Cómo resolver inecuaciones de primer y segundo grado en el conjunto de los números reales?

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1 4 Cómo resolver inecuciones de primer y segundo grdo en el conjunto de los números reles? Prof. Jen-Pierre Mrcillou OBJETIVOS: L clculdor CASIO ClssPd 33 dispone del comndo solve] de los sumenús desplegles Avnzdo y Ecución/Desiguldd del menú Acción pr resolver inecuciones en el conjunto de los números reles. CONCEPTOS, SIMBOLOGÍA Y FÓRMULAS: Inecución: Es un relción de desiguldd que se present jo l form de dos expresiones lgerics seprds por uno de los signos < (menor que), > (myor que), (menor o igul que), (myor o igul que). Vrile o incógnit: Es un símolo destindo ser sustituido en l inecución por un elemento del conjunto donde se uscn ls soluciones. Resolver un inecución: Signific encontrr todos los vlores de sus vriles que stisfcen l condición expresd en l inecución. Solución de un ecución: Es un vlor de l vrile que stisfce l condición expresd en l inecución. Conjunto solución de un inecución: Es el conjunto formdo por tods ls soluciones de l inecución. En generl, el conjunto solución de un inecución se escrie jo l form de uniones de intervlos y preferilemente como l unión de l menor cntidd de intervlos. Inecuciones equivlentes: Son inecuciones que tienen el mismo conjunto solución. Proceso de resolución de un inecución: Consiste en sustituir l inecución originl por otr equivlente que teng el mismo conjunto de soluciones, y que se más fácil de resolver. Verificción de un solución: Pr verificr si un solución es correct, hy que sustituir l vrile (o ls vriles) por est solución en mos miemros de l ecución, clculrlos y corroorr que el vlor de est vrile stisfce l condición expresd en l inecución. Operciones permitids en l resolución de inecuciones: Reducir correctmente un inecución inecuciones más sencills signific no perder soluciones ni dquirir soluciones extrñs. Ls tres operciones permitids que grntizn l equivlenci son:. Se puede sumr (o restr) el mismo polinomio (de) mos miemros de un inecución, cundo este tiene l mism vrile de l inecución originl, y l nuev inecución que result tiene el mismo sentido que l inecución originl. Consecuenci: Se puede trnsponer culquier término de un miemro otro miemro cmindo el signo del término.. Se puede multiplicr o dividir mos miemros de un inecución por l mism cntidd positiv, y l nuev inecución que result tiene el mismo sentido que l inecución originl. 3. Se puede multiplicr o dividir mos miemros de un inecución por l mism cntidd negtiv, y l nuev inecución que result tiene el sentido contrrio de l inecución originl. Consecuenci: Se pueden cmir los signos todos los términos de un inecución si se cmi el signo de ést. 4. Se puede reemplzr culquier de los dos miemros de un inecución por un expresión igul (equivlente), y l nuev inecución que result tiene el mismo sentido que l inecución originl. 5. Si mos miemros de un inecución son positivos o negtivos, entonces sus inversos respectivos están relciondos con el símolo de desiguldd contrrio l inecución originl.

2 6. Si mos miemros de un inecución son positivos, y se elev cd miemro un mism potenci, entonces l inecución que result tiene el mismo sentido que l inecución originl. Operciones riesgoss en l resolución de inecuciones: Se presentn continución lguns operciones peligross en l resolución de inecuciones:. Multiplicr mos miemros de un inecución por un expresión que contiene l vrile.. Dividir mos miemros de un inecución por un expresión que contiene l vrile. 3. Elevr mos miemros de un inecución potenci de igul exponente. Al plicr ls operciones y 3 se ensnch el conjunto solución, y por lo tnto precen soluciones extrñs; l plicr l operción, se estrech el conjunto solución, y por lo tnto desprecen soluciones. Inecución de primer grdo: Un inecución de primer grdo en l vrile x (inecución linel), es un inecución x + < (, >, ) con R, R. que se puede escriir jo l siguiente form { } Forms de expresr el conjunto solución de un inecución: En generl, y slvo csos prticulres, el conjunto solución de un inecución es un conjunto infinito de vlores. Existen tres forms de representr dicho conjunto solución, ser: Form nlític, Form gráfic, Form de intervlo. Es importnte señlr que se utiliz el símolo de corchetes y no préntesis pr representr un conjunto solución jo l form de intervlo. Form nlític Form de intervlo Form gráfic x, ] x <, + ] + < x ], ] < x < ], x x, > ], x ],] x < ], ] ] + ] + + ] ] Proceso de resolución de un inecución de primer grdo: Pso : Clcul el Conjunto de Vlores Admisiles (CVA) pr los cules tienen sentido mos miemros de l inecución. Pso : Suprime denomindores (si los hy) multiplicndo mos miemros de l inecución por el Mínimo Común Múltiplo de los denomindores. Pso 3: Reduce los dos miemros de l inecución resultnte.

