UNIVERSIDAD DE CARABOBO FACULTAD DE INGENIERÍA ESTUDIOS BÁSICOS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA DIFERENCIACIÓN DE FUNCIONES VECTORIALES

Transcripción

1 UNIVERSIDAD DE CARABOBO FACULTAD DE INGENIERÍA ESTUDIOS BÁSICOS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA DIFERENCIACIÓN DE FUNCIONES VECTORIALES Ig Jesús J Jimée G Ig Eriqe V Flores C Valecia ebrero 5

2 UNIVERSIDAD DE CARABOBO FACULTAD DE INGENIERÍA ESTUDIOS BÁSICOS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA DIFERENCIACIÓN DE FUNCIONES VECTORIALES Trabao e asceso preseao ae el Ilsre Coseo e la Facla e Igeiería e la Uiversia e Carabobo por el Proesor Jesús J Jimée G el Proesor Eriqe V Flores C para asceer e el escalaó el Persoal Docee e Ivesigació e la Uiversia e Carabobo a las caegorías e Proesor ASOCIADO Proesor AGREGADO respecivamee Ig Jesús J Jimée G Ig Eriqe V Flores C Valecia ebrero 5

3 Irocció El coeio programáico vigee e la asigara Fcioes Vecoriales ascria a la Cáera e Fcioes Vecoriales el Deparameo e Maemáica e la Facla e Igeiería e la Uiversia e Carabobo se isribe e los sigiees emas: Límies Coiia; el Dierecial Derivaa Direccioal Fció Compesa Fció Iversa Fció Implícia; Eremos Eremos Coicioaos; Iegrales Múliples; Iegrales e Líea e Spericie De acero al Pesm e Esios Vigees se ispoe e 8 semaas e clase e caro oras semaales para el esarrollo e oos esos emas Los eos qe recomiea la Cáera e Fcioes Vecoriales realiaos e la Uiversia e Carabobo o se pblica e la acalia los eos qe os orece las eioriales iee cosos m elevaos Aemás la preseació e los coeios e los eos o siempre abarca los emas reqerios por la asigara o el ore el programa e ésa La ecesia e coar co eos qe acilie el acceso e los esiaes crsaes e la asigara Fcioes Vecoriales e el aspeco ísico ecoómico esablece la ieció e la Cáera e geerar los eos para saisacer esa ecesia Aicioalmee el legae co qe se mesra los cocepos la caia e eemplos el éasis e aqellos aspecos oe el ocee e la Cáera eeca qe el esiae alla co rececia os lleva a paricipar e la elaboració e los eos qe pea cbrir o miigar las ecesiaes plaeaas El presee rabao iee como ialia colaborar e llear el vació eisee e la Cáera e Fcioes Vecoriales para lo cal se presea como a aleraiva para el esiae /o el proesor e esa asigara El esarrollo el rabao abarca los emas: El Dierecial Derivaa Direccioal Fció Compesa Fció Iversa Fció Implícia e cocoracia co el programa e la asigara vigee; eao los emas resaes para qe sea esarrollaos por oros proesores el Deparameo e Maemáica e la Facla e Igeiería e la Uiversia e Carabobo e acero co la Cáera Para la iliació e ese rabao se reqiere aber aprobao las asigaras Geomería Aalíica Aálisis Maemáico I Aálisis Maemáico II Álgebra Lieal e los Pesa e esios e la Facla e Igeiería e la Uiversia e Carabobo o sólios coocimieos e geomería erivació iegració e álgebra lieal El rabao cosa e res capílos el Capílo I: El Dierecial el Capílo II: Derivaa Direccioal el Capílo III: Fció Compesa Fció Iversa Fció Implícia

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5 Derivaa Parcial Derivaa e a ció : U Sea : U a ció eiia e el iervalo [ab] ; la erivaa e e ab se eoa se eie: siempre qe el límie eisa E el meraor represea el icremeo e ere + el eomiaor represea el icremeo e la variable iepeiee El cociee epresa la raó e cambio promeio e ere + s límie cao represea la raó e cambio isaáeo e e Cao iee erivaa e eoces: igala qe pee rescribirse como: sobre la base e las propieaes e los límies pee acerse lo sigiee: acieo omao e cea qe cao qea: lego: ésa igala recibe el ombre e coició e iereciabilia e e Lego para a ció : U si iee erivaa e eoces es iereciable e Si es iereciable e eoces es coia e Parieo e la coició e iereciabilia e e : qe pee rescribirse como:

6 e oe se obiee qe: pero: e cosececia: qe es eqivalee a escribir: lo qe iica qe es coia e Fig : + + L L

7 E la Fig L es la reca secae a qe coiee al po e cooreaas al po e cooreaas + + L es la reca agee a e el po e cooreaas es el áglo qe orma L co el semiee posiivo es el áglo qe orma L co el semiee posiivo La g represea la peiee e L la g represea la peiee e L Lego: g A meia qe se ace más peqeño se aproima a ; cao Eoces: g g lo qe coicie co e oe g E coclsió represea la peiee e la reca agee a e el po e cooreaas Si es iereciable e eoces es coia e ; mas lo corario o ecesariamee es ciero Fig E la Fig pee observarse qe lo qe iica qe es coia e Pero ambié se observa qe: : a b [ ]

8 5 Por cosigiee o eise o es iereciable e E eiiiva el eco qe sea coia e es a coició ecesaria mas o es a coició siciee para qe sea iereciable e Si es iereciable para oo a b se ace e se obiee: oe se eomia la ció erivaa e Siempre qe la ció sea iereciable para oo a b la ció erivaa e sego ore e se eoa se eie como: Aálogamee se calcla ; e maera geeral la erivaa e ore e se obiee a ravés e la igala: siempre qe el límie eisa Derivaa Parcial e a ció : U Sea a ció e os variables eiia e abiero U coeio e ; eso es : U Si perer geeralia spógase qe U /a<< b c<< b a c Fig

9 6 Sea po e U Cosiere el plao : co c < < ; el cal es paralelo al plao Obsérvese qe oos los pos el plao iee cooreaa C: C: π Fig Sea C el reslao e la iersecció ere C esá coormao por oos los pos e la gráica e oe Z + L L C + Fig 5 E la Fig5 L es la reca secae a C qe coiee al po e cooreaas al po e cooreaas + + ; L es la reca agee a C e el po e cooreaas es el áglo qe orma L co el semiee posiivo es el áglo qe orma L co el semiee posiivo

10 7 Hacieo aalogía co el caso e la erivaa e a ció : U g represea la peiee e L g represea la peiee e L respeco al ee Por ao: g el meraor e la racció represea el icremeo e ere los pos + ; el eomiaor represea el icremeo e la variable iepeiee El cociee epresa la raó e cambio promeio respeco e la variable el valor e cao ere + A meia qe se ace más peqeño se aproima a ; cao eoces g g la simili e ésa igala co la eiició e la erivaa e a ció : U iica qe ica igala represea la erivaa e la ció : U oe sólo la variable sre icremeo la variable se maiee cosae Lego la erivaa parcial e la ció : U respeco a la variable e U se eoa se eie como: siempre qe el límie eisa represea la raó e cambio isaáea respeco e la variable el valor e cao e geoméricamee represea la peiee e la reca agee a la crva iersecció ere el plao : e el po e cooreaas respeco al ee Proceieo e orma similar la erivaa parcial e la ció : U respeco a la variable e U se eoa se eie como: siempre qe el límie eisa represea la raó e cambio isaáea respeco e la variable el valor e cao e geoméricamee represea la peiee e la reca agee a la crva iersecció ere el plao : e el po e cooreaas respeco al ee Oras ormas e eoar a erivaa parcial so: D D

11 8 EJEMPLO E caa o e los sigiees casos: a b c si si si si Deermiar Ierprear caa reslao esablecer respeco a cál e las variables el valor e es más sesible El eco qe sea coia e garaia qe ega erivaas parciales e? El eco qe ega erivaas parciales e garaia qe sea coia e? SOLUCION a Empleao la eiició: - Aqí ae peqeño icremeo el valor e la variable el valor e sre cambio iversamee proporcioal a ico icremeo E orma similar: al o eisir ése límie o eise E vir e eso o se pee esablecer respeco a qe variable es más sesible el valor e Por ora pare es coia e si se cmple qe: Eoces: Observe qe pese a qe es coia e o eise E coclsió el eco qe sea coia e po o garaia qe ega erivaas parciales e ico po b Proceieo e orma similar al apare a:

12 9 El eco qe iica qe si e las proimiaes e se a peqeño icremeo e la variable el valor e o sre cambio apreciable Del mismo moo: lego e las proimiaes e se a peqeño icremeo e la variable el valor e ampoco sre cambio apreciable E ése caso o es sesible a peqeños icremeos e ss variables Aora es coia e si Pero si al calclar: al acer m qea: m m m m epresió qe al ser epeiee el valor e m iica qe o eise Por lo ao o es coia e E coclsió el eco qe ega erivaas parciales e po o garaia qe sea coia e ico po c E orma aáloga a los apares a b: Eoces ae peqeño icremeo el valor e la variable el valor e o sre cambio apreciable

13 E ese caso ae peqeño icremeo el valor e la variable el valor e sre cambio iversamee proporcioal a ico icremeo E vir qe > pee airmarse qe el valor e es más sesible al cambio el valor e la variable Como iee qe esablecerse si es coia e eso es eso es ciero si eise qe garaice qe Lego: e vir qe Como ; cao eoces < como cosececia < e eiiiva < Hacieo se iee qe Al ser eso posible es coia e Ese es eemplo oe es coia e po iee erivaas parciales e ico po E coclsió la eisecia e las erivaas parciales e po o garaia la coiia e la ció e ese po viceversa Por ora pare acieo para oo U e e se obiee las cioes erivaas parciales respeco a la variable respeco a la variable respecivamee oe se esila omiir qe icas erivaas parciales so calclaas e U qeao sobreeeio eso úo: EJEMPLO Daa + eermiar SOLUCIÓN Empleao la eiició:

14 La geeraliació e la eiició e erivaa parcial e a ció : U a a ció : U N se mesra a coiació: Derivaa Parcial e a ció : U N Sea U abiero calqiera e N ; sea a ció e variables al qe : U sea elemeo pereeciee a U La erivaa parcial e la ció respeco e la variable i i se eoa i se eie: i i i siempre qe el límie eisa Aálogamee a lo viso e la secció el cociee: epresa la raó e cambio promeio el valor e la ció cao solo la variable i sre variació El sego miembro e represea la raó e cambio isaáea el valor e la ció e U respeco a la variable i De acero co eso relea qe las variables isias a i permaece cosaes Pee airmarse qe los elemeos sobre los cales se basa ica eiició pereece a la iersecció ere el coo e los elemeos e el coo e los elemeos oe solo cambia la variable i eso es: / cosae i i i i A coiació se ecia se emesra algas propieaes e las erivaas parciales Sea elemeos e ; Sea g os cioes ales qe : g : Si c pereece al omiio e al omiio e g ao como g i eise eoces se cmple qe : i

15 c c i i g i i + g i g i g i + g i si g g i g i i g Caa a e esas propieaes pee emosrarse a parir e la eiició e erivaa parcial e po Si perer geeralia la emosració e caa a e ellas se ará para a ció e os variables: c g g c c c c c g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g

16 g g g g g g g g g g g g g g Nóese qe las erivaas parciales e a ció e variables e po cmple co las mismas propieaes e la erivaa e a ció e a variable e po Así mismo las propieaes emosraas ambié so válias para la ció erivaa parcial e a ció e variables Por oro lao aqe el coo / cosae i i o amie represeació geomérica para poría esablecerse ciera simili co lo eplicao e la secció e lo reeree a la ierpreació geomérica para el caso e a ció : U si se cosiera qe sólo se cosieraría el cambio e respeco a la variable úicamee Observe el sigiee eemplo: EJEMPLO Daa calclar a empleao la eiició b calclao la ció erivaa evaláola e el po c obeieo la ció g calclao g SOLUCIÓN a 8 8 b ; 8 c g ; g 8 ; g 8 8 Observe qe esos res proceimieos arroa el mismo reslao Lego calqiera e esos res camios es válio para el cálclo e la erivaa parcial e a ció e po E aelae para el calclo e la erivaa parcial e a ció e po se ará sobre el calclo e la ció erivaa parcial lego evalar la ció erivaa parcial obeia e el po ao No obsae los proceimieos empleaos e los apares b c esá seos a qe al evalarse la ció erivaa e el po ao ico valor eisa Si ico valor o eise para calclar la erivaa parcial e el po ao se iee qe aplicar la eiició; como pee observarse e el sigiee caso:

17 Sea si si empleao las propieaes e las erivaas parciales: ; al iear calclar se pee veriicar qe ico valor o eise Eoces es valia si Para calclar se emplea la eiició: e eiiiva: si si Por ora pare pese a qe o amie represeació geomérica la ció g si amie represeació geomérica g 8 represea la peiee e la reca agee a la crva cos pos so e la orma g e el po g g w g L

18 5 Mari Jacobiaa e a ció F : U m co m N Sea U abiero calqiera e F : U m co m N a ció e variables reales cas cioes compoees so : F m sea elemeo e U La mari acobiaa e F e se eoa J F se eie e la sigiee maera: J F m m m siempre qe eisa caa a e las erivaas parciales i para oo i N; e oe i m Noe qe la mari acobiaa e F e iee m ilas colmas Nóese qe: Para a ció : U si U J Para a ció : U si U J Para a ció : U si U J EJEMPLO E caa caso e ser posible eermiar la mari acobiaa e caa ció e el po correspoiee: a e b F cos se e c - e

19 6 SOLUCIÓN a J b J F cos se se cos c e ése caso el calclo e las erivaas parciales se ace empleao la eiició: al o eisir ése límie o eise por cosigiee o eise J

20 7 Diereciabilia Trasormació aí Daos os elemeos e Y pereeciees a espacios vecorial A; sea B espacio vecorial sea c mero real Ua rasormació lieal es a ció qe eoaremos co la lera T eiia el coo A acia el coo B oe T B TY B ct B qe cmple co las sigiees propieaes: T + Y T+TY ; TccT Ua rasormació lieal preserva las os operacioes ameales e oo espacio vecorial: sma e os elemeos mliplicació e úmero real por elemeo Toa rasormació lieal iee asociaa a mari Lego la rasormació lieal el elemeo a ravés e T pee escribirse como el proco e a mari T por elemeo ; eso es: TT sieo T la mari asociaa a la rasormació Sea e i co i La colma i e la mari T viee aa por i Te i e al maera qe T pee escribirse como: T T e T e Por ora pare e oa rasormació lieal se cmple qe: T T K sieo K > E eeco sea Dao qe pee escribirse e la sigiee orma: e + e + + e eoces sobre la base e las propieaes e la rasormacioes lieales: T T e e e T e T e T e Lego: T e T e T e T e ; T T e T e T e Sea O la mari la TO eoces: O Si T es la rasormació la es ecir

21 8 T e cosececia: T T e T e T e O O O T e T e O O O O T e Como T calqier valor K > ace qe se saisaga la esigala T K Aora si T es calqier rasormació isia a la rasormació la eoces: T T e T e T e T e T e T e T e T e T e Te Te Te Te Te Te K co K T e T e T e como T o es la rasormació la algo e los vecores colma Te i e T T e T e T e iee al meos elemeo isio e cero lo qe ace qe para al meos Te i se cmpla qe T e i al ser ésa caia a caia posiiva K T e T e T e > e cosececia T K co K > Así mismo como TT T T eoces : T - T T - T - M co M > Noe qe: T T e vir qe T - T < cao <; a qe T - T M <M; acieo M se iee qe / M co lo qe se emesra qe oa rasormació lieal es coia para calqier elemeo Sea elemeo e Y elemeo e m T a rasormació lieal al qe T: m Ua rasormació aí eoaa co la lera A es a ció eiia e la sigiee orma A: m al qe: A Y + T Y + T

22 9 E pariclar si A es e la orma A: s epresió asociaa es: A Y + T a + b la cal es a ecació lieal coocia ambié como ció aí ca represeació gráica es a líea reca oe a represea la oreaa e el orige e ica reca b represea la peiee Trasormació aí iereciabilia Caso : U : Reca agee a a crva: Sea : U Si iee erivaa e eoces es posible raar a reca agee a la gráica e e el po ca ecació es: - - la cal pee escribirse como: a + b ecació qe es lieal por cosigiee represea a ció aí sieo T a rasormació lieal La oreaa e el orige e la reca agee es - la peiee es Lego la ecació e la reca agee pee escribirse como: A + - Y + - A : Fig 6 oe + - represea la oreaa e la reca agee para el valor Como iee erivaa e eoces:

23 qe pee rescribirse como: Sobre la base e las propieaes e los límies pee acerse lo sigiee: acieo omao e cea qe cao qea: + - represea la ierecia e la oreaa e e la oreaa e e la reca agee a e Peso qe el límie aerior eise cao es m próimo a la ierecia + - es m peqeña e comparació co la ierecia - Dao qe mie la cercaía ere eso iica qe cao mas cercao esé e mco más próimo esá el valor e al valor + - Lego la igala: A recibe el ombre e coició e iereciabilia e e al cmplirse iica qe es iereciable e qe la ció A + - proporcioa valores m aproimaos e para valores e m cercaos a E cosececia A represea la ció o rasormació aí aproimae e los valores e para los m cercaos a Cabe resalar qe cao A eise es úica; como se mesra e el sigiee eemplo: EJEMPLO 5 Obeer el valor e c para la ció A + c- sea a rasormació aí aproimae para e Calclar el valor e el valor e A para Comparar los reslaos obeios SOLUCIÓN La coició para qe ega a rasormació aí aproimae e es qe se cmpla qe: c lego: c c

24 e oe resla qe c c c c c Observe qe el úico valor qe ace qe la igala se saisaga es c Lego la rasormació aí aproimae e e es úica s ecació es A + - Para A + Noe qe los valores so próimos e el ore e las milésimas aa la cercaía ere Caso : U : Plao agee a a spericie: Sea po pereeciee a U Si eise represea la peiee co respeco al ee e la reca agee a la crva C reslae e la iersecció e la gráica e co el plao π : e el po P Similarmee si eise represea la peiee co respeco al ee e la reca agee a la crva C reslae e la iersecció e la gráica e co el plao π : e el po P P π P L L π C C π Fig 7 Sea L la reca agee a C e P L la reca agee a C e P Como L L se cora e P eise úico plao π T qe coiee a L a L Dico plao represea el plao agee a la gráica e e el po P

25 + P L π P C + Fig 8 Observe qe: g ; cao P P + + U vecor co la irecció e la reca L es L P P Meiae aálisis similar pee eermiarse qe vecor co la irecció e la reca L es T N T pee obeerse a ravés e: N T i L Sea N T vecor perpeiclar a k - - Sea P po pereeciee a T Eoces el vecor P P esá coeio e el plao e cosececia P P N T Por lo ao: P P N T espeao se obiee qe: Observe qe la ecació obeia pee escribise como:

26 + + J A la cál iee orma e rasormació aí sieo T J a rasormació lieal Lego el plao agee a la gráica e e el po represea a rasormació aí s ecació es: A E orma similar a lo epeso para a ció : U aa a ció : U para elemeo m cercao a el valor obeio a ravés e es m próimo al valor e obeio a ravés e siempre qe la ierecia sea m peqeña a e comparació a la separació eisee ere Eso iica qe cao más cercao esé a mco mas próimo esá el valor al valor Dao qe la separació ere se mie a ravés e la isacia qe los separa qe: o eoces se cmple A E ése caso se ice qe es iereciable es qe la ció : A qe represea el plao agee a la gráica e e el po se eomia rasormació aí aproimae e los valores e para los m cercaos a E vir qe el plao agee es úico A ambié es úica EJEMPLO 6 Esimar el cambio e valor e 5 cao a parir el po el cambio e valor e o ecee a valor e o ecee a Deermiar si es iereciable e el po e ser ciero emplear la rasormació aí aproimae e e el po ao para calclar valor aproimao e cao e 99 SOLUCIÓN Para esimar el cambio el valor e e las proimiaes e cao el cambio e o ecee a el cambio e o ecee a se iee qe esablecer a coa K al qe cao - < - < eoces - < K Lego: Como - < eoces < ; asi mismo como - < eoces - < < ; 597 < + < 6 e cosececia + < 6 Co ésos valores pee obeerse qe - + < 6 89 e eiiiva e oe se resla qe

27 - < 8 K 8 Lego el cambio el valor e o ecee a 8 cao el valor e o ecee a el valor e o ecee a Como 6 eoces - 6 <8; -8< 6 < < < 68 siempre qe - < - < Noe qe ; qe esá e el iervalo eermiao e vir qe ao el cambio el valor e como el cambio el valor e o ecee las coas previsas Aora se eermia si es iereciable e Eso es ciero si se cmple qe: 6; Ssieo qea: Lego es iereciable e A 6 6 es la rasormació aí aproimae e para los valores m cercaos a Calclao A;99: A Comparao 99 co A; 99 pee verse qe la ierecia ere ésos valores es el ore e las iemilésimas Es ecir para elemeos m cercaos a el valor e pee aproimarse a ravés e A Por ora pare 5887 < A99 < 68 No obsae si e A ; valores o a próimos por la leaia ere EJEMPLO 7 Veriicar e caa o e los sigiees casos qe la ció aa o es iereciable e el po : a 9 b si si SOLUCIÓN a es iereciable e si se cmple qe:

28 5 Observe qe Lego se calcla : 9 al o eisir ése límie o eise ; e cosececia o es iereciable e b el eemplo apare b se iee qe Lego: ; acieo m se iee qe: m m iereciable e m m m al o eisir ico límie o es Caso : U : Lo esablecio para a ció : U pee geeraliarse para a ció : U Sea elemeo e U; eoces se airma qe es iereciable e si se cmple qe: oe A represea la rasormació aí aproimae e para elemeos m cercaos a ; sieo ica rasormació úica Dao qe : A + J

29 6 eoces es iereciable e si se cmple qe: A - J - EJEMPLO 8 Veriicar qe es iereciable e el po - Emplear la rasormació aí aproimae e e ico po para calclar valor aproimao e SOLUCION Observe qe - ; aemás: + ; F + ; - + F + ; Lego es iereciable e - si : ico límie es igal a cero si eise al qe: cao Observe qe: cao < <

30 7 < lego < ; eoces < Hacieo se emesra qe el límie eise es igal a cero E coclsió es iereciable e - s rasormació aí aproimae es: A A Caso F : U m : Sea E caso qe F sea a ció al qe F : U m e la sigiee orma: F m caa a e las cioes compoees e F iee a ció asociaa e qe es e la sigiee orma: para A para A para m A m m m m Si caa a e las cioes i i m es iereciable e eoces se cmple qe:

31 8 - i i i i e ese caso se airma qe F es iereciable e Lo aerior pee escribirse segú la sigiee igala maricial: m m m m qe sobre la base e las propieaes e las marices es eqivalee a: m m m m m o ambié es eqivalee a lo sigiee: Ô F J F - F e ése caso se airma qe la ció:

32 9 A F J F es la rasormació aí aproimae e F e Así mismo se ice qe J F es la mari el ierecial e e la cal se eoa F Lego si es iereciable e eoces J F F Noe qe: A F F F F F Y sieo T F a rasormació lieal E eiiiva F es iereciable e si se cmple qe: F - F J F Ora orma eqivalee e escribir lo aerior es: F - A Ô F F - F J F F - A Cabe resalar qe si A eise A es úica Spoga qe e rasormacioes aíes aproimaes A A Lego: A A A A eise os -A -A lo qe implica qe A A e oe A A Ô e cosececia A A EJEMPLO 9 E caa o e los sigiees casos eermiar la mari acobiaa e la ció aa e el po correspoiee esablecer si represea la mari el ierecial: a F si si e el po b F e el po -

33 SOLUCION a Sea si si si si las cioes compoees e F Del eemplo apares b c se pee airmar qe ; lego: J F pero el eemplo 7 apare b o es iereciable e Lego F o es iereciable e F J o represea la mari el ierecial e F e b Sea las cioes compoees e F Del eemplo Aemás: - ; - ; - - Eoces: J F Del eemplo 8 ambié pee airmarse qe es iereciable e - Aora: si el límie ao es cero es iereciable e - Dico límie es cero si se cmple qe eise al qe: cao Obsérvese qe: aemás e vir qe cao < < omao < - < + < - < < ; eoces ; aicioalmee < Lego: < e oe

