Opciones Asiáticas y Americanas Sesión 1: Modelos del Subyacente y Métodos de Valoración

Transcripción

1 Matemáticas Aplicadas Opcines Asiáticas y Americanas Sesión 1: Mdels del Subyacente y Métds de Valración Juni 2014 Dieg Jara dieg.jara@quantil.cm.c

2 Mapa de Discusión 1. Prducts Preliminares prducts PlainVanilla y Estrategias Opcines Asiáticas Opcines Americanas Opcines de Barrera 2. Fundaments de Valración Principi de N Arbitraje: Ctas y Paridad Put-Call Valración pr Arguments de N Arbitraje 3. Mdels de Difusión de la Tasa de Cambi Vlatilidad Determinística: Lgnrmal, Nrmal y Shifted Lgnrmal Vlatilidad Estcástica Ejempls Práctics 4. Valración de Opcines Asiáticas y Americanas Métds de Valración Ejempls Práctics Opcines Asiáticas y Americanas

3 Referencias Capinski, M. and T. Zastawniak (2003). MATHEMATICS FOR FINANCE. Springer Hull, J. (2006). OPTIONS, FUTURES AND OTHER DERIVATIVES. Prentice Hall, 6 th Ed. Kemna, A. and A. Vrst (1990). A Pricing Methd fr Optins Based n Average Asset Values. Jurnal f Banking and Finance. Musiela, M. and M. Rutkwski (1998). MARTINGALE METHODS IN FINANCIAL MODELLING. Springer Verlag. Shreve, S., (2008). STOCHASTIC CALCULUS FOR FINANCE I. Springer Verlag. Shreve, S., (2008). STOCHASTIC CALCULUS FOR FINANCE II. Springer Verlag. Wilmtt, P. (2000). PAUL WILMOTT ON QUANTITATIVE FINANCE. Jhn Wiley & Sns. Opcines Asiáticas y Americanas

4 Mapa de Discusión 1. Prducts Preliminares prducts PlainVanilla y Estrategias Opcines Asiáticas Opcines Americanas Opcines de Barrera 2. Fundaments de Valración Principi de N Arbitraje: Ctas y Paridad Put-Call Valración pr Arguments de N Arbitraje 3. Mdels de Difusión de la Tasa de Cambi Vlatilidad Determinística: Lgnrmal, Nrmal y Shifted Lgnrmal Vlatilidad Estcástica Ejempls Práctics 4. Valración de Opcines Asiáticas y Americanas Métds de Valración Ejempls Práctics Opcines Asiáticas y Americanas

5 Instruments Derivads Prducts Plain Vanilla Frward Un cntrat bilateral (mercad OTC) Obliga a una parte a cmprar (psición larga) y a tra a vender (psición crta) en un mment dad (Expiración T) una cantidad dada (Ncinal) de un instrument dad (subyacente) pr un preci dad (Strike K, Preci Frward F(0,T)). Típicamente el cntrat n requiere pag inicial Nta: Preci Frward Preci del Frward Futur Diferencia cn Frward: se transa en un mercad rganizad (Blsa) Se elimina el riesg de cntraparte mediante una cámara de cmpensación Est se lgra mediante cuentas de margen Margen Inicial Marcar a Mercad Margen de Mantenimient Llamad de Margen Base: diferencia entre futur y preci spt. Opcines Asiáticas y Americanas

6 Instruments Derivads Prducts Plain Vanilla OPCIÓN CALL Le da el DERECHO a su tenedr (psición larga en la pción, más n en el subyacente) de cmprar en un mment dad (Expiración T) una cantidad dada (Ncinal) de un instrument dad (subyacente) pr un preci dad (Strike K). OPCIÓN PUT Le da el DERECHO a su tenedr (psición larga en la pción, más n en el subyacente) de vender en un mment dad (Expiración T) una cantidad dada (Ncinal) de un instrument dad (subyacente) pr un preci dad (Strike K). Opcines Asiáticas y Americanas

7 PyG Final PyG Final PyG Final PyG Final Instruments Derivads Prducts Plain Vanilla PyG Call, Psición Larga 5 e 5% 0.5 Pendiente = 1 PyG Call, Psición Crta e5% 0.5 Pendiente = -1-6 S(T) -15 S(T) PyG = Pag final Valr (futur) de la prima PyG Put, Psición Larga PyG = Valr (futur) de la prima - Pag final PyG Put, Psición Crta Pendiente = -1 5 e 5% Pendiente = 1 5 e 5% S(T) -15 S(T) Opcines Asiáticas y Americanas

8 Instruments Derivads Estrategias cn Opcines Call cubiert :+ 1 acción, - 1 call + 1 acción, + 1 put: S(0) K S(0) K + 1 Call Spread + 1 Bull Spread : + 1 call, Strike K1, - 1 call, Strike K2 > K1 + 1 Put Spread + 1 Bear Spread : + 1 put, Strike K1, - 1 put, Strike K2 < K1 K1 K2 K2 K1 Opcines Asiáticas y Americanas

