Cálculo Diferencial. M. I. Víctor Manuel Romero Medina. mayo de 2004

Transcripción

1 Cálculo Diferencial M. I. Víctor Manuel Romero Medina mayo de 2004

2 Contents 1 Límites y sus propiedades Conceptualización inductiva de límite Cálculo de los límites grá ca y numéricamente De nición formal de límite Cálculo analítico de límites Continuidad y límites laterales De nición de continuidad Límites laterales y continuidad en un intervalo cerrado Límites in nitos

3 Chapter 1 Límites y sus propiedades Nota: Las notas de este tema están basadas en el libro de texto recomendado: Larson Hostetler Edwards. Cálculo. Volumen I. Editorial Mc Graw Hill. Sexta edición. México, Objetivo Que el alumno describa correctamente y con sus propias palabras el concepto de límite de una función y aplique las propiedades de los límites en la de nición de las grá cas de funciones que se presentan en problemas de ingeniería. 1.1 Conceptualización inductiva de límite Aunque el límite es el concepto más importante dentro del cálculo in nitesimal, además de ser el más difícil, encontramos que podemos aplicarlo en situaciónes que se nos presentan en nuestra vida cotidiana. Como ejemplos comunes podemos mencionar las siguientes situaciones: ² A lo largo de la historia deportiva del ser humano, los hombres y las mujeres han establecido marcas mundiales reduciendo sus tiempos en diferentes disciplinas tales como: correr, saltar, lanzar ob jetos y nadar (en las diferentes modalidades). Entonces nos podemos preguntar si existe algún límite en el cuál los seres humanos ya no podrán mejorar esas marcas mundiales? ² Sabemos que podemos enfriar cualquier objeto reduciendo su temperatura. Hablando de una escala absoluta de temperatura (Kelvin en el sistema internacional de medidas) podemos encontrar en los libros de física que la temperatura mínima es de 0 K. Pero, realmente podremos reducir la temperatura de cualquier cuerpo a 0 K? ² Cuando manejamos un automóvil podemos acelerar el motor realizando los cambios de velocidad necesarios hasta alcanzar la velocidad deseada. Nuestra experiencia nos indica que, para cada una de las velocidades, por más que incrementemos la potencia en el motor no podremos rebazar cierta velocidad, Podremos establecer la velocidad máxima para cada una de las velocidades de nuestro motor? Actividades previas a la primera clase Antes de iniciar la primera clase realiza las siguientes actividades, ya sea individual o en equipo: 1. revisar la teoría correspondiente en las secciones 1.1 y 1.2 del capítulo 1 del libro Cálculo, volumen 1, 6a. edición, de Roland E. Larson, Editorial McGraw Hill. 2. Reúnete con tus compañeros de equipo en el laboratorio de cómputo y conéctense a la liga Revisen los ejemplos que se presentan, discutan entre ustedes y realicen un breve resumen de los conceptos básicos de cada caso. 2

4 Práctica dentro del salón de clase Como inicio para la comprensión del concepto de límite realizemos el siguiente ejemplo: Consideremos una super cie plana sobre la que está dibujada una recta de 1 m de longitud. Coloquemos un conejo en el punto inicial de la recta y pidámosle que se dirija hacia el otro extremo de la recta realizando brincos; sólo que existe una restricción, cada brinco que dé deberá de recorrer la mitad de la distancia remanente. Será posible que el conejo llegue a tocar el extremo nal de la recta? Concepto de límite. El problema de la recta tangente La noción de límite es fundamental en el estudio del Cálculo. Los dos problemas clásicos del Cálculo y en el que intervienen los límites son el problema de la recta tangente y el problema del área. El primero es fundamental para el cálculo diferencial y el segundo para el cálculo integral. Para el problema de la recta tangente consideremos una función f y un punto P de su grá ca. El problema se reduce a determinar la ecuación de la recta tangente a la grá ca en el punto P (ver gura). Para el análisis trazamos una recta secante que pasa por el puntop de tangencia y otro punto cualquiera Q sobre la curva. La pendiente de la recta secante es m sec = f (c + x) f (x) c + x c = f (c + x) f (x) x Al aproximar el punto Q al punto P la pendiente de la recta secante se aproxima a la pendiente de la recta tangente, como se ilustra en la gura.entonces decimos que la pendiente de la recta tangente es el límite de las rectas secantes. 1.2 Cálculo de los límites grá ca y numéricamente Se nos pide dibujar la grá ca de la función f (x) = x3 1 x 1 si x 6= 1 3

