ANÁLISIS MULTIVARIADO

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1 MÓDULO 6: ANÁLISIS MULTIVARIADO PROFESOR: LUIS E. NIETO BARAJAS URL: htt://allman.rhon.itam.mx/~lnieto Dilomado en Estadística Alicada

2 OBJETIVO: Proorcionar al alumno los asectos básicos de la teoría y de la alicación con comutadora de las rinciales técnicas del análisis estadístico de varias variables (multivariado). PLAN DE ESTUDIOS:. Introducción.. Análisis exloratorio multivariado. 3. La distribución normal multivariada. 4. Análisis de comonentes rinciales. 5. Análisis de cúmulos. 6. Escalamiento multidimensional. 7. Análisis de factores. 8. Análisis discriminante. 9. Solución de roblemas rácticos. REFERENCIA BÁSICA: Johnson, D. E. (000). Métodos multivariados alicados. ITP International Thomson Editores: México.

3 REFERENCIAS ADICIONALES: Hair, J. F., Anderson, R. E., Tatham, R. L. & Black, W. (998). Multivariate data analysis. Prentice Hall College Division. Johnson, R. A. & Wichern, D. W. (00). Alied multivariate statistical analysis. Prentice Hall: London. Kachigan, S. K. (99). Multivariate statistical analysis. Radius Press. PAQUETES ESTADÍSTICOS: En el curso habrá un aquete estadístico básico, en el cual se ejemlificarán las técnicas resentadas. Este aquete básico no es exclusivo, si el alumno así lo desea, uede auxiliarse de cualquier otro aquete estadístico. Paquete básico: R (htt:// Paquetes auxiliares: Slus, SPSS, Statgrahics, Minitab, Matlab EVALUACIÓN: El alumno realizará un análisis estadístico de una base de datos multivariada. El trabajo debe contener un análisis exhaustivo usando al menos una de las técnicas multivariadas vistas en clase. Al finalizar el módulo, el alumno deberá exoner y entregar su trabajo conteniendo los siguientes untos: ) Descrición de la base de datos. ) Análisis de los datos (exloratorio y descritivo). 3) Conclusiones, en el contexto de los datos, sobre los análisis realizados. 4) Fuente de los datos y bibliografía usada. 3

4 . Introducción Los datos multivariados surgen en distintas áreas o ramas de la ciencia. Ejemlos: ) Investigación de mercados: Identificar características de los individuos ara determinar qué tio de ersonas comran determinado roducto. ) Agricultura: Resistencia de determinado tio de cosechas a daños or lagas y sequías. 3) Psicología: Relación entre el comortamiento de adolescentes y actitudes de los adres. En qué situaciones surgen los datos multivariados? Cuando a un mismo individuo se le mide más de una característica de interés. Un individuo uede ser un objeto o conceto que se uede medir. Más generalmente, los individuos son llamados unidades exerimentales. Ejemlos de objetos: ersonas, animales, terrenos, comañías, aíses, etc. Ejemlos de concetos: amor, amistad, noviazgo, etc. Características de los individuos: Los individuos deben de ser indeendientes entre sí. Una variable es una característica o atributo que se le mide a un individuo. 4

5 Tios de variables Numéricas Categóricas Continuas Discretas Ordenadas No ordenadas OBJETIVOS de los métodos multivariados: ) Simlificación: Los métodos multivariados son un conjunto de técnicas que ermiten al investigador interretar y visualizar conjuntos grandes de datos (tanto en individuos como en variables). ) Relación: Encontrar relaciones entre variables, entre individuos y entre ambos..) Relación entre variables: Existe relación entre variables cuando las variables miden una característica común. Ejemlo: Suonga que se realizan exámenes de lectura, ortografía, aritmética y álgebra a estudiantes de 6 o de rimaria. Si cada uno de los estudiantes obtiene calificaciones altas, regulares o bajas en los cuatro exámenes, entonces los exámenes estarían relacionados entre sí. En este caso, la característica común que estos exámenes ueden estar midiendo odría ser la "inteligencia global"..) Relación entre individuos: Existe relación entre individuos si alguno de ellos son semejantes entre sí. Ejemlo: Suonga que se evalúan cereales (ara el desayudo) resecto a su contenido nutricional y se miden, or ejemlo, los gramos de grasa, roteínas, 5

