INTRODUCCIÓN A LA ELECTROACÚSTICA

Transcripción

1 INTRODUCCIÓN A LA ELECTROACÚSTICA Fdri Miyr. Intrduión L ltrústi s up dl studi, nálisis, disñ y pliins d dispsitivs qu invlurn l nvrsión d nrgí létri n ústi y vivrs, sí m d sus mpnnts sids. Entr ls primrs s nuntrn ls trnsdutrs, tls m miróns, lrómtrs, ltvs, xitdrs d mprsión, uriulrs, udíns, librdrs ústis y vibrdrs; y, ntr ls sgunds, ls iltrs ústis, ls sndltrs (bls), ls bins y ls pldrs ústis. Pr l nálisis d sts mpnnts s intrduirán ténis d mdld pr mdi d iruits mánis y ústis, qu pdrán rslvrs n ls ténis hbituls d l trí d rds létris.. Mdls iruitls Ls iruits létris stán rmds pr divrss mpnnts létris intrntds, pr mpl rsistrs, ndnsdrs, indutrs, unts d tnsión y rrint y trnsrmdrs. El mprtmint xtrn d un iruit létri pud dsribirs pr mdi d ls vlrs qu sumn n dirnts punts dl iruit ds tips d vribls: l tnsión y l rrint. El mprtmint d d mpnnt individul stá dtrmind pr uins lgbris dirnils qu rlinn ntr sí un más tnsins y un más rrints, n tnt qu l intrnxión ntr lls stá gbrnd pr ls lys d Kirhh. L mbinión d ls uins individuls pr mdi d ls lys d Kirhh prprin un sistm d uins dirnils qu, un vz rsult, prmit nr l std d régimn d td l iruit. L intrduión dl álul simbóli pr Hvisid y su rmlizión trvés d l trnsrmión d Lpl hn prmitid rmplzr ls uins dirnils pr uins lgbris uy rsluión s prst dmirblmnt bin l nálisis runil, qu s n muhs ss d myr imprtni qu l nálisis tmprl. Un grn vnt dl nqu iruitl s qu, un vz dmind l téni, s psibl plntr ls uins pr simpl inspión. Otr vnt s qu l lrg dl timp s hn dsrrlld innumrbls hrrmints qu prmitn simpliir l nálisis y rsluión d ls divrss iruits sí m btnr inrmión útil sin nsidd d su rsluión mplt. Un situión similr pud plntrs n trs tips d sistms ísis, m ls mánis, ls ústis, ls térmis, t. Existn divrss rmlisms pr l mdlizión d sistms gnrls, pr mpl ls digrms d blqus, ls grs y ls digrms d nl (bnd grphs). L pliión dl npt d iruit l ltrústi, dsrrlld ntinuión, tin l vnt d llvr l lngu prpi d l ingnirí ltróni l nálisis d mpnnts y sistms n létris qu intrtún n ls blqus uninls típis dl prsmint létri ltróni d sñls d udi (mpliidrs, iltrs, t.).

2 .. Ciruits mánis Un sistm máni stá rmd, n gnrl, pr mpnnts lmntls qu s nudrn n un d sts tgrís: ms, rsrt, riión y pln., Pr pdr rprsntr sts mpnnts dntr d un iruit máni s pris slinr dudmnt ls vribls qu sustituirán l tnsión y l rrint. Ls vribls trdiinls n l máni sn l urz y l psiión; prrí, pr nsiguint, qu sts vribls pdrín sr prpids pr su us n un iruit máni. Sin mbrg, pr qu l quivlni ntr ls iruits létris y mánis s más mplt, srí dsbl qu ls rlins d ptni s mntuvirn. Así, n l s létri, l ptni W ntrgd un mpnnt l qu s pli un tnsión V y pr l qu irul un rrint I, s l prdut d l tnsión pr l rrint: W V I. () Si l urz plid un mpnnt máni s F y su psiión, X, n mbi, l ptni ntrgd n s l prdut d l urz pr l psiión, sin l prdut d l urz pr l vlidd U: 3 W m F U. () Dbid qu l rlión ntr l psiión y l vlidd s un simpl drivd, s snill xprsr tds ls rlins d l máni n términs d l urz y l vlidd n lugr d l urz y l psiión. Pr mpltr l nlgí rst didir uál d ls vribls mánis rmplzrá l tnsión y uál l rrint. Existn ds psibilidds. L primr, dnmind nlgí tip impdni s: V F I U (3) L sgund, l nlgí tip mvilidd, rrspnd V U I F (4) En prinipi ulquir d ls ds psibilidds s igulmnt ptbl. D hh, un sin slir dl dmini d l ltriidd, s psibl intrmbir ls tnsins y ls rrints, btniénds un iruit dul n l qu ls prlls s nvrtirán n sris y vivrs, ls nuds s trnsrmrán n buls y vivrs y ls indutnis s trnsrmrán n pidds y vivrs. Est dulidd s h prvhd n vnt, pr mpl, pr trnsrmr iltrs psbs n pslts y vivrs. L dpión d un u tr d ls psibls nlgís trmin sind un ustión d prrni prsnl. Brnk, pr mpl, sugir qu l urz dbrí rrspndr l rrint y l vlidd l tnsión, dd qu s psibl mdir l vlidd sin intrrumpir l iruit, l ul tmbién nt n l tnsión létri, y, n mbi 3 El términ pln stá utilizd quí n rm gnrl, inluynd trs máquins simpls. Cd un d sts tips d mpnnts pud prr tmbién n su rm rttiv. Utilizms l ltr U pr simblizr l vlidd pr vitr qu s nund n l tnsión V.

3 n s psibl mdir l urz sin intrpnr un lmnt (dinmómtr), d l mism mnr qu n s pud mdir l rrint sin brir l iruit pr intrpnr un mprímtr (Brnk, 96). Est bsrvión, hh n 954, h prdid vigni, pr unt hy s psibl mdir l rrint pr mdi d trnsrmdrs d intnsidd (pinz mprmétri) y s psibl mdir l urz trvés d ls drmins, utiliznd dispsitivs strin gug. Prrims l nlgí d impdni, y qu l urz s ísimnt más ín l ptnil, mintrs qu, dl mism md qu l rrint s un lu d rg, l vlidd s un lu d mtri. En l qu sigu studirms d un d ls mpnnts mánis itds y mstrrms l rm n qu pudn rprsntrs m lmnts d iruits.... Ms máni L uión qu gbirn l mprtmint dinámi d un ms m s l sgund ly d Nwtn, (t) m (t). (5) dnd s l urz nt qu tú sbr l ms y s l lrión qu ést xprimnt. 4 Pr btnr un mdl iruitl dbms xprsr st ly n términs d l urz y l vlidd, l ul pud nsguirs tnind n unt qu l lrión s l drivd d l vlidd. Rsult: Est uión s rmlmnt nálg (t) m u'(t). (6) v(t) L i'(t), (7) l ul sugir l nlgí ntr l ms máni y l indutni létri. Aplind l trnsrmión d Lpl, l uión (6) pud xprsrs m qu rrspnd l vrsión létri F(s) ms U(s), (8) V(s) Ls I(s). (9) Finlmnt, tmbién s psibl xprsr st ly n términs d srs, pr l ul supnms qu t u( t) U, () y t ( t) F. () 4 Cm s hbitul, utilizrms ltrs minúsuls pr ls mgnituds vribls y myúsuls pr sus vlrs glbls (vlr d pi, vlr iz). 3

4 Rmplznd n l uión (5), t t m U, F d dnd F m U. () Es dir, l urz s dlnt un ángul π/ n rspt l vlidd. En l igur s indi l rprsntión iruitl d l ms m un indutni. m u u m Figur. Equivlni iruitl rrspndint l ms máni.... Rsrt El mprtmint dinámi d un rsrt bd l ly d Hk, sgún l ul l urz qu db pliársl pr lgrr un stirmint nt x s prprinl dih stirmint: (t) k x(t). (3) dnd k s l nstnt lásti, qu dpnd d l gmtrí y dl módul d lstiidd (módul d Yung) dl mtril dl qu s mpn l rsrt. Pdms xprsr st uión n términs d l vlidd tnind n unt qu l psiión s l intgrl d l vlidd: 4 ( t) k u( t) dt. (4) Est uión s similr l rm intgrl d l uión dl ndnsdr: v ( t) i( t) dt, (5) C pr l qu l rsrt s mprt n rm nálg un ndnsdr. En st nlgí l pidd C rrspnd l dnmind mplini máni, /k. Pdms plir l trnsrmión d Lpl l uión (4), qu rrspnd k F ( s) U ( s), (6) s V ( s) I ( s), (7) Cs

5 En términs d srs, un rznmint similr l qu ndu l uión () ns prprin F k U. (8) En st s l urz stá trsd un ángul π/ n rspt l vlidd. En l igur s mustr l rprsntión iruitl d l mplini m un pidd. k u u /k Figur. Equivlni iruitl rrspndint un rsrt...3. Friión L riión s un intrión disiptiv ntr urps qu bd vris mnisms. Tnms, pr mpl, l rzmint ntr sólids, qu s urtmnt n linl, 5 y l riión luid viss ntr un sólid y un luid, qu rspnd, pr l ntrri, un mprtmint linl. En l práti s prsnt n ls dslizmints lubrids. Es ést l d myr intrés n nustr s. S vrii (t) ν u(t). (9) dnd ν s l iint d riión viss, qu dpnd dl iint d vissidd η y dl spsr d l p luid. Est ly s quivlnt l ly d Ohm: En términs d ls trnsrmds d Lpl, y, n términs d srs, v(t) R i(t). () F(s) ν U(s) () F νu. () 5 En l rzmint státi, l urz rid sbr un urp sólid libr n ntt n tr urp sólid i umnt sin qu s prduz mvimint rltiv ntr mbs urps hst qu s supr irt vlr. A prtir d llí minz l dslizmint y l urz d rzmint disminuy brusmnt, pr vrir lug n rm n linl n l vlidd rltiv (n su vrsión más simpl, un vz n mvimint, l urz d rzmint vulv sr nstnt). Est mnism s n gnrl d diíil dsripión dbid qu n hy un mdl simpl y úni. A psr d ll, tin imprtni n ústi, y qu n l s n qu l urp i stá n rlidd sut mdint un rsrt ( s él mism lásti), s prdu un mnism d silión pr rlión. Pr mpl, l r d un vilín dslizánds sbr l urd l hirrid qu vs prdun ds bts n urt rzmint ntr sí, m l mnism d rn d un utmóvil und s nuntr dsgstd. 5

6 L urz y l vlidd, l sr prprinls, s nuntrn n s. L igur 3 mustr l quivlni iruitl. u ν Figur 3. Equivlni iruitl rrspndint l riión viss. u ν..4. Impdni máni Ls mpnnts mánis d tip ms, rsrt y riión pudn rtrizrs pr mdi d l impdni máni, dinid m l int ntr ls trnsrmds d Lpl d l urz y l vlidd, F( s) Z m ( s) (3) U ( s), pr l s d sñls rmónis, n ls qu s pud trbr srilmnt, m l int ntr ls srs urz y vlidd, Z m F. (4) U Así, pr l s d un ms, d (8) s btin l impdni máni Pr l s d un rsrt, Pr últim, pr un riión, Z m (s) ms. (5) k Z m ( s). (6) s Z m (s) ν. (7) El npt d impdni pud gnrlizrs pr ulquir mbinión d sts mpnnts, m vrms n lguns mpls más dlnt. Est situión s smnt l qu tin lugr pr ls iruits létris. En l s prtiulr d un sistm n impdni máni Z m (s) uy vlidd s snidl, s dir l urz n régimn prmnnt strá dd pr u(t) U sn t, (8) 6

