EJERCICIOS DE REPASO ESTADÍSTICA 2018

Transcripción

1 residuos EJERCICIOS DE REPASO ESTADÍSTICA En la siguiente tabla se muestran los resultados de un ensayo clínico para estudiar la confiabilidad de una prueba sanguínea de embarazo realizado en 99 mujeres, 85 de las cuales estaban embarazadas y 14 no: Resultado de la prueba Embarazadas (E) No embarazadas (NE) Total Positivo Negativo Total a) Estime la probabilidad de que al elegir al azar una mujer de la población de la cual se obtuvo la muestra: el resultado de la prueba fue negativo. el resultado de la prueba fue positivo y la mujer estaba embarazada. habiendo dado la prueba resultado positivo, la mujer estaba embarazada. b) Las siguientes frecuencias relativas estiman a la probabilidad de un suceso. Explicite en palabras del problema el suceso en cada caso: 11/99 11/16 80/85 c) Si se eligen tres mujeres al azar cuál es la probabilidad de que sólo una esté embarazada? 2.- Se midieron los niveles de fósforo en el agua de 4 lagos que se sospecha están contaminadas por los compuestos fosforados procedentes de una industria. Para tratar de verificar si la contaminación es la misma en los 4 lagos, se midieron los niveles de fósforo en 5 puntos de cada uno de ellos, obteniéndose los siguientes valores en mg/l: Lago a) Enuncie la hipótesis nula a ensayar. b) Especifique qué supuesto se corrobora con el siguiente gráfico y concluya lago c) Complete el siguiente cuadro ANOVA FV SC GL CM F p-asociada Lagos Error Total

2 d) Exprese la conclusión respecto de la hipótesis formulada en a) en palabras del problema. e) Se debe efectuar un test de comparaciones múltiples? Justifique su respuesta. 3.- En un estudio sobre la cantidad de pesticida residual en frutas provenientes de America Latina, se tomaron 15 manzanas de Brasil y se les determinó el contenido de Fenitrothion. Los datos se presentan a continuación (en mg/kg): a) Calcule la media, el desvío estándar, el coeficiente de variación, la mediana y el rango intercuartil. b) Represente los datos mediante un gráfico adecuado. c) El límite de la Unión Europea para pesticidas está en 0.01 mg/kg. Existen evidencias suficientes para suponer que la cantidad de Fenitrothion en las manzanas lo supera? Suponga que la variable se distribuye normalmente. Concluya con un nivel de significación del 5%. Informe el valor de la estadística básica del test y el de probabilidad asociada. d) En una muestra de 45 manzanas provenientes de Chile se encontraron 6 frutos con un contenido de Fenitrothion superior al límite de la Unión Europea. Estime a través de un intervalo del 99% de confianza la proporción de manzanas provenientes de Chile que no satisfacen este requisito. 4.- Investigadores estudian la capacidad antioxidante de las frambuesas salvajes. En una muestra de frambuesas observan los siguientes valores de la capacidad reductora férrica del plasma FRAP (ferric reducing ability of plasma) en μmol/l.: a) Realice un informe descriptivo de los datos obtenidos informando el valor de media aritmética, variancia, coeficiente de variación y rango. Interprételas en palabras del problema. b) En dicho informe incluya un gráfico adecuado de los datos y un breve comentario de las características de la distribución. c) Obtenga una estimación por intervalo de confianza al nivel 90% para el FRAP promedio. d) Suponga que la variable en estudio tuviera distribución normal con promedio μ = 15 μmol/l y desviación estándar = 3 μmol/l. 1. Calcule la probabilidad de obtener un valor de esa variable mayor que 11 μmol/l y menor o igual a 16 μmol/l. 2. Calcule la fractila del 60% de la distribución de probabilidad de la variable. 3. Calcule la probabilidad de obtener un valor de media aritmética de 30 valores de FRAP mayor o igual que el hallado en el presente estudio. 5.- Para estudiar si un método para la determinación de ph, ya puesto bajo control estadístico, sigue estándolo, se hicieron 20 determinaciones reiteradas (una por día), en una solución de la que se sabe tiene un promedio igual a 7.40 y una desviación estándar de 0.03, obteniéndose los siguientes valores:

3 Concluya si el proceso de medición siguió bajo control en el lapso considerado. 6.- En un programa de Control de Enfermedades Crónicas, la hipertensión está incluida como la primera patología a controlar. Catorce pacientes hipertensos fueron incluidos en el programa, midiendo su tensión sistólica (mm Hg) antes y después de 6 meses de tratamiento. Los datos obtenidos fueron los siguientes: Inicial Final a) Podemos concluir que el tratamiento es efectivo con un α = 0.05? Utilice una prueba paramétrica. b) Qué supuesto/s debió probar para que el procedimiento utilizado en el item a) sea válido? 7.- Se cuenta con dos test para detectar la presencia de cierto tipo de contaminantes en peces de un lago, se tomó una muestra de 90 peces del lago. De los 50 peces que se evaluaron con el test A, en 42 se detectó presencia de contaminantes y en 35 de los evaluados con el test B. Con un nivel de significación del 5% puede concluirse que ambos tests son igualmente efectivos en la detección de contaminantes? a) Identifique el factor en estudio y sus niveles. b) Concluya en palabras del problema informando el valor de la estadística básica y el de la probabilidad asociada. 8.- El presente trabajo tuvo como objetivo estudiar si el tratamiento térmico poscosecha influye sobre la calidad de duraznos a través de la determinación de la concentración de glucosa. Se asignaron al azar frutos de durazno a dos formas de almacenamiento durante 72 horas, temperatura ambiente o tratamiento térmico. a) Identifique el factor y sus niveles. b) En base al análisis exploratorio, podría concluir que la variable en estudio para cada nivel se distribuye normalmente? Justifique. c) Para cumplir con la finalidad del estudio, qué técnica emplearía? d) Formule las hipótesis a ensayar. Realice el ensayo que corresponda. Trabaje con un nivel de significación del 5%. e) Exprese las conclusiones en palabras del problema. Glucosa (g/100g) Temperatura ambiente Tratamiento térmico

4 porcentaje porcentaje Gráfico de Probabilidad Normal Gráfico de Probabilidad Normal glucosa (temperatura ambiente) glucosa (trat térmico) 9.- Se recomienda la lectura del trabajo Compuestos inhibidores del sistema PhoP/PhoQ de Salmonella entérica y responda el cuestionario adjunto. En dicho trabajo se hace referencia a algunas técnicas que no se han mencionado en el cursado debido a que no pertenecen al programa de la asignatura (test de Bartlett y test de Shapiro-Wilks). I) Compare las medidas individuales correspondientes a los compuestos inhibidores C1 y C4 a través de un box-plot múltiple y justifique cada una de sus respuestas a las siguientes preguntas: a) Cuál de las dos distribuciones presenta mayor variabilidad? b) Cuál de los compuestos presenta menor variabilidad en el 50% de las mediciones centrales? c) Para qué compuesto el valor de la media aritmética es más representativo, como medida de posición, que la mediana? Interprétela en palabras del problema. d) Cuál es la medida de dispersión que acompaña a la media aritmética? Interprétela para el compuesto señalado en el ítem c), en palabras del problema. e) Qué representa en palabras del problema el valor Unidades Miller para el compuesto C1? f) Cuál es el valor de actividad de beta galactosidasa, tal que el 75 % de las medidas para el compuesto C4 son mayores o iguales a él? g) En base a este análisis exploratorio, podría concluir que la variable en estudio correspondiente al C4 se distribuye normalmente? II) Con las medidas individuales correspondientes a los 8 niveles del factor en estudio se llevó a cabo un Análisis de la Variancia: a) Enuncie los supuestos que deben cumplirse para la aplicación de la técnica del Análisis de la Variancia. b) Mediante qué gráficos se verifican dichos supuestos? c) En el mencionado trabajo, qué supuesto se prueba gráficamente? d) Escriba la ecuación modelo de las observaciones. Explique en palabras del problema cada uno de los símbolos que utilice. e) Cuál es la hipótesis nula a ensayar de acuerdo al objetivo propuesto? f) Complete el cuadro ANOVA. g) Justifique el valor del p-value. Por qué se rechaza la hipótesis nula? h) De acuerdo al test de comparaciones múltiples, cuál es su conclusión en palabras del problema sobre el compuesto C5 con respecto a los restantes compuestos? 4