9 Instruments Derivads Estrategias cn Opcines + 1 call, Strike K1, - 1 put, Strike K2 < K1 + 1 Straddle : + 1 call, Strike K1, + 1 put, Strike K1 K2 K1 K1 + 1 Strangle : - 1 call, Strike K1, - 1 put, Strike K2 < K1 +1 Butterfly Spread : + 1 call, Strike K1, - 2 calls, Strike K2 > K1, + 1 call, Strike K3 > K2 K2 K1 K2 K1 Opcines Asiáticas y Americanas

10 Instruments Derivads Opcines Exóticas Variación en: Tiemps de ejercici Preci del subyacente (el pag final puede depender de una función de la evlución del preci) Cndicines para pder ejercer Fórmula de ejercici de la pción Strikes variables Subyacente Opcines cmpuestas Cmbinacines de las anterires Opcines Asiáticas y Americanas

11 Instruments Derivads Opcines Exóticas Variación en tiemps de ejercici Opcines Eurpeas: sl en el mment de expiración. Opcines Americanas: en cualquier mment antes de la expiración. Opcines estil Bermuda: en cierts tiemps especificads en el derivad (pr ejempl, cada tres meses) En adición, las pcines Americanas y estil Bermuda pueden tener perids de lck ut, típicamente al principi, en que n se puede ejercer En casines el Strike se mueve en el tiemp Ejempl: en el CME, las pcines sbre divisas sn amercianas Opcines Asiáticas y Americanas

12 Instruments Derivads Opcines Exóticas Variación en Preci del Subyacente Asiáticas El preci de referencia es el prmedi del preci del subyacente a l larg de la vida de la pción Preci de Acción Divisa Prmedi Preci Strike Opcines Asiáticas y Americanas

13 Instruments Derivads Opcines Asiáticas Un cntrat que da el derech de cmprar un activ cn base en el preci prmedi de este activ sbre un períd de tiemp prescrit. La ventana de tiemp para el prmedi del subyacente puede variar. N tiene que ser necesariamente td el tiemp de vida de la pción. Ej: Se puede tmar el últim mes, ls ds últims meses, td el tiemp de vida de la pción, etc. Este es un ejempl de dependencia del camin (path dependency): El pag final del derivad depende del camin que tmó el subyacente para llegar a su preci en expiración Opcines Asiáticas y Americanas

14 Instruments Derivads Opcines Asiáticas Para pcines asiáticas, tda la infrmación de imprtancia se resume en una sla cantidad: el prmedi En el mund cntinu se define I I( t) S( ) d 0 Est permite definir el prmedi cntinu: I( t) 1 t A( t) : S( ) d t t 0 El valr de una pción asiática será una función de ds variables: t V V ( S, y) cn y I A Opcines Asiáticas y Americanas

15 Instruments Derivads Pr qué negciar Opcines Asiáticas? 1. La vlatilidad del prmedi del preci de la acción a través del tiemp es menr que la vlatilidad del preci de la acción. Est lleva a que el preci de la Opción Asiática sea menr a su equivalente Opción PlainVanilla. 2. El prmedi está mens expuest ante chques rallies del preci de la acción. Ej: Caída drástica del preci de la acción just antes de la expiración. 3. Es más difícil manipular el prmedi del preci de la acción que el preci individual en sí mism. Hay mens expsición cn las Opcines Asiáticas ante una manipulación del preci del subyacente. Opcines Asiáticas y Americanas

16 Instruments Derivads Pr qué negciar Opcines Asiáticas? 4. Las pcines de tasa prmedi (próxima diapsitiva) pueden usarse para actar el preci de cmmdities tips de cambi, cuand hay mucha expsición y mucha vlatilidad en el subyacente. 5. Usuaris finales de cmmdities energía pr l general están expuests a prmedis de preci, pr l cual las Opcines Asiáticas sn muy acrdes a este mercad. 6. Asimism, exprtadres e imprtadres típicamente reciben pagan divisas de frma más mens unifrme a l larg de cada mes, quedand expuests a pags estil asiáticas 7. David Spaughtn y Mark Standish de Bankers Trust en 1987: se encntraban en Tky al desarrllar la primera fórmula de valración de pcines relacinadas cn el preci prmedi del petróle. De ahí su nmbre Asiáticas. Opcines Asiáticas y Americanas

17 Instruments Derivads Opcines Asiáticas (Funcines de Pag) Cn Strike Fij de Tasa Prmedi (Fixed Strike): Call de tasa prmedi (average rate call ): 1 CA( S( T ), I( T )) max I( T ) K,0 maxa( T ) K,0 T Put de tasa prmedi (average rate put): 1 CA( S( T ), I( T )) max K I( T ),0 maxk A( T ),0 T Cn Strike Prmedi (Flating Strike): Call cn strike prmedi (average strike call ): 1 CA( S( T), I( T )) max S( T) I( T),0 maxs ( T) A( T T Put cn strike prmedi (average strike put): 1 PA( S( T ), I( T)) max I( T) S( T ),0 maxa( T ) S( T T Opcines Asiáticas y Americanas ),0 ),0

18 Instruments Derivads Opcines Asiáticas Tips de prmedi: El prmedi de la frma se cnce cm prmedi aritmétic. Otra psibilidad más general es usar prmedi cn decaimient expnencial cn cnstante. I( t) 1 t A( t) : Q( ) d t t 0 I( t) t ( t ) También es psible usar prmedi gemétric: En este cas hay fórmulas analíticas prque el prmedi gemétric de distribucines lg-nrmales es también lg-nrmal. e Q( ) d 1 G( t) exp t ln( Q( )) d t 0 Opcines Asiáticas y Americanas

