ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA UNIDIMENSIONAL. 30/09/2004 Proyecto MaMaEuSch 1

Transcripción

1 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA UNIDIMENSIONAL 0/09/2004 Proyecto MaMaEuSch

2 Estadística Ciencia que trata sobre los métodos científicos para: Recoger, organizar, resumir y analizar datos Sacar conclusiones relevantes y válidas Tomar decisiones razonables a partir de estos análisis. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA INFERENCIA ESTADÍSTICA 0/09/2004 Proyecto MaMaEuSch 2

3 Estadística Descriptiva Ordenación, clasificación y descripción de los datos. TABLAS DE FRECUENCIAS Representación de datos. Resumir información. GRÁFICAS MEDIDAS ESTAD. Relación entre diferentes variables. REGRESIÓN 0/09/2004 Proyecto MaMaEuSch

4 Organización de la Información (Descripción) Población: conjunto de elementos objeto a estudio Individuo:cada uno de los elementos de la población Muestra: subconjunto de la población, sobre la cual realizaremos e estudio 0/09/2004 Proyecto MaMaEuSch 4

5 Organización de la Información (Descripción) Variable Estadística: rasgo distintivo de la población que estamos observando Vbles. Cualitativas Vbles. Cuantitativas Vbles. Discretas Vbles. Continuas 0/09/2004 Proyecto MaMaEuSch 5

6 Organización de la Información (Notación) X :variable objetivo del estudio n :tamaño de la muestra x < x <... < 2 x k :valores distintos observados de X 0/09/2004 Proyecto MaMaEuSch

7 Organización de la Información (Notación) Ejemplo : accidentes laborales sufridos por 0 trabajadores de una determinada empresa en un año X : nº N = < < x x x 5 = 0 0 = = < 2 4 de < x 2 x accidente 4 = = < < 0/09/2004 Proyecto MaMaEuSch 7

8 Organización de la Información (Frecuencias) Frecuencia Absoluta (ni): nº de veces que aparece xi Frecuencia Relativa (fi): proporción de veces que aparece xi Frec. Abs. Acumulada (Ni):nº de observaciones menores o iguales que xi Frec. Rel. Acumulada (Fi): proporción de observaciones i menores i o iguales que xi Ni = n j Fi = f j 0/09/2004 j= Proyecto MaMaEuSch j= 8

9 Organización de la Información (Tablas de Frec.) Accid. ni fi Ni Fi /09/2004 Proyecto MaMaEuSch 9

10 Organización de la Información (Tablas de Frec.) Ejemplo 2: Supongamos que en una encuesta se han obtenido los siguientes datos sobre las horas extraordinarias anuales realizadas por trabajadores de una determinada empresa: 52,, 54, 70, 4, 2, 59, 8, 50, 77, 54, 52, 47, 74, 72, 80, 82, 0, 75, 55, 57,, 7, 58, 9, 7, 50, 52, 49, 5. 0/09/2004 Proyecto MaMaEuSch 0

11 Organización de la Información (Tablas de Frec.) Horas xi ni fi Ni Fi [4,52] (52,58] (58,4] (4,70] (70,7] (7,82] /09/2004 Proyecto MaMaEuSch

12 Representaciones Gráficas 0/09/2004 Proyecto MaMaEuSch 2

13 Para qué y Porqué? Organizar los datos Observar agrupamientos Observar relaciones Comparar distribuciones Visualizar rápidamente la distribución de los datos Visualizar, obtener y comparar medidas estadísticas 0/09/2004 Proyecto MaMaEuSch

14 Diagrama de Barras Tabla de Frecuencia 4 2 xi ni /09/2004 Proyecto MaMaEuSch 4

15 Polígono de Frecuencias Tabla de Frecuencia 4 2 xi ni /09/2004 Proyecto MaMaEuSch 5

16 Histograma Tabla de Frecuencias Horas [4,52] (52,58] (58,4] (4,70] (70,7] (7,82] ni /09/2004 Proyecto MaMaEuSch

17 Polígono de Frecuencias Tabla de Frecuencias Horas [4,52] (52,58] (58,4] (4,70] (70,7] (7,82] ni /09/2004 Proyecto MaMaEuSch 7

