Contenido de la parte II

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1 UTN Roario Elcrocnia II Connido d la par II rion.... La Tranormada d Laplac.... Inroducción.... Dinición d Tranormada d Laplac.... Principal propidad... Circuio quialn d Laplac Circuio quialn d cada lmno...8. plicación d lo circuio quialn... Tranormación inra d Laplac raccion impl...7. Méodo gnral...9. Méodo paricular.... Méodo combinado... uncion d rd.... Inmiancia.... Tranrncia.... Rriccion.... Caracríica mamáica.... Rpua gún lo polo d la ranrncia Torma dl alor inicial y inal... Exciación con uncion compua.... Rolución por uprpoición.... Rolución por inralo...6. Méodo d Tranormada compla d la xciación Exciación con uncion compua priódica Conidracion gnral Obnción d la rpua...6 NEXO B Tranormada d Laplac Tabla. Tranormada d Laplac má uual...69 Tabla. Propidad d la ranormada d Laplac...7 Tabla. Tranormada d uncion priódica...7 Régimn raniorio n circuio linal Página d 7

2 UTN Roario Elcrocnia II rion Nº cha Modiicacion. /8/ rión inicial. // Corrcción rror numérico. Pág. y. /6/6 Corrcción rror numérico. Pág., 7, y Corrccion aporada por Nicolá Di Rucio Régimn raniorio n circuio linal Página d 7

3 UTN Roario Elcrocnia II PRTE II MÉTODO OPERCIONL O DE LPLCE. La Tranormada d Laplac. Inroducción Una Tranormada un conuno d opracion qu pudn aplicar obr drminada uncion d una ariabl x, rulando para cada una d lla una unción d ora ariabl y. Por mplo la ranormada d una unción x rá una unción y, la d x rá y, c. E proco llama ranormación, n conidración a qu una unción d una ariabl ranorma n una unción d ora ariabl. dmá, para cada Tranormada xi una unción llamada Tranormada Inra, qu aplicada obr cada unción d ariabl y prmi obnr la unción d ariabl x d la cual proino al ralizar la ranormación. E proco llama ani-ranormación. x x T x T y y T x T y y La rlación nr la uncion d ariabl x y la d ariabl y biuníoca. Lo xpuo mura n la igura, dond T la Tranormada y T la Tranormada Inra o niranormada. IG.. TRNSORMCIÓN DE UNCIONES El nido qu in la ranormación d uncion d una drminada ariabl x, obnr uncion d ora ariabl y qu ngan propidad qu acilin la rolución d ciro problma mamáico. Una z rulo l problma n l campo d la ariabl y habrá qu ani-ranormar l rulado para obnr l corrpondin al campo d x, qu la rdadra ariabl dl problma. La Tranormada d Laplac in una propidad d gran alor para rolr lo problma d régimn raniorio: ranorma la cuacion dirncial n cuacion algbraica. Régimn raniorio n circuio linal Página d 7

4 UTN Roario Elcrocnia II. Dinición d Tranormada d Laplac Simbología plicarmo la Tranormada d Laplac a uncion dl impo, obnindo uncion d la llamada ariabl d Laplac, qu imbolizarmo con. la Tranormada d Laplac d y la ni-ranormada d L [.] { } - L { } [.] En gnral, cribirmo n minúcula curia la uncion dl impo, y uarmo la mima lra n mayúcula d imprna, para la corrpondin uncion ranormada. Por mplo cribirmo i para rprnar la corrin I para u ranormada, o implmn i I. Dinición Una unción pud r ranormada i cumpl la iguin condicion: [.] < < M y u ranormada : conm y inio [.] L d [.] { } Como la Traormada d Laplac una ingral dinida con rpco al impo, la ariabl impo daparc, minra qu, qu una conan para la ingral, quda como ariabl dl rulado. La condición [.] igniica qu la unción a ranormar no pud uprar n alor aboluo a la unción M, con la conan M y an grand como a ncario aunqu inia. Sindo aí, una unción como. Principal propidad no ranormabl. quí prnan la propidad qu ralmn hacn d la Tranormada d Laplac una hrramina inalorabl para rolr rgimn raniorio. La dmá propidad prnarán a mdida qu an ncaria para aronar lo problma qu plann. Linalidad El hcho d qu la Tranormada d Laplac a una ingral l oorga la propidad d linalidad. Régimn raniorio n circuio linal Página d 7

5 UTN Roario Elcrocnia II Si k p k q indo k y k conan La Tranormada d Laplac d : k P k Q [.6] indo P la ranormada d p y Q la d q Tranormada d una conan Normalmn la ranormada d Laplac obinn d abla n lugar d aplicar la órmula d ranormación. Sin mbargo, an d proguir con la principal propidad, conidramo oporuno morar cómo drmina al mno una ranormada a parir d a órmula, y para llo, nada mor qu lgir la unción conan, qu la má uilizada n lo problma lécrico. Cab aclarar qu cuando hablamo d la Tranormada d Laplac d una unción, n ralidad no rrimo a la ranormada d H, ya qu una unción, para r Laplac-ranormabl, db r nula para odo <. En gnral conin impliicar la noación omiindo la criura d H. En concuncia, cuando hablamo d la ranormada d la conan k no amo ririndo a la d k H. plicando la dinición: k k d k k [.7] La ranormada la conan diidida por la ariabl d Laplac. Tranormada d la driada d una unción Tranormmo la unción dg aplicando lo dinido n [.]. d dg d d g g dg l cambiar la ariabl d ingración, lo nuo xrmo on lo alor qu corrpondn a la nua ariabl para cada uno d lo xrmo anrior. Rolmo por par, rcordmo qu ud u du, hacindo y d dg ; nonc: g g d g g d G g u [.8] La ranormada d la driada d una unción la ranormada d la unción muliplicada por la ariabl, mno l alor inicial d la unción. Régimn raniorio n circuio linal Página d 7

6 UTN Roario Elcrocnia II Tranormada d la ingral d una unción Tranormmo g d g d d También rolmo por par hacindo nonc: Como g y d u du g g d y d d ; d g d G g d [.9] La ranormada d la ingral d una unción la ranormada d la unción diidida por la ariabl d Laplac. plicación a la rolución d cuacion dirncial Tommo un ima d cuacion dirncial como la dl circuio d do malla dl puno d la Par I di di Ri L L d d di di L Ri L d d Si bin no hay ingral ino ólo driada, ir como mplo para morar cómo la cuacion dirncial conirn n cuacion algbraica. plicamo nonc la propidad d linalidad y la concrnin a la driada d una unción. L I i L I i I i RI L I RI L i mo qu ciamn obnmo un ima d cuacion algbraica. Ponmo lo érmino indpndin n l primr mimbro: L i L i I L i L i I D aquí ncillo obnr I I, R L I L I R L L G Régimn raniorio n circuio linal Página 6 d 7

7 UTN Roario Elcrocnia II I L i L i i R L L i L R L L R L [ L i i ] R L R R L L i L L i R L LR i i RR L R R I R L L R L L L i L i i L i R L R L L i i RR L R R [ L i i ] L L RL i i RR L R R pro a uncion d la ariabl no inn nido lécrico. Habrá qu ani-ranormarla para hallar i i, qu on la rdadra corrin n l mundo ral. mnudo la par má complicada d un problma obnr la aniranormada. Má adlan rpaarmo lo méodo má úil para llo. Torma dl dplazamino Lo dnominado Torma dl dplazamino on do; uno conidra l dplazamino d la ariabl y oro l d la ariabl. Dada una unción dl impo y u corrpondin Tranormada d Laplac, o Torma ablcn la rlacion qu muran n la iguin abla. uncion in dplazar Dplazamino d la ariabl Dplazamino d la ariabl Η a a Η a a a [.] [.] Rcordmo qu la uncion ranormabl on nula para <. Por lo ano, aunqu conngamo rprnar una unción rampa como m, dbmo nr prn qu n ralidad no rrimo mh la unción d la a izquirda n la igura La unción d la drcha la mima qu ha dplazado haa a, y u xprión : H m a H a a a En cao imprcindibl indicar l calón. D acurdo con l Torma dl dplazamino d la ariabl u ranormada on: IG.. DESPLZMIENTO DE UNCIONES a Régimn raniorio n circuio linal Página 7 d 7

8 UTN Roario Elcrocnia II m y m a rpciamn. El oro Torma lo aplicamo cuando nmo una unción d la ariabl d Laplac m m como qu la unción corrida n a. a En al cao, la aniranormada : m a Circuio quialn d Laplac. Circuio quialn d cada lmno Elmno paio En l puno Par I, ablcimo la rlacion nión-corrin para lo r lmno paio báico qu conorman lo circuio lécrico. coninuación ranormamo a rlacion. Para l Rior, R i R ranorma n I R. [.] R Para l inducor, di L L ranorma n L L I i I L Li [.] d Para l capacior, C C i d, no pud ranormar dircamn. Ello db a qu la unción a ranormar db r nula n l inralo,, condición qu no agura la cuación anrior. Si diidimo l inralo d ingración a ambo lado d : C C i d C i d C C i d La primra ingral l alor d nión n, dcir una conan cuya ranormada muy impl, y la gunda, una unción qu nac n, por lo qu ahora í la podmo ranormar aplicando [.9]. Rula: C C I C [.] Para cada lmno, R, L y C, podmo nconrar un circuio qu rcorrido por una corrin I nga nr u xrmo una caída d nión R, L o C, d acurdo con la cuacion [.] a [.], como mura a coninuación. Régimn raniorio n circuio linal Página 8 d 7

9 UTN Roario Elcrocnia II Rior R I R I R R L I L Li I L L i Inducor El primr circuio l qu dprnd d la cuación; l gundo obuo conirindo la un d nión n una d corrin. I L i L L Capacior C I C C C C I C IG.. CIRCUITOS EQUILENTES DE LPLCE Obér qu n la r cuacion I á muliplicada por un acor qu podmo conidrar una impdancia n ranormada d Laplac. Tal on: R Rincia [.] X C C Racancia Capaciia [.] X L L Racancia Inducia [.6] dmá n la cuacion dl inducor y dl capacior hay ndo érmino qu on indpndin d la ariabl, por lo cual rin l carácr d un d nión. L i C Como lo gundo mimbro d la cuacion on caída d nión, l érmino ngaio, qu corrpond al inducor, una un qu inyca corrin n l Régimn raniorio n circuio linal Página 9 d 7

10 UTN Roario Elcrocnia II nido d la corrin d rrncia, n ano qu l érmino poiio corrpondin al capacior, una un opua a dicha corrin, con una polaridad igual a la nión inicial n l capacior. Para l inducor prnamo una arian, ranormando la un d nión n ri por una un d corrin n parallo, lo qu mura cira analogía nr circuio quialn y l dl capacior. En ambo nmo la racancia d Laplac y una un rlacionada con la condición inicial caracríica d cada lmno corrin para l inducor y nión para l capacior Sin qu llo prnda r una inrpración íica, puo qu hmo dicho qu n l campo d la ariabl d Laplac no uramo dl mundo ral, la un qu aparcn n o circuio quialn rprnan la propidad dl inducor d aorcr l mannimino d la corrin y la dl capacior d mannr la nión. En l cao n qu la condicion inicial an nula, lo circuio quialn anrior conin ólo d la impdancia d Laplac. Elmno acio Cada un qu orma par d un circuio, gnra un érmino n la cuacion qu unción dl impo. i nω IG.. UENTE INDEPENDIENTE EJEMPLO I ω ω l ranormar érmino, i la un indpndin, l circuio quialn d Laplac la ranormada d la unción qu rprna la un. i k i x I IG.. UENTE DEPENDIENTE EJEMPLO k I x Si dpndin, u circuio quialn la ranormada d la ariabl d la qu dpnd muliplicada por la conan qu la rlaciona con a ariabl.. plicación d lo circuio quialn Circuio quialn d un circuio con ario componn Hmo obnido lo circuio quialn d cada lmno báico conidrado n orma ailada. En ralidad l lmno no á ailado, ino qu orma par d una rd no xpliciada qu prooca la corrin qu indica a raé dl mimo Inra ahora drminar l circuio quialn para un circuio ormado por la combinación d ario lmno báico. rmo qu para llo baa con rmplazar cada lmno báico qu lo orma, por u rpcio circuio quialn. Régimn raniorio n circuio linal Página d 7

