Transformada de Laplace

Transcripción

1 Cpítulo Trnformd de Lplce L trnformd de Lplce (T.L) e un tipo epecil de trnformción integrl. En generl, un trnformd integrl e un ocición entre l función Y () = y(t)k(, t)dt (.) I con l función y(t) pr lgun función fij k llmd núcleo y lgún rngo fijo I de integrción. Pr má detlle ver [2]. Como e indic en [], l trnformd integrle reponden l pregunt: qué tnto e prece un función dd y(t) un función etándr prticulr? En ete curo, l trnformd de Lplce l utilizmo principlmente en l reolución de problem de vlor incil pr L[y] = f(t) t >, (.2) con L operdor diferencil con coeficiente contnte. Y diponemo de herrmient pr etudir ete tipo de problem, medinte el uo de l trnformd de Lplce mucho reultdo e pueden obtener de mner má fácil y direct. Otr pliccione l veremo en l últim ección. Pr l preentción de definicione y propiedde de l T.L eguimo principlmente l ide dd en []... Definición y ejemplo báico. En lo que igue conidermo f(t) función rel definid pr todo t. Definición.. L función F () Trnformd de Lplce de l función f(t) e define por F () = pr todo > (en el que converge l integrl impropi). f(t)e t dt (.3)

2 Obervción.. E importnte recordr que l integrl impropi de l definición de Trnformd de Lplce debe interpretre como: f(t)e t dt = lím b f(t)e t dt Y el reultdo de et integrl e un función en l vrible F () = L(f(t)) lo que explic l notción En relción (.), el núcleo en l T.L e l función k(, t) = e t y el rngo de integrción I = [, [. Ejemplo.. Por implicidd comenzmo preentndo l T.L de l función y(t) =. Directmente l integrl e t dt e divergente pr todo. Pr > e tiene e t dt = lím e t dt = lím e t b b b = lím b ( e bt ) =. De ete modo, l trnformd de Lplce de l función y(t) = e l función F () = definid pr >. Conociendo l form que tienen l olucione de l EDO homogene L[y] = continución preentmo l trnformd de Lplce de l funcione e t, t, in bt, con, b número rele. Lo co retnte lo completmo má delnte con propiedde de ete tipo de trnformd integrl. Ejemplo..2 Clculemo l T.L de l función y(t) = e 3t. Comenzmo bucndo donde l integrl e divergente. De l form e t e 3t dt = e (3 )t dt, i el exponente e poitivo l integrl diverge. Por lo tnto F () no etá definid pr 3. Pr > 3 conideremo e 3t e t = e (3 )t e (3 )t dt = lím b 3 = e (3 )b lím b 3 3 = 3. L T.L de l función y(t) = e 3t e l función F () = 3 con > 3. Obervción..2 De mner imilr, pr > l función F () = función f(t) = e t, con R. e l T.L de l Ai, pr > 2 l función F () = + 2 e l T.L de f(t) = e 2t. Notr que l T.L de l función f(t) = e obtiene coniderndo =. Recuerde que en l definición de l T.L utilizmo lo vlore de pr lo cule l integrl en (.3) e convergente. 2

3 Ejemplo..3 Clculemo l T.L de l función y(t) = t, con t. En ete co utilizmo integrción por prte. Pr > e tiene t e t dt = be bt = be bt + e t dt e b 2. Por otr prte, pr > e tiene lím b be b =. Por lo tnto t e t dt = 2 Luego, pr > l función Y () = e l T.L de y(t) = t. 2 Ejemplo..4 Como último ejemplo en et ección, clculmo l T.L de y(t) = in(2t). Nuevmente vmo utilizr integrción por prte. De mner imilr e t in(2t)dt = 2 (e b co(2b) ) 2 Reemplzndo en (.4) e t co(2t)dt = e b in(2b) e t co(2t)dt. (.4) e t in(2t)dt. e t in(2t)dt = 2 ( e b co(2b)) 4 e b in(2b). Coniderendo > y tomndo b finlmente obtenemo Luego, pr > l función Y () = e t in(2t)dt = e l T.L de y(t) = in(2t) Remrcmo: De mner imilr, pr > l función Y () = función y(t) = in(t), con R. ( 2 e l T.L de l + 2 Remrcmo: No tod función y(t) permite definir un función en vrible por medio de l relción (.3). Un ejemplo e obtiene tomndo l función y(t) = e t2, t >. Por el tipo de crecimiento de et función e tiene e t2 t dt e divergente pr todo R. En relción l comentrio nterior, entregmo un definición obre funcione y(t) que no permitrá egurr que exite < < tl que l integrl en (.3) e convergente pr > 3

