Problemas asociados al equilibrio en estructuras de membrana con bordes rígidos y cables

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1 Problemas asoiados al equilibrio en estruturas de membrana on bordes rígidos ables Informes de la Construión Vol. 63, 4, 49-7, otubre-diiembre ISSN: -883 eissn: doi:.3989/i..44 Equilibrium problems in membrane strutures with rigid and able boundaries G. Viglialoro (*), J. Muria (**) RESUMEN Este trabajo aborda el análisis del equilibrio de una membrana on bordes rígidos ables de borde para la fase de pretensado. La idea de utilizar las membranas en apliaiones omo las pasarelas, una nueva tenología que está siendo desarrollada en España, implia niveles más altos de responsabilidad de esfuerzos, requiriendo así un análisis estrutural ajustado. La membrana sus bordes se identifian, respetivamente, a una superfiie on urvatura de Gauss negativa a urvas ua urvatura depende de las araterístias estruturales de los bordes. El equilibrio se epresa mediante problemas de ontorno on euaiones en derivadas pariales, en términos de la forma de la membrana de su tensor de esfuerzos, así omo de la forma las argas de los bordes. En partiular, el equilibrio asoiado a un able de borde lleva a una ondiión de frontera mu singular que difiulta un tanto el análisis. A partir de ello, aben dos enfoques omplementarios, llamados problema direto problema dual. Se definen analizan ambos problemas de ontorno, estudiando sus prinipales aspetos ualitativos. Asimismo, on el objetivo de obtener resultados prátios, se propone un proedimiento general de resoluión numéria para el problema direto. SUMMARY This paper presents the equilibrium analsis of a membrane with rigid and able boundaries for the so alled prestressing phase. The idea of using membranes in Civil Engineering appliations suh as footbridges, a new tehnolog being developed in Spain, implies higher strutural responsibilit and more aurate analsis proedure. The membrane and its boundar are respetivel identified to a regular and negative gaussian urvature surfae and a set of regular urves whose urvature depends on the strutural elements, rigid or able. Equilibrium is diretl epressed b means of boundar differential problems, in terms of the membrane shape and its stress tensor. We must outline that membrane-able interfae equilibrium leads to take into aount a singular ondition that makes the problem more diffiult. Therefore, starting from the equilibrium equations, two dual problems an be onsidered namel diret problem and dual problem. Both problems will be defined and analzed, studing their prinipal qualitative aspets. Partiularl, for the diret problem a numerial resolution proedure is proposed, in order to obtain pratial results Palabras lave: Membrana; Pasarela; Borde rígido; Cable de borde; Problema direto; Problema dual. Ke-words: Membrane; Footbridge; Rigid boundar; Boundar able; Diret problem; Dual problem. (*) Universidad de Cádiz (UCA), (España) (**) Instituto de Cienias de la Construión Eduardo Torroja (CSIC), España Persona de ontato/corresponding author: giuseppe.viglialoro@ua.es (G. Viglialoro) Feha de reepión: 8-- Feha de aeptaión: 3--