11 UTN Roario Elcrocnia II Conidrmo l circuio la igura., n l cual hmo indicado la do corrin d malla, i i. R L R IG.. CIRCUITO DE MLLS C i i C Lo lmno rcorrido por una ola d dicha corrin gnran un único y xcluio érmino d la cuacion d malla, o a qu án n la mima condicion qu cuando drminamo u circuio quialn. Por mplo, l inducor L, rcorrido únicamn por i, producirá la mima caída d nión dnro d cualquir circuio, impr y cuando la corrin por él a i. Para lo lmno rcorrido por do corrin d malla, la caída d nión dpndrá d la combinación d amba corrin. quí olamn á n a iuación l capacior d la rama cnral, n l cual la corrin i i oponn. Tomando como rrncia i, la caída d nión : i i d C C cuya ranormada : C C I I C o S pud r qu l circuio quialn dl capacior aiac a cuación. R INDUCTOR L i L L I C En la igura.6 mura l circuio quialn d Laplac complo dl circuio dado. Para calcular la nión n born d un inducor o un capacior, db nr n cuna la racancia d Laplac dl lmno y la un aociada a la condición inicial. mba orman par dl lmno. R C I C IG..6 CIRCUITO EQUILENTE L DE IG.. i C i i i CIRCUITO REL IG.. ELEMENTO RECORRIDO POR DOS CORRIENTES DE MLL. CPCITOR C C I I I I C CIRCUITO EQUILENTE Régimn raniorio n circuio linal Página d 7

12 UTN Roario Elcrocnia II plicación prácica Cada z qu db rolr un circuio por l méodo d la ranormada d Laplac, no ncario planar u cuacion dirncial para lugo ranormarla. Rula má connin rmplazar cada lmno por u circuio quialn d Laplac y obnr dircamn a parir d allí la cuacion n la ariabl. Dl circuio quialn anrior, obinn la iguin cuacion d malla n la ariabl. C I R I C C C C Li I I L L R C C C E un ima d do cuacion algbraica con do incógnia, I I. Una z dpada prcio aniranormarla para obnr i i qu on la única corrin d xincia ral. Si damo obnr la nion, hay do alrnaia. o Obnr la nion ranormada y lugo aniranormarla. Por mplo, n ranormada, la nión dl inducor n unción d la corrin ría: L I L Li L o Obnida la corrin n l impo, aplicar la corrpondin rlación nión-corrin. Para l inducor, implmn: di L d L La connincia d una u ora alrnaia dpndrá d cada cao n paricular. quí la gunda parc r la má ncilla, pro i raa d la nión n un capacior, no ría aí, ya qu habría qu ingrar, indo ncario drminar la conan d ingración n ba a la condicion inicial Cálculo d poncia Hay qu nr cuidado con l cálculo d poncia dbido a qu la ranormada d Laplac no diribuia con rpco al produco. Si calculamo la nión y la corrin ranormada d un lmno d circuio, por mplo I, y hacmo l produco P I, la aniranormada d P no la poncia n lmno. Hay qu aniranormar I, para hallar la nión y la corrin n l impo, y lugo í, hallar la poncia como p. i. Régimn raniorio n circuio linal Página d 7

13 UTN Roario Elcrocnia II Torma aplicabl El méodo d malla, n l qu hmo baado lo razonamino prcdn, unda n l principio d uprpoición, álido cuando lo componn d lo circuio on linal. Su uilización pud xndr al campo d la Tranormada d Laplac porqu éa po la propidad d linalidad. D igual manra, podmo ablcr la aplicabilidad dl méodo d nudo y lo orma d Thènin, Noron, Millman, c. Emplo Conidrmo l iguin circuio, qu inicialmn á n régimn prmann con l inrrupor abiro. En cirra l inrrupor. S da obnr la nión n l capacior. Rolmo primro l régimn prmann prio a la conmuación, para lo cual la malla d la izquirda prcindn. Sindo un régimn d coninua, l inducor compora como un corocircuio y l capacior como un circuio abiro. Lugo: i y C con la polaridad indicada n la igura. Eo alor conrarán n dpué d conmuar Lugo, planamo l circuio quialn d Laplac, álido dd dd qu crró l inrrupor n adlan. S incorpora la, malla d la izquirda. Rmplazamo lo alor d la un por u ranormada d Laplac: y rpciamn Rmplazamo cada componn paio por u circuio quialn d Laplac. Ω,Hy Ω i Ω IG..7 CIRCUITO RESOLER Ω i IG..8 RÉGIMEN PREIO I i I µ Ω, dcir, IG..9 CIRCUITO EQUILENTE DE LPLCE - El dl capacior in racancia C La racancia para l inducor 6 y una un n ri L, y la un L i C Régimn raniorio n circuio linal Página d 7

14 UTN Roario Elcrocnia II La un n ri con l capacior in la polaridad d la nión inicial. Cuando la corrin inicial no nula, la un d nión n ri con l inducor db nr una polaridad como para inycar corrin n l mimo nido d la corrin inicial. Por malla: I I I, I Noar qu por lo nido lgido la corrin d malla uman n la rama común. En a cuacion xpliciaron odo lo érmino para qu a má ncillo r d dónd urgn. hora la impliicamo. I I, I I Para hallar la nión n l capacior primro obnmo la corrin: I,, Lugo, la caída d nión n l capacior, omando como rrncia l polo poiio hacia arriba, : C I Por Thènin: I, TH - Sparamo la rama qu conin l capacior. La nión d Thènin : TH I, IG.. CÁLCULO DE L TENSIÓN Y DE L IMPEDNCI DE THÈENIN Thènin, l circuio quda rducido a un circuio d una ola malla. Y la impdancia d Thènin, paiando la un como on d nión rmplazan por corocircuio: Z TH,, Una z obnida la nión y la impdancia d Régimn raniorio n circuio linal Página d 7

15 UTN Roario Elcrocnia II Z TH TH TH C ZTH, IG.. CIRCUITO DE THÈENIN plicación d Millman. No db dcarar la aplicación d oro orma cuando prmin impliicar l circuio. El Torma d Millman prmi rmplazar rama coniuida por un d nión n ri con una impdancia por una ola rama d ipo. En la igura mura para do rama. En nuro problma, lo podmo aplicar a la do rama d la izquirda, rulando la un y la impdancia ncrrada por lína d razo n la ig..., El circuio rduc a una ola malla con lo cual, l cálculo d I muy ncillo. I, Lugo: C Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z IG.. EQUILENTE DE MILLMN I IG.. PLICCIÓN DE MILLMN En cao, l Torma d Millman no prmiió llgar rápidamn a un circuio d una ola malla, cuya rolución muy impl. Pro llo ólo una cuión álida para mplo. El méodo d malla y l d Thènin o u compañro: nudo y Noron, impr no prmin llgar al rulado, in mbargo, an d aplicarlo connin obrar l circuio para r i no podmo ralizar una impliicación por mdio d oro d lo Torma d lo circuio, como n cao l d Millman. Una z obnida la ariabl d inré n Tranormada d Laplac ncario ralizar la Tranormación inra para obnr la ariabl n l impo. mnudo, rula má ncilla la primr par obnr la ariabl Tranormada, qu llar a cabo la aniranormación. Má adlan mura cómo obnr la aniranormada, qu para mplo rula: Emplo c co, n Régimn raniorio n circuio linal Página d 7

16 UTN Roario Elcrocnia II El circuio d la igura á n un régimn prmann con la lla conmuadora n la poición. S da hallar la corrin y la nión n l capacior a parir dl momno n qu conmua n orma inanána a la poición. Encararmo la rolución iguindo una ri d pao qu on ípico para problma como. Régimn prio. Dbmo drminar l ado dl circuio an d la conmuación para obnr la condicion inicial d la conmuación. El régimn prio un régimn prmann d coninua. Para drminarlo rmplazamo lo inducor por corocircuio y lo capacior por circuio abiro. Quda una ola malla cuya corrin : i, Ω La nión n l capacior igual a la caída d nión qu prooca a corrin n la rincia n parallo con él. C, Ω Condicion inicial Llamando al momno d la conmuación, l régimn prio al haa -, pro por la ly d la conmuación, la corrin anrior, qu circula por l inducor, y la nión n l capacior, prran haa. Por lo ano on álida como condicion inicial para l régimn qu inicia a parir d la conmuación. Circuio quialn d Laplac S rmplaza cada lmno dl circuio por u rpcio circuio quialn. Rolución dl circuio quialn Cualquira d lo méodo qu hmo mncionado on álido. Oparmo por l Torma d Thènin qu rducirá l circuio a una ola malla. plicamo Thènin parando la rama dond á l capacior a-b Z TH Ω Ω Hy IG.. CIRCUITO RESOLER Ω Ω IG.. CIRCUITO PR HLLR EL RÉGIMEN PREIO - µ, b IG..6 CIRCUITO EQUILENTE a Régimn raniorio n circuio linal Página 6 d 7

17 UTN Roario Elcrocnia II TH, I Z TH TH, niranormación I,,,, En l circuio d Thènin la corrin d malla la dl capacior: TH I ZTH Para hallar C dbmo nr n cuna qu l capacior comprnd una racancia y una un n ri. Enonc: C I El obo d mplo ra llgar a la xprion n ranormada d Laplac d la ariabl C I ya qu lo méodo d aniranormación xponn má adlan. Una z lído l puno ddicado a dicho méodo, ugir aniranormar la xprion obnida. Lo rulado on lo iguin: i, C IG..7 EQUILENTE DE THÈENIN DEL CIRCUITO. - 87, C 7, ,66 Tranormación inra d Laplac. raccion impl órmula gnral La Tranormación inra d Laplac d una unción prmi obnr la unción dl impo cuya Tranormada d Laplac. La Tranormación inra pud obnr mdian la iguin ingral: π σ σ d [.] dond σ un númro ral mayor qu la par ral d odo lo polo d la unción. orunadamn, para ralizar la ranormacion inra qu urgn d lo problma d Elcrocnia, podmo baarno n la mima abla uada para obnr la ranormada. Sin mbargo, rcunmn no Régimn raniorio n circuio linal Página 7 d 7

18 UTN Roario Elcrocnia II nconrarmo n a abla la unción a aniranormar, por lo qu rá ncario llar a cabo alguno mano mamáico para dagrgarla n uncion qu í én n la abla. uncion cocin d polinomio En gnral, la uncion d la ariabl d Laplac qu dbmo manar on cocin d polinomio: P [.] Q Si acorizamo l polinomio dl dnominador n u raíc, q, q, c., P P [.] Q an q L qi L qn podrmo dcomponr la unción n una uma d raccion impl: n [.] i L L i q q q qu on ácilmn aniranormabl: L L [.] q qi i qn n E plano ncillo no conmpla la xincia d raíc múlipl. El plano gnral ablc qu la racción corrpondin a cada raíz múlipl, db nr n l numrador un polinomio complo un grado mnor a la muliplicidad d la raíz, como mura n l iguin mplo. n 6 mo qu a rgla riica ambién para la raccion con raíc impl, cuyo numrador una conan, o a un polinomio d grado cro. Ora orma d planar la dcompoición n raccion impl, cuando hay raíc múlipl, la d gnrar para cada uno d llo ana raccion como u muliplicidad, d manra qu lo dnominador án lado a poncia qu an dcrcindo dd l grado d muliplicidad dl polo haa, y lo numrador on conan, al como mura para l mimo mplo anrior. B B B B B6 En a úlima orma d planar la dcompoición n raccion impl hmo uado la lra B para la conan rlacionada con lo polo múlipl con l in d hacr idn qu pudn r diina a la dl plano anrior. La conan d lo polo impl on igual n ambo cao.! La canidad d conan ncaria, para qu la dcompoición n raccion impl nga olución, igual al grado dl polinomio dnominador. Régimn raniorio n circuio linal Página 8 d 7

