AREA MOJADA DE UN CONDUCTO CIRCULAR. La ecuación general de la circunferencia en el plano cartesiano es de la forma:

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Fabian Perez
hace 5 años
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1 AREA MOJADA DE UN CONDUCTO CIRCULAR La ecuación general de la circunferencia en el plano cartesiano es de la forma: (xx ) + (yy kk) = rr Ec 1 Ubicando el origen del plano cartesiano en un extremo de la circunferencia y alineando el diámetro con el eje de las abscisas se tienen los siguientes valores algebraicos: y = kk = 0 x rr = Reemplazando estos valores algebraicos en la Ec 1: (xx ) + (yy kk) = rr Reemplazando: xx + (yy 0) = Reduciendo: xx + yy = Despejando: yy = xx Hallando raíz cuadrada: y yy = ± xx x fabedupeper@gmail.com Página 1 de 14

Tomando la parte positiva del radical correspondiente al semicírculo ubicado en el primer cuadrante del plano cartesiano: yy = xx = ff(xx) Ec El área bajo la curva desde el punto de inicio asta una

2 Tomando la parte positiva del radical correspondiente al semicírculo ubicado en el primer cuadrante del plano cartesiano: yy = xx = ff(xx) Ec El área bajo la curva desde el punto de inicio asta una distancia equivale a la mitad del área mojada del conducto circular: = ff(xx)dddd oo Ec 3 y = ff(xx)dddd oo x Reemplazando Ec en Ec3: Sustituyendo = ff(xx)dddd oo = xx dddd oo Ec 4 Para resolver esta integral se utiliza el método de integración trigonométrica, asumiendo un triángulo rectángulo donde el cateto opuesto es xx y la ipotenusa es, por lo tanto: Despejando Ec 5: sin θθ = xx Ec 5 sin θθ = xx Ec 6 fabedupeper@gmail.com Página de 14

3 Realizando derivadas parciales en Ec 6: Reemplazando Ec 6 y Ec 7 en Ec 4: cos θθ dddd = dddd Ec 7 Factorizando: = xx dddd = sin θθ dddd = ssssss θθ cos θθ dddd = [1 ssssss θθ] cos θθ dddd Ec 8 Recordando la identidad trigonométrica: Reemplazando Ec 9 en Ec 8: 1 ssssss θθ = cccccc θθ Ec 9 Hallando raíz cuadrada: = [1 ssssss θθ] cos θθ dddd = [cccccc θθ] cos θθ dddd = cos θθ cos θθ dddd fabedupeper@gmail.com Página 3 de 14

4 = cccccc θθ dddd = 4 cccccc θθ dddd Ec 10 Teniendo en cuenta la identidad trigonométrica: Reemplazando Ec 9 en Ec 11: cos θθ = cccccc θθ ssssss θθ Ec 11 Sumando: Dividiendo: Reordenando: cos θθ = cccccc θθ ssssss θθ cos θθ = cccccc θθ (1 cccccc θθ) cos θθ = cccccc θθ 1 + cccccc θθ 1 + cos θθ = cccccc θθ 1 + cos θθ = cccccc θθ cccccc θθ = cos θθ Ec 1 Reemplazando Ec 1 en Ec 10: Sustituyendo Resolviendo la integral 1 : = 4 cccccc θθ dddd = cos θθ dddd = 4 1 θθ + 1 sin θθ 4 Reemplazamos la identidad trigonométrica: sin θθ = sin θθ cos θθ 1 Ver Apéndice 1 fabedupeper@gmail.com Página 4 de 14

5 Factorizando: = 4 1 θθ + 1 sin θθ cos θθ 4 = 4 1 θθ + 1 sin θθ cos θθ = 4 1 [θθ + sin θθ cos θθ] = [θθ + sin θθ cos θθ] 8 Ec 13 Utilizando la Ec 6: Dividiendo: sin θθ = xx sin θθ = xx sin θθ = xx sin θθ = xx 1 Ec 14 Teniendo en cuenta el teorema de Pitágoras: aa + bb = cc Utilizando el triángulo de la sustitución trigonométrica, Donde: cc = iiiiiiiiiiiiiiiiii = aa = cccccccccccc oooooooooooooo = xx bb = cccccccccccc aaaaaaaaaaaaaaaaaa Determinamos el valor del cateto adyacente: aa + bb = cc fabedupeper@gmail.com Página 5 de 14

6 xx + bb = Despejando: bb = xx Haciendo producto notable: bb = xx xxxx + Hallando raíz cuadrada: bb = xx + xxxx bb = xxxx xx bb = [xxxx xx ] Ec 15 Utilizando Ec 15, se calcula el cos θθ de la siguiente manera: Separando: Ampliando: cos θθ = cccccccccccc aaaaaaaaaaaaaaaaaa = bb iiiiiiiiiiiiiiiiii cc = [xxxx xx ] cos θθ = [xxxx xx ] cos θθ = [xxxx xx ] cos θθ = 1 [xxxx xx ] cos θθ = 1 [xxxx xx ] Multiplicando radicales: cos θθ = 1 (xxxx xx ) fabedupeper@gmail.com Página 6 de 14

