Ensayos de resistencia a la compresión de bloques de suelo cemento

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1 Ensayos de resistenia a la ompresión de bloques de suelo emento Test of resistane to ompression of soil-ement bloks Informes de la Construión Vol. 63, 54, 43-48, otubre-diiembre 11 ISSN: -883 eissn: doi: /i.1.48 J. M. Mas (*,**), C. Kirshbaum (*,**) RESUMEN El objetivo de este trabajo es determinar la dosifiaión más adeuada para un determinado tipo de suelo, que se utilizará para fabriar bloques de suelo-emento, para onstruir una vivienda en El Puestito, Burruyau, Tuumán, Argentina. Se etrajeron dos muestras de suelo del área estudiada y se fabriaron probetas de suelo-emento, utilizando la mezla de dos muestras a la vez y on ada una por separado. Otra variable introduida fue la presión de fabriaión. A los 8 días, fueron ensayadas de dos maneras: la primera, sometiéndolas a la ompresión hasta la rotura y la segunda, sumergiéndolas en agua, pesándolas en intervalos de tiempos determinados. Los resultados mostraron que: aumentando la presión de fabriaión, se aumenta la resistenia a la ompresión, mientras que la absorión disminuye. Las dosifiaiones on mayor antidad de suelo 1 on respeto a la de suelo, produen un aumento de la resistenia a la rotura. SUMMARY The purpose of this study is to determine the proper dosage for a partiular type of soil, whih will be used to make soil-ement bloks to build a home in El Puestito, Burruyau, Tuumán, Argentina. Two soil samples were etrated from studied area and samples of soil-ement speimens, using a miture of two samples simultaneously and with eah one separately. Another variable introdued was the pressure of prodution. At 8 days, were tested in two ways: first, subjeting them to ompression at break and the seond tests was made by submerging them in water and weighing them at ertain time intervals. The results showed that: inreasing the pressure of prodution, inreases resistane to ompression, while the absorption dereases. The results also showed that greater amounts of soil 1, enhanes the resistane to breakage Palabras lave: suelo-emento, vivienda rural, bloques, dosifiaión, absorión. Keywords: Soil-ement, rural housing, bloks, dosage, absorption. (*) CONICET. San Miguel de Tuumán, (Argentina) (**) Universidad Naional de Tuumán. San Miguel de Tuumán, (Argentina) Persona de ontato/corresponding Author :jorgemmas@gmail.om (J. M. Mas) Feha de reepión: Feha de aeptaión: 9-9-1

2 J. M. Mas, C. Kirshbaum 1. Plano de ubiaión del área en estudio.. Prototipo de vivienda diseñado para la loalidad rural El Puestito. 1. INTRODUCCION En el maro de un proyeto de investigaión sobre desarrollo de poblaiones rurales, PIC- TO 4 Nº 87 Tenologías para el hábitat, el aprovehamiento energétio y el desarrollo produtivo en áreas rurales de Tuumán, se diseñó un prototipo de vivienda para familias minifundistas. El área de estudio y análisis es la omuna rural El Puestito (6 4» Sud, 64 47» Oeste), ubiada en el departamento de Burruyau, a 75 Km al noreste de la iudad de San Miguel de Tuumán, apital de la provinia de Tuumán, Argentina. Ver Figura 1. La omuna oupa, en su mayor parte, el piedemonte de las Sierras de Medina zona de la selva húmeda denominada Las Yungas. Haia el este se vinula on la llanura haqueña. El lima es álido on lluvias prinipalmente en el verano. Las preipitaiones varían entre 4 6 mm por año. La zona es apta para una variada atividad agropeuaria ompuesta por ultivos tanto tradiionales omo aña de azúar, maíz, trigo, itrus, palta y los introduidos en los últimos años on importante reimiento de la soja y la ría de vaunos, erdos y aballos. 1 Es zona propiia para las atividades de granja omo el ultivo de hortalizas y la ría de aves de orral, tales omo gallinas y pavos, que en gran proporión están orientadas a atender la subsistenia familiar. El lugar posee un importante patrimonio en flora y fauna natural en erros, valles y bosques. La eistenia de terrenos quebrados y la presenia de pequeños propietarios en la mayor parte del territorio, distribuidos en pequeños y medianos predios de entre,5 a 5 hetáreas, atúan también omo barrera para la eplotaión etensiva de los suelos y reursos naturales. El trabajo onstó de varias etapas. En la primera se realizó un diagnóstio general del área, onsiderando la relaión de los habitantes on el medio ambiente y el paisaje, efetos de las ondiiones de las viviendas en la salud y bienestar de los oupantes, las araterístias de ellas, neesidades, demandas y deseos de los habitantes del lugar, analizando las araterístias soioulturales que haen a la apropiaión del espaio y de la vivienda por parte de los moradores, es deir a su modo de vivir (1, ). 44 Informes de la Construión, Vol. 63, 54, 43-48, otubre-diiembre 11. ISSN: eissn: doi: /i.1.48