4 Definición..2 Se dice que f : [, b] R, e eccionlmente continu ó continu por trmo i. f e continu en todo lo punto del intervlo [, b], lvo lo má en un número finito de ello. 2. Todo lo punto t de dicontinuidd de f, on dicontinuidde de tipo lto de longitud finit, e decir, en lo punto de dicontinuidde e tiene que lo iguiente do límite, exiten: lím t t f(t) = f(t ) R y lím t t + f(t) = f(t + ) R Obervción..3 Pr l funcione eccionlmente continu ó continu por trmo tenemo que:. El lto de dicontinuidd mide f(t + ) f(t ) 2. Si f(t + ) = f(t ), entonce f e continu en t. Si eto ucede en todo lo punto de dicontinuidd, ignific que f e continu en el intervlo [, b]. Por lo tnto, f continu en [, b] f eccionlmente continu en [, b]. 3. Si f e eccionlmente continu en [, b], entonce de lo vlore que tom f en lo punto de dicontinuidd. f(t) dt exite y e independiente 4. Si f y g on eccionlmente continu en [, b] con f(x) = g(x) x excepto en lo punto de dicontinuidd, entonce f(t) dt = g(t) dt. Definición..3 Se dice que f e eccionlmente continu en R + continu en [, t ] t >. i f e eccionlmente Definición..4 Se y(t) continu por trmo en [, [. Diremo que e de orden exponencil i exiten α, K contnte poitiv tl que y(t) Ke αt t >. Notmo: Se y(t) de orden exponencil. Entonce e cumple y(t)e t b dt y(t) e t dt Si y(t) Ke αt pr t >, entonce pr todo b > e tiene y(t)e t b dt K e (α )t dt = K α (e(α )b e (α ) ). Utilizndio criterio de comprción y convergenci bolut obre integrle impropi, de l deiguldd nterior e tiene y(t)e t dt e convergente pr todo > α. Luego, pr tod función de orden exponencil e poible definir u T.L. Pr terminr et ección remrcmo que l trnfomd de Lplce define un operción que convierte un función y(t) en un función Y (). Por lo generl, e utiliz l letr L pr repreentr et trnformción, e decir ecribimo Y () = L[y] con Y () definid en (.3). 4

5 Ejemplo..5 L iguiente funcione on de orden exponencil:. f(t) = 2. f(t) = t n con n N 3. f(t) = e t con R 4. f(t) = en(t) con R 5. f(t) = co(t) con R 6. f(t) = t n en(t) con R, n N 7. f(t) = e bt t n en(t) con, b R, n N Ejemplo..6 L iguiente funcione no on de orden exponencil:. f(t) = e t2 2. f(t) = 4 t 2 3. f(t) = tg(t) Teorem.. Si f e eccionlmente continu y de orden exponencil en R + exite un vlor > tl que f tiene T.L. pr >. entonce Demotrción Como f e de orden exponencil, exiten contnte poitiv, C tl que e t f(t) = e t f(t) Ce t e t = Ce t( ) e t f(t) dt Ce t( ) dt = lím b Ce t( ) dt = C Por lo tnto, por criterio de comprción pr integrle impropi, l integrl converge. e t f(t) dt Obervción..4 El teorem nterior e un condición uficiente pero no neceri pr l exitenci de l T.L. de un función. Vemo que exite l L( t ), unque l función f(t) = t, no e de orden exponencil pue tiene un dicontinuidd en t =, clrmente vemo que no exiten, C R + tl que t 2 Ce t. Vemo que L( π ) = t, t >. 5