7 (t) U Z m () sn (t ϕ) (9) dnd ϕ rg(z m ()). El ángul ϕ s, tmbién, l dirni d s ntr l urz y l vlidd...5. Gnrdrs Así m n ls sistms létris ls gnrdrs unts d tnsión y rrint umpln un rl undmntl m prvdrs d nrgí y d sñl, n l s d ls sistms mánis st unión l umpln ls gnrdrs d urz y d vlidd. Un gnrdr idl d urz srá un dispsitiv qu pli un urz indpndintmnt d l vlidd dl lmnt l qu l pli. Un gnrdr idl d vlidd, n mbi, imprim un vlidd n rm indpndint d l urz nsri pr ll. Un mpl d gnrdr d urz s un bbin inmrs n un mp mgnéti pr l qu irul un rrint. Otr, un prsión qu tú sbr un suprii móvil. Ambs situins sn hbituls n ls prss d trnsduión ltrústi. Cn rspt l gnrdr d vlidd, un mpl s un mtr uy trqu máxim s muh myr qu l surz qu pn l rg. En l igur 4 s mustr l simblgí pr ls gnrdrs mánis idls, igul l rrspndint ls gnrdrs létris. (t) u(t) Figur 4. Simblgí pr ls gnrdrs idls d urz y vlidd...6. Ptni máni Cund un urz tú sbr un urp qu s muv n un vlidd u, stá ntrgnd un ptni w u. (3) En t, n un intrvl d timp t l urp rrr un distni u t, pr l ul l trb máni rlizd pr l urz s u t. Est trb rrspnd l nrgí qu ntrg l urz. Dividind pr l timp t durnt l qu u ntrgd, s btin l ptni. Si l vlidd y l urz n régimn prmnnt sn snidls n un ángul d s ϕ, l ptni instntán strá dd pr u(t) U sn t, (3) (t) F sn (t ϕ), (3) 7

8 w(t) U F sn t sn (t ϕ). Aplind l rlión trignmétri sn x sn y s(x y) s(x y), rsult w ( t) U F ( s ϕ s (t ϕ) ). (33) L ptni mdi vl bin, n términs d ls vlrs is, W U F s ϕ, (34) W U F s ϕ. (35) Aplind sts uins ls impdnis lmntls studids rsult qu n l s d l riión, dnd ϕ, l ptni mdi s simplmnt l prdut d l urz y l vlidd is mintrs qu n l s d l ms y l rsrt, dnd ϕ ± π/, l ptni mdi s nul. Un rm ltrntiv s plntr sñls mpls m u(t) U t. (36) (t) F (t ϕ). (37) Si dinims un ptni mpl ptni vtril m w(t) (t) u * (t). (38) dnd u * (t) s l nugd mpl d u(t). Rmplznd (36) y (37) n (38), w(t) U F ϕ. (39) L prt rl inid n l ptni mdi y s llm, ltrntivmnt, ptni tiv: L prt imginri s l ptni rtiv: W R ( (t) u * (t)) U F s ϕ. (4) W r Im ( (t) u * (t)) U F sn ϕ. (4)..7. Plns Mintrs ls mpnnts ntrirs stbn rtrizds pr un vlidd y un urz, l pln rquir pr su dsripión mplt ds urzs y ds vlidds. En nsuni l mdl létri rrspndrá un strutur bipurt udriplr. 8

9 u u l : l u u l l Figur 5. Equivlni iruitl rrspndint l pln. Si ls brzs d l pln tinn lngituds l y l, ntns ls urzs y plids (vr igur 5) strán rlinds pr n tnt qu ls vlidds rspndrán l, (4) l l u. (43) u l Ests rlins sn nálgs ls rrspndints un trnsrmdr létri idl: n v, (44) v n n i, (45) i n dnd n y n sn l ntidd d vults d ls rrllmints primri y sundri. En l igur 4 s mustr st nlgí...8. Trnsrmión d impdni máni Cund ntr un unt d urz vlidd y un impdni máni s intrpn un pln, m s mustr n l igur 6, s psibl lulr l impdni vist dsd l unt plind ls uins (4) y (43) dl trnsrmdr y l (3) u U l : l U u l l Z m F Z m F Figur 6. Trnsrmión d impdni máni pr mdi d un pln. d l impdni. Rsult 9

10 F d dnd l l l l l F ZmU Zm U ZmU l l l l l Z F l m Zm U l, (46). (47) Si l brz d pln sundri s myr qu l primri (l > l ), ntns l impdni vist dsd l primri s myr qu l impdni ntd n l sundri, l qu signii qu pr lgrr mvr l brz primri igul vlidd hbrá qu plir un urz myr...9. Cnsrvión d ptni n un trnsrmdr máni Un rtrísti muy imprtnt d un trnsrmdr máni idl s l nsrvión d ptni. L ptni ntrgd l primri s: w u, (48) n tnt qu l ptni qu l sundri suministr l rg ntd él srá w u. (49) Utiliznd nuvmnt ls uins (3) y (4) dl trnsrmdr, tndrms l l w, (5) u u u w l l l qu dmustr l nsrvión d ptni.... Cnxins n sri y n prll El nxind n sri y n prll d ls iruits létris pud xtrplrs ls iruits mánis. Sól h lt prisr b qué ndiins un intrión ntr ds más mpnnts d un sistm máni s nuntr n prll y b uáls n sri. En l s létri, s tin un prll und ds mpnnts stán smtids l mism tnsión y un sri und stán rrrids pr l mism rrint. En l nlgí tip impdni qu vnims utiliznd, l prll s drá und ds mpnnts mánis stán smtids l mism urz. Pr ll l intrión db turs trvés d lmnts n ls qu n s pird urz pr inri ni pr riión, xpt qu sn mpnnts librs. Así, típimnt un rsrt idl (sin ms ni riión) trnsmitirá l urz plid sbr él un ms (u tr impdni), n uy s prrá n prll n ll. En mbi un ms sól pdrá str n prll n tr mpnnt si rib un urz pr n l trnsmit (prilmnt) tr mpnnt.

11 Asimism, l sri rrspndrá l s n qu ls mpnnts s dsplzn igul vlidd, pr l ul l intrión db turs trvés d lmnts rígids. Un ms rígid nir su vlidd tr impdni vinuld ll.... Empls Vms primrmnt lguns mbinins d ds mpnnts. En l igur 7 s mustr un ms m pyd sbr un suprii lubrid n riión viss ν sbr l qu tú un urz. Dd qu ls vlidds d l ms y d l vissidd m ν u u m ν Figur 7. Un ms sbr un suprii lubrid y su mdl iruitl quivlnt. sn iguls, l iruit rrspndint s n sri. L urz qu l ms r sbr l suprii s mnr qu l plid prqu prt d ll s utiliz pr lrrl. Est urz, d vlr νu, s plid su vz pr l riión, n sntid pust, l ms: Trnsrmnd, νu m u' νu m u'. (5) F(s) (ν ms) U(s). (5) Pr sñls snidls pud plirs l npt d sr y, ntns, F ( ν m) U (53) Cm sgund mpl, nsidrms l mism dispsiión, pr n l qu s pli un urz l riión. Est situión s drí n l s d plir l urz l suprii d ms dspribl n lugr d plirl l ms (igur 8). En st s ν m u u u m ν Figur 8. Un ms sbr un suprii lubrid, impulsd dsd st últim, y su mdl iruitl quivlnt.

12 l urz plid l suprii s trnsmit dirtmnt l ms, pr l qu mbs stán smtids l mism urz. En nsuni, n l mdl iruitl strán ntds n prll. Obsérvs qu si bin l suprii strá nimd pr un vlidd u, l vlidd qu xprimnt l lubrint s, n rlidd, l dirni ntr ls vlidds d l suprii y l ms. Ls uins d mvimint srán ν(u u ) m u (54) Trnsrmnd y liminnd U (s), rsult ν ms F( s) U ( s), (55) ν ms qu s l uión d un nxión prll ntr ν y m s, rrbrnd l xprsd ntrirmnt. Cnsidrms hr un ms m ntd un py i pr mdi d un rsrt d nstnt k, sbr l qu tú un urz, m s mustr n l igur 9. m u k u m /k Figur 9. Un ms sut un py i pr mdi d un rsrt. Dd qu l ms y l xtrm móvil dl rsrt s muvn l mism vlidd, l iruit quivlnt s un sri. L uión d mvimint s ( t) k u( t) dt m u'( t), (56) bin, trnsrmnd y rmdnd, k F( s) ms U ( s). (57) s Si n lugr d plir l urz l ms s l pli l rsrt (pr mpl, si l py n rlidd stuvir vibrnd), m s mustr n l igur, ntns l xtrm xitd dl rsrt s mvrá dirnt vlidd qu l xtrm sut l ms pr, n mbi, l urz plid l rsrt s trnsmitirá ttlmnt l ms. 6 Pr 6 En t, si l rsrt n trnsmitir ttlmnt l urz, strí smtid un urz nt qu, l sr d ms nul, l imprimirí un lrión ininit.

13 nsiguint, l mgnitud mún mbs lmnts srá l urz, pr l qu l iruit nálg rrspndrá un prll. Ls uins dinámis sn ( t) ( t) k ( u( t) u ( t) ) m u '( t) dt (58) Trnsrmnd y liminnd U (s), rsult F( s) k s k s m U ( s) U ( s), (59) k s k m ms qu rrspnd l prll d l ms y l mplini. k m u m /k u u Figur. Un ms sut un rsrt, ind dsd l rsrt. Cnsidrms hr l mpl d l igur, similr l dl mpl ntrir n l grgd d un riión ν ntr l ms y un suprii i. En st s l ms y l riión stán nimds pr l mism vlidd u, pr l qu sus quivlnts iruitls strán n sri. Est sri, vist m un impdni, strá smtid l mism urz qu l rsrt, pr l qu strá n prll n quél. Ls uins dinámis s sribn n rm similr ls ss ntrirs, y nuvmnt s pud rrbrr l nrdni n ls uins rrspndints l mdl létri. u u k m u ν m u ν /k Figur. Un ms sut un py i pr mdi d un rsrt, ind dsd l rsrt. Si n lugr d impulsr l xtrm libr dl rsrt s sut ést un py i y s impuls l ms (igur ), ntns tds ls mpnnts s mvrán l mism vlidd y l iruit quivlnt srá un sri. El mpl siguint, ilustrd n l igur 3, inrpr un sgund ms l s d l igur. En st mpl l ms grgd (m ) s muv l mism vli- 3