3 Ensayos de resistenia a la ompresión de bloques de suelo emento Test of resistane to ompression of soil-ement bloks Una vez realizado el diagnóstio, se enuniaron las pautas a seguir para satisfaer las demandas de los pobladores. Considerando las araterístias limátias del lugar y los materiales disponibles en la zona, se proedió a diseñar un prototipo de vivienda. El mismo onsta de dos módulos retangulares unidos por un espaio semiubierto que los vinula (3). Ver Figura. 3. Construión del prototipo en el área estudiada. Atualmente se enuentra en onstruión en el área estudiada, un modelo eperimental del prototipo de vivienda diseñado. El trabajo se realiza on la olaboraión de pobladores y de personal que trabaja en la omuna. Ver Figura 3. El presente artíulo trata espeífiamente la manera en que se determinó la dosifiaión más adeuada para la fabriaión de bloques omprimidos de suelo-emento, que serán utilizados para la materializaión de la envolvente vertial.. LA ENVOLVENTE La envolvente de un edifiio tiene, entre otras, las funiones de atuar omo elemento moderador de las ondiiones ambientales eternas y delimitar los espaios arquitetónios en donde se desarrollan las distintas atividades humanas, on el fin de lograr un ambiente interior onfortable, efiiente y saludable, en otras palabras, estar preparada para brindar a sus oupantes la proteión ontra las agresiones eternas: lluvia, ruido, radiaión solar, por nombrar solo algunas. Está ompuesta por erramientos horizontales y vertiales. Entre los horizontales enontramos al teho y al piso. Los vertiales se refieren a los muros y aberturas. Los primeros pueden ser realizados on diferentes materiales y métodos onstrutivos, omo por ejemplo, mampuestos de ladrillos erámios omunes, bloques de hormigón, piedra, et. Se onoen omo mampuestos, a aquellos que son oloados en forma manual y superpuestos. Así se tiene que: Las mamposterías en general onstituyen sistemas onstrutivos realizados mediante ténias de ejeuión simples. Estas se basan en la superposiión ordenada de mampuestos unidos on mezlas de asiento, formando juntas horizontales y vertiales, on el objeto de obtener un omportamiento monolítio frente a la aión de argas eteriores (4). Cada uno de los elementos de la envolvente debe estar diseñado para soportar los esfuerzos o soliitaiones a las que están sometidos. Mientras que, por ejemplo, una losa está sometida a esfuerzos de fleión y orte, un muro generalmente trabaja a la ompresión. Por ello es de suma importania que los mampuestos on los que se pretende materializar la envolvente vertial, en nuestro aso en partiular, bloques de suelo-emento, deban tener una adeuada resistenia a esta soliitaión, de tal manera que les permita soportar onvenientemente los esfuerzos a los que se vean sometidos. Los bloques de suelo-emento omprimidos, tienen la ventaja frente a otros onformados por materiales industrializados omo son los ladrillos erámios omunes o hueos, de poder ser diseñados para responder a las neesidades de ada aso en partiular (5, 6). Por ello el diseño de un bloque de suelo-emento omprende la uantifiaión o dosifiaión de la antidad neesaria de ada uno de los omponentes que forman la mezla a emplear en la fabriaión. Las variaiones en las antidades a utilizar de emento, tierra y agua, modifian las propiedades del elemento. Estos bloques, además de ser de bajo osto, tienen otra ventaja interesante de destaar que es el uso de la tierra que, al mismo tiempo de ser una material fáil de obtener, tiene un impato eológio muy importante ya que, por ejemplo, para la oión de ladrillos erámios omunes se quema leña, lo que provoa daños al medioambiente. Además es importante destaar que en la onstruión, el osto del flete es alto. Usando la tierra del lugar donde se planea onstruir se ahorra dinero. 3. METODOLOGÍA Como primera instania se obtuvo, según indiaiones de la administraión de la omuna, de los lugares de donde era posible etraer tierra, dos muestras de suelo de setores diferentes del área de estudio. Las mismas fueron sometidas a ensayos, llevados a ado en el Laboratorio de suelos de la Faultad de Cienias Eatas y Tenología de la Univer- 3 Informes de la Construión, Vol. 63, 54, 43-48, otubre-diiembre 11. ISSN: eissn: doi: /i

4 J. M. Mas, C. Kirshbaum Tabla 1 Límite líquido, límite plástio e índie de plastiidad de las muestras de suelo etraídas SUELO Muestra N 1 Muestra N Límite líquido 38,8 No plástio Límite plástio 1, No plástio Índie de plastiidad 17,8 No plástio sidad Naional de Tuumán, on el fin de determinar su límite plástio, límite líquido y su índie de plastiidad. En Tabla 1 pueden verse los resultados obtenidos. Una vez onoidas las araterístias de los suelos, se fabrió probetas de suelo-emento, haiendo dosifiaiones on la mezla de las dos muestras a la vez y on ada una por separado, mezlando los materiales en volúmenes aparentes en estado seo, adiionando la antidad de agua neesaria para obtener una mezla de bajo tenor de humedad y de aspeto asi seo. la prueba de absorión. La misma se llevó a abo sumergiéndolas ompletamente en agua a temperatura ambiente, tomando la letura de su peso en el tiempo estableido por norma IRAM Nº 1588 (7). La Tabla resume lo anteriormente epuesto. 4. RESULTADOS 4.1. Resistenia a la ompresión Los datos obtenidos muestran que el aumento de la resistenia a la ompresión responde a dos variables, por un lado al aumento de la presión de fabriaión y por otro al aumento de la proporión de tierra de la muestra 1 on respeto a la de la muestra. Así se tiene que on una dosifiaión igual a 1:8: y a 5 Kg/m omo presión de fabriaión, se obtiene una resistenia a la rotura de 41,9 Kg/ m. Al mantener la misma dosifiaión y aumentar la presión de fabriaión hasta los 1 Kg/m eiste un inremento de resistenia a la rotura de alrededor del 15,9% on respeto al valor anterior, es deir que se eleva hasta los 48,6 Kg/m. Luego de elaboradas las mezlas, se llenaron probetas ilíndrias de 6 m de diámetro y se las sometió a dos presiones distintas de fabriaión: 5 Kg/m y 1 Kg/m. Para ada una de las variables utilizadas se realizaron 6 probetas. A los 8 días, y luego del proeso de seado, 5 de ada grupo, fueron sometidas a la ompresión on una prensa manual, reservando la restante de ada serie para realizar Tabla Al variar la dosifiaión y utilizar una igual a 1:7:3, se mantuvo la misma tendenia, es deir hubo un inremento de la resistenia a la rotura onforme aumenta la presión de fabriaión. Para 5 Kg/m de presión de fabriaión, el valor de la resistenia a la rotura fue de 3,6 Kg/m, mientras que para 1 Kg/m, 34,8 Kg/ m, lo que muestra un inremento del 6,7% la resistenia de la segunda ontra la primera. Cantidad de probetas realizadas según distintas dosifiaiones y presiones de fabriaión Dosifiaión Presión de Cemento Muestra 1 Muestra fabriaión (Kg/m ) Fabriadas Cantidad de probetas P/ensayo de Compresión P/ensayo de Absorión / / / / / / / / Informes de la Construión, Vol. 63, 54, 43-48, otubre-diiembre 11. ISSN: eissn: doi: /i.1.48