2 G. Viglialoro, J. Muria. Esquema de pasarela de membrana on ables de borde.. INTRODUCCIÓN Este trabajo estudia el equilibrio bidimensional ontinuo (superfiie) de una membrana, en la fase de pretensado (esto es, uando la misma se enuentra preparada para la fase de serviio), on bordes rígidos ables de borde. Así, se onsidera el equilibrio de la membrana diretamente para la forma que resulta al ser pretensada. La idea de utilizar membranas en nuevas apliaiones de ingeniería ivil omo las pasarelas implia, on relaión a otros usos, una gran responsabilidad estrutural maores esfuerzos, debidos a las argas de uso, a la forma mu rebajada de la membrana al fuerte pretensado preiso para alanzar la rigidez requerida. En onseuenia, hae falta un adeuado análisis bidimensional. En este onteto, se está desarrollando en España una nueva tenología de pasarelas (). El problema del pretensado está relaionado on los bordes de la membrana, elementos unidimensionales definidos por líneas en el espaio. Los ables de borde son urvos, definidos por urvas que perteneen a la superfiie de la membrana, para mantener todo a traión, su urvatura ha de estar orientada haia el eterior de la misma, tal omo muestra la Figura. Los bordes rígidos, apaes de trabajar a fleión, admiten ualquier forma. Sin embargo, tal omo se verá, el equilibrio en la interfaz able-membrana implia que los ables de borde no puedan adoptar ualquier forma. La onsideraión de bordes rígidos ables de borde implia definir un problema más general que el analizado en el artíulo (). Como se verá, esto lleva a ompliaiones importantes, tanto en términos de la formulaión del problema omo de su resoluión. Siguiendo la línea de diho trabajo, los esfuerzos de la membrana se identifian on un tensor positivo de segundo orden la forma on una superfiie on urvatura de Gauss negativa. Así, es posible definir el equilibrio por medio de euaiones difereniales en derivadas pariales, una de las uales inlue los produtos de variables asoiadas a la forma de la membrana al tensor de esfuerzos. Por tanto, si se fija el tensor de esfuerzos, puede onsiderarse el denominado problema direto, de modo omplementario, el problema dual si lo que se fija es la forma de la membrana. Con relaión al equilibrio, si bien es ierto que las orrespondientes euaiones en membranas son las mismas del análisis de los estados de membrana en láminas, euaiones bien onoidas (véanse, por ejemplo, la referenia (3)), también lo es que los problemas que se plantean son absolutamente diferentes, tal omo se eplia en el trabajo (). Como se ve en este trabajo, diretamente del equilibrio por sí solo se pueden deduir bastantes osas, en partiular, la forma de la membrana (uando se fijan los esfuerzos), sin tener que onsiderar deformaión alguna. Lo mismo suede en el Método de la Densidad de Fuerzas, unidimensional (red superfiial de ables en el espaio), basado elusivamente en euaiones de equilibrio (4). Una vez estableidas las euaiones de equilibrio interno para la membrana, es neesario definir las ondiiones de frontera. Como se omentó antes, este trabajo es la ontinuaión natural del artíulo (), porque generaliza el mismo problema onsiderando ables de borde además de bordes rígidos. Además, los ables de borde llevan a una formulaión matemátia de los problemas direto dual que se omplia sensiblemente on respeto al aso de bordes rígidos (véase, una vez más, la referenia ()). Esto tiene muho que ver on el heho de que, preisamente, able (D) membrana (D) son estruturas singulares que no tienen rigidez propia (se la onfiere la traión). Finalmente, una vez definidos rigurosamente los dos problemas, se estudian sus respetivos análisis ualitativos. Además, para el problema direto se presenta un proedimiento numério apaz de proporionar una buena estrategia de resoluión. Este método se aplia a un aso real, la pasarela onstruida omo prototipo (), que se toma omo referenia para evaluar los resultados. Por otro lado, se haen algunas onsideraiones sobre los aspetos matemátios del problema dual.. ECUaCIONEs DE EqUIlIbRIO EN la membrana Identifiquemos la membrana on una superfiie S on urvatura de Gauss negativa. En partiular, S es la gráfia de una funión z(,), definida en un dominio aotado D del plano, tal que Z, Z, Z, < Informes de la Construión, Vol. 63, 4, 49-7, otubre-diiembre ISSN: eissn: doi:.3989/i..44

