Descripción conjunta de dos variables

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1 Descripción conjunta de dos variables Tema 2 Descripción breve del tema. Introducción Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 2 Objetivos Descripción breve del tema Reconocer la importancia del estudio conjunto de varias variables. Calcular distribuciones marginales y condicionadas a partir de la conjunta. Comprender el concepto de independencia entre variables. Conocer medidas de dependencia lineal e interpretar su signo.. Introducción Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 3 Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 4

2 Introducción El estudio conjunto de dos variables, nos permite analizar las relaciones entre ellas. La ausencia total de relación lleva el nombre de independencia. Puede predecirse una variable a partir de otra. Las representaciones gráficas son de gran ayuda. Descripción breve del tema. Introducción Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 5 Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 6 Distribuciones de frecuencias Podemos tener cualquier combinación de variables cuantitativas / cualitativas. Partimos de dos variables X e Y tales que X toma k valores distintos, x,, x k ( si cuantitativa x < < x k ) Y toma r valores distintos, y,, y r ( si cuantitativa y < < y r ) Frecuencia absoluta conjunta del par ( x i, y j ) número de veces que el dato ( x i, y j ) aparece en la muestra, n ij Frecuencia relativa conjunta del par ( x i, y j ) cociente de frecuencia absoluta entre tamaño, f ij =n ij /n Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 7 Distribución conjunta de frecuencias Podemos construir una tabla (de contingencia o de doble entrada) para la distribución conjunta de frecuencias de X e Y (con frec. relativas o absolutas). X \Y y y 2 y r x n n 2 n r x 2 n 2 n 22 n 2r x k n k n k2 Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 8 n kr

3 Distribución conjunta de frecuencias PAU 2005, Madrid UNI. \ RES. Alcalá de Henares Autónoma de Madrid Carlos III Complutense de Madrid Rey Juan Carlos UNI. \ RES. Alcalá de Henares Autónoma de Madrid Carlos III Complutense de Madrid Rey Juan Carlos Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 9 Distribuciones marginales Se obtienen al estudiar cada variable por separado. Nos interesa sólo el comportamiento de X (o de Y). Frecuencias absolutas marginales n i número de veces que la variable X toma el valor x i en la muestra. Es la suma de n ij con j de a r. n j número de veces que la variable Y toma el valor y j en la muestra. Es la suma de n ij con i de a k. Frecuencias relativas marginales cociente de frecuencia absoluta entre tamaño, f(x i )=f i = n i /n cociente de frecuencia absoluta entre tamaño, f(y j )=f j =n j/n Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 0 Distribuciones marginales PAU 2005 Distribuciones condicionadas UNI. \ RES. Alcalá de Henares Autónoma de Madrid Carlos III Complutense de Madrid Rey Juan Carlos Total Total UNI. ual n i 3397 uam 8867 uc3m 3370 ucm 2294 urjc 2985 RES. n j Aprobado f i f j Nos interesan sólo los individuos que toman el valor x i en la variable X. La variable Y definida en ese conjunto se denomina variable condicionada y se representa Y X=x i Frecuencias relativas condicionadas la frecuencia relativa de y j condicionada a X=x i representa la proporción de individuos que presentan Y=y j de entre los que tienen X=x i ; f(y j x i )= n ij /n i = f( x i, y j )/f(x i ) la frecuencia relativa de x i condicionada a Y=y j representa la proporción de individuos que presentan X=x i de entre los que tienen Y=y j ; f(x i y j )= n ij /n j= f( x i, y j )/f(y j ) Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 2