6 .2. Propiedde báic. Teorem.2. Si f e un función eccionlmente continu y de orden exponencil, entonce: lím L(f(t)) () = lím F () = Demotrción Como f(t) Ce t t > e tiene: F () = e t f(t) dt e t f(t) dt por lo tnto luego F () C e ( )t dt = C e t Ce t dt C lím F () lím = lím F () =.2.. Linelidd Sen f(t), g(t) tl que L[f], L[g] exiten pr >. Por lo tnto, pr > e cumple L[f + g] = L[f] + L[g] L[c f] = cl[f] con c R Eto reultdo (de linelidd) e obtiene utilizndo álgebr de límite. Ejemplo.2. Buquemo l T.L de l función f(t) = 2e 2t + 5 co(8t). Sbemo L[e 2t ] = pr > 2. Por otr prte, L[co(8t)] = pr > Luego L[2e 2t + 5 co(8t)] = 2L[e 2t ] + 5L[co(8t)] = pr > Trnformd de Lplce de l derivd. Teorem.2.2 Conideremo y(t) e un función diferencible por trmo y de orden exponencil. Supongmo tmbién que y e de orden exponencil, pr todo t >. Entonce e cumple: L[y ] = L[y] y(). (.5) L relción nterior e válid pr todo tl que L[y] exit. Pr obtener el reultdo ddo en (.5) conidermo integrción por prte. e t y dt = e b y(b) y() + e t y(t)dt. (.6) 6

7 Como y(t) e de orden exponencil, exiten M, K contnte poitiv tl que y(t) e Mt pr t > K. Tomndo > M e cumple lím b e b y(b) lím b e ( M)b =. Finlmente, como exite > tl que L[y] etá definid pr >, utilizndo álgebr de límite en (.6) e tiene e t y dt = obteniéndoe el reultdo ddo en (.5). e t y(t)dt y() pr >, Ejemplo.2.2 Se y(t) = t. Como y (t) = y biendo que e cumple L[] = / pr >, utilizndo el reultdo nterior e tiene L[] = L[t]. Luego L[t] = / 2 pr >. Ejemplo.2.3 Se y(t) = in(t). Sbemo L[y(t)] = /( 2 + ) pr >. Como y (t) = co(t), utilizndo el reultdo nterior e tiene L[co(t)] = L(in(t)) in(). Luego L[co(t)] = /( 2 + ) Remrcmo: De mner imilr podemo obter l T.L de l n-éim derivd. Ejemplo: Bjo l condicione neceri L[y ] = L[(y ) ] = L[y ] y () = (L[y] y()) y () = 2 L[y] y() y () Pr que l relción nterior e válid debemo pedir que l función y e de orden exponencil. Teorem.2.3 Conideremo y(t), y (t),..., y (n ) de orden exponencil. Supongmo y (n) (t) exite pr todo t >. Entonce e cumple L[y (n) ] = n L[y] n y() n 2 y () y(n )(). (.7) L demotrción e obtiene por inducción. Aquí y (k) denot l derivd de orden k. Not Precier que pr determinr l trnformd de Lplce de funcione, deberemo clculr iempre integrle impropi. Eto no e í: un de l ventj que tiene l trnformd de Lplce on u vrid propiedde que etudiremo continución, y que no permitirán hcer uo de l trnformd de funcione conocid. Pr ello, e conveniente notr que ólo con l definición, hemo contruído l iguiente tbl de trnformd de Lplce: 7