14 dd qu l xtrm dl rsrt, pr l qu su quivlnt iruitl strá n sri n l nunt dl mpl riginl. Vms qu sól prt d l urz ttl plid s utiliz pr lrr l ms m, y qu l rst s utilizd pr drmr l rsrt. u m k ν u m ν /k Figur. Un ms n riión sut un py i pr mdi d un rsrt. u m k m /k u u m u m Figur 3. Ds mss suts un rsrt, ind dsd un d lls, y su mdl iruitl quivlnt. Cnsidrms hr un mbinión d lmnts d myr mplidd, m l indid n l igur 4. Aquí l vlidd d l ms m 3 s mprtid pr d un d ls grups d ms y rsrt k - m y k - m, pr l qu strán n sri. Cd un d ss ds grups, n bstnt, strá n prll dd qu l urz qu mprim l rsrt rsptiv s l mism qu s pli l rrspndint ms. m 3 k m 3 u 3 u m u m /k u 3 k m u u m /k Figur 4. Trs mss vinulds y inds dsd un d lls, y l mdl iruitl quivlnt. Pr últim, nsidrms un s similr l d l igur 4, n un plmint riión, ν, ntr ls mss m y m, m s mustr n l igur 5. L riión h qu l urz ttl plid sbr ls mss m y m n inid n l d ls rsptivs rsrts, pr l ul ls rsrts y ls mss n strán y n prll. Evidnt- 4

15 mnt, l vlidd qu xprimnt l p lubrint ntr mbs mss s l dirni d vlidds d ls mss, pr l qu n l mdl iruitl l rsistni rrspndint strá n drivión. L vlidd d l p lubrint tmbién srá igul l dirni d vlidds d ls rsrts, pr l qu dih rsistni s munirá n l nud d unión ntr ls quivlnts iruitls d ls rsrts. El rsultd tmbién s mustr n l igur 5. A md d vriiión s útil nsidrr l situión límit n l qu l riión tind, y qu n s s dbríms btnr l iruit d l igur 4. Pdms vr qu, n t, sud sí. m 3 m 3 u 3 u u 3 m k u ν u k m m u ν /k m /k Figur 5. Trs mss vinulds y inds dsd un d lls n l grgd d un vínul rsistiv ntr ds d lls... Ciruits ústis Un sistm ústi stá rmd, n gnrl, pr un intrnxión d nduts y vidds d divrss tmñs y rms y pr lmnts prss lulrs. 7 L id d rmplzr sts lmnts simpls pr mpnnts quivlnts utilizbls n un iruit s nrnt n l diiultd d qu us dl mprtmint ndultri dl snid l mp ústi n s unirm. Ell impli qu un mpnnt n pud str rtrizd pr ds únis vribls m l sn l tnsión y l rrint n l s létri l urz y l vlidd n l s máni. Cund ls dimnsins ísis d sts mpnnts sn muh mnrs qu l lngitud d nd, sin mbrg, s psibl hr un prximión similr l qu s tú hbitulmnt n ls iruits létris qu prmit rlizr un trtmint n prámtrs nntrds. 8 En l s ústi nvndrá slinr m un d ls vribls undmntls l prsión, p. Pr stisr l ritri d qu l prdut d ls ds vribls lgids s un ptni, l tr vribl db sr un udl, 9 simblizd q. Igul qu n l s máni, s psibl dptr ds nlgís: l nlgí tip mvilidd ústi y l nlgí tip impdni ústi. Cnsidrrms únimnt st últim, sgún l ul Si dmitims l prpgión d nds ústis trvés d mtrils sólids, pdms inrprr tmbién ls lámins pls islnts, unqu tr psibilidd s nsidrr ésts m mpnnts mánis n un intrz n l mdi ústi gss. D hh, ls misms rprs bn pr l s létri (y pr l máni si nsidrms l lstiidd). Es sól dbid qu ls lngituds d nd hbituls sn muy grnds qu n gnrl ni siquir s tm nini dl prblm, slv runis suprirs l GHz. En muhs librs s llm l udl vlidd d vlumn. N pr hbr rzón pr rsignr l plbr udl, bin stblid n stlln y d signiid inquív n l ludinámi. 5

16 V P I Q (6) En l s ústi xist urd unánim n utilizr st nlgí, y qu l udl s un lu d mtri l igul qu l rrint l s d rg, n tnt qu l prsión pud áilmnt similrs l tnsión, y qu s psibl hblr d íds d prsión. Cnsidrrms, n ls sins qu sigun, d un d ls lmnts básis d un sistm ústi nntrd, studind ls rlins ntr l udl y l prsión n d un d lls y ls rrspndints nlgís iruitls.... Ms ústi inrtni Un ms ústi, inrtni, s un pquñ ms d ir pz d dsplzrs sin mprsión pribl. El s más típi l nstituy l ir dntr d un pquñ tub uys dimnsins trnsvrsls y lngitudinls sn muh mnrs qu l lngitud d nd (igur 6). Si l lngitud l dl tub s mnr qu λ/36, l prsión snr dntr dl tub s nstnt n un rrr mnr dl %. Pr un runi d khz st rrspnd un tub d m d lrg. Admitind un rrr dl 5%, l lngitud dmisibl s dupli. A m l u q m p Figur 6. A l izquird, un ms ústi. En lín d punts s h rmrd qu l ms d ir s dsplz n blqu. A l drh, su quivlnt iruitl Dd qu l ms, qu dntrms n m, s dsplz n blqu (s dir, n l mism vlidd n tds sus punts), pdms plirl glblmnt l sgund ly d Nwtn: (t) m (t). (6) En nustr s l urz s l prsión xistnt n l xtrm dl tub multiplid pr l ár A d l sión trnsvrsl dl tub, y l lrión s l drivd d l vlidd u: p(t) A m u (t). (6) Dd qu busms un rlión ntr l prsión y l udl, pdms hr prr st últim multiplind l vlidd pr l sión dl tub: p(t) A m u (t) A m q (t) (63) Si l prsión n l xtrm libr n s, ntns l prsión s sustituy pr l dirni d prsins. 6

17 Pr últim, m p ( t) q'( t). (64) A El vlr m M (65) A s l ms ústi inrtni. Rmplznd n (64) rsult y, plind l trnsrmd d Lpl, Est xprsión s nálg p(t) M q (t) (66) P(s) M s Q(s). (67) V(s) Ls I(s), (68) rrspndint ls iruits létris, pr l qu l inrtni s mprt n rm nálg l indutni. En l xprsión d l inrtni d l uión (65) pr l ms m dl gs ntnid n l tub. En primr prximión dih ms pud lulrs m m ρ A l. (69) Un álul más pris db tnr n unt un rrión pr xtrm pr l ul l lngitud tiv s lg myr qu l lngitud rl (Brnk, 96; Kinslr, 995). Est rrión dpnd d si l xtrm dl tub stá libr lr l rs d un suprii pln grnd n rspt l lngitud d nd (dnmind hbitulmnt pstñ). En l primr s (trminión sin pstñ) l lngitud tiv s: l l n,63, dnd s l rdi dl tub y n s l ntidd d xtrms librs ( ó ). Cn st xprsión, l inrtni dpt l rm M ( l n,63 ) ρ. (7) π En l sgund s (trminión n pstñ) l lngitud tiv rrspndint s 8 l' l n l n, 849, 3π M ρ ( l n,849 ) nduind un inrtni dd pr. (7) π En s d qu l tub tng un trminión libr y l tr n pstñ s utilizrí un rrión mbind igul (,63,849). 7

18 L rlión ntr l prsión y l udl d l uión (67) pud xprsrs n l rmlism sril pr l s d sñls snidls. Si l runi ngulr s, tndrms P M Q (7)... Cmplini ústi Un mplini ústi s un pquñ ms d ir pz d mprimirs xpndirs sin dsplzmint pribl. Un s típi s l ir dntr d un pquñ tub rrd n un xtrm. Otr, l ir n un vidd n un pquñ riii (igur 7). En ulquir s ls dimnsins d l vidd dbn sr muh mnrs qu l lngitud d nd ls ts d grntizr qu l prsión umnt unirmmnt n td l vlumn d gs. Igul qu n l s d l ms ústi, bstrá qu l dimnsión máxim d l vidd s mnr qu λ/36 pr un rrr dl %. pa A q V q C p Figur 7. A l izquird, un mplini ústi. El udl qu ingrs s utiliz xlusivmnt pr mprimir l ir nrrd, n pr sinr un mvimint nt. A l drh, quivlni iruitl rrspndint un mplini ústi. El mprtmint dinámi d l mplini rspnd l ly d mprsión dibáti, P P V γ V (73) En nustr s, P s l prsión snr p, P s l prsión d quilibri, s dir, l prsión tmséri P, V s l vlumn d l vidd y V s l pust dl vlumn ingrsd dbid l udl q. En t, dd qu l vlumn ttl d l vidd s mntin nstntmnt igul V (dd qu ls prds d l vidd sn rígids), l vlumn iniil d gs s h rduid dbid l ingrs d udl xtrn. El vlumn ingrsd s, simplmnt, l intgrl dl udl. Sustituynd sts vlrs n (73) s btin p( t) P γ q( t) dt. (74) V Multiplind pr P, y tnind n unt qu γp ρ, dnd ρ s l dnsidd dl gs y, l vlidd dl snid, rsult ρ p ( t) q( t) dt. (75) V 8

19 Est uión s nálg l uión d un pitr létri: El vlr v ( t) i( t) dt. (76) C C V, (77) ρ s l mplini ústi d l vidd. Sustituynd n (75), rsult Aplind l trnsrmión d Lpl, p( t) q( t) dt. (78) C qu rrspnd P( s) Q( s) C s. (79) V ( s) I ( s). (8) Cs En términs d srs, pr l s d sñls snidls, pdms rsribir l uión 79 m P C Q. (8)..3. Rsistni ústi L rsistni ústi s l rsultd d l prsni d un riión viss intrpust n l rrrid d l nd snr. Empls típis sn un nstriión ngstmint d un ndut, un mll d trm in mtril prs m l ln d vidri, l ln minrl, ls spums pliurtánis l mtl sintrizd (igur 8). L rsistni ústi rspnd l siguint uión, n vrsión trnsrmd, p(t) p (t) p (t) R q(t) (8) P(s) R Q(s). (83) En l s d un tub d diámtr muy pquñ (pilr) n rspt l lngitud d nd, pud btnrs l rsistni ústi pr mdi d l ly d Pisuill, qu prprin l udl btnid und un luid n iint d vissidd η irul 9

20 pr un ndut ntr uys xtrms hy un dirni d prsión. El vlr d l rsistni ústi btnid s (Srs, 975) R 8ηl. (84) 4 π El vlr dl iint d vissidd pr l ir ºC y 3,5 hp s d,86 5 N s/m. NOTA: En rlidd l rsistni ústi d un tub stá mpñd pr l ms ústi dl ir nrrd n él, pr l ul n l práti srá pris nsttr si ést pud dsprirs n. q p A p l p q p q R p Figur 8. A l izquird, ds mpls d rsistnis ústis. A l drh, quivlni iruitl. Si l tub n s muy strh, l riión tin imprtni slmnt n l dnmind p límit, s dir, un dlgd plíul lrddr d l suprii intrir dl tub. Fur d l p límit l nd s si pln y pr l tnt n hy mvimint rltiv ntr ps dsliznts. El spsr δ d l p límit, qu dpnd d l runi, pud lulrs mdint l xprsión (Ingrd, 953) δ η ρ. (85) Pr mpl, pr Hz l p límit tin un spsr d,6 mm. Pr khz dih spsr s rdu,5 mm. Si l rdi dl tub s muh myr qu δ, ntns l rsistni ústi s lul m (Ingrd, 953) ηρ R 3 π dnd n s l ntidd d xtrms librs (n ó ). ( l n), (86) El iint d vissidd η s din prtir d l uión F ηa dv/dy, dnd F s l urz rtnt ntr ds ps prlls d luid d ár A n ntt (s dir, l urz qu tind dslizr un p rnt l tr) y dv/dy s l grdint d vlidd n dirión prpndiulr ls ps dsliznts.