19 Instruments Derivads Opcines Asiáticas Prmedi Armónic: El prmedi de la frma se cnce cm prmedi armónic. Recientemente ha sid ppularizad en el mercad de tasas de cambi. Nta: 1 1 H( t) : t d 0 t Q( ) A( t) G( t) H( t) Mtivación: se piensa en Q(t) cm el númer de pess pr dólar. Si se quisiera encntrar el prmedi aritmétic para el númer de dólares pr pess, se llega a la fórmula armónica 1 Opcines Asiáticas y Americanas

20 Instruments Derivads Opcines Asiáticas Tips de prmedi: Las expresines anterires muestran prmedis cn muestre cntinu. Est permite mejr tratamient analític y fórmulas más simples. Otra psibilidad (la que se usa en la práctica) es muestre discret: I D ( t) : it / t S( i t) Pr ejempl, en tiemps de cierre (t = 1 día). Este n es tratable analíticamente per se puede tratar sin mucha dificultad cn DF. Nta: Recrdar que la ventana de tiemp para el prmedi del subyacente puede variar dependiend de l que se pacte. Opcines Asiáticas y Americanas

21 Instruments Derivads Opcines Barrera Cndicines para pder ejercer Barreras: Up-and-In, Up-and-Out, Dwn-and-In, Dwn-and-Out, y variacines Barrera Up-and-Out: 190 Opción muere cuand el subyacente tca la barrera Preci Accin de Divisa Barrera Opcines Asiáticas y Americanas

22 Instruments Derivads Opcines Barrera Cndicines para pder ejercer Extensión: Parisinas 190 Opción muere cuand el subyacente haya pasad la barrera pr algún tiemp preestablecid Preci Accin de Divisa Barrera Opcines Asiáticas y Americanas

23 Mapa de Discusión 1. Prducts Preliminares prducts PlainVanilla y Estrategias Opcines Asiáticas Opcines Americanas Opcines de Barrera 2. Fundaments de Valración Principi de N Arbitraje: Ctas y Paridad Put-Call Valración pr Arguments de N Arbitraje 3. Mdels de Difusión de la Tasa de Cambi Vlatilidad Determinística: Lgnrmal, Nrmal y Shifted Lgnrmal Vlatilidad Estcástica Ejempls Práctics 4. Valración de Opcines Asiáticas y Americanas Métds de Valración Ejempls Práctics Opcines Asiáticas y Americanas

24 Fundaments de Valración Supuests del Mercad Para el desarrll teóric se trabaja en un mercad fictici, cn las siguientes supsicines: Existen instrument financiers, cn precis S bien definids. Ests precis varían en el tiemp S(t) Existe cmpradres y vendedres, y un mercad transaccinal rganizad Existe un mercad mnetari: se puede prestar pedir prestada plata a cualquier términ T, a una tasa r = r(t) (la tmams cmpuesta cntinuamente)

25 Fundaments de Valración Descripción de Mercads Teórics Supuests del Mercad Se supne l siguiente 1. S(t) 0 para td activ y td t 2. N hay friccines a. N hay csts de transacción b. Infinita Divisibilidad c. Infinita Liquidez 3. N hay restriccines de venta en crt 4. Admisibilidad (n se puede apstar cn dble nada infinitamente) 5. N existen prtunidades de arbitraje (n hay almuerzs gratis )

26 Fundaments de Valración Principi de N Arbitraje y Valración Se supne la existencia del mercad mnetari: Llamems B(t,T) al factr de descuent de madurez T, tal cm se bserva en t Este es el preci de un bn cer cupón a T B(t,T) = e -r(t,t)(t-t) = e -r(t-t) En l que sigue, n se necesita que r sea cnstante, ni que sea determinística (puede variar aleatriamente en el tiemp) Invertir es cmprar T-bns. Pedir prestad es vender (emitir) T-bns. Precis de Opcines: C E, C A, P E, P A. A mens que se diga l cntrari, las pcines tienen igual T y K.

27 Fundaments de Valración Principi de N Arbitraje y Valración Preci Frward tasa de cambi (expiración T): F(t) = e (rd-rf)(t-t) Q(t) Paridad Put-Call Eurpea C E P E = S(0) KB(0,T) Paridad Put-Call Americana S(0) KB(0,T) C A P A S(0) K Ctas a. C E C A, P E P A b. S(0) KB(0,T) C E S(0) c. KB(0,T) S(0) P E KB(0,T) d. K S(0) P A K Terema: Para un subyacente sin dividends, cn tasas de interés psitivas: C E = C A Ahra, en el cas de tasas de cambi, est es ciert si el diferencial de tasas es psitiv (COP-USD). Si es negativ (USD-COP), este terema se cumple para pcines Put, per n para pcines call QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS Opcines Asiáticas y Americanas