18 Diagrama de Frecuencias Acumuladas Tabla de Frecuencias xi 0 ni Ni /09/2004 Proyecto MaMaEuSch 8

19 Polígono de Frecuencias Acumuladas Tabla de Frecuencia Horas [4,52] (52,58] (58,4] (4,70] (70,7] (7,82] ni 8 4 Ni /09/2004 Proyecto MaMaEuSch 9

20 Diagrama de Sectores Tabla de Frecuencia xi 0 2 ni 7 2% 0% % 20% % 0/09/2004 Proyecto MaMaEuSch 20

21 Diagrama de tallo y hojas ,, 54, 70, 4, 2, 59, 8, 50, 77, 54, 52, 47, 74, 72, 80, 82, 0, 75, 55, 57,, 7, 58, 9, 7, 50, 52, 49, 5 0/09/2004 Proyecto MaMaEuSch 2

22 Mapas Asturias Galicia Zona Acc. L. M. Acc. L. No M. Madrid Cataluña Galicia Extrem Extremadura Comunidad Valenciana Valencia Cataluña Andaluc. Madrid Andalucia España 0 Acc.Lab. Mor A.L.No Mortal Asturias 2 2 0/09/2004 Proyecto MaMaEuSch 22

23 Mapas País España Francia Grecia Hungría Alemania Noruega Italia Polonia R. Unido Portugal Población Población en a () a () a (2) a (4) 0/09/2004 Proyecto MaMaEuSch 2

24 Medidas Estadísticas 0/09/2004 Proyecto MaMaEuSch 24

25 Estudio Estadístico ª Fase: Recogida, ordenación y reducción de los datos (TABLAS DE FRECUENCIA) 2ª Fase: Cálculo de valores que resuman la información MEDIDAS ESTADÍSTICAS 0/09/2004 Proyecto MaMaEuSch 25

26 Medidas Estadísticas Las medidas estadísticas son unos valores representativos de un conjunto de datos, en el sentido de condensar la información contenida en dichos datos. Además facilita la comparación entre dos o más series de datos. 0/09/2004 Proyecto MaMaEuSch 2

27 Medidas Estadísticas Medidas de Tendencia Central: proporcionan los valores centrales de una serie de datos Medidas de Posición: dan información sobre la situación de los datos en la distribución Medidas de Dispersión: estudian la concentración de los datos alrededor de alguna medida de tendencia central Medidas de Forma: recogen la existencia de patrones de tipo geométrico en la distribución 0/09/2004 Proyecto MaMaEuSch 27

28 Medidas de Localización 0/09/2004 Proyecto MaMaEuSch 28

29 Medidas de Tendencia Central Moda Mediana Media 0/09/2004 Proyecto MaMaEuSch 29

30 Media Punto de balance o centro de masa de los datos. X = n k = i xi ni Constante frente a variaciones de escala y traslación 0/09/2004 Proyecto MaMaEuSch 0

31 Media Aritmética Ejemplo En el ejemplo 2, calcular el nº medio de horas extraordinarias realizadas por cada trabajador al año X = = 0( X = 0,8 horas / año 55) Horas [4,52] (52,58] (58,4] (4,70] En la empresa han decidido compensar a los trabajadores mas productivos, se les pagará (70,7] 7 un plus de 0 por hora, a partir de 55 horas (7,82] 79 extraordinarias al año. Calcular el plus medio que recibiría cada trabajador al año. Y Y = 0 ( X 55) = 58 xi ni 8 4 0/09/2004 Proyecto MaMaEuSch

32 Moda Valor o valores más comunes La moda pueder ser más de un valor Si todos los valores tienen la misma frecuencia, cualquier valor es moda y por lo tanto ésta no es representativa 0/09/2004 Proyecto MaMaEuSch 2

33 Moda Si la variable es cualitativa o no está agrupada por intervalos, entonces: Mo = x i Moda 0/09/2004 Proyecto MaMaEuSch

34 Moda δ δ 2 Si la variable está agrupada por intervalos, entonces: Mo = L + ( i ) A i δ δ + δ 2 Li L i Moda = h h i i = h h 2 i i+ 0/09/2004 Proyecto MaMaEuSch 4 δ δ

35 Mediana Valor que divide a los datos, una vez ordenados de forma creciente, en dos grupos de igual cantidad. Mediana es la raiz de la ecuación: Fi = /2 Solución única si curva acumulativa es estrictamente creciente (Vbles. Continuas) No existe o no es única si la curva acumulativ es escalonada (Vbles. Discretas) 0/09/2004 Proyecto MaMaEuSch 5