19 UTN Roario Elcrocnia II coninuación xponn alguno méodo prácico para llar a cabo la dcompoición n raccion impl. No incluirmo dmoracion ormal, ino alguno undamno para ayudar a u comprnión. Comnzarmo por méodo gnral, aplicabl a cualquir unción qu a cocin d polinomio, para guir con méodo qu rulan má connin an cira caracríica d la unción a aniranormar.. Méodo gnral ignación d alor Planada la dcompoición n raccion impl d una unción, la igualdad nr la unción y la uma d raccion impl db riicar para odo lo alor d la ariabl. Si l dnominador d la unción d grado n, la dcompoición n raccion impl ndrá n conan qu dbmo drminar. ignando uciamn n alor diino a la ariabl, con la condición d qu ninguno d llo coincida con alguna raíz dl dnominador, obndrmo un conuno d n cuacion con n incógnia la rrida conan. Emplo: Sa L dcomponindol S qu como l grado dl dnominador, aparcn conan, d lla corrpondin a la raíz dobl. ignamo a la ariabl lo alor qu no ruln má cómodo, alo, - y -, qu on raíc dl dnominador d uar uno d llo gnraríamo una diiión por cro. Por mplo:,,, y,,,,,,,,,,,,,,,,,,, La olución : La aplicación manual d méodo muy rabaoa cuando nmo má d conan, pro como pud aplicar impr, y imáico, rula apropiado para rolr con calculadora o programa d compuadora. Igualación d numrador E méodo cona d lo iguin pao: Régimn raniorio n circuio linal Página 9 d 7

20 UTN Roario Elcrocnia II Régimn raniorio n circuio linal Página d 7 o S plana la dcompoición n raccion impl. o S hac la uma d a raccion, cuyo común dnominador idénico al d la unción dada. Por u par, l numrador, i bin ambién igual al d la unción dada, quda xprado n unción d la conan qu hay qu drminar. o Comparando lo coicin d lo érmino d igual grado dl numrador d la unción dada con lo d la uma d la raccion impl logramo ablcr un conuno d cuacion qu prmi dpar la incógnia. Emplo: Sa dcomponindo L L hora umamo la raccion y agrupamo érmino d igual grado dl numrador: Comparando lo coicin dl numrador d la uma d raccion con l d la unción dada obnmo l ima d cuacion bucado. ' 6 ' ' : Rando y Llando a Una caracríica rlan d o ima qu la cuacion no on compla, d manra qu rula muy ncillo dpar la incógnia, como mura arriba. El rulado d la dcompoición n raccion impl l iguin: 6 6 Todo lo érmino on ranormada d uncion comun, ácil d rcordar o d nconrar n cualquir Tabla d Tranormada r Tabla dl nxo B La aniranormada : 6. Méodo paricular Lo méodo qu rmo a coninuación rulan má ncillo cuando la uncion inn drminada caracríica.

21 UTN Roario Elcrocnia II Rgla d Haiid para polo impl Lo polo d una unción on lo alor d la ariabl para lo cual oma alor ininio. Para una unción conin n l cocin d do polinomio on lo cro o raíc d u dnominador. La rgla gnral d Haiid prmi rolr la dcompoición n raccion impl d uncion con polo múlipl, pro n al cao u aplicación no rula prácica. Por moio cñimo u aplicación a uncion con polo impl, cao n qu muy ncilla. La iguin una unción d ipo. El dnominador in grado n y ha acorizado n u n raíc impl. La dcompoición propua cona nonc d n raccion impl, cada una con una conan n u numrador. P P k L L Q an q L qk L qn q qk qn coninuación dparmo la conan gnérica k. Como oda la raccion impl on man, lo qu rul para a conan rá aplicabl a la dmá. Muliplicamo por q k q k q q q k L Eo produc la iguin impliicacion: k L n q daparc q k dnominador d la unción dada n la racción qu conin k daparc l dnominador Si hacmo qk, la raccion qu coninn la dmá conan anulan, qudando dpada k. qk k qk Exprada n orma prácica, la rgla para calcular la conan d cualquira k d la raccion impl como, ría la iguin: q o S acoriza l dnominador d la unción n u raíc. o S limina dl dnominador d la unción dada l acor q k k n k n q k o k l alor d lo qu quda d la unción dada, cuando rmplaza la ariabl por q k Emplo: Sa l dnominador ya á acorizado Régimn raniorio n circuio linal Página d 7

22 UTN Roario Elcrocnia II Régimn raniorio n circuio linal Página d 7 S plana la dcompoición: D acurdo con la rgla: 6 7 El rulado : Emplo. Sa La raíc dl érmino cuadráico on compla:, ±,y admá conugada ya qu l érmino cuadráico in coicin ral; nonc: rmo lugo qu hay oro modo d abordar l cao d raíc compla iando l mano d númro complo. plicando la rgla d Haiid:,, 6 6,, 6 6 Rmplazando:,,,, La aniranormada dirca:,,,, El problma á mamáicamn rulo, in mbargo, la orma n qu ha qudado xprado l rulado no connin, ya qu da la imprión d r complo cuando la uncion dl impo no lo on. Trabamo nonc la xprión para ranormarla n una qu a claramn ral. [ ],,,,,, Podmo aplicar la idnidad d Ëulr: α α α α α α n n co co o u quialn:

23 UTN Roario Elcrocnia II nα α α coα Por la orma n qu án runido lo érmino d nura xprión connin aplicar a úlima: α α [, co, n], n,co hora no quda duda d qu la xprión ral. plicación dl Torma dl Dplazamino d la ariabl Si bin la rgla d Haiid álida cuando l dnominador d la unción a aniranormar in raíc compla, imo qu produc xprion qu rquirn una laboración porior para llgar a una xprión adcuada. El Torma dl dplazamino d la ariabl ablc: - - a Si L { } L { } a La aplicación d orma a la uncion no y cono, qu aparcn cuando hay raíc compla, la iguin: ω ω ω - L - L nω coω ω a ω a a ω - L - L a a nω coω Enonc, cuando nconramo raíc compla procuramo llar la xprión a aniranormar a una d la orma prcdn. Para llo diponmo do procdimino: l d complar l cuadrado y l d la dirncia d cuadrado. Nada mor qu rlo a raé d uno mplo. Emplo. Sa La raíc dl dnominador on compla: Complar l cuadrado 6, ± El procdimino d complar l cuadrado coni n rmplazar la xprión cuadráica dada por un binomio al cuadrado como a má una conan, como ω. a ω Llado a mplo: Si darrollamo l binomio al cuadrado: a a ω Comparando mo qu a, l dobl produco d ambo érmino dl binomio, con lo cual a 6. [.6] [.7] Régimn raniorio n circuio linal Página d 7

24 UTN Roario Elcrocnia II Lugo, mo qu a ω, dónd a 6. Enonc, ω 6 6 Lo úlimo qu hmo hcho arrglar la conan d manra qu n l numrador qud xplícia ω, con lo qu nmo una unción igual a la indicada n [.6], muliplicada por la conan. Dirncia d cuadrado Si acorizamo l dnominador n u raíc nmo: 6 6 x y x y x y, indo n acorando como dirncia d cuadrado: cao x 6 y, podmo cribir: Noar qu 6 6 En ambo cao llgamo a lo mimo. Tnindo n cuna l Torma dl Dplazamino, la aniranormada inmdiaa. Emplo. Sa La raíc dl dnominador on compla: 6 n, ± pliqumo l procdimino d complar l cuadrado. El binomio al cuadrado connido n la xprión cuadráica dl numrador db r. E binomio má 6 igual al dnominador dado, nonc: 6 Para qu a acibl aplicar l Torma dl Dplazamino, n l numrador dbríamo nr, igual qu n l dnominador. Para llo umamo y ramo a la ariabl y ragrupamo lo érmino. 6 También hmo parado la xprión n do par, d manra qu n l numrador d una d lla damo la ariabl ariabl dplazada y n l d la ora runimo la conan. La aniranromada d la primra dará lugar a un cono y la d la gunda a un no, ambo muliplicado por la xponncial. co 7,n Régimn raniorio n circuio linal Página d 7

25 UTN Roario Elcrocnia II. Méodo combinado Lo méodo paricular on mucho má impl qu lo gnral, pro pudn aplicar ólo cuando la unción dada cumpl drminada caracríica. D oda manra, cuando no la cumpl, la combinación d méodo ul r l camino má adcuado para lograr la dcompoición n raccion impl. Haiid Méodo gnral Cuando una unción in polo impl y múlipl, podmo uilizar la rgla d Haiid qu hmo io para calcular la conan corrpondin a lo polo impl. Ea rgla ambién no prmi calcular una d la conan qu gnra cada polo múlipl. amo o a raé d un mplo. Sa unción con un polo ripl n -. Proponmo la dcompoición n raccion impl con numrador conan: Podmo dmorar qu la conan, corrpondin a la raíz impl, pud calcular como cuando oda la raíc on impl. Muliplicamo ambo mimbro por l dnominador d, dcir por y rmplazamo la ariabl por la raíz dl dnominador d a conan - amo qu ocurr i hacmo lo mimo para la conan corrpondin al polo múlipl. Comncmo por la qu in l dnominador d mayor grado, dcir, muliplicando ambo mimbro por dnominador. No hubo problma para dpar la conan. para Sigamo con. Para guir la rgla dbríamo muliplicar ambo mimbro por u dnominador Régimn raniorio n circuio linal Página d 7

26 UTN Roario Elcrocnia II Régimn raniorio n circuio linal Página 6 d 7 l rmplazar por - aparc una diiión por cro n l primr mimbro y ora n l gundo. Eo prooca una indrminación qu impid dpar. Si rpimo l proco para la ora conan rlacionada con l polo múlipl, llgarmo a una indrminación imilar. La concluión qu cuando hay raíc múlipl, xpandindo n raccion impl con numrador conan, pud aplicar la rgla d Haiid para hallar la conan d lo polo impl y la dl dnominador d mayor grado d cada polo múlipl. En ora palabra, podrán calcular d modo la conan d lo acor xplício n l dnominador d la unción dada. En mplo al acor on: y Para hallar la conan qu ala podmo aplicar un méodo gnral como d aignación d alor Si n l mplo anrior, rmplazamo la conan hallada: y lugo aignamo alor como y, ndrmo un ima d cuacion para hallar la conan qu alan: D aquí: ; Emplo. Sa Planamo la dcompoición n raccion impl con conan n lo numrador. S pudn calcular con la rgla d Haiid la conan dl polo impl, y la conan y d lo polo dobl.