5 Ensayos de resistenia a la ompresión de bloques de suelo emento Test of resistane to ompression of soil-ement bloks Al utilizar una mezla de dosifiaión igual a 1:6:4, manteniendo onstantes las mismas presiones de fabriaión, se obtuvieron resistenias a la rotura on valores de 8,3 Kg/m y 3,7 Kg/m, lo que representa un inremento de 15,5%. Los mejores resultados se obtuvieron on la muestras de suelo número 1, ya que la resistenia a la ompresión siempre es mayor en las probetas fabriadas on ella. Así se tiene que para una dosifiaión 1:1 de la muestra 1, se obtienen, a 5 Kg/m de presión de fabriaión, 59,5 Kg/m, mientras que la misma dosifiaión y presión de fabriaión pero on muestra del suelo tipo, nos da 3,8 Kg/m de resistenia. En el aso de utilizar una dosifiaión de 1:8, se obtiene 75,4 Kg/m para el suelo 1 y 39,8 Kg/m para el suelo. Cabe alarar que, si se mantienen las dosifiaiones y se aumenta la presión de fabriaión, aumenta también la resistenia a la rotura. Es así que una dosifiaión de 1:1 a 1 Kg/m, nos da una resistenia de 64,9 Kg/m para el suelo 1 y de 3,4 Kg/m para el. Por último, on una mezla de 1:8 a 1 Kg/m, se obtuvo, para el suelo 1, un valor de 85,1 Kg/m y para el suelo, de 4,5 Kg/m. Como era de esperar y omo puede entenderse por los resultados obtenidos, a medida que aumenta la proporión de emento on respeto a la tierra, aumenta también la resistenia a la ompresión, sin importar la muestra utilizada ni la presión de fabriaión. Las Tablas 3 y 4 resumen lo antediho. 4.. Absorión Debido a la absorión de agua, todas las probetas, sin importar la mezla on las que fueron realizadas ni la presión a la que fueron sometidas durante la fabriaión, registraron un aumento de su peso, dependiendo la antidad de agua absorbida del tipo de mezla y la presión de fabriaión. Es así que se obtuvo omo valor máimo, a las 4 horas de sumergida la probeta, un inremento del 1,9% del peso de la probeta en estado seo, mientras que el valor mínimo, registrado al minuto fue de 1,%. La tendenia general india que a mayor presión de fabriaión se obtiene un menor porentaje de absorión de humedad, sin importar la dosifiaión que se utilie. Esto puede epliarse por el heho de que al someter a una mezla durante la fabriaión a una presión mayor, se obtiene una probeta on mayor grado de ompaidad, es deir on menor porentaje de vaíos, por lo tanto on menor apaidad de absorber agua. Así se tiene que las probetas fabriadas on la mezla A disminuyen su absorión en un 9% aproimadamente, uando su presión de fabriaión varía de 5 Kg/m a 1 Kg/m. Para el aso de la mezla B, los resultados muestran la misma tendenia ya que la absor- Tabla 3 Resistenia promedio a la rotura, según dosifiaión y presión de fabriaión para mezlas realizadas on ombinaión de las dos muestras a la vez. Dosifiaión Presión de (Kg/m ID ) Probetas fabriaión Cto M1 M Promedio (Kg) A 1 8 5, 41,9 41, 38,5 4,5 43, 44,5 B , 3,6 3,7 3, 33, 33, 34, C , 8,3 7,5 7, 8, 8,7 3, D 1 8 1, 48,6 47,5 48, 49, 48, 5, E , 34,8 34,7 35,5 35, 34, 34,7 F , 3,7 3,5 31,7 31, 33,5 34,5 Tabla 4 Resistenia promedio a la rotura, según dosifiaión y presión de fabriaión para mezlas de una sola muestra por vez. Dosifiaión Presión de (Kg/m ID fabriaión ) Probetas Promedio Cto M1 M (Kg) G 1 1 / 5, 59,5 6, 61, 57,5 57,5 61, H 1 / 1 5, 3,8 8,7 3,5 3, 38,5 34,5 I 1 8 / 5, 75,4 71, 78,7 74,9 77,9 74,4 J 1 / 8 5, 39,8 36, 39, 4, 41, 4,5 K 1 1 / 1, 64,9 65, 63,7 6, 65, 68,7 L 1 / 1 1, 3,4 31, 3,7 33,7 3,5 34, M 1 8 / 1, 85,1 86,4 91, 81, 74,4 9,4 N 1 / 8 1, 4,5 43,7 41, 46,7 39, 41,7 ión también disminuye, en este aso en un 16% aproimadamente. Para la mezla C se observó una disminuión del orden del 17%. Si analizamos la tendenia para pobretas fabriadas on suelos de una sola muestra por vez, se tienen una disminuiones aproimadas del 5% para la mezla G, % para la H, 3% para la I y 19% para la J. Las letras que identifian a ada mezla, orresponden al ID utilizado en Tabla 4. Ver Figuras 4 y 5. CONCLUSIONES Los resultados obtenidos demuestran que: A medida que aumenta la presión a la que son sometidas las probetas de suelo-emento durante el proeso de fabriaión, aumenta también su resistenia a la ompresión mientras que la absorión disminuye. Informes de la Construión, Vol. 63, 54, 43-48, otubre-diiembre 11. ISSN: eissn: doi: /i

6 J. M. Mas, C. Kirshbaum 4. Variaión de la absorión en funión del tiempo de inmersión para dosifiaiones que utilizan mezlas de las dos muestras a la vez. 5. Variaión de la absorión en funión del tiempo de inmersión para mezlas que utilizan una sola muestra por vez. Las dosifiaiones en las uales se aumenta la relaión entre la antidad de suelo 1 y la de suelo se produe un aumento de la resistenia a la rotura, sin importar la presión de fabriaión. Los mejores rendimientos se obtuvieron utilizando para la fabriaión de las probetas, morteros realizados on la muestra de suelo 1. Se reomienda no utilizar para este aso partiular mezlas de los dos suelos, ya que las resistenias obtenidas son menores que se si utiliza el suelo 1 solamente. neesidades de resistenia y eonomía es la mezla K (ver Tabla 4), por lo que será utilizada para la fabriaión de los bloques de suelo emento que se utilizarán en la onstruión del prototipo propuesto. RECONOCIMIENTOS Este trabajo se realiza en el maro del proyeto PICTO 4 Nº 87 finaniado por la Universidad Naional de Tuumán y la Agenia Naional de Promoión Científia y Tenológia, Argentina. 4 5 El suelo utilizado por separado no da buenos resultados en uanto a las resistenias a la ompresión logradas. Otra desventaja es que en general absorben una mayor antidad de agua, lo que disminuiría aun más su resistenia. Si omparan los valores obtenidos en las diferentes mezlas realizadas, puede determinarse que, la que mejor se adapta a las Las tareas de laboratorio se realizaron en las instalaiones del Centro Regional de Investigaiones de Arquitetura de Tierra Cruda (CRIATiC), de la Faultad de Arquitetura y Urbanismo de la Universidad Naional de Tuumán. Un agradeimiento espeial al Arq. Rafael Mellae (Diretor del CRIATiC) y al Ing. Carlos Alderete (Integrante del CRIATiC), por permitirnos usar sus instalaiones. BIBLIOGRAFÍA (1) Mas, J.: Análisis de Viviendas en un Área Rural de la Provinia de Tuumán. En: Tereras Jornadas de la Asoiaión Argentino Uruguaya de Eonomía Eológia ASAUEE. Tuumán, Argentina. 7, 1 p.s () Tonello, G.; Mas, J.; Raitelli, M.; Kirshbaum, C.: Fatores Ambientales en Viviendas de una Zona Rural y su Efeto en las Personas. En: V Congreso de Medio Ambiente. La Plata, Buenos Aires, Argentina, 7, 15 p. (3) Mas, J.: Prototipo de Vivienda para un Área Rural de la Provinia de Tuumán. En: Segundas Jornadas de Jóvenes Investigadores. Tuumán, Argentina. 8, 15 p. (4) Arias, L.; Alderete, C.; Mellae, R.: Variaión de la Resistenia del BTC según distintos Estados Hídrios. En: 3 er Seminario Iberoameriano de Construión on Tierra. 4. Vol. I, pp. 35: 44. (5) Arias, L.; Alderete, C.; Gonzalo, G.: Comportamiento T-H de bloques omprimidos de suelo emento. En: 1 er Seminario Eposiión: La tierra ruda en la onstruión del hábitat. Tuumán.. 1 p. (6) CECOVI: Tierra, Tenología y Casa Propia. Revista de la Faultad Regional Santa Fe-UTN, n.º 14. Proyeto Aldeas Rurales Esolares (FUNDARE-UTN). [En-línea]. 4. [Feha de onsulta: 15 de otubre de 9]. Disponible en: vivienda-tierra.htm. (7) IRAM 1588: Capaidad de absorión de agua por inmersión en agua fría. 198, 1 p. * * * 48 Informes de la Construión, Vol. 63, 54, 43-48, otubre-diiembre 11. ISSN: eissn: doi: /i.1.48