34 Hacieo e eiiiva: e oe se ece qe es iereciable e - E vir qe ao como so iereciables e - eoces F es iereciable e - J F F Diereciabilia coiia Propieaes e las cioes iereciables Ua ció F : U m es iereciable si se cmple qe: F - A F - F F Como el eoces F - F F e cosececia F - F F Lego F - F F Ô F - F F e oe se ece qe: F - F F F - F F Como Ô T F es a rasormació lieal eoces F Lego: K e cosececia F F K F - F K e oe F - F Ô F F F - F lo qe iica qe F es coia e E eiiiva si F es iereciable e es coia e aemás F F K EJEMPLO Esiar la iereciabilia la coiia e las sigiees cioes e los pos correspoiees: a F e el po - b 9 e el po

35 si c e el po si El eco qe a ció o sea iereciable e po a alga iormació sobre la coiia e la misma? SOLUCIÓN a el eemplo 9 apare b F es iereciable e - Lego F es coia e - b el eemplo 7 apare a o es iereciable e No obsae aemás: 9 Lego es coia e c el eemplo 7 apare b o es iereciable e Y el eemplo apare b o es coia e De los apares b c e ése eemplo pee observarse qe el eco qe o sea iereciable e po o smiisra iormació sobre la coiia e a ció e ese po Así mismo el eco qe sea coia e po o es siciee para poer esablecer si es iereciable e ico po Sea Sea : g : os cioes iereciables por cosigiee coias e ; eso es: - J ; J ; cao g - g J g ; J g g Eoces se cmple las sigiees propieaes: i c es iereciable e c c ii +g es iereciable e g + g iii g es iereciable e g g + g ; cao g g g iv si g g es iereciable e g g g Caa a e esas propieaes se emesra a parir e la coició e iereciabilia: c - c c i Sea ; peso qe: c c c c c eoces:

36 c-c c c e cosececia c es iereciable e g - g ii Sea - g c ; ; peso qe: g g g g g g g g eoces: g - g g - g g g e cosececia +g es iereciable e iii g - g g ; peso qe: g g g g g g g g g g g g eoces: g - g g g g g si se sma e ambos miembros e la igala aerior se rescribe e orma coveiee qea: - g-g g g g- g g - g- g g Como g - g- g g g g ; e cosececia g es iereciable e iv Sea - g g g ; peso qe:

37 g g g g g g g g g g g eoces: g g g g g g g - g g Como g g g g - g g g g g g si se sma e ambos miembros e la igala aerior se rescribe e orma coveiee qea: g g g g g + g g g g g g ; e cosececia g es iereciable e g g g Para a ció F : U m so válias sólo las propieaes i ii; lo cál pee emosrarse si se veriica qe caa ció compoee e la ció aa saisace icas propieaes Diereciabilia coiia e las erivaas parciales Fcioes coiamee iereciables Previo al esio e ése aspeco recere qe para a ció : U coia e [ab] coeio e U iereciable ab eise valor c ab al qe: b a cb a Eso pee eeerse a a ció : U siempre qe e ica ció sólo sra cambio a sola e las variables Es ecir si : U es iereciable e abiero coeio e U qe coega al segmeo e reca co eremos e los pos i i eoces: i i i i i

38 5 oe i e i i Esa airmació se ace e vir qe al variar úicamee la ció se compora como a ció e a variable Sea F a ció al qe F : U m e la sigiee orma: F m Si caa a e las cioes i i m es iereciable e U eoces se cmple qe: i - i i i e ese caso se airma qe F es iereciable e Noe qe: i i i i Sea e k Sea k al qe k k- + k e k ; co k Lego: k + e + e k k- + k e k k k k - + e ; cosiere qe Pee airmarse qe: i i i i + i i + + i i - i i i Asi mismo pee observarse qe ere el elemeo - el elemeo la úica variable qe sre icremeo es la variable k Sea Y Eoces : k k k k i i Y co ; lego: i i i i i i Y Así:

39 6 - i i i - i i i Y i i Y i i Y i i Aora sobre la base e las propieaes e las smaorias ao qe : i i i i Y Y i i Y i i Y eoces: i i i i i i i Y Y - Si i es coia e cao Y i k i eoces: i i i i i Y - e oe se ece qe: - i i i lego si caa a e las i es coia e i es iereciable e Si ese aálisis se ace para oas las cioes compoees e F se cocle qe oas las cioes compoees e F so iereciables e Y si oas las cioes compoees e F so iereciables e F es iereciable e E eiiiva si oas las erivaas parciales e F so coias e eoces F es iereciable e

40 7 EJEMPLO Esablecer e caa o e los sigiees casos si la mari acobiaa e la ció aa e el po correspoiee represea la mari el ierecial: a F e el po - cos b F se e el po SOLUCIÓN a La mari acobiaa e F e - es: J - F observe qe oas las cioes erivaas parciales e F so coias e - Lego F es iereciable e - J - F - F Noe qe ese eco se veriicó e el eemplo 9 apare b empleao la coició e iereciabilia b E ése caso: cos J F se se cos aqí las cioes erivaas parciales e F so coias e E cosececia F es iereciable e J F F Se ivia al lecor veriicar ése eco meiae la coició e iereciabilia Sea F : U m a ció para la cal oas ss cioes erivaas parciales eise so coias e U Ua ció qe saisaga ésas coicioes recibe la ombre e ció coiamee iereciable e EJEMPLO Deermiar e caa o e los sigiees casos si la ció es coiamee iereciable e el po correspoiee: a F e el po - b se si si e el po SOLUCIÓN a Del eemplo apare a como F iee oas ss cioes erivaas parciales coias e - F es coiamee iereciable e -

41 8 b Se calcla las cioes erivaas parciales e : cos se se si se se Observe qe: cos se o eise lo cal pee veriicarse si se ace m e el mismo E cosececia si si cos se o es a ció coia e Lego o es coiamee iereciable e Si se calcla pee comprobarse qe Veriicao si es iereciable: se se eoces es iereciable e Noe qe e ése caso es iereciable e pero o es coiamee iereciable e ico po

42 9 Derivaas Parciales De Ore Sperior Derivaas Parciales e sego ore e a ció : U Sea a ció al qe : U sea U Sea la ció erivaa parcial e respeco a Si eise la erivaa parcial respeco a e e se eie como: siempre qe ico límie eisa Las sigiees igalaes so ormas eqivalees e eoar la erivaa parcial calclaa: D D D Si el límie plaeao eise para calqiera e U se esila omiir qe ica erivaa parcial se esá calclao e ico po la epresió reslae represea la ció erivaa parcial correspoiee qe pee eoarse e las sigiees ormas: D D D Pee observarse qe icas epresioes se obiee erivao parcialmee a ció erivaa parcial previamee obeia Sobre ésa base e aelae recibe el ombre e cioes erivaas parciales e primer ore e ; las erivaas parciales e se eomia las erivaas parciales e sego ore e E ése caso eise caro posibiliaes qe se mesra a coiació: D D D D D D D D D D D D las cáles se calcla a parir e la eiició o sobre la base e las propieaes e las erivaas parciales segú sea el caso

43 EJEMPLO Daa la ció e -5 + veriicar qe ica ció saisace la ecació ierecial e erivaas parciales : SOLUCION Empleao las propieaes e las erivaas parciales: e -5 + e e -5 + e -5 e e e e -5 e -5 Lego: e e e e -5 e Eoces e -5 + saisace la ecació ierecial e erivaas parciales aa iicialmee Teorema e Scwar Derivaas Parciales e ore sperior e a ció : U Si ao : U como so cioes coias e U eoces se cmple qe: E eeco sea s os valores o los al qe el recáglo cos vérices so los pos +s + +s + esá coeio e U

44 + + s + + s Fig 9 Sea gs a ció al qe: gs [ +s [ +s - ; sea a ció al qe: + - ; lego gs +s Aplicao el eorema el valor meio a si < < + s se iee qe: +s +s s; pero +- e oe gs s +- s Aemás si < < + eoces: lego: gs s Si se cosiera la ció +s - se ace aálisis similar al eco para la ció si < < + s e < < + gs + +s - +s- s e oe se obiee qe: gs s Si so cioes coias e U cao s ; así mismo Dao qe gs s s eoces cao s lo qe rae como cosececia qe EJEMPLO Para caa a e las sigiees cioes calclar Esablecer si a b e si si

45 SOLUCIÓN a Primero se eermia : e e e e Lego: e e e e eoces Eso era e esperarse a qe ao como so coias e De eco como es coia para oo b Para calclar ao como previamee se calcla las cioes 9 si si ; lego: 9 E orma similar se calcla se obiee: si si 9 Aora se calcla : si si 9 E ése caso eso iica qe ere ss cioes erivaas parciales e primer ore eise al meos a ció qe o es coia e Se ivia al lecor a eermiar ao como esablecer ere cál e ellas o es coia e Las erivaas parciales e las erivaas parciales e sego ore e e recibe el ombre e erivaas parciales e ercer ore siempre qe eisa Por eemplo :

46 ; ; so algas e las erivaas parciales e ercer ore e e Si las coicioes para qe se cmpla qe persise para las erivaas parciales e ercer ore eso es so coias e eoces se cmple qe: E si eso lo qe iica es qe el valor e ésas erivaas las cáles pee llamarse craas es iepeiee e la orma qe se obega Es ecir: Si so coias e eoces ; Si so coias e eoces ; Si so coias e eoces ere oras Por ora pare si se eriva parcialmee a erivaa parcial e ercer ore se obiee a erivaa parcial e caro ore siempre qe eisa; e geeral si se eriva parcialmee a erivaa parcial e ore k se obiee a erivaa parcial e ore k+ siempre qe eisa A parir e las erivaas parciales e sego ore icleo ésas oas las erivaas parciales obeias recibe el ombre e erivaas parciales e ore sperior Too lo epeso para a ció : U pee eeerse a a ció : U EJEMPLO 5 Daa e veriiqe qe SOLUCION E ése caso se ace lo sigiee: e ; 6 e ; 6 e ; 6 e ; 6 e ; e ; e ; e oe: Fcioes e clase C k Si oas las erivaas parciales e ore k e a ció : U so coias e U se airma qe ésa ció es e clase C k e U Bao ésa airmació ecir qe a ció e clase C es eqivalee a ecir qe es a ció coiamee iereciable Por ora pare a ció qe sea coia si ser ecesariamee iereciable es a ció e clase C EJEMPLO 6 Veriicar qe 8 es e clase C para oo SOLUCION E pricipio es coia para oo Aora se calcla oas las cioes erivaas parciales e primer sego ore e :

47 ; 8 8 / 8 5 / 8 / 5 ; ; / ; / ; / ; / ; Observe qe oas las cioes erivaas parciales e sego ore e so coias para calqier Lo qe ace qe sea e clase C E la sigiee igra se mesra la relació eisee ere los coos e cioes coias cioes co mari acobiaa cioes iereciables cioes coiamee iereciables cioes e clase C k Fig Poliomio e Talor e a ció : U Teorema e Talor Dierecial oal e a ció : U Si eise oas las erivaas e ore k e a ció : U eise e U el poliomio: k k k i i p!! k! i i! represea el poliomio e Talor e grao k geerao por e Para valores e m cercaos a el valor absolo e la ierecia es m cercaa a cero; e oe se cmple qe: > > > > k lo qe iica qe al ser m peqeño los érmios k para k lo so aú más; e al maera qe si se esprecia el poliomio e Talor qea: p! la cal coicie co al ecació e la reca agee a la gráica e e la cal represea a bea aproimació si se cmple qe:

48 5 p e co caso p es la rasormació aí aproimae e e Sea : U a ció coia qe iee oas ss erivaas parciales coias asa el ore k e U El ierecial e ore k e e se eoa k se eie e la sigiee como: k k oe k recibe el ombre e operaor ierecial Sobre ésa base se iee qe: e geeral para allar k k se ace acieo la simili al esarrollo e la poecia k el poliomio a+b k pero omao para los símbolos e erivació parcial los correspoiees epoees e los érmios el esarrollo como orees e erivació e respeco a las variables e Aemás óese qe: k k Si se cmple las coicioes esablecias iicialmee : U ció coia qe iee oas ss erivaas parciales coias asa el ore k e U el poliomio e Talor e grao k geerao por e es: k!!! p k EJEMPLO 7 Hallar el poliomio e Talor e grao geerao por e e el po SOLUCIÓN El poliomio e Talor e grao geerao por e e el po es:

49 6!! p p Lego: e e ; e e ; e e ; e e ; e e ; e e Dao qe ao como oas ss erivaas parciales so coias e eoces: e e e e e e p Noe qe el poliomio e Talor e grao geerao por e es:! p epresió qe coicie co la rasormació aí aproimae e e EJEMPLO 8 Daa e a Hallar 5 97 b Ecorar valor aproimao e 5 97 empleao la rasormació aí aproimae e e el po c Calclar valor aproimao e 5 97 empleao el poliomio e Talor e grao geerao por e el po Comparar los reslaos obeios e los apares a b c SOLUCION a E ése caso: e b Aora: A ; el eemplo 7 se llega a: e e e A lego: e e e A c Del eemplo 7 se iee qe: e e e e e e p

50 7 así: : 597 p 5 97 e 97 e 5 e 97 e 5 e 5 97 p 597 e 776 Si se compara los reslaos obeios pee observarse qe el valor calclao empleao el poliomio e Talor e grao geerao por e es más aproimao qe el valor obeio co la rasormació aí aproimae e e la cal eqivale al poliomio e Talor e grao geerao por e Eso iica qe cao maor sea el grao el poliomio e Talor geerao por e mco más cercao es el valor calclao a ravés e el al valor qe resla e la ció origial No obsae cabe resalar qe a meia qe amee el grao la caia e cálclos para obeer el poliomio e Talor es maor Too lo aerior es válio para a ció : U e al maera qe si U ao como oas ss erivaas parciales e ore k so coias e eoces el poliomio e Talor e grao k geerao por e es: k p oe!! k! k Por ora pare si se cmple las coicioes epesas e el párrao aerior como oas ss erivaas parciales e ore k so coias e U eoces el poliomio p es - p al qe cmple qe : sieo p úico La emosració e ése k eorema reqiere el coocimieo el cálclo el ierecial e la ció compesa aspeco qe será raao más aelae Por ése moivo ica emosració se ace e el capilo III secció 6 - p Observe qe la epresió: k k o es más qe a geeraliació e la coició para qe la ció : U sea iereciable e U ; epresa qe cao la isacia e a elevaa a epoee k Z + es m cercaa a cero la ierecia p lo es mco más Lego cao maor sea el valor e k maor será la aproimació el valor e p para los valores e m cercaos e Por ora pare es e acer oar qe para: p!! k k!