3 Pso 4: Agrup en el miemro izquierdo de l inecución los términos que contienen l incógnit, y en el otro miemro los que no l contienen. Pso 5: Reduce mos miemros de l inecución derivd. Pso 6: Divide mos miemros por el coeficiente de l incógnit pr otener l solución. Pso 7: Verific que l solución otenid pertenece l CVA. Resolución de un inecución de primer grdo con un incógnit en el conjunto de los números reles R x R / x + x + < = > <, S =, = S = ],] > = S R, = S =, S =, Resolución de un inecución de primer grdo con un incógnit en el conjunto de los números reles R x R / x + > x + > < = > <, S =, = S = ], = = S = ] ; >,, Resolución de un inecución de primer grdo con un incógnit en el conjunto de los números reles R x R / x + x + < = > < S =, S =, = S =, = S R = S = ],] > S =,, Resolución de un inecución de primer grdo con un incógnit en el conjunto de los números reles R x R / x + < x + < < = > <, S =, = S = ], = = S = ], >,, 3

4 Resolución de inecuciones que se reducen l resolución de inecuciones de primer grdo: Inecución de l form A(x)B(x)C(x) < (método de l tl de vlores o intervlos) Pso : Clcul ls ríces de cd fctor A(x), B(x) y C(x). Pso : Construye l tl de vlores y uic en orden creciente ls ríces de cd fctor en l primer fil. Pso 3: Estudi el signo de cd fctor en cd uno de los intervlos formdos. Pso 4: Determin el signo de l expresión A(x) B(x) C(x) en cd uno de los intervlos formdos. Pso 5: Consider los intervlos en donde l expresión conserv el signo de l desiguldd originl. Pso 6: El conjunto solución S es l unión de todos los intervlos encontrdos en el pso nterior. Inecución de l form A(x) A(x)B(x) B(x) < < y procede igul que nteriormente. Inecución de segundo grdo: Un inecución de segundo grdo en l vrile x, es un inecución que se puede x + x + c <, (, >, ), R, R, c R. escriir jo l siguiente form { } Procedimiento de resolución de un inecución de segundo grdo: Pso : Sustituye el signo de desiguldd por el de un iguldd, es decir resuelve x + x + c =. Pso : Fctoriz, si es posile, x + x + c jo l form de un producto de dos fctores lineles, o si no escríelo como l sum de dos cudrdos. Pso 3: Construye l tl de vlores (cudro de vrición de signos). Pso 4: Determin el conjunto solución S de l inecución. Resolución de un inecución de segundo grdo con un incógnit en el conjunto de los números reles R * x R / x + x + c ( R, R,c R) < = S = > S = x,x ] S = ],x ] U x + Resolución de un inecución de segundo grdo con un incógnit en el conjunto de los números reles R * x R / x + x + c > ( R, R,c R) < = S = R > S = ] x,x S = ],x U ] x, Resolución de un inecución de segundo grdo con un incógnit en el conjunto de los números reles R + + * x R / x x c ( R, R,c R) < = S = > S = ],x ] U x + S = x,x ] 4

