Unitat 7. Rectes i angles

Transcripción

1 Unitt 7. Rectes i ngles Pàgin 134. Reflexion Un grup de nois i noies col lboren en l rehbilitció de l cs de cultur. Observ lgunes de les eines de mesure i trçt que utilitzen: L plomd indic l direcció verticl (perpendiculr l terr). El nivell mrc l direcció horitzontl (prl lel l terr). Quin tipus d ngles consegueix l noi mb el nivell i l plomd? ngles rectes, de 90. El serrbiixos serveix per tllr llistons mb ngles de 90 o de 45, segons el que convingui. El fuster encr hi h de psr qutre llistons, en, b, c i d per cirejr quest tul. Dibuix ls. c b Observ el teu escire i el teu crtbó. Descobreix com són els tres ngles de cd un d quests instruments. L escire té un ngle de 90 i dos de 45. El crtbó té un ngle de 90, un de 60 i un ltre de 30. Pàgin 135. Et convé recordr Trç en el teu qudern un rect, r, i un punt, P, exterior r. mb l jud del regle i de l escire trç un rect, s, que pssi per P i sigui prl lel r. r s p Trç en el teu qudern un rect, r, i un punt, P, exterior r. mb l jud de l escire trç un rect que pssi per P i sigui perpenticulr r. p s r Dibuix un ngle gut, un de recte, un d obtús, un de pl i un ltre de còncu. 175

2 GUT RETE OTÚS ONU PL Dibuix en el teu qudern un ngle. onstrueix-ne un ltre d igul mitjnçnt l procediment nterior. NGLE DONT NGLE ONSTRUÏT Pàgin 136. Meditriu d un segment 7.1 Trç un segment en el qudern. Dibuix n l meditriu m mb l jud del regle i del compàs. Indic un punt, Q, en m. Q omprov, mesurnt mb el compàs, que Q = Q. m 7. Dibuix dos segments conctents, i (l extrem d un coincideix mb l origen de l ltre). mb jud del regle grdut i de l escire, trç n les meditrius, que es tllen en un punt P. Ron que P està l mteix distànci (equidist) de, de i de. P om que P està en l meditriu de, l distànci de P és igul l distànci de P. 176

3 om que P està en l meditriu de, l distànci de P és igul l distànci de P. Per tnt, l distànci de P, i és l mteix. Pàgin 137. isectriu d un ngle 7.3 Dibuix en el qudern un ngle de costts r i s. onstrueix l bisectriu, b, mb jud del regle i del compàs. ssenyl un punt, P, en b. Trç les perpendiculrs, PR i PS, des de P ls costts. omprov que PR = PS. r R P b S s 7.4 Dibuix en el qudern dos ngles rs i st com en l figur. Trç les bisectrius b i b, que es tllen en un punt P. Ron que les distàncies de P r, s i t coincideixen. r P b b' t s om que P està en l bisectriu de rs l distànci de P r és igul l distànci de P s. om que P està en l bisectriu de st, l distànci de P s és igul l distànci de P t. Per tnt, l distànci de P r, s i t és l mteix. 7.5 Divideix un ngle recte en qutre prts iguls. Pàgin 138. Relcions ngulrs 7.6 Dibuix en el qudern un ngle de 30. Dibuix dos ngles més mb els costts prl lels ls de l nterior, un que sigui igul i un ltre que sigui suplementri. 177

4 NGLE SUPLEMENTRI 7.7 lcul el complementri i el suplementri de cdscun dels ngles següents: ) 40 ; b) 0 ; c) 50 ; d) 68 ; e) 73 ; f) 89. ) 50 i 140 ; b) 70 i 160 ; c) 40 i 130 ; d) i 11 ; e) 17 i 107 ; f) 1 i D quests ngles, digues-ne dos que siguin iguls per ser: D E F H G ) Oposts pel vèrtex; i. b) orresponents; i G. c) lterns interns; i E. d) lterns externs; i H. 7.9 Qunt mesuren els ngles restnts? 50 E D F G = 130 D = 50 = 50 E = 130 = 130 F = 50 G = 130 Pàgin 140. Mesur d ngles 7.10 Qunts minuts són 5? I 7? I 18? 5 = 300 ; 7 = 40 ; 18 = Pss segons les expressions següents: ) 3 ; 180 b) 5 ; 300 c) 10 ; 600 d) 15 ; Trnsform en minuts les quntitts següents: ) 10 ; b) 180 ; 3 c) ; Pss grus les expressions següents: ) 60 ; 1 b) 180 ; 3 c) 40 ; 4 d) 10 ;. 178

5 7.14 mb l jud del trnsportdor, dibuix en el teu qudern ngles de 40, 55, 110 i lcul l ngle suplementri dels ngles que hs dibuixt en l ctivitt nterior. ngle Suplementri Pàgin Pss segons: ) = b) = c) 6 11 = Pss form complex: ) 3 0 = 8 57 b) = c) 913 = 3 3. Pàgin 14. Opercions mb mesures ngulrs 7.18 Fes les sumes següents: ) = b) = Fes les restes següents: ) = b) = Pàgin lcul el suplementri de l ngle de lcul: ) = b) = prtir de l ngle = , clcul: ) ; = b) 5 ; 5 = c) ; = d) ; =