51 8 coiee los érmios e p e grao absolo igal a o;! coiee los érmios e p e grao absolo igal a os; e geeral! k coiee los érmios e p e grao absolo igal a k Cao más k! próimo esé a las ierecias se ace caa ve más peqeñas Así para i - p calqier proco - - q peqeña qe - i i i i - - i i i i i i i i - k Aemás co p + q k i aú sige sieo más Lego los érmios e grao absolo e aelae pee espreciarse el poliomio e Talor geerao por e qea recio a o e grao qe es eqivalee a la rasormació aí aproimae e e De ésa maera: p e! oe resla qe p Como es m cercao a p Si se ace: p i i i p para i eoces: cao caa o e los i se cambia por caa i se cambia por s respecivo i ; lego: oe recibe el ombre e ierecial oal e la ció 5 Cálclo e errores e meias iirecas Dese el po e visa ísico caa magi ísica iee asociaa a caia la cal se eomia valor real e ica magi ísica El valor e a magi ísica pee eermiarse meiae isrmeo e co caso se ice qe se ace a meia ireca e ica magi Tambié se pee eermiar a ravés e moelo maemáico e ése caso se ice qe se ace a meia iireca E ambos casos eise a ierecia ere el valor real la meia obeia; ica ierecia recibe el ombre e error el cal se eoa co la lera E

52 9 Sea v r el valor real e a eermiaa magi ísica v i el valor obeio a ravés e a meia iireca e la misma Lego: El error comeio e la meia se eie como : E v r - v i El error absolo e la meia se eie como E a v r - v i ; El error relaivo al valor real e la meia se eie como E r r i r v v v el cál salmee se epresa e porceae De maera geeral e a meia iireca escria a ravés e moelo Y oe esá presees las variables co valores aos el error comeio e a meia iireca es peqeño e relació al valor real Si ica meia iireca se obiee el poliomio e Talor e : k!!! p k se cosiera como valor real a eoces el error qe se comee e la meia iireca es: k!!! p k qe e vir e la ierecia p es m peqeña pee epresarse así: E p Aemás el error relaivo al valor real e la meia iireca es: E r p El error absolo qe se comee e la meia iireca es: E a p Sobre la base e la esigala riaglar: el máimo error qe se comee e la meia iireca es: E ma

53 5 EJEMPLO 9 Se iee coo e raio r m e alra m Deermiar la variació permisible e icas meias para qe la variació e s volme o ecea l Spoga qe la variació e ambas imesioes raio alra so igales SOLUCIÓN El volme e coo se calcla a ravés e: pee comeerse e el cálclo el volme es : V ma V r r r V r r r La máima ierecia qe r 8 r e vir qe el volme o pee sobrepasar los l V ma l m Y como se spoe qe r eoces: 8 r r e oe resla qe: r 9m 9mm E eiiiva la variació permisible e caa a e las imesioes el coo ao es asa e 9 mm para qe la variació el volme o spere los l EJEMPLO Ua ecació qe relacioa el comporamieo e la presió P el volme V la emperara T e gas ieal es PV KT sieo K valor cosae para caa gas Ecorar el porceae e error máimo qe se comee e la meia e la presió cao el error e la meia e la emperara o sobrepasa el % el error e la meia el volme o spera el 9% SOLUCIÓN T Como PV KT eoces P K El error qe se comee e la meia e la presió es: V P P K KT P T V T V T V V V el porceae e error e la meia e la presió es: K KT K KT T V T V P V V V V T V P P T K T V P T V T V ao qe P T V T V la meia e la presió es: V eoces el porceae e error máimo comeio e P P ma T T V V % 9% %

54 5 EJEMPLO Cao el raio e la base e a orma cóica mie m amea a promeio e m/; mieras qe la alra e ica orma cóica mie m ismie a promeio e m/ Deermiar la raó e cambio el área oal e la orma cóica aa SOLUCIÓN El área e a orma cóica e raio r alra es: r r r r A aemás: A r r r r r r r A r r A mliplicao la igala aerior por qea A r r r r r r r e vir qe cao r m m m / r m / eoces la variació el área es: A / m 99

55

56 5 Derivaa Direccioal Derivaa Direccioal e a ció : U Al calclar la erivaa parcial e : U respeco a a e las variables iepeiees e U se obiee la raó e cambio isaáea el valor e e respeco al icremeo e ica variable Dese el po e visa geomérico ése icremeo se ace e la irecció el ee cooreao correspoiee a la variable qe srió el cambio El icremeo se cosiera posiivo si el vecor co orige e eremo e + iee el mismo seio el vecor iario qe eie la orieació posiiva el ee cooreao ombrao aeriormee; e caso corario se cosiera qe el icremeo es egaivo > î + ĵ < + Fig A coiació se esia el caso e el cal el icremeo se ace e a irecció isia a la e los ees cooreaos; lo qe rae como cosececia qe o solo a e las variables iepeiees sre cambio P C L P ` π û L Fig

57 5 Sea û vecor iario P po pereeciee a la gráica e Sea el plao qe coiee a P es paralelo al vecor û al vecor k es paralelo al ee a calqier reca paralela a û El core ere la gráica e geera la crva C; oe C coiee a P Sea P ' el po proecció e P sobre el plao Sea L la reca iersecció ere ; la orieació posiiva e ica reca qea eiia por el seio e û + P L P P P û î ĵ Fig Si se realia icremeo e la irecció e la reca L ese el po P al po P eoces se cmple qe: + P P ; oe represea la magi el vecor P P qe iica la logi e ico vecor s seio e relació a û cao > P P û iee el mismo seio; cao < P P û iee seios corarios L L P + + C P icremeo û π P P L Fig

58 55 Noe qe iica el icremeo realiao e la irecció e û qe Sea + + los valores e para P ' P' + + E orma similar a lo eco para el cálclo e la erivaa parcial e e respeco a a e las variables iepeiees e la igra se iee qe: g aemás: g a Pero como eoces: g si ése límie eise el valor reslae recibe el ombre e erivaa e e la ció e la irecció el vecor û se eoa ; oe represea la peiee e la reca agee a la crva iersecció ere la gráica e respeco a la reca coeia e ca orieació posiiva qea eiia por el seio e û A s ve ambié represea la raó e cambio isaáea el valor e cao las variables iepeiees sre icremeo e la irecció e û Lego: Oras ormas e eoar ica erivaa so: D û Si eise ica erivaa para oo U se omie qe ica erivaa es calclaa e ico po se obiee la ció erivaa e e la irecció e û qe se eermia acieo e : D û EJEMPLO Daa la ció: + 9 a Hallar la erivaa e e la ció e la irecció el vecor ierprear el reslao obeio e

59 56 b Ecorar los pos pereeciees al omiio e para los cales la erivaa e e la irecció e es igal a cero c Deermiar la ció erivaa e e la irecció el vecor û cosθ seθ Calclar la ció erivaa e para θ θ θ 5 θ 6 θ 9 SOLUCIÓN a E ése caso: iica qe al arse icremeo e las variables iepeiees e la irecció e el valor e sre cambio iversamee proporcioal a ico icremeo b Primero se calcla la ció erivaa e e la irecció e : 9 9

60 lego los pos el omiio e para los cales erivaa e e la irecció e so aqellos qe saisaga la igala 9 qe es eqivalee a la igala π: + 9 c Aora cos se cos lego: : se cos 9 se 9 8 cos 8se cos 9se 8 cos 8se 8 cos 8 se E cosececia: si θ 8cos 8se 8 si θ si θ 5 si θ 6 8 cos 8se 9 8 cos 5 8se5 9 8 cos 6 8se6 9

61 58 si θ 9 8 cos 9 8se9 8 Es e acer oar qe cao θ cos se i ; el cal es vecor iario qe iee la irecció seio posiivo el ee Eoces cao θ i De la misma maera si θ 9 Derivaa Direccioal e a ció : U e cosececia Sea : U U vecor iario e La erivaa e e la ció e la irecció e û se eoa se eie: siempre qe el límie eisa Si û iee la irecció el ee cooreao correspoiee a la variable i i la epresió aerior se coviere e la epresió a ravés e la cal se eermia la erivaa parcial e respeco a i e Ua orma eqivalee e escribir lo aerior es: ambié EJEMPLO D û Si se eie la erivaa e e respeco al vecor v v v e la sigiee orma: v v v probar qe si es vecor iario co la irecció seio e v eoces v v spoieo qe - v 6 9 SOLUCIÓN Dao qe v eoces v 5 Lego: 5 5

62 Aemás v Aora observe qe: v v qe era lo qe se qería probar Relació ere la erivaa ireccioal la mari el ierecial e a ció : U Sea : U a ció iereciable e U; eso es: J - sieo J Como ése límie eise s valor es iepeiee e la raecoria qe se siga cao Hacieo + omao e cea qe cao qea: -

63 6 - como el límie aerior es igal a cero es eqivalee a: - Sobre la base e las propieaes e los límies pee acerse lo sigiee: E vir qe la erivaa e e e la irecció e es: eoces: e oe resla qe: E coclsió si es iereciable e la erivaa e e e la irecció e es igal al proco maricial ere la mari el vecor el cál iee qe esar escrio como vecor colma Noe qe si eoces: El eco qe sea iereciable e garaia qe oas las erivaas parciales e e eise e cosececia la erivaa e e e la irecció e pee calclarse como la smaoria e los procos e caa erivaa parcial e e por la cooreaa e correspoiee a la variable respeco a la cal se calcla la erivaa parcial

64 6 iepeieemee e las cooreaas qe ega ; eso es sea cal sea la irecció e Eso lleva a coclir qe si es iereciable e eoces e ese po iee erivaa e calqier irecció EJEMPLO Calclar: a - si b - si e SOLUCIÓN a E vir qe so coias e - es iereciable e - e cosececia: /5+8 /5-8/5 valor qe coicie co el valor calclao e el eemplo cao ico cálclo se io empleao la eiició / b E ese caso como e so coias e - es iereciable e - Lego: /+/ --/+-/ EJEMPLO 5 Comprobar qe pese a qe e la irecció e Eplicar el moivo e ése eco o se cmple qe: + SOLUCIÓN E ese caso se ace lo sigiee: ; ; + / + / iee erivaas parciales erivaa e

65 6 Aora: Observe qe + El moivo e ese eco es qe o es iereciable e a qe: límie qe o eise se compreba acieo m EJEMPLO 6 Veriicar qe e si si iee erivaas parciales pero o iee erivaa e la irecció e SOLUCIÓN Del eemplo apare b Aora: ; como ése límie o eise eoces o eise

