Nombres enters i racionals

Transcripción

1 1 Nombres enters i rcionls Objectius En quest quinzen prendràs : Representr i ordenr nombres enters. Operr mb nombres enters. Aplicr els conceptes reltius ls nombres enters problemes rels. Reconèixer i representr nombres rcionls. Operr mb nombres rcionls. Expressr nombres en notció científic i operr mb ells. Abns de començr 1.Nombres enters.. pàg. Representció i ordre Opercions Problemes.Frccions i decimls..... pàg. Frccions equivlents Expressió deciml. Clssificció.Nombres rcionls... pàg. 7 Representció i ordre Sum i rest Multiplicció i divisió Potències d exponent enter Opercions mb potències Problemes.Notció Científic pàg. 11 Definició Opercions Exercicis per prcticr Per sber-ne més Resum Autovlució MATEMÀTIQUES A

2 MATEMÀTIQUES A

3 Abns de començr Començ mb un joc de nombres: Hs d omplir les cselles que són en blnc, mb nombres de l 1 l 9. Amb l únic condició de que sumin els nombres blncs indicts i no es puguin repetir l mteix fil o column. Y quí tens lgun més per prcticr: MATEMÀTIQUES A

4 1. Nombres enters Representció i ordre El conjunt dels nombres enters Z està formt per: Nombres enters positius: 1,,,... Nombres enters negtius: -1,-,-,-.. El nombre zero: 0 L'opost d'un nombre enter, op(), és el nombre cnvit de signe: op()=-, op(-)= El vlor bsolut d'un nombre enter,, és el mteix nombre si és positiu i el seu opost si és negtiu. Opost: op(-)= op(8)=-8 Vlor Absolut: 7 =7 - = Ordre: -<-<-1<0<1<< Els nombres enters són un conjunt ordent. Els nombres enters es representen l rect numèric. Sum i rest Per sumr dos nombres enters, +b Si són del mteix signe se sumen els seus vlors bsoluts i es pos el mteix signe. Si són de diferent signe es resten els seus vlors bsoluts i es pos el signe del nombre de mjor vlor bsolut. Sum i rest = 7 + = 1 = 1 + = 7 Per restr dos nombres enters, -b, se sum l primer l'opost del segon: - b = + (-. Producte i divisió Per multiplicr o dividir dos nombres enters, es multipliquen o es divideixen els seus vlors bsoluts. El signe serà positiu si els dos són del mteix signe i negtiu si són de signe contrri. Regl dels signes: Producte ( ) ( ) = 1 ( ) ( + ) = 1 ( + ) ( ) = 1 ( + ) ( + ) = 1 Divisió ( 8):( ) = ( 8):( + ) = ( + 8):( ) = ( + 8):( + ) = MATEMÀTIQUES A

5 EXERCICIS resolts 1. Clcul el vlor bsolut de -,, 0 Sol: = = 0 = 0. Orden de mjor menor: -78, -1, - Sol: 1 > > 78. Clcul l opost de -, 7, 0 Sol: op( ) = op(7) = 7 op(0) = 0. Clcul: (1 9) 1 + 8(1 + ) Sol: (1 9) 1 + 8(1 + ) = ( 8) 1 + 8() = 1 + = 9. Clcul: 8(7 + ):( 8) Sol: Dividint 8(7 + ):( 8) = 8(10):( 8) = 80 : 8 = 10 x + = 6. Trob el mcm (88,168) Sol: 88 = = 7 mcm(88,168) = 7 = 8 7. Tots els pstissos que hem fbrict vui els hem post en cixes de 7 i 189 pstissos i no n h sobrt cp. Qunts pstissos, com mínim, hem fbrict vui? Sol: S hn fet 7 pstissos 7 = 189 = 7 mcm(7,189) = 7 = 7 8. El pssdís d un cs té 10 cm de llrgd per 19 cm d mpld. Es volen posr rjoles qudrdes de l mjor grndàri possible. Trob les dimensions que hn de tenir les rjoles si no volem tllr-ne cp. Sol: Les rjoles hn de tenir 6 cm de costt = 19 = 6 mcd(10,19) = = 6 9. Qunt h de vler x per tl que el nombre 9x7 sigui divisible per? 10. Escriu un número més grn que 00 i és petit que 0, que sigui múltiple de 0 Sol: 10, 0 MATEMÀTIQUES A