36 Mediana (Vble Discreta) Si Ni-<N/2< Ni entonces N/2 = Me = x i 0 Mediana 0/09/2004 Proyecto MaMaEuSch

37 Mediana (Vble Discreta) 2 Si N/2 = Ni entonces, 0 8 N/2 = Mediana (por convenio) x Me = i+ 0/09/2004 Proyecto MaMaEuSch 7 i + x 2

38 Mediana (Vbles. agrupadas por interv.) N/2 = Si N/2 = Ni entonces: Me = Li Mediana 0/09/2004 Proyecto MaMaEuSch 8

39 Mediana (Vbles. agrupadas por interv.) N/2 = 5 4 N i Si Ni-<N/2< Ni entonces : N/2 Ni Me = Li + Ai N N i i 2 0 Ni Li L i Mediana 0/09/2004 Proyecto MaMaEuSch 9

40 Otras medidas de posición Cuantil de orden α (0< α<): aquel valor x tal que Fx = α Los más utilizados: Cuartiles: Q = x0.25 Q2 = x0.5 Q = x0.75 Deciles: D = x0. D2 = x D9 = x0.9 Percentiles: P = x0.0 P2 = x P99 = x0.99 Calculo equivalente al de la mediana, cambiando N/2 por αν 0/09/2004 Proyecto MaMaEuSch 40

41 Medidas de posición Ejemplo Se quiere conocer a los trabajadores normales, para ello nos quedaremos con un grupo que contenga al 80% central de los trabajadores. Cuáles serán las horas extraordinarias que separan el grupo? Necesitamos los percentiles 0 y 90 Horas [4,52] (52,58] (58,4] (4,70] (70,7] (7,82] ni 8 4 Ni P0 = x0.0, P90 = x0.90 Calcular αν: 0.0 0=, =27 N 0 < 0. N < N P 0 α N N 0 = L + A 0 N N 0 N 5 = 0.9 N P90 = L 4 = Los trabajadores normales son aquellos que hacen entre 48,25 y 70 horas extraordinarias anuales 48,2 0/09/2004 Proyecto MaMaEuSch 4 70 =

42 Diagrama de Caja y Bigotes Max(Q -.5*IQR, min(xi)) Min(Q +.5*IQR max(xi)) Q mediana Q 0/09/2004 Proyecto MaMaEuSch 42

43 0000 Diagrama de Caja y Bigotes Salario actual N = 258 Hombre Mujer 0/09/2004 Proyecto MaMaEuSch

44 Medidas de Dispersión 0/09/2004 Proyecto MaMaEuSch 44

45 Medidas de Dispersión Las medidas de tendencia central nos resumen los datos en un único valor. En algunos casos este valor estará más cerca de la realidad que en otros, por ejemplo xi xi ni ni En este caso las medias coinciden, pero Y esta mucho más dispersa que X. Es necesario acompañar cada medida de tendencia central de otra que nos mida la dispersión de la variable 0/09/2004 Proyecto MaMaEuSch 45

46 Desviación Absoluta Media Distribucion de cinco observaciones de edificios Frecuencia Media muestral More Area observada 0/09/2004 Proyecto MaMaEuSch 4

47 Desviación Absoluta Media = = 5. Distancia promedio = 5. / 5 =.5 En general: DM k = n i= x i x n i 0/09/2004 Proyecto MaMaEuSch 47

48 Varianza Frecuencia 2.x..x. Media Muestral 4.4x4.4 0.x..4x More Area observada 0/09/2004 Proyecto MaMaEuSch 48

49 Varianza.(.) +.(.) +.(.) +.4(.4) + 4.4(4.4) = 57.2 Área promedio = 57.2 / 4 = 4. En general: S 2 = n k i= ( x x) 2 i n i Desviación Típica: S = + S 2 0/09/2004 Proyecto MaMaEuSch 49

50 Teorema de Tchebicheff Teorema de Tchebicheff: en el intervalo ( X ks, X + ks) estan al menos (-/k2)00% de los datos 2 0 En este interv. estarían el 75% de los datos X-2S X X+2S 0/09/2004 Proyecto MaMaEuSch 50

