Còniques. Circumferència

Transcripción

1 H. Helmi Còniques -1/19 Còniques Introducció Reen el nom de seccions còniques el conjunt de les diferents figures que s otenen en tllr un superfície cònic m un pl que no pssi pel vèrtex. L inclinció del pl respecte de l eix de l superfície cònic dón lloc l circumferènci, l el lipse, l hipèrol i l pràol. L circumfèrenci es form qun el pl és perpendiculr l eix del con. L el lipse es form qun el pl no és perpendiculr l eix del con ni prl lel l genertriu. L hipèrol es form qun el pl és prl lel l eix del con. L pràol es form qun el pl és prl lel l genertriu del con. Llocs geomètric Es denomin lloc geomètric l conjunt de punts del pl que stisfn un propiett determind i que son los únics punts que l cumpleixen. Circumferènci Concepte Entenem per circumferènci l lloc geomètric dels punts del pl que estn un distànci fix, nomend rdi, d'un punt fix, que en diem centre. Equció de l circumferènci Considerem C l circumferènci de centre O=(x, y de rdi r. Un punt X de coordendes X(x, y és de l circumferènci (x, y C d(x, O = r (x - x + (y - y = r Desenvolupnt els qudrts tenim que: x - x x + x + y - y y + y = r x + y - x x - y y + x + y - r = Anomennt A = - x, B = - y i C = x + y - r és dir X=(x, y C x + y + Ax + By + C = que és l'nomend equció generl de l circumferènci.

2 H. Helmi Còniques -/19 Exemples 1. Tro l equció generl de l circumferènci de centre O(-,, i rdi r=3. L equció de l circumferènci és: (x+ +(y- =9 Aquest expressió desenvolupd ens dón l equció de l circumferènci en form generl: x +y +4x-5=. Tro el centre i el rdi de l circumferènci l equció de l qul és x +y -4x+y-4= Sem que A=-4, B=, C=-4, per tnt, si: A=-x -4= -x x = B=-y = -y y = -1 C= x + y - r -4= +(-1 -r r =3 El centre de l circumferènci és O(,-1, i el rdi, r =3. Posició reltiv d'un rect i un circumferènci Un rect i un circumferènci poden ser: Secnts: si tenen dos punts comuns Tngents: si només tenen un punt en comú Exteriors: si no tenen cp punt comú. Si hi h lgun punt comú entre l rect i l circumferènci, quest h de verificr l equció de l rect i l de l circumferènci. Això signific que l solució del sistem formt per l equció de l rect i l equció de l circumferènci, determin, quin és l posició reltiv entre totes dues: Si té dues solucions, l rect i l circumferènci són secnts. Si té un solució, l rect i l circumferènci són tngents. Si no té solució, l rect i l circumferènci són exteriors.

3 H. Helmi Còniques -3/19 Exemple 1. Tro l posició reltiv entre l rect r:x+y-3= i l circumferènci C:x +y -x+3y+= Plntegem el sistem formt per les dues equcions i el resolem: x Aï llem l vrile y de l equció de l rect, i l sustituï m l equció de l circumferènci: x + y x + y 3 = x + 3y + = + ( x + 3 y = x + 3 x + 3( x = Otenim l equció de segon gru, x -4x+4= Aquest equció té només un solució x=. Per tnt, l rect és tngent l circumferènci, i el punt de tll és P(, -1. Rect tngent. Si P(, és un punt de l circumferènci de centre O(x,y, l rect tngent l circumfèrenci en quest punt P és perpendiculr l rect que uneix el centre O i el punt P. r OP = (, (x, y = ( x, y, r r un vector perpendiculr OP es v = ( y, x és l següent : r L equció de l rect que pss por P i té com vector director v y - x = (x y x y y - = x que és l'equció de l rect tngent un circumferènci en P. Exemple 1. Tro l equciò de l rect tngent l circumferènci x +y -4x+6y-3= en el punt P(,1. El punt P pertny l circumferènci, j que verific l equció. El centre és O(,-3 r r El vector OP = (,4. Un vector perpendiculr OP és y 1 = (x 4 y 1 = (4,. L'equció de l tngent és :