3 Problemas asoiados al equilibrio en estruturas de membrana on bordes rígidos ables Equilibrium problems in membrane strutures with rigid and able boundaries (la Figura idealiza un elemento diferenial de membrana ds su orrespondiente proeión dd en el plano -, así omo los relativos esfuerzos de membrana proetados, respetivamente Ñ αβ N αβ, on α,β =,) Esfuerzos proetados Esfuerzos de membrana Ñ Como se sabe, el peso de la membrana es mu bajo, en general, puede despreiarse para la fase de pretensado; más en partiular para altos esfuerzos de pretensado omo es el aso. Entones, en esta fase no se onsiderará ninguna arga así que las euaiones de equilibrio serán homogéneas. Este aspeto no modifia la naturaleza del problema es mu interesante desde el punto de vista del diseño (véase () para los detalles). De esta forma, si σ = N αβ (α,β =,) india el tensor de esfuerzos proetados, definido en D (esto es, fuerza por unidad de longitud), las euaiones de equilibrio son []: N, + N, = equilibrio en la direión, N, + N, = equilibrio en la direión, [] N z, + N z, + N z, = equilibrio en la direión z, Finalmente, la utilizaión de la funión de Air H, tal que []: H, = N H, = N H, = N [] permite reduir el sistema [] a la euaión: H, z, - H, z + H, z, = [3] De esta forma, si se fija un tensor positivo σ la funión z tiene que resolver una euaión elíptia. Al ontrario, una vez que se dé una superfiie on urvatura de Gauss negativa, la funión H ha de resolver una euaión hiperbólia (). Se pueden así definir dos problemas omplementarios, el problema direto (se fijan los esfuerzos) el problema dual (se fija la forma de la membrana). 3. ECUaCIONEs DE EqUIlIbRIO EN El borde Con el objetivo de definir apropiadamente las ondiiones de frontera para el problema direto el problema dual, analiemos las orrespondientes euaiones de equilibrio de borde. Como a se dijo, en este trabajo se analizarán ambos tipos de borde, rígido able; más en partiular, en esta seión nos dediaremos a estudiar las diferenias estruturales que los definen, onluendo que la forma de un able depende estritamente de la forma de la membrana, mientras que el borde rígido puede asumir ualquier forma. z O Identifiquemos el borde de la membrana on una urva espaial C; si Ñ αβ (α =, β =,) india el tensor de esfuerzos sobre la membrana S f = (f,f,f 3 ) la fuerza de borde repartida sobre C (esto es, fuerza por unidad de longitud), resulta, al imponer el equilibrio, que f es ortogonal al vetor normal N de la superfiie S a lo largo del ontorno (para los detalles, véase la tesis (6)). Además, siempre en (6), se omprueba que las euaiones de equilibrio para el borde tridimensional C se reduen en las orrespondientes para el borde plano = D, proeión horizontal de C. En este sentido, si f = (f, f ) india la fuerza proetada a lo largo de (fuerza por unidad de longitud), σ = N αβ el tensor de los esfuerzos proetados n = (n,n ) el vetor normal (unitario) eterno a, el equilibrio de borde puede esribe omo N αβ n β = f α (on α = ), sobre [4] 3.. Euaiones de equilibrio para el borde rígido En el aso en que se onsideren sólo bordes rígidos, el equilibrio se redue simplemente al sistema [4], tal omo se analiza en (). Por ejemplo, si la forma del borde rígido r en el plano horizontal - está definido por retas vertiales, así omo se hará más adelante para propósitos prátios (véase la Figura 4), el sistema [4] se esribe omo: N = f sobre r N = f sobre r d D [4] De esta forma, el mismo sistema [4] permite obtener f una vez que se fije N αβ vieversa. d S N N N Ñ Ñ Ñ N. Esfuerzos de membrana proetados. Informes de la Construión, Vol. 63, , otubre-diiembre ISSN: eissn: doi:.3989/i..44