8 f(t) t F () = L(f(t)) > 2 > t n n! n+ > en(t) co(t) > > e t > Comentrio: Se f(t) continu en [, [. Conideremo l función f(t) = t f(v)dv. Por medio del primer Teorem fundmentel del cálculo integrl (ver [3] Cp. 5.7.) e cumple h = f(t). A prtir de lo nterior y utilizndo el reultdo en (.7) e tiene L[h ] = L[h] h(). Como h() = e cumple L[h] = L[f(t)]/ pr >. Ecribimo el reultdo nterior como igue: [ t ] L f(v)dv = L[f(t)]. El reultdo nterior puede fcilitr y omitir lguno cálculo por ejemplo frccione prcile (Ver [3]). Ejemplo.2.4 Obtener f(t) tl que L[f(t)] = /(( 2 +)). Ecribimo L[f(t)] = L[in(t)]. Por medio del reultdo nterior e tiene f(t) = t in(v)dv, e decir, f(t) = co(t). El comentrio nterior e puede generlizr con el iguiente teorem, lo cul lo nterior e el co de = : Teorem.2.4 Si f e de orden exponencil, entonce y e tiene que : [ t ] L f(v)dv = L[f(t)] t f(v) dv e de orden exponencil f(v) dv 8

9 .3. Aplicción problem de vlor inicil (primer prte). Por medio de l propiedde báic que e cbn de preentr y etmo en condicione de preentr l plicción principl de l T.L. Comencemo con el iguiente problem de vlor inicil De l iguldd e debe cumplir dy dt = 5y + 7e3t, y() = 2. (.8) L [ ] dy = 5L[y] + 7L[e 3t ]. dt Utilizndo l condición y() = 2 y el Teorem.2.2 obtenemo L L[y] 5L[y] = 2 + 7/( 3). [ ] dy = L[y] 2. Luego dt Notmo que reolver (.8) e reduce bucr un función y(t) tl que u T.L e de l form ( 5)( 3). Utilizndo frccione prcile (ver [3] cpítulo 7) e tiene De lo nterior, bucmo y(t) tl que ( 5)( 3) = 2( 5) 2( 3). L[y(t)] = 2( 5) 7 2( 3). Sbemo L[e 5t ] = /( 5) y L[e 3t ] = /( 3). Utilizndo l propiedde de linelidd e tiene L[e 5t /2 7e 3t /2] = 2( 5) 7 2( 3). Luego y(t) = e5t Inver 7e3t, t > e l olución de (.8). 2 En el último po del reultdo nterior no fuimo muy cuiddoo. Debemo tener preente que do funcione ditint pueden tener l mim T.L. Bt tomr do funcione f(t), g(t) que coicidn en [, [ lvo en t >. Como l T.L e define por medio de un integrl et diferenci no e lcnz notr. Vemo que l plicción L no e inyectiv, pueto que i f, g on do funcione que poeen T.L. y que difieren en un número finito de punto, entonce u repectiv trnformd coinciden. Por lo tnto: L(f) = L(g) f(t) = g(t) Por lo tnto, L no e inyectiv. Sin embrgo, tenemo el iguiente teorem 9

10 Teorem.3. Sen f, g funcione tle que L(f) = L(g). Entonce, f(t) = g(t) t >, excepto lo má en un número finito de punto de dicontinuidd. Eto no permite y fcilit el cálculo de l T.L. de funcione como el de u inver. Definimo lo que entenderemo por trnformd de Lplce inver. Definición.3. Conideremo Y () definid en ], [ y y(t) definid en [, [ funcione. Aumimo y(t) continu. Diremo que y(t) e l trnformd de Lplce inver de Y () i e cumple L[y(t)] = Y () pr >. L notción pr et relción e l iguiente L [Y ()] = y(t) y etá bien definid (como trnformd) ólo i y(t) e continu. Remrcmo: Si L etá bien definid correponde er un trnformción linel. Eto e un conecuenci direct de l linelidd de l T.L. Si volvemo l P.V.I (.8) e tiene y(t) = L 2 [ ( 5)( 3) ]. Ejemplo.3. Reolver el P.V.I Utilizndo T.L obtenemo dy dt = y + 3t, y() = 6. (.9) L[y(t)] = ( ). De l definición de l T.L inver, bucmo y(t) tl que [ ] 6 y(t) = L ( ) Por linelidd tenemo [ ] [ y(t) = 6L + 3L Por otr prte Bucmo y(t) tl que: 2 ( ) 2 ( ) = ( ) 2. y(t) = 6 L [ ] 3 L ]. [ ] 3 [ ] L 2. Por eprdo tenemo [ ] [ ] [ ] L = e t, L =, L 2 = t. Luego y(t) = 63 6 et 3 3t. e l olución de (.9).