6 . Frccions i decimls Frccions equivlents Un frcció és un expressió de l form: b mb i b nombres enters i b 0, s'nomen numerdor i b denomindor. Qun el mcd(,=1 l frcció es diu irreductible. Dues frccions són equivlents si d=b c El conjunt dels nombres rcionls Q està formt per tots els nombres que es poden expressr en form de frcció Frcció irreductible mcd(, ) = 1 Frccions equivlents 6 = 8 8 = 6 = Expressió deciml. Clssificció Per obtenir l'expressió deciml d'un frcció, es divideix el numerdor entre el denomindor. Qun fem quest divisió pot pssr que el quocient sigui: Deciml excte Periòdic pur Periòdic mixt Nombre finit de xifres decimls L prt deciml es repeteix indefinidment (període) L prt deciml està formd per un prt que no es repeteix (nteperíode) seguid del període Els únics divisors del denomindor són o Els nombres o no són divisors del denomindor Els divisors del denomindor són o i té més ltres divisors Els decimls exctes i periòdics, purs o mixtes, poden expressr-se ne form de frcció. Deciml excte: 7 ' = i l inrevés: Periòdic pur: 1 0'... 0' = = ) Periòdic mixt: 1 ) 0' '16 6 = =, = = i l inrevés: ) 9 1, = = = 9 9 i l inrevés: ) ,11 = = = MATEMÀTIQUES A

7 EXERCICIS resolts 11. Escriu l frcció irreductible de: 1. Trob x per tl que les frccions siguin equivlents: 1. Escriu l expressió deciml de les següents frccions: ) 88 9 Sol: 9, 7 ) 1 99 c) 11 Sol:, Sol:, 6 ) 1. Escriu l frcció genertriu de: ), Sol: ,68 Sol: 19 c),80 Sol: 7 99 MATEMÀTIQUES A 7

8 . Nombres rcionls Representció i ordre El conjunt dels nombres rcionls Q està formt per tots els nombres que es poden expressr en form de frcció. El conjunt dels nombres rcionls és un conjunt ordent. Per ordenr les frccions s'escriuen frccions equivlents mb el mteix denomindor (reduir comú denomindor) i s'ordenen els numerdors Els nombres rcionls es poden representr de mner exct en l rect numèric. Abns de representr un frcció s h de sber entre quins vlors està compres 9 1 = < < Es divideix el segment d extrems i en qutre prts iguls: Sum y rest Per sumr o restr els nombres rcionls s'escriuen en form de frcció i després se sumen o resten les frccions. Per sumr o restr les frcciones es redueixen comú denomindor i després se sumen o resten els numerdors. Sum = + = Rest = = Multiplicció i divisió El producte de dos nombres rcionls és un ltre nombre rcionl que té per numerdor el producte dels numerdors i per denomindor el producte dels denomindors. Per dividir dos nombres rcionls es multiplic l primer frcció per l invers de l segon Producte 1 1 = = 0 Quocient 1 1 : = = 1 Opercions mb nombres periòdics ) ) ' + 1'78 = + = = + = + = ) = = ' MATEMÀTIQUES A

9 6 = = = = = 9 8 = = 7 = = = 8 1 = 7 = 7 = ( ) = = ( ) = 1 = = 6 1 = = Potències d exponent enter i bse rcionl Si és un nombre enter i n un nombre nturl, leshores: A més per qulsevol vlor de diferent de 0, s'compleix: = 1 = = Per elevr un frcció un potènci s'eleven el numerdor i el denomindor. Opercions mb potències Si m i n son nombres enters qulssevol s compleix: m n m+ n =, m n ( ) n m =, b m m m b = b m n m m = m n = ( m Resolució de problemes A l vid quotidin preixen situcions on és necessri trebllr mb nombres frccionris. Per resoldre problemes mb frccions hs de seguir les mteixes putes que mb ltres tipus de problemes. Llegeix tentment l enuncit. Reflexion sobre l situció que propos el problem, què et demn, quines ddes tens,... Orgnitz l informció que tens, fes un esquem, un dibuix... Un cop obtinguis l solució, comprov-l. Si tres quilos i qurt de pomes costen 6, qunt costrn dos quilos i mig? Clculem el preu d un kg de pomes. Per fer-ho es divideix el preu pgt entre els kg comprts: '6 : + : 0'8 /kg = = = El preu de dos quilos i mig serà: '8 + = = = 10 0 En morir un vi deix pels seus néts, en Jon, en Pere i l Ann. A en Jon li toc 1/, en Pere, 1/ i l Ann l rest. Qunt li toc cdscun? MATEMÀTIQUES A 9