21 ..4. Impdni ústi Ls mpnnts ústis qudn rtrizds pr su impdni ústi, dinid m l int ntr ls trnsrmds d Lpl d l prsión y l udl. P( s) Z ( s). (87) Q( s) En l s n qu ls sñls sn snidls s pud trbr srilmnt, y ntns pud nsidrrs l impdni ústi mpl, dinid m l int ntr ls srs d prsión y d udl: Z P. (88) Q Pr ls ss d un ms ústi, un mplini ústi y un rsistni ústi s tin, rsptivmnt, Z Z (s) M s, (89) ( s), (9) C s Z (s) R. (9) Igul qu n ls ss létri y máni, l npt d impdni pud gnrlizrs pr ulquir mbinión d sts mpnnts, m vrms lug. En muhs ss s d intrés l impdni ústi spíi, Z, dinid m l int ntr l prsión P y l vlidd U (n lugr dl udl). Ell sud und intrsn ls prpidds lls dl mp ústi. Pr un nd pln trvsnd un ár A pdms stblr l siguint rlión ntr l impdni ústi y l impdni ústi spíi: Z A Z. (9) Pr ls nds plns prpgánds n l ir n un tub d lngitud ininit n trminión ni 3 vl: Z ρ. (93)..5. Gnrdrs ústis En l s d ls sistms ústis, srá nsri ntr n gnrdrs ps d intrduir sñl. Ls ds rms snils srán l gnrdr d prsión y l gnrdr d udl. Un gnrdr idl d prsión srá un dispsitiv qu pli un prsión indpndintmnt dl udl bsrbid pr l lmnt l qu l pli. Un 3 Un trminión ni s quéll n l qu n xistn rlxins, l ul pud lgrrs n un iint d bsrión α n l xtrm dl tub.

22 gnrdr idl d udl, n mbi, imprim un udl n rm indpndint d l prsión qu db rr pr ll. L simblgí utilizd rrspnd l d ls gnrdrs d tnsión y rrint d ls iruits létris (igur 9) Un mpl d gnrdr d prsión s un pquñ vidd n l qu d lgun mnr s gnr un mp ústi qu n s ltrd pr l prsni d trs vidds mpnnts d grn impdni ústi. Un s típi s un librdr ústi. Ls gnrdrs d udl sn más runts y nturls, y qu s lgrn p(t) q(t) Figur 9. Simblgí pr ls gnrdrs idls d prsión y udl. n ulquir suprii qu vibr n vlidd snilmnt indpndint d l rg qu rprsnt l ms d ir n ntt n ll (s dir, l dnmind impdni d rdiión). Alguns mpls sn l suprii d un ltvz, un pistón y un ristl pizlétri...6. Ptni ústi Cund un prsión p tú sbr un prión d gs qu s muv n un udl q, stá ntrgnd un ptni w p q. (94) En t, si l sión xpust tin ár A, ntns l vlidd s q/a y, pr nsiguint, n un intrvl d timp t l gs rrr un distni (q/a) t. Pr tr prt, l urz tunt s pa, pr l ul l trb máni rlizd pr l urz s pa(q/a) t. Est trb rrspnd l nrgí ntrgd. Dividind pr l timp t durnt l qu u ntrgd, s btin l ptni. Si l udl y l prsión n régimn prmnnt sn snidls n un ángul d s ϕ, l ptni instntán strá dd pr q(t) Q sn t, (95) p(t) P sn (t ϕ), (96) Q ( ) sn sn( ) P w t Q P t t ϕ t L ptni mdi vl bin, n términs d ls vlrs is, ( s ϕ s ( ϕ) ). (97) Q P W s ϕ, (98)

23 W Q P s ϕ. (99) Aplind sts uins ls impdnis ústis lmntls rsult qu n l s d l rsistni ústi, dnd ϕ, l ptni mdi s simplmnt l prdut d l prsión y l udl is mintrs qu n l s d l ms y l mplini ústis, dnd ϕ ± π/, l ptni mdi s nul. Igul qu n ls ss létri y máni, un rm ltrntiv s plntr sñls mpls m q(t) Q t. () p(t) P (t ϕ). () Si dinims un ptni mpl ptni vtril m w(t) p(t) q * (t). () dnd q * (t) s l nugd mpl d q(t), s limin l dpndni dl timp. En t, rmplznd () y () n (), s tin w(t) Q P ϕ. (3) L prt rl inid n l ptni mdi y s llm, ltrntivmnt, ptni ústi tiv: W R ( p(t) q * (t)) Q P s ϕ. (4) L prt imginri s l ptni ústi rtiv: W r Im ( p(t) q * (t)) Q P sn ϕ. (5)..7. Trnsrmdr ústi En ls mpnnts ntrirs l mprtmint s dsribí n un sl vlr d prsión y un sl d udl. El trnsrmdr ústi, n mbi, rquir ds prs prsión-udl, rrspndints l purt d ntrd primri y l purt d slid sundri. Un mpl s l bin xpnnil, m s mustr n l igur. En ll l ár d l sión trnsvrsl r sgún l ly x / l A( x) A, (6) dnd A s l ár n l grgnt (x ) y l l distni n l qu l ár r vs. Supndrms qu l b d l bin (x L) stá ntd un impdni ústi spíi Z y qu ls sñls sn snidls mpls d runi ngulr. Entns, si llmms θ rtg 4πl λ rtg l, (7) pud dmstrrs qu, pr λ < 4πl l prsión snr y l udl n un sión ubid un distni x d l grgnt stán dds pr (Miyr, 3) 3

24 4 Figur. Un bin xpnnil m trnsrmdr ústi. θ θ θ ρ tg sn tg sn ), ( l x L l x L Z P t x p l x L t, (8) θ ρ θ θ ρ tg sn tg sn ), ( l x L Z l x L A P t x q l x L t. (9) En l b d l bin (x L) s tin θ ρ sn ), ( Z P t L p t, () θ ρ sn ), ( / l L t A P t L q ; () y n l grgnt (x ), θ θ θ ρ tg sn tg sn ) (, l L l L Z P t p l L t, () θ ρ θ θ ρ tg sn tg sn ) (, l L Z l L A P t q l L t. (3) Pr nntrr ls rlins d trnsrmión, pdms xprsr p(, t) n términs d p(l, t) y q(, t) n términs d q(l, t): θ ρ θ θ θ tg sn tg sn sn ), ( ) (, l L Z l L t L p t p l L, (4) θ ρ θ θ θ tg sn tg sn sn ), ( ) (, l L Z l L t L q t q l L. (5) u A L x A x / l A L / l u p p

25 Cnsidrms l s n qu l b s nt un impdni ústi spíi igul l dl ir, vl dir, Z ρ. (6) Est s s d intrés prqu, sgún vrms, n l rng d runis n qu s suln utilizr prvhsmnt ls bins l rdiión quivl un impdni ústi spíi igul l dl ir. Pr runis suiintmnt lts m pr qu 4πl >> λ (s dir, >> l/), d (7) rsult θ π/, pr l qu ls uins ntrirs s rdun L L tg θ (, t) p( L, t) l l p, (7) L L tg θ (, t) q( L, t) l l q. (8) L xpnnil (L/l) tgθ tin módul unitri y rprsnt l ds ntr ls vribls n l grgnt y ls rrspndints l b d l bin. D hh, s umpl L l tg θ L. (9) Dih ds s linl n l runi, prduind, pr nsiguint, un rtrd indpndint d l runi (n l rng d intrés) igul l timp qu dmr l snid n rrrr l bin dsd l grgnt hst l b. Dih rtrd pud ignrrs n l myrí d ls ss, n l ul l bin s pud nsidrr m un trnsrmdr ústi. En l igur s mustr l mdl iruitl d l bin. q p p q p q L / l : q p ρ A L/l L Figur. Mdl iruitl m trnsrmdr ústi d l bin xpnnil rgd n un impdni spíi igul l dl ir. D ls uins (7) y (8) s dsprnd qu l prsión n l grgnt s myr qu l prsión n l b y, n mbi, l udl n l grgnt s mnr qu n l b. Est pud xplirs tnind n unt qu l impdni ústi n l grgnt s muh myr qu n l b. Ests impdnis pudn btnrs dividind l uión (7) pr l (8). Rsult: s dir, Z p(, t) p( L, t) L / l L / l Z, () q( L, t) q( L, t) 5

26 Z ρ L / l ρ. () A A L / l El vlr L / l s l int ntr ls árs d l b y d l grgnt, A L /A. En trs plbrs, l impdni ústi vrí invrsmnt n l ár d l sión trnsvrsl. Al igul qu ls trnsrmdrs létris, l bin s mprt m un dptdr d impdni ústi. Pr runis n tn lts, unqu sin dr d umplirs qu λ < 4πl, l impdni ústi vist hi l intrir d l grgnt s L runi pr l qu L L sn θ tg θ sn tg θ ρ l l Z, () A L L sn θ tg θ sn tg θ l l s dnmin runi d rt d l bin,, y vl λ 4πl, (3). (4) 4 πl Pr db d st runi rsult λ > 4πl. En st s θ s vulv imginri y l bin d d mprtrs stistrimnt. Cm mpl, pr un bin uy grgnt tin m d rdi, uy b tin 6 m d diámtr y uy lrg s d 5 m y qu, pr l tnt, xhib un vlr d l 4,9 m, rsult un runi d rt d 655 Hz. Est tip d bin pquñ s utiliz, hbitulmnt, pr nim d,5 khz. Es d dstr qu, n l rng útil d runis, ls bins n pudn nsidrrs m mpnnts iruitls n prámtrs nntrds, y qu l lngitud d nd pud sr bstnt mnr qu ls dimnsins d l bin. Pr m sól intrs l qu sud n l grgnt y n l b, pdms utilizr l nqu d ngr y supnr, psnd pr lt l rtrd, qu ls prámtrs sn nntrds n d xtrm...8. Rlins d ptni pr l bin Ls uins (), (4) y (5) pudn plirs l s d un bin. Llmnd ψ L x tg θ l (5) Z R X (6) l uión () pud sribirs prtir d (8) y (9), m 6