27 UTN Roario Elcrocnia II Régimn raniorio n circuio linal Página 7 d 7 Lugo aignamo alor, por mplo, y D aquí: plicacion ucia d Haiid No común nconrar n lo problma d lcrocnia uncion con má d un polo múlipl y muliplicidad mayor a. En l iguin mplo mura como pud ralizar la dcompoición n raccion impl d una unción con un polo dobl uando la rgla d Haiid para polo impl. Sa: Sparamo l érmino al cuadrado y ragrupamo la xprión d manra qu una par d lla, a la qu llamamo G, in olamn polo impl. G plicamo la rgla d Haiid a G G Lugo rmplazamo G dcompua n raccion impl n la xprión d M S gnró una xprión dond nmo una par, M, qu aún db dcomponr n raccion impl, pro como u polo on impl, aplicando nuamn la Rgla d Haiid, l problma quda rulo. B B M B B

28 UTN Roario Elcrocnia II Rmplazando n la xprión d : - L Polo múlipl y polo complo No rrimo al cao n qu la unción in polo múlipl ral y polo complo, como l iguin mplo. polo : dobl y ± 8 Como ocurr rcunmn diponn ario camino para rolr l problma. Inra lgir l má impl, pro para llo no xin rgla ia. En cao podríamo opar, nr oro, por lo iguin: o indo qu hay un único polo múlipl dobl, podmo rcurrir a la aplicación ucia d Haiid para polo impl. Pro como lo polo impl on complo, ndrmo cira complicación para ralizar la impliicacion qu no lln a una xprión xplíciamn ral. o Podmo hallar la conan corrpondin a lo polo impl y una d la do conan dl polo dobl, con la rgla d Haiid para polo impl. Lugo por aignación d un alor obndríamo la conan dl polo dobl qu no ala. Enconraríamo la mima diiculad qu n l cao anrior para impliicar la xprión. o Podmo mannr la xprión cuadráica dl dnominador qu ncirra la raíc compla hallando la conan por algún méodo gnral l d igualación d numrador ul r l má impl y n l momno adcuado uilizar l méodo d complar l cuadrado para obnr una xprión rlaiamn ácil d aniranormar. S rcominda al alumno hacr l rcicio d dcomponr la unción dada uando odo méodo aquí indicado, y cualquir oro qu l ocurra, a in d aluarlo por i mimo. quí rolmo l mplo uando l úlimo d llo, aunqu con una ligra arian, gún rmo. 8 8 La dcompoición á planada gnrando una racción por cada acor dl dnominador, con u numrador un grado mnor qu l dnominador. Si paramo la racción corrpondin a la raíz dobl n do con numrador conan, quda: mo qu l alor d, corrpondin al dnominador d mayor grado, pud hallar ácilmn mdian la rgla d Haiid, pcialmn n cao n l qu la raíz inolucrada cro. í:, 8 8 Régimn raniorio n circuio linal Página 8 d 7

29 UTN Roario Elcrocnia II Enonc qudan por hallar d la cuaro conan. plicamo l méodo d igualación d numrador Comparando numrador: 8 6 Sobra una cuación pu ya conocmo una conan. D la rcra obnmo 9, 9 y d la primra:, 9 6 Rmplazando n la gunda cuación, obnmo, 8 6 hora l momno oporuno d complar l cuadrado n l dnominador d la xprión con raíc impl: 8 9 la z rmplazamo lo alor d la conan.,9,8,9,8 La ani-ranormada d lo do primro umando dirca. En l dnominador dl rcro aparc la ariabl dplazada. Como n l numrador ambién á la ariabl, a in d podr aplicar l orma dl dplazamino, dbmo manipularlo para gnrar una xprión n la qu la ariabl nga l mimo dplazamino n l numrador y l dnominador. D al manra ndrmo una xprión como la [.7], qu origina un cono muliplicado por una xponncial. En l manipulo dl numrador, n gnral obra una conan qu produc una xprión como la [.6], qu origina un no muliplicado por una xponncial. Enonc, como l dplazamino d la ariabl n l dnominador -, n l numrador umamo y ramo. Lugo agrupamo érmino, como mura a coninuación.,9,8,9,9,8,9,8 hora í, aniranormamo:,8,8 67 8,9,9,8,9,6,9co,6n,9,8 Régimn raniorio n circuio linal Página 9 d 7

30 UTN Roario Elcrocnia II uncion d rd La uncion d rd on la rlación nr la xciación y la corrpondin rpua d la rd, n l campo d la Tranormada d Laplac. Eo podmo xprarlo d la iguin manra: la unción d Rd E la unción Exciación y R la unción Rpua R [.] E La xciación á dada por una un d nión o corrin qu nrgiza la rd, minra qu la rpua la ariabl, corrin o nión, d inré. La imporancia d la uncion d Rd qu dpndn ólo d la opología y d lo parámro d la rd a la qu corrpondn, indpndinmn d la xciación qu apliqu. Enonc, gún dprnd d la cuación [.], conocida la unción d Rd, pud hallar la Rpua para cualquir xciación, muliplicando la xciación por la unción d Rd cuación [.] E R E [.] rmo a coninuación cuál on la uncion d Rd y lugo la rriccion qu dbn obrar para qu la puda dinir.. Inmiancia S llama Inmiancia a la uncion d Rd d la rd d do rminal. Tal rd dnominan dipolo o rd d un puro. Un puro un par d rminal n lo qu la corrin qu nra por un rminal al por l oro. IG.. SISTEM GENÉRICO CRCTERIZDO POR SU UNCIÓN DE RED I IG.. DIPOLO Ea dinición cobra nido n oro ipo d rd, ya qu n la d do rminal rula una obidad. En lo dipolo nmo ólo do ariabl; i una la xciación, la ora la rpua. La inmiancia on: Impdancia dmiancia Z [.] I I Y Régimn raniorio n circuio linal Página d 7

31 UTN Roario Elcrocnia II [.] El comporamino dl dipolo lo din una ola unción d rd, ya qu conocida una d la inmiancia, la ora pud obnr como la inra: Y [.] Z Ea uncion d rd, qu rulan dl cocin d uncion d diina dimnión nion y corrin, inn dimnión propia ohmio o imn, por lo qu dnominan dimnional.. Tranrncia S llaman Tranrncia la uncion d Rd d la rd d do par d rminal. ENTRD I IG.. CUDRIPOLO I SLID Dicha rd llaman cuadripolo o rd d do puro. En gnral n un puro llamado d nrada aplica la xciación, y n l oro puro d alida obin la rpua. La Tranrncia on la uncion qu rlacionan una ariabl dl puro d alida rpua con una dl puro d nrada xciación, al como dinió n [.]. Hay dirn rlacion rpua/xciación admá d u inra. No manarmo con la primra, qu rpondn a la dinición. Son la qu rprnan n l iguin cuadro. Rpua Exciacion I I T [.6] Z [.8] I I Y [.7] I I T I [.9] IG.. UNCIONES TRNSERENCI Simn: unidad d conducancia inra dl ohm Régimn raniorio n circuio linal Página d 7

32 UTN Roario Elcrocnia II La do primra rlacionan ariabl dl mimo ipo por lo qu on adimnional. S llaman Tranrncia d nion T y Tranrncia d Corrin T I La ora do on d ipo dimnional, como la uncion d lo dipolo, pro n cao, por rlacionar ariabl d uno y oro xrmo dl cuadripolo, orman u nombr agrgando l prio ran. S la llama ranimpdancia Z y ran-admiancia Y.. Rriccion La uncion d Rd pudn dinir con la iguin rriccion: Dbn r uncion d la ariabl d Laplac. La rd no db nr un indpndin. La rd db nr condicion inicial nula. raé d uno ncillo mplo podmo inrprar a rriccion. Emplo d unción d rd Calculmo la Tranrncia d Tnion n l circuio d la igura. R R L T R R L S obra qu una unción d la ariabl d Laplac y d lo parámro d la rd, y indpndin d la xciación. uncion d rd n l impo? Si prndira obnr una unción d rd n l impo para l circuio anrior ndríamo: L L mo qu no pud obnr una rlación mima o, Rd con un indpndin L R IG.. RED SIN UENTES NI CONDICIONES INICILES qu a indpndin d la L R grgumo al circuio anrior una un d nión indpndin y procurmo obnr la ranrncia d nion. Régimn IG..6 raniorio RED CON n UENTE circuio INDEPENDIENTE linal Página d 7

33 UTN Roario Elcrocnia II R R L R L R Podmo r qu la rlación nr y dpnd d la propia. Ea unción d Rd no ría d uilidad, pu diina para cada xciación. Rd con condicion inicial Si hubira una corrin inicial a raé dl inducor, n l circuio quialn d Laplac aparcría una un d nión d alor conan L i. Su co quialn al d la un indpndin dl cao anrior. La rlación d nion la iguin: L i L R Dbido a la condición inicial, la unción obnida dpnd d, razón por lo cual no una unción d Rd. Rd con un dpndin En l circuio d la igura hay una un dpndin qu nrga una nión proporcional a la corrin d nrada al circuio. Por Kircho Nomo qu k I I L I R Rmplazando alor d I : k L R R L k R R k I R L R k En cao í pudimo obnr una unción d Rd. Podmo obrar qu dpnd ólo d lo parámro dl circuio: R, L y k úlimo l parámro qu caracriza la un dpndin. No dbmo omar o como la dmoración d qu pudn dinir uncion d rd para lo circuio con un dpndin, pro podmo inuir qu d una u ora manra, la ariabl d la qu dpnd una un dpndin, pud ponr n unción d o, con lo cual no quda un érmino indpndin d o qu impida obnr la Tranrncia. I L IG..7 RED CON UENTE DEPENDIENTE R Régimn raniorio n circuio linal Página d 7

34 UTN Roario Elcrocnia II La rriccion analizada para la Tranrncia d Tnion d un cuadripolo muy ncillo on álida para la dmá uncion d Rd d dipolo o cuadripolo.. Caracríica mamáica La uncion d rd cumpln con dira condicion mamáica cuyo conocimino ayuda a dcubrir rror o comprndr mor l comporamino d lo circuio a lo qu prncn. rmo la principal. Cocin d polinomio d coicin ral La uncion d rd proinn d la combinación linal d érmino dl ipo L inducor, C capacior, Rrior o k parámro d una un dpndin. Y como admá L, C, R y k on ral, rulan r cocin d polinomio con coicin ral: P acorizado n u raíc: a a n n n n m m Q bm bm L a L b z z L zn an con k p p L pm bm k ; La conanz on la raíc dl numrador llamada cro hacn cro la unción yp la dl dnominador llamada polo hacn ininio la unción Sgún l alor d a raíc gnran érmino d diino ipo, a abr. Raíc ral Lo acor on dl ipo,, ndrmo un acor. Raíc compla, c. En paricular, i la raíz, [.] [.] Dado qu lo coicin d lo polinomio on ral, d habr raíc compla on par conugado, como σ ± ω. Lo acor corrpondin uln muliplicar nr í para iar conan compla: σ ω σ ω σ ω En l cao d raíc imaginaria pura nmo: ω ω ω Hipói d abilidad d la rd paia Una rd abl cuando la nrgía qu nrga como rpua mnor o igual a la qu rcib como xciación. El igual corrpond al cao órico d rd in pérdida d nrgía n lmno riio. La nrgía nrgada ólo podría r mayor a la rcibida i la rd conara con un inrna capac d producir nrgía. Por lo ano, la abilidad una propidad d la rd paia. Régimn raniorio n circuio linal Página d 7

35 UTN Roario Elcrocnia II La rpua d la rd dpnd d do acor: la xciación y la unción d rd qu rlaciona a xciación con la rpua. R E Como imo, la unción d rd un coicin d do polinomio con coicin ral, qu n [.] muran acorizado n u raíc. Por u par, la xciación ambién lo, como mura n la iguin cuación, dond ambién lo polinomio han acorizado n u raíc. E N k c c L cn d d L d [.] D m En la ralidad cocin d polinomio ul r baan ncillo, como muran lo iguin mplo d xciacion: k impulo k k conan ω k cono Lugo, podmo cribir la rpua combinando [.] y [.] c c L cn z z L zn d d L d p p L p rampa R K [.] m m xciación uncióndrd Podmo obnr la rpua mporal dcomponindo priamn a xprión n raccion impl: B B Bm n R L L [.] d d dm p p pn xciación uncióndrd d d dm p p pn r B B L Bm L n [.] xciación uncióndrd S obra qu lo polo d la xciación d i y d la unción d rd p i, inn una imporancia undamnal n l ipo d rpua, ya qu on lo xponn d u érmino. Por u par lo cro, c i y z i, qu no aparcn xplíciamn n la rpua, incidn ólo n l alor d la conan. dmá, lo érmino qu dpndn d lo polo d la xciación maninn parado d lo qu dpndn d lo polo d la unción d rd. Eo no dic qu dada una rd, cualquira a la xciación, la rpua conndrá impr un mimo conuno d érmino inhrn a la unción d rd, y oro érmino inroducido por la xciación. Emplo: Sa 7 y E Tipo rir a la uncion no, xponncial crcin, c indpndinmn d u ampliud. Régimn raniorio n circuio linal Página d 7