28 Fundaments de Valración Principi de N Arbitraje y Valración Inicialmente ntams que precis de pcines dependen de: K, T, S(0) Dependencia de K: C decreciente en K; P creciente en K K<K C E (K) - C E (K ) < (K -K) B(0,T) P E (K ) - P E (K) < (K -K) B(0,T) C y P sn cnvexas en K Dependencia de x = S(0): C creciente en x; P decreciente en x x<x C E (x ) - C E (x) < x - x Cnsecuencia P E (x) - P E de paridad (x ) < x - x Put-Call C y P sn cnvexas en x C(0) 0 x >> K C(x) S(0) KB(0,T) Dependencia de T: T<T C A (T) C A (T ) Recrdems Valr Intrínsec: Valr de la pción si se ejerciera hy. Para una call: VI = max(0, S(t) K) Valr del tiemp = Preci pción VI Valr del tiemp es máxim en S(0) = K En x K, el valr del tiemp es creciente En x K, se tiene C E (x) - C E (K) x - K

29 Fundaments de Valración Principi de N Arbitraje y Valración Máxim se da cuand S(0) = Strike (en valr presente) Valr del Tiemp C E Valr del Tiemp Valr Intrínsec S(0) S(0)

30 Tenems la siguiente pción call eurpea: Preci Acción: S(0) = 80; Strike: K = 100; Expiración: T = 1; Tasas 0 cupón cmpuestas cntinuamente (las supnems cnstantes): r = 10% Planteems el siguiente mdel para S(T): S(T) Métds de Valración Prtafli Replicante y Árbles (1 períd) 90% 10% 60?? C E C E (t=t) 90% 10% t=0 t=t t=0 t=t Intent natural: Encntrar valr esperad de preci final Descntar ese prmedi a valr presente Resultad de este intent: C E =? e -rt *(90%* %*0) =

31 Métds de Valración Prtafli Replicante y Árbles (1 períd) Idea: cnstruir un prtafli (cn accines y bns cer cupón) que replique ls flujs de caja de la acción (sl hay flujs en t=t) Pag pción = valr prtafli en estad arriba Pag pción = valr prtafli en estad abaj Si se lgra est, se debe tener C E = preci (hy) del prtafli replicante de l cntrari habría arbitraje P. ej., si C E < preci prtafli, se cmpra la pción y se vende el prtafli Hy, t=0: ganancia igual a la diferencia En t=t: ingres pción = egres prtafli Net, hy ganams plata sin riesg arbitraje

32 Métds de Valración Prtafli Replicante y Árbles (1 períd) En general, el mdel del preci de la acción es: S 0 S(T) p 1-p S 0 eut S 0 e dt d < r < u Para evitar arbitraje t=0 t=t El pag final de un derivad depende del preci final de la acción: Du=Du (Su) y Dd=Dd (Sd) D 0 D(T) p D u 1-p D d

33 Métds de Valración Prtafli Replicante y Árbles (1 períd) x: númer de accines en el prtafli y: númer de T-bns (cer cupón, cn principal 100, madurez T) en el prtafli Se quiere ( arriba ) S 0 e ut x + 100y = D u ( abaj ) S 0 e dt x + 100y = D d x = (D u -D d ) / S 0 (e ut -e dt ) y = (D d e ut - D u e dt ) / 100(e ut -e dt ) Valr prtafli: e -rt [q* D u + (1-q*) D d ], dnde q* = (e rt - e dt ) / (e ut - e dt )

34 Métds de Valración Prtafli Replicante y Árbles (1 períd) Retmand el ejempl (intent natural): x: númer de accines en el prtafli y: númer de T-bns (cer cupón, cn principal 100, madurez T) en el prtafli Se quiere ( arriba ) 120x + 100y = 20 ( abaj ) 60x + 100y = 0 x = y = -0.2 Valr prtafli: 80x + 100e -rt y = 8.57 C E = 8.57

35 Métds de Valración Árbles (Un períd) Resumen: Nta: D 0 = E*[e -rt D final ] E*[e -rt S(T)] = e -rt [q* S u + (1-q*) S d ] = e -rt S(0)[e ut (e rt - e dt )+e dt (e ut - e rt )] / (e ut - e dt ) = S(0)!! De ahí el nmbre de neutralidad al riesg : es la prbabilidad que me prnstica igual rendimient de la acción (riesgsa) que del bn (sin riesg) Baj esta prbabilidad el subyacente crece en prmedi a una tasa r

36 Mapa de Discusión 1. Prducts Preliminares prducts PlainVanilla y Estrategias Opcines Asiáticas Opcines Americanas Opcines de Barrera 2. Fundaments de Valración Principi de N Arbitraje: Ctas y Paridad Put-Call Valración pr Arguments de N Arbitraje 3. Mdels de Difusión de la Tasa de Cambi Vlatilidad Determinística: Lgnrmal, Nrmal y Shifted Lgnrmal Vlatilidad Estcástica Ejempls Práctics 4. Valración de Opcines Asiáticas y Americanas Métds de Valración Ejempls Práctics Opcines Asiáticas y Americanas

37 Valración Es imprtante diferenciar entre Mdels de Valración Métds de Valración Mdels Establecen una dinámica de mvimient del (ls) subyacente(s) Enmarcan la dinámica en un espaci de prbabilidad Simplifican el entrn ecnómic y financier en mdels matemátics Exhiben fórmulas de valración y análisis (n necesariamente simplificadas) Métds Establecen herramientas numéricas y cmputacinales para realizar ls cálculs requerids según el mdel Simplifican numéricamente ls cálculs QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS Opcines Asiáticas y Americanas