6 carbohidratos y sodio a cada uno de ellos. Se odría eserar que los cereales de fibra estén relacionados entre sí, o que los cereales endulzados tengan cierta relación entre sí, además se odría eserar que ambos gruos fueran diferentes de uno a otro. Uso de los métodos multivariados: Minerías de datos (data mining). Los métodos multivariados son realmente un conjunto de técnicas que en su gran mayoría tienen un carácter exloratorio y no tanto inferencial. CLASIFICACIÓN de los métodos multivariados: ) Dirigidas o motivadas or las variables: se enfocan en las relaciones entre variables. Ejemlos: matrices de correlación, análisis de comonentes rinciales, análisis de factores, análisis de regresión y análisis de correlación canónica. ) Dirigidas o motivadas or los individuos: se enfocan en las relaciones entre individuos. Ejemlos: análisis discriminante, análisis de cúmulos y análisis multivariado de varianza. EJEMPLOS de datos multivariados. Ejemlo. (Johnson, 000). Características de candidatos a ingresar a la olicía. 6

7 Variables (medidas en centímetros). EST: Estatura ESTSEN: Estatura sentados BRAZO: Longitud del brazo ANTEB: Longitud del antebrazo MANO: Ancho de la mano MUSLO: Longitud del muslo PIERNA: Longitud de la arte inferior de la ierna PIE: Longitud del ie Variables adicionales: BRACH: Razón de la longitud del antebrazo y de la del brazo 00 TIBIO: Razón de la arte inferior de la ierna y la del muslo 00 Ejemlo. (Johnson, 000). Consumo de caucho y otras variables desde 948 hasta 963. Variables. CTC: Consumo total de caucho CCN: Consumo de caucho ara neumáticos PA: Producción de automóviles PNB: Producto nacional bruto IPD: Ingreso ersonal disonible CCM: Consumo de combustible or motor Ejemlo 3. (SIMM90, CONAPO). Sistema automatizado de información sobre la marginación en México

8 Variables. NOMBRE: Nombre POB: Población total SUPERF: Suerficie DENSP: Densidad ANALF: Porcentaje de oblación mayor de 5 años analfabeta S/PRI: Porcentaje de oblación mayor de 5 años sin rimaria comleta S/EC: Porcentaje de ocuantes en viviendas sin drenaje ni excusado S/ELE: Porcentaje de ocuantes en viviendas sin energía eléctrica S/AGU: Porcentaje de ocuantes en viviendas sin agua entubada HACIN: Porcentaje de viviendas con hacinamiento PISOT: Porcentaje de ocuantes en viviendas con iso de tierra L5000: Porcentaje de oblación en localidades con menos de 5,000 habitantes INGRE: Porcentaje de oblación ocuada con ingreso menor de salarios mínimos INDICE: Indice de marginación GRADO: Grado de marginación Ejemlo 4. (Jonson & Wichern, 00). Tasas de retorno semanales de 5 acciones de la bolsa de Nueva York. Variables. A.Chem: Tasa de retorno de Allied Chemical Duont: Tasa de retorno de Du Pont U.Carbide: Tasa de retorno de Union Carbide 8

9 Exxon: Tasa de retorno de Exxon Texaco: Tasa de retorno de Texaco Ejemlo 5. (Jonson & Wichern, 00). Información sobre comañías de servicio úblico en E.U.A. en 975. Variables. : Razón de cobertura (Ingreso/Pasivo) : Tasa de retorno sobre caital 3 : Costo or caacidad de KW (en sitio) 4 : Factor anual de carga 5 : Crecimiento ico en la demanda entre 974 y 975 (kwh) 6 : Ventas anuales en kwh 7 : Porciento nuclear 8 : Costo total de energía (centavos or kwh) Ejemlo 6. (Internet). Información sobre créditos a ersonas físicas. Variables. CLASS: Clasificación de crédito, otorgado, 0 no otorgado. GENDER: Género del solicitante, hombre, 0 mujer AGE: Edad del solicitante (en años) JOBYRS: Antigüedad en el trabajo (en años) MSTATUS: Estado civil, casado, 0 soltero TOTINC: Ingreso total mensual (en dólares) TOTBAL: Deuda total (excluyendo deuda hiotecaria) TOTPAY: Pagos mesuales totales que el alicante realiza de TOTBAL 9