11 Teorem.3.2 Se Y () = L(f), entonce Demotrción dy () d = d d f(t)e t dt = f(t) d e t d dy () L[tf(t)] = d dt = t f(t) e t dt = L[tf(t)] Corolrio.3. Se Y () = L(f), entonce L[t n f(t)] = ( ) n dn Y () d n Ejemplo.3.2 ( ) L ( 2 + 4) 2 = vemo que e cumple que d ( ) 2 d 2 = 4 ( ) + 4 ( 2 + 4) 2 L ( 2 + 4) 2 = en(2t) 4 Ejemplo.3.3 L [ln ( )] + = + 4 ( ) + clrmente vemo que Y () = ln = ln( + ) ln( + 4) + 4 dy d = + [ ] dy + 4 L = e t e 4t = ty(t) y(t) = e t + e 4t, t > d t e t + e 4t Por otro ldo tenemo que lím = lím 4 e 4t ) = 3 plicndo l regl t + t t +(e t 3 i t = de L Hópitl, por lo tnto, l función continu e y(t) = e 4t e t i t > t.4. Propiedde de l trnformd de Lplce y lguno reultdo báico..4.. Deplzmiento obre el eje t. Teorem.4. i t Se g(t) = u(t ) f(t ) = f(t ) i t >, un función continu por trmo de orden exponencil. Entonce L[g] = e L[f].

12 Se g(t) = u (t) f(t ). Clculmo L[g(t)] = u (t)f(t )e t dt = f(t )e t dt. Utilizmo l utitución y = t. Se tiene dt = dy, i t = entonce y = y t entonce y. Luego L[g(t)] = = e L[f(t)] f(y)e (y+) dy = e f(y)e y dy Teorem.4.2 i t Se g(t) = u(t ) f(t) = f(t) i t >, un función continu por trmo de orden exponencil. Entonce L[g] = e L[f(t + )]. Se g(t) = u (t) f(t). Clculmo L[g(t)] = u (t)f(t)e t dt = f(t)e t dt. Utilizmo l utitución y = t. Se tiene dt = dy, i t = entonce y = y t entonce y. Luego L[g(t)] = f(y + )e (y+) dy = e f(y + )e y dy = e L[f(t + )] Ejemplo.4. por otro ldo, L[u(t π)ent] = e π L[en(t + π)] = e π L[ ent] = e π 2 + L[u(t π)en(t π + π)] = L[u(t π)( en(t π)] = e π L[ent] = e π Deplzmiento obre el eje. Comencemo con el iguiente problem Ejercicio.4. Obtener L [2/( )]. 2

13 Pr ete problem tenemo Y () = 3/( ) = 3/(( + ) ). Por otr prte, tenemo L[in(3t)] = 3/( 2 + 9). Notmo que por medio de un trldo podemo relcionr mb funcione. En término generle ete tipo de problem lo podemo bordr de l iguiente mner: Conideremo y(t) con trnformd de Lplce Y (). De l definción L[e t y(t)] = Tomndo l utitución = obtenemo De ete modo e tiene: L[e t y(t)] = e t y(t)e t dt = y(t)e ( )t dt y(t)e t dt = Y ( ) = Y ( ). Teorem.4.3 Se f un función continu por trmo y de orden exponencil. Se F () l trnformd de Lplce de f, y e c un contnte. Entonce: Si L[f(t)] = F (), entonce L[e t f(t)] = F ( ) Volviendo l Ejercicio, por medio del reultdo nterior tenemo: L[in(3t)] = 3/( 2 + 9), entonce L[e t in(t)] = 3/(( ) 2 + 9). Tomndo = e obtiene el reultdo. Luego L [3/(( + ) 2 + 9)] = e t in(3t) Multiplicción por t. Como mencionmo en l introducción, l ide de preentr l T.L e etudir (reolver) P.V.I pr (.2). A prtir de lo ejemplo que hemo preentdo notmo que el defío finl e obtener T.L. inver. Pr que lo cálculo en má directo neceitmo de má propiedde. Por ejemplo, pr bucr L [/( 2 + 4) 2 ] podemo utilizr frccione prcile pero el reultdo puede er má directo. En relción lo nterior preentmo el iguiente reultdo obre T.L. Teorem.4.4 Se F () trnformd de Lplce de f(t), entonce L[t f(t)] = df d. El reultdo lo podemo obtener por cálculo forml como igue: dy d = y(t) e t dt = = L[t y(t)] 3 t y(t)e t dt