7 Simplificando y agrupando: cos θθ = xxxx xx cos θθ = xx xx Ec 16 Usando Ec 14, se despeja θθ: Despejando: sin θθ = xx 1 θθ = sin 1 xx 1 Ec 17 Usando Ec 13, reemplazándole Ec 14, Ec 16 y Ec 17, y evaluando la solución de la integral Ec 4 desde 0 asta : = 8 [θθ + sin θθ cos θθ] 0 = 4 [θθ + sin θθ cos θθ] 0 = 4 sin 1 xx 1 + xx 1 xx xx = 4 sin 1 xx 1 + xx 1 xx xx Ec 18 Reemplazando xx = 0 en Ec 18 se obtiene: 0 0 = 4 sin fabedupeper@gmail.com Página 7 de 14

8 = 4 [sin 1 ( 1)] = 4 ππ Ec 19 Reemplazando xx = en Ec 18 se obtiene: = 4 sin Reemplazando Ec 19 y Ec 0 en Ec 18: Ec 0 = 4 sin 1 xx 1 + xx 1 xx xx = 4 sin ππ 0 Se obtiene la fórmula para el área mojada de un conducto circular, conociendo el diámetro del conducto y la altura del nivel del agua dentro del conducto: = 44 ssssss Fórmula ππ En el apéndice se calcula el volumen de agua dentro de un cilindro acostado, utilizando la fórmula 1 y el largo del cilindro. fabedupeper@gmail.com Página 8 de 14

9 PERÍMETRO MOJADO DE UN CONDUCTO CIRCULAR Se parte de Ec : yy = xx = ff(xx) Ec 1 Utilizando la fórmula para el cálculo de la longitud de una curva y teniendo en cuenta que se calcula la longitud de curva de la mitad del círculo que se encuentra en el primer cuadrante, la longitud de curva quedaría expresada de la siguiente manera: PP = 1 + [ff (xx)] dddd 0 Ec Calculamos la integral definida, para lo cual utilizaremos Ec 1: ff(xx) = xx Expresando en potencia: ff(xx) = xx 1 Derivando: ff (xx) = 1 ff (xx) = xx xx 1 xx xx 1 Elevando al cuadrado: Resolviendo potencias: [ff (xx)] = xx xx 1 fabedupeper@gmail.com Página 9 de 14

10 Propiedad de potencias: Sumando 1: Sumando fracción: Hallando raíz cuadrada: Separando radical: Hallando raíz cuadrada: Integrando: [ff (xx)] = xx xx xx [ff (xx)] = xx xx 1 + [ff (xx)] = 1 + xx 1 + [ff (xx)] = xx + xx xx 1 + [ff (xx)] = xx 1 + [ff (xx)] = xx 1 + [ff (xx)] = xx 1 + [ff (xx)] = xx 1 + [ff (xx)] dddd = dddd xx 1 fabedupeper@gmail.com Página 10 de 14

11 Usando Ec 6 y Ec 7 en la integral: sin θθ = xx cos θθ dddd = dddd 1 + [ff (xx)] dddd = dddd sin θθ Sustituyendo y factorizando: 1 + [ff (xx)] dddd = cos θθ dddd [1 ssssss θθ] Aplicando Ec 9: 1 + [ff (xx)] dddd = cos θθ dddd [cccccc θθ] Hallando raíz cuadrada: Integrando: 1 + [ff (xx)] dddd = cos θθ 1 + [ff (xx)] dddd = dddd 1 + [ff (xx)] dddd = θθ cos θθ dddd Reemplazando Ec 17: θθ = sin 1 xx [ff (xx)] dddd = sin 1 xx 1 Reemplazando en Ec : fabedupeper@gmail.com Página 11 de 14

12 Sustituyendo PP = 1 + [ff (xx)] dddd 0 PP = sin 1 xx 1 0 Reemplazando Ec 3 cuando xx = 0: PP = sin 1 xx 1 0 Ec 3 P = Dsin P = sin 1 ( 1) Reemplazando Ec 3 cuando xx = : PP = ππ Ec 4 P = D sin 1 1 Ec 5 Reemplazando Ec 4 y Ec 5 por los límites en Ec 3: PP = Dsin 1 1 ππ Se obtiene la fórmula para el perímetro mojado de un conducto circular conociendo el diámetro del conducto y la altura del nivel del agua dentro del conducto: PP = ssssss ππ fabedupeper@gmail.com Página 1 de 14

13 APÉNDICE 1 11 cccccc dddd Utilizando la siguiente sustitución: Derivando implícitamente: Dividiendo: uu = θθ dddd = dddd dddd = dddd Realizando el cambio de variable en la integral: Integrando: Reemplazando: 1 cos θθ dddd = 1 cos uu dddd 1 cos θθ dddd = 1 cos uu dddd 4 1 cos θθ dddd = 1 cos uu dddd 4 1 cos θθ dddd = 1 ssssss uu + CC 4 11 cccccc dddd = 11 ssssss + CC 44 fabedupeper@gmail.com Página 13 de 14

APÉNDICE VOLUMEN DE AGUA DENTRO DE UN CILINDRO ACOSTADO En el caso del cilindro con agua en su interior como se indica en la figura, se desea determinar el volumen del agua conociendo el diámetro

14 APÉNDICE VOLUMEN DE AGUA DENTRO DE UN CILINDRO ACOSTADO En el caso del cilindro con agua en su interior como se indica en la figura, se desea determinar el volumen del agua conociendo el diámetro interno, el largo del cilindro, y la altura de la columna de agua. Denominando LL el largo del cilindro, el diámetro interno, la altura de la columna de agua y utilizando la fórmula 1: Reemplazando: VVVVVVVVVVVVVV = VV = LL VV = LL 44 ssssss ππ fabedupeper@gmail.com Página 14 de 14

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