27 w( t) P 3 ( ρ ) A L / l [( R X ) sn( θ ψ) ρ sn ψ] [ ρ sn( θ ψ) ( R X ) sn ψ] (7) L ptni tiv s l prt rl d w(t): W P 3 ( ρ ) A L / l R ρ sn ( θ ψ) sn( θ ψ) R X sn( θ ψ) sn ψ ( ) X R sn θ ψ sn ψ ρ R sn ψ, bin, ( ρ ) [ sn( θ ψ) sn( θ ψ) sn ψ] P / A R L l W. Oprnd trignmétrimnt s llg P / A R L l W sn θ (8) ( ρ ) Dd qu θ n dpnd d x, rsult qu l ptni tiv ntrgd s nstnt. Est rsultd r d sprr, y qu l mdl d l bin n ntmpl pérdids. Pr runis lts, θ π/ y, pr nsiguint, sn θ, btniénds l máxim ptni tiv. Pr l runi d rt, θ, situión n l qu l ptni s nul. L ptni rtiv s l prt imginri d w(t), dd pr W r P 3 ( ρ ) A L / l X ρ Pr l s d un rg rsistiv pur (X ), Pr lt runi, dnd θ π/, rsult ( sn( θ ψ) sn( θ ψ) sn ψ) ( ) ( ) ( ) X sn θ ψ sn ψ ρ sn θ ψ sn ψ 7. (9) P A L / l W r sn( θ ψ) sn ψ. (3) ρ P A L / l L x Wr sn tg θ. (3) ρ l bin, utiliznd (7) y dsprind rnt 4πl/λ (válid pr lt runi), W P A L / l r sn 4 ρ L x π. (3) λ Est ptni rtiv rprsnt l nrgí umuld dntr d l bin n rm d nds stinris. Cund l runi s prxim l runi d rt (θ ), n mbi, rsult qu l ptni rtiv tind, l igul qu l ptni tiv, pr l h más

28 lntmnt y pr l tnt llg prdminr. Utiliznd ls prximins linls pr l sn y l tngnt d pquñs ánguls, s vrii áilmnt qu W W r R l 4R l θ ρ L x ρ L x, (33) l ul signii qu n sól l ptni tiv ntrgd l grgnt (x ) s muy pquñ sin qu, dmás, l prs s muy iniint, y qu l myr prt d l ptni pust n ug s rtiv, blignd sbrdimnsinr l unt...9. Cnxins ústis n sri y n prll En l s d ls sistms ústis tmbién pdms mbinr mpnnts ntándls n sri y n prll. L nxión n sri s lgr und ds mpnnts sn irulds pr l mism udl, s dir, stán mplmds sin pérdids ugs. Est situión s áil d mprr n l s létri, dd qu l udl, m lu d mtri, s similbl l rrint, m lu d rg. L nxión n prll, pr su prt, rrspnd l s n qu l prsión s l mism n mbs mpnnts. Dd qu l prsión, l igul qu l ptnil létri, s un prpidd ll, pr qu ds mpnnts stén n prll, sus xtrms rrspndints dbn str l mism prsión. Si sól n un xtrm s umpl st, dih xtrm quivl un nud n un iruit létri... Empls Cnsidrms primrmnt l rsndr d Hlmhltz, ilustrd n l igur. Cnsist n un ms ústi rmd pr un pquñ ndut ull d sión A y lngitud l qu muni n un mplini ústi vidd rtrizd pr un vlumn V. Dd qu l ms ústi y l b d l vidd s muvn igul q A p p l V p q M p C Figur. Un rsndr d Hlmhltz, rmd pr un vidd ntd l xtrir trvés d un ndut, y su iruit quivlnt. vlidd y tinn l mism sión, l iruit quivlnt stá n sri. Utiliznd ls uins (7) y (77), l impdni ústi s, dsprind l rrión d xtrm d l lngitud, Z Pr xitins snidls, P( s) ρ l ρ l s ( s) s ρ. (34) Q( s) A Vs A Vs 8

29 Z P Q l ρ A. (35) V Est iruit rsnrá un runi tl qu l impdni s nul, s dir A. (36) π V l Un nálisis más dtlld dl rsndr d Hlmhltz db ntmplr l rrión pr xtrm y l disipión, prtiulrmnt n l ull. Dd qu l rsistni ústi stá smtid l mism udl qu l ms ústi, tmbién ést stá n sri. p q M R C Figur 3. Mdl dl rsndr d Hlmhltz qu ntmpl l disipión n l ull. El vlr d l rsistni ústi dpnd d si ls dimnsins trnsvrsls dl ull sn n mprbls n l p límit (vr sión..3). Pr nduts pilrs rrspnd plir l uión (84). Pr nduts d myrs dimnsins, n mbi, l (85). Supndrms st últim s. Si s l rdi dl ull, ( l,46 ) ηρ Z ( ) ρ ( l V 3 π π ). (36) Est impdni s mínim pr l runi d rsnni, qu rrspnd prximdmnt l nulión d l prt imginri: 4. (37) πv ( l,46 ) El vlr d l rsistni n rsnni s ( l ) ηρ ( ( )) R Z (38) 3 / 5 π V ( l,46 ) Est rsultd pud utilizrs pr vlur l ntidd d ptni disipd n l rsndr. Supngms, pr mpl, un rsndr uy ull tin un rdi d,5 m y un lngitud d 3 m y uy vidd s d m 3. D l uión (37) s btin un runi d rsnni d 5,95 Hz, y d (38) s btin un rsistni ústi n rsnni d 3539 N s/m 5. Si l prsión iz n l b dl rsndr n l run- 4 Obsérvs qu l prt rl dpnd d l runi, l ul dsplz l mínim ligrmnt hi ls bs runis. 9

30 i d rsnni s P (rrspndint un nivl d prsión snr d 94 db) ntns l ptni disipd s W dis P R( Z ) 3539 W 73,9 µ W. Es intrsnt mprr st ptni n l qu inidirí sbr un ár igul l d l b n s d tnr un nd pln d igul prsión iz: P W in π π.5 W,9 µ W. ρ 44 Un álul dirt rrrí un iint d bsrión snr α quivlnt d ! Sbms qu st rsultd n s ísimnt psibl, y qu l rsndr strí bsrbind 387 vs más ptni d l qu rib. En rlidd l prsni dl rsndr prturb l mp snr rn d md tl qu l prsión snr n ls prximidds d l b s inrmnt nsidrblmnt pr su prpi ión. L ptni qu rib s, pr nsiguint, muh myr qu l qu ribirí n un mp snr pln sin prturbr. Cm sgund mpl nsidrms l dispsitiv indid n l igur 4, nsistnt n ds vidds intrntds. El tub d ntrd s xitd pr mdi d un pistón rígid. Cd ndut strá rtrizd pr un ms ústi (inrtni) y un rsistni ústi dbid l riión. Ls vidds srán mplinis ústis. El pistón s mprt, dbid su rigidz, m un unt d vlidd máni y, und s multipli su vlidd pr l sión dl primr ndut (A ), m un unt d udl. El nxind s indi l drh d l igur 4. M 3 q R 3 M R u V A V l l 3 l A ua M R C C Figur 4. Un dispsitiv ústi mpust y su mdl iruitl. Ls vlrs spíis d ls rsistnis ústis dpndn d si l disipión tin lugr sól n l p límit n td l sión dl tub. Est últim s tin lugr n l s d nduts pilrs. Si ls lngituds d ls nduts sn mprbls sus dimnsins trnsvrsls, srá nsri grgr l rrión d xtrm.... Rdiión ústi impdni d rdiión Muhs mpnnts ústis tinn prts vibrátils xpusts l ir libr. Ls más ntris sn ls ltvs, ls miróns y ls xtrms birts d ls nduts. 3

31 L intrión ntr dihs prts y l ir tin ds spts intrsnts: l misión rdiión d nrgí ústi y l rsistni qu pn l ir l vibrión, similbl un impdni máni ( ústi), nid m impdni d rdiión. u (t) Figur 5. Un sr pulsnt m rdidr ústi. El rdidr más lmntl s un sr d rdi pulsnt n vlidd rdil snidl indpndint d l prsión (igur 5): 5 u (t) U t. (39) Rsult sr, pr l tnt, un unt d vlidd qu, multiplid pr l ár d l sr, s pud intrprtr m un unt d udl: q (t) Q t 4π U t. (4) S pud dmstrr qu l prsión snr un distni r dl ntr d l sr stá dd pr (Miyr, 3) r t ρ p( r, t) U. (4) r n tnt qu l udl ttl qu trvis un sr d rdi r s q( r, t) 4π U r t r. (4) Dividind l uión (4) pr l (4) s btin l impdni ústi vist pr l nd un distni r dl ntr d l sr. Rsult: Z ( r) ρ 4π r r. (43) r Est impdni ústi s mpl, l ul signii qu l ptni rdid tin un mpnnt tiv y tr rtiv. Est últim s nsuni d qu und l sr s dilt l p d ir n ntt n ll n sól s dsplz hi ur sin qu dmás s xpnd (pus su suprii umnt), umulnd irt ntidd d nrgí 5 Cm s hbitul, trbms n xpnnils mpls pr rprsntr ls unins snidls. 3

32 ptnil lásti qu db sr ntrgd pr l unt. Al rtrnr su tmñ d quilibri dih nrgí s dvult l unt, d llí su rátr rtiv. L impdni ústi vist pr l suprii d l unt s dnmin impdni ústi d rdiión, Z r y rrspnd l s n qu r n l uión ntrir: Z r ρ 4π. (44) Est impdni d rdiión rprsnt l psiión dl ir libr l dsplzmint d l suprii d l unt. En l igur 6 s mustr l iruit quivlnt, rmd pr un ms ústi M n prll n un rsistni ústi R. Pr b runi l impdni ústi s pquñ y si purmnt rtiv, mintrs qu pr lt runi tind sr rsistiv y quivlnt l qu pndrí l ir un nd pln sbr un ár igul l d l sr pulsnt. Z r M R Figur 6. Impdni ústi d rdiión d un sr pulsnt. Ls mpnnts d ptni tiv y rtiv sn tmbién d intrés y pudn lulrs mdint ls uins (4) y (5). Rsult: 4 W π U ρ, (45) W 4π ρ r U. (46) r L ptni tiv s indpndint d r, y qu l mdl subynt pr l prpgión d nds qu hms dptd s n disiptiv y pr l tnt n hy pérdids. 6 L ptni rtiv, n mbi, disminuy n l distni, y qu igul r l xpnsión rltiv s mnr unt myr s l rdi d urvtur. 7 D prtiulr intrés rsult l s n qu r, y qu prmit dtrminr l ptni rtiv vinuld l rdiión y mprrl n l ptni tiv ntrgd pr l unt: 6 7 Si s tin n unt l bsrión d nrgí snr n l ir, l ptni ústi ttl d un nd snr s rduirá xpnnilmnt n l distni. En l límit, und l nd s pln, dspr l ptni rtiv. 3

33 W r 4 π U ρ W. (47) Vms qu pr < /, quivlntmnt, λ > π, l ptni rtiv supr l ptni tiv. Si bin l ptni rtiv n rprsnt pérdids n sí, y qu s nrgí intrmbid ltrntivmnt ntr l unt y l rg (n st s, l ir), n l práti impli un sbrdimnsinmint d l unt n rspt l stritmnt nsri pr btnr d ll dtrmind ptni ústi tiv. Ell h qu ls pérdids sids ulquir unt umntn, pr l ul l rdiión s vulv iniint. 8 En trs plbrs, un unt snr pquñ n rlión n l lngitud d nd s un rdidr iniint. Indpndintmnt d su iniini dsd l punt d vist práti, l unt séri pquñ s un bun mdl pr lulr l mp snr ln (s dir, pr r >> λ) d ulquir unt pquñ. En t, s pud dmstrr qu pr ulquir unt pquñ n rspt l lngitud d nd ( << λ) uy suprii vibr td n s l mp ln dpnd slmnt dl udl ttl Q n su suprii (Kinslr t l., 995), ntidd dnmind pdr d l unt. D (4), si <<, p( r, t) t r Q ρ. (48) 4πr Un unt qu stis st rlión s dnmin unt simpl. L imprtni d ls unts simpls s qu ulquir unt xtns pud pnsrs m suprpsiión d unts simpls. Est prmit lulr l mp snr ln prduid pr dih unt.... Empls d mbinins d unts simpls Ls unts simpls pudn mbinrs pr rmr unts mpusts, sind l mpl más snill l d ds unts simpls d pdr Q sprds pr un distni d, m s mustr n l igur 7. Ls prsins snrs instntáns prvds n l punt X pr mbs misrs s sumn. Ambs strán dds pr xprsins dl tip d l uión (48), rmplznd r pr r y r rsptivmnt. Así, pr mpl, r ( r s θ) ( r sn θ d / ). (5) Si d << r ntns vl l siguint prximión: d r r sn θ. (5) 8 Est situión s ntrmnt nálg l qu tin lugr n l s d ls iruits létris. Un unt d tnsión snidl qu ntrg ptni un rg urtmnt rtiv db hrl mdint un rrint lvd, l ul impli imprtnts pérdids térmis n l rsistni d ls ndutrs. 33