36 UTN Roario Elcrocnia II La rpua : R { { r xciación uncióndrd xciación xciación uncióndrd uncióndrd { S ha indicado d quién dpnd cada ipo d érmino. Cab aclarar qu l érmino conan originado por la xciación, pro u alor o ampliud concuncia d amba, xciación y unción d rd. Igualmn, la do xponncial on producida por la unción d rd, cuyo polo on lo xponn, pro la conan qu la muliplican dpndn ambién d la xciación. indo la irual indpndncia con qu inluyn la xciación y la unción d rd n lo érmino d la rpua, podmo aciliar l análii d la unción d rd uponindo qu la xciación un impulo uniario. Como la ranormada d Laplac dicho impulo, la unción d rd coincid con la unción rpua. Y la rpua mporal la ani-ranormada d la unción d rd. La xprión [.] álida para una xciación gnral, quda rducida a la iguin: r L p p pn n [.6] dond p, p, c. on polo d la unción d rd, qu n gnral pudn r complo: p σ ω ; nonc: r i i i σ ω σ ω σm ωm L m [.7] Lo acor cuyo xponn la par imaginaria d lo polo dinn n no y cono qu oman alor inio. Por lo ano, lo acor qu graian n análii on lo qu inn por xponn la par ral d lo polo, qu pudn aumir lo iguin alor prmann: ininio i l polo in par ral poiia conan i l polo in par ral nula cro i l polo in par ral ngaia En una rd paia, xciada por un impulo qu dpué dl inan inicial prmanc n cro, la rpua prmann db r cro. Sin mbargo nconramo do cao n qu no aí: o La rd idal con lo cual la nrgía dl impulo no in dónd diipar. Por mplo, i xciamo con un impulo un circuio L-C con rincia nula, ndrmo una rpua ocilan prmann. o Una xciación impulo d corrin pud producir una rpua d nión conan n un capacior r mplo má abao, o un impulo d nión pud producir una rpua d corrin conan n un inducor. mo qu n o cao, la xciación y la rpua on magniud diina i una corrin la ora nión rlacionada mdian la Régimn raniorio n circuio linal Página 6 d 7

37 UTN Roario Elcrocnia II dnominada uncion d rd dimnional. δ I i R C - { C C C C Z c IG..8 EXCITCIÓN CON IMPULSO DE CORRIENTE En concluión, lo polo d una unción d rd no pudn nr polo con par ral poiia; y pudn nr polo con par ral cro i raa d uncion d rd dimnional. Sindo aí, n l dnominador d una unción d rd, acorizado n u raíc lo polo d la unción podmo nr: acor con númro ral poiio. acor con númro complo o imaginario qu prnan d a par conugado. Eo pudn muliplicar nr í gnrando acor d gundo grado con coicin ral poiio. Eo prmi ablcr la concluion qu muran con uno ncillo mplo. Emplo: Supongamo qu lo polo d una unción d rd on:, y ±. k P k 9 Si muliplicamo lo acor dl dnominador, como odo lo coicin on poiio no hay poibilidad d qu haya érmino qu cancln y l polinomio rulan complo. L k P k P P k En ralidad complo nr l érmino d mayor y mnor grado. En un cao como, con un polo n l orign, l mnor grado n lugar d. Conidrmo un cao muy pcial, n qu odo lo polo on imaginario puro, por mplo: ± y ± k P k 9 El polinomio no complo, pro í án odo lo érmino d grado par. Si admá d lo polo anrior imaginario puro, hubira un polo n l orign ndríamo oro dnominador incomplo pro con odo lo érmino d grado impar. k P k P 9 P k P P Régimn raniorio n circuio linal Página 7 d 7

38 UTN Roario Elcrocnia II La concluión qu l polinomio dnominador d una unción d rd complo nr l érmino d mayor y mnor grado, alo qu aln odo lo érmino impar o odo lo par. Conidrmo obr la uncion d rd dimnional Inmiancia Lo io rpco al dnominador d la uncion d rd n gnral, ambién aplicabl al numrador d la inmiancia impdancia y admiancia, ya qu como una la inra d la ora, lo dmorado para l dnominador d una al para l numrador d la ora, y icra. uncion dimnional n gnral dmá podmo drminar qu para oda la uncion d rd dimnional xi una rlación nr lo grado dl numrador y dl dnominador. Tommo una unción d rd gnérica, con lo polinomio dl numrador dl dnominador acorizado n u raíc: n n k P an an L ak n > k, m > l m m l Q b b L b En lo lími m m l y la xprión rduc a la iguin: lim a b n m nm a [.8] k kl lim [.9] bl D acurdo a lo qu hmo io, una unción dimnional d un olo érmino pud r dl ipo L, C o R i impdancia o C, L o R i admiancia, o a qu l grado d la ariabl pud r, ó -. En ininio l grado d la ariabl la dirncia d lo érmino d mayor grado d lo polinomio y n l orign la dirncia d érmino d mnor grado. Lugo, la concluión qu n una unción d rd dimnional, lo érmino d mayor grado d lo polinomio qu la orman no pudn dirir n má d. Y lo mimo con rpco a lo érmino d mnor grado. Emplo: Z Y Ea unción impdancia álida pu lo grado mayor y mnor diirn n. En ininio compora como un inducor d / Hy y n l orign como un capacior d / Ea ora no álida. Si bin n l orign un rior d ohm, alla n ininio pu lo mayor grado diirn n. Conidrmo obr la uncion d rd adimnional En a uncion ólo podmo ablcr con rpco al grado dl numrador qu igual o mnor qu l dl dnominador. Régimn raniorio n circuio linal Página 8 d 7

39 UTN Roario Elcrocnia II. Rpua gún lo polo d la ranrncia rmo n dall como incidn n la rpua d una rd lo polo d u unción ranrncia gún u ubicación n l plano complo. Supongamo qu una rd rcib una xciación inia, cuya ranormada, habindo acorizado l dnominador, : E k d d L N y qu la unción d rd qu la liga con la rpua, n la qu ambién hmo acorizado l dnominador: k La unción rpua : P p p L p N P B B R k L L d d L p p L pm d d p p y n l impo: m polodlaxciación d d p p r L B B L driado d la xciación driadodla unción drd polodla uncióndrd Para una drminada rd, la rpua ndrá una ri d érmino io qu obdcn a la unción d rd y oro qu dpndn d la xciación aplicada. Indpndinmn d dónd prongan, cada érmino hac un apor caracríico a la rpua, dpndindo dl alor d u polo. Polo ral: σ S diingun r ipo d érmino con polo ral: con polo poiio, ngaio y nulo, como n l iguin mplo: P El primro, al qu corrpond una xponncial crcin, ólo pud pronir d la xciación. El gundo apora a la rpua una xponncial dcrcin y l rcro una conan. Cuando mayor l alor aboluo dl polo, mayor la pndin d la xponncial. Polo imaginario: ±ω σ > σ σ < IG..9 TIPOS DE EXPONENCIL Eo polo maniian como par conugado qu gnran érmino como lo qu muran n l iguin mplo: Régimn raniorio n circuio linal Página 9 d 7

40 UTN Roario Elcrocnia II P P ω ω ω qu dinn n l campo dl impo n no y/o cono. Cuano mayor l polo mayor la rcuncia. Polo complo: σ ± ω S maniian como par conugado qu producn érmino como mura n l iguin mplo. σ ω σ ω P P σ ω cuya aniranormación da lugar a no y/o cono muliplicado por una xponncial. IG.. SENO NO MORTIGUDO IG.. SENO MORTIGUDO S rúnn aquí la caracríica d lo polo ral y d lo polo imaginario. Cuano mayor la par imaginaria, mayor la rcuncia, y cuano mayor l alor aboluo d la par ral, mayor la pndin d anuación o crcimino d la unción. En la iguin igura, muran n orma comparaia la rpua proporcionada por lo polo gún u ubicación n l plano complo. Para cñirno a la rd paia, cuya condición d abl impid la xincia d polo con par ral poiia, graicamo ólo l miplano dl ral ngaio. Lo polo han numrado, aignando l mimo númro a la rpua qu l corrpond. Db noar qu la rpua con ocilacion, dond inrinn polo imaginario o complo, on producida por do polo conugado. Cuando la unción rpua in ario polo, la rpua la uma d la rpua qu corrpond a cada uno d llo. Régimn raniorio n circuio linal Página d 7

41 UTN Roario Elcrocnia II I m R IG.. PORTE DE CD POLO EN L RESPUEST Obración a la igura. Lo círculo indican la poición d lo polo. El númro pquño al coado dl círculo d cada polo coincid con l númro d la cura qu l corrpond. En l cao d polo complo, hay do polo por cura. En cao numran por mplo 7 y 7 corrpondiéndol la cura 7. Régimn raniorio n circuio linal Página d 7

42 UTN Roario Elcrocnia II.6 Torma dl alor inicial y inal Eo orma prmin drminar l alor inicial d una unción n, y u alor inal n, parindo d u ranormada d Laplac, in nr qu hacr la aniranormación. mbo orma urgn d planar la dcompoición por par d la ingral qu din la ranormada d Laplac d una unción. Rcordmo qu u d u du Dada ponr: d, i llamamo u y d d, podmo ' ' d d Muliplicando ambo mimbro por : plicando l lími cuando lim lim lim ' rula: ' d Y aplicando l lími cuando rula: lim lim Enonc nmo: lim ' d Torma dl alor inicial: lim d ' d d [.] Torma dl alor inal: lim [.] Nó qu para obnr l alor n hac l lími n n, hac l lími n., y para l alor plicación Si aplicamo o orma a la unción rpua R d un circuio lécrico ipo cuadripolo, podmo xprarlo n érmino d la unción xciación E y la ranrncia T : r y r E T lim r lim E T [.] [.] r on lo alor inicial y inal d la rpua Régimn raniorio n circuio linal Página d 7

43 UTN Roario Elcrocnia II Exciación calón En l cao paricular d qu l circuio xci con una unción calón upongamo qu d ampliud, cuya ranormada /, lo alor inicial y inal on dircamn lo lími d la ranrncia: Emplo. limt limt r r [.] [.] Drminmo lo alor inicial y inal d la unción dl impo a la qu corrpond la iguin unción n la ariabl d Laplac. 7 alor inicial: lim 7 alor inal: lim 7 riicamo o rulado ani-ranormando la unción. 7 D aquí: y Pndin inicial y inal También pud r imporan aluar la pndin inicial y inal d una unción. Para llo, aplicamo lo orma dl alor inicial y inal a la unción: qu la ranormada d la driada d. Enonc, ' ' lim L{ ' ' } lim lim.. [.6] lim L{ } L lim [.7] Emplo. Drminmo lo alor inicial y inal d la pndin d la unción dl impo corrpondin al mplo anrior. Driada inicial: lim lim 7 7 ' Régimn raniorio n circuio linal Página d 7

44 UTN Roario Elcrocnia II ' Driada inal: lim 7 amo a riicar o rulado driando. ' 8 ' 8 ' Lugo, y Régimn raniorio n circuio linal Página d 7