4 H. Helmi Còniques -4/19 Potènci d un punt respecte un circumferènci Considerem un punt P del pl i un circumferènci C, i trcem dues semirrectes secnts l circumferènci que tinguin l origen en el punt P. Siguin A, B y A, B els punts del tll de les rectes m l circumferènci. Els tringles PAB i PA' B són semlnts, j que P és comú i Bˆ = Bˆ ', per esser inscrits que rquen el mteix rc en l circumferènci llvors : PA PA' = PB PB' PA PB = PA' PB' Si trcem un ltre secnt que pssi per P tendríem, ronnt de mner nálog, P A PB = PA' PB' = PA'' PB'' = constnt És dir, el producte és constnt sigui quin sigui l secnt trçt des de P. A quest constnt se l nomen potènci del punt P respecte de l circunferènci, y es dessign per Pot c (P. Definició S'nomen potènci d' un punt P respecte d' un r r circumferènci l producte esclr PA PB, on A i B són els punts on l rect sec nt que pss per P tll l circumferènci. r r Pot (P = ± PA PB c

5 H. Helmi Còniques -5/19 Si P A i P B, tenim: r r r r r r r r Pot c (P = PA PB = PA PB cos(pa, PB = ± PA PB r r j que (PA, PB = ð = ± PA PB Si P=A o P=B, r r PA o PB és el vector null i per tnt r r Pot c (P = PA PB = Per tnt: Si P és un punt exterior l circumferènci, Pot c (P>. Si P és un punt interior l circumferènci, Potc(P<. Si P és un punt de l circumferènci, Pot c (P=. Expresió Anlític Considerem l semirrect secnt que pss pel centre de l circumferènci i nomem d d(p,o. L potènci del punt P serà: r r Pot (P = PA PB = (d r(d + r = d c per tnt Pot (P = d c r r

6 H. Helmi Còniques -6/19 Com d(p,o, tenim que d =(-x +(- y i per tnt l potènci d un punt respecte d un circumferènci es clcul mitjnçnt l següent igultt: Pot c (P=(-x +(- y -r, o é: Pot c (P= + + A + B + C Oserv que per clculr l potènci d un puntp respecte d un circumferènci de centre O(x,y, només cl sustituir les coordendes del punt P(, l equció de l circumferènci. Exemples 1. Tror l potènci del punt P(,-4 respecte de l circumferènci x +y -3x+y-5=. Pot c (P= +(-4-3 +(-4-5=5. Tror l longitud del segment tngent l circumferènci x+y+5x-3y+3= trçt des del punt P(1,3. Sigui A el punt de tngènci, es verific Pot (P = PA PA = PA c PA = Pot C (P = = 9 = 3 Posició reltiv d un punt respecte d un circumferènci L potènci d un punt P respecte d un circumferènci dón informció de l posició del punt respecte de l circumferènci: Pot c (P=d -r Si Pot c (P > d -r > d > r P és exterior l circumferènci. Si Pot c (P = d -r = d = r P pertny l circumferènci. Si Pot c (P < d -r < d < r P és interior l circumferènci.

7 H. Helmi Còniques -7/19 El lipse Concepte L el lipse és el lloc geomètric dels punts del pl l sum de distàncies dels quls dos punts fixos, noments focus és constnt. Aquest sum constnt de distàncies s costum representr per. Elements crcterístics En l el lipse, més del focus, hi definim els elements següents: Focus: punts fixos F i F. Distànci focl: és l distànci entre els dos focus F i F, i es design per c. Rdi vectors : Sigui que es denot per. F ' F = c P un punt de l' el lipse, L sum dels rdi vectors d' un punt és, per definició d' el lipse, P F + PF = Eix focl: rect que pss pels focus. Eix secundri: meditriu del segment F F. Centre: és el punt d intersecció dels eixos. els segments PF i PF reren el nom de rdi vectors. un quntitt constnt Vèrtex: són els punts A, A, B, B, d intersecció dels eixos m l el lipse.