38 Valración Mdels de Valración Marc Teóric El Valr de n arbitraje de un derivad cnsiste en: Valr presente (descntad) del pag final Valr esperad de este valr presente El valr esperad se debe hacer baj una medida de prbabilidad muy particular Prbabilidad de Neutralidad al Riesg Baj esta prbabilidad, el valr esperad del retrn de (tds) ls activs mdelads es igual a la tasa libre de riesg Esta fórmula es un terema; hay una platafrma matemática detrás que permite llegar a est Cncept usad: el valr de un derivad debe ser igual al valr de un prtafli de instruments básics que repliquen ls flujs de caja del derivad Esta prbabilidad de neutralidad al riesg ( este prtafli replicante) siempre existe? Es única? QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS Opcines Asiáticas y Americanas

39 Valración Mdels de Valración Marc Teóric PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS: Existe una prbabilidad de neutralidad al riesg si y sl si n hay arbitraje SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS: Existe una única prbabilidad de neutralidad al riesg si y sl si el mercad mdelad es cmplet (hay frma de replicar tds ls flujs de caja derivads de ls instruments básics) QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS Opcines Asiáticas y Americanas

40 Valración Mdels de Valración Mdels Buscads Deben representar fielmente el mvimient de ls precis (su naturaleza estcástica) Deben incrprar características imprtantes de ls mercads Deben ser sencills (de implementar y de usar) Variables Mdeladas Precis de subyacentes Tasas de Interés Otras variables: clima, energía, catástrfes Las distribucines usadas típicamente giran alrededr de distribucines nrmales. Se busca la distribución baj la prbabilidad de neutralidad al riesg (para valrar derivads). QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS Opcines Asiáticas y Americanas

41 Métds de Valración Mdels de Valración Un árbl binmial de N perids, recmbinante Δt=T/N, u, d, r cnst j=#veces arriba S=S 0 e (ju+(n-j)d)t/n # camins que llegan ahí: N j q* prbabilidad de neutralidad al riesg Prbabilidad de llegar ahí: N ( q*) j j (1 q*) N j

42 Ntar: Baj la prbabilidad q*, S crece a un ritm r rt tn r N t d t u N j j N t d j t u N j j N j t d j N ju e S e S e q e q S e q e q j N S q q j N e S T S E ) ) ( ( 0 *) (1 * ) *] ([1 ) * ( *) (1 *) ( )] ( *[ Métds de Valración Mdels de Valración

43 Métds de Valración Árbles (Múltiples períds) Histgramas del mdel binmial (caminata aleatria) Histgrama S(T), N=25 Histgrama de Ln(S(T)/S(0)), N=100 Distribución Lg-Nrmal del Preci de la Acción Distribución Nrmal del Lgaritm de ls Precis de la Acción (Distribución de ls Retrns)

44 Métds de Valración Fórmulas Analíticas Cuand N es grande, est es muy similar a una distribución nrmal! Mdel en el límite: S(T) = S(0) exp{(r - ½σ 2 )T + σ T Z}, dnde Z ~ N(0,1) (baj la prbabilidad q * ). El términ (r - ½σ 2 )T hace que E * [S(T)] = e rt S(0) La valración de derivads se preserva: V(0) = E * [e -rt V(T)]

45 Valración Mdels de Valración Mvimient Brwnian W() es un prces estcástic cntinu W(0) = 0 W(t+Δt) W(t) es independiente de W(t) W(t+Δt) W(t) ~ N (0, Δt) W es el límite de una caminata aleatria discreta W permite mdelar chques estcástics en precis Ppularmente, se tman retrns iid cn distribucines nrmales: ln S( t) S(0) ~ 2 (, ) QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS Opcines Asiáticas y Americanas

46 Distribución Nrmal Lg-Nrmal? Si: Valración Mdels de Valración X Y ~ ~ N(, Lg 2 ) Y 2 N(, ) exp( X ) ~ N(, Pr l tant, dadas las prpiedades de W(t): 1 Se distribuye Lg-Nrmal cn media r 2 y varianza σ 2 X Lg ln( Y ) ~ 2 N(, ) S(t) definid cm un M.B.G: 1 2 S( t) S(0) exp[( r ) t W ( t)] 2 ds( t) rs( t) dt S( t) dw( t) Imprtante: en el cas de accines, el drift debe ser rs para evitar arbitraje (recrdar: en prmedi el subyacente debe crecer a una tasa r), baj la prbabilidad de neutralidad al riesg QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS Opcines Asiáticas y Americanas ) Fórmula para el mdel Lg Nrmal

47 Valración Mdels de Valración El mund de tasas de cambi debe cnsiderar la existencia de ds ecnmías, cada una cn su tasa libre de riesg Cuand se cmpra un activ, en efect se vende tr Cmprar COP/USD es cmprar dólares y vender pess El efect es un lastre en la tasa de rendimient, prduct del crt : dq( t) ( r r ) Q( t) dt Q( t) dw( t) COP USD Una vez más, est es bligatri baj la prbabilidad de neutralidad al riesg (es decir, si W es un MB baj la prbabilidad de NR) QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS Opcines Asiáticas y Americanas

