Els nombres reals. Objectius. Abans de començar

Transcripción

1 Els nomres rels Ojectius En quest quinzen prendràs : Clssificr els nomres rels en rcionls i irrcionls. Aproimr nomres rels per truncment i rrodoniment. Representr gràficment nomres rels. Comprr nomres rels. Relitzr opercions senzilles m rdicls. Ans de començr. Els nomres rels pàg. Nomres irrcionls Nomres rels Aproimcions Representció gràfic Vlor solut Intervls. Rdicls pàg. 6 Form eponencil Rdicls equivlents. Propietts de les rrels pàg. 7 Arrel d un producte Arrel d un quocient Arrel d un potenci Arrel d un rrel. Opercions m rrels pàg. 8 Introduir i etreure fctors Clculr rrels Sumes i restes Productes Quocients Eercicis per prcticr Per ser-ne més Resum Autovlució MATEMÀTIQUES A 9

2 0 MATEMÀTIQUES A

3 Els nomres rels Ans de començr Investig Segurment hgis relitzt lgun vegd lgun càlcul m el nomre pi: clculr l longitud d'lgun circumferènci o l'àre d'un cercle. En quests càlculs huràs utilitzt vlors com,,,6,,9... Tmé és possile que hgis llegit en lgun diri que s'h descoert un ltr ifr del nomre pi. Tot l'nterior result un mic confús. Quin de les quntitts nteriors és l'utèntic nomre pi? Com és possile que cridem pi totes elles si és evident que són diferents? Com és possile que s'estiguin descorint encr ifres de pi si l'estem usnt des de f un munt d'nys? Intent donr un respost questes preguntes. Si no ho consegueies r torn intentr-ho després de veure quest tem en profunditt. Per finlitzr l propost, quí tens un ltr pregunt: Quin és o quin podri ser l'últim ifr del nomre pi? MATEMÀTIQUES A

4 Els nomres rels. Els nomres rels Nomres irrcionls A l quinzen nterior hem vist que els nomres rcionls es poden escriure en form deciml, resultnt sempre un nomre deciml ecte o periòdic. Tmé hem vist que qulsevol deciml periòdic es pot escriure en form de frcció. És fàcil comprovr que hi h nomres l'epressió deciml dels quls no és periòdic, per eemple: 0, Aquests nomres no es poden escriure en form de frcció: no són rcionls. Anomenem irrcionls ls nomres l prt deciml dels quls no és periòdic ni ect. REPRESENTACIÓ DE NOMBRES IRRACIONALS El fet que els nomre irrcionls tinguin infinites ifres decimls que no es repeteien de form periòdic plntej el prolem de com representr quests nomres de form ect. Alguns d quests nomres poden representr-se de form ect, per eemple: són representcions ectes dels nomres,6 ;,68098 ;, respectivment (els punts suspensius indiquen que no hi h un finl). En cnvi, ltres nomres irrcionls no poden epressr-se en form ect., per eemple: el quocient entre l longitud d un circumferènci i el seu diàmetre és un quntitt constnt que és irrcionl però no pot ser descrit en un form senzill com els nomres nteriors. Per representr quests nomres de mner ect els posem un nom. En quest cs es trct del nomre pi:. Per fer càlculs m quests nomres fem servir un vlor proimt. El nomre és irrcionl (mplició) Com es pot ser si un nomre és irrcionl? No hi h un tècnic generl, però en lguns csos es pot utilitzr un tècnic de demostrció nomend reducció l surd que consistei en suposr que és cert el contrri del que volem provr i rrir, prtir d quest suposició, un contrdicció. Aiò implic que el fet inicil no pot ser fls. El que volem provr és que no és un nomre rcionl. Per iò començrem suposnt que ho és. Per tnt, es pot escriure en form de frcció que, simplificnt, podem convertir en irreductile. És dir, eistirien dos nomres enters, m i n, sense fctors primers comuns, de form que essent p, p,,pr els fctors primers de n i q, q,,qs els fctors primers de m i totes les p són diferents de totes les q. Elevnt l qudrt qued: I n y m segueien sense tenir fctors primers comuns. Per tnt, n m, d on es deduei que n és divisile per. És dir, n/ és un nomre enter. Si nomenem t quest nomre, n, result que: I t i m no tenen fctors primers comuns. Elevnt novment l qudrt, qued: D on deduïm que m tmé és divisile per. Prtint de que n i m no tenen fctors primers comuns hem rrit l conclusió que mdós són múltiples de. Hem rrit un contrdicció. Per tnt l suposició de que quest nomre és rcionl és fls i deduïm que és irrcionl. MATEMÀTIQUES A

5 Els nomres rels Nomres rels IR El conjunt dels nomres rels, simolitzt per l lletr R m l form que veus l'esquerr, està formt per tots els nomres rcionls i tots els nomres irrcionls. És dir, tots els nomres que poden escriure's en form deciml, sigui quest ect, periòdic o no periòdic. Aiò inclou tots els tipus de nomres que coneiem fins el moment., < <,, < <,, < <,, < <, TRUNCAMENT ARRODONIMENT,,,,,,,,,,,,,,6,6,6 Un truncment sempre és un proimció per defecte; l rrodoniment pot ser per defecte o per ecés. Aproimcions Com hs comprovt, hi h nomres rels que tenen infinites ifres decimls, per l qul cos, en generl, no és possile donr el seu vlor ecte. En lguns csos, com els rcionls (m l frcció genertriu) i els rdicls, sí que és possile representr-los de mner ect. Però, en infinitt d ltres nomres (com el nomre π) iò no és possile. Qun en un prolem necessitem utilitzr un nomre m infinites ifres decimls, en l pràctic fem servir un vlor proimt que ens permeti otenir un resultt cceptle encr que no sigui ecte. Un proimció és per defecte si és menor que el nomre ecte i per ecés si és mjor. Qun d un deciml m moltes ifres decimls ens quedem m les n primeres ifres, diem que hem relitzt un truncment m n ifres decimls. Fem un rrodoniment d un nomre deciml l n-èsim ifr deciml, si trunquem m n ifres, deint igul l ifr n-èsim si l següent és menor que, i ugmentnt-l en un unitt en cs contrri. Oserv els eemples que hi h l esquerr, on es prenen diferents proimcions de. MATEMÀTIQUES A

6 Els nomres rels Representció gràfic de nomres irrcionls En quest tem hem vist j les dificultts de representr de form ect els nomres irrcionls, dificultts que es trsllden l sev representció gràfic. A l dret pots veure diferents tècniques per representr en form gràfic nomres irrcionls. En lgun cs es poden utilitzr mètodes geomètrics de grn ectitud, però en l mjori dels csos només podem relitzr un representció proimd, iò sí, m el nivell de precisió que vulguem. π, Aquests mètodes grnteien que pot ssocir-se de mner únic un punt de l rect cd nomre rel i, recíprocment, un nomre rel cd punt de l rect. Per quest motiu, sol identificr-se l conjunt R m un rect, l qul s'nomen rect rel. Vlor solut L'equivlènci entre punts i nomres permet plicr conceptes geomètrics l càlcul, en prticulr l ide de distànci mitjnçnt el vlor solut d'un nomre. Anomenem vlor solut d'un nomre rel,, l més grn dels nomres i -. El vlor solut de es represent ií:. El vlor solut d'un nomre represent l distànci d'quest l zero. Podem generlitzr quest ide: Anomenem distànci entre dos nomres rels, i, l vlor solut de l sev diferènci: d(,) - - D quest mner podem cotr π entre dos nomres rcionls, que j sem representr, i que estn cd cop més propers. Propietts del vlor solut ) 0 ) - ) + + ) ),688 --,688,688 -,688 Si i tenen el mtei signe l distànci entre i és l diferènci dels vlors soluts i si el signe és diferent, l sum. -,96,96,7,7 d(,)6,89,00,00,86,6 d(,),807 MATEMÀTIQUES A

7 Els nomres rels Intervl tnct: Els etrem pertnyen l intervl. [,] { R / } Intervl oert: Els etrems no pertnyen l intervl. ο (,) { R / < < } Intervl semioert: Un etrem pertny l intervl i l ltre no. ο (,] { R / < } Entorn simètric de : ο ο (-r,+r) { R / r < < + r } Semirect cotd superiorment (-,] { R / } Semirect cotd inferiorment ο (,+ ) { R / < } ο Intervls: segments i semirectes El concepte d'intervl està lligt ls conceptes geomètrics de segment i semirect: un intervl cott equivl un segment i un intervl no cott equivl un semirect. Donts dos nomres rels i, nomenem intervl d'etrems i l conjunt de nomres rels compresos entre mdós. L longitud de l intervl és l distànci(,) - En els intervls cotts depenent de si els etrems hi pertnyen o no, es distingeien els intervls tncts, oerts i semioerts (per l esquerr o per l dret). Si es construei un intervl oert l voltnt d un punt s oté un entorn simètric de i de rdi r, conjunt de nomres rels l distànci dels quls és menor que r. Un intervl no cott és el conjunt formt per tots els nomres mjors (o ), o menors (o ) que un dont,, que n és l cot inferior o superior respectivment. Es representen mitjnçnt un semirect i l sev longitud és infinit. EXERCICIS resolts. Indic el menor dels conjunts numèrics ls que pertnyen els números: ), ) ) 6,0 c) d) ) R (deciml no periòdic) ) Q (deciml periòdic) c) Q (frcció no ect) d) Z (frcció ect negtiv) e) R (rdicl no ecte) f) N (rdicl ecte). El rdi d un circumferènci és de m. Clcul l sev longitud... Truncnt el resultt primer cm i després m. 6 e) f) 6 L π r,888...m 88 cm m.. Arrodonint el resultt primer cm i després m. L π r,888...m 88 cm m. Clcul el vlor solut dels números - i, i l distànci entre ells.. Clcul + - i /.,, dist(,) - -(-) ; ; - - ; / -/ /. Indic quins punts pertnyen l intervl en cd cs:.. Intervl (-7,-]. Punts: ) ) 7 c) Respost:.. Intervl (-,7]. Punts: ) ) 7 c) 76 Respost: i. MATEMÀTIQUES A

8 Els nomres rels. Rdicls Form eponencil Anomenem rrel n-èsim d'un nomre dont, l nomre que elevt n ens dón. 8 por ser 8 n n Un rdicl és equivlent un potènci d'eponent frccionri en l qul el denomindor de l frcció és l'índe del rdicl i el numerdor de l frcció és l'eponent del rdicnd. p n p n Rdicls equivlents Dos o més rdicls es diuen equivlents si les frccions dels eponents de les potències ssocides són equivlents. Dont un rdicl, es poden otenir infinits rdicls equivlents, multiplicnt o dividint l'eponent del rdicnd i l'índe de l'rrel per un mtei nomre. Si es multiplic s'nomen mplificr i si es dividei s'nomen simplificr el rdicl. Un rdicl és irreductile, qun l frcció de l potènci ssocid és irreductile. 6 són equivlents per ser: Amplificr: Simplificr: : : Irreductile per ser mcd(,) EXERCICIS resolts 6. Escriu els següents rdicls com potènci d eponent frccionri: ) ) X 7. Escriu les següents potències com rdicls: ) ) 8. Escriu un rdicl equivlent en cd cs, mplificnt: X ) 6 6 ) 9. Escriu un rdicl equivlent en cd cs, simplificnt: ) : : ) 8 8 :7 8: 7 6 MATEMÀTIQUES A

9 Els nomres rels. Propietts de les rrels Arrel d un producte L rrel n-èsim d un producte és igul l producte de les rrels n-èsimes dels fctors Demostrció: n n n n n n n n n ( ) Arrel d un quocient L'rrel n-èsim d'un quocient és igul l quocient de les rrels n-èsimes del dividend i del divisor. Demostrció: n n n n n n n n n ( ) 8 7 ( ) 7 Arrel d un potènci Per tror l'rrel d'un potènci, es clcul l'rrel de l se i després s'elev el resultt l potènci dond. n p n ( ) p p n p n Demostrció: n n ( ) p p Arrel d un rrel L'rrel n-èsim de l'rrel m-èsim d'un nomre és igul l'rrel n m-èsim del mtei nomre. n m n m Demostrció: n n m m n m n m MATEMÀTIQUES A 7

10 Els nomres rels EXERCICIS resolts 0. Escriu m un únic rrel: ) ) 7 X X. Escriu m un únic rrel: ) ) 7. Escriu m un únic rrel: 7 8 ) ) Opercions m rrels Introduir i Etreure fctors d un rdicl Per introduir un fctor dins d'un rdicl s'elev el fctor l potènci que indic l'índe i s'escriu dins el rdicnd. Si lgun fctor del rdicnd té com eponent un nomre més grn o igul que l'índe, es pot etreure for del rdicl dividint l'eponent del rdicnd entre l'índe. El quocient és l'eponent del fctor que surt for i el residu és l'eponent del fctor que es qued dins. Introduir: 8 Etreure: Clculr rrels Per clculr l'rrel n-èsim d'un nomre, primer en lloc es fctoritz i s'escriu el nomre en form de producte de potències i després s'etreuen tots els fctors que sigui possile. Si tots els eponents del rdicnd són múltiples de l'índe, l'rrel és ect. Aquest tècnic és molt útil per tror rrels ectes. Qun l'rrel no és ect quest tècnic trnsform el rdicl en un epressió més mnejle, més comprensile MATEMÀTIQUES A

11 Els nomres rels Sumes i Restes Dues epressions rdicls són semlnts si tenen el mtei índe i el mtei rdicnd. Per eemple: Només es poden sumr o restr rdicls semlnts. Per fer-ho, triem fctor comú el rdicl corresponent i se sumen o resten els coeficients. De vegdes, podem sumr rdicls, en principi no semlnts, etrient lgun fctor per convertir-los en semlnts. Productes Dues epressions rdicls només es poden multiplicr si tenen el mtei índe. En tl cs, el producte s'efectu de l següent mner: comprovnt l finl si es pot etreure lgun fctor del rdicl. Si els rdicls no tenen el mtei índe, primer es trnsformen en rdicls equivlents que tinguin el mtei índe i després es multipliquen. Eemple: Aquí només veurem rdicls qudràtics. Quocients Dues epressions rdicls es poden dividir només si tenen el mtei índe. En tl cs, el quocient s'efectu tl com es pot veure en l imtge: Si els rdicls no tenen el mtei índe, primer, cl trnsformr-los en rdicls equivlents que tinguin el mtei índe i després es divideien. En l pràctic, no s'hn de deir rdicls en el denomindor i, en lloc de relitzr l divisió d'quest mner, s'utilitz un ltre mètode noment rcionlitzció, que consistei en tror un frcció equivlent que no tingui rdicls en el denomindor. En el qudre djunt s descriu quest mètode qun preien rrels qudrdes. MATEMÀTIQUES A 9

12 Els nomres rels EXERCICIS resolts. Introduei els fctors dintre del rdicl: ) ) ( ) 7 7. Etreu fctors del rdicl: ) 8 ) Clcul les rrels següents: ) 0 ) ( ) Indic quins rdicls són semlnts: 7. Clcul les següents sumes: ) ) Clcul els següents productes: 6 7 ) ) 7 ( ) ( ) Clcul el quocient: MATEMÀTIQUES A

13 Els nomres rels Per prcticr. Considernt 7, com el vlor ecte de 6, escriu les proimcions per defecte, per ecés i els rrodoniments de primer i segon ordre (dècimes i centèsimes, respectivment).. L cint mètric que prei sot té divisions fins mig cm. L utilitzem per mesurr un vret i otenim el vlor que es mostr. Entre quins vlors ectes es tro l longitud rel, suposnt que quest vlor és: ) per defecte; ) per ecés; c) per rrodoniment cm.. Determin els conjunts A B, AUB, A-B i -A en els csos següents:. A [-,-9] B (-,6). A [-,] B (,). A [-,7] B (-,6). Escriu com potènci d eponent frccionri: ) ) c) 6. Escriu com un rdicl: ) ) c) d) d) 7. Etreu tots els fctors possiles dels rdicls següents ) 8 ) 6 c) 9 d) 7 98 c 8. Introduei dintre del rdicl tots els fctors que hi h for. ) ) c) d) 9. Clcul les sumes de rdicls següents: Les proimcions tmé es poden utilitzr m nomres enters. Per generlitzr quest ide frem servir el concepte de ifres significtives: Si un nomre N és un vlor proimt d un ltre nomre P, direm que N té n ifres significtives si les primeres n ifres de N coincideien m les n primeres ifres de P. (No es consideren ifres significtives els zeros que tenen per únic finlitt situr l com deciml). L definició nterior és forç intuïtiv, però no sempre és correct del tot, per iò hem de precisr un mic més: Direm que N té n ifres significtives si el nomre formt m les n primeres ifres de N diferei del nomre formt m les n primeres ifres de P (eliminnt les comes decimls si en té) en menys de 0,. ) 0 ) c) d) Relitz les opercions següents: ) ( ) ) ( 7 + ) c) ( + ) d) ( + ) ( ). Ens diuen que l polció d un ciutt és de hitnts i que les primeres ifres d quest quntitt són significtives. Entre quins vlors es tro relment l polció de l ciutt?. Relitz les divisions de rdicls següents : ) 6 ) 7 y y MATEMÀTIQUES A

14 Els nomres rels Per ser-ne més Qüestions sore pi A l presentció de l unitt s esmentv que el vlor de pi er,,,6,... i es plntejven un sèrie de preguntes l respecte: Quin dels nomres nteriors és l utèntic nomre pi? Segons hs vist l llrg de l unitt, en relitt cp dels nomres nteriors són el vlor ecte de pi, es trct d proimcions l nomre, i posr més o menys decimls depèn de l precisió que necessitem en l mesur. Com és possile que nomenem pi totes si és ovi que són diferents? El fet que nomenem pi qulsevol dels nomres nteriors és degut què és impossile utilitzr el vlor ecte de l mjori dels nomres irrcionls, per l qul cos hem de donr proimcions l seu vlor. Com j s h dit ns, el nomre de ifres decimls m què escrivim quest nomre dependrà de l precisió de mesur desitjd, i el fet que, per eemple, l qurt ifr deciml sigui un 6 en,6 i un en,9 és degut que l proimció es f en cd cs per rrodoniment i, m qutre ifres decimls,,6 està més proper l vlor ecte que,. Alguns nomres irrcionls, com l rrel qudrd de, sí es poden representr en form ect, però si quest quntitt l volem mesurr l pràctic, no ens quedrà més remei que donr un vlor proimt m l precisió que desitgem. Com és possile que encr s estiguin descorint ifres de pi si l estem fent servir des de f un pil d nys? Els nomres irrcionls tenen infinites ifres decimls que no es repeteien de mner periòdic. Per tror questes ifres eisteien diferents procediments o lgoritmes. Alguns d quests lgoritmes són reltivment senzills, com el que s utilitz per otenir les ifres decimls de l rrel qudrd de (que ntigment s ensenyv l escol primàri); ltres, en cnvi, són molt llrgs i compleos. El nomre pi està en quest segon grup. Actulment els lgoritmes per el càlcul de ifres decimls de pi s eecuten m potents ordindors. Quin és o quin podri ser l últim ifr del nomre pi? Com s h dit ns, els nomres irrcionls tenen infinites ifres decimls, per tnt no eistei l últim ifr del nomre pi. Com, més més, les seves ifres no es repeteien de mner periòdic, no es pot predir per endvnt quin ifr serà l que ocupi un lloc determint fins que s consegueii clculr. MATEMÀTIQUES A

15 Record el més importnt Els nomres rels Els nomres rels Els nomres irrcionls són els decimls no periòdics. El conjunt R dels nomres rels està formt per tots els nomres rcionls i irrcionls. Aproimcions Per representr decimls infinits utilitzrem proimcions per defecte i per ecés, truncments i rrodoniments. Tots els nomres rels, o sigui els rcionls i els irrcionls, es poden representr mitjnçnt un punt de l rect i l inrevés, cd punt de l rect li correspon un nomre rel. Propietts dels rdicls Arrel n-èsim Rdicls equivlents Eponent frccionri Rdicls semlnts Són rdicls m el mtei índe i el mtei rdicnd; només poden ser diferents en el seu coeficient. L rect rel El vlor solut d'un nomre, és el nomre prescindint del signe. L distànci entre dos punts i és el vlor solut de l sev diferènci - Intervls: segments i semirectes Intervl tnct [,] Intervl oert (,) Intervl semioert (,] ó [,) Intervl no cott, com [,+ ) o (-,) MATEMÀTIQUES A

16 Els nomres rels Autovlució. Indic el menor conjunt numèric l qul pertny el nomre, Un mill ngles mesur 609, m. Arrodonei km 7 milles.. Am l clculdor, escriu l rrodoniment i el truncment les mil lèsimes de. Escriu l intervl [-, ] (, 8).. Clcul el vlor de l rrel: Escriu en form de potènci d eponent frccionri: 0 7. Introduei el fctor en el rdicl: 6 8. Etreu fctors del rdicl: 9. Clcul: Clcul i simplific: 0 y 9 y MATEMÀTIQUES A

17 Els nomres rels Solucions dels eercicis per prcticr. ) De primer ordre: Per defecte: 7, Per ecés: 7, Arrodoniment: 7, ) De segon ordre: Per defecte: 7,8 Per ecés: 7,9 Arrodoniment: 7,8. ) Entre,00 i,0 m ) Entre,09 i,00 m c) Entre,09 i,0 m. Entre 7800 i 7900 m un cot d error de 00 hitnts.. Cs ) A B uit ) A B ) A B [, 9] (,6) A [, 9] ) A (, ) ( 9, + ) Cs ) A B (,) ) A B ) A B [,] [,] [,] ) A (, ) (, + ) Cs ) A B [,6) ) A B ) A B [,7] [ 6,7] ) A (, ) (7, + ). ) c) ) d) 6. ) ) c) d) 7. ) ) c) d) 7 c c 8. ) ) c) 8 d) 7 9. ) ) c) 7 d) 0. ) 6 ) + 0 c) d). ) ) y Solucions AUTOAVALUACIÓ. Q (deciml periòdic). km. rrod.:,8 trun.:,8. (,]. (78 7 ) No olidis lliurr les ctivitts l tutor 0. 7 y 7 MATEMÀTIQUES A

18 6 MATEMÀTIQUES A