8 H. Helmi Còniques -8/19 Eix mjor: és el segment determint pels punts A i A de l el lipse.l distànci entre quests punts és l máxim d entre tots els punts d el lipse. Com que A i A' són punts de l' el lipse, verifiquen : AF + A F = AF + A F + A F + A F = 4 A A + A F + A F = A A = 4 A A = Longitud de l'eix mjor : A A = Eix menor: és el segment determint pels punts B, B de l el lipse. L distànci entre quests punts és l mínim d entre tots els punts de l el lipse. L meitt de l longitud d quest segment es design mitjnçnt. Longitud de l'eix menor : Excentricitt: s nomen excentricitt i es represent m el següent quocient: Com que c <, l excentricitt e és un nomre comprès entre i 1. <e<1. Oserv que si: c e = BF +BF= BF =BF= L eix menor BB = OB =OB= L distànci focl F F=c OF =OF=c Com que, i c formen un tringle rectngle, es pot estlir l relció següent: = +c B B = Equció reduïd de l el lipse Anem trellr m un el lipse centrd en l origen de coordendes i m els seus eixos coincidents m els eixos de coodendes. Si l eix focl està situt sore l eix d scisses, les coordendes del focus són F (-c,, i F(c,.

9 H. Helmi Còniques -9/19 Dont P(x,y, un punt qulsevol de l el lipse, per definició: P F + PF = Com que tenim P F = (x + c + y PF = (x c + (x + c + y + (x c + y = y (x + c + y = - (x c + y Elevem l qudrt els dos memres d quest igultt ( x + c + y = 4 4 (x c + y + (x c + Simplifïquem i ïllem el rdicl: y 4 (x c + y = 4 4cx (x c + y = cx Elevem l qudrt: (x -cx+c +y = 4 - cx+c x x -c x+ c + y = 4 - cx+c x x + y = 4 +c x - c x + y -c x = 4 - c ( -c x + y = ( -c Aplicnt-hi l relció +c =, tenim: x + y = Dividint l igultt per, result x y + equció reduïd de l' el lipse

10 H. Helmi Còniques -1/19 Si l eix focl està situt sore l eix de les ordendes, les coordendes dels focus són F(,c i F (, -c. Llvors l' equció reduïd de l' el lipse és : x y + Equció de l el lipse d eixos prl lels ls eixos de coordendes Anem trellr m un el lipse m els seus eixos prl les m els eixos de coodendes i de centre un punt diferent de l origen de coordendes. Supossem que l eix focl és prl lel l eix d scisses. Sigui el punt C(x, y el centre de l el lipse. Si trnsldem els eixos de coordendes prl lelment de form que l origen de coordendes sigui el punt C, l equció de l el lipse referid quests eixos és x' y' + Com que les equcións de l trnslció són: x = x + x y = y + y Result que l equció de l el lipse és: (x x (y y +

11 H. Helmi Còniques -11/19 Si l eix focl és prl lel l eix d ordendes, l equció será: (x x (y y + Equción generl de l el lipse Prtint de l equció reduïd d un el lipse centrd en el punt (x,y, l eix focl de l qul és prl lel l eix d scisses, i opernt otenim l equció reduïd de l el lipse: (x x (y y + Multipliquem els dos memres de l equció per : (x-x + (y-y = Desenvolupnt els qudrts i plint-hi l distriutiv: x - x x + x + y y y + x = Trnsposem termes i ssociem: x + y - x x y y + ( x + x - = Anomennt A=, B=, C= -, D= - y, E= x + x -, l expressió nterior qued: A x + B y + C x + D y + E = equció generl de l' el lipse Oservem que els vlors A i B, en quest equció tenen el mteix signe.