6 7.3 Divideix entre 7 de dues formes: ) om cbem d explicr. b) Pss-lo segons, divideix entre 7 i pss el resultt grus, minuts i segons. Obtens el mteix que en )? ; s obté el mteix resultt en els dos csos. 7.4 Un ixet omple 5/1 d un dipòsit en un hor. Qunt trdrà omplir el dipòsit sencer? Trdrà h 4 min. Pàgin 144. ngles en els polígons 7.5 En un tringle rectngle, f Qunt f? = Si un ngle d un rombe f 39, qunt fn els ltres? Hi h un ltre ngle de 39 i dos ngles de = Qunt fn els ngles iguls d un estel com quest? 100 Fn 360 ( ) = 0 entre els dos, 110 cd un. 7.8 És possible construir un qudrilàter mb només un ngle recte? I mb només dos? I mb només tres? mb només un, sí. mb només dos, sí. mb només tres, no. Pàgin Descobreix qunt sumen tots els ngles d un decàgon qulsevol i qunt mesur cd ngle d un decàgon regulr. Fes-ho de dues formes: ) Fent tot el ronment: «Un decàgon regulr es pot descompondre en vuit tringles». b) plicnt les fórmules nteriors. ) Un decàgon qulsevol es pot descompondre en 8 tringles (trçnt-hi les 7 digonls que prteixen d un mteix vèrtex). Entre tots els seus ngles sumen = d un dels 10 ngles iguls del decàgon regulr mesur : 10 = 144. (10 ) 180 b) plicnt l fórmul: = Justific que l ngle construït ixí mesur 60 : 180

7 Es form un tringle equilàter = Els ngles indicts en vermell es denominen ngles exteriors o externs del polígon opi quest figur en un pper, retll els ngles externs, junt ls, com veus en l figur de l dret, i comprov que sumen Justific que l sum dels ngles exteriors de qulsevol polígon és 360. En qulsevol polígon es pot procedir com s h fet en l exercici D quest mner es veu que l sum dels ngles exteriors és 360. Pàgin 147. ngles en l circumferènci 7.33 Tenint en compte que cd rc indict en l circumferènci és de 60, digues el vlor dels ngles mrcts en vermell. F D = 10 : = 60. = 180 : = 90. F = 60 : = 30. E = 60 : = 30. D = (4 60 ) : = 10. E 7.34 Esbrin quin és l mesur ngulr dels cinc rcs iguls en què s h dividit l circumferènci. P Digues el vlor dels ngles mrcts en vermell. = (7 3) : = 108. = 7 : = 36. = 7 : = 36. E = (7 ) : = 7. E D 181

8 7.35 Dibuix un semicircumferènci i retll un cntó d un full de pper (ngle recte). omprov que, sempre que fcis pssr els costts de l ngle pels extrems del diàmetre, el vèrtex estrà situt sobre l semicircumferènci. Pàgin 148. Simetries en les figures plnes 7.36 Indic tots els eixos de simetri de cd un de les figures següents. ) Té qutre eixos de simetri b) Té cinc eixos de simetri c) No té cp eix de simetri d) Té un eix de simetri e) Té tres eixos de simetri ) b) c) d) e) Pàgin 149. Exercicis de l unitt 7.37 Fes les opercions següents: ) = b) = c) ( ) 4 = d) ( ) : 11 = En l ngle = , trcem l bisectriu. Qunt f cd ngle que en result? F lcul el qurt ngle d un qudrilàter si sbem que els ltres tres tenen: = , = , = Trob n el qurt. El qurt f lcul en grus, minuts i segons l ngle interior d un heptàgon regulr L ngle f = Trç, mb el trnsportdor, els ngles de 30, 45, 60 i 75. onstrueix-ne els complementris i clcul n les mesures. 18

9 7.4 Trç, mb el trnsportdor els ngles de 10, 135, 150 i 165. onstrueix-ne els complementris i clcul n les mesures Dibuix els ngles següents utilitznt només el llpis, el regle i el compàs: ) 60 ; b) 30 ; c) 45 ; d) 150 ; e) Dibuix un ngle de 10. Trç tres rectes de form que divideixin l ngle en qutre prts iguls. 183

10 7.45 Dibuix en el teu qudern un rect r i un punt P exterior quest rect. Quntes rectes prl leles r que pssen per P hi pots trçr? Pots dibuixr-hi un prl lel. Fes els trçts mb el regle i l escire. r p 7.46 Dibuix en el teu qudern un itinerri com quest mb les mesures següents: = 6 cm, = 3 cm, D = 4 cm, DE = 4 cm. E D D 7.47 onstrueix un tringle com quest mb les mesures següents: = 4 cm = 30 = 100 lcul els ngles D i E. om són els ngles i E? I els D i? = 180 ( ) = 50. D = = 130. E = = 80. i E són suplementris (i djcents). Tmbé ho són D i Respon les preguntes següents: ) Quin propiett té cd punt de l meditriu d un segment? b) En quin punt de l vi fèrri hem de situr un estció de mner que es trobi l mteix distànci dels pobles i? E D 184