7 Problemas asoiados al equilibrio en estruturas de membrana on bordes rígidos y ables Informes de la Construión Vol. 63, 54, 49-57, otubre-diiembre 11 ISSN: -883 eissn: doi: /i.1.44 Equilibrium problems in membrane strutures with rigid and able boundaries G. Viglialoro (*), J. Muria (**) RESUMEN Este trabajo aborda el análisis del equilibrio de una membrana on bordes rígidos y ables de borde para la fase de pretensado. La idea de utilizar las membranas en apliaiones omo las pasarelas, una nueva tenología que está siendo desarrollada en España, implia niveles más altos de responsabilidad y de esfuerzos, requiriendo así un análisis estrutural ajustado. La membrana y sus bordes se identifian, respetivamente, a una superfiie on urvatura de Gauss negativa y a urvas uya urvatura depende de las araterístias estruturales de los bordes. El equilibrio se epresa mediante problemas de ontorno on euaiones en derivadas pariales, en términos de la forma de la membrana y de su tensor de esfuerzos, así omo de la forma y las argas de los bordes. En partiular, el equilibrio asoiado a un able de borde lleva a una ondiión de frontera muy singular que difiulta un tanto el análisis. A partir de ello, aben dos enfoques omplementarios, llamados problema direto y problema dual. Se definen y analizan ambos problemas de ontorno, estudiando sus prinipales aspetos ualitativos. Asimismo, on el objetivo de obtener resultados prátios, se propone un proedimiento general de resoluión numéria para el problema direto. SUMMARY This paper presents the equilibrium analysis of a membrane with rigid and able boundaries for the so alled prestressing phase. The idea of using membranes in Civil Engineering appliations suh as footbridges, a new tehnology being developed in Spain, implies higher strutural responsibility and more aurate analysis proedure. The membrane and its boundary are respetively identified to a regular and negative gaussian urvature surfae and a set of regular urves whose urvature depends on the strutural elements, rigid or able. Equilibrium is diretly epressed by means of boundary differential problems, in terms of the membrane shape and its stress tensor. We must outline that membrane-able interfae equilibrium leads to take into aount a singular ondition that makes the problem more diffiult. Therefore, starting from the equilibrium equations, two dual problems an be onsidered namely diret problem and dual problem. Both problems will be defined and analyzed, studying their prinipal qualitative aspets. Partiularly, for the diret problem a numerial resolution proedure is proposed, in order to obtain pratial results Palabras lave: Membrana; Pasarela; Borde rígido; Cable de borde; Problema direto; Problema dual. Key-words: Membrane; Footbridge; Rigid boundary; Boundary able; Diret problem; Dual problem. (*) Universidad de Cádiz (UCA), (España) (**) Instituto de Cienias de la Construión Eduardo Torroja (CSIC), España Persona de ontato/corresponding author: giuseppe.viglialoro@ua.es (G. Viglialoro) Feha de reepión: Feha de aeptaión: 3-1-1

8 G. Viglialoro, J. Muria 1. Esquema de pasarela de membrana on ables de borde. 1. INTRODUCCIÓN Este trabajo estudia el equilibrio bidimensional y ontinuo (superfiie) de una membrana, en la fase de pretensado (esto es, uando la misma se enuentra preparada para la fase de serviio), on bordes rígidos y ables de borde. Así, se onsidera el equilibrio de la membrana diretamente para la forma que resulta al ser pretensada. La idea de utilizar membranas en nuevas apliaiones de ingeniería ivil omo las pasarelas implia, on relaión a otros usos, una gran responsabilidad estrutural y mayores esfuerzos, debidos a las argas de uso, a la forma muy rebajada de la membrana y al fuerte pretensado preiso para alanzar la rigidez requerida. En onseuenia, hae falta un adeuado análisis bidimensional. En este onteto, se está desarrollando en España una nueva tenología de pasarelas (1). El problema del pretensado está relaionado on los bordes de la membrana, elementos unidimensionales definidos por líneas en el espaio. Los ables de borde son urvos, definidos por urvas que perteneen a la superfiie de la membrana y, para mantener todo a traión, su urvatura ha de estar orientada haia el eterior de la misma, tal omo muestra la Figura 1. Los bordes rígidos, apaes de trabajar a fleión, admiten ualquier forma. Sin embargo, tal omo se verá, el equilibrio en la interfaz able-membrana implia que los ables de borde no puedan adoptar ualquier forma. 1 La onsideraión de bordes rígidos y ables de borde implia definir un problema más general que el analizado en el artíulo (). Como se verá, esto lleva a ompliaiones importantes, tanto en términos de la formulaión del problema omo de su resoluión. Siguiendo la línea de diho trabajo, los esfuerzos de la membrana se identifian on un tensor positivo de segundo orden y la forma on una superfiie on urvatura de Gauss negativa. Así, es posible definir el equilibrio por medio de euaiones difereniales en derivadas pariales, una de las uales inluye los produtos de variables asoiadas a la forma de la membrana y al tensor de esfuerzos. Por tanto, si se fija el tensor de esfuerzos, puede onsiderarse el denominado problema direto y, de modo omplementario, el problema dual si lo que se fija es la forma de la membrana. Con relaión al equilibrio, si bien es ierto que las orrespondientes euaiones en membranas son las mismas del análisis de los estados de membrana en láminas, euaiones bien onoidas (véanse, por ejemplo, la referenia (3)), también lo es que los problemas que se plantean son absolutamente diferentes, tal omo se eplia en el trabajo (). Como se ve en este trabajo, diretamente del equilibrio por sí solo se pueden deduir bastantes osas y, en partiular, la forma de la membrana (uando se fijan los esfuerzos), sin tener que onsiderar deformaión alguna. Lo mismo suede en el Método de la Densidad de Fuerzas, unidimensional (red superfiial de ables en el espaio), basado elusivamente en euaiones de equilibrio (4). Una vez estableidas las euaiones de equilibrio interno para la membrana, es neesario definir las ondiiones de frontera. Como se omentó antes, este trabajo es la ontinuaión natural del artíulo (), porque generaliza el mismo problema onsiderando ables de borde además de bordes rígidos. Además, los ables de borde llevan a una formulaión matemátia de los problemas direto y dual que se omplia sensiblemente on respeto al aso de bordes rígidos (véase, una vez más, la referenia ()). Esto tiene muho que ver on el heho de que, preisamente, able (1D) y membrana (D) son estruturas singulares que no tienen rigidez propia (se la onfiere la traión). Finalmente, una vez definidos rigurosamente los dos problemas, se estudian sus respetivos análisis ualitativos. Además, para el problema direto se presenta un proedimiento numério apaz de proporionar una buena estrategia de resoluión. Este método se aplia a un aso real, la pasarela onstruida omo prototipo (1), que se toma omo referenia para evaluar los resultados. Por otro lado, se haen algunas onsideraiones sobre los aspetos matemátios del problema dual.. Euaiones de equilibrio en la membrana Identifiquemos la membrana on una superfiie S on urvatura de Gauss negativa. En partiular, S es la gráfia de una funión z(,y), definida en un dominio aotado D del plano y, tal que Z,y Z,yy Z,y < 5 Informes de la Construión, Vol. 63, 54, 49-57, otubre-diiembre 11 ISSN: eissn: doi: /i.1.44