10 NOTACIÓN de matrices y vectores: = número de variables n = número de individuos ij = j-ésima variable del i-ésimo individuo x ij = valor observado de la j-ésima variable del i-ésimo individuo i=,...,n y j=,..., Matriz de datos: x x x x n x x x n x ij = elemento en el i-ésimo renglón y j-ésima columna Renglones = individuos Columnas = variables x x x n Vectores de datos: Los renglones de la matriz de datos se ueden exresar como vectores de la siguiente forma: El i-ésimo renglón de se escribe como i x x i, x i,..., x Nota: Todos los vectores son vectores columna, i.e., x i x i x i x i i 0

11 PROFESOR: LUIS E. NIETO BARAJAS ESPERANZAS y VARIANZAS de vectores aleatorios Media: ) E( ) E( ) E( E() es un vector de medias de dimensión. Varianzas-Covarianzas: E Cov(, ) () Var Escribiendo el vector comleto,,...,, E E

12 Finalmente, los elementos de se denotan como: donde, jj Cov( j, j) Var( j) E ( j j) Cov(, ) E ( )( ) kj k j es una matriz de varianzas y covarianzas dimensión. k k j j, ara j=,,...,, y, ara kj=,,..., Correlaciones: donde, kj Corr(k, j) Corr() kk kj jj, ara kj=,,..., Cometarios: ) El coeficiente de correlación kj es una medida de la relación lineal entre las variables k y j. ) - kj 3) Si k y j son v.a. indeendientes kj 0.

13 4) kj 0 Indeendencia entre k y j únicamente en el caso Normal. 5) Para areciar la relación (en general) entre dos variables es recomendable, además de calcular en coeficiente de correlación, hacer una gráfica de disersión de ellas. 3

14 . Análisis exloratorio multivariado.. Estadísticas multivariadas descritivas Las estadísticas descritivas (multivariadas), como su nombre lo indica, sirven ara describir el comortamiento de un conjunto de datos. Formalmente, un conjunto de datos es una realización de una muestra aleatoria i=,...,n, de una distribución multivariada. Es decir, ara,,..., n i En otras alabras, cada i es una variable aleatoria multivariada de dimensión. i i i. Por lo tanto, un conjunto de datos esta formado or n realizaciones de variables aleatorias. n n n. 4

15 MEDIA MUESTRAL: ˆ, n n i i que en realidad, escribiendo el vector comleto, se uede exresar como: ˆ ˆ ˆ ˆ Esto imlica que, ara j=,..., Proiedades: Slus: mean E ˆ. n n ˆ. j ij n i n n n. VARIANZA MUESTRAL: n ˆ i ˆ i ˆ, n i cuyos elementos se denotan como: ˆ ˆ ˆ ˆ n donde, ˆ jj ij ˆ j ˆ kj n n i ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ara j=,,...,, y n ik ˆ k ij ˆ j i, ara kj=,,...,. 5

16 Proiedades: R: var E ˆ. CORRELACIÓN MUESTRAL: r R r r r r r donde, r kj ˆ ˆ kk kj ˆ jj, ara kj=,,...,. Proiedades: ) - r kj ) R R: cor E. CUARTILES MUESTRALES: Estas estadísticas de orden se obtienen como en el caso univariado ara cada una de las variables. R: summary 6