4 G. Viglialoro, J. Muria Cable Además, es posible omprobar que la última euaión se epresa omo: (P h ) = P z, + ( P ) z, [6] P() P(+d) N Por otra parte, por medio de un simple álulo (véase (6), para los detalles), se podría argumentar que la euaión [6], onsiderando una vez más también el sistema [], es equivalente a N z, + z, + z, = [7] N O N Membrana 3 Esta última relaión, que representa la euaión de ompatibilidad entre el able la membrana, implia que la fuerza repartida f no sólo es ortogonal a la normal N a la superfiie S sino que pertenee al plano osulador de la urva C. 3. Interfaz able-membrana (P representa la proeión de P ). 3.. Euaiones de equilibrio para el able de borde Si parte del ontorno de la membrana está ompuesto por un able de borde, en el sistema [4] la fuerza orrespondiente f se epresa tanto en términos de la tensión omo de la forma del mismo able. Identifiquemos el able on una urva C = (, (), h()) siendo h() = z (, ()) la forma espaial del mismo able,obtenida levantando el able proetado () por medio de la membrana z(,). La tensión del able es el vetor tangente epresado por P = donde P representa el valor de la tensión. De esta forma, la omponente de P es ~ P P =, + ' + h' que utilizaremos a ontinuaión. Con referenia a la Figura 3, es posible omprobar que el sistema []: P = N - N, (P ) = N - N, ~ P (, ', h'), + ' + h' [] representa el equilibrio plano able-membrana; este último sistema es un aso partiular del sistema [4]. Por lo que se refiere al equilibrio en la direión z, al tener en uenta el sistema [], se puede verifiar que el equilibrio vertial able-membrana se simplifia en la euaión (P h ) = z, N + z, N N z, + z, N Para omprobarlo, si N es el vetor unitario normal a S, t n aquellos tangente normal al able C, es sufiiente imponer que los vetores t n son ortogonales a N. Siendo t proporional a (,,z, +z, ), n a (,,z, + z, + z, + z, ) N a (z,, z,, ), se debe de umplir z, + z, + z, = En este trabajo, al tenerse en uenta los ables de borde, se utilizará el siguiente sistema para epresar el equilibrio able-membrana [8]: P =N - N (equilibrio en la direión ) (P )=N - N (equilibrio en la direión ) [8] (P h )=P z, +( P ) z (equilibrio en la direión z) Al revés, la tesis refereniada en [8] analiza el mismo problema partiendo del sistema anterior en el que se sustitue su última euaión por la epresión [7]. 4. El PROblEma DIRECTO: DEfINICIÓN PROPIEDaDEs En esta seión definiremos analizaremos el problema direto, proponiendo, además, un proedimiento numério para el álulo aproimado de su soluión. Problema direto Con referenia al equilibrio epresado por el sistema [], sea N αβ un tensor positivo simétrio del segundo orden tal que N + N N + = =,, N N,,, = αβ β β = a =, en un domino aotado D del plano -. Hallar la superfiie z, definida en D, de manera que Informes de la Construión, Vol. 63, 4, 49-7, otubre-diiembre ISSN: eissn: doi:.3989/i..44

5 Problemas asoiados al equilibrio en estruturas de membrana on bordes rígidos ables Equilibrium problems in membrane strutures with rigid and able boundaries z, N + z, N + z, N = en D, z = g sobre r [9] (P h ) = P z, + ( P ) z, sobre siendo h() = z(,()) la forma espaial del able, r la parte del ontorno de D ompuesto por bordes rígidos, la orrespondiente a los ables de borde, g() el valor de z a lo largo del mismo borde rígido r. Debido a la segunda ondiión de frontera, el anterior no es un típio problema elíptio on ondiión usual de Dirihlet o Dirihlet- Neumann (véanse (7, 8)). En la tesis (6), se omprueba por medio de rigurosos resultados matemátios la uniidad de la soluión. En el siguiente apartado, se propondrá un método numério útil para el álulo aproimado