51 Coeficiente de Variación La media y la desviación típica están afectadas por unidades, no son muy útiles para comparaciones entre diferentes poblaciones Coeficiente de Variación de Pearson SX CVX = X Medida adimensional Cuanto mayor sea el coeficiente, mayor es la dispersión 0/09/2004 Proyecto MaMaEuSch 5

52 Índice de Diversidad El concepto de dispersión no tiene sentido en variable cualitativas, aunque puede definirse un concepto análogo, que es el de Diversidad. Una variable tendrá mucha diversidad si las frecuencias de sus valores son todas muy parecidas y poca diversidad si la mayoría de las observaciones corresponden a pocos valores xi ni Moreno 4 Rubio Otro xi ni Moreno 90 Rubio 5 Otro 5 Mucha Diversidad Poca diversidad 0/09/2004 Proyecto MaMaEuSch 52

53 Índice de Diversidad Expresión cuantitativa para dar una medida de diversidad Entropía (Shanon, 948) k H = fi log( fi) i= El máximo valor de H es log N, para normalizar los valores, definimos el Índice de Diversidad de Shanon J = k i= n N i log( n ) log N i Se verifica que 0 J. Cuanto más próximo a, mayor diversidad 0/09/2004 Proyecto MaMaEuSch 5

54 Medidas de Forma 0/09/2004 Proyecto MaMaEuSch 54

55 Coeficiente de Asimetría 0 Una distribución es Simétrica 20 cuando los valores de la variable 0 0 equidistan de un valor central Distribución Simétrica Si la distribución no es simétrica, se dirá asimétrica a la derecha o a la izquierda según como desciendan más lentamente las frecuencias Asimétrica a la derecha 0/09/2004 Proyecto MaMaEuSch Asimétrica a la izquierda

56 Coeficiente de Asimetría Coeficiente de asimetría de Pearson A S X Mo S = si A S = 0 Dist. Simétrica A S < 0 Dist. Asim. a la izquierda A S > 0 Dist. Asim. a la derecha Coeficiente de asimetría de Fisher γ = ni xi X NS k i= ( ) Se verifica: γ = 0 Dist. Simétrica γ < 0 Dist. Asim. a la izquierda γ > 0 Dist. Asim. a la derecha 0/09/2004 Proyecto MaMaEuSch 5

57 Coeficiente de Curtosis Las medidas de curtosis o apuntamiento estudian la forma de la distribución en su zona central. La distribución será más o menos puntiaguda según que haya mayor o menor concentración de observaciones en esta zona central. Dist. Mesocúrtica Dist. Leptocúrtica Dist. Platicúrtica /09/2004 Proyecto MaMaEuSch 57

58 Coeficiente de Curtosis γ k ( ) 4 2 = n 4 i xi X NS i= Se verifica: γ 2 = 0 Distribución mesocúrtica γ 2 < 0 Distribución platicúrtica γ 2 > 0 Distribución leptocúrtica 0/09/2004 Proyecto MaMaEuSch 58

59 ESTADISTICA DESCRIPTIVA BIDIMENSIONAL 0/09/2004 Proyecto MaMaEuSch 59

60 Organización de la Información (Notación) ( XY, ) estudio n :variable bidimensional objetivo del :tamaño de la muestra x y :observación de cada individuo de la i j muestra, donde: (, ) x < x <... < 2 x k y < y2 <... < yp :valores distintos de X :valores distintos de Y 0/09/2004 Proyecto MaMaEuSch 0

61 Organización de la Información (Notación) Ejemplo: los datos obtenidos en una encuesta a 0 trabajadores temporales de una empresa, sobre su sueldo por horas y el nº de horas trabajadas a la semana, son los siguientes Sueldo Horas Sueldo Horas Sueldo Horas /09/2004 Proyecto MaMaEuSch

62 Organización de la Información (Notación) ( XY, ) =(Sueldo, Horas) n =0 x < x2 <... < x k =,7,8,9 y < y < < y =5,,8,9,0,2,5, 2... p 20,25,0 0/09/2004 Proyecto MaMaEuSch 2

63 Organización de la Información (Frecuencias) Frecuencia Absoluta Conjunta(nij): nº de veces que aparece el par (xi, yj) Frecuencia Relativa Conjunta(fij)de (xi, yj): proporción de pares que toman estos valores Frec. Abs. Marginal de xi (yj) (ni. (n.j)): nº de veces que aparece xi (yj) independientemente de la v.a. Y (X) Frec. Rel. Marginal de xi (yj) (fi. (f.j)): n n i j f i = f j = n n 0/09/2004 Proyecto MaMaEuSch