10 1. Orden de mjor menor: EXERCICIS resolts 16. Clcul, expressnt el resultt en form de frcció irreductible: ) c) = = = = = : : = 0 0 = = = + = = 0 = = Clcul, expressnt el resultt en form deciml: ),98+ 6, ) Sol: + = = 9, , 6 ) Sol: = =,16 ) c) 0,1 0, Sol: = = 0, Clcul, expressnt el resultt en form deciml: ) 1 ) :'7 Sol: : = : = = 0, ) 6 10 ) Sol: = : = = 7, 7 ' c) 6,1 : 0, Sol: : = : = = 1, = Clcul les potències següents: ) Sol: c) ( ) Sol: 1 1 = 8 1 ( ) = 1 81 d) Sol: = 9 1 Sol: ( ) = 8 0. Clcul: 1 ) 8 c) 7 9 Sol: ( ) ( ) = = ( 7 ) 1 1 Sol: = 7 = 7 7 (7 ) : Sol: = d) (x ) (x ) - Sol: x 1-1 =x 10 MATEMÀTIQUES A

11 Notció científic 178' = 1' = ' 10 0' = 1' 10 Amb l clculdor Per introduir l clculdor nombres en notció científic com: 9, Teclej EXP 1 Apreixerà: , Teclej EXP +/- 18 Apreixerà: Si introdueixes: 900, 10 1 Teclej 900. EXP 1 Apreixerà: I prement = surt el nre. en notció científic: Segons el model de clculdor l tecl indicd és x10 x 8 7. Notció científic Definició Per escriure nombres molt grns o molt petits s'utiliz l'nomend notció científic. L notció científic permet comprr fàcilment nombres mb molts zeros o mb molts decimls, és suficient mb comprr l'ordre de mgnitud: Si k>0 el nombre de xifres enteres és k+1. Si k<0 el nombre de xifres decimls és igul l sum de les xifres decimls de més k. Distànci: Un nombre escrit en notció científic és de l form ± 10 k mb 1 < 10 i k un nombre enter, que s'nomen ordre de mgnitud del nombre. Diàmetre de l glàxi d Andròmed: 1, km 9, km Diàmetre de l àtom d oxígen: 1, 10-7 mm Diàmetre del nucli: 6, 10-1 mm Sum i rest 1, , 10 9 = = (1, ,) 10 9 = =(0,1+9,) 10 9 = = 9, 10 9,7 10 8, 10 9 = =(,7, 10-1 ) 10 8 = =(,7 0,) 10 8 = =, Opercions Sum i Rest Si els sumnds són del mteix ordre de mgnitud sumem o restem els nombres que precedeixen les potències de 10. Si els sumnds no són del mteix ordre de mgnitud es redueixen l mjor dels ordres, i se sumen o es resten els nombres que precedeixen les potències de 10. Producte i divisió 7, = 1, = =, , 10 8 : = 1, 10 - Multiplicció i divisió Per multiplicr o dividir dos nombres en notció científic, es multipliquen o divideixen les potències i els nombres que precedeixen les potències de 10. En tots els csos el resultt s'express en notció científic. MATEMÀTIQUES A 11

12 EXERCICIS resolts 1. Escriu en notció científic: ) 0' Sol: ' Sol: 9 1' 10. Escriu l expressió deciml de: ) 8 8' 10 Sol: '1 10 Sol: 0'0001. Quntes xifres decimls té el nombre: ) 9 ' 10 Sol: '7 10 Sol: 1. Quntes xifres enteres té el nombre: ) ' 10 1' 10 Sol: Sol:. Relitz les opercions següents: ) ' ' 10 ' ' 10 = ' + 1' = ' + 0'1 10 = ' 10 Sol: ( ) ( ) c) d) ' ' '1 10 1' 10 = '1 10 1' 10 = 0' 1 1' 10 = 1'19 10 Sol: ( ) ( ) 1 ' Sol: ' ' 10 Sol: 10 6' 10 = 10 = 8' 10 1 '1 10 ( 6' 10 e) ) 6' 10 = 8' 10 = '8 10 Sol: ( ) MATEMÀTIQUES A

13 Per prcticr 1. Clcul: ) 6 6( 1) ( ( + ) 1) c) ( ( 7) + 1) d) 6 (1 + ( 1) ) 6. Escriu l frcció genertriu: ) 1, ),1 c), ) d) 1,9. Clcul: ) 6 : ( 1) ( 16): c) 0 :( ( )) + 1 d) (1: ):. Indic si els següents prells de frccions són equivlents: 7. Indic quin tipus de nombre deciml és: ) 18 6 c) Orden de menor mjor:. Trob x per tl que les frccions siguin equivlents: 9. Clcul i simplific: ) c) 1 +. Escriu l expressió deciml: ) 7 c) d) e) MATEMÀTIQUES A 1