12 H. Helmi Còniques -1/19 Pràol Concepte L pràol es el lloc geomètric dels punts del pl que equidisten d un punt fix, noment focus, i d un rect fix nomend directriu. Denotrem per F l focus i per r l directriu. Elements crcterístics En l pràol, més del focus i de l directriu, hi definim els elements següents: Eix: és l rect perpendiculr l directriu que pss pel focus. Vèrtex: és el punt d intersecció de l pràol m el seu eix. Pràmetre: és l distànci p del focus l rect directriu. Rdi vector: dont un punt P de l pràol, el segment PF rep el nom de rdi vector. Equció reduïd L equció d un pràol que tingui per eix l eix d scisses o l eix d ordendes i el vèrtex l origen de coordendes s nomen equció reduïd de l pràol. Si l eix está situt sore de l eix d scisses, les coordendes del focus són F(p/, i l equció de l rect directriu és r: x = - p/. Dont P(x,y, un punt qulsevol de l pràol, per definició de pràol: d(p,r = d(p,f. p x + p Com que d(p, r = i d(p, F = x + y + 1 ens qued: p p x + = x + y

13 H. Helmi Còniques -13/19 Elevem l qudrt: Simplifiquem i otenim: x + px + = x px + + y Aquest equció es denomin equció reduïd de l pràol. p 4 = px p 4 y Si l eix está situt sore l eix d ordendes, les coordendes del focus són F(, p/, i l equció de l rect directriu r: y= - p/. Llvors l equció reduïd de l pràol és: x = py Exemple 1. Escriu l equció de l pràol que té el focus en el punt (3, i per directriu l rect x=-3. Es trct d un pràol m l eix situt sore de l eix d scisses. p Com que l directriu és x = - result p = 6. L equció serà y =1x y p en el nostre cs x = 3, será = 3, Equció de l pràol d eix prl lel l eix d scisses o d ordendes Si l eix de l pràol és prl lel l eix d scisses Sigui O (x,y el vertéx de l pràol, mitjnt l trnslció d eixos x = x' + x y = y' + y Fem coincidir l origen de coordendes m el vertéx. Respecte d quests últims eixos l equció de l pràol és: y =px

14 H. Helmi Còniques -14/19 Tenim en compte l trnslció ens qued: (y-y = p(x-x (P1 que és l equció d un práol m l eix prl lel l eix d scisses, de vértex (x,y. Si l eix de l pràol és prl lel l eix d ordendes, otenim l expressió: (x-x = p(y-y (P que és l equció d un práol m l eix prl lel l eix d ordendes, de vértex (x,y. Equció generl de l pràol Prtint de l expressio (P1, operem per otener l equció generl de l pràol: (y-y = p(x-x y -y y + y = px-px -px = -y +y y - y -px px = y - y y + y + px 1 y y x = y y + + x p p p 1 y y Anomennt A = B = C = + x p p p l'equció qued : x = Ay + By + C que és l equció generl d un pràol m l eix prl lel l eix d scisses. Anàlogment l equció d un pràol m l eix prl lel l eix d ordendes será: y = Ax + Bx + C

15 H. Helmi Còniques -15/19 Hipèrol Concepte L hipèrol és el lloc geomètric dels punts del pl que compleixen l condició que l diferènci de les seves distncies dos punts fixos, noments focus, és constnt. Aquest distànci és. Elements crcterístics En l hipèrol, més del focus, hi definim els elements següents: Eix rel: és l distànci entre els punts A i A, que són els vèrtexs de l hipèrol. L longitud de l'eix rel : A' A = Eix imginri: és l meditriu del segment F F. Eix focl: és l rect determind pels focus F i F. Distànci focl: és l distànci entre els focus F i F. L longitud de l distànci focl : F' F = c Centre: és el punt mitjà O del segment determint pels focus, que coincideix m el seu centre de simetri. L excentricitt: és l relció que hi h entre l meitt de l longitud de l distànci focl i l meitt de l longitud de l eix rel. Com que c >, l excentricitt és més grn que l unitt. e c = e > 1