5 Resolución de un inecución de segundo grdo con un incógnit en el conjunto de los números reles R + + < * x R / x x c ( R, R,c R) < = S = R > S = ],x U ] x, S = ] x,x Determinción del signo del trinomio de segundo grdo { } P(x) = x + x + c, R, R, c R x + x + c = + + = 4c + + signo de signo de P(x) = x + x + c signo de < signo de signo de = / signo de signo de signo de > x x x si x < Vlor soluto: Si x R, el vlor soluto de x, designdo por x, se define como sigue x = si x =. Resolución de inecuciones con vlor soluto: Inecuciones de l form P(x) Inecuciones de l form P(x) k con k > : P(x) k k P(x) k k con k > : P(x) k P(x) k ó P(x) k x si x > Inecuciones de l form P(x) Inecuciones de l form P(x) Q(x) : P(x) Q(x) Q(x) P(x) Q(x) Q(x) : P(x) Q(x) P(x) Q(x) ó P(x) Q(x) Resolución de P(x) P(x) Q(x) : Q(x) si y sólo si ocurre lgun de ls siguientes desigulddes:. Q(x) S. Q(x) y P(x) y P(x) Q(x) S 3. Q(x) y P(x) y P(x) Q(x) S3 En consecuenci se tiene que el conjunto solución S es S = S U S U S3. Resolución de P(x) Q(x) : ( ) ( ) ] ] P(x) Q(x) P(x) Q(x) P (x) Q x P (x) Q (x) P(x) Q(x) P(x) + Q(x) 5

6 OPERACIÓN CON LA CALCULADORA: Cundo se ctiv el menú secundrio Avnzdo del menú desplegle Acción, prece el comndo solve] relciondo con l resolución de inecuciones. El primer comndo solve], como lo indic l pntll djunt, permite resolver inecuciones (Ine) en el conjunto de los números reles. Sintxis del comndo solve]: solve(inecución,vrile) Si se omite el nomre de l vrile de resolución después de Inecución, es implícito que es l vrile x. Cundo se ctiv el menú secundrio Ecución/Desiguldd del menú desplegle Acción, prece el comndo solve] relciondo con l resolución de inecuciones. El primer comndo solve], como lo indic l pntll djunt, permite resolver inecuciones (Ine) en el conjunto de los números reles. Sintxis del comndo solve]: solve(inecución,vrile) Si se omite el nomre de l vrile de resolución después de Inecución, es implícito que es l vrile x. Como se puede oservr el menú secundrio Ecución/Desiguldd permite tener cceso diferentes comndos: rewrite], exchnge], eliminte], sexpnd], ndconnect], getright], getleft], nd], or], xor], y not] como lo muestr l figur nterior, los cules serán muy útiles en el proceso de resolución de sistems de inecuciones. El comndo rewrite] hce psr todos los elementos del ldo derecho de l inecución l ldo izquierdo y en consecuenci trnsform el ldo derecho en cero. Sintxis del comndo rewrite]: rewrite(inecución) < + < El comndo exchnge] intercmi los elementos del ldo derecho de l inecución con los elementos del ldo izquierdo. Sintxis del comndo exchnge]: exchnge(inecución) < > El comndo eliminte] despej un vrile de un ecución (Ecu ), y sustituye el resultdo en otr ecución (Ecu ). Sintxis del comndo eliminte]: exchnge(ecu,vrile,ecu ) El comndo sexpnd] elimin el vlor soluto de un inecución. Sintxis del comndo sexpnd]: sexpnd(inecución) El comndo ndconnect] comin dos expresiones en un sol expresión. Sintxis del comndo ndconnect]: ndconnect(ine,ine ) f(x) < < f(x) < 6

7 El comndo getright] extre el ldo derecho de un ecución. Sintxis del comndo getright]: getright(ecución) El comndo getleft] extre el ldo izquierdo de un ecución. Sintxis del comndo getleft]: getleft(ecución) El comndo nd] devuelve el resultdo del operdor lógico nd ( ) de dos expresiones. Sintxis del comndo nd]: Expresión nd Expresión El comndo or] devuelve el resultdo del operdor lógico or inclusivo ( ) de dos expresiones. Sintxis del comndo or]: Expresión or Expresión El comndo xor] devuelve el resultdo del operdor lógico or exclusivo ( ) de dos expresiones. Sintxis del comndo xor]: Expresión xor Expresión El comndo not] devuelve el resultdo del operdor lógico not ( ) de un expresión. Sintxis del comndo not]: not(expresión) Oservción: Si l inecución resolver depende de un sol vrile diferente de l vrile x, y se omite el nomre de l vrile después de Inecución, entonces prece en l líne de slid el mensje No Solution. Cómo resolver un inecución linel de primer grdo con un vrile?. Resuelve en el conjunto de los números reles l siguiente ecución 5x 3x 3 5x + <. 4 3 () Presione l tecl ON/OFF] y ctive l Aplicción Principl tocndo el icono del pnel de iconos. () Toque Edit] / Borrr todo] / Acep.] pr limpir el áre de trjo. (3) Presione l tecl Keyord] pr ctivr el tecldo virtul y toque l lengüet D] pr cceder l tecldo mtemático nturl. (4) Toque Acción] / Avnzdo] / solve] y seguidmente ] / 5] / x] / ] / ] ] / 4] / ] / ] / ] / 3] / x] / ] / ] / 3] / ] / ] / ] / ] / mth] / OPC] / <] / D] / ] / 5] / x] / +] / ] / ] / 3] / Ejec] pr introducir l inecución resolver, y,. El prece en l líne de slid el conjunto solución S de l inecución: ] comndo solve] resuelve l inecución por defecto con respecto l vrile x y present el conjunto solución S jo l form nlític. 7