17 .. Análisis gráfico de datos multivariados DIAGRAMAS DE DISPERSIÓN (bidimensional). Este tio de diagrama consiste en graficar simultáneamente en dos dimensiones diagramas de disersión entre todas las osibles arejas de variables. R: lot, airs DIAGRAMAS DE DISPERSIÓN (tridimensional) Este tio de diagrama consiste en graficar en tres dimensiones tres variables simultáneamente. R: DIAGRAMA DE BURBUJAS (tridimensional) Este tio de diagrama consiste en graficar en dos dimensiones tres variables en forma de burbujas de la siguiente manera: El eje de las s corresonde a una de las variables, el eje de las Ys corresonde a otra de las variables, y la tercer variable quedará reresentada or el tamaño de la burbuja. R: symbols CARAS DE CHERNOFF (multidimensional) Este tio de diagrama consiste en graficar un conjunto multivariado de variables en forma de caras, asociando características faciales diferentes a variables diferentes. Por ejemlo, una variable se odría asociar con el 7

18 ancho vertical del ojo, la segunda con el ancho horizontal, la tercera con el tamaño del iris, y las otras se odrían asociar con el esaciamiento de los ojos, la altura de los ojos, la longitud de la nariz, en ancho de la nariz, la longitud de las cejas, el ancho de las cejas. La inclinación de las cejas, el ancho de las orejas, la longitud de las orejas, la abertura de la boca, la sonrisa, etc. Estos diagramas son útiles ara detectar datos extremos (outliers). R: faces, faces DIAGRAMA DE ESTRELLAS (multidimensional) Este tio de diagrama se alica cuando todas las variables toman valores ositivos y consisten en graficar rayos o ejes que arten de un unto central. La longitud del rayo corresonde al valor de la variable y se tiene un rayo ara cada variable. Por ejemlo, vectores de datos con 5 variables requerirán 5 rayos searados entre sí or un ángulo de 7 grados. La rimera variable generalmente corresonde con el rayo que aunta hacia el norte y las otras variables se reresentan sobre los otros rayos en el orden del sentido del movimiento de las manecillas del reloj. R: stars DIAGRAMA DE ANDREWS (multidimensional) Este tio de diagrama consiste en reresentar a la observación i-ésima de un vector aleatorio -variado x,x,..., x x de la siguiente forma: i i xi (t) xisen(t) xi3 cos(t) xi4sen(t) xi cos(t) fi 5 i i 8

19 ara t. De esta forma, las observaciones ara el individuo i dan lugar a una única función f i (t). El diagrama de Andrews se construye graficando las funciones f (t), f (t),... f n (t) ara t. Estos diagramas son útiles ara encontrar agruamientos en los datos. También son útiles ara localizar datos extremos. Es recomendable que las variables estén medidas en unidades semejantes (estandarización). El orden de las variables afecta la interretación. 9

20 3. La distribución normal multivariada. 3.. Introducción y definiciones. La mayoría de los métodos multivariados tradicionales cuando son usados ara realizar inferencias, mas que ara un carácter exloratorio, suonen que los vectores de datos son muestras de v.a. normales multivariadas. Un vector aleatorio es normal multivariado si su distribución conjunta es normal multivariada. Existen varias DEFINICIONES equivalentes de una distribución normal multivariada: Definición (Simle): Se dice que un vector aleatorio,,..., tiene una distribución normal multivariada si a a,a,...,a tiene una distribución normal univariada ara todos los osibles valores del vector a. Definición (Formal): Se dice que un vector aleatorio,,..., tiene una distribución normal multivariada con vector de medias y matriz de varianzas-covarianzas, si su función de densidad está dada or j a j j 0

21 f x;, ex x x () / /, ara x Notación: N (, ) PROPIEDADES de la distribución normal multivariada: Si N (, ), es decir, el vector,,..., distribución normal multivariada, entonces ) E() = y Var() =. tiene una ) Cada j, ara j=,...,, tiene un distribución normal univariada. Es decir, j N( j, jj ) y or lo tanto, E( j ) = j y Var( j ) = jj. 3) Si jk 0 ( jk 0) ara jk=,..., entonces,,..., son v.a. indeendientes. Nota: Si cada j, j=,.., tiene una distribución normal univariada, no necesariamente el vector,,..., tendrá una distribución normal multivariada. En general sí se cumle, ero existen algunos casos atíicos en donde no. 3.. Distribución normal bivariada Un caso articular de la distribución normal multivariada es cuando el número de variables =. En este caso, si, N (, ) se dice que tiene una distribución normal multivariada de dimensión o que tiene una distribución normal bivariada, donde