de la soluión; no obstante, ha que matizar que argumentar la eistenia del mismo sistema [9] no paree ser del todo inmediato. Por supuesto, si el borde de la membrana es totalmente rígido (esto es = φ), el sistema [9] se redue a un problema de Dirihlet, a profundizado en el trabajo (). Antes de desarrollar el método de resoluión del problema direto, es oportuno matizar algunos aspetos relativos al sistema [8]. En partiular, tal omo manifiestan las euaiones de equilibrio que lo definen, es posible alular, a partir de los esfuerzos N αβ la forma del able de borde proetado () que, juntamente on el borde rígido r permite fijar el dominio D (véase Figura 4). De la misma forma, es posible alular P, omponente de la tensión del able en la direión, a partir de un ierto valor P onoido. No obstante, la forma espaial del able (epresada por la funión h() es una inógnita del problema, que se obtiene al onoer la forma de la membrana z(,). 4.. método de resoluión para el problema direto Las ondiiones N,, (α=,) permiten esribir el sistema [9] en la siguiente forma divergenial []: div(σ z) = en D z = g sobre r [] (P h ) = P z, + ( P ) z, sobre Este último sistema será el punto de partida para el análisis del problema direto. ondiión de frontera lásia, de tipo Dirihlet) []: div(σ z) = en D z = g sobre r [] z = h sobre, por otro, la euaión []: (P h ) = P z + ( P ) z, sobre [] Una vez fijada una malla para D, indiquemos on n t el número total de nodos en D, n r el número total de nodos sobre r n el número total de nodos sobre. Si on N j nos referimos a las funiones de forma lineales, reemplazando las orrespondientes aproimaiones z j= zj N j h j= hj N j en el n t n sistema [], se obtiene el siguiente sistema lineal[3]. T T K A r A z A rt λ r = g A T λ h En la última euaión matriial, z=(z,,z t ) g=(g,,g r ) h=(h,,h ) indian el vetor nodal de z en D, de g sobre de h sobre, k la matriz de rigidez, A γ A C las matries de los Multipliadores de Lagrange, λ γ λ los vetores de los Multipliadores de Lagrange. Sea, ahora, z la soluión del sistema [3]: puede esribirse z = Hh+Gg siendo H M nt, n (R) G M nt, n (R) Además, teniendo en uenta la euaión [], puede onsiderarse la euaión n dimensional, definida por [ P' z + ( ' P)' z ( Ph')'] Nd =,, i i=,,3, n Reemplazando, igual que antes, las aproimaiones n t n z j z j N j h j h j N j e integrando por partes, se obtiene la epresión: nt z [ N P' + N ( ' P)'] Nd + h PN' N' d =, j j, j, i j j i j= j= [3] [4] [] n A ontinuaión, utilizando el Método de los Elementos Finitos (véanse, por ejemplo, (9, ), se propondrá una ténia apaz de proporionar la soluión aproimada del sistema []. Finalmente, definiendo, M = [ N P' + N ( ' P)'] Nd ij j, j, i i=,,3, n Reesribamos el problema [], onsiderando por un lado el sistema reduido (on W = PN' N' d ij j i Informes de la Construión, Vol. 63, , otubre-diiembre ISSN: eissn: doi:.3989/i..44 3

6 G. Viglialoro, J. Muria 4. Planta de la pasarela analizada. se onviene al siguiente sistema Mz + Wh = en el que M M n, n t (R) W M n, n (R) Comparando los sistemas [4] [6], se obtiene la siguiente epresión para la soluión: h = (MH + W) - MGg siendo h el vetor nodal de z a lo largo de, que nos proporiona una aproimaión tridimensional de la forma del able. De la misma manera, es posible obtener la soluión z, z = Hh + Gg [6] [7] [8] siendo, ahora, h el vetor nodal de z en D, que nos proporiona una aproimaión tridimensional de la forma de la membrana. 