45 UTN Roario Elcrocnia II Exciación con uncion compua En l Puno d la Par I han dinido la uncion compua como aqulla ormada por la combinación d uncion báica gún do modo poibl: Por uprpoición. La unción á ormada por la uma d do o má uncion báica. Por ramo o inralo. La unción qu diid n inralo, al qu n inralo coniguo dcrib mdian uncion diina. El primr cao muy impl d abordar, como mura n. a raé d un mplo. El gundo cao, dcir l d la uncion d xciación compua por ramo o inralo, l qu nraña mayor diiculad, por lo qu lo udiarmo pcialmn, prnando ario méodo d rolución.. Rolución por uprpoición Supongamo una xciación compua por la uma d ario érmino: L dond,, c. on uncion báica. Lo único qu nmo qu hacr, n l circuio quialn d Laplac, colocar una un igual a la ranormada d la unción compua. Emplo El circuio d la igura á xciado por una nión compua por la uma d una conan y una rampa linal. S da hallar ab. El alor d la conan minra qu la pndin d la rampa. Enonc la nión d nrada y u ranormada L Planamo l circuio quialn d Laplac y calculamo ab por diior d nion indo L { }, L { } ol, Tnión aplicada g -, c. Hy Ω IG.. EXCITCIÓN SUPERPUEST - a b Ω IG.. CIRCUITO EQUILENTE DE LPLCE a b Régimn raniorio n circuio linal Página d 7

46 UTN Roario Elcrocnia II ab ab, Por Haiid:,, Hallamo por aignación d alor. Eligindo -, la unción dada hac : inamn:, ab,,,,,. Rolución por inralo Para l cao d uncion compua por inralo, rmo primro l llamado méodo d rolución por inralo. Si bin méodo l má inuiio, cuando la xciación comprnd má d do inralo, u aplicación orna muy rabaoa. Dada una xciación compua por do o má inralo, como mura la igura, rul inralo por inralo, d la iguin manra. Comnzamo por l primr inralo, dond la xciación. La olución obnida rá álida haa a. Calculamo lo alor d la nion n lo capacior y la corrin d lo inducor n a. Eo alor, d acurdo con IG.. EXCITCIÓN COMPUEST POR la ly d la conmuación, on INTERLOS álido n a, por lo ano podrán mplar como condicion inicial dl gundo inralo, qu rul para la xciación. Lugo calculamo lo alor d la nion n lo capacior y la corrin d lo inducor n b para aplicarlo como condicion inicial dl rcr inralo, dond la xciación. Como un proco rpiio, qu rmina al rolr l úlimo inralo. I II III a b Régimn raniorio n circuio linal Página 6 d 7

47 UTN Roario Elcrocnia II Emplo. El mimo circuio dl mplo anrior xcia con una nión compua por inralo. En aplica una nión conan d, la qu a parir d, g cominza a dcrcr n orma xponncial, con una conan d impo d, gundo. Primr Inralo Dbmo nr n cuna qu no ólo hay qu calcular la nión nr a-b ino la corrin a raé dl inducor, ya qu mplará como condición inicial dl gundo inralo. Por diior d nion: ab ab Hmo obnido la nión dada n l primr inralo. Para l gundo inralo ncario drminar priamn l alor d la corrin n l inducor al inal dl primr inralo, alor qu conrará duran la conmuación, pudindo mplar como condición inicial dl gundo inralo. L y la corrin: L, IL niranormamo: Y hallamo i L n, Sgundo inralo ol,,,, i L,, i L,,,, Por implicidad conin corrr l orign d impo al cominzo dl gundo inralo Enonc i L,. Lugo planamo l circuio quialn d Laplac nindo n cuna a condición inicial y la nua xciación, qu una xponncial qu dcrc a parir d con una conan d impo d, g. Su xprión mamáica : y u ranormada:,, g Tnión aplicada - Hy Ω Ω IG. CIRCUITO CON EXCITCIÓN COMPUEST Planamo l circuio quialn d Laplac para condicion inicial nula y, cuya ranormada d Laplac : a b IG.. EXCITCIÓN EN EL º INTERLO a b Régimn raniorio n circuio linal Página 7 d 7

48 UTN Roario Elcrocnia II Rula connin l circuio quialn dl inducor con un d corrin n parallo. í, la un quda n parallo con l inducor y la rincia, pudiéndo ranormar n un d nión n ri para obnr un circuio d una ola malla., a, a b b El parallo dl inducor y l rior : Y la un d nión n ri: Lugo: ab ab,, 6, Z I Z,,, 6,, 6, La aniranormada dl primr érmino dirca: una xponncial. El gundo érmino una unción dl ipo dplazada, por lo qu la aniranormada la ariabl muliplicada por una xponncial. S aplica aquí uno d lo Torma dl dplazamino ab 6,,, IG..6 CIRCUITOS EN EL º INTERLO No dbmo olidar qu cada uno d lo rulado obnido á rrido al orign d u rpcio inralo.. Méodo d Tranormada compla d la xciación El méodo d rolución por inralo, rabaoo a parir dl gundo inralo. Ello db a qu hay qu hallar oda la corrin a raé d lo inducor y oda la nion n lo capacior dl circuio, para hallar u alor al inal d cada inralo y aplicarlo como condicion inicial dl inralo iguin. No ólo hay qu drminar má ariabl qu la dada, ino qu n cada inralo hay qu planar un circuio quialn complicado por la inroducción d la un qu rprnan la condicion inicial. El méodo d rolución por la ranormada compla d la xciación, ia l cálculo d condicion inicial y l plano d circuio quialn para cada uno d lo inralo d la xciación. Régimn raniorio n circuio linal Página 8 d 7

49 UTN Roario Elcrocnia II Hay qu hallar la rpua R n unción d la llamada ranormada compla d la xciación E. Cuando l circuio in condicion inicial nula, la rpua pud obnr como l produco d dicha ranormada compla d la xciación, E, por la unción d rd qu corrponda. E dcir: R E La ranormada compla d la xciación la ranormada d una unción dl impo qu rprna la xciación, comprndindo odo lo inralo qu la componn, dd a. El méodo cona d r pao: o Obnción d la rpua n unción d la xciación. o Tranormación compla d la xciación o niranormación d la rpua. Para darrollar l méodo, acompañarmo la xplicación con un mplo, conidrando l circuio d la ig..7, n l cual la xciación la nión d nrada, y la rpua qu inra, la nión d alida. Obnción d la unción rpua bao dl circuio mplo hmo dibuado u quialn d Laplac. Podmo obnr por diior d nion, conidrando qu a nión darrolla obr l parallo dl rior y l capacior. Trabaando a cuación:,,,,,, Ω Hy µ La pnúlima xprión ya adcuada para hacr la ani-ranormación, pro prribl la úlima, qu no conin númro complo y hac idn qu l rulado conndrá no y/o cono muliplicado por una xponncial. kω - IG..7 CIRCUITO DDO Y SU EQUILENTE - Régimn raniorio n circuio linal Página 9 d 7

50 UTN Roario Elcrocnia II Tranormación compla d una unción compua Méodo gnral Para hallar la ranormada d Laplac d una unción compua por ario inralo, dcripa mdian aria xprion parada, primro dbmo obnr una xprión dl impo única. Para l mplo d la igura, la dcripción por uncion parada, ría la iguin: < < a a < < b b < Si logramo para cada inralo una xprión qu coincida con la unción dada y qu alga cro ura dl inralo, la uma d oda a xprion rá la unción dada cria como una única unción dl impo. Para llo conamo con la unción pulo para má dall rrir a la Par I, puno. uncion ingular El pulo al dnro d un inralo y cro ura d él. l muliplicar una unción por un pulo, obnmo una unción igual a la dada n l inralo dl pulo y nula ura d inralo. Eo mura n la igura para lo r inralo dl mplo. Enonc: Ρ; a Ρ a; b Ρ b; Exprando lo pulo n unción d calon d Haiid: Emplo Η Η Η Η ol Η b a a b Conidrmo la mima xciación dl mplo dl puno anrior. La dcripción mdian uncion parada :,, < <,, < I II III a b a a Ρ b; Ρ ; a b b Ρ a; b IG.8.8 DESCOMPOSICIÓN DE L UNCIÓN COMPUEST,, g IG..9 EXCITCIÓN Para cribir la xponncial dbmo nr n cuna u conan d impo, y l corrimino rpco al orign ambién, Régimn raniorio n circuio linal Página d 7

51 UTN Roario Elcrocnia II La unción mporal única :,,,, Ρ ;, Ρ,; Η Η, Η, y u Tranormada d Laplac:,, Para ranormar lo do úlimo érmino aplicó l Torma dl dplazamino d la ariabl. Emplo p p - I II III p [g] IG.. EJEMPLO DE EXCITCIÓN COMPUEST, Obngamo la ranormada d Laplac d la unción d la igura, cuya dcripción por mdio d uncion parada la iguin: En una ola cuación: < < < < > ; Ρ Ρ ; Y n unción d calon d Haiid: H H H H H H H H dplaz. diro La ranormada dl primr érmino una rampa linal dirca:. El úlimo érmino imilar al primro, pro dplazado n l impo. Drminamo u ranormada aplicando l orma dl dplazamino d la ariabl : El º y º érmino prnan la diiculad d qu la rampa in diino dplazamino qu l calón d Haiid. Para podr aplicar l orma dl dplazamino ncario qu ambo acor prnn l mimo dplazamino d la ariabl. No diícil manar algbraicamn o érmino para cumplir a condición: º érmino: ramo y umamo a la ariabl d la rca y ragrupamo H H H H La ranormada : º érmino: paramo l - n -- y ragrupamo H H H H La ranormada : unando la ranormada d odo lo érmino: Régimn raniorio n circuio linal Página d 7

52 UTN Roario Elcrocnia II En l mplo anrior nconramo cira diiculad para hallar la ranormada d Laplac, pu aunqu l orma dl dplazamino d la ariabl acilia la coa, ncario ciro mano algbraico para podr aplicarlo. Tranormación compla d una unción compua Méodo impliicado E méodo aplicabl ólo a uncion compua por ramo rco. Ea limiación no mnocaba u uilidad porqu gran par d la uncion inn a caracríica o bin pudn linalizar para impliicar u análii. Linalizar una unción igniica rmplazar u ramo curo por rca. Nauralmn l análii con la unción linalizada mno xaco, pro mucho má impl. El mplo d la igura. pud r la il rprnación d un pulo muy br, dond lo impo d crcimino y dcrcimino on aprciabl. La linalización no dprcia o impo pro í la orma cura. El méodo impliicado coni n nconrar un conuno d rampa cuya uma d por rulado la unción compua por ramo rco. Su principal naa qu la ranormada d a rampa pud obnr n orma dirca mdian l orma dl dplazamino d la ariabl. Rcordmo qu una rampa una rca qu nac n un puno dl d abia por mplo a, y al cro an dl mimo. Su cuación : k a H a y u ranormada, conidrando l mncionado orma dl dplazamino: k a En é méodo no prna l problma dl méodo gnral, n l qu la aplicación dl orma dl dplazamino complica porqu lo ramo rco uln ddoblar n érmino ormado por rca con un dplazamino dirn al dl calón qu la muliplica. Darrollmo l méodo impliicado obr l mimo mplo anrior para podr ablcr comparacion. S baa n un orma d gomría qu ablc: o dada aria rca d pndin p, p, L pn, o la uma una rca d pndin p p L p pn. IG.. CUR LINELIZD Enonc, n primr lugar drminamo la pndin d cada ramo. S indican obr la rprnación d la xciación n la ig... a IG.. RMP Régimn raniorio n circuio linal Página d 7

