superficie de una vivienda y su precio? Muestra: 15 viviendas. Variable Y : Precio. Variable X : m 2 habitables. m 2 habitables precio Price of a house (euro) Size of a house (m^2)

33 Medidas de asociación lineal para variables cuantitativas La covarianza es una medida de la relación entre dos variables. Cuantifica la información en un gráfico de dispersión sobre la x y asociación lineal entre dos variables Covarianza: s xy = 1 n 1 9 Y x i>media(x) y i>media(y) x i<media(x) y i<media(y) 2 n i=1 x iy i n xȳ ( {}}{ ) n (x i x)(y i ȳ) i=1 X < s xy <

34 Medidas de asociación lineal: La covarianza s xy >> 0 Relación lineal positiva. s xy << 0 Relación lineal negativa. s xy 0 No existe relación lineal o existe relación no lineal. Inconvenientes de la covarianza: No está acotada ni superior ni inferiormente. Por lo tanto no se sabe cuándo s xy es suficientemente grande o pequeña. Depende de las unidades de medida de las variables: Si s xy es la covarianza de X e Y, a y b son dos números, y T = a + by, entonces s xt = b s xy.

35 Covarianza y relación entre variables

36 Medidas de asociación lineal: La correlación Correlación (coeficiente de correlación lineal de Pearson): Ventajas? Está acotada: 1 r xy 1 r xy = s xy s x s y No depende de las unidades de medida de las variables (es adimensional). Interpretación: r xy > 0: Asociación lineal positiva. r xy < 0: Asociación lineal negativa. r xy = 1: Relación lineal perfecta. r xy = 0: X e Y están incorreladas (ausencia de relación lineal).

37 Correlación y causalidad Supongamos que la correlación entre dos variables X e Y es muy alta (p. ej., r xy = 0.9) Podemos concluir que hay una relación causal entre ambas variables? (una es causa de la otra) La respuesta es que NO. P. ej., X = tamaño de los pies de un niño, Y = capacidad de comprensión lectora de un niño La correlación no implica causalidad Ver:

38 Ejemplo Ejemplo- Tenemos tres variables sobre 91 países: X = esperanza de vida en hombres, Y = esperanza de vida en mujeres, y Z = PIB. Las covarianzas entre los tres posibles pares de dos variables son s xy = , s xz = y s yz = Las correlaciones son r xy = 0.98, r xz = 0.64 y r xz = Por lo tanto, aunque las covarianzas entre la esperanza de vida en hombres y mujeres y el producto interior bruto sean mayores que la covarianza entre la esperanza de vida para hombres y la esperanza de vida para mujeres, la correlación es mayor entre estas dos últimas variables.

39 Ejercicio: Resultados del informe PISA 2012 Muestra: 64 países cuyos estudiantes realizaron el examen PISA en X : Puntuación media en lectura. Y : Puntuación media en matemáticas. Se obtiene que La covarianza entre X e Y es s xy = La correlación entre X e Y es r xy = A continuación se muestra el diagrama de dispersión para estos datos. Qué puedes concluir sobre la relación entre ambas variables?

40 Ejercicio: Resultados del informe PISA 2012

41 Ejercicio: Resultados del informe PISA 2012