48 Valración Mdels de Valración Ahra, una técnica de simplificación es mdelar la tasa de cambi frward (en vez de la spt) En este cas, el drift desaparece: baj la PRN, la tasa de cambi frward n debe variar (en prmedi) df( t) F( t) dw( t) (r De COP -rusd )(T-t) F(t) e Q(t) vlvems a la expresión riginal: dq( t) ( r r ) Q( t) dt Q( t) dw( t) COP USD Para pcines dnde el preci final del subyacente es el que se usa para determinar el pag de la pción, esta técnica es numéricamente muy útil para pcines asiáticas se pierde un pc la ventaja QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS Opcines Asiáticas y Americanas

49 Valración Mdels de Valración Mdel Nrmal Un mdeladr se pdría aventurar a eliminar la lgnrmalidad, y trabajar cn nrmalidad Se debe respetar el drift bligatri Advertencia: este mdel permite precis negativs Frma cerrada : dq( t) ( r r ) Q( t) dt dw( t) COP Q( t) USD Q(0) La distribución de Q es nrmal: dw( ) QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS Opcines Asiáticas y Americanas t 0 e ( r 2( rcop rusd ) t ( r r ) t e 1 COP USD Q( t) ~ e Q(0), 2( rcop rusd ) COP r USD 2 )

50 Valración Mdels de Valración Mdel Shifted-Lg-Nrmal (Lg Nrmal Desplazada) Un punt en la mitad entre ests ds mdels es factible Mdel SLN: Est es útil si se deduce el mdel para una tasa de cambi ( rcop rusd )( T t) frward: Distribución: ln dq( t) ( r r ) Q( t) dt [ a Q( t)] dw( t) df( t, T) [ e F( t, T ) F(0, T ) e ( r COP F( t, T ) F(0, T ) e COP r USD 2 USD t W 2 )( T t) a Q( t)] dw( t) ( r r T t USD )( ( ) e a COP t) 2 t ~, 2 2 a QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS Opcines Asiáticas y Americanas

51 Métds de Valración Mdels de Valración Cmprtamient Serie USDCOP ( : ) en diferencias: Test Nrmalidad TRM en diferencias. Mirems qué pasa cn la serie en lg-retrns.

52 Métds de Valración Mdels de Valración Test Nrmalidad TRM en retrns (lg-diff): La serie de la TRM en lg-retrns se adapta a una distribución Nrmal aunque sigue teniend clas muy pesadas. Est lleva a pensar que la serie de precis de la TRM se adaptaría much más a una distribución ) Lg-Nrmal que a una Nrmal.

53 Métds de Valración Mdels de Valración [( Q 1 Q ) ( r r ) Q t] ( a Q ) t t COP USD t t W W Discretizand SLN y despejand, la variable debería tener un cmprtamient Nrmal. Est llevaría a cncluir que una especificación SLN para la TRM estaría describiend adecuadamente el cmprtamient de la serie. Se puede bservar nrmalidad en la serie, per nuevamente se presentan clas pesadas. El test se realizó de una manera distinta, en cmparación a la anterir diapsitiva. En este, se evaluó la distribución de W, mientras que en el anterir se evaluarn ls Lg-Retrns. Sin embarg, en este se puede tener un sesg pr ls valres asumids para de a 50 y 2.5%

54 Valración Mdels de Valración Sfisticacines Vlatilidad Estcástica Crrelación entre varis subyacentes Mdels cn múltiples fuentes de incertidumbre (Mvimients Brwnians multidimensinales) Mdels cn salts (Prces de Pissn) Características deseables de mdelar Snrisas (en vlatilidades implícitas) en ls mercads de pcines Distribucines n nrmales Vlatilidad variable Clas grdas QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS Opcines Asiáticas y Americanas

55 Valración Mdels de Valración Se busca un balance deseable entre simplicidad y precisión Calibración del mdel Escger parámetrs de tal frma que el mdel valre cercanamente instruments bservads en el mercad Parámetrs n bservables pueden acercarse a cmprtamient históric, se puede usar precis de instruments similares Métds para calibrar ests parámetrs: Mínims Cuadrads, Máxima-Versimilitud, QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS Opcines Asiáticas y Americanas

56 Valración Mdels de Valración Mdels cn Vlatilidad Estcástica: Hasta ahra tds nuestrs mdels han asumid vlatilidad cnstante. Es fácil tratar mdels en que la vlatilidad es una función determinística del subyacente y del tiemp v = v(s; t) Per, qué pasa si asumims que la vlatilidad es a su vez un prces de difusión? El estad del sistema va a estar descrit pr ds variables subyacentes S y v En ls mdels más realistas habrá un términ de crrelación entre S y v. QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS Opcines Asiáticas y Americanas

57 Valración Mdels de Valración Activ subyacente cn vlatilidad estcástica: Pasams del mund cn vlatilidad cnstante: dq ( t) ( r r ) Q( t) dt Q( t) dw a un mund en que dq COP (t) USD es en sí mism un prces estcástic: (1) ( t) ( rcop rusd ) Q( t) dt v( t) StdWt Dnde: v( t) 2 ( t) es el prces de varianza (1) W t es un mvimient brwnian estándar baj la prbabilidad de neutralidad al riesg. t QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS Opcines Asiáticas y Americanas