9 Problemas asoiados al equilibrio en estruturas de membrana on bordes rígidos y ables Equilibrium problems in membrane strutures with rigid and able boundaries (la Figura idealiza un elemento diferenial de membrana ds y su orrespondiente proyeión dd en el plano -y, así omo los relativos esfuerzos de membrana y proyetados, respetivamente Ñ αβ y N αβ, on α,β =1,) Esfuerzos proyetados Esfuerzos de membrana Ñ yy Como se sabe, el peso de la membrana es muy bajo y, en general, puede despreiarse para la fase de pretensado; más en partiular para altos esfuerzos de pretensado omo es el aso. Entones, en esta fase no se onsiderará ninguna arga así que las euaiones de equilibrio serán homogéneas. Este aspeto no modifia la naturaleza del problema y es muy interesante desde el punto de vista del diseño (véase () para los detalles). De esta forma, si σ = N αβ (α,β = 1,) india el tensor de esfuerzos proyetados, definido en D (esto es, fuerza por unidad de longitud), las euaiones de equilibrio son [1]: N, + N y,y = equilibrio en la direión, N y, + N yy,y = equilibrio en la direión y, [1] N z, + N y z,y + N yy z,yy = equilibrio en la direión z, Finalmente, la utilizaión de la funión de Airy H, tal que []: H, = N yy H,y = N y H,yy = N [] permite reduir el sistema [1] a la euaión: H, z,yy - H,y z y + H,yy z, = [3] De esta forma, si se fija un tensor positivo σ la funión z tiene que resolver una euaión elíptia. Al ontrario, una vez que se dé una superfiie on urvatura de Gauss negativa, la funión H ha de resolver una euaión hiperbólia (5). Se pueden así definir dos problemas omplementarios, el problema direto (se fijan los esfuerzos) y el problema dual (se fija la forma de la membrana). 3. Euaiones de equilibrio en el borde Con el objetivo de definir apropiadamente las ondiiones de frontera para el problema direto y el problema dual, analiemos las orrespondientes euaiones de equilibrio de borde. Como ya se dijo, en este trabajo se analizarán ambos tipos de borde, rígido y able; más en partiular, en esta seión nos dediaremos a estudiar las diferenias estruturales que los definen, onluyendo que la forma de un able depende estritamente de la forma de la membrana, mientras que el borde rígido puede asumir ualquier forma. z O y Identifiquemos el borde de la membrana on una urva espaial C; si Ñ αβ (α = 1, y β = 1,) india el tensor de esfuerzos sobre la membrana S y f = (f 1,f,f 3 ) la fuerza de borde repartida sobre C (esto es, fuerza por unidad de longitud), resulta, al imponer el equilibrio, que f es ortogonal al vetor normal N de la superfiie S a lo largo del ontorno (para los detalles, véase la tesis (6)). Además, siempre en (6), se omprueba que las euaiones de equilibrio para el borde tridimensional C se reduen en las orrespondientes para el borde plano = D, proyeión horizontal de C. En este sentido, si f = (f 1, f ) india la fuerza proyetada a lo largo de (fuerza por unidad de longitud), σ = N αβ el tensor de los esfuerzos proyetados y n = (n 1,n ) el vetor normal (unitario) eterno a, el equilibrio de borde puede esribe omo N αβ n β = f α (on α = 1 y ), sobre [4] 3.1. Euaiones de equilibrio para el borde rígido En el aso en que se onsideren sólo bordes rígidos, el equilibrio se redue simplemente al sistema [4], tal y omo se analiza en (). Por ejemplo, si la forma del borde rígido r en el plano horizontal -y está definido por retas vertiales, así omo se hará más adelante para propósitos prátios (véase la Figura 4), el sistema [4] se esribe omo: N = f 1 sobre r N yy = f sobre r d D [4] De esta forma, el mismo sistema [4] permite obtener f una vez que se fije N αβ y vieversa. d S N y N yy N y Ñ y Ñ y Ñ N. Esfuerzos de membrana y proyetados. Informes de la Construión, Vol. 63, , otubre-diiembre 11 ISSN: eissn: doi: /i