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7 RESPUESTAS 1.- a) P(-) = 16/99 = P(- y E) =80/99 = P(E/+) = 80/83 = b) Que al elegir al azar una mujer de la población de la cual se extrajo la muestra: - no estaba embarazada y la prueba dio resultado negativo - habiendo dado la prueba resultado negativo la mujer no estaba embarazada - estando la mujer embarazada la prueba dio positivo c) P(E NE NE ó NE E NE ó NE NE E) = 3 85/99 (14/99) 2 = 3 x x (0.1414) 2 = = a) H 0 ) μ 1 = μ 2 = μ 3 = μ 4 = μ Ó H 0 ) α 1 = α 2 = α 3 = α 4 = 0 b) Se corrobora el cumplimiento del supuesto de igualdad de variancias. c) FV SC GL CM F p-asociada Lagos ó > 0.05 Error Total d) El promedio de fósforo en el agua de los cuatro lagos no difiere significativamente (p>0.05ó p=0.2599). e) No se debe efectuar un test de comparaciones múltiples porque no se rechaza H 0 ). 3.- a) Media aritmética: mg/kg, desvío estándar: mg/kg, mediana: mg/kg, coeficiente de variación: % y rango intercuartil: mg/kg b) Distribución de la cantidad de Fenitrothion (mg/kg) en manzanas de Brasil (X 0.001) Fenitrothion (mg/kg) 7

8 Frecuencia Fenitrothion (mg/kg) (X 0.001) Distribución de la cantidad de Fenitrothion (mg/kg) en manzanas de Brasil c) H 0 ) μ = 0.01 H 1 ) μ > 0.01 P(EI)=0.05 t observada = p_asociada: Se rechaza H 0 ). Existe evidencia para concluir que la cantidad de pesticida residual en las manzanas de Brasil supera el límite de la UE (p= ó p<0.05) d) IC 99% = (0.0028; ). Se estima con un 99% de confianza que el intervalo (0.0028; ) contiene a la verdadera proporción de manzanas chilenas que superan el límite establecido por la Unión Europea. 4.- a) Media aritmética: μmol/l, desvío estándar: μmol/l Coeficiente de variación: % y rango: 8.1 μmol/l En promedio cada frambuesa salvaje presentó un valor de capacidad reductora férrica del plasma de μmol/l. Los valores de esa variable se desvían en promedio de la media aritmética en μmol/l y varían en un rango de 8.1 μmol/l. La desviación estándar representa el 16.07% de la media. b) Distribución de la cantidad de la capacidad reductora férrica del plasma (μmol/l) en frambuesas salvajes FRAP (umol/l) 8