4.. Un ejemplo onreto de problema direto Apliquemos el proedimiento numério previamente analizado para resolver el aso de la pasarela peatonal onstruida en España. Es importante omentar que el aso presentado en el ejemplo que sigue es asi igual, pero no eatamente, al llevado a abo en la realidad. Ello es debido a que, reordando que se trata de enontrar la forma de la membrana ( de los ables de borde), el método de álulo para ello en el aso real fue aproimado. Así, las formas por una otra vía no pueden ser idéntias, en onseuenia, ambos asos tampoo pueden serlo, solamente bastante aproimados. En efeto, en el aso real, se realizó una aproimaión analítia, ajustando epresiones para los esfuerzos las formas de membrana (superfiie) ables de borde a todas las euaiones de equilibrio a vistas; ua soluión, aproimada pero bastante preisa, impliaba valores de los esfuerzos de membrana en las direiones de los ejes asi onstantes pero no eatamente véase (). Por su parte, aquí se aplia el itado proedimiento, omo de todos modos no puede obtenerse un aso idéntio, se simplifia fijando esfuerzos de membrana onstantes, mu aproimados a los anteriores (valores diferentes en las direiones de los ejes). Datos para el ejemplo Todas las longitudes (,, z, así omo las longitudes en las figuras) se epresan en metros. El dominio D tiene la forma mostrada en la Figura 4: D:={(,) R tal que -a a -() ()} siendo a= m e = obtenida resolviendo el sistema []. Las ondiiones sobre el borde rígido el tensor de esfuerzos son: 7 g ( ) ( ) forma r f o r m de a de z a zlo a largo lolarde g o de r 8 6 N kn / m, N kn / m, N 4 kn / m. De esta forma, el sistema [] se resume en P ' ', ( P ' )' 4. : 8 6 Integrando, usando la simetría e imponiendo (±) = () = (±) = - () =,se obtienen las dos elipses, ε + ε - Esogiendo las ramas adeuadas de ε + ε - (gráfia (a) de la Figura ), es natural fijar e D:={(,) ( ) : ( ). 6 3 ( ) 4 R tal que a a -() ()} (la gráfia (b) de la Figura representa una malla ompuesta por 477 nodos). Direión de paso r Borde rígido (proeión) O r Cable de borde (proeión) 4 4 Informes de la Construión, Vol. 63, 4, 49-7, otubre-diiembre ISSN: eissn: doi:.3989/i..44

7 Problemas asoiados al equilibrio en estruturas de membrana on bordes rígidos ables Equilibrium problems in membrane strutures with rigid and able boundaries En estas ondiiones, ha que resolver el sistema Método Iterativo del Punto Fijo (7,8), ajustando paso a paso una ierta forma iniial h, de manera que en el límite se satisfagan todas las euaiones del mismo sistema [9].. Dominio D esogido para el ejemplo del problema direto. Sub-figura (a): Cables de borde (ramas de elipse). Sub-figura (b): Malla de 477 nodos para el dominio D. Las gráfias (a) de las Figuras 6 7 representan los resultados numérios obtenidos, tomando omo punto más bajo de la membrana (esto es, el etremo (-,) el origen de las medidas. Estos resultados han sido alulados ejeutando un programa en MATLAB, basado en la utilizaión de elementos uadriláteros lineales (es posible enontrar los detalles del método en la tesis (6). ε + Como a se ha omentado anteriormente, el aso ahora analizado no se orresponde a aquél real estudiado en el trabajo (). A pesar de ello, omparando sendas soluiones obtenidas, es posible onfirmar que las mismas son del todo oherentes. De heho, por ejemplo, la fleha del able alulada en el aso real es de,3 m, ontra el valor de,3 m obtenido por medio del método numério aquí propuesto. Aparte ello, también es posible analizar la omponente de la tensión del able P. En feto, debido a la relaión P = - imponiendo por ejemplo P P ( ) kn, se obtiene la epresión P 4 Finalmente, abe subraar que el proedimiento utilizado presenta una ierta inestabilidad numéria. De heho, la gráfia (a) de la Figura 6 muestra que la soluión numéria para el able h=h() varía en términos del número de nodos utilizados; en partiular, no es posible observar un omportamiento estritamente monótono para la soluión. Esto paree estar relaionado