5 Para obtener una idea del comportamiento de la grá ca de f cerca de x = 1, se pueden usar dos conjuntos de valores de x, uno que se aproxime a 1 por la izquierda y otro que lo haga por la derecha, como ilustra la tabla x tiende a 1 por la izquierda x tiende a 1 por la derecha! Ã x f (x) ? f (x) tiende a 3 f (x) tiende a 3! Ã Al representar la función, parece que la de la cicatriz y es una parábola como un hueco en el punto (1, 3), como se muestra en la ga pesar de que x no puede ser igual a 1, podemos acercarnos arbitrariamente a 1 y, como resultado, f (x) se acerca arbitrariamente a 3. En notación de límites, se escribe f (x) = 3 Esto se lee: "El límite de f (x) cuando x tiende a 1 es 3." x!1 esta discusión conduce a una descripción informal de límites. Si f (x) se acerca arbitrariamente a un número L cuando x tiende a c por cualquiera de los dos lados, entonces el límite de f (x), cuando x tiende a c, es L. Esto se describe f (x) = L RECOMENDACION. A lo largo del curso, intente desarrollar el hábito de aplicar el siguiente enfoque de tres puntos a la resolución de problemas. 1. Procedimiento. Construya una tabla de valores. 2. Procedimiento grá co. Dibuje una grá ca, a mano o con una calculadora. 3. Procedimiento analítico. utilice el álgebra o el cálculo. Ejercicios 1. Analizar y discutir los límites siguientes: f (x) = ½ 1 si x 6= 2 0 si x = 2 f (x) = ½ 1 si x 6= 2 2 si x = 2 jxj x!0 x x!0 1 x 2 x!0 sin 1 x 2. Cuáles son los comportamientos típicos de f (x) asociados a la no existencia de un límite? 1.3 De nición formal de límite. Sean f una función de nida en un intervalo abierto que contiene a c (salvo, posiblemente, en c) y L un número real. La a rmación f (x) = L signi ca que para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que si 0 < jx cj < δ entonces jf (x) Lj < ε Algunas funciones carecen de límite cuando x! c, pero aquellas que lo poseen no pueden tener dos límites cuando x! c. Es decir, si el límite de una función existe, entonces es único. 4

6 1.4 Cálculo analítico de límites Theorem 1 Algunos límites básicos. Sean b, c números reales y n un entero positivo. Entonces b = b x = c xn = c n Theorem 2 Propiedades de los límites. Sean b, c números reales y n un entero positivo y f, g funciones con los siguientes límites f (x) = L g (x) = K 1. Múltiplo escalar: [bf (x)] = bl 2. Suma o diferencia: [f (x) g (x)] = L K 3. Producto: [f (x)g (x)] = LK 4. Cociente: f (x) g (x) = L, suponiendo de K 6= 0 K 5. Potencias: f (x) n = K n Theorem 3 Límitesde funcionespolinómicasyracionales. Sea p una función polinómica y c un número real. Entonces p (x) = p(c) Sean r (x) = p (x) /q (x) una función racional, y c un número real tal que q (c) 6= 0. entonces p(c) r (x) = r (c) = q (c) Theorem 4 Límite de una función radical. Sea n un entero positivo. El siguiente límite es válido para todo c si n es impar, y para todo c > 0 si n es par. np x = n p c Theorem 5 Límite de una función compuesta. Si f y g son funciones tales que f (L), entonces f (g (x)) = f (L) g (x) = L y f (x) = x!l Theorem 6 Límites de funciones trigonométricas. Sea c un número real en el dominio de la función trigonométrica dada. Entonces 1. sinx = sin c 2. cos x = cosc 3. tan x = tan c 4. cot x = cot c 5. secx = secc 6. cscx = cscc Theorem 7 Funciones que coinciden salvo en un punto. Sea c un número real y sea f (x) = g (x) para todo x 6= c en un intervalo abierto que contiene c. Si existe el límite de g (x) cuando x tiende c, entonces también exsiste el de f (x) y f (x) = g (c) Theorem 8 Teorema del encaje. Si h (x) f (x) g (x) para todo x en un intervalo abierto que contiene c, excepto posiblemente en el propio c, y si entonces f (x) existe y es igual a L. h (x) = L = g (x) Theorem 9 Dos límites trigonométricos especiales. sinx 1 cos x 1. = 1 2. = 0 x x 5

7 1.5 Continuidad y límites laterales De nición de continuidad Continuidad en un punto.- Decimos que una función f es continua en c si se satisfacen las tres condiciones siguientes: 1. f (c) está de nida, 2. f (x) existe, y 3. f (x) = f (c). Continuidad en un intervalo abiert o.- Decimos que una función es continua en un intervalo abierto (a,b) si es continua en cada punto del intervalo. Una función que es continua en toda la recta real ( 1, +1) se llama continua en todas partes Límites laterales y continuidad en un intervalo cerrado Theorem 10 Existencia de límite. Sea f una función, y sean c y L números reales. El límite de f (x) cuando x tiende a c es L si y sólo si (x) = L y (x) = L f +f De nición de continuidad en un intervalo cerrado Se dice que una función f es continua en el intervalo cerrado [a,b] si es continua en el intervalo abierto (a,b) y f (x) = a y + f (x) = b La función es continua por la derecha en a y continua por la izquierda en b Límites in nitos Trabajo colaborativo. Realizar un resumen sobre límites in nitos, de nición de asíntota vertical, propiedades de los límites in nitos e incluir dos ejemplos de cada uno de los subtemas. 6