53 UTN Roario Elcrocnia II Hay inralo, d pndin, - y rpciamn. En l primr inralo la rampa a: H igual a. parir dl gundo inralo, a a rampa d pndin, l dbmo agrgar ora rampa b d pndin -, para qu la uma d pndin a -, como la pndin d. En la igura mura con lína d razo la uma d a rampa, coincidn con n l º inralo. La cuación d la rampa b, qu nac n : H. El calón H ncario para qu l alor an d a cro. parir dl º inralo la pndin d cro; nonc dbmo agrgar una rampa c d pndin, aí la uma d la r pndin, - y rula cro. La cuación d a H rampa : Enonc, - p p p - I II III p [g] p- a p- I II III b c p abc ab H H H IG.. DESCOMPOSICIÓN EN RECTS S obra qu n odo lo érmino la rca y lo calon inn l mimo dplazamino, con lo qu la aplicación dl orma dl dplazamino dirca. Rula: niranormada d la unción rpua Para l circuio omado como mplo al cominzo, obuimo la iguin unción rpua n unción d : Si rmplazamo por la xprión obnida:, Régimn raniorio n circuio linal Página d 7

54 UTN Roario Elcrocnia II, [, ] [, ] [, ], Obrando lo r érmino mo qu on imilar, alo dirncia: Eán muliplicado por diina xponncial Eán muliplicado por conan dirn. Enonc dbmo hacr la aniranormada d la unción qu coniuy l primr érmino xcluida la conan. a unción la llamamo y a u aniranormada. La aniranormada dl primr érmino H. En ba al orma dl dplazamino, la dl gundo H y la dl rcro H Para aniranormar rula connin l méodo d igualación d numrador. [, ] [ ],, [ ] Igualamo coicin d lo érmino d igual grado. En l gundo érmino l umamo y ramo a la ariabl. D modo ddobla n do: uno origina un no y oro un cono, ambo muliplicado por una xponncial,9 9,9 7,,9 7, 7,,9,9 7,,8,9,9,9,9 [, ] [, ] n, [, ],9,9,7,7 7,,7,7, [, ], co, Muliplicando por la conan y dplazando la ariabl d cada érmino:,7 9,9 9,9 co,,77 n, H [,,8,8 co,, n, ] H,7,9,9 co,,8 n, H [ ] Ea xprión gnral d parc baan complicada, pro al dd haa. Podmo xprar la rpua mdian uncion parada para cada uno d lo inralo n qu hmo diidido la xciación. Ea uncion rán má impl ya qu n cada inralo, lo calon d Haiid inn un alor dinido: ó. Régimn raniorio n circuio linal Página d 7

55 UTN Roario Elcrocnia II Para l inralo I, ólo H, nonc:,7 9,9 9,9 co,,77 En l inralo II, H y H,,8,7 9,9 9,9 co,,77 n, n,,8 co,, n, Podmo ddoblar la xponncial y lo no y cono d la uma d do ángulo.,7 9,9 9,9,,8, co,,77 n,,8,8 [ co, co, n, n, ] [ n, co, n, co, ] Para calcular l alor d la rpua n un inan d impo drminado, uando la xprión gnral, rmplaza l alor d n la xprion muliplicada por lo calon qu aln. Por mplo para db rmplazar n la do primro érmino; l rcro nulo pu H. Emplo Drminar la nión d alida para l circuio y la xciación morado n la igura. Ea xciación, por u orma dnomina din d irra. La pndin dl ramo crcin y dl dcrcin -x. Noar qu lo alor dl án n m. l dcomponrla n rampa, la primra in pndin y nac n. La gunda qu nac n m db nr pndin -6 x para qu umada a la pndin d la primra no d -x, qu la pndin dl gundo ramo. inalmn, a parir d m db incorporar una rcr rampa d pndin x. í la uma d la pndin d la r rampa. Enon, [m] H,Hy IG.. CIRCUITO EXCITDO CON UNCION DE TRMOS RECTOS H 6, H,, H, [m] kω kω, H, 6, H, - -, IG.. CIRCUITO EQUI. - Tranormando: 6,, Lugo, a parir dl circuio quialn d Laplac, obnmo la nion. En un circuio como podmo aplicar l concpo d diior d nion: Régimn raniorio n circuio linal Página d 7

56 UTN Roario Elcrocnia II,,,,, T, Rmplazamo, diribuyndo l produco por la ranrncia n cada uno d u érmino.,, 6,,, Obramo qu lo r érmino d inn mucho n común. Sólo diirn n la conan y n la xponncial qu lo muliplica. Sindo aí, i aniranormamo l primro d llo, la aniranormada d lo oro érmino pud obnr aplicando l orma dl dplazamino d la ariabl y nindo n cuna la dirn conan qu conran duran lo proco d ranormación o aniranormación Enonc, primro aniranormamo, Una z hallada a aniranormada, la dl gundo érmino obin acándola por un acor -6 y corrindo la ariabl n,. Para l rcr érmino, l acor y l corrimino,. Exciación compua por ramo rco diconínua p, a, ab c p - abc nalizamo cao pcial d unción compua por ramo rco para morar qu no impr dcompon n un conuno d rampa. Toda diconinuidad agrga un calón n la dcompoición. No uicin riicar qu n cada inralo la uma d pndin d la rampa a igual a la pndin d la unción dada. En l mplo d la igura, la uma d la rampa a y b cumpl a condición, pro como pud r, no conmpla la caída d olio qu produc n,. Para llo ncario agrgar l calón H,. La cuación d : b, H, H, H IG..6 EXCITCIÓN COMPUEST CON UN DISCONTINUIDD y u ranormada:,, Régimn raniorio n circuio linal Página 6 d 7

57 UTN Roario Elcrocnia II La uncion d xciación diconinua, inroducn la complicación d qu admá d lo érmino con n l dnominador, originado por la rampa, hay érmino con, producido por lo calon. Eo rla n la unción rpua producindo do ipo d érmino dirn qu obligan a ralizar do aniranormacion. Rcordmo qu cuando hay ario érmino dl mimo ipo, baa aniranormar uno olo, pu lo dmá dducn por aplicación dl orma dl dplazamino. Rricción para l uo d la uncion ranrncia Para una unción xciación dada, la unción rpua : R E T indo T la ranrncia qu la incula por mplo, i la xciación y la rpua on nion, rá la ranrncia d nion. D modo podmo obnr la unción rpua para dirn xciacion in nr qu obnr cada z la xprión qu la incula, dcir la ranrncia, pu a única, a cual a la xciación. Sin mbargo dbmo nr n cuna qu la unción ranrncia ólo pud dinir para condicion inicial nula, por nd, para un circuio con condicion inicial, para cada xciación ndrmo qu drminar la rlación con la rpua. coninuación muran o concpo a raé d un mplo muy ncillo. Nauralmn n cada cao habrá qu hacr la aniranormada d R para hallar la rpua mporal r qu n gnral lo qu inra. Emplo. El capacior dl circuio d la igura in una nión inicial d con la polaridad indicada. S da drminar la nión d alida, cuando xcia con una nión como la morada, uilizando l méodo d la ranormada compla d la xciación. El circuio quialn l iguin: - Ω µ - Ω - IG..8 CIRCUITO EQUILENTE m IG..6 IG..7 CIRCUITO CON CONDICIÓN INICIL. En l circuio quialn pudn rmplazar la do rama n parallo por una quialn. Si la nion impdancia d cada rama on, Z Régimn raniorio n circuio linal Página 7 d 7

58 UTN Roario Elcrocnia II y, Z, la d la rama quialn on: Z y Z Z Z Z Z ZZ Z plicado a cao,, Z, y Z E aí qu rula y Z D modo, quda un circuio d una malla, dond la corrin : I Z Podmo calcular la nión d alida como Uamo la primr orma: I ó I Z L L Podmo obrar qu l primr érmino dpnd d minra qu l gundo indpndin. Má aún, podmo comprobar qu l acor d n l primr mimbro la ranrncia d nion. T IG..9 OBTENCIÓN DE L TRNSERENCI DE TENSIONES DEL CIRCUITO Por lo ano, l primr érmino la rpua cuando la condicion inicial on nula, y l gundo un érmino qu agrga cuando hay condicion inicial no nula. O a qu dpnd d la condicion inicial. indo la caída d nión obr parallo; nonc: IG.. EECTO DE L CONDICIÓN INICIL I Podmo hallar aplicando l principio d uprpoición, conidrando por un lado l co d, lo qu gnra l º érmino y por oro lado l d la un corrpondin a la condición inicial, qu gún rmo, gnra l º érmino Paiamo n u lugar ponmo un corocircuio. Lo rior qudan n parallo l alor dl parallo /, Régimn raniorio n circuio linal Página 8 d 7

59 UTN Roario Elcrocnia II I L Quda a lcción dl lcor lgir la orma d calcular la rpua. Cab ahora aniranormar la xprión obnida. T dpndind lacond. inicial La aniranormada dl º érmino inmdiaa: Para aniranormar l º érmino ncario drminar y lugo rmplazarlo n l º érmino d la rpua. Dcomponmo n rampa, rulando: H ; y la ranormada: Lugo:, H,,, p,,, p H, H, niranormamo l º érmino; l oro obin aplicando l orma dl dplazamino. IG.. DESCOMPOSICIÓN DE EN RMPS La nión d alida compon d r érmino: lo do primro on lo qu dpndn d la xciación. El primro l qu hallamo rcién, l gundo imilar Régimn raniorio n circuio linal Página 9 d 7

60 UTN Roario Elcrocnia II aplicando l dplazamino a, y nindo n cuna qu ngaio. El úlimo érmino l hallado al cominzo, dpndin d la condición inicial.,, H, Hay qu nr n cuna qu ólo pudn combinar érmino muliplicado por calon igual. En cao podmo combinar l º y l º, qu aunqu no xplici, án muliplicado por H. En la iguin xprión ralizó a combinación y admá pon n orma xplícia l mncionado calón.,, H H, alor punual Para obnr l alor d la rpua mporal n un inan cualquira, por mplo a, hay qu rmplazar alor d la ariabl n lo érmino muliplicado por calon qu aln cuando a. Supongamo qu n l mplo anrior, da hallar,, dbríamo rmplazar, ólo n l primr érmino, pu para alor d l calón H.,,,,,,,7, Cuando l alor d n l qu da obnr la rpua, a a, coincid con l inicio d alguno d lo calon, prna una indrmimación. El alor dl calón indrminado para a y al n a - y n a. Enonc ndrmo un alor d la rpua a cada lado dl inan a. Un lími por drcha y uno por izquirda En l mplo anrior, l alor para, - calcula rmplazando n l primr érmino pu l calón dl gundo érmino aún al.,,,,,,86, Para, incorpora l gundo érmino., º érm.,,,86 {,, Como l alor dl gundo érmino n, cro, l alor d la rpua por drcha l mimo qu por izquirda. Lo lími laral d un puno pudn r igual o diino, gún la unción a coninua o diconinua n puno.,86 Exprión n cada inralo La xprión dl rulado obnido por l méodo d la ranormación compla d la xciación no rula dmaiado idn. Régimn raniorio n circuio linal Página 6 d 7

61 UTN Roario Elcrocnia II Podmo xrar d dicha xprión, una má impl para cada inralo qu compon la xciación. Para llo, ólo hay qu aignar a lo calon, l alor, cro o uno, qu inn n cada inralo, y lugo oprar. ámolo obr l mplo anrior. Inralo [;, En inralo H y H Enonc, Inralo,;, En inralo H y H,,, Enonc:,,98 La uncion obnida para cada inralo án rrida al orign d la xciación. Para rrirla al orign dl rpcio inralo, hay qu umar a la ariabl l inicio dl inralo. Para l gundo inralo dl mplo: Inralo,; S uma, a.,,,, 6 Exciación con uncion compua priódica 6. Conidracion gnral La uncion priódica on la qu rpin u alor a inralo conan, llamado príodo d la unción. Hay do ipo d uncion priódica: o la qu dinn mdian una unción mamáica impl, como la dnominada armónica no y cono o la qu án ormada por la rpición priódica d una unción compua, como la prnada n l puno. quí abordamo l mano d la uncion compua priódica. Cuando la xciación d un circuio una unción priódica, la rpua dl mimo a cambiando n lo diino príodo d la xciación. Eo db a qu an cambiando la condicion al inicio d cada príodo. No oban, dpué d un ciro impo, la rpua cominza a r prácicamn igual para cada príodo, alcanzándo un régimn prmann priódico. En la ig.6. mura como mplo la olución d la nión dl capacior d una malla R-C xciada con pulo qu rpin priódicamn rn d Régimn raniorio n circuio linal Página 6 d 7