on la formulaión del problema no tanto on la aproimaión de elementos finitos empleados. En efeto, analizando en detalle las euaiones de equilibrio, podemos notar que en el sistema [9] se fuerza a la inógnita z a que verifique en el borde una euaión del mismo orden que la que ha de umplirse en el interior del dominio, siendo lo usual que en la frontera la inógnita umpla ondiiones de órdenes inferiores. Una posible alternativa para la resoluión, sobre la que los autores están trabajando, se basa en busar la forma final del able h mediante el. PROblEma DUal: DEfINICIÓN PROPIEDaDEs ε En este apartado se definirá analizará el problema dual. Problema dual Con referenia al equilibrio epresado por el sistema [], sea S = (,,z (,) ) una superfiie on urvatura de Gauss negativa. Al resolver la euaión [7] se obtiene una funión () que define el able de borde proetado, indiado on. Si on f = f() se denota la fuerza sobre el borde rígido r, hallar el tensor de esfuerzos σ = N αβ en el dominio D, tal que a b Informes de la Construión, Vol. 63, , otubre-diiembre ISSN: eissn: doi:.3989/i..44

8 G. Viglialoro, J. Muria.. z.4 Nodos totales: 8 z.4 Nodos totales: 4 Nodos totales: Nodos totales: 6 Nodos totales: a 6b ' ( ). que se redue a z, z, z, z,, z, + z, + z, = a. Soluión numéria alulada usando 37 nodos; proeión vertial del able. 6b. Soluión numéria de h = h(); proeión vertial del able en términos del número de nodos. N, N, = en D, N, N, = en D, z, N z, N z, N = en D, N n = f sobre r (on =,), ( P h' )' P' z, 7. Pasarela real gráfia de su forma alulada numériamente Sub-figura (a): Soluión numéria z = z(,). Como a se omentó, esta relaión, junta on las del sistema [], es equivalente a (Ph ) = P z, + ( P) z, m ( ' P )' z, sobre, siendo h() = z(, () ) [] Reordando la euaión [3] en términos de la funión de Air, se puede observar que el sistema [] es de tipo hiperbólio. Debido a ello, el enfoque dual es, en general, un problema mal planteado (). Además, al analizar las urvas araterístias de la euaión de equilibrio de membrana H, z, - H,z, + H,Z, = se obtiene la euaión diferenial (ordinaria) 6 z, Todo ello implia que en el problema dual las urvas que representan los ables de borde oiniden on las urvas araterístias de la euaión. En este sentido, deberíamos onsiderar un problema hiperbólio on ondiiones de frontera definidas a lo largo de sus urvas araterístias. Tal omo se detalla en (), no es siempre posible garantizar la eistenia, uniidad estabilidad de la soluión para este tipo de problemas. Por tanto, reordando también los asos de bordes rígidos (), en el problema dual las euaiones de equilibrio pueden no ser sufiientes para alular la distribuión de esfuerzos que equilibra la forma previamente fijada; al revés de lo que ourre en el problema direto. En otras palabras, el problema dual no es siempre isostátio. Ahora bien, desde el punto de vista estrutural, está laro que si se onsideraran también las euaiones onstitutivas de ompatibilidad no nos enfrentaríamos a este tipo de singularidad, obteniendo un problema hiperbólio oherente bien planteado. En fin, on relaión al problema dual, onviene indiar que en (6) se ofree una asuístia de ejemplos analítiamente resolubles para borde rígido, a partir de algunos resultados propios de la euaión de ondas. Informes de la Construión, Vol. 63, 4, 49-7, otubre-diiembre ISSN: eissn: doi:.3989/i..44