14 En término riguroo neceitmo de reultdo de convergenci que no tenemo en ete curo. No e el interé de ete curo er tn detllit y en lo co que utilizmo ete reultdo e tienen tod l hipótei neceri pr que e cierto lo que etmo obteniendo, luego, no no preocupemo má de l cuent. Volvmo l problem L [/( 2 + 4) 2 ]. Notmo que e cumple ( ) d d 2 = ( 2 + 4) 2. Por otr prte L [/( 2 + 4)] = in(2t)/2. Luego, e tiene L [/( 2 + 4) 2 ] = ten(2t)/ Sobre funcione periódic Conideremo y(t) función periódic con periodo T >, e decir, y(t + T ) = y(t) pr todo t. De l definición tenemo L[y(t)] = = T y(t)e t dt y(t)e t dt + T y(t)e t dt (.) Conidermo η = t T. Por lo tnto e tiene: dη = dt; i t = T entonce η = ; i t entonce η. Utilizndo l periodicidd de y(t) e obtiene T y(t)e t dt = y(η + T )e (η+t ) dη = e T y(η)e eη dη = e T L[y(t)] Reemplzndo en (.) y reolviendo pr L[y(t)] obtenemo L[y(t)] = e T T y(t)e t dt pr >. (.).4.5. Ejercicio. Terminmo et ección con lguno ejercicio. Ejercicio.4.2 Obtener L [3e 5 /( )]. Del Ejercicio (.4.) tenemo L[e t in(3t)] = 3/( ). Luego 3e = e 5 L[e t in(3t)]. 4

15 Se y(t) = e t in(3t). Utilizndo el Reultdo e tiene L [e 5 /( )] = u 5 (t) y(t 5), y por lo tnto L [e 5 /( )] = u 5 (t) e (t 5) in(3(t 5)). Ejercicio.4.3 Obtener L [ln ( 2 )] Clrmente l función Y () = ln(( 2 + )/( 2 + 4)) no e prece en nd l T.L. que hemo preentdo (tod funcione rcionle en ). Pr bordr ete problem comenzmo ecribiendo Y () = ln( 2 + ) ln( 2 + 4) (bjo l condicione neceri pr que mb funcione rele exitn). Por lo tnto tenemo dy d = Sbemo L [2/( 2 + )] = 2 cot y L [2/( 2 + 4)] = 2 co(2t). Por linelidd tenemo [ ] dy L = 2 cot 2 co(2t), d Si y(t) = L [Y ()], por lo nterior, l función y(t) e debe relcionr con 2 cot 2 co(2t). Epecíficmente tenemo: L[2 cot 2 co(2t)] = dy d = L[t y(t)], e decir t y(t) = 2 cot 2 co(2t). Pr obtener y(t) debemo depejr, lo cul e válido ólo pr t >. Por otr prte tenemo (2 cot 2 co(2t)) lím t (t) = lím t 2ent + 4en(2t) =. Aquí f indic derivd de l función f. Luego, por regl de L Hopitl e tiene 2 cot 2 co(2t) lím =. t t Por lo tnto l función continu y(t) = i t = 2 cot 2 co(2t) t i t > tifce y(t) = L [ln(( 2 + )/( 2 + 4))]. 5