66 6 EJEMPLO 7 Veriicar qe e - o es iereciable pero iee erivaa e la irecció e SOLUCIÓN Observe qe: ; límie qe al o eisir iica qe o eise e cosececia o es iereciable e No obsae: Relació ere la erivaa ireccioal e e a ció : U la crva e ivel C : Sea : U U La crva K represea la crva e ivel K e la cal esá ormaa por los pos e core ere la gráica e el plao : K : k L π C O Fig 5

67 6 Cosiere qe es iereciable e U Sea L la reca agee a la crva e ivel K e el po K la cal esa coeia e el plao : K ; lego L es paralela al plao k C C L C C O P Fig 6 Pee observarse qe si se cosiera vecores paralelos al plao e amaño m peqeño co orige e eremo e los pos P P P pereeciees a U a meia qe la irecció e icos vecores se acerqe a la irecció e L las crvas e ivel C : K C : K C : K se aproima caa ve más a la crva e ivel K; es ecir a meia qe la irecció e los vecor correspoiee se acerca a la irecció e la reca agee la ierecia K - K K K K K se ace caa ve mas peqeña Dao qe es iereciable e T : + + represea el plao agee a la gráica e e el po K el cal coiee a oas las recas agees a la gráica e e ico po ver igra 7 La reca L es el reslao el core ere el plao : K el plao T U vecor ormal al plao T es N N T P P P - vecor ormal al plao : K es

68 65 Fig 7 U vecor co la irecció e la reca L es: L k i - el cal es paralelo al plao U vecor iario e os cooreaas e ico plao co la irecció e L es: L L Como es iereciable e eoces: L L ; e oe se cocle qe si es iereciable e la erivaa e e la ció e la irecció e la reca coeia e al plao : K qe es agee a la crva e ivel C : K e el po K es méricamee igal a cero EJEMPLO 8 Calclar la erivaa e e - e la irecció e se cos para θ 9 θ θ 5 θ 5 θ 8 L π k π L P O

69 66 SOLUCIÓN E vir qe - - so coias e es iereciable e e cosececia: + -cosθ+-seθ-cosθ+seθ Los valores correspoiees para los valores e θ aos so: cao θ 9 - ; cao θ cao θ 5 cao θ 5 - ; ; - ; cao θ 8 Observe qe cao e resla qe 9 La crva e ivel 9 e es 9 - qe ambié pee escribirse como: + circerecia e cero e C raio r U vecor ormal a la reca agee a la gráica e C e P es CP lego vecor co la irecció e la reca agee es L - e oe se ece qe L es vecor iario co la irecció e L 5º C L Noe aemás qe cao θ 5 cos se L ; vecor qe iee la misma irecció e e la reca agee a la crva e ivel e el po e cooreaas ; e cosececia

70 67 El Graiee Deiició Sea : U a ció iereciable e U El graiee e e eoa se eie como: El símbolo recibe el ombre e abla se eiee como el operaor: qe al ser aplicao a e geera el graiee e e se Noe qe es vecor cas cooreaas se correspoe e el mismo ore e la misma caia e la mari el ierecial e e ; es ecir es vecor ca cooreaa i i es la erivaa parcial e e respeco a la variable i EJEMPLO 9 Calclar el graiee e - e E qe pos el omiio e se ala el graiee? SOLUCIÓN Como so coias e - es iereciable e - e geeral e oo s omiio e cosececia: 8 Por ora pare ao qe ambié es iereciable e oo s omiio O cao e orma simláea Lego resolvieo el sisema: se obiee qe pos el omiio e qe so los pares qe saisace simláeamee las ecacioes el sisema ao so e cooreaas: ; Relació ere el graiee la Derivaa Direccioal Como se mosró previamee siempre qe : U sea a ció iereciable e U la erivaa e e e la irecció el vecor calclarse a ravés e: lo cal pee ambié escribirse ambié sobre la base el cocepo el proco pee

71 68 escalar e os vecores e e la sigiee orma: e oe se cocle qe si es iereciable e la erivaa e e e la irecció el vecor pee calclarse como el proco escalar e Por ora pare recorao qe si A B so os vecores e sieo B O la proecció e A e la irecció e B se obiee a ravés e B B B A A B eoces: Lego represea el escalar qe al mliplicarse por geera la proecció e e la irecció e EJEMPLO Daa - eermiar la irecció e para qe SOLUCIÓN Sea û Del eemplo 8 es iereciable e e cosececia: Lego: - e oe resla qe Como û es vecor iario eoces Ssieo e ésa ecació qea: resolvieo se obiee qe:

72 69 Para para se iee qe se iee qe la irecció es la e û la irecció es la e û EJEMPLO Hallar los pos el omiio e + û para los cales orma co SOLUCIÓN Dao qe so coias e oo s omiio Aemás: lego: e oe: cos resolvieo se obiee qe: 5 Lego oos los pos el omiio e para los cales 5 5 orma co û e 5 para los cales Valor máimo valor míimo qe alcaa la Derivaa Direccioal s relació co el graiee Siempre qe : U sea a ció iereciable e U la erivaa e e e la irecció el vecor û pee calclarse a ravés e: Pee airmarse eoces qe: Sobre la base e las propieaes el proco escalar e os vecores e si se iee os vecores A B pereeciees a se cmple qe: A B A B A B Lego: e oe resla qe:

73 7 qe ambié pee escribirse e la sigiee orma: - e oe se cocle qe el valor e la erivaa e e e la irecció el vecor û esá acoao ere - sieo el primero e ésos valores el míimo qe pee alcaar ica erivaa sieo el sego el máimo valor qe se pee alcaar Sea vecor iario co la irecció seio el graiee Aora: Lego si û iee la irecció seio el graiee e e la erivaa e e e la irecció el vecor û alcaa s valor máimo Meiae aálisis similar si û iee la misma irecció seio corario al graiee e e la erivaa e e e la irecció el vecor û alcaa s valor míimo EJEMPLO E viae espacial asroaa se ecera omao el regisro e los valores e las variables ísicas e los cales se ecera s ave E ciero isae el iicaor e posició mesra qe e relació a sisema e cooreaas recaglar s posició es - iicao aemás qe la ave se meve e la irecció seio el vecor v --6 E ese mismo isae el iicaor e emperara arroa a señal e alarma ao aviso qe eise ameo e emperara qe sobrepasa el valor permisible Si ico isrmeo iica aemás qe la emperara e caa po se 6 rige por la ecació: T eermiar la rapie e cambio e la emperara e la ave e ese isae la irecció seio a la cal iee qe cambiar la raecoria e la ave para qe s emperara ismia lo más rápio posible SOLUCIÓN E primer lgar obsérvese qe: T ; T ; T so coias e - lo qe ace qe T sea iereciable e ese po Lego: T- T T T - -9/ /5 -/5 Por oro lao como la ave se

74 7 meve e la irecció seio e v --6 ao qe v 7 vecor iario co la irecció seio e v es : û -/7/7-6/7 Eoces: T û T- û -9/ /5 -/5 -/7/7-6/7 7/5 Lego la rapie e cambio e la emperara e la irecció e v es e 7/5 iaes e emperara por ia e logi Por ora pare para qe la emperara e la ave ismia lo más rápio posible la raecoria qe iee qe segir la ave es la qe iee irecció seio corario a la el vecor graiee e T e - Lego la irecció seio a segir es la el vecor û Relació ere el graiee el coo e ivel e a ció :U Para a ció : U iereciable e U vecor iario e os cooreaas e el plao co la irecció e la reca iersecció ere el plao : K el plao agee a la gráica e e el po K es: ; sieo ica reca la reca agee a la crva e ivel C : K e el po K coeia e el plao Como es iereciable e U iee graiee e ese po Lego: es: esarrollao el proco qea: Ese reslao era e esperarse a qe como se mosró e la secció e ése capílo cao se calcla la erivaa e e e la irecció e vecor û co la irecció e la reca agee a la crva e ivel C : K e el po K s valor mérico es cero Por ora pare si el proco escalar ere os vecores o los es igal a cero eso iica qe so orogoales Lego si O eoces es vecor co irecció perpeiclar a û; e cosececia: * Si se calcla la erivaa e e iereciable e ese po e la irecció e vecor perpeiclar al vecor graiee e e el valor mérico e ica erivaa es cero * Pee airmarse aemás qe el vecor graiee e e es vecor perpeiclar a la reca coeia e el plao : K ; la cal es agee a la crva e ivel C : K e el po K Por cosigiee el vecor graiee e e ambié es perpeiclar a la crva e ivel a ombraa

75 7 No obsae cabe señalar qe eise la posibilia qe perpeiclares para calqier O e co caso si qe eso sigiiqe qe sea EJEMPLO Spógase qe la spericie e a moaña qea escria por la ecació sr ese oe el ee apa acia el sr el ee apa acia el ése Ua persoa se ecera bicaa e isae ao e la posició -5-5 Deermiar e qe irecció seio iee qe moverse esa persoa para: a sbir lo más rápio posible; b maeerse a la misma alra e la moaña iicao aemás las posicioes para las cales o cambia la alra; c baar lo más rápio posible si se meve e irecció oroese la persoa asciee o esciee? SOLUCIÓN a Dao qe - - so coias para - e 5 es iereciable e Aemás -5 5 Para qe la persoa sba lo más rápio posible iee qe moverse e la irecció seio e - 5 ; es ecir e la irecció seio el vecor: b E ése caso la persoa iee qe moverse e la irecció e vecor perpeiclar a el cal ambié es perpeiclar al vecor 5 ; qe e ese caso pee ser o s vecor opeso Las posicioes para las 5 5 cales o cambia la alra so las correspoiees a la crva e ivel -5; es ecir aqellas qe saisaga la igala: - 5 o lo qe es eqivalee: + 5 c Aora para baar lo más rápio posible la persoa iee qe moverse e la irecció seio corario a -5 ; eoces iee qe moverse e la irecció e:

76 7 U vecor iario e la irecció seio oroese es Lego: ; e vir qe 5 < la persoa esciee EJEMPLO De ser posible calclar la ecació e la reca agee e el po // a la crva escria por la ecació empléela para calclar valor aproimao e cao 9 Obeer la ecació e la reca ormal a ica crva e // Deermiar aemás el áglo e core ere la crva aa iicialmee la crva e ecació - + SOLUCIÓN E ése caso pee spoerse qe la ecació represea la crva e ivel e la ció Como - + so coias e // es iereciable e // el graiee e e // es: // // - - el cal represea vecor perpeiclar a la crva e ivel e el po // La ecació e la reca agee a la gráica e e // pee obeerse a ravés e: -/-/-- e oe resla qe qe al espear qea - + Cao E vir qe el proco e las peiees e os recas perpeiclares es igal a - ao qe la peiee e la reca agee a e // es - la peiee e la reca ormal a e // es igal a Lego la ecació e la reca ormal es: / -/ o lo qe es eqivalee Para calclar el áglo e core ere resolvieo el sigiee sisema e ecacioes: - - se obiee qe el úico po e core ere las crvas escrias por las ecacioes aas es // Como el áglo e core ere os crvas plaas viee ao por el áglo ere ss recas agees e el po e core el áglo e core ere os recas viee ao por el áglo qe orma ss vecores ormales eoces: vecor ormal a la reca agee a e // es // - - ; - + pee eeerse como la crva e ivel e g - + qe iee como erivaas parciales g

77 7 g - coias e //; lo qe ace posible airmar qe g es iereciable e // el graiee e g e // es g// g g // - qe es vecor ormal a la reca agee a - + e // Si se cosiera a θ como el áglo e core bscao eoces: / / g / / cos / / g / / resla qe θ 5 e oe Sea a ció al qe : U La spericie K represea la spericie e ivel K e Si se iee a ció e os variables g la misma pee rescribirse asi: g pee ierprearse como la spericie e ivel e la ció g Si g es iereciable e po e vir qe la ció es iereciable para calqier valor la ció g ambié es iereciable e los pos sieo g a qe es el reslao e la sma e os cioes iereciables por lo ao ambié es iereciable Bao ésas coicioes es posible calclar el graiee e e g : g g g g g g - Noe qe g es vecor co la misma irecció el vecor ormal al plao T : g + g + agee a la gráica e g e el po g Lego al ser g g g - vecor ormal al plao agee a la gráica e la ció g e g es ambié vecor ormal a la spericie e ivel e la ció: g siempre qe g sea iereciable e Eso se cmple e maera geeral para calqier ció iereciable e po e s omiio EJEMPLO 5 De ser posible calclar valor aproimao e cao 9 e e la ecació empleao la ecació el plao agee a la gráica e la spericie eiia por la ecació aa e el po Obeer aemás la orma paramérica e la ecació e la reca ormal a la mecioaa spericie e el po ao SOLUCIÓN La ecació pee eeerse como la spericie e ivel e la ció: Tao como como 6 so coias e lo qe ace qe amia graiee e ese po el cal es: 6 6 ; el cal es vecor ormal al plao agee a la spericie escria por la ecació aa iicialmee La ecació el plao agee a ica spericie e se obiee a parir e: 6 e oe resla: espeao qea:

78 75 Si 9 e eoces 9 Por oro lao vecor co la irecció e la reca ormal a la spericie es 6 Pee omarse ése vecor o calqiera proporcioal a él como vecor irecor e la reca; por comoia se oma al vecor L Lego a orma paramérica para la ecació e la reca ormal es: ; co EJEMPLO 6 Daas las spericies + + r ; a + b co r a b ; a b r > a emosrar qe se cora orogoalmee e caa o e ss pos e iersecció solo si b si r a b e ser posible calclar la orma paramérica e la ecació e la reca agee a la crva iersecció ere las spericies obeias al asigar icos valores e el po Uiliar ica ecació para calclar los valores aproimaos e e cao Ecorar aemás la ecació el plao ormal a la crva mecioaa e ese mismo po SOLUCIÓN Las spericies + + r ; a + b pee ierprearse como las spericies e ivel e las cioes r g a + b - Calclao las respecivas erivaas parciales: g a g b g - qe so cioes coias e los omiios e g respecivamee lo qe ace qe sea iereciables para calqier Sea po pereeciee ao al omiio e como al omiio e g Lego: - - ; g a b - a b - Esos vecores so ormales a los plaos agees a ambas spericies e ; e al maera qe si icos vecores so orogoales las spericies ambié lo so Spoieo ése eco eoces: g - a b - e oe resla qe a b qe simpliicao qea:

79 76 a b Como pereece a la spericie a + b eoces a b lego: a b e oe se ece qe Si e orma simláea eoces - r La primera e ésas os igalaes se saisace solo si e ; pero ésos valores o se cmple e la sega e las os igalaes e vir qe r> Lego o pee ser simláeamee Si lo qe rae como cosececia qe g Ô qe al o eer irecció eiia o orma áglo algo co ; lego Si se garaia qe: Ô g a b - Ô g a + b - a + b E eiiiva + + r ; a + b co r a b ; a b r > se cora orogoalmee e caa o e ss pos e iersecció solo si b Aora si r a b + + r ; a + b qea: + + ; + las cales pee eeerse como las spericies e ivel e las cioes g + - Pee veriicarse qe el po ao pereece a ambas spericies e al maera qe pereece a la crva iersecció ere ellas La reca agee a ica crva esá coeia e los plaos agees a caa a e las spericies e ivel mecioaa e el po ao; lo qe rae como cosececia qe los vecores ormales e caa plao g sea perpeiclares a ica reca Eoces: a b ; ; si se cosiera al g vecor L como vecor irecor e la reca agee a calclar eoces g es vecor co la misma irecció e L Lego:

80 L g e oe resla qe: L La orma paramérica e la ecació e la reca agee a la crva iersecció e las spericies aas iicialmee es: Cao 5 5 e oe resla qe -88; para ; Fialmee L sirve e vecor ormal al plao ormal a la crva iersecció ere + + ; e el po ; lego la ecació e ico plao pee obeerse a parir e: e eiiiva la ecació es: Geeraliao lo epeso para crvas e ivel spericies e ivel Si es a ció al qe : U U la ecació K represea el coo e ivel K e Si es iereciable e si es isio el vecor lo eoces orogoal al coo e ivel K e

81

82 79 Fció Compesa Composició e cioes Sea A B C D coos o vacíos ales qe B C ; sea F G os cioes ales qe F: A B G: C D Eoces la composició ere F G se eoa G F a como reslao a ció H al qe para caa A H G F GF D A F B G D E F C F GF H Fig 8 La oació G F se lee G compesa co F E la igra pee observarse qe el omiio e H es el coo E A oe para oo E F B C ; el rago e H es el coo F D oe para oo F B C GF F EJEMPLO 7 Daas las cioes a g F b F g F gvw - v w ; e ser posible allar: L SOLUCIÓN a Observe qe F: g: ; como la imesió el rago e F es isia a la imesió el omiio e g eoces o es posible allar g F b E ése caso ao qe g: F: al ser la imesió el rago e g igal a la imesió el omiio e F eise la posibilia e eecar la composició: v w F gvw Fg vw L v w pero ao qe o eise igú vw e para la cal F g vw L v w ega valor la iersecció ere el rago e g el omiio e F es vacía; por lo qe F g o es a ció e cosececia o es posible allar F g

83 8 EJEMPLO 8 Daas las cioes v + v w G w ; e ser posible allar: w a G b G SOLUCIÓN a E pricipio : G: Como el rago e iee la imesió el omiio e G eoces: v G v G v v oe G amie imágees para calqier v Noe aemás qe G : b Aora G: : El rago e G iee la imesió el omiio e ; lego: Gw G w w + w qe esá eiia para oo w: G : E el eemplo 8 pee observarse qe G G ; e oe se cocle qe la composició e cioes o cmple co la propiea comaiva No obsae si cmple co la propiea asociaiva a qe: H G FHG FHGF H G FH G FHGF eoces H G F H G F H G F Coiia e a ció compesa Sea F: A B a ció coia e A sea G : C D al qe B C a ció coia e F B C Sea H G F A F G B D E F C F GF H Fig 9

84 8 Como F es coia e eoces F F lo qe iica qe ao > eise > al qe: F F cao Así mismo Como G es coia e F eoces GF G F lo qe F F iica qe ao > eise > al qe : G F G F cao F F De oe ecir qe G F G F cao lo qe es eqivalee a GF G F permie airmar qe la ció H G F es coia e Lego e la composició e os cioes coias resla ora ció qe ambié es coia Regla e la caea Caso g co : g: : Sea g os cioes reales e a variable; ales qe es iereciable e elemeo e s omiio g es iereciable e el elemeo qe pereece al omiio e g La erivaa e e la ció g se calcla a ravés e: g g g g g ' acieo v o lo qe es eqivalee v v qea: g v g g qe pee rescribirse así: g v g v g v g v g v v gv g v omao e cea qe cao v qe : g v g g v v e oe : g g El reslao obeio recibe el ombre e regla e la caea permie eermiar la erivaa e e la ció compesa g Ese reslao es e so recee e siacioes como la qe se mesra a coiació: Si g eoces g - ; lego si g g eoces: g -

85 8 Caso g F co F : p g: p : E pricipio para aciliar la compresió e ése caso se oma F : g: Cosiere qe F es a ció iereciable e el elemeo e s omiio g es a ció iereciable e el elemeo F Dao qe F : qe g: qe la iersecció el rago e F co el omiio e g o es vacía a qe F pereece al omiio e g eoces: g g F oe g F : F g g F Fig Como g es iereciable e pee airmarse sobre la base e la eiició el ierecial oal e a ció qe: Sea Mliplicao la igala aerior por E vir qe cao eoces: ao qe: resla:

86 8 ssieo qea: o e orma eqivalee: + Si lo aerior se ace para calqiera e los omiios e F g respecivamee co F se obiee qe: + Por ora pare ao qe: g F ; g ; qe F e vir qe : + eoces : F g F g F o ambié: g g F g g F F qe escrio e orma e proco maricial qea: g F g g F Como g es iereciable e F F es iereciable e eoces: g g F g ; F F g F Por oro lao e vir qe g F : al eisir es iereciable e ; lego: g F Ssieo qea: g F pee airmarse qe g F

87 8 g F g F F Observe qe g F es a mari e a ila co a colma a qe g F : Too lo aeriormee escrio es válio para F g ales qe F : p es a ció e variable iereciable e elemeo e s omiio g: p es a ció e variables p iereciable e el elemeo F Es ecir aas las cioes: F p p g p iereciables e F respecivamee eoces aa p p g F g p pee airmarse qe : g F g g g p g g g F F p F p F p o e orma eqivalee: g F g F F sieo ésa úa mari e a ila a colma oe qe g F : Cabe resalar qe si F : p g: p iereciables e F respecivamee g F es iereciable e ; a qe como g F : la eisecia e la erivaa e ésa ció e es siciee para airmar qe es iereciable e Tambié: p p p p p p p p p p

88 85 para p calesqiera e los omiios e F g respecivamee co p F pee airmarse qe: p EJEMPLO 9 Daas las cioes: se F cos g L++ e ser posible allar la rasormació aí aproimae e la ció g F e iliar ica rasormació aí aproimae para eermiar valor aproimao e cao SOLUCIÓN Noe qe F : qe g: al eer el rago e F la misma imesió el omiio e g Aemás: se F cos gf g L++ Como g esá eiia e F se airma qe es posible allar g F Observe qe g F gf se cos se Como J F se cos se esa ormaa por cioes erivaas parciales coias e F es iereciable e la mari el ierecial es: p se F J F se p p

89 86 Así mismo como J g esa ormaa por cioes erivaas parciales coias e F g es iereciable e F la mari el ierecial es: g F g J F g J Aemás si F es iereciable e g es iereciable e F eoces es iereciable e F g F e cosececia la rasormació aí aproimae e e es: A + -: + - cao el valor e A EJEMPLO La logi el ee maor e a elipse es cm e isae ao ismie a raó e cm/s La logi el ee meor e la misma elipse es 6 cm e el mismo isae ao amea a raó e 6 cm/s A qe raó varía el perímero e ica elipse e ico isae? SOLUCION El perímero e a elipse e semiee maor semiee meor es: P Observe qe ao e epee el iempo al cal se le asiga la variable Lego aplicao la regla e la caea: P E el isae ao: 5 ; ambié 6 6 Ssieo qea: P cm/s 5 5 E eiiiva el perímero e la elipse ismie a raó e 86 cm/s

90 87 Caso g F co F : p g: p : E pricipio para aciliar la compresió e ése caso se oma F : g: v Sea F v g os cioes iereciables e los elemeos v v v F v v e ss respecivos omiios Al ser F: g: la iersecció el rago e F co el omiio e g o vacía a qe F v pereece al omiio e g eoces: v g v v g Fv co g F : F g v g F E orma aáloga al caso aerior: Fig Si Si la variable v permaece ia cao e cosececia: v v v v e oe resla qe: v Lego: v

91 88 v v v o e orma eqivalee: v v + v Si lo aerior se ace para v calqiera e los omiios e F g respecivamee co F v se obiee qe: meiae aálisis similar se llega a : + v v v v v v v v v v + v v v v v v v + v Aemás como: v g Fv g v v ao qe v v F v eoces: g F g F o ambié: v g v F v v g g F v v g F v v v v v v F v v v v g F v g g F v v F v v v g F v v g g v v F v v F v v Ambas erivaas parciales pee escribirse segú la sigiee igala: g F g F g g g g v v v v v v v v F v F v F v F v qe epresao el sego miembro e ica igala como proco maricial qea:

92 89 e vir qe: g F g F g F v g v g F v g F v F v g g v F v v v g F v v v J g v v F v eoces: J v g F g F v v F sieo J v g F a mari e ila co colmas a qe g F : Lo aeriormee escrio ambié es válio para F g ales qe F : p g: p sieo F a ció e variables iereciable e elemeo e s omiio sieo g a ció e variables p iereciable e el elemeo F p p qe pereece al omiio e g Es ecir aas las cioes: F p p g p iereciables e F respecivamee aa g F g p eoces pee airmarse qe :

93 9 g F g F g g F F g g p F p F p p g F g F g p F p qe se pee escribir ambié e la sigiee orma: g F g F g F g g g o lo qe es eqivalee: J g F g F p F F sieo J g F a mari e a ila colmas e vir qe g F : Asi mismo para i : i p i p i p p p i i p p i i p p p i Tambié para p calesqiera e los omiios e F g respecivamee co p F para i pee airmarse qe: p i i i i i i EJEMPLO Si es a ció iereciable se cos sese G cos a emosrar qe: se b calclar el eermiae e la mari acobiaa e G p p i pi

94 9 SOLUCIÓN a El eco qe sea iereciable garaia qe oas ss erivaas parciales eise Lego aplicao la regla e la caea: cos se se cos se se se cos cos cos cos se se se igalaes qe ambié pee escribirse e la sigiee orma: cos se cos se se se cos cos se cos se aora: cos se cos se cos cos se cos se se cos se se se cos cos se se se cos cos se cos cos se se se cos cos se cos cos se se cos se se se se cos cos eoces: cos cos se cos se se cos se se se se cos cos se cos cos se se cos cos se cos espés: se se se cos cos se se cos cos qea eoces emosrao qe se b La mari acobiaa e G es:

95 9 J se cos G sese cos cos cos cosse se sese se cos se esila llamar al eermiae e ésa mari acobiao eoarlo Eoces: se cos sese cos cos cos cosse se sese se cos se Caso G F co F : p G: p m : Sobre la base e lo epeso para los os casos aeriores aas las cioes: g p g p F ; G p p g m p m iereciables e los elemeos F p e ss respecivos omiios es posible ormar a ció H G F co H: m H G F m m oe para caa ció co i m se cmple qe: i g F i g F qe escrio e orma e proco maricial qea: i g g g p i F g i i p i p F p i Al escribir oas las posibles erivaas parciales e H e orma e arreglo maricial se geera la sigiee igala:

96 9 p F p m m m p p m m m g g g g g g g g g e oe se ece qe: J H F J G G F F sieo F J G a mari e m ilas colmas e vir qe H G F : m Tambié: i p p i i p p i p i i i p p p p i p p i i i i p i i i p EJEMPLO Daas las cioes: v v F v G e ser posible eermiar la mari acobiaa e el po e la ció reslae e la composició e ésas os cioes SOLUCIÓN Como F : G: oe qe sólo eise la posibilia e allar G F a qe la imesió el rago e F es coiciee co la imesió el omiio e G; mieras qe o es posible allar F G ao qe la imesió el rago e G o es coiciee co la imesió el omiio e F Por oro lao: F ; G como F esá e el omiio e G es posible ormar la ció G F oe G F : Aemás:

97 9 v J v F v ; J G marices ormaas por cioes erivaas parciales coias para calqier v respecivamee Lego F es iereciable e G es iereciable e F Eoces: J F F ; J G G F 6 e cosececia: J G F F G F 6 6 mari e ilas colmas a qe G F : Teorema e la ció compesa Sea F G os cioes ales qe F : p es iereciable e el elemeo G : p m es iereciable e el elemeo F Eoces la ció G F : m es iereciable e el elemeo se cmple qe: Sea G F - G F G F G J F F G F G es iereciable e F eoces: J G F G ssieo qea: G F - G F F F F G Como F es iereciable F Sobre la base e la esigala riaglar las propieaes e las marices pee acerse lo sigiee: G F - G F F G F G F- GF G F- GF G F- GF G F- GF Lego: G F F G F - GF G F F G F F G F F F F G F F G F F G F F F F G F F G F F F F F G F F G F F F F F G F - G F F G F G F-GF F G F F F G F F F

98 95 e cosececia: G F - G F F G F G F-GF F G F F G F F F F G F-GF F G F F F G F F F G F-GF F G F F F F G F F F F F G F- GF G F F F F F F F F G F- GF G F F F F G F F F F F F G F F F F F por ser F iereciable e : F F F K F K K por ser G iereciable e F : F F F ; ssieo qea: G F- GF F F F G F F ; G F- GF G F F F F F F F F G F F F K + F G como G F - G F J G F eoces: G F - G F J G F

99 96 G F - G F J G F e oe resla qe: lo qe iica qe la ció G F es iereciable e el elemeo J G F G F co lo qe se cocle qe G F F G F EJEMPLO v Daa la ció e si cos ; v se allar la erivaa ireccioal e e la irecció el vecor cao SOLUCIÓN v cos Sea F gv e se v eiias como F : g: Y aemás: F g- e eoces eise g F la cal ésa eiia e e Por ora pare: v v cos se J F ; v se cos J v g e e ambas marices iee cioes erivaas parciales coias e - respecivamee E cosececia pee airmarse qe es iereciable e : oe: J F F ; J g g g F g F aemás por ser iereciable e eoces: E caso qe se ega la compesa e res o más cioes qe cmpla las coicioes el eorema e la ció compesa el mismo pee aplicarse e orma reieraa Por eemplo si F: p es iereciable e G: p q es iereciable e F H: q m es iereciable e GF eoces sobre la base e la propiea asociaiva e la composició e cioes el eorema e la ció compesa para H G F: m se iee qe:

100 97 F G H F G H F G H F G H F GF F sieo F G H a mari e m ilas co colmas Aemás para la misma ció H G F: m se pee airmar qe para i m el elemeo e la ila i colma e la mari el ierecial e ica ció se obiee acieo el proco e la ila i e la mari H GF por la mari G F la mari reslae e ese proco por la colma e la mari F Por eemplo si F: G: H: so ales qe: F g g G H para elemeos calesqiera e los omiios e F G H respecivamee ales qe F G se iee qe: F G H lego para eermiar se ace: F colma e H H ila e qe ambié pee escribirse así: Se esila ambié eermiar ésa erivaa parcial a ravés el sigiee iagrama:

101 98 Camio Camio Fig

102 99 Sigieo el camio iicao e el iagrama se obiee qe: Si se sige el camio se obiee: asi pee allarse oas las erivaas parciales e la mari el ierecial e H G F EJEMPLO Daas las cioes: v rs s r rs s r rs F w v v v G v w w allar s SOLUCION E pricipio F: G: : ; como la imesió el omiio e es igal a la imesió el rago e G como la imesió el omiio e G es igal a la imesió el rago e F eise la posibilia e allar la ció G F Por ora pare: F ; 6 9 G F G ; GF como oos esos valores esá eiios eoces pee ormarse G F e sieo G F : la mari acobiaa e ésa ció a mari e ila por res colmas Para allar s qe es el elemeo qe esá e la ila colma e s mari acobiaa se ace el proco e la ila e la mari J 96 por la mari G J la mari reslae e ese proco se mliplica por la colma e la mari J F Lego: la ila e J 96 es : w w J 96 ; la mari G J es: 6 v G J ; la colma e F J es: r s r F J ;

103 e eiiiva: s Noe qe oas las erivaas parciales calclaas so coias e ss respecivos pos lo qe ace qe G Frs sea iereciable e cosececia eisa s Tambié pee acerse a ravés el sigiee iagrama: e oe se iee qe: s v v s s v v s s v v w w s w w s calclao caa erivaa parcial: w w J w ; w ; w ; 6 w ; v w ; ; v v ; ; v ; r s ; r s s v ; v v v w r s r s r s r s r s r s

104 ssieo qea: s 5 Derivaas e ore sperior e a ció compesa Sea a ció oe v e v Aplicao la regla e la caea: oe so cioes qe epee e e Dao qe e epee e v eoces so epeiees e e Lego: sobre la base e las propieaes e las erivaas parciales: como epee e v eoces: e vir qe eoces: al ssiir esas erivaas parciales e qea:

105 esarrollao simpliicao se obiee qe: e orma similar se obiee el reso e las erivaas e sego ore e Y eermiaas las erivaas e sego ore pee eermiarse meiae el proceimieo escrio las erivaas e ercer ore asi scesivamee Too lo epeso aqí es valio para a ció e e EJEMPLO 5 Comprobar qe - + g+ es a solció e la ecació ierecial e erivaas parciales : SOLUCIÓN Sea - + g+ + gv co v + Lego: v g v g v v g meiae proceso similar se obiee qe: v g v v g por oro lao: v g v v v g v g v g e oe resla qe: v g Sigieo el mismo proceimieo se obiee qe: v g ; v g Eoces: v g v g v g g g g v v v Al geerarse a ieia se compreba qe - + g+ es a solció e la ecació ierecial e erivaas parciales

106 6 Teorema el valor meio Demosració el Teorema e Talor Teorema el valor meio para a ció : : Sea :U a ció iereciable e abiero e U qe coega al segmeo e reca S co eremos e los pos e Y Eoces eise po Z e S al qe: Y Y - Cosiere la ció g +Y- para g represea el coo e imágees a ravés e e los pos pereeciees al segmeo e reca S cos eremos so para e Y para Sobre la base el eorema el valor meio para a ció e a variable eise valor ere al qe: g g g - g pero g g Y Por ora pare aplicao la regla e la caea si g v co v + Y- eoces: v g g / Y como esá ere acieo Z + Y- omao e cea qe: v v Y ssieo qea: g Z Y e vir qe : g g g eoces Y Y - como se qería emosrar Teorema el valor meio para a ció F : m : Sea F :U m a ció iereciable e abiero e U qe coega al segmeo e reca S co eremos e los pos e Y Eoces para caa elemeo W e m eise po Z e S al qe: WFY F W F Y - Sea g WF+Y- para Aplicao el eorema el valor meio a g eise valor ere al qe: g g g - g pero g W F g W FY Lego: g g W FY - W F W FY-F Por ora pare si g W Fv co v + Y- eoces: W F v omao e cea qe: acieo Z + Y- qea: g / Y v v Y ssieo: Noe aemás qe: Y W F W F / Z

107 eoces: WF w w m v m v w v + +w m m v Z W F w w w w qe ambié pee escribirse como: v m mv vm m m Z vm v vm Z W w wm W Z F m v vm Z e vir qe : g g g eoces: W FY F W F Y - W F Y - qe era lo qe se qería emosrar Demosració el eorema e Talor para a ció : : k Sea p el poliomio e!! k! Talor e grao k geerao por a ció :U iereciable e e e U Para aciliar la compresió e ésa emosració si perer geeralia se cosierara k Lego se obiee qe: qe o ambié: p p!! Sea Ssieo qea: p acieo se obiee qe g Aplicao la regla e la caea: g g lo qe ambié pee escribirse como: g iegrao ambos miembros e ésa igala ere :

108 5 g oe qe: cao ; cao E cosececia: g g g Sea I Iegrao por pares: v - v - eoces: I lego: como rescribieo e orma coveiee la igala aerior: represea el poliomio e Talor e grao geerao por e eoao por p Eoces:

109 6 p Por ora pare pee airmarse qe: cao - eoces: Si eoces Lego: K e cosececia: K co K K > Aemás sobre la base e las propieaes e las iegrales : K K e eiiiva: K p e oe resla qe: K p qe ambié pee escribirse como: K p cao Lego:

110 7 K p lo qe iica qe: p qe o es más qe la coició e iereciabilia e e La iegral: recibe el ombre e reso el poliomio e Talor Meiae proceso similar se pee airmar qe: Si p eoces: K p e oe resla qe: K p e eiiiva cao p p sieo: el reso el poliomio e Talor Geeraliao los reslaos obeios si: k!!! p k es el poliomio e Talor e grao k geerao por a ció :U iereciable e e e U eoces se llega a la coclsió qe: k k p - p - sieo

111 8! k k k k el reso el poliomio e Talor Solo resa emosrar qe p es úico Spoga qe geera os poliomios e Talor e grao e isios A A A p B B B q Eoces: p q resao ambos límies qea: p q q p ; Como ecesariamee: B B B A A A p q B A B A B A e oe se ece qe: B A B A Por oro lao: B A B A B A p q acieo co cao eoces: B A B A B A B A B A B A como B A eoces: B A B A al ser al meos a e ss cooreaas es isia e cero Por ora pare cao el cociee es ieree e cero Lego la úica posibilia qe el úo límie se cmpla es qe B A B A e oe se ece qe B A B A Dao qe B A B A B A eoces q p lo qe emesra qe es p úico Si ése aálisis se ace para los poliomios:

112 9 p q A A A A A A 5 B B B B B B 5 acieo q p co cao A B A B A B A B A B A B 5 5 ao qe aemás como ecesariamee: q p B A A B eoces iee qe cmplirse qe: A B A B A B A B B A 5 5 e oe se obiee qe: A B A B A B A B A5 B5 Como A B A B A B A B A B A5 B5 eoces: p q lego p es úico Si el grao es k meiae proceso aálogo se llega a la misma coclsió co eso qea emosrao qe p es úico

113 Fció Iversa Iversa e a ció : : Sea :U a relació e ipo o es a o Sea elemeo e U e i : a ció al qe i la cal recibe el ombre e ció ieia Eoces eise a ció g : al qe g i la cal recibe el ombre e ció iversa e se eoa - Lego si - es la ció iversa e o simplemee la iversa e eoces se cmple qe: - i Si lo aerior es válio para oo e U eoces - recibe el ombre e iversa global Por oro lao oe qe: - i sobre la base e las propieaes e la composició e cioes: i aemás: i i lego: i i P P - Sea 5 la ecació el lgar geomérico qe se mesra e la igra Es ácil veriicar qe la gráica aa o represea a ció ao qe por eemplo para eise os posibles valores e qe so e - Eso es cosececia el eco qe al espear e la ecació aa qea: 5 e al maera qe para caa el iervalo -55 eise os valores e Fig Del espee eco aeriormee si se cosiera 5 la gráica correspoiee a ésa ecació correspoe a la mosraa e la igra Ésa gráica si represea a ció la cal o es ieciva e vir qe e el iervalo -55 eise por lo meos os e ico iervalo qe iee a misma image por eemplo para - la image es Por ora pare e caa po el mismo -5-5 iervalo la ció 5 es erivable pee comprobarse qe e E el reso e los el iervalo eise s valor es isio e cero Fig