34 X r Q r d θ r Q Figur 7. Un unt mpust rmd pr ds unts simpls rdind n s. Análgmnt, L prsión ttl srá, ntns, p( r, t) ρ Q 4π d r r sn θ. (5) ( t r / ) ( t r / ) r r. (53) Dd qu d/ << r, l rrr d mplitud qu s rigin si r y r s prximn pr r n ls dnmindrs srá muy pquñ, n sí l rrr d s si s usr l mism prximión n ls xpnnts d ls xpnnils mpls. 9 Pr nsiguint, p( r, t) ρ Q 4πr ( t r / ) d sn θ d sn θ. (54) s dir p( r, t) Q d ( t r / ρ ) s sn θ. (55) πr Est xprsión s similr l d l uión (48) slv prqu pr un dpndni dl ángul θ trvés dl tr s[(d/) sn θ]. Est d rign un ptrón dirinl d rdiión uy rm dpnd d l rlión ntr l sprión d ls unts y l lngitud d nd (pus / π/λ). En l igur 8 s mustrn ls digrms rrspndints vris sprins. Vms qu und l sprión s pquñ n rspt l lngitud d nd, l rdiión s si mnidirinl, mintrs qu pr sprins d vris lngituds d nd l distribuión ngulr d l prsión snr tin un strutur urtmnt lbulr. 9 El rrr nsist n l priión d un pquñ mpnnt n udrtur y un rrr d sgund rdn n l módul. Ls digrms stán n db, pr l qu sól pud rprsntrs un prt, pr mpl hst 5 db. Est s hrnt n l hh d qu l mbinión tind similrs un unt simpl. 34

35 d, λ d,6 λ d λ d,6 λ d λ d 3λ Figur 8. Digrm dirinl d un unt rmd pr ds unts simpls n s, pr divrss rlins ntr l sprión d ls unts y l lngitud d nd mitid. 35

36 36 Cnsidrms hr l s d un dipl ústi, mbinión rmd pr ds unts simpls n ntrs (igur 9). Figur 9. Un dipl ústi, rmd pr ds unts simpls d igul pdr rdind n ntrs. Utiliznd ls uins (5) y (5), l prsión ttl srá, hr, ( ) ( ) π ρ / / 4 ), ( r r Q t r p r t r t. (56) Pr d/ << r vl idénti nsidrión l tud ntrirmnt, pr l ul pdms sribir, ( ) π ρ θ θ sn sn / 4 ), ( d d r t r Q t r p. (57) s dir ( ) r t d r Q t r p / sn sn ), ( θ π ρ. (58) Est xprsión diir d l (55) n l liminión d l rtión (rprsntd pr l unidd imginri ) y n qu l dpndni dl ángul θ s hr trvés dl tr sn[(d/) sn θ]. El ptrón dirinl s nul, n tds ls ss, pr θ (st s, n l dirión prpndiulr l sgmnt qu un mbs unts). En l igur 3 s mustrn ls digrms plrs rrspndints vris sprins. Cund l sprión s pquñ n rspt l lngitud d nd l digrm dirinl tin ds lóbuls muy pquñs (vr l s n qu d,5 λ). Pr sprins d vris lngituds d nd l distribuión ngulr d l prsión snr tmbién prsnt un strutur urtmnt lbulr. X r θ d Q Q r r

37 d,5 λ d,6 λ d λ d,6 λ d λ d 3λ Figur 3. Digrm dirinl d un dipl ústi, rmd pr ds unts simpls n ntrs, pr divrss rlins ntr l sprión d ls unts y l lngitud d nd mitid. 37

38 ..3. Pistón irulr pln Un lmnt d xtrrdinri imprtni n l ltrústi s un pistón irulr qu vibr n dirión nrml l pln qu l ntin. Existn trs nigurins d intrés nptul práti: ) Mntd n un prd pln ininit (n l práti, d dimnsins muh myrs qu l lngitud d nd); ) Cld n l xtrm d un tub lrg; 3) Cn mbs rs xpusts l ir libr. En l primr s l prd nstituy un mdi pr sprr ls nds rdids mbs lds dl pistón. Es rprsnttiv d un ltvz mntd n un gbint bl rrd. El sgund s rrspnd l rdiión dsd l xtrm d un tub n pilr dntr dl ul s prpgn nds plns. El trr s rrspnd un prlnt sin bl. El nálisis dtlld d sts ss d rdiión s mtmátimnt diiults, pr l ul drms sól ls rsultds. Cnsidrms primr un pistón d rdi qu s muv n vlidd linl U t sbr un prd pln ininit (igur 3). L prsión snr n un punt X r X θ p(r, θ, t) Figur 3.Un pistón irulr rígid sbr un prd pln ininit. ubid un distni r >> λ (mp snr ln) y sbr un ángul θ dl dl pistón s (Mrs, 98) J sn θ Q ( t r / p r t (, θ, ) ρ ), (59) πr sn θ dnd Q s l pdr dl pistón, dd pr Q U π, (6) y J (x) s l unión d Bssl d primr spi d rdn, dd pr l sri d ptnis (Abrmwitz, Stgun, 97) n ( ) n n x J ( x) (6) n n!( n )! En un tub n pilr, ls nds sn prximdmnt plns xpt n l p límit próxim l suprii intrir. 38

39 En l igur 3 s mustrn ls gráis d ls unins J (x) y J (x)/x. Est últim, qu intrvin n l xprsión d p(r, θ, t), tin un mprtmint similr un sn muy tnud pr vlrs lts d x, pr l qu l ptrón dirinl tndrá un similitud n l d ds unts simpls, pr n ls lóbuls ltrls muy tnuds n lt runi. Dd qu J (x)/x pr x, pr θ º l prsión s l dbl (6 db myr) d l d un unt simpl d igul pdr, m pud nsttrs mprnd n l uión (48). L mism sud n b runi (s dir und l tmñ dl pistón s pquñ mprd n l lngitud d nd) pr ulquir ángul θ, y pr nsiguint l rdiión s si mnidirinl n l hmisri xpust. Así, pr < λ/4 (l diámtr s mnr qu mdi lngitud d nd) l íd hi ls stds (θ 9º) s mnr d 3 db. En l igur 33 s mustrn ls digrms plrs pr vris rlins ntr l rdi dl pistón y l lngitud d nd. y J (x) / x J (x) x Figur 3.Funión d Bssl d primr spi d rdn, J (x). Tmbién s mustr l unión J (x)/x, qu intrvin n l dirtividd d un pistón pln sbr un prd ininit. L impdni ústi d rdiión qu s pn l mvimint dl pistón pud vlurs mdint l siguint órmul (Pir, 99): J H ρ Z r, (6) π dnd J (x) s l unión d Bssl d primr spi d rdn, y dsript, y H (x) s l unión d Struv d rdn, dd pr (Abrmwitz, Stgun, 97) n n n ( n!) n H ( x) ( ) x. (63) π (n)! (n )! 39

40 ,5 λ,3 λ,5 λ ,8 λ λ,5 λ Figur 33. Digrm dirinl d un pistón irulr rígid d rdi qu vibr l rs d un prd pln ininit, pr divrss rlins ntr l rdi y l lngitud d nd mitid. L rspust s h nrmlizd d mnr qu su máxim s db pr θ º. Dih máxim s 6 db myr qu l rrspndint un unt simpl d igul pdr. En l igur 34 s mustrn ls gráis d ls prts rl imginri d l impdni ústi d rdiión nrmlizd n mplitud y n runi. Pr vlrs d x dl rdn d myr l nvrgni d l sri (63) s muy lnt y tind dsbrdr l ritméti dl stwr d álul, pr l qu s prribl l siguint prximión sintóti: 3π H ( x) sn x, x >>. (64) π πx 4 4

41 , Im π Z r ρ,, R,,, π/λ / Figur 34. Prts rl imginri d l impdni ústi d rdiión nrmlizd d un pistón irulr rígid n un bl pln ininit. Ls líns d trz rprsntn ls prximins sintótis pr b runi y lt runi rsptivmnt. Si pdms prsindir d ls lutuins dl sn tnud pr l ríz udrd d /πx, s pud btnr un prximión tdví más simpl: H (x) /π, x >>. (65) Asimism, pr x << s psibl prximr l sri pr su términ d mnr grd, s dir l udráti: H ( x) x, x <<. (66) 3π Tmbién l unión d Bssl dmit prximins sintótis. Así, pr vlrs lts d x, y pr vlrs bs, 3π J ( x) s x, x >>. (67) πx 4 J ( x) 3 x x, x <<. (68) 6 En st s dbirn tmrs ds términs y qu n l álul d J (x)/x, m s mprub áilmnt, l primr qudrá nld. 4

42 4 Cn ls prximins prdnts, pdms simpliir l álul d impdni ústi d rdiión. Pr b runi, rsult, rmplznd (68) y (66) n (6), n x /: π π ρ Z r 3 8, << /. (69) Análgmnt, d (64) y (6), dsprind términs suprirs, π π ρ Z r, >> /. (7) Rsultrá intrsnt pdr rmplzr l impdni d rdiión pr un mdl iruitl n mpnnts rsistivs y rtivs (ms ústi y mplini ústi) qu n b y lt runi s prxim sintótimnt ls vlrs d impdni btnids n (69) y (7). Un iruit d tl nturlz s l qu s mustr n l igur 35, nstituid pr un mplini, un ms y ds rsistnis ústis (Brnk, 96). L impdni, btnid pr nálisis iruitl dirt, s ( ) ( ) ) ( ) ( C R M C R R M R R C R R R R M Z. (7) Figur 35. Ciruit sintótimnt quivlnt n lt runi y n b runi l impdni ústi d rdiión d un pistón rígid sbr un bl pln ininit (Brnk, 96). Pdms brvir l ntión bsrvnd qu Z s d l rm ( ) F E D B A Z ( ), (7) dnd C p q R R M