58 Valración Mdels de Valración Mdel de vlatilidad estcástica (Hestn) Un de ls mdels más difundids para la vlatilidad es: Dnde: dv (2) ( t) ( v v( t)) dt k v( t) dwt k es la vlatilidad de la vlatilidad v 0 es la varianza de larg plaz β > 0 es la tasa de reversión a la media W (2) t es un mvimient brwnian estándar crrelacinad cn W (1) t (1) dwt dwt dt En general genera asimetría (en la distribución de ln(q(t))) y valres alts de k generan kurtsis. (2) QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS Opcines Asiáticas y Americanas

59 Valración Métds de Valración Fórmulas Analíticas Cerradas Árbles (Mdel Binmial y extensines) Simulación (Mnte Carl) Métds numérics para Slucines de Ecuacines Diferenciales Parciales QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS Opcines Asiáticas y Americanas

60 Métds de Valración Fórmulas Analíticas Ocasinalmente se puede encntrar una fórmula cerrada para valrar un derivad Est curre cuand es psible reslver analíticamente V(0) = E * [e -rt V(T)] Pr ejempl, si V(T) = (S(T) K) +, y S sigue un MBG, se btiene la fórmula de Black, Schles y Mertn para el preci de una pción call eurpea Si V(T) = (K S(T)) +, se btiene la fórmula de BSM para el preci de una pción call eurpea QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS Opcines Asiáticas y Americanas

61 Métds de Valración Fórmulas Analíticas Fórmula de Black y Schles: C E = E * [e -rt (S(T)-K) + ] = E * [ {S(0) exp(-½σ 2 T + σ T Z) - e -rt K} + ] (métd de valración: integrar a man) = S(0) N(d + ) - e -rt K N(d - ), dnde d + = [ ln(s(0)/k) + (r + ½σ 2 )T ] / σ T d - = d + - σ T Fórmula de Black y Schles para puts eurpeas: P E = e -rt K N(-d - ) - S(0) N(-d + ) QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS Opcines Asiáticas y Americanas

62 Métds de Valración Fórmulas Analíticas Oj cn el cas de tasa de cambi. Vims que el drift debe ser el diferencial de tasas de interés. En la fórmula V(0) = E * [e -rt V(T)], la tasa de descuent del preci final es la tasa dméstica, per la distribución final de la tasa de cambi se afecta cn el diferencial de tasas. La fórmula se afecta u pc pr este hech. Para una pción call se tiene S(0) e -rft N(d + ) - e -rdt K N(d - ), dnde d + y d - se calculan cn el diferencial de tasas QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS Opcines Asiáticas y Americanas

63 Métds de Valración Fórmulas Analíticas Es psible desarrllar una fórmula estil BSM si el mdel es nrmal, dq( t) ( rcop rusd ) Q( t) dt dw( t) En este cas, recrdems: 2( rcop rusd ) t ( r r ) t e 1 COP USD Q( t) ~ e Q(0), 2( rcop rusd ) Lueg el valr de una pción call eurpea cn Strike K es e Dnde Z es una nrmal estándar, y e ( r COP r USD r COP ) T T 2 E ( vz K), v 2 1 2( r r 2 ) l cual se puede desarrllar analíticamente de frma sencilla usand N( ), la distribución nrmal estándar acumulada COP USD QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS Opcines Asiáticas y Americanas

64 Métds de Valración Fórmulas Analíticas Opcines americanas n tienen fórmula cerrada. Usar árbles N se puede usar simulación para pcines americanas: cóm se decide en cada mment si ejercer n? Opcines asiáticas n tienen fórmula cerrada para prmedis aritmétics. Usar simulación métds numérics para reslver ecuacines diferenciales parciales Es incnveniente usar árbles para pcines asiáticas: cóm se valra al final la pción? Depende del camin cn el que se llegó! A n ser que sea un árbl n recmbinante (ls cuales se evitan pr raznes cmputacinales, n se puede En efect, l que se debería hacer, es un árbl paralel al del subyacente, definiend una nueva variable de estad (el prmedi) en cada nd; est bliga que Arriba Abaj n sea igual a Abaj Arriba QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS Opcines Asiáticas y Americanas

65 Métds de Valración Fórmulas Analíticas Sí hay fórmula cerrada para pcines asiáticas que usan prmedi gemétric (ver Hull) Razón: el prces del prmedi gemétric sbre una variable lgnrmal también es lgnrmal lueg sl falta encntrar la media y varianza crrespndientes Así, si el mdel usad es dq( t) ( rcop rusd ) Q( t) dt Q( t) dw( t) entnces el prmedi gemétric de Q, digams P, cumple dp( t) 1 2 ( r COP r USD 2 6 ) P( t) dt P( t) dw( t) 3 Lueg valrar pcines call y put sbre P se reduce a usar aprpiadamente la frmula BSM QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS Opcines Asiáticas y Americanas

66 Métds de Valración Árbles A partir del mdel se establece la distribución (futura) de las variables relevantes Se particina el tiemp analizad, y en cada tiemp se generan nds, prvenientes de nds del tiemp anterir Se cnce el preci en ls nds finales. Usand el esquema de valración, se sigue un backward inductin para llegar al preci en el nd inicial Puede usarse para analizar decisines tempranas Cmputacinalmente intensiv en dimensines altas Se requiere discretizar la distribución dada QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS Opcines Asiáticas y Americanas