22 y. Recuerda que. La distribución normal bivariada es de imortancia orque es osible visualizar su comortamiento en una gráfica en tres dimensiones. Características de la función de densidad normal bivariada. ) Tiene forma acamanada, ) Las curvas de nivel forman círculos (si =, =0), o elises. R: dmvnorm, mvnorm, rmvnorm Inferencia estadística El roblema de inferencia estadística consiste en aroximar el valor de ciertas características oblacionales (llamadas arámetros) or medio de resúmenes (llamados estadísticas) generados a artir de la información contenida en una muestra obtenida de la oblación. ESTIMACIÓN PUNTUAL: El roblema de estimación untual consiste en roorcionar un valor untual que aroxime al arámetro de interés. Los métodos clásicos de estimación untual de arámetros son: método de momentos y método de máxima verosimilitud.

23 3 PROFESOR: LUIS E. NIETO BARAJAS De los dos métodos antes mencionados, el que roduce estimadores con mejores roiedades (insesgamiento, eficiencia, consistencia, etc.), es el método de máxima verosimilitud. El método de máxima verosimilitud consiste en encontrar el valor de los arámetros que hacen que la muestra observada tenga robabilidad máxima de haberse observado. Los estimadores untuales ara el vector de medias, la matriz de varianzas-covarianzas y la matriz de correlaciones de una distribución normal multivariada son la media muestral ˆ, la varianza muestral ˆ y la correlación muestral R, cuyas exresiones son: n i i n ˆ ó n n n n ˆ ˆ ˆ ˆ, n i i i ˆ ˆ n ˆ ó ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, r r r r r r R,

24 n donde, ˆ ˆ ˆ r kj jj kj n n ˆ ˆ kk i ij j, ara j=,,...,, n ik ˆ k ij ˆ j i kj ˆ jj, ara kj=,,...,. Nota: El estimador ˆ es el EMV de. El estimador ˆ no es el EMV, sino Proiedades: Slus: mean, var, cor. E, ˆ ˆ E y R E., ara kj=,,...,, y n ˆ. n PRUEBAS DE HIPÓTESIS: El roblema de contraste de hiótesis en estadística consiste en decidir cuál de dos hiótesis es correcta. La decisión se toma de acuerdo con la información de la muestra. La rueba de hiótesis de mayor imortancia en datos multivariados es robar si la correlación entre dos variables es significativamente distinta de cero. Prueba de hiótesis ara jk : Formalmente, se quiere robar H La estadística de rueba es: : 0 vs. H : 0 0 jk rjk n T, r jk jk 4

25 y la región de rechazo es: t : t / t (n ), donde / (n ) t es el unto de una distribución t-student con (n-) grados de libertad que acumula / de robabilidad a la derecha. R: cor.test INTERVALOS DE CONFIANZA: El calcular un intervalo de confianza es un roblema de estimación or intervalo, en donde lo que se roorciona es un conjunto de valores áltamente osibles como aroximaciones al arámetro. Al igual que en el caso de ruebas de hiótesis, el intervalo de confianza de mayor interés es el de la correlación entre dos variables. Intervalos de confianza ara jk : Existen varias rouestas, ero una de ellas es la rouesta or Fisher. El intervalo de confianza en este caso sería, z / r tanh tanh r z / tanhtanh jk jk jk, n 3 n 3 donde z / es el unto de una distribución normal estándar que acumula / de robabilidad a la derecha. 5

26 Uso de correlaciones ara agruar variables. Es osible que cuando se tiene un conjunto grande de variables, exista cierta relación entre algunas de las variables. El coeficiente de correlación entre arejas de variables ermite agruar variables de tal manera que variables en el mismo gruo tengan correlaciones altas y variables en gruos diferentes tengan correlaciones bajas. 6

