El Toolbox PDEtool de Matlab

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Luz Quintero Navarro
hace 8 años
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1 @Joaqí Delgado Deparameo de Maemáias UAM-Izapalapa El Toolbo PDEool de Malab Malab iee modo ieraivo para resolver varios ipos de eaioes difereiales pariales llamado Pdeool. Ivóqelo direamee desde la veaa de omados. >>pdeool Apareerá a veaa omo se mesra e la figra, El Modo de dibjo Podemos omezar por poer el Pdeool e Modo de dibjo (Draw Mode). Seleioado del meú priipal Draw Draw Mode. Se pede dibjar reáglos, elipses o polígoos seleioado del meú priipal Draw Reagle, Ellipse, Polgo, o bie a parir de los íoos qe aparee debajo del meú priipal. Eise domiios básios omo reáglos, disos polígoos o los ales se pede operar para obeer domiios más omplejos ombiádolos o las operaioes de ió (+) difereia (-). Observe qe las disias regioes se va merado oseivamee, si so reáglos omo R, R, e., si so írlos C, C, e. Para dibjar a

Seleioado del meú priipal Draw Draw Mode. Se pede dibjar reáglos, elipses o polígoos seleioado del meú priipal Draw Reagle, Ellipse, Polgo, o bie a parir de los íoos qe aparee debajo del meú priipal.

2 mesa se pede dibjar írlo sobre oro modifiar la ombiaió por defeo e la veaa Se formla de C+C a C-C, omo e la figra. al ambiar de modo (por ejemplo ambiado a Bodar Mode) apareerá la regió reslae.

3 E la sigiee figra se mesra a regió más ompliada. 3

4 El Modo de froera Ua vez espeifiado el domiio, se pede espeifiar la odiioes de froera ambiao al Modo de Froera (Bodar Mode) a parir del meú priipal: Bodar Bodar Mode. Si se desea se pede remover los border ieriores del domiio, si los ha, seleioado del Bodar Remove all sbdomai borders. Las odiioes de froera sobre o de los bordes se iiia dado doble lik sobre algo de los bordes de la froera del domiio. Apareerá a veaa dode se podrá espeifiar las odiioes de froera del ipo Dirihle, Nema o Mias. E la figra sigiee aparee la veaa por defeo para espeifiar odiioes de froera ipo Dirihle h*=r. Aqí h r so osaes o a lo más fioes de la variables idepediees,. Por ejemplo para espeifiar la odiió de froera,(, ) dode deoa la pare de la froera seleioada, debemos espeifiar h omo se mesra e la figra Observe qe e será e geeral arreglos (veores o arras) qe oiee las oordeadas (i,i) de los disios pos de la froera, de modo qe e la espeifiaió de h r deberá apareer operaioes qe preserve las dimesioes de los arreglos e (i.e. operaioes pales o erada por erada). E el ejemplo aerior, si e vez de espeifiar r =.^+.^ esribimos r = * obedríamos el mesaje de error 4

Las odiioes de froera sobre o de los bordes se iiia dado doble lik sobre algo de los bordes de la froera del domiio.

5 a qe * es la operaió de mlipliaió mariial. Las odiioes ipo Nema se da e el formao **grad() + q=g dode, represea el veor ormal eerior al borde la froera seleioado, es deir ( ) q g () dode,q, g a lo más pde ser fioes de, a valores reales. La aidad evalada e po (,) de la froera, se llama ambié la derivada ormal represea la asa isaáea de variaió de a lo largo de a rva alqiera o direió del veor ormal, e el po (,). La osae permie ierprear mhas vees ( ) omo fljo de alor, orriee eléria, e. E mhos asos, las lees empírias esablee a relaió proporioal ere el fljo la difereia del valor de respeo de valor de refereia. Tal es el aso de la le de efriamieo de Newo qe esablee qe el fljo de alor e a froera libre es proporioal a la difereia de emperara de la froera el medio ambiee. E símbolos ( ) ( a ) qe aralmee se pede llevar a la forma ormal () de Malab. El Modo PDE Los ipos de EDP qe se pede simlar e Pdeool so las qe se mesra e la sigiee figra, despés de seleioar el modo PDE: PDE PDE Mode seleioar el meú PDE PDE Speifiaio. 5

La aidad evalada e po (,) de la froera, se llama ambié la derivada ormal represea la asa isaáea de variaió de a lo largo de a rva alqiera o direió del veor ormal, e el po (,).