8 . Resuelve en el conjunto de los números reles l siguiente inecución 3x x + < + x. 5 (5) Toque Edit] / Borrr todo] / Acep.] pr limpir el áre de trjo. (6) Toque Acción] / Avnzdo] / solve] y seguidmente ] / 3] / x] / ] / ] / ] / 5] / ] / ] / ] / x] / +] / ] / ] / ] / ] / <] / ] / +] / ] / x] / ] / ] / ] / Ejec] pr introducir l inecución resolver, y prece en l líne de slid el conjunto solución S de l inecución:. El comndo solve] resuelve l inecución por defecto con respecto l vrile x. Al precer en l líne de x = x, esto signific que l vrile x puede tomr culquier vlor en el slid { } conjunto de los números reles y siempre se cumplirá l desiguldd originl. 3. Resuelve en el conjunto de los números reles l siguiente inecución 3x x + > + x. 5 (7) Toque Edit] / Borrr todo] / Acep.] pr limpir el áre de trjo. (8) Toque Acción] / Avnzdo] / solve] y seguidmente ] / 3] / x] / ] / ] / ] / 5] / ] / ] / ] / x] / +] / ] / ] / ] / ] / >] / ] / +] / ] / x] / ] / ] / ] / Ejec] pr introducir l inecución resolver, y prece en l líne de slid el conjunto solución S de l inecución:. El comndo solve] resuelve l inecución por defecto con respecto l vrile x. Al precer en l líne de slid No solution, esto signific que no existe ningún vlor de l vrile x en el conjunto de los números reles tl que se cumpl l desiguldd originl. Cómo resolver un inecución que se reduce inecuciones lineles de primer grdo con un vrile? 4. Resuelve en el conjunto de los números reles l siguiente inecución (x + )(3 x)(x ) <. (9) Toque Edit] / Borrr todo] / Acep.] pr limpir el áre de trjo. () Toque Acción] / Avnzdo] / solve] y seguidmente (] / x] / +] / ] / )] / (] / 3] / ] / x] / )] / (] / x] / ] / ] / )] / <] / ] / Ejec] pr introducir l inecución resolver, y prece en l líne de slid el conjunto solución S de l, 3,. El comndo solve] resuelve l inecución por inecución: ] ] defecto con respecto l vrile x y present el conjunto solución jo l form nlític. Cómo resolver un inecución rcionl de primer grdo con un vrile? 5. Resuelve en el conjunto de los números reles l siguiente inecución >. x x () Toque Edit] / Borrr todo] / Acep.] pr limpir el áre de trjo. () Toque Acción] / Avnzdo] / solve] y seguidmente ] / ] / ] / x] / ] / ] / ] / ] / ] / x] / ] / ] / ] / >] / ] / Ejec] pr introducir l inecución resolver, y prece en l líne de slid el conjunto solución S de l inecución:,. El comndo solve] resuelve l inecución por defecto con respecto ] l vrile x y present el conjunto solución jo l form nlític. 8