27 4. Análisis de comonentes rinciales. 4.. Breve reaso de matrices Sea una matriz cuadrada de tal que. Se dice que una matriz es simétrica si ara todo j,k=,,...,. jk kj Las matrices de varianzas-covarianzas siemre son simétricas. Traza de una matriz: tr. j jj Determinante de una matriz (cuadrada): det j j j, en donde j j ) ( j y j es la matriz obtenida a artir de al eliminar su rimer renglón y su j-ésima columna. El determinante de una matriz de es igual al valor del único elemento. Ej: Si entonces. El de terminante de una matriz de se calcula como: 7

28 Si Ejemlo numérico: Sea 6. 3 entonces. Entonces, tr()=6+3=9, y 6( ) 3 ( ) R: det Eigenvalores y eigenvectores: Los eigenvalores (o valores característicos) y los eigenvectores (o vectores característicos) son valores y vectores que caracterizan una matriz (cuadrada) y satisfacen donde es un eigenvalor y w es un eigenvector. w w, (4.) Los eigenvalores se obtienen como solución a la ecuación: I 0, donde I es la matriz identidad. Esta exresión toma la forma de una ecuación olinomial en de grado : c c c c 0. Las raíces de esta ecuación son los eigenvalores de. En general,,,...,. Si es una matriz simétrica, sus eigenvalores son número reales y or lo tanto se ueden ordenar de forma descendente. Para cada eigenvalor j, existe un eigenvector w j que satisface la ecuación (4.). 8

29 Proiedades: tr, j j j j. Ejemlo numérico: 6 Sea. 3 Los eigenvalores de deben satisfacer I 0, es decir, Esto imlica que (6-)(3-)-4=0, or lo que Resolviendo la ecuación obtenemos que =7 y =. Para calcular el eigenvector corresondiente a =7 hacemos, w w, es decir, 6 w 3 w w 7 w 6w w w 3w 7w 7w w w. Existen muchos vectores que satisfacen la condición w w, ero el único vector normalizado w w 5, 5. w es: Similarmente, resolviendo w w ara = se uede demostrar que w 5, 5. 9

30 Una matriz es definida ositiva si todos sus eigenvalores son ositivos. Una matriz es semi-definida ositiva si todos sus eigenvalores son no negativos. NOTA: Las matrices de varianzas-covarianzas y de correlaciones tanto oblacionales como muestrales son semidefinidas ositivas. 4.. Comonentes rinciales El análisis de comonentes rinciales es un rocedimiento matemático que transforma un conjunto de variables osiblemente correlacionadas en un conjunto menor de variables no correlacionadas llamadas comonentes rinciales. Dadas n observaciones de variables, el objetivo del análisis de comonentes rinciales es determinar r nuevas variables no correlacionadas llamadas comonentes rinciales que reresenten la mayor variabilidad osible de las variables originales. El uso de esta técnica es rincialmente exloratoria y en general como un aso intermedio ara análisis osteriores. 30

31 Los OBJETIVOS rinciales son: ) Reducir la dimensionalidad de un conjunto de datos, ) Interretar un conjunto de datos. CARACTERÍSTICAS: Las nuevas variables (comonentes rinciales) son creadas de tal manera que: ) No estén correlacionadas. ) La a comonente rincial exlique la mayor variabilidad osible de los datos. 3) Cada comonente subsecuente exlique la mayor variabilidad osible restante no exlicada or las comonentes anteriores. Formalmente, sea,,..., un vector aleatorio de variables con matriz de varianzas-covarianzas con eigenvalores 0. Sean Y Y,Y,...,Y nuevas variables formadas como combinaciones lineales de las i s, i.e., Y Y Y a a a a a a a a a a a a Las comonentes rinciales son aquellas combinaciones lineales Y,Y,...,Y no correlacionadas, cuyas varianzas son tan grandes como sea osible. 3