6 Por ejemplo la eaió elípia más geeral qe se pede rabajar e Pdeool so de la forma ( ) a f E el aso más simple es a variable real, pero ambié pede espeifiarse sisemas de eaioes. E al aso, las operaioes, a debe osiderarse o mho idado, por ejemplo, si, eoes f a debe ser a mariz para qe a. El gradiee de se osiderar ompoee a ompoee, así qe a mariz de, de modo qe ambié deberá ser a mariz. Más adelae veremos omo espeifiar sisemas de EDPs. Los ipos de EDPs qe se pede espeifiar se resme e la sigiee abla dode se mesra la siais de Malab a la izqierda e oaió maemáia e la olma dereha. Tipo Malab Noaió lásia Elípia **grad()+a*=f ( ) a f Parabólia d* -div(*grad())+a*=f d ( ) a f Hiperbólia d* -div(*grad())+a*=f d ( ) a f Valores propios -div(*grad())+a*=lambda*d* ( ) a d El modo de Malla Ese modo permie iiializar la malla refiarla e aso eesario. Tome e ea qe a malla o se pede refiar idefiidamee, si se refia demasiado el állo pede demorar demasiado o pede apareer osilaioes esprias. Eso mara ompromiso de rapidez preisió. E la sigiee figra se mesra la malla iiial e a regió e forma de L primer refiamieo qe obeido al dar li e el ioo señalado por el pero e la figra de la dereha. 6

El gradiee de se osiderar ompoee a ompoee, así qe a mariz de, de modo qe ambié deberá ser a mariz. Más adelae veremos omo espeifiar sisemas de EDPs.

7 El modo de Solió E ese modo se reselve la EDP. Basa seleioar del meú priipal Solve. E la sigiee figra se mesra la solió e base al úlimo mallado de la regió. Por defeo, el gráfio qe se mesra es del ipo de olores, o la barra a la dereha idiado los valores qe se asoia a diversos oos. E la figra, se ha reselo la eaió de Laplae e la regió eforma de L. la regió eral e rojo orrespode a valores más alos, los bordes más laros a valores meores de la solió. E el ejemplo, las odiioes de froera so del ipo Dirihle homogéeas, de ahí qe la solió debe omar el valor ero e la froera. 7

Por defeo, el gráfio qe se mesra es del ipo de olores, o la barra a la dereha idiado los valores qe se asoia a diversos oos.

8 Se pede opar por oras formas de represeaió de la solió. Eso se logra seleioado del meú priipal Plo Parameers, o lo qe apareerá la sigiee veaa de opioes: 8

9 Por ejemplo, si seleioamos las opioes de Coors Arrows, despés de dar li e el boó Plo, obederemos la sigiee figra dode además del gráfio de olor, apareerá las rvas de ooro (,)= os. el egaivo del ampo gradiee qe e el aso de problemas de rasfereia de valor se pede ierprear omo el veor de fljo de alor, e elasiidad se ierprea omo el desplazamieo E ora forma de represeaió hemos seleioado las opioes Deformed mesh Heigh (3-D plo), o lo qe obeemos gráfio ridimesioal de la sperfiie = (,), o el mallado sobre la sperfiie. Ese objeo ridimesioal se pede girar o el mose seleioado el íoo de giro e el meú de la Figra. 9

el egaivo del ampo gradiee qe e el aso de problemas de rasfereia de valor se pede ierprear omo el veor de fljo de alor, e elasiidad se ierprea omo el

10 Oras EDPs qe se pede esdiar o PDETool Eise oro ipo de apliaioes espeífias de PDEool haia problemas de la igeiería. Algas de las posiblidades se mesra e la sigiee figra qe mesra el sbmeú de Opios Appliaios Hea rasfer. Podemos ver la forma eplíia de la EDP qe se reselve a parir del meú Solve PDE Speifiaio, omo se mesra e la sigiee figra

Algas de las posiblidades se mesra e la sigiee figra qe mesra el sbmeú de Opios

11 Resolió de sisemas de EDPs e Malab Co poo de esferzo se pede resolver sisemas de eaioes difereiales de la forma ( ) + a = f, dode es esor N-por-N-por--por-. Co la oaió ), qeremos deir la mariz N-po - o ompoee (i,) La odiioes de froera so e geeral mias, i.e., e ada po de la froera a ombiaió de odiioes de Dirihle Nema geeralizadas, La oaió sigifia la mariz N-por- o ompoee (i,).() dode el veor ormal eerior es Eise M odiioes de Dirihle la mariz h es M-por-N, M. La odiió geeralizada de Nema oiee a fee h'dode los mlipliadores de Lagrage se ompa de al maera qe las odiioes de Dirihle se saisfaga. E problema de meáia esrral ése érmio es eaamee la ferza de reaió eesaria para saisfaer las resriioes iemáias desrias por las odiioes de Dirihle.