62 UTN Roario Elcrocnia II pulo. El capacior cominza dcargado. Cada príodo d a xciación in una par acia nión no nula n la qu l capacior rcib nrgía, y una par paia nión nula dond la pird n par no oda, pu lo proco d dcarga on ainóico. l prdr mno nrgía qu la rcibida, l capacior a alcanzando n cada ciclo mayor nión. Pro como a mayor nión corrpond mayor pérdida d nrgía n la dcarga, la dirncia nr nrgía rcibida y prdida a rducindo, ndindo a cro. inalmn llga al IG.6. CIRCUITO R-C EXCITDO CON TREN DE PULSOS régimn prmann priódico n l cual lo alor máximo y mínimo d nión n l capacior rpin n cada príodo. En un análii complo d un circuio con xciación priódica compua, obin la rpua dd haa ; in mbargo a c inra hallar olamn l régimn priódico prmann, dcir la rpua cuando. 6. Obnción d la rpua Dinición mamáica La uncion priódica on la qu rpin u alor a inralo conan. C T T T IG.6. UNCIÓN PERIÓDIC T Mamáicamn dcimo qu una unción priódica i xi una conan T, ral y mayor qu cro, al qu [6.] T El mnor alor d T qu cumpl a condición dnomina príodo d la unción. Nó qu odo u múliplo ambién la cumpln. Tranormada d la unción priódica Conidrmo una unción priódica d príodo T, como la morada n la ig. 6. y llammo a la unción dl primr príodo. En lo dmá príodo la unción rpi dplazada n T, T, T, c. Régimn raniorio n circuio linal Página 6 d 7

63 UTN Roario Elcrocnia II Enonc: L L [6.] T it Sindo la ranormada d, la ranormada d rula: Tnindo n cuna qu Rula: T it L L [6.] T it it L L i it i T [6.] T Si bin la orma mamáica d [6.] má lgan, no db dcarar uilizar la orma [6.], qu ul r má icaz. Emplo La unción priódica d la igura 6., rpi n cada príodo un ramo d rampa. S la llama din d irra idal. El nombr din d irra obdc a u orma, idal, a qu l impo d dcrcimino nr uno y oro ciclo nulo. La unción dl impo qu dcrib la rampa dl º príodo : [ H H ] Ρ ; T T T T Hmo uado l méodo gnral, qu muliplica por un pulo para anular lo alor ura dl inralo ; T. S obra qu hay un érmino dond la unción y l calón inn dplazamino dirn. Enonc, umamo y ramo T para uniormarlo: T [ H T H T H ] T T Y ranormamo uilizando l Torma dl dplazamino d la ariabl.: T T T T T T plicando [6.] obnmo la ranormada d la unción priódica: T T T La Tabla dl nxo B conin la ranormada d Laplac d la uncion compua priódica má comun. D oda manra, harmo un mplo má. Emplo. Conidrmo l din d irra ral d la igura. lo llamamo ral porqu conmpla un impo d dcrcimino aprciabl. T T T IG. 6. DIENTE DE SIERR IG.6. DIENTE IDEL DE SIERR IDEL T Régimn raniorio n circuio linal Página 6 d 7

64 UTN Roario Elcrocnia II Para hallar la unción n l primr príodo, podmo aplicar l méodo impliicado, álido para uncion compua por ramo rco. H H H Su ranormada : Y la d la unción priódica: ó IG. 6. DIENTE DE SIERR 6 L Como imo, no rula dmaiado complicado obnr la ranormada d Laplac d una xciación priódica. Sin mbargo, llo no un in n i mimo, ino olamn uno d lo pao ncario para drminar la rpua mporal d un circuio al qu aplica al xciación. ormalmn, l análii d un circuio con xciación priódica comprnd lo iguin pao: o Obnción d la unción xciación ranormando la xciación mporal. o Hallar la ranrncia apropiada para incular la xciación con la rpua dada. o Hallar la unción rpua como produco d la unción xciación por la ranrncia. o Hallar la rpua mporal aniranormando la unción rpua. Cumplido l úlimo pao, no nconrarmo con una unción dl impo d ininio érmino, diícil d inrprar y manar, qu rprna la rpua dd a. Hay do rulado inré: o El alor d la rpua n ciro inan d impo, por mplo a. Sólo cuión d rmplazar l alor d la ariabl, nindo n cuna qu lo calon aln para < a y para > a. o El régimn prmann priódico. S aum qu alcanza dpué d rancurrido n príodo, óricamn con n. Por lo ano hay qu hallar la xprión para n. dmá, como n gnral da obnr la xprión d la rpua mporal rrida al inicio dl príodo n-imo, habrá qu dplazar l d ordnada umando nt a la ariabl. Emplo Supongamo qu un circuio R-C xcia con un din d irra idal como l d la igura 6., d ampliud igual a y priodo T,. Hallmo la nión n l capacior para R Ω y C µ La unción xciación, conidrando haa un príodo n, : Régimn raniorio n circuio linal Página 6 d 7

65 UTN Roario Elcrocnia II,,, L n,,, príodo dd l haa l n º Príodo Mulipliqumo lo paréni. Nó qu dbido a qu lo do érmino cuadráico dl primr paréni inn igno conrario, al muliplicarlo por la ri d xponncial dl gundo paréni, canclan cai odo lo érmino alo lo do xrmo. La ranrncia : Y la unción rpua: C, n,,, n L T C, n,,, n L Para aniranormar a xprión dbmo aniranormar priamn lo érmino indicado y G, y lugo aplicar l orma dl dplazamino. G Lugo: C G g, n [ ] H [, n ] H, n,,, n [ ] H, [ ] H, LL [ ] H, n Si qurmo calcular l alor d la nión para un inan cualquira, nmo qu drminar qué calon aln y cual aln cro. Lugo rmplazamo l alor d. Por mplo, para,: C,,,,,, [, ] [ ] [ ], Para hallar la rpua n l príodo n, mo qu odo lo calon aln, xcpo lo qu cominzan n -,n, qu corrpondn al príodo iguin. Enonc: n C n i n, i,n 6,7 n,7,n Para rrir l rulado al cominzo dl príodo n, db umar nt n é cao,n a la ariabl. Régimn raniorio n circuio linal Página 6 d 7

66 UTN Roario Elcrocnia II C,n,n,n 6,7 n,7 6,7,7 El régimn priódico prmann alcanza para un alor grand d n. En al cao, la xprión anrior rduc a la iguin:, IG. 6. RESPUEST PERIÓDIC PERMNENTE., 7 C Una orma d comprobar la cuación obnida, conrolar qu l alor d la nión dl capacior, d acurdo con la ly d la conmuación, a l mimo al inicio y al inal d un príodo. quí: 6,7 C C, La igura 6. mura la rpua priódica prmann comparada con la xciación. Emplo nalicmo ahora l mimo circuio R-C dl mplo anrior cuando aplica un rn d pulo como l d la igura. Lo pulo inn una duración T 6m y u príodo d Tm. La ranrncia ra: T C La unción dl impo dl º príodo d la xciación : H H,6 y u ranormada:,6 La d la xciación priódica :,6 y la d la rpua: C,,, L i,n L,6 n i n,i i,i T T T IG.6.6 TREN DE PULSOS Régimn raniorio n circuio linal Página 66 d 7

67 UTN Roario Elcrocnia II Hallmo la aniranormada d : Lugo, C n n,i,6,i H,i H,6,i i i Con a xprión podmo drminar ácilmn l alor d la rpua n un drminado inan. Para hallar l régimn prmann priódico, nmo qu conidrar qu n mplo, cada príodo cona d do inralo dirn, n corrpondncia con la xciación. Por lo ano, nmo qu drminar do cuacion, una para cada uno d o inralo. Para un príodo n-imo, l primr inralo cominza n nt,. n y rmina n nt,6, n,6, dond cominza l gundo. Como l calón H,6, n corrpondin al érmino n d la gunda umaoria, oma alor al comnzar l gundo inralo, no dbmo conidrarlo para hallar la cuación dl º inralo y í para la dl º. º inralo: C n n,i,6,i H,i H,6,i i Rolmo la umaoria: C n i [, n ],6 [,6,n ] n Lugo, llamo l d ordnada al cominzo dl príodo n, dcir, umamo nt,.n a la ariabl. C,n,,n,6,6 Como l régimn prmann priódico alcanza para n muy grand, nonc dprciamo la xponncial ngaia qu inn n n l xponn. C º inralo:,6,,6, En inralo, hay qu incluir l érmino n d la gunda umaoria:,6,n Por lo ano, podmo obnr la rpua n l gundo inralo agrgándolo al rulado obnido para l primr inralo. Pro an dbmo rrirlo al inicio dl príodo n, como lo á la xprión dl primr inralo. D al manra, l érmino a,6 umar : Enonc, C,,6,6, Régimn raniorio n circuio linal Página 67 d 7

68 UTN Roario Elcrocnia II Si qurmo rrir a cuación al inicio dl gundo inralo dl príodo n, hay qu corrr l d ordnada,6 C,6 7, En la igura rprna la rpua priódica prmann dl rn d pulo n ba a la cuacion obnida.. IG. 6.7 RESPUEST PERMNENTE DEL TREN DE PULSOS Régimn raniorio n circuio linal Página 68 d 7

69 UTN Roario Elcrocnia II NEXO B Tranormada d Laplac Tabla. Tranormada d Laplac má uual δ a a n a n! a n a a a a a a a a a nω ω a ω ω a ψ arcg ω a ψ ω a n ω ω ω a a a a 6 co ω ω a [ ] a 6 a a a 7 n ω ω a ω 7 a a a a 8 a co ω a ω a b a b 8 a b a b 9 b a 9 a b a b n n nro n! > n ab a b a a b b a b S prnan par d uncion; la d la izquirda on uncion dl impo y la d la drcha u ranormada. Lo par a coninn uncion d Laplac baan rcun n lo problma lécrico; al Régimn raniorio n circuio linal Página 69 d 7

70 UTN Roario Elcrocnia II incluirla aquí ia nr qu ralizar u dcompoición n raccion impl como pao prio a la ranormación inra. Régimn raniorio n circuio linal Página 7 d 7

71 UTN Roario Elcrocnia II Tabla. Propidad d la ranormada d Laplac Nombr B g B G a a a a H a Linalidad Dplazamino d Dplazamino d d d Driada rpco a n d n d n n n L Driada n-ima rpco a 6 d Ingral n 7 n u d n L u du n! N-ingral n 8 d Driada rpco d a 9 n n n d n d Driada n-ima rpco a d Ingral n u g u du Conolución G Régimn raniorio n circuio linal Página 7 d 7

72 UTN Roario Elcrocnia II Tabla. Tranormada d uncion priódica Onda cuadrada T T T T T gh Trn d T pulo. Ciclo acio % T/ T T T Trn d pulo. Ciclo acio k % kt T T kt T Si k, la unción H ára Trn d impulo T T T Onda riangular T/ T T T T T T T gh Régimn raniorio n circuio linal Página 7 d 7

73 UTN Roario Elcrocnia II 6 Din d irra kt T T 7 Din d irra. Caída inanána T T T T T 8 π T T/ T T [ T π ] π T T T T π cogh π T/ T T π T T [ T ] π Régimn raniorio n circuio linal Página 7 d 7

74 UTN Roario Elcrocnia II Régimn raniorio n circuio linal Página 7 d 7