9 Cómo resolver un inecución cudrátic con un vrile? 6. Resuelve en el conjunto de los números reles l siguiente ecución (3) Toque Edit] / Borrr todo] / Acep.] pr limpir el áre de trjo. x x +. (4) Toque Acción] / Avnzdo] / solve] y seguidmente ] / x] / ^] / ] / ] / ] / ] / x] / +] / ] / ] / ] / ] / Ejec] pr introducir l inecución resolver, y 3 prece en l líne de slid el conjunto solución S de l inecución:,4. El comndo solve] resuelve l inecución por defecto con respecto l vrile x y present el conjunto solución jo l form nlític. 7. Resuelve en el conjunto de los números reles l siguiente ecución (5) Toque Edit] / Borrr todo] / Acep.] pr limpir el áre de trjo. 5x 7x (6) Toque Acción] / Avnzdo] / solve] y seguidmente ] / 5] / x] / ^] / ] / ] / 7] / ] / x] / +] / 4] / 9] / ] / ] / Ejec] pr introducir l inecución resolver, y 7 prece en l líne de slid el conjunto solución S de l inecución: 5. El comndo solve] resuelve l inecución por defecto con respecto l vrile x y present el conjunto solución jo l form nlític. 8. Resuelve en el conjunto de los números reles l siguiente ecución (7) Toque Edit] / Borrr todo] / Acep.] pr limpir el áre de trjo. 6x + 5x + <. (8) Toque Acción] / Avnzdo] / solve] y seguidmente 6] / x] / ^] / ] / +] / 5] / x] / +] / ] ] / ] / Ejec] pr introducir l inecución resolver, y prece en l líne de slid el conjunto solución S de l inecución:. El comndo solve] resuelve l inecución por defecto con respecto l vrile x y present el conjunto solución con el mensje No Solution. Cómo resolver un inecución rcionl cudrátic con un vrile? 9. Resuelve en el conjunto de los números reles l siguiente ecución 4 x 3x > +. x 6 5x + x x 3 (9) Toque Edit] / Borrr todo] / Acep.] pr limpir el áre de trjo. () Toque Acción] / Avnzdo] / solve] y seguidmente ] / 4] / ] / x] / ] / ] / ] / >] / ] / ] / x] / ^] / ] / ] / 6] / ] / 5] / x] / +] / x] / ^] / ] / ] / +] / ] / 3] / x] / ] / ] / ] / x] / ] / 3] / Ejec] pr introducir l inecución resolver, y prece en l líne de slid el conjunto solución S de l inecución: 3,4. El comndo solve] resuelve l inecución por defecto con respecto l ] vrile x y present el conjunto solución jo l form nlític. Cómo resolver un sistem de inecuciones con un vrile? x x 4 x < 3 5. Resuelve en el conjunto de los números reles el siguiente sistem de inecuciones. 5x + x 8 9

10 () Toque Edit] / Borrr todo] / Acep.] pr limpir el áre de trjo. () Toque Acción] / Avnzdo] / solve] y seguidmente ] / x] / ] / ] / ] / 3] / ] / ] / ] / x] / ] / 4] / ] / 5] / ] / <] / ] / x] / ] / ] / Acción] / Ecución/Desiguldd] / nd] / ] / 5] / x] / ^] / ] / +] / ] / x] / ] / 8] / ] / ] / Ejec] pr introducir el sistem de inecuciones resolver, y prece en l líne de 4 slid el conjunto solución S del sistem:,. El comndo solve] resuelve el sistem por defecto con respecto l vrile x y present el conjunto solución jo l form nlític. El estudio del proceso de resolución de inecuciones irrcionles, exponenciles, logrítmics y trigonométrics se desrrollrá en los próximos Cómo...?.. Determin en el conjunto de los números reles el conjunto solución S de cd un de ls siguientes inecuciones: ) > x 3 x 5 x 4 ) x 5 3x + < 3x + x 5 3) + < (3x 5)(4x )(9x 3) 4) < x 5x + 4 x 7x + 5) 7x 5(x + ) > 5x 7 x 49x + 5 6) + > x x 8 x +. Determin según los vlores del prámetro rel m el conjunto solución S de cd un de ls siguientes inecuciones: ) mx + > x + m ) m(x ) x m x + + > 3) 6 3 mx + (m ) x + m (m )(x + ) + > Determin en el conjunto de los números reles el conjunto solución S de cd un de los siguientes sistems de inecuciones: ) 3x 6 x 3 x 6 + < x + x + 8 4x > 4 77 ) (3x + 8) (x + 4) > 4 3 > x 4 x 3 x 3 x 5 < 5 x (x + ) (x + ) > 3) > x + 5 x 5 3 (x 3) 3 < (x ) 8 3