16 H. Helmi Còniques -16/19 Equció reduïd L equció reduïd d un hipèrol centrd en l origen de coordendes, en què el eix focl coincideix m l eix d scisses i l eix imginri, m l eix d ordendes, s nomen equciò reduïd de l hipèrol. Si els focus están situts sore el eix de scisses Donts P(x,y, un punt qulsevol de l hipèrol, i les coordendes dels focus, els punts F (-c,, F(c,, per definició: P F PF = o ien P F PF = Suposem que per l nostre punt P es compleix l primer iguldt. (Si es complís l segon rriríem l mteix resultt. Aplicnt-hi l fórmul de l distànci entre dos punts, les longituds dels segments es poden expressr de l form següent: P F = (x ( c + (y = (x + c + y PF = (x c + (y = (x c + y Sustituïm i ens qued: (x + c + y (x c + y = o é (x + c + y = (x c + y + Elevem l qudrt els dos memres de l equció (x + c + y = (x c + y + 4 (x c + y + 4 Simplifiquem i ïllem el rdicl: (x c + y Elevem l qudrt: = cx 4 [ x cx + c + y ] = c x cx + Tenim en compte que =c -, otenim: x y =

17 H. Helmi Còniques -17/19 Dividint per : x y equció reduïd de l hipèrol Si els focus están situts sore l eix d ordendes, l equció qued: y x Exemple 1. Escriu l equció reduïd de l hipèrol d eix rel 8 m. i d excentricitt 5/4. Com que = 8 = 4 5 c 5 Com e = =, es té que c = 4 = 5, per tnt = 5 4 = L'equció reduïd és : x y 16 9 Equció de l hipèrol d eixos prl.lels ls eixos de coordendes Anem trellr m un hipèrol m els seus eixos prl ls m els eixos de coordendes i de centre un punt diferent de l origen de coordendes. Sigui C(x,y, el centre.

18 H. Helmi Còniques -18/19 Si trnsldem els eixos de coordendes prl lelment de form que l origen de coordendes sigui el punt C, l equció de l hipèrol referid quests eixos és: x' y' Com que les equcions de trnslció són: x = x y = y + x + y Result que l equció de l hipèrol és: (x x (y y Aquest expressió és l d un hipèrol m els focus situts l eix d scisses. Si els focus están situts l eix d ordendes, l expressió de l hipèrol és: (y y (x x Equció generl Prtint de l expressió (x x (y y Operem per otenir l equció generl de l hipèrol: Multipliquem els dos memres de l equció per : (x-x - (y-y = Desenvolupnt els qudrts i plicnt l distriutiv: x - x x + x - y + y y - x = Trnsposem termes i ssociem: x - y - x x + y y + ( x - x - = Anomennt A=, B= -, C= -, D= y, E= x - x -, l expressió nterior qued: A x + B y + C x + D y + E = equció generl de l hipèrol Oservr que els vlors A i B, en quest equció, tenen diferent signe.

19 H. Helmi Còniques -19/19 Asímptotes Si pels vèrtexs A, i A diuixem les perpendiculrs l eix de les scisses i pels vèrtexs B(, i B (-,, les perpendiculrs l eix de les ordendes, s oté un rectngle que té les dimensions i. Les digonls d quest rectngle són les rectes que pssen per l origen de coordendes i pels punts (, i (, -, respectivment. Les seves equcions són: y = x y = x Aquestes rectes reen el nom d símptotes de l hipèrol. Hipèrol equilàter S nomen hipèrol equilàter l hipèrol que té iguls els dos semieixos. És dir: =. En l equció reduïd sustituïm per i otenim l equció d un hipèrol equilàter: x y x y x y = equció reduïd d' un hipèrol equilàter Les equcions de les símptotes s otenen sustituint per en les equcions de les símptotes de l hipèrol: y = x y = x y = x - - y = x y = x y = x Aquestes símptotes coincideixen m les isectrius del primer i segon qudrnts.