16 Ejercicio.4.4 Conidere y(t) = in t/t pr t > y y() =. Hllr Y () = L[y(t)]. Pr g(t) = t y(t), tenemo L[g(t)] = dy. Como g(t) = in(t), entonce d dy d = + 2. De ete modo Y () = Y () rctn(). Por otr prte, l función y(t) e de orden exponencil, por lo tnto e debe cumplir lím Y () =. Como lím rctn() = π/2, entonce Y () = π/2. Luego L[y(t)] = π/2 rctn() Ejercicio.4.5 Clculr l T.L de l ond cudrd { i 2n t < 2n + pr lgún entero n w(t) = i 2n + t 2n + 2 pr lgún entero n Notmo que w(t) e periódic con periodo T = 2. Comenzmo clculndo 2 w(t)e t dt = = e t dt + 2 ( )e t dt ( (e e ) (e 2 e ) ) Utilizndo (.) e tiene = e 2 2e + = (e 2 ) 2. L[w(t)] = e 2, pr >. Pr terminr et ección conideremo el iguiente P.V.I. Reolver dy = 5y + f(t), y() = 4, (.2) dt con f(t) función dicontinu definid como igue { i < t < 3 f(t) = 8 i t 3 Notmo que l EDO l podemo etudir pr < t < 3 y luego pr t > 3. L ide e cortr lo cálculo y tener reultdo que yuden obtener T.L. de funcione definid por trmo..5. Trnformd de Lplce de funcione dicontinu. Conideremo l iguiente EDO de egundo orden d 2 y dt 2 + y = f(t). 6

17 Pr f(t) = e tiene l EDO ocid l ocildor rmónico no mortigudo. Pr f(t) rbitrrio, lo podemo entender como un gente externo reflejdo en l modelción. Si penmo que el gente externo comienz ctur prtir de t = t >, no e orprendente que l función f(t) e dicontinu. El objetivo en et ección e entregr herrmient de tl modo que pr ciert f(t) dicontinu el uo de l T.L. e directo..5.. Trnformd de Lplce de l función Heviide(función eclón). Pr, l función u (t) = u(t ) = { i t < i t e llmd función Heviide o función eclón. Otr notcione pr et función on l iguiente: µ (t); µ(t ). Pueden hber otr pero ét on l notcione má frecuente. L funcione eclone pueden er utilizd pr modelr el encendido de un interruptor. Comenzmo obteniendo l T.L de et funcione eclone unitrio. L[u (t)] = u (t)e t dt + u (t)e t dt. De l definición l primer integrl tom el vlor cero. Por otr prte, pr t e tiene u (t) =, por lo tnto L[u (t)] = e t dt = lím b e t dt (.3) Pr > e tiene L[u (t)] = e. e = lím e b b. Volvmo l PVI (.2). Directmente e tiene Por lo tnto L [ 5 y por lo tnto [ y(t) = 4L 5 ] [ = e 5t ; L e 3 L[y] 4 = 5L[y] + 8 e 3. ] + 85 L [ e 3 ] 85 [ L e 3 ]. ] 5 ] [ = u 3 (t); L e 3 5 y(t) = 4e 5t u (t) 8 5 u 3(t) u 3(t) e 5(t 3) = e 5(t 3) u 3 (t) 7

18 .6. Delt de Dirc (función Impulo) En et prte introducimo un función que puede er utilizd pr modelr forzmiento intntáneo, por ejemplo el golpe de un mrtillo. Definición.6. Se > un contnte, y conidere l función i t δ (t) = 2 i t < ó t > Note que > : δ (t) dt = Se define l función Delt de Dirc o función Impulo quell dd por: δ(t) = lím δ (t) Propiedde:. δ(t) =, t y δ(t) pr t =. 2. δ(t) dt = 3. L(δ(t)) = ( e e ) En efecto L(δ(t)) = lím L(δ (t)) = lím = 2 4. f(t) δ(t) dt = f() 5. L(f(t) δ(t)) = f() f(t) δ(t) dt = f() Podemo generlizr l Delt de Dirc o función Impulo recién definid centrd en, un centro culquier c > : Definición.6.2 Se, c > contnte tl que c, y conidere l función δ (t c) = 2 i c t c + i t < c ó t > c + Note que > : δ (t c) dt = Se define l función Delt de Dirc o función Impulo quell dd por: δ(t c) = lím δ (t c) 8