11 Vi fèrri opi el dibuix en el teu qudern i resol el problem gràficment. ) d punt de lm editriu mnté l mteix distàci mb mbdós extrems del segment. b) Vi fèrri ESTIÓ L estció E cl situr-l en el punt en què l meditriu de tll l vi fèrri, d quest mner equidist de i de. Pàgin ESTIÓ = ESTIÓ ontest i construeix: ) Quin propiett té cd punt de l bisectriu d un ngle? Els punts de l bisectriu es troben l mteix distànci de tots dos costts de l ngle. b) opi en el teu qudern un ngle com quest i llrg n els costts uns qunts centímetres. Situ-hi un circumferènci de 4 cm de rdi, que sigui tngent ls dos costts de l ngle (és dir, que l circumferènci toqui en un sol punt cd costt de l ngle). 4 cm 4 cm Trcem un segment de 4 cm perpendiculr un costt. Pel seu extrem hi trcem un prl lel, fins que tlli l bisectriu. quí hi h el centre de l circumferènci buscd. 185

12 7.50 lcul el vlor de l ngle o dels ngles que demnem en cd figur: b P N c d 8 3 Q P e f M N g h 40 N M 130 ) = = 117. b) P = N = 360 ( ) = 55. c) = 90 3 = 58. d) P = Q = = 76. e) = = 108, = 360 = f) M = N = = 135. g) = = 40, = 140. h) M = 50, N =

13 7.51 Descobreix qunt té l ngle d un pentàgon regulr contestnt les preguntes següents: ) Qunt té l ngle centrl? b) Per tnt, qunt té l ngle mrct en vermell? c) Per tnt, qunt té l ngle del pentàgon? ) ngle centrl = 360 = 7. 5 ngle mrct = = 54. ngle del pentàgon = 54 = lcul el vlor de l ngle o dels ngles que demnem en cd figur: ) b) N M 5 40 P c) d) e) D f) g) D E ) = 5, = = = 155. b) M = = 140, N = = 0, P = 90 0 = 70. c) = 100 : = 50. d) = 40 : = 0. e) = D = 90. f) = = = 150 : = 75. g) E = 60, D = 60 =

14 7.53 El tringle I és equilàter. Els tringles II són isòsceles. I II II lcul l mesur dels ngles, i. = = 75. = 360 ( ) = 150. = ( ) : = 15. Pàgin Observ les lletres de l lfbet: Digues quines no tenen eixos de simetri (n hi h 10), quines tenen un eix de simetri (n hi h 1), quines en tenen dos (n hi h 3) i quin té eixos de simetri infinits. Dibuix cdscun de les lletres en el teu qudern i ssenyl-hi els eixos que té. Un eix de simetri. Dos eixos. D E T U V W Y H I X 188

15 No tenen eix de simetri: F, G, J, LL, N, P, Q, R, S, Z. Tenen un eix de simetri:,,, D, E, K, L (inclint), M, T, U, V, W, Y. Tenen dos eixos de simetri: H, I, X. L O en té d infinits. Són simètriques respecte un punt, més de H, I, X, O, les següents: N, S, Z omplet en el teu qudren cd figur perquè sigui simètric respecte l eix sse - nylt: ) b) 7.56 omplet l figur següent perquè tingui els dos eixos de simetri que hi indiquem: e 1 e omprov el resultt mb un mirll. 189

16 e 1 e 7.57 Imgin que poses un mirll sobre l líni de punts de les figures següents: b c Dibuix en el qudern llò que creus que es veurà mirnt per cdscun de les dues cres. om s h de posr el mirll en cd figur perquè s hi vegi l mteix imtge per totes dues? d ) b) c) d) 190

17 7.58 r obtindrem figures mirnt un tros d quest figur F mb un mirll: F Per exemple, per obtenir quest hem de col locr el mirll ixí: F Però, tenció!, no tenim un mirll mà. T ho hs d imginr. Indic com hem de situr el mirll sobre F per visulitzr cd un de les figures següents: ) b) c) d) e) m) n) p) Pàgin 15. utovlució 1 onstrueix un ngle de 60 i trç n l bisectriu mb regle i compàs. Justific que l sum dels ngles d un tringle és 180 i que l sum dels ngles d un qudrilàter és = D = D = D + D = D = 360. D D' D" ' " 191

18 3 Els ngles, i són iguls. lcul n el vlor. E D = = = lcul: ) b) ( ) 3 ) ; b) Els punts,,, D, E, F divideixen l circumferènci en sis rcs iguls: F E 3 5 D ) lcul el vlor dels ngles,, i. b) lcul el vlor de l ngle. = 90 ; = 60 ; = 30 =. = = Pàgin 15. Jocs per construir intes que s enrotllen Qun es tll per l meitt un cint de Möbius s obté un ltr cint, el doble de llrg, que té dues cres: no és un cint de Möbius. En el segon cs s obtenen dues cintes lligdes. L primer és com l que s obté en el cs nterior i l segon sí que és de Möbius. 19