67 Métds de Valración Árbles Tips de Árbles: Un períd, multiperíds Binmiales, trinmiales, Recmbinantes, n recmbinantes Simétrics, n simétrics En una varias dimensines QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS Opcines Asiáticas y Americanas

68 Métds de Valración Árbles (Múltiples períds) Extensión del mdel de un perid Dividir T en más de N perids t i =T i/n Δt=T/N Pdrían ser distints T S 0 P. ej., N = 2 S u =S 0 eu1δt S d =S 0 e d1δt S uu =S 0 e (u1+u2)δt S ud =S 0 e (u1+d2)δt S du =S 0 e (d1+u2)δt S dd =S 0 e (d1+d2)δt

69 Métds de Valración Árbles (Múltiples períds) Si el estad UD cincide cn DU, el árbl es recmbinante Aplicación: OPCIÓN PUT AMERICANA, Q(0)=1900, K=1950, r d =3%, r COP =4% u1=u2=u=10%, d1=d2=d=-5%, T=1 Prces Estcástic de Q(t) t=0: Q 0 = 1900 t=0.5: Q(U) = , Q(D) = t=1: Q(UU) = , Q(UD) = Q(DU) = , Q(DD) =

70 Métds de Valración Árbles (Múltiples períds) q* = 52.4% Prces del valr de P A (t) t=1: P A (UU) = 0, P A (UD) = P A (DU) = 1.9, P A (DD) = t=0.5: P A (U) = max {(K-S(U)) +, e -rδt [q* P A (UU) + (1-q*) P A (UD)]} = 0.88 P A (D) = max {(K-S(D)) +, e -rδt [q* P A (DU) + (1-q*) P A (DD)]} = 96.9 t=0: P A = max{(k-s 0 ) +, e -rδt [q* P A (U) + (1-q*) P A (D)]} = 50 QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS Opcines Asiáticas y Americanas

71 Métds de Valración Árbles (Múltiples períds) Extensión a N perids, recmbinante Δt=T/N, u, d, r cnst j=#veces arriba S=S 0 e (ju+(n-j)d)t/n # camins que llegan ahí: N j q* prbabilidad de neutralidad al riesg Prbabilidad de llegar ahí: N ( q*) j j (1 q*) N j

72 Métds de Valración Árbles (Múltiples períds) Ntar (usand salts independientes, idénticamente distribuids): VAR * [ln{ S( T ) / S(0)}] N Nt 2 T N q *( u r) 2 ( u r)( r ( u r)( r 2 VAR t 2 d) d) Se calibra el mdel a la vlatilidad del mercad. Pr ejempl, cn u-r = r-d, y vlatilidad anual de ln(s(t)/s(0)), btenems u = r + σ/ Δt, d = σ/ Δt - r * N j1 ln (1 q*)( r S( jt) / S(( j d) 2 t 2 1) t)

73 Métds de Valración Árbles (Múltiples períds) Preci de un derivad estil eurpe cn pag final V(T,S(T)), cuy preci depende del preci final de la acción, S(T): V(0) = E*[e -rt V(T)] N rt ( ju( N j) d ) t N j N e V ( T, S0 e ) ( q*) (1 q*) j0 j Para derivads en general, el preci inicial se btiene devlviéndse en el árbl, en efect repitiend la slución del mdel de un tiemp. Mirems un ejempl en EXCEL j

74 Métds de Valración Simulación A partir del mdel se establece la distribución (futura) de las variables relevantes Se simulan distints camins de evlución futura de las variables (númers aleatris + distribución) Partición del tiemp en interval Para cada camin se puede calcular la cantidad deseada (preci del derivad, pr ejempl) Se prmedian las cantidades a l larg de ls camins (cada camin tiene el mism pes) Mientras más camins, más precisa la respuesta Ideal para dependencias del camin, y dimensines altas; n ideal para decisines tempranas (p.ej., ejercici american) QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS Opcines Asiáticas y Americanas

75 Métds de Valración Simulación Veams un ejempl simple de valración de una pción asiática mediante simulación: Opción Call Asiática, prmedi aritmétic, gemétric, armónic Subyacente: COP/USD Expiración: 1 añ Strike: At-The-Mney Spt ($1,900) Para tener idea del errr de la simulación, valrarems una pción call eurpea, cmparand el preci calculad cn el verdader preci, dad pr la fórmula de Black y Schles Partición del tiemp: mensual 12 perids pr camin Mdel usad: Mvimient Brwnian Gemétric: Shifted Lgnrmal (incluye nrmal y lgnrmal) Hestn QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS Opcines Asiáticas y Americanas

76 Métds de Valración Ecuacines Diferenciales Parciales En tiemp cntinu, se preserva la fórmula de valración de derivads Per demstrar est n es trivial debe hacerse mediante la ecuación de BSM; ests sn ls pass: Determin un mdel (digams MBG) para mi subyacente A partir de éste, calcul el mdel del valr de un prtafli cmpuest pr 1 derivad y un númer de accines que depende implícitamente del valr del derivad (en efect, su derivada cn respect al preci de la acción el delta) Se llega a un prtafli sin riesg prque esta cubiert, lueg debe crecer cm un activ libre de