10 G. Viglialoro, J. Muria y Cable Además, es posible omprobar que la última euaión se epresa omo: (P h ) = P z, + (y P ) z,y [6] P() P(+d) N y Por otra parte, por medio de un simple álulo (véase (6), para los detalles), se podría argumentar que la euaión [6], onsiderando una vez más también el sistema [5], es equivalente a N z, + y z,y + y z,yy = [7] N y O N yy Membrana 3 Esta última relaión, que representa la euaión de ompatibilidad entre el able y la membrana, implia que la fuerza repartida f no sólo es ortogonal a la normal N a la superfiie S sino que pertenee al plano osulador de la urva C. 3. Interfaz able-membrana (P representa la proyeión de P ). 3.. Euaiones de equilibrio para el able de borde Si parte del ontorno de la membrana está ompuesto por un able de borde, en el sistema [4] la fuerza orrespondiente f se epresa tanto en términos de la tensión omo de la forma del mismo able. Identifiquemos el able on una urva C = (, y(), h()) siendo h() = z (, y()) la forma espaial del mismo able,obtenida levantando el able proyetado y() por medio de la membrana z(,y). La tensión del able es el vetor tangente epresado por P = donde P representa el valor de la tensión. De esta forma, la omponente de P es ~ P P =, 1 + y' + h' que utilizaremos a ontinuaión. Con referenia a la Figura 3, es posible omprobar que el sistema [5]: P = N y - y N, (P y ) = N yy - y N y, ~ P (1, y', h'), 1 + y' + h' [5] representa el equilibrio plano able-membrana; este último sistema es un aso partiular del sistema [4]. Por lo que se refiere al equilibrio en la direión z, al tener en uenta el sistema [5], se puede verifiar que el equilibrio vertial able-membrana se simplifia en la euaión (P h ) = z, y N + z, N y y N y z,y + z,y N yy Para omprobarlo, si N es el vetor unitario normal a S, y t y n aquellos tangente y normal al able C, es sufiiente imponer que los vetores t y n son ortogonales a N. Siendo t proporional a (1,y,z, +z,y y ), n a (,y,z, + y z,y + y z,yy + y z,y ) y N a (z,, z,y, 1), se debe de umplir z, + y z,y +y z,yy = En este trabajo, al tenerse en uenta los ables de borde, se utilizará el siguiente sistema para epresar el equilibrio able-membrana [8]: P =N y -y N (equilibrio en la direión ) (P y )=N yy -y N y (equilibrio en la direión y) [8] (P h )=P z, +(y P ) z y (equilibrio en la direión z) Al revés, la tesis refereniada en [8] analiza el mismo problema partiendo del sistema anterior en el que se sustituye su última euaión por la epresión [7]. 4. El problema direto: definiión y propiedades En esta seión definiremos y analizaremos el problema direto, proponiendo, además, un proedimiento numério para el álulo aproimado de su soluión. Problema direto Con referenia al equilibrio epresado por el sistema [1], sea N αβ un tensor positivo y simétrio del segundo orden tal que N + N N + = =, y, y N y N,, yy, y = αβ β β = 1 a = 1, en un domino aotado D del plano -y. Hallar la superfiie z, definida en D, de manera que 5 Informes de la Construión, Vol. 63, 54, 49-57, otubre-diiembre 11 ISSN: eissn: doi: /i.1.44

11 Problemas asoiados al equilibrio en estruturas de membrana on bordes rígidos y ables Equilibrium problems in membrane strutures with rigid and able boundaries z, N + z,y N y + z,yy N yy = en D, z = g sobre r [9] (P h ) = P z, + (y P ) z,y sobre siendo h() = z(,y()) la forma espaial del able, r la parte del ontorno de D ompuesto por bordes rígidos, la orrespondiente a los ables de borde, y g(y) el valor de z a lo largo del mismo borde rígido r. Debido a la segunda ondiión de frontera, el anterior no es un típio problema elíptio on ondiión usual de Dirihlet o Dirihlet- Neumann (véanse (7, 8)). En la tesis (6), se omprueba por medio de rigurosos resultados matemátios la uniidad de la soluión. En el siguiente apartado, se propondrá un método numério útil para el álulo aproimado de la soluión; no obstante, hay que matizar que argumentar la eistenia del mismo sistema [9] no paree ser del todo inmediato. Por supuesto, si el borde de la membrana es totalmente rígido (esto es = φ), el sistema [9] se redue a un problema de Dirihlet, ya profundizado en el trabajo (). Antes de desarrollar el método de resoluión del problema direto, es oportuno matizar algunos aspetos relativos al sistema [8]. En partiular, tal y omo manifiestan las euaiones de equilibrio que lo definen, es posible alular, a partir de los esfuerzos N αβ la forma del able de borde proyetado y() que, juntamente on el borde rígido r permite fijar el dominio D (véase Figura 4). De la misma forma, es posible alular P, omponente de la tensión del able en la direión, a partir de un ierto valor P onoido. No obstante, la forma espaial del able (epresada por la funión h() es una inógnita del problema, que se obtiene al onoer la forma de la membrana z(,y) Método de resoluión para el problema direto Las ondiiones N,, (α=1,) permiten 1 esribir el sistema [9] en la siguiente forma divergenial [1]: div(σ z) = en D z = g sobre r [1] (P h ) = P z, + (y P ) z,y sobre Este último sistema será el punto de partida para el análisis del problema direto. ondiión de frontera lásia, de tipo Dirihlet) [11]: div(σ z) = en D z = g sobre r [11] z = h sobre y, por otro, la euaión [1]: (P h ) = P z + (y P ) z,y sobre [1] Una vez fijada una malla para D, indiquemos on n t el número total de nodos en D, n r el número total de nodos sobre r y n el número total de nodos sobre. Si on N j nos referimos a las funiones de forma lineales, reemplazando las orrespondientes aproimaiones z j=1 zj N j y h j=1 hj N j en el n t n sistema [11], se obtiene el siguiente sistema lineal[13]. T T K A r A z A rt λ r = g A T λ h En la última euaión matriial, z=(z 1,,z t ) g=(g 1,,g r ) y h=(h 1,,h ) indian el vetor nodal de z en D, de g sobre de h sobre, k la matriz de rigidez, A γ y A C las matries de los Multipliadores de Lagrange, y λ γ y λ los vetores de los Multipliadores de Lagrange. Sea, ahora, z la soluión del sistema [13]: puede esribirse z = Hh+Gg siendo H M nt, n (R) y G M nt, n (R) Además, teniendo en uenta la euaión [1], puede onsiderarse la euaión n dimensional, definida por [ P' z + ( y' P)' z ( Ph')'] Nd =,, y i i=1,,3, n Reemplazando, igual que antes, las aproimaiones n t n z j z j N 1 j y h j h j N 1 j e integrando por partes, se obtiene la epresión: nt z [ N P' + N ( y' P)'] Nd + h PN' N' d =, j j, jy, i j j i j= 1 j= 1 [13] [14] [15] n A ontinuaión, utilizando el Método de los Elementos Finitos (véanse, por ejemplo, (9, 1), se propondrá una ténia apaz de proporionar la soluión aproimada del sistema [1]. Finalmente, definiendo, M = [ N P' + N ( y' P)'] Nd ij j, j, y i i=1,,3, n Reesribamos el problema [1], onsiderando por un lado el sistema reduido (on y W = PN' N' d ij j i Informes de la Construión, Vol. 63, , otubre-diiembre 11 ISSN: eissn: doi: /i