() dode el veor ormal eerior es Eise M odiioes de Dirihle la mariz h es M-por-N, M.

12 LAS ECUACIONES DE STOKES EN MATLAB La fió de orriee voriidad Las eaioes de Sokes e domiio plao D v p () v se pede esribir e érmios de la fio de orriee la voriidad omo sige: La fió de orriee esá relaioada o el ampo de veloidades por v = + i v = i = -i = -i( + i ) es deir = v = - lego la eaio v = se saisfae aomáiamee. E érmios de la voriidad = v = v - = (- ) - ( ) = - de dode + =. Por oro lado omado el roaioal de ambos lados de la primera eaió e (), e ierambiado los operadores, ( v ) = ( v) = ( p) = es deir =. E resme, la fió de orriee la voriidad saisfae el sisema de EDPs elípias () + =, =. Resolió e Malab E esro aso N = la forma epliia de () es

E érmios de la voriidad = v = v - = (- ) - ( ) = - de dode + =.

13 3,,,,,,,,,,,,,,,, f a a f a a Para esro aso Comparado oefiiees,,, a a a a,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, Codiioes de froera Las odiioes de froera so de ipo Dirihle para,

14 v de ipo Nema para = - v, = qe so ooidas e la froera. Para la voriidad es eesario haer a hipóesis adiioal para eeder v a eoro de la froera. U ejemplo. Cosidérese írlo de radio roado o veloidad aglar osae. Tomemos la odiió de froera v (,) = i(+i ) = - + i = + i v. Se verifia qe la solió e el ierior del diso es v i. La odiioes de froera so: Para la fió de orriee, = -, = - para la voriidad, v ( ). Para simplifiar a maera de preba, aprovehado qe se ooe la solió, la fió de orriee es = - (/)( + ) de modo qe podemos espeifiar odiioes de ipo Dirihle para el veor (/ )( ) Véase las sigiee veaas de diálogo e malab Seleió de opió geéria (veorial) 4

Se verifia qe la solió e el ierior del diso es v i. La odiioes de froera so: Para la fió de orriee, = -, = - para la voriidad, v ( ).

15 Espeifiaió de PDE Espeifiaió de odiioes de froera (Dirihle) Parámeros de grafiaió Gráfio de lieas de orriee veor veloidad 5

16 Reslados prelimiares para odifiar e malab (Seio e osrió, pero se ile para fra refereia) Problema: Cooidos los valores de sobre la froera, ómo allar la voriidad sobre la froera?. Usar la relaió = - sar la aproimaió disrea del laplaiao i, j,,,, 4, i j i j i j i j i j i, j h dode (i, j+) es po sobre la froera de dode i,j+ es ooido; e ao qe los valores ieriores i,j, i-,j, i,j-, i,j+, i+,j proviee de a ieraió aerior.. Cosideremos sisema de oordeadas, omo se mesra e la figra eoes si (os( ),si( )) eoes ( si( ),os( )) v ( v ) ( v ) (( i vj) ) (( i vj) ) ( os( ) vsi( )) ( si( ) vos( )) v z v s 6

. Usar la relaió = - sar la aproimaió disrea del laplaiao i, j,,,, 4, i j i j i j i j i j i, j h dode (i, j+) es po sobre la froera de dode i,j+ es

17 Por el eorema de Sokes v dd d pero d d ds s os( ) d si( ) ds d si( ) d os( ) ds lego d vd v d v ds v v dds vd (os( ) d si( ) ds) v(si( ) d os( ) ds) ( os( ) vsi( )) d ( si( ) vos( )) ds s s s Tomado irio de área ds haiedo eder a ero v v Proposiió Sea, los veores iarios ormal agee al domiio D. Sea, oordeadas relaivas a ese sisema oordeado, sea v, v las ompoees ormal ageial del ampo eoes v v 7

Tomado irio de área ds haiedo eder a ero v v Proposiió Sea, los veores iarios ormal agee al domiio

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