43 A M (R R ) B M C R R D R R (73) E M R R C F M C R Pdms hr prximr (7) y, pr l tnt, (7), sintótimnt pr lt y b runi. Pr ll, nsrvrms n d s sól ls ds términs más signiitivs n l numrdr y l dnmindr. Así, n b runi, l términ nstnt prvlrá rnt l udráti, y n lt runi, srá l términ indpndint l qu s pud dsprir. Rsult, pr, Z A D ( ) B. (74) E Multiplind rrib y b pr l nugd dl dnmindr, prnd y nsrvnd ls términs más signiitivs, s btin Z A AE BD. D D (75) Análgmnt, pr, Z ( ) A B, (76) E ( ) F Oprnd m n l s ntrir, rsult B BE AF Z, (77) F F Cmprnd (69) n (75) y (7) n (77) s btin, inlmnt, 8ρ, (78) 3π M R ρ, (78b) π ρ 8 R, (78) π 9π 3 C. (78d) 3 ρ 8 π 43

44 En lt runi l impdni d rdiión s prxim muy bin pr R ρ / π, s dir, l impdni ústi d un ár π (igul l dl pistón) d un rdidr pln. En b runi (lngitud d nd muh myr qu l rdi) s prxim l ms ústi d un ilindr d ir d bs igul l pistón y lngitud 8/3π, Cnsidrms hr un pistón irulr pln n l xtrm d un tub smiininit, m s mustr n l igur 36. El s s similr l d un tub d rdi pquñ mprd n l lngitud d nd n l xtrm birt. Si bin n drms ls órmuls rrspndints pr l álul dl ptrón dirinl (vr Lvin t l., 948), ls misms hn sid plids pr Brnk pr lguns rlins ntr l rdi y l lngitud d nd (Brnk, 96). En l igur 36 s dn lguns mpls. r X θ p(r, θ, t) Figur 36.Un pistón irulr rígid n l xtrm d un tub smiininit. Cm s pud prir, dirni dl s ntrir, s psibl l rdiión hi trás (θ > π/). Ls prts rl imginri d l impdni ústi d rdiión s mustrn n l igur 38. Est impdni pud mdlizrs n un iruit similr l d l igur 35 n ls prámtrs siguints: M ρ, 95, (79) R ρ, (79b) π R ρ, 54, (79) π C 3, 3. (79d) ρ Igul qu n l s ntrir, n lt runi l impdni d rdiión s prxim R ρ / π, s dir, l impdni ústi d un ár π d un 3 Obsrvr qu st lngitud quivl l rrión pr xtrm d l ms ústi dl ir n un tub n pstñ (uión (7)). 44

45 ,5 λ/π,5 λ/π λ/π,5 λ/π Figur 37. Digrm dirinl d un pistón irulr rígid d rdi qu vibr n l xtrm d un tub rígid smiininit, pr divrss rlins ntr l rdi y l lngitud d nd mitid (Brnk, 96). rdidr pln. En b runi, quivl l ms ústi d un ilindr d ir d bs igul l dl pistón y lngitud igul,95 π, Prinipis d l trnsduión ltrústi Ls nómns d trnsduión ltrústi pudn nlizrs n gnrl dsmpniéndls n ds ss d trnsduión: ltrmáni y mnústi. L trnsduión ltrmáni pud prvhr divrss prinipis ísis m ls intrins ltrmgnétis, ltrstátis y pizlétris. Slv pr ls pérdids usds pr ls vntuls mpnnts disiptivs, d un d sts nómns s 4 Est lngitud quivl l rrión pr xtrm d l ms ústi dl ir n un tub sin pstñ (uión (7)). 45

46 , Im π Z r ρ,, R,,, π/λ / Figur 38. Prts rl imginri d l impdni ústi d rdiión nrmlizd d un pistón irulr rígid n l xtrm d un tub sin pstñ. Ls líns d trz rprsntn ls prximins sintótis pr b runi y lt runi rsptivmnt (Brnk, 96). rvrsibl, l ul signii qu s psibl trnsrmr nrgí máni n létri vivrs. L primí d un u tr sntid d trnsduión n d s nrt bd más rzns nstrutivs qu nptuls y, d hh, irts trnsdutrs pudn umplir mbs unins. 5 El nálisis d ls trnsdutrs rquir n gnrl plntr un sistm d ds uins n ds vribls prtnints un dmini (pr mpl létri) y trs ds prtnints l tr (pr mpl, máni). 3.. Trnsduión ltrmgntmáni L myrí d ls ltvs y muhs miróns bsn su uninmint n ls intrins ltrmgntmánis qu tinn lugr n un ndutr n mvimint pr l qu irul un rrint létri n prsni d un mp mgnéti (igur 39). Supngms qu l ndutr tin lngitud l y s prpndiulr un mp mgnéti d induión B, y qu pr él irul un rrint i. Entns prrá sbr él un urz prpndiulr l mp y l ndutr dd pr B l i. (79) Si dmás l ndutr s dsplz n vlidd u prpndiulr l mp mgnéti y su prpi dirión, s rrá ntr sus xtrms un urz ltrmtriz d vlr B l u. (8) 5 Un mpl d ll s l pquñ ltvz utilizd n muhs prtrs létris, qu tmbién s prvhd m mirón. 46

47 B l i B l u () (b) Figur 39. () Furz gnrd sbr un ndutr d lngitud l inmrs n un mp mgnéti B pr l qu irul un rrint létri i. (b) Furz ltrmtriz induid n l ndutr und s muv n un vlidd u. Ls uins (79) y (8) vinuln vribls létris (i, ) n vribls mánis (u, ), y l hn d md tl qu s nsrv l ptni. En t, si l tnsión plid l ndutr s v y pr él irul un rrint i, l ptni létri ntrgd srá W v i. Pr l sgund ly d Kirhh l urz ltrmtriz induid dbrá igulr l tnsión plid, d md qu W i B l u u W m. (8) B l Vms qu l ptni létri inid n l ptni máni qu l urz gnrd dsrrll sbr l rg máni l bligrl mvrs n vlidd u. 6 Cn l nlgí d mvilidd (vlidd quivlnt tnsión y urz quivlnt rrint), ls rlins (79) y (8) rrspndn un trnsrmdr, mintrs qu n l nlgí d impdni rrspndn un girdr (igur 4). i Bl : i Bl : u v u v Figur 4. Mdls d un trnsdutr d bbin móvil. A l izquird, utiliznd l nlgí d mvilidd. A l drh, mdint l nlgí d impdni. 6 En st nálisis s supus qu l ndutr s idl, s dir qu su rsistni y su indutni sn nuls. En l s rl, un prt d l ptni létri s disiprá n l prt rsistiv y tr srá ntrgd n rm d ptni rtiv mdiind l mp mgnéti ttl. 47

48 Cund un gnt gnrdr létri xtrn impn l irulión d un rrint pr l primri, n l sundri prrá un urz pz d mvr un rg máni. En s s strms n prsni d un trnsdutr ltrmáni, m un mtr un ltvz. Cund, ntrrimnt un gnt xtrn imprim un mvimint (vlidd), s gnrrá un urz ltrmtriz pz d xitr un rg létri. Es l s dl trnsdutr mnlétri, m un dínm un mirón. 3.. Trnsduión ltrstáti Alguns ltvs y grn ntidd d miróns s bsn n ls intrins ltrstáti-mánis qu s prsntn n un ndnsdr un d uys pls s móvil. Cnsidrms un ndnsdr n dilétri d ir, m l d l igur 4, V v i Q Q X X x Figur 4. L pl iniilmnt ubid n X s dsplz hst un nuv psiión X x. uys pls hn sid prvists d un rg ± Q pr mdi d un tnsión V. S db umplir dnd C s l pidd n quilibri, dd pr C V Q, (8) C A ε, (83) X sind A l ár d ls pls, X, l sprión ntr lls n quilibri y ε, l nstnt dilétri dl ir. Si hr un d ls pls s dsplz un distni x, l pidd psrá vlr C A ε. (84) X x Supnind qu l rg s mntin nstnt, 7 l tnsión srá 7 Si bin st n s rigursmnt irt, pdrms supnrl prximdmnt válid si l rrint s pquñ. Más dlnt tndrms n unt l vriión dbid l rrint. 48

49 Q V v ( X x) (85) ε A D (8) y (83) s tin d dnd y, pr nsiguint, V v v Q X, (86) ε A Q x, (87) ε A V x. (88) X Est uión inluy l dsplzmint lngión x, qu pud xprsrs m l intgrl d l vlidd, n l dmini trnsrmd d Lpl, V V ( s) U ( s). (89) X s Pr mpltr l mdl ltrmáni tngms n unt qu l urz ntr ds pls n rgs ±Q s F Q. (9) ε A El sign () bd qu l urz s pust l dsplzmint. Si xprsms l rg ttl m l vlr d quilibri Q suprpust un vlr inrmntl q, rsult F ( Q q) Q Qq. (9) ε A ε A L prximión surg d dsprir q pr sr pquñ y d rdn suprir. Pdms rtnr sól l mpnnt inrmntl d l urz, rsultnd Q q V q. (9) ε A X Cnvin xprsr q n términs d l rrint i, l ul pud hrs intgrnd st últim. Rsult l uión linlizd siguint F( s) V I ( s). (93) X s 49

50 L nstnt d trnsduión s l mism n mbs ss, pr l qu l ptni intrmbid s l mism dl ld létri y máni. Pr dmstrrl s nsri psr primr l ntión sril y plir l uión 39. D (89) y (93): V V U, (94) X F X V I. (95) Rsult V I F U. (96) Est impli qu ls prts rls sn iguls, pr l qu l ptni létri y l máni inidn Trnsduión mnústi L trnsduión mnústi s d nturlz muy snill, dd qu n rlidd l nrgí n ug s máni n mbs ss. A md d mpl nsidrms un sistm n l qu un pistón rígid sil dntr d un tub gnrnd un nd snr, m s mustr n l igur 4. u A p q u A : q p Figur 4. Un trnsdutr mnústi y su mdl m trnsrmdr. L urz plid l pistón s trnsmitid, pr sr ést rígid, l ir dntr dl tub. Si l ár dl pistón s A, rsult qu l prsión rid pr l pistón s p, (97) A Al mism timp, l udl q impulsd pr l pistón l mvrs n un vlidd u srá q A u. (98) Ests uins dtrminn l prs d trnsduión mnústi. Pdms vr áilmnt qu l ptni máni W m ntrgd l pistón s nvirt íntgrmnt n ptni ústi W, y qu 5

51 W m p q A u u W. (99) A Asimism, l prs s rvrsibl, y qu si un nd ústi inid sbr l pistón n un prsión p y un udl q, s plirá un urz sbr l pistón btnid d (97) y l pistón s mvrá n un vlidd u btnid d (98). 4. Altvz d bbin móvil Aplirms hr ls npts ntrirs l nálisis dl ltvz d rdiión dirt d bbin móvil ltrdinámi. Cm s mustr n l rt squmáti d l igur 43, l ltvz stá nstituid pr un dirgm óni qu s muv slidri un bbin inmrs n un mp mgnéti. Dih mp s rigin n un imán prmnnt tridl uy iruit mgnéti s mplt n un pl ntrl y un piz plr qu l rd. L bbin s nuntr n l spi d ir dnmind ntrhirr, sbr l ul xist un mp mgnéti B n dirión rdil (igur 44b). Entrhirr Imán prmnnt Armzón Cn dirgm Suspnsión lásti priéri Suspnsión lásti ntrl rñ Pl ntrl Pl pstrir ult Bbin móvil Prtión ntiplv Piz plr Figur 43. Crt trnsvrsl d un ltvz d bbin móvil d rdiión dirt típi, n dnd s indin sus prts uninlmnt más imprtnts. 5