4 Distribuciones condicionadas Distribuciones condicionadas UNIV=ual n j 2780 f(y j x ) 0 88 UNIV=uam n 2j 7203 f(y j x 2 ) 0 82 UNIV=uc3m n 3j 2734 f(y j x 3 ) 0 8 En la tabla superior se estudia la variable Resultado condicionada a que la variable Universidad tome el valor Carlos III. UNIV=ucm n 4j 9686 f(y j x 4 ) UNIV=urjc n 5j 289 f(y j x 5 ) n j f j En la tabla inferior se estudia la variable marginal Resultado Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 3 Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 4 Independencia entre variables Dos variables son independientes si no existe ninguna relación entre ellas. A partir del valor que toma una variable no obtenemos ninguna información sobre el valor que tomará la otra. La distribución de frecuencias relativas condicionadas de Y X=x i es la misma, independientemente del valor que tome i f(y j x i )=f(y j ) para todo i,j X e Y independientes si f(x i, y j )=f(y j x i )f(x i )=f(x i )f(y j ) para todo i,j Independencia entre variables Ejemplo: Realizamos una encuesta a 280 personas para estudiar si el hábito de fumar está relacionado con el sexo del individuo (si es más frecuente en hombres o en mujeres). H\F 0 n j 0 n i H\F 0 f j 0 f i 9/35 6/35 3/7 2/35 8/35 4/7 3/5 2/5 Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 5 Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 6

5 Descripción breve del tema. Introducción Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 7 Diagrama de dispersión En una nube de puntos o diagrama de dispersión, cada dato (x i,y j ) de la muestra, se representa por un único punto de abscisa x i y ordenada y j 8, 7,8 7,5 7,2 6,9 Plot of vs 6, Plot of vs 0,4 6,6 6,9 7,2 7,5 7,8 8, Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 8,6,4,2 0,8 0, Plot of vs 3 0,4 0,6 0,8,2,4,6 Diagrama de dispersión En una nube de puntos podemos ver distintos tipos de dependencias entre las variables. También podemos observar visualmente la presencia de mezcla de poblaciones sepal width Plot of peso vs altura Plot for iris setosa and versicolor altura Plot for iris setosa and versicolor sepal length Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III peso sepal width Diagramas de barras agrupados Para variables cualitativas o cuantitativas discretas con pocos valores, la representación más habitual son los diagramas de barras agrupados Barchart (X 000) frequency percentage Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 20 ual uam uc3m ucm urjc ual uam uc3m ucm urjc Barchart aprobados suspensos aprobados suspensos sepal length

6 Descripción breve del tema. Introducción Medidas de dependencia lineal s Covarianza: mide la asociación lineal entre dos variables XY = k i= r j= f ij ( xi x)( y j y) ; sxy = Si X e Y son independientes, entonces s XY = 0, pero el recíproco no es cierto. La covarianza viene dada en la unidad producto de las de X e Y y su signo resulta muy interesante. k i= r j= f x y ij i j x y Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 2 Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 22 Signo de la covarianza 2,8,8 0,8-0,2 -,2-2, ,8,8 0,8-0,2 -,2-2,2-2,5 -,5-0,5 0,5,5 2,5-2,2 -,4-0,4 0,6,6 2,6 Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 23 2,8,8 0,8-0,2 -,2 5,6 4,6 3,6 2,6,6 0,6-0,4-2,2 -,2-0,2 0,8,8 2,8 Covarianza Resultados en los lisos, salto de longitud y lanzamiento de peso de los 29 atletas que puntuaron en las tres pruebas en la decatlón de las Olimpiadas de Atenas , 7,8 7,5 7,2 6,9 Plot of vs 6, x:4,5702 y:7,2624 s XY =0 059 Plot of vs Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 24,6,4,2 0,8 0, Plot of vs 0,4 6,6 6,9 7,2 7,5 7,8 8, 3 0,4 0,6 0,8,2,4,6 x:7,2686 y:0,9224 s XY = s XY =-0 09 x:0,9286 y:4,574

7 Correlación Correlación: mide la asociación lineal entre dos variables y es adimensional. Tiene el mismo signo que la covarianza. sxy r XY = s s X Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 25 Y r XY Si r XY = 0 X e Y se dicen incorreladas. Si r XY = ó r XY = -, la relación lineal entre X e Y es perfecta. Correlación Resultados en los lisos, salto de longitud y lanzamiento de peso de los 29 atletas que puntuaron en las tres pruebas en la decatlón de las Olimpiadas de Atenas , 7,8 7,5 7,2 6,9 Plot of vs 6, x:4,5702 y:7,2624 r XY =0 96 Plot of vs Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 26,6,4,2 0,8 0, Plot of vs 0,4 6,6 6,9 7,2 7,5 7,8 8, 3 0,4 0,6 0,8,2,4,6 x:7,2686 y:0,9224 r XY = r XY = x:0,9286 y:4,574