9 Problemas asoiados al equilibrio en estruturas de membrana on bordes rígidos ables Equilibrium problems in membrane strutures with rigid and able boundaries 6. REsUmEN CONClUsIONEs En este trabajo se ha analizado el equilibrio de una membrana, para la fase de pretensado, en el aso general en que sus bordes están ompuestos por elementos rígidos ables. Se han formulado las euaiones de equilibrio sobre la superfiie los bordes de la membrana mediante variables asoiadas a la forma a los esfuerzos de todos ellos. Así, según el tipo de variables fijadas, se definen dos problemas: el problema direto el problema dual. Este tipo de análisis riguroso, en el ontinuo bidimensional, está asoiado a los fuertes requisitos estruturales de una nueva tenología de pasarelas on estrutura de membrana que está siendo desarrollada en España. Un aspeto relevante del trabajo es el análisis bidimensional en los bordes, partiularmente en el aso de ables, ua forma, al ontrario que los bordes rígidos, no puede fijarse arbitrariamente a priori. Ha que destaar, en partiular, que el equilibrio en la interfaz able-membrana ondue a una euaión singular, que implia onsiderar un del todo inusual omplejo problema diferenial de ontorno. Esto se relaiona on el heho de que ahí interaionan preisamente las dos estruturas singulares sin rigidez propia, able (D) membrana (D), que no pueden adoptar ualquier forma para estar en equilibrio. Más preisamente, si por un lado es ierto que el problema direto se basa en una euaión diferenial elíptia, por otro la ondiión de ontorno asoiada no es ni de tipo Dirihlet ni de tipo Dirihlet-Neumann. En este sentido, aunque es posible argumentar de forma rigurosa la uniidad de la soluión, no es inmediato demostrar su eistenia. Sin embargo, desde un punto de vista prátio, puede proponerse un proedimiento numério, omo aquí se ha heho empleando el Método de los Elementos Finitos, para la onstruión de la soluión. Además, se ha resuelto un aso partiular de problema direto mediante el método numério se han omparado sus resultados on un aso real de referenia. La omparaión muestra valores similares oherentes. Por otro lado, en el método aquí propuesto es posible observar una ierta inestabilidad, debida a la formulaión intrínsea del problema. Finalmente, el problema dual es de tipo hiperbólio, para el ual no siempre es posible proporionar una soluión, únia estable; esto es, en el problema dual no siempre eiste isostatismo. Pero, además, uando eisten ables de borde, la ondiión de equilibrio entre able membrana implia que los ables de borde oiniden on las urvas araterístias de la euaión diferenial. Por tanto, el problema dual on ondiiones de frontera definidas a lo largo de dihos ables no es en general matemátiamente admisible. bibliografía () Muria J.: Tenología de pasarelas on estrutura de membrana. Informes de la Construión; vol. 9, n.º 7, -3, 7. () Viglialoro G.; Muria J.; Martínez F.: Problemas asoiados al equilibrio en estruturas de membrana on bordes rígidos. Informes de la Construión; vol. 6, n.º 6, 7-66, 9. (3) Timoshenko S.; Woinowsk-Krieger S.: Theor of Plates and Shells. MGraw-Hill, In., New York, 99. (4) Linkwitz K.: About formfinding of double-urved strutures. Engineering Strutures; vol., pp , 999. () Hörmander L.: Linear Partial Differential Operators. Springer, Berlín, 964. (6) Viglialoro G.: Análisis matemátio del equilibrio en estruturas de membrana on bordes rígidos ables. Pasarelas: forma pretensado. Tesis dotoral, Universidad Politénia de Cataluña. ISBN: , 6. Depósito legal: B Enlae: (7) Brezis H.: Análisis funional: teoría apliaiones. Madrid, Alianza Editorial, 983. (8) Gilbarg L.; Trudinger N. S.: Ellipti Partial Diferential Equations of Seond Order. Springer, 998. (9) Hughes T. J. R.: The Finite Element Method. Linear Stati and Dnami Finite Element Analsis. Mineola, New York Dover Publiations, 987. () Zienkiewiz O. C.; Talor R. L.: The Finite Element Method. Butterworth Heinemann,. * * * Informes de la Construión, Vol. 63, , otubre-diiembre ISSN: eissn: doi:.3989/i..44 7