12 G. Viglialoro, J. Muria 4. Planta de la pasarela analizada. se onviene al siguiente sistema Mz + Wh = en el que M M n, n t (R) y W M n, n (R) Comparando los sistemas [14] y [16], se obtiene la siguiente epresión para la soluión: h = (MH + W) -1 MGg siendo h el vetor nodal de z a lo largo de, que nos proporiona una aproimaión tridimensional de la forma del able. De la misma manera, es posible obtener la soluión z, z = Hh + Gg [16] [17] [18] siendo, ahora, h el vetor nodal de z en D, que nos proporiona una aproimaión tridimensional de la forma de la membrana. 4.. Un ejemplo onreto de problema direto Apliquemos el proedimiento numério previamente analizado para resolver el aso de la pasarela peatonal onstruida en España. Es importante omentar que el aso presentado en el ejemplo que sigue es asi igual, pero no eatamente, al llevado a abo en la realidad. Ello es debido a que, reordando que se trata de enontrar la forma de la membrana (y de los ables de borde), el método de álulo para ello en el aso real fue aproimado. Así, las formas por una y otra vía no pueden ser idéntias y, en onseuenia, ambos asos tampoo pueden serlo, solamente bastante aproimados. En efeto, en el aso real, se realizó una aproimaión analítia, ajustando epresiones para los esfuerzos y las formas de membrana (superfiie) y ables de borde a todas las euaiones de equilibrio ya vistas; uya soluión, aproimada pero bastante preisa, impliaba valores de los esfuerzos de membrana en las direiones de los ejes asi onstantes pero no eatamente véase (1). Por su parte, aquí se aplia el itado proedimiento y, omo de todos modos no puede obtenerse un aso idéntio, se simplifia fijando esfuerzos de membrana onstantes, muy aproimados a los anteriores (valores diferentes en las direiones de los ejes). Datos para el ejemplo Todas las longitudes (, y, z, así omo las longitudes en las figuras) se epresan en metros. El dominio D tiene la forma mostrada en la Figura 4: D:={(,y) R tal que -a a y -y() y y()} siendo a=5 m e y= obtenida resolviendo el sistema [5]. Las ondiiones sobre el borde rígido y el tensor de esfuerzos son: 17 1 g ( y ) y (11 y ) forma r f o r m de a de z a zlo a largo lol a r de g o de r 8 6 N 1 kn / m, N y kn / m, N yy 4 kn / m. De esta forma, el sistema [5] se resume en P ' 1y', ( P y ' )' 4. : 8 65 Integrando, usando la simetría e imponiendo y(±5) = y y() = 1 y y(±5) = - y y() = 1,se obtienen las dos elipses, ε + y ε - Esogiendo las ramas adeuadas de ε + y ε - (gráfia (a) de la Figura 5), es natural fijar e D:={(,y) ( y ) 1 y : ( y ) y ( ) 4 5 R tal que a a y -y() y y()} (la gráfia (b) de la Figura 5 representa una malla ompuesta por 477 nodos). y Direión de paso r Borde rígido (proyeión) O r Cable de borde (proyeión) 4 54 Informes de la Construión, Vol. 63, 54, 49-57, otubre-diiembre 11 ISSN: eissn: doi: /i.1.44

13 Problemas asoiados al equilibrio en estruturas de membrana on bordes rígidos y ables Equilibrium problems in membrane strutures with rigid and able boundaries En estas ondiiones, hay que resolver el sistema Método Iterativo del Punto Fijo (7,8), ajustando paso a paso una ierta forma iniial h, de manera que en el límite se satisfagan todas las euaiones del mismo sistema [9]. 5. Dominio D esogido para el ejemplo del problema direto. Sub-figura (a): Cables de borde (ramas de elipse). Sub-figura (b): Malla de 477 nodos para el dominio D. Las gráfias (a) de las Figuras 6 y 7 representan los resultados numérios obtenidos, tomando omo punto más bajo de la membrana (esto es, el etremo (-5,) el origen de las medidas. Estos resultados han sido alulados ejeutando un programa en MATLAB, basado en la utilizaión de elementos uadriláteros lineales (es posible enontrar los detalles del método en la tesis (6) y ε + Como ya se ha omentado anteriormente, el aso ahora analizado no se orresponde a aquél real estudiado en el trabajo (1). A pesar de ello, omparando sendas soluiones obtenidas, es posible onfirmar que las mismas son del todo oherentes. De heho, por ejemplo, la fleha del able alulada en el aso real es de,31 m, ontra el valor de,3 m obtenido por medio del método numério aquí propuesto. Aparte ello, también es posible analizar la omponente de la tensión del able P. En feto, debido a la relaión P = -1y imponiendo por ejemplo P P ( ) 55 kn, se obtiene la epresión 11 P Finalmente, abe subrayar que el proedimiento utilizado presenta una ierta inestabilidad numéria. De heho, la gráfia (a) de la Figura 6 muestra que la soluión numéria para el able h=h() varía en términos del número de nodos utilizados; en partiular, no es posible observar un omportamiento estritamente monótono para la soluión. Esto paree estar relaionado on la formulaión del problema y no tanto on la aproimaión de elementos finitos empleados. En efeto, analizando en detalle las euaiones de equilibrio, podemos notar que en el sistema [9] se fuerza a la inógnita z a que verifique en el borde una euaión del mismo orden que la que ha de umplirse en el interior del dominio, siendo lo usual que en la frontera la inógnita umpla ondiiones de órdenes inferiores. Una posible alternativa para la resoluión, sobre la que los autores están trabajando, se basa en busar la forma final del able h mediante el Problema dual: definiión y propiedades ε En este apartado se definirá y analizará el problema dual. Problema dual Con referenia al equilibrio epresado por el sistema [1], sea S = (,y,z (,y) ) una superfiie on urvatura de Gauss negativa. Al resolver la euaión [7] se obtiene una funión y() que define el able de borde proyetado, indiado on. Si on f = f(y) se denota la fuerza sobre el borde rígido r, hallar el tensor de esfuerzos σ = N αβ en el dominio D, tal que 5a 5b Informes de la Construión, Vol. 63, , otubre-diiembre 11 ISSN: eissn: doi: /i