64 Organización de la Información (Tablas de Doble Entrada) X \ Y x y n y n p p Total n x k Total n n k n n kp p n k n Sueldo \ Horas Total Total /09/2004 Proyecto MaMaEuSch 4

65 Organización de la Información (Distribuciones Marginales) X Fr Y Fr Medidas de Localización X =.8, Y =, Me = 7, Mo = 9, Q = 5, P = Y 0 Y X X 0 Medidas de Dispersión 2 2 X Y X S = 0.982, S = 9.2, DM = 0.8 0/09/2004 Proyecto MaMaEuSch 5

66 Organización de la Información (Variables Condicionadas) Dada la variable (X,Y), se define la distribución de la v.a. X condicionada a Y= yj (X Y= yj) a las observaciones de X en las que también se ha observado Y= yj Ejemplo: X Y= Frecuencia 2 0 0/09/2004 Proyecto MaMaEuSch

67 Representación Gráfica (Nube de Puntos) Edad\ Paga Total Total /09/2004 Proyecto MaMaEuSch 7

68 Dependencia e Independencia (Espacio recorrido, Tiempo empleado), (Peso, nº hermanos), (Sueldo, Horas), (Altura, nº pie), (Horas, Altura) Dependencia Funcional:a cada xi le corresponde un único yj tal que yj=f(xi) Independencia: si las distribuciones condicionadas relativas coinciden Dependencia Estadística 0/09/2004 Proyecto MaMaEuSch 8

69 Covarianza 9 8 X Y /09/2004 Proyecto MaMaEuSch 9

70 Covarianza (-2+2) + (-+0) + (-+(-)) + (+(-2)) + (+) = 0 (-2*2) + (-*0) + (-*-) + (*- 2) + (*) = -2 Area promedio = -2 / 5 = -0.4 En general: S XY = n i, j ( x ) ( ) i X y j Y nij 0/09/2004 Proyecto MaMaEuSch 70

71 Covarianza (Propiedades) Si SXY=0, X e Y son Incorreladas Si X e Y son independientes, entonces son incorreladas. Si SXY>0 (<0), las dos vbles. tienen un crecimiento simultaneo (inverso) Y Y S X Y >0 S X Y <0 X 0/09/2004 Proyecto MaMaEuSch 7 X

72 Rectas de Regresión Objetivo: Dadas X e Y, intentar calcular el valor de una en función de la otra Cuál es la mejor función tal que Y=h(X)? Criterio de Mínimos Cuadrados Solución Óptima: n ( y ) i h( x i ) i = 2 ( x) = Y X x h = 0/09/2004 Proyecto MaMaEuSch 72

73 Rectas de Regresión Cálculo de solución demasiado costosa Buscar la mejor función dentro de un conjunto de funciones En nuestro caso, la mejor recta que aproxima a Y: a = Y bx y = h( x) = a + bx donde S XY b = Recta de Regresión 2 S X de Y sobre X (R X Y) 0/09/2004 Proyecto MaMaEuSch 7

74 0/09/2004 Proyecto MaMaEuSch 74 Rectas de Regresión Análogamente tenemos Recta de Regresión de X sobre Y (RX Y) = = + = 2 ' ' ' ' ' Y XY Y X S S b b Y X a donde y b a x R

75 Correlación Lineal Buscar una medida adimensional que nos de el grado de ajuste de la recta a los datos reales A la vez, nos medirá el grado de relación entre las dos variables Coeficiente de Correlación Lineal: r = S X XY S S Y 0/09/2004 Proyecto MaMaEuSch 75

76 Propiedades Las dos rectas se cortan en el centro de gravedad Sg(b)= sg(b )= sg(r)= sg(sxy) r2=bb -<r< Si r>0.8 o r<-0.8 (por convenio) el ajuste es bueno 0/09/2004 Proyecto MaMaEuSch 7

77 Rectas de Regresión X Y y =,25x + 2,55 X = 2.8, Y =. S S X XY =.05, S =.4 Y =.9, r = /09/2004 Proyecto MaMaEuSch 77