14 10. Clcul i simplific: ) : c) 1 : : 11. Clcul i simplific: ) : c) d) Clcul i simplific: ) ) ) 1' + '7 ) ) ' '1 ) ) c) ':1'7 1. Clcul i simplific: ) c) d) : 1. Escriu en notció científic: ) '10 1 0' Clcul i escriu el resultt en notció científic: ) c) d) ' 10 6' ' ' ' 10 ' 10 1' 10 ' L Sòni beu diàriment un litre de llet. Si l llet l compr en mpolles d un qurt de litre. Quntes mpolles h de comprr per 1 dies? 17. Si mig quilo de fruit cost, qunt costrn tres quilos i mig? 18. En morir en Jon deix un fortun de A l sev don li deix l meitt i l rest ls seus tres fills prts iguls. Qunt li toc cdscú?. 19. En un lbortori s h observt que l poblció d un cultiu de bcteris es multiplic per cd hor. Si el nombre inicil er de 1, bcteris, qunts n hi hurà després de hores?. 0. Un microorgnisme mesur 1, micres; sbent que un micr és l milionèsim prt d 1 m, express en metres i en notció científic l longitud que ocupen 7 milions de microorgnismes posts en fil. 1. Un embssment, que bsteix un poblció, té 107,8 dm d igu. Si un person gst por terme mig 770 litres d igu nulment, qunt poblció podrà bstir en un ny? 1 MATEMÀTIQUES A

15 Per sber-ne més Algoritme d Euclides per trobr el mcd de dos nombres El mcd de dos nombres es pot clculr dividint els nombres, després es divideix el divisor entre el residu i ixí fins que el residu és zero. L'últim quocient és el mcd. Fix t en quests dos exemples. Sudokus A l'inici del tem es proposv un joc mb nombres, quest tipus de psstemps s'h fet molt populr els drrers nys. Possiblement el més fmós sigui el "sudoku", que té veritbles deptes tot el món. Sol ser un qudrt 9x9, en el qul s'hn de col locr les xifres de l'1 l 9 sense repetir l mteix fil o column, ni cd regió x en què es divideix el qudrt grn. Aquí tens dos, x, per entrenr-te, mb colors i mb nombres, són molt fàcils, que et diverteixis! MATEMÀTIQUES A 1

16 Record el més importnt Nombres enters Nombres enters positius: +1,+,+,.. Nombres enters negtius: -1,-,-,-,.. El número zero Vlor bsolut + = - = 0 =0 Opost Op (-)= Op ()=. Nombres Rcionls Són els que poden expressr-se en form de frcció. Nombres enters Positius Negtius El zero Nombres decimls Exctes 1, Periòdics Purs 1' Mixtes 1' Potènci positiv d un nombre enter Potènci positiv d un frcció n n = b n b Potènci negtiv d un nombre enter n 1 = n Potènci negtiv d un frcció n n b = b n Notció científic 16 MATEMÀTIQUES A

17 Autovlució 1. Clculr (8 7) + ( 9 + ) :. Quin és el vlor més grn que pot tenir x per tl que el nombre x6 sigui divisible per?. Trob x per tl que les frccions siguin equivlents.. Trob el període de Escriu en form de frcció irreductible el nombre 6' 6. Clculr: ) ) 8'667 '8 7. Clculr: Quntes mpolles de dos terços de litre es poden omplir mb 18 litres d igu? 9. Clculr: 6' 10 6' Clculr: MATEMÀTIQUES A 17

18 Soluciones dels exercicis per prcticr 1. ) -6 c) -60 d) 18. ) -1-0 c) d). ) si no c) no. ) 8 c) 7 ). ) 1 1'6 c) 1'1 ) 6. ) 11 9 c) d) ) ) ) ' ) ) 0'7 1. ) 7 8 c) 7 0 d) 1. ), c) c) 1 c) 7. ) deciml excte periòdic mixt c) periòdic pur 8. ) 7 < 67 0 < c) < 9. ) d) e) 60 c) 1 1, ), , c) 1,8 10 c) i , ,0 10 m 1. 1, 10 6 Solucions AUTOAVALUACIÓ /990 ) 6. ' No oblidis lliurr les ctivitts l tutor ' MATEMÀTIQUES A