14 G. Viglialoro, J. Muria z 1.4 Nodos totales: 18 z 1.4 Nodos totales: 45 Nodos totales: Nodos totales: 6 Nodos totales: a 6b y ' ( ) 1.5 que se redue a 5 5 z, yy z, z, yy, a. Soluión numéria alulada usando 137 nodos; proyeión vertial del able. 6b. Soluión numéria de h = h(); proyeión vertial del able en términos del número de nodos. N, N y, y = en D, N, N y, y = en D, z, N z, y N y z, yy N yy = en D, N n = f sobre r (on = 1,), ( P h' )' P' z, 7. Pasarela real y gráfia de su forma alulada numériamente Sub-figura (a): Soluión numéria z = z(,y). Como ya se omentó, esta relaión, junta on las del sistema [5], es equivalente a (Ph ) = P z, + (y P) z,y m ( y ' P )' z, y sobre, siendo h() = z(,y () ) [] Reordando la euaión [3] en términos de la funión de Airy, se puede observar que el sistema [] es de tipo hiperbólio. Debido a ello, el enfoque dual es, en general, un problema mal planteado (5). Además, al analizar las urvas araterístias de la euaión de equilibrio de membrana H, z,yy - H,yz,y + H,yyZ, = se obtiene la euaión diferenial (ordinaria) 56 z,y z, + y z,y + y z,yy = z, y Todo ello implia que en el problema dual las urvas que representan los ables de borde oiniden on las urvas araterístias de la euaión. En este sentido, deberíamos onsiderar un problema hiperbólio on ondiiones de frontera definidas a lo largo de sus urvas araterístias. Tal y omo se detalla en (5), no es siempre posible garantizar la eistenia, uniidad y estabilidad de la soluión para este tipo de problemas. Por tanto, reordando también los asos de bordes rígidos (), en el problema dual las euaiones de equilibrio pueden no ser sufiientes para alular la distribuión de esfuerzos que equilibra la forma previamente fijada; al revés de lo que ourre en el problema direto. En otras palabras, el problema dual no es siempre isostátio. Ahora bien, desde el punto de vista estrutural, está laro que si se onsideraran también las euaiones onstitutivas y de ompatibilidad no nos enfrentaríamos a este tipo de singularidad, obteniendo un problema hiperbólio oherente y bien planteado. En fin, on relaión al problema dual, onviene indiar que en (6) se ofree una asuístia de ejemplos analítiamente resolubles para borde rígido, a partir de algunos resultados propios de la euaión de ondas. Informes de la Construión, Vol. 63, 54, 49-57, otubre-diiembre 11 ISSN: eissn: doi: /i.1.44

15 Problemas asoiados al equilibrio en estruturas de membrana on bordes rígidos y ables Equilibrium problems in membrane strutures with rigid and able boundaries 6. Resumen y onlusiones En este trabajo se ha analizado el equilibrio de una membrana, para la fase de pretensado, en el aso general en que sus bordes están ompuestos por elementos rígidos y ables. Se han formulado las euaiones de equilibrio sobre la superfiie y los bordes de la membrana mediante variables asoiadas a la forma y a los esfuerzos de todos ellos. Así, según el tipo de variables fijadas, se definen dos problemas: el problema direto y el problema dual. Este tipo de análisis riguroso, en el ontinuo bidimensional, está asoiado a los fuertes requisitos estruturales de una nueva tenología de pasarelas on estrutura de membrana que está siendo desarrollada en España. Un aspeto relevante del trabajo es el análisis bidimensional en los bordes, partiularmente en el aso de ables, uya forma, al ontrario que los bordes rígidos, no puede fijarse arbitrariamente a priori. Hay que destaar, en partiular, que el equilibrio en la interfaz able-membrana ondue a una euaión singular, que implia onsiderar un del todo inusual y omplejo problema diferenial de ontorno. Esto se relaiona on el heho de que ahí interaionan preisamente las dos estruturas singulares sin rigidez propia, able (1D) y membrana (D), que no pueden adoptar ualquier forma para estar en equilibrio. Más preisamente, si por un lado es ierto que el problema direto se basa en una euaión diferenial elíptia, por otro la ondiión de ontorno asoiada no es ni de tipo Dirihlet ni de tipo Dirihlet-Neumann. En este sentido, aunque es posible argumentar de forma rigurosa la uniidad de la soluión, no es inmediato demostrar su eistenia. Sin embargo, desde un punto de vista prátio, puede proponerse un proedimiento numério, omo aquí se ha heho empleando el Método de los Elementos Finitos, para la onstruión de la soluión. Además, se ha resuelto un aso partiular de problema direto mediante el método numério y se han omparado sus resultados on un aso real de referenia. La omparaión muestra valores similares y oherentes. Por otro lado, en el método aquí propuesto es posible observar una ierta inestabilidad, debida a la formulaión intrínsea del problema. Finalmente, el problema dual es de tipo hiperbólio, para el ual no siempre es posible proporionar una soluión, únia y estable; esto es, en el problema dual no siempre eiste isostatismo. Pero, además, uando eisten ables de borde, la ondiión de equilibrio entre able y membrana implia que los ables de borde oiniden on las urvas araterístias de la euaión diferenial. Por tanto, el problema dual on ondiiones de frontera definidas a lo largo de dihos ables no es en general matemátiamente admisible. BIBLIOGRAFÍA (1) Muria J.: Tenología de pasarelas on estrutura de membrana. Informes de la Construión; vol. 59, n.º 57, 1-31, 7. () Viglialoro G.; Muria J.; Martínez F.: Problemas asoiados al equilibrio en estruturas de membrana on bordes rígidos. Informes de la Construión; vol. 61, n.º 516, 57-66, 9. (3) Timoshenko S.; Woinowsky-Krieger S.: Theory of Plates and Shells. MGraw-Hill, In., New York, (4) Linkwitz K.: About formfinding of double-urved strutures. Engineering Strutures; vol. 1, pp , (5) Hörmander L.: Linear Partial Differential Operators. Springer, Berlín, (6) Viglialoro G.: Análisis matemátio del equilibrio en estruturas de membrana on bordes rígidos y ables. Pasarelas: forma y pretensado. Tesis dotoral, Universidad Politénia de Cataluña. ISBN: , 6. Depósito legal: B Enlae: (7) Brezis H.: Análisis funional: teoría y apliaiones. Madrid, Alianza Editorial, (8) Gilbarg L.; Trudinger N. S.: Ellipti Partial Diferential Equations of Seond Order. Springer, (9) Hughes T. J. R.: The Finite Element Method. Linear Stati and Dynami Finite Element Analysis. Mineola, New York Dover Publiations, (1) Zienkiewiz O. C.; Taylor R. L.: The Finite Element Method. Butterworth Heinemann,. * * * Informes de la Construión, Vol. 63, , otubre-diiembre 11 ISSN: eissn: doi: /i