114 -5 5 Sea elemeo el iervalo -55 Tome por eemplo E los pos qe esá e las proimiaes e la ció es moóoa ecreciee Aemás para caa eise solo valor e lo qe iica qe es a relació e ipo o es a o por lo ao iee iversa Fig Si e las proimiaes e la ció o es moóoa eise al meos os qe iee la misma image Al o ser a relació e ipo o es a o o iee iversa Fig 6 E coclsió e calqier relació qe eie a ció qe e el eoro e elemeo e s omiio amie erivaa s valor es isio e cero e caa po el eoro iee a ció iversa g e el eoro ao a qe es a relació o es a o ica iversa recibe el ombre e iversa local Por ora pare si g - e eoro el elemeo el omiio e se cmple qe: g - i aplicao la regla e la caea: como g g g g g igala qe permie calclar la erivaa e la ció g iversa e e la image

115 Coicioes para qe F : amia iversa Iversa local e a ció F : E orma similar a lo esablecio para a ció e e para qe a ció F :U amia iversa e abiero U F ebe ser coiamee iereciable el eermiae acobiao isio e lo para asegrar qe sea a relació e ipo o es a o Las coicioes para qe eso se cmpla se esablece e el sigiee eorema Teorema: Sea U abiero e elemeo e U F a ció F :U coiamee iereciable e U el ej F eoces eise a esera abiera S coeia e U co cero e e la qe F es a relació e ipo o es a o Spógase qe F o es a relació e ipo o es a o por eemplo para Y pereeciees a S F FY Al ser F coiamee iereciable e U F es coiamee iereciable e S a qe S ésa coeia e U Aplicao el eorema el valor meio a caa ció i : i compoee e F eise Z el segmeo e reca co eremos e e Y al qe: i Y i i Y - como F FY eoces i Y i Por ser F coiamee iereciable e S oas las erivaas parciales e las i so coias e S Por lo ao cao Z i Z i i Lego cao Z Z i i Dao qe i Y i i Y - resla qe: qe esarrollao el proco maricial qea: Y i i Al acer eso para caa i se geera el sigiee sisema e ecacioes: ca represeació maricial es: i

116 Noe qe J F Como ej F la úica posibilia qe eise para qe la úa igala se cmpla es qe ; e oe se ece qe e cosececia Y lo qe coraice qe para Y pereeciees a S F FY Lego si Y eoces F FY qe iica qe F es a relació e ipo o es a o Esablecias las coicioes para qe a ció F :U sea a ció e ipo o es a o e a esera abiera S coeia e U co cero e qe por lo ao F amie iversa se procee a acer la sigiee eiició: Deiició: Daa la relació F :U os abieros V W coeios e U el rago e F respecivamee e I: a ció al qe I ció ieia Se ice qe G : W V es a iversa local e F si se cmple qe para oo F e W: F GF IF F para oo e V: G F I Teorema e la ció iversa Mari el ierecial e la iversa e a ció F : Sea F :U a ció coiamee iereciable e abiero S e U Sea T FS elemeo e S es al qe ej F Eoces eise os abieros V S W T aemás a relació G e ipo o es a o al qe: i V F W ii W FV iii F es e ipo o es a o e V iv G esa eiia e W GW V GF v G es coiamee iereciable e Los apares i a iv so a cosececia el eorema la eiició eca e la secció aerior e iica qe F es e ipo o es a o e T qe G es la iversa local e F e abiero e coeio e FS La emosració el apare v se ace a coiació: Para oo e V GF G F G F Se pee veriicar qe es igal a la mari ieia e ore la cal se eoa I Sobre esa base aplicao el eorema e la ció compesa se obiee qe : G F F G F I Como F es coiamee iereciable e U F es iereciable e V J F F E vir qe F iee oas ss erivaas parciales coias cao F F

117 ao qe F J e F F J iee iversa Lego sobre la base e las propieaes e las marices pee acerse lo sigiee: F I F F G F ambié: F I F F G F F I I G F F G F Si perer geeralia para aciliar la emosració se spoe qe F : Sea F Si se calcla la mari aa e F qea: T a F es igal a: F e F e F e F e F e F T Noe qe los elemeos e F esa ormao por smas procos e las erivaas parciales e F las cales so coias Lego caa o e esos elemeos ambié represea a ció coia a qe F J e Lego: F G F e cosececia G F esa compesa por cioes coias lo qe iica qe G es coiamee iereciable e caa F e W Ua cosececia imporae e la emosració e ése eorema es qe como pereece a V eoces: F G F Como G es la iversa local e F e abiero e coeio e S se esila eoar G como F - Lego: F F F qe permie calclar la mari el ierecial e la iversa e F e F

118 5 EJEMPLO 6 Daa la ció: cos se se cos se F a Esablecer si alreeor e la image e F5 eise abiero oe F ega a iversa coiamee iereciable b De ser posible allar valor aproimao e cao -6; ; empleao la rasormació aí aproimae e F - e la image F5 SOLUCIÓN a E pricipio 5 / / Lego: 6 5 / / F F Calclao la mari acobiaa e F: se cos cos se se cos se se se se cos cos cos se F J se observa qe oas las cioes erivaas parciales e ésa mari so coias e / / Lego F es coiamee iereciable e / / : F F J / / / / calclao el eermiae e esa mari: F J e / /

119 6 Como F es coiamee iereciable e / / F J e / / eoces eise abiero qe coiee a F/ / 6 oe F iee a iversa coiamee iereciable b Sea F - la iversa e F e abiero qe coega a F/ / La mari el ierecial e F - es: 6 F F / / / / El cálclo e F / / es: / / / / / / F a F e F El elemeo e la ila i la colma e F a / / se obiee a ravés e la epresió: M e i i sieo M i la mari qe se obiee eiao la ila i la colma e F / / Por eemplo el elemeo e la ila colma es: e M Sigieo al mismo proceimieo se obiee oos los elemeos e F a / / resla qe: F a / / e cosececia: F F / / T / / por ora pare :

120 7 / / / / F F F 6 La rasormació aí aproimae e F - e 6 es: F F A / / Ssieo: / / A para -6 : / / A F Se ea al lecor veriicar qe los valores e pee calclarse a ravés e: cos a qe si se calcla los valores para -6; se obiee qe 95 ; 766 ; ; valores cercaos a los calclaos a ravés e A EJEMPLO 7 Daa la ció: v v v F a Esablecer e qe pos v el omiio e F ss respecivas imágees iee abiero oe F iee a iversa coiamee iereciable

121 8 b De ser posible allar valor aproimao e F - 9; sabieo qe F 5 emplee la rasormació aí aproimae e F - e la image F SOLUCIÓN a El Domiio e la ció F es oo Sea v elemeo el omiio e F Si F es coiamee iereciable e v el e J v F F iee a iversa coiamee iereciable e abiero e la image Fv Lego: 6 6v J v F 6 6v Caa o e los elemeos e J v F es a ció coia para oo v; lo qe iica qe F es coiamee iereciable para calqier v e s omiio; J v F v F Aemás: 6 6v J F 6 v v e v 6 6 6v eoces para aqellos elemeos el omiio e F oe 6 v 6v F amie iversa coiamee iereciable e la image Fv Es secillo veriicar qe so oos aqellos v para los cáles v v b Como F es coiamee iereciable para oo v aemás: J F e eoces F amie a iversa coiamee iereciable e abiero e F 5 E vir qe eoces: 6 J F F 6 a F T a F F F e F 7 ao qe F - 5 F - F la rasormació aí aproimae e F - e la image F 5 es:

122 F F A e cosececia: A F

123 Fció Implícia Fció implícia e a variable iepeiee eiia por a ecació Aes e iiciar ése po coviee recorar qe el grao e epeecia e sisema e ecacioes es a caia qe se obiee resao el úmero e icógias o variables el sisema el úmero e ecacioes el mismo e iica qe se si oma arbirariamee esa caia e icógias los valores e las icógias resaes epee e los valores qe se asige a las icógias omaas iicialmee Bao ése cocepo las variables resaes recibe el ombre e variables epeiees e cosececia las variables omaas iicialmee recibe el ombre e variables iepeiees Por eemplo para sisema e siee icógias co res ecacioes s grao e epeecia es 7- Ese valor iica qe e ico sisema se oma arbirariamee caro e ss variables variables iepeiees los valores e las res variables resaes variables epeiees epee e los valores qe se asige a las caro variables omaas iicialmee Daa a ecació si iee al meos a solció la ecació aa represea a relació o eplícia e epeecia ere las variables icógias e la misma la cal pee ser o o a ció Al ser a sola ecació co os icógias o variables el grao e epeecia e ella es igal a o; e iica qe el valor e a e las variables variable epeiee epee el valor qe ega la variable resae variable iepeiee El omar a o a como variable epeiee es compleamee arbirario Si eise a ció eiia e e al qe para oo elemeo e s omiio se cmple qe eoces se airma qe es a ció qe esá eiia implíciamee por la ecació Por eemplo 5 esá eiia implíciamee por la ecació 5 a qe para oo el omiio e : Si e la ecació a e ss variables se pee espear ico espee pee arroar a o varias relacioes qe saisace ica ecació Si alga e esas relacioes represea a ció ica ció ésa eiia implíciamee por Por eemplo si e 5 se espea la variable qea: 5 igala qe o represea a ció; pero a parir e ica igala pee obeerse qe: 5 5 las cales si represea cioes eiias implíciamee por 5 No obsae eise casos oe el espee e alga e las variables e pee ser complicao como es el caso e:

124 7 + 6 e iclsive a casos oe iga e las variables se pee espear como: + + se+ Aqe e los úos os casos e alga orma pee obeerse algos valores e las variables e qe saisaga las ecacioes aas eermiar a igala qe represee a ció eiia implíciamee por la ecació correspoiee pee ser m iícil o asa imposible Coicioes para la eisecia e a ció implícia Coicioes para la eisecia e a ció implícia eiia por la ecació : La esraegia e iear el espee e alga e las variables e la ecació para eermiar a ció implíca o o cosiera e igú momeo si ica ció e realia eise No obsae se pee esablecer cieras coicioes para esablecer si ica ció eise iepeieemee qe alga e las variables pea o o espearse E pricipio pee cosierarse como la crva e ivel e la ció Si es coiamee iereciable e abiero qe coiee a para el cal se cmple qe aemás es a ció iereciable qe ésa eiia implíciamee por eoces aplicao la regla e la caea: como ; ao qe eoces e oe resla qe: como es coiamee iereciable e ao para qe eisa ecesariamee lego: como eise; iee qe ser isia e cero Lego:

125 o e orma eqivalee: recorao qe: la eisecia e iica qe + e esá eiios qe a a ció e la vecia e ca erivaa es Pero la eisecia e esá sea a qe sea isio e cero E cosececia si eoces eise a ció e el eoro e eiia implíciamee por la ecació para la qe se cmple qe: El eco qe iee a ierpreació geomérica e sma imporacia π: π Fig 7 E la igra 7 se observa la crva iersecció ere el plao : la spericie represeaa por la ecació la crva reslae iee por ecació a porció e ella se mesra e la igra 8 E esa misma igra pee observarse qe

126 e las proimiaes el po la erivaa como cosececia es a ció moóoa e ése caso ecreciee; así se asegra qe eisa Tambié se aprecia qe - + iee isio sigo e vir qe eise algú po e el iervalo - + oe ; ico po es por lo qe como es esableció iicialmee - π: - + π + Fig 8 Aicioalmee sigieo aálisis similar sea a ció coiamee iereciable e el eoro e si eoces eise a ció iereciable e las proimiaes el po eiia implíciamee por la ecació para la qe se cmple qe: Si embargo la eisecia e o garaia la eisecia e como pee observarse e el sigiee eemplo EJEMPLO 7 Daa la ecació: + + a Esablecer si e el po - eise alga ció eiia implíciamee por la ecació aa Eise alga ció? b De ser posible allar la ecació e la reca agee a la crva eiia por la ecació aa e el po - SOLUCIÓN a E pricipio pee comprobarse qe el po - saisace la ecació aa iicialmee Sea + + calclao ss cioes erivaas parciales: + -