32 COMPONENTES: a comonente rincial: Y a, donde a maximiza Vara a a a comonente rincial: Y a k a comonente rincial:, donde a maximiza Vara a sujeto a sujeto a a y Cova,a 0 Yk a k, donde a k maximiza Vara k sujeto a a ka k y Cova,a j 0 k ara j<k Se uede demostrar que el máximo de la varianza de a entre todos los vectores a que satisfacen aa es igual a y or lo tanto, a es el eigenvector de corresondiente al eigenvalor. También, se uede demostrar que el valor máximo de la varianza de a entre todas las combinaciones lineales que satisfacen a a y que no están correlacionadas con Y es igual a. Por lo tanto, a es el eigenvector de corresondiente al eigenvalor. En general, se uede demostrar que el valor máximo de la varianza de a k entre todas las combinaciones lineales que satisfacen a a y que no están correlacionadas con Y,Y,...,Y k- es igual a k. Por lo tanto, a k es el eigenvector de corresondiente al eigenvalor k. k k 3

33 INTERPRETACIÓN de k : tr es una medida de la variabilidad Recuerde que total de las variables originales. Por otro lado, k k k Var Y Var a, k=,...,. Por lo tanto, la variabilidad total de las variables comonentes tr es igual a la variabilidad total de las rinciales variables originales. Proorción de la variabilidad total exlicada or la k - ésima comonente rincial k, k=,,..., INTERPRETACIÓN del vector de esos a,a,..., a a : k k k k Los elementos a kj del eigenvector a k son llamados esos y miden la imortancia de la j-ésima variable en el k-ésimo comonente rincial. La interretación se hace relativa a los demás esos de las variables de la misma comonente, o Se uede interretar normalizando los coeficientes y definiendo las correlaciones de cada variable con cada comonente como: Corr k Y, j a kj k jj ara j,k=,, CUÁNTOS comonentes rinciales son suficientes? El número de comonentes rinciales que de alguna manera udieran reemlazar a las variables originales, sin mucha érdida de información, 33

34 deende del roblema en articular. En general, se desea que el orcentaje de la variabilidad exlicada or los r rimeros comonentes sea de al menos el 80%. Una forma alternativa de decidir el número de comonentes significativos es graficando k vs. k. Cuando los untos de la gráfica tienden a nivelarse, estos eigenvalores suelen estar suficientemente cercanos a cero como ara que uedan ignorarse. NOTA: Si no se tiene la matriz de varianzas-covarianzas oblacional, se realiza todo el análisis anterior sobre la matriz de varianzas-covarianzas muestral ˆ. En este caso, los comonentes obtenidos serían estimaciones de los comonentes oblacionales. VALORES O MARCADORES (scores) de los comonentes rinciales: Para oder visualizar las comonentes rinciales es necesario calcular el valor de cada comonente ara cada individuo en un conjunto de datos. Sea x i el vector de variables medidas ara cada individuo. Entonces el valor de la k-ésima comonente rincial ara el i-ésimo individuo es k y a x, ara i=,...,n y k=,...,. ik i 4.3. Comonentes rinciales sobre variables estandarizadas Si la escala en que están medidas las variables no es uniforme (similar), es 34

35 recomendable realizar un análisis de comonentes rinciales sobre las variables estandárizadas, i.e., Z, Z,..., En notación matricial, Z / Proiedades: Z 0. Z E y Var (Z) Cov(Z), donde es la matriz de correlaciones de los datos originales. * * * * Los comonentes rinciales Y,Y,...,Y variables estandarizadas Z,Z,...,Z eigenvectores de la matriz de correlación de. Y del conjunto de Z se obtienen de los Vectores de correlaciones de comonentes: Si * k y a * k son los eigenvalores y eigenvectores de la matriz, las correlaciones entre las variables estandarizadas y la k-ésima comonente rincial son, ara j,k=,...,. Corr * * * Y,Z / a k j, k kj NOTA: Los comonentes rinciales obtenidos a artir de la matriz son, en general, diferentes a los obtenidos de la matriz. R: rincom, rint, summary 35