52 4.. Ciruit quivlnt dl ltvz El ltvz dsript s mprt snilmnt m un mtr linl. Dd qu l mp mgnéti trvis rdilmnt l ntrhirr y qu l bbin s muv prllmnt su, s dn ls ndiins pr l vlidz d ls uins (79) y (8). A ts d btnr l iruit létri quivlnt tngms n unt, n primr lugr, qu dl ld létri l bbin ps un rsistni R E y un indutni L E n sri n l primri dl girdr ltrmáni. Dl ld máni s nuntr l ms mbind dl dirgm (n) y l bbin, M MD, l mplini máni C MS d ls suspnsins y l rsistni máni R MS, rmd pr ls rrspndints ls suspnsins y l vissidd dl ir n l ntrhirr. Ests impdnis stán n sri, pus s muvn slidrimnt l mism vlidd u, 8 y stán su vz n sri n l sundri dl girdr ltrmáni y n l primri dl trnsrmdr mnústi. Finlmnt, dl ld ústi, tnms l impdni ústi d rdiión Z r. Si l ltvz s nuntr l ir pr mbs rs dl n, prrá ds vs Z r, un pr d r. 9 En l igur 45 s mustr l iruit quivlnt mplt, inluynd l gnrdr d sñl g (típimnt un mpliidr d udi d ptni) y su rsistni intrn, R g. () (b) Figur 44. () Dtll d l unidd mtriz d un ltvz d bbin móvil. El imán prmnnt, l piz plr y l bbin s hn sind trnsvrslmnt. (b) Líns d mp mgnéti n l ntrhirr. 8 9 Supnms qu l n s rígid, l ul s un prximión válid runis mdrds. Est sud prqu l urz qu s pn l mvimint, dd pr l prsión multiplid pr l ár dl dirgm, pr ds vs. 5

53 R g L E R E M C MS i MD Bl : u D R MS A : q r g v D r p r Z r Z r Figur 45. Ciruit quivlnt d un ltvz d bbin móvil ntd un unt d sñl g n rsistni intrn R g. Db ntrs qu l prsión snr btnid mdint st iruit s l prsión snr n l p d ir dynt l n, n l prsión snr n un punt rptr ld. Pr btnr l prsión snr tiv n un punt X irt distni r dl ntr dl n (igur 46) supnind r >>, dnd s l diámtr dl n s nsri plir l uión (59). El pdr dl n Q, rqurid n dih uión, inid n l udl d rdiión q r btnid dl iruit d l igur 45. r X p(r, θ, t) θ Figur 46.Prsión prduid n un punt X pr un pistón irulr rígid sbr un prd pln ininit. Cund l lngitud d nd s muh myr qu l diámtr dl n (λ >>, s dir, << ) l prsión snr s si mnidirinl (igur 3). Tnind n unt qu J (x)/x und x, d (59) rsult 53

54 Q ( t r p r t / (, θ, ) ρ ). () πr Est uión s si idénti l (48), rrspndint unts simpls, slv pr l tr n lugr dl 4 n l dnmindr. Ell s db qu n st s l udl Q s irrdi n un smispi (l limitd pr l prd pln ininit) n lugr d td l spi. El vlr iz d l prsión snr s, ntns, Q P ρ. () r dnd Q s l udl iz impulsd pr l n, pdr iz dl mism. Dbid qu l udl dsplzd pr l dirgm s pud lulr áilmnt prtir d su vlidd u D y su ár A, vs s mit l trnsduión mnústi dl mdl, m s indi n l igur 47. En st s s trb dirtmnt n l impdni máni d rdiión, qu stá vinuld n l impdni ústi d rdiión trvés dl udrd dl ár: Z F U PA Q / A mr A Z r. () L vlidd dl dirgm s lul dirtmnt prtir dl iruit rsultnt. R g L E R E M C MS i MD Bl : u D g v D R MS Z mr Z mr Figur 47. Ciruit quivlnt d un ltvz d bbin móvil n l qu s h mitid l trnsduión mnústi, sustituyéndl pr ls impdnis mánis quivlnts d rdiión. Tmbién s psibl btnr un iruit quivlnt purmnt létri plind ls prpidds dl girdr. Así, ls impdnis mánis s trnsrmn n dmitnis létris dividind pr l rlión dl girdr l udrd: Y I V F Bl Bl U Z m ( Bl), (3), quivlntmnt, ls impdnis mánis n sri s trnsrmn n impdnis létris n prll multiplind su rípr pr l rlión dl girdr l udrd: Z ( Bl). (4) Z m 54

55 El rsultd s mustr n l igur 48. En l s d l impdni ústi d rdiión, su quivlnt létri srá: Z r ( Bl), (5) A Z r dnd A s l ár dl n. Pr lulr l vlidd dl dirgm, nsri pr dtrminr su udl ( pdr d l unt), bst dividir l tnsión v pr Bl: v u D. (6) Bl Db bsrvrs, n bstnt, qu v n s l tnsión qu s mdirí dirtmnt n brns dl ltvz y qu ést inluy l íd n su rsistni R E y n su indutni L E. R g L E R E i g v C MS (Bl) M MD (Bl) (Bl) R MS (Bl) Z mr (Bl) Z mr Figur 48. Ciruit létri quivlnt d un ltvz d bbin móvil n l qu s hn trnsrmd tds ls impdnis l dmini létri. L vlidd dl n pud btnrs dividind l tnsión v pr Bl (uión (5)) Empl Cnsidrms un prlnt uy bbin tin 8 m d diámtr y 3 vults d br d,6 mm d diámtr, uy n tin un diámtr tiv d 6 m y un ms d 8 g y uy nstnt lásti s d 56 N/m y su riión,5 Ns/m. Supngms, dmás, qu l induión mgnéti n l ntrhirr s Wb/m, qu l indutni d l bbin s,55 mhy y qu l rsistni d l unt d sñl s d, Ω. Ns prpnms btnr l iruit létri quivlnt y sus prpidds básis n b runi ( << /). Obtngms primr l rsistni létri d l bbin, R E. L lngitud ttl l y l sión S dl lmbr sn l 3 π,8 m 8,4 m. S π (,6 / ) m, 8 m S sb, dmás, qu l rsistividd dl br s ρ Cu,7 8 Ωm, d dnd 55

56 R E l ρ Cu /S 8,4,7 8 / (, 8 ) Ω 6,88 Ω. L rsistni létri d l bbin y l gnrdr d sñl s, pr nsiguint, R g R E 6,88 Ω, Ω 7 Ω. Dd qu l dnsidd dl br s δ Cu 87 kg/m 3, l ms d l bbin s M b l S δ Cu 8,4, 8 87 kg,4 kg pr l ul l ms ttl s M MD M n M b,8 kg,4 kg,94 kg. En b runi, d (69), Z r, 345,3 π, ,3 3 π ,53,49. Multiplims pr l ár dl n l udrd pr btnr l impdni máni d rdiión: Z mr (π ) Z r, L impdni vist pr l gnrdr pud btnrs prtir d l igur 48, dnd R MS ν y C MS /k. Rsult: Z ( B l) Rg RE LE. (7) k M MD ν Zmr Un prámtr d intrés s l runi d rsnni dl ltvz. En runis dl rdn d Hz pud vrs pr álul dirt qu l indutni d rign ltrmgnéti d l bbin r un rtni dspribl rnt R g R E, pr l ul pud dsprirs. L rsnni dpndrá, pr l tnt, priniplmnt dl últim términ, qu pud sribirs m,94,5 56 ( B l) 3, 6.,4 Admitind, pr simpliir ls áluls, qu l términ rl n tin un t muy pquñ sbr l runi d rsnni, s llg qu ést s prximdmnt l qu rsult d nulr l prt imginri dl dnmindr, s dir 56 r 77,8 Hz. π,94,4 56

57 Pdms vriir qu st runi ls términs n y n / vln ±,4 kg/s mintrs qu l términ n vl,75 kg/s, pr l qu l prximión tud s válid. N bstnt, l prsni d dih términ sí inluy n l mgnitud dl pi d rsnni, y qu n st s l mprión db turs ntr l términ nstnt,,5 kg/s. El tr d lidd d dih pi srá:,4 Q 9,.,5 75 Lug d l rsnni, l impdni lnz un mst bstnt xtns n l ul l impdni s si rsistiv 57

58 Rrnis Abrmwitz, Miltn; Stgun, Irn A.: Hndbk mthmtil Funtins. Dvr Publitins. Nw Yrk, 97. Brnk, L L.: Aústi. Editril Hispnmrin S. A. Buns Airs (Arg.), 96. Brnk, L L.: Austil Msurmnts. Amrin Institut Physis. Cmbridg, USA, 993. Dvis, Dn; Dvis, Crlyn: Sund Systm Enginring. SAMS (Prnti Hll Cmputr Publishing). Crml, Indin, USA, 994. Flthr, Hrvy: Sph nd Hring in Cmmunitin - ASA Editin. Amrin Institut Physis (r th Austil Sity Amri). Wdbury, USA, 995. Hs, Hlmut: Th inlun singl h n th udibility sph. Jurnl th Audi Enginring Sity, Vl, N, Mrh 97, pp Ingrd, Un. On th Thry nd Dsign Austi Rsntrs. Jurnl th Austil Sity Amri Vl 5 Nº 6, Nv 956, pp 37-6 Kinslr, Lwrn; Fry, Austin; Cppns, Aln; Sndrs, Jms: Fundmnts d Aústi. Editril Limus. Méxi, 995 Lvin, H; Shwingr, J. On th rditin sund rm n unlngd irulr pip. Phys. Rv., 73: , 5 d brr d 948. Miyr, Fdri: El AD536: Un nvrsr d vrddr vlr iz n ntinu. Trí d prión. Publiión intrn d l Esul d Ingnirí Eltróni d l Fultd d Cs. Exts, Ingnirí y Agrimnsur, Univrsidd Ninl d Rsri. Rsri, Argntin, 997. Dispnibl n l siti d Intrnt Miyr, Fdri: Aústi y Sistms d Snid. UNR Editr. Rsri, Argntin, 999. Miyr, Fdri: Intrduión l Aústi. Publiión intrn d l Fultd d Cinis Exts, Ingnirí y Agrimnsur, U. N. R. Rsri (Arg.), 3. Miyr, Fdri: Intrduión l Psiústi. Publiión intrn d l Fultd d Cinis Exts, Ingnirí y Agrimnsur, U. N. R. Rsri (Arg.), 3. Mrs, Philip M.: Vibrtin nd Sund. Amrin Institut Physis. USA, 98. Mrs, Philip M., Ingrd, K. Un: Thrtil Austis. Printn Univrsity Prss. Printn, NJ, USA, 986. Pir, Alln D.: Austis. An Intrdutin t its Physil Prinipls nd Applitins. Austil Sity Amri. Wdbury, NY, USA, 99. Srs, Frnis: Fundmnts d Físi. I. Máni, lr y snid. Editril Aguilr. Mdrid, 975. Zwikr, E.; Fldtkllr, R.: Th Er s Cmmunitin Rivr. Amrin Institut Physis (Austil Sity Amri). USA, 999. Zwikr, E.; Fstl, H.: Psyhustis. Fts nd Mdls. Springr. Brlin Hidlbrg,