19 Propiedde:. δ(t c) =, t c y δ(t) pr t = c. 2. δ(t c) dt = 3. L(δ(t c)) = e c En efecto L(δ(t c)) = lím L(δ (t c)) = lím (e c e e ) = e c 2 4. f(t) δ(t c) dt = f(c) 5. L(f(t) δ(t c)) = e c f(c) f(t) δ(t c) dt = f(c) Conideremo el iguiente item m reorte mortigüdo con forzmiento f(t): d 2 y dt 2 + 2dy + y = δ(t 5), (.4) dt con un forzmiento intntáneo en el intnte de tiempo t = 5, De ete modo, eguimo trbjndo con el problem [ d 2 ] y L dt 2 + 2dy dt + y = e 5 Como y() = y () =, entonce tenemo: De ete modo: L[y(t)] = y(t) = u 5(t) 3 e 5 ( + ) ( ) e (t 5) en(3(t 5)) Remrcmo: L función y(t) no puede etr tifciendo un EDO en todo t > y que no e diferencible en t = 5. Recordemo tmbién que fue juto en ee momento donde e có del repoo l item. 9

20 .7. Producto convolución. A continución un definición que puede er relciond con l ección pd obre el delt de Dirc. Comencemo con un ejemplo. Supongmo que deemo bucr L [Y ()], con Y () = 3 ( 2 + 9)( + 4). Dejemo por un momento l frccione prcile. Notmo Y () = L[in(3t)] L[e 4t ]. E tentdor penr L [Y ()] = in(3t) e 4t. L función L [Y ()] e relcion con l funcione in(3t), e 4t pero no correponde er el producto entre ét. Neceitmo de otro tipo de producto entre funcione. Ademá que 2 3 = L(t2 ) L(t) L(t) = 2 2 = 4 Definición.7. Sen f, g funcione definid pr t. L convolución f g entre f(t), g(t) e l función definid por: (f g)(t) = t f(t η)g(η)dη Ejemplo.7. Sen f(t) = in(3t), g(t) = e 4t. De l definición e tiene (f g)(t) = t Utilizndo cmbio de vrible u = t η e tiene in(3(t η))e 4η dη (f g)(t) = t in(3u)e 4(t u) du t = e 4t in(3u)e 4u du = 3 (4 in(3t) 3 co(3t)) e 4t Comentrio: Utilizndo cmbio de vrible en l integrción directmente e tiene (f g)(t) = (g f)(t). Remrcmo: Pr f(t) = in(3t), g(t) = e 4t etudiemo hor L[(f g)]. Por definición 2

21 tenemo: L[(f g)] = ( 25 (4 in(3t) 3 co(3t)) + 3 ) 25 e 4t e t dt = 4 25 L[in(3t)] 3 25 L[co(3t)] L[e 4t ] = 3 25 ( ) + 4 = 3 ( 2 + 9)( 4) De mner generl e tiene: = L[in(3t)] L[e 4t ] Reultdo.7. Sen f(t), g(t) funcione con trnformd de Lplce F (), G() repectivmente. Entonce L[f g] = F () G(). Pr l obtención del reultdo nterior neceitmo de integrle doble (impropi) mteri que veremo en el próximo curo. Por el momento ólo utilizmo el reultdo. Volviendo l delt de Dirc e tiene L[δ f(t)] = L[δ ] L[f(t)] = e L[f(t)] Utilizndo L [e t L[f(t)]]/ = u t (t)f(t t ), obtenemo (δ f)(t) = f(t). 2

22 Bibliogrfí [] P.Blnchrd, R.Devney, G.Hll, Ecucione diferencile, Interntionl Thomon Editore, 999. [2] J.Mrden, M.Hoffmn, Análii cláico elementl, Adion-Weley Iberomeric, S.A [3] S. Stein, A. Brcello, Cálculo y geometrí nlític (Vol) quint edición, McGRAW- HILL,