9 X La distribución de la variable es simétrica, está centrada aproximadamente en 15 μmol/l, no hay mediciones muy alejadas del valor central y no hay gran dispersión en los valores obtenidos. c) IC (14.68 μmol/l, μmol/l) Con una confianza del 90% el intervalo (14.68 μmol/l, μmol/l) contiene al promedio de FRAP. d) 1. P 11 x 16 P 1.33 z x 15 P x x 0.60 P z z P z z 0.25 x P x P z P z X = ph Nº orden de la medición (día) El proceso de medición de ph no siguió bajo control en el lapso considerado (ya que el día 12 el valor está por debajo del límite de acción inferior y además a partir del día 16 se observa un cambio en el promedio). 6.- x: tensión sistólica n =14 pacientes hipertensos Muestras dependientes Factor: Tratamiento Niveles: antes (A) y después de 6 meses (D) a) H 0 ) μ A - μ D = 0 H 1 ) μ A - μ D > 0 μ d = 0 μ d > 0 d sd=23.05 t observada = 2.26 p-asociada = Se rechaza H 0 ) El tratamiento es efectivo en pacientes hipertensos (p-asociada = ó p<0.05) 2 b) Se debió probar que d N 0, d 9

10 7.- a) Factor: tests Niveles: A y B Muestras independientes b) H 0 ) P A (C) = P B (C) H 1 ) P A (C) P B (C) H 0 ) P A (C) - P B (C) = 0 H 1 ) P A (C) - P B (C) 0 h A = 42/50 = 0.84 h B = 35/40 = h = 77/90 = z observada = p-asociada = 2 x = > 0.05 Ambos tests para detectar la presencia de cierto tipo de contaminantes son igualmente efectivos (p = ó p > 0.05) 8.- a) Factor: tratamiento poscosecha. Niveles: temperatura ambiente; tratamiento térmico b) Puede suponerse distribución normal para glucosa en ambos niveles. c) Comparación de dos promedios de dos poblaciones normales para muestras independientes. d) H 0 ) σ 2 TA = σ 2 TT H 1 ) σ 2 TA > σ 2 TT Fobs= 4.76 p Variancias desconocidas supuestamente distintas. H 0 ) µ TA = µ TT H 1 ) µ TA µ TT f 13 t obs = < p asoc < I) C1 C Actividad b-galactosidasa (U.Miller) a) C1 b) C4 c) C4 Para el compuesto 4 (C4) la actividad promedio de β-galactosidasa es U. Miller. 10

11 d) Desvío estándar: en promedio los valores de la actividad de β-galactosidasa se desvían de la media aritmética en U. Miller. e) La mitad de las determinaciones de la actividad de β-galactosidasa para el C1 son menores o iguales a U. Miller. f) U. Miller g) Como la distribución es aproximadamente simétrica y la media y mediana son muy parecidas se podría concluir que la actividad de β-galactosidasa para el C4 tiene distribución normal. II) 2 a) ij NI 0, b) El supuesto de normalidad se verifica con el gráfico de probabilidad normal de los residuos, y el supuesto de variancia constante, con el gráfico de residuos para los niveles del factor en estudio. c) Se presenta el gráfico de probabilidad normal de los residuos para justificar el cumplimiento del supuesto de normalidad. d) yij i ij i ij y ij : j-esimo valor de la actividad de β-galactosidasa para el compuesto i-ésimo μ: verdadero valor de la actividad de β-galactosidasa promedio α i : efecto del i-ésimo compuesto ε ij : error aleatorio correspondiente a la j-ésima observación con el i-ésimo compuesto μ i : verdadero valor de la actividad de β-galactosidasa promedio para el i-ésimo compuesto e) H 0 ) μ 1 = μ 2 = = μ 8 = μ ó H 0 ) α 1 = α 2 =.= α 8 = 0 f) Source Sum of Squares Df Mean Square F-Ratio P-Value Between groups Within groups Total (Corr.) 4.00E g) Como p-value es menor que el nivel de significación, existe una gran evidencia para rechazar la H 0 ), es decir existe un efecto altamente significativo del factor en estudio, la actividad promedio de β-galactosidasa difiere para al menos 1 de los 6 compuestos, control positivo y/o control negativo. h) El valor promedio para C5 no difiere del correspondiente a C6, pero difiere de todos los demás: C1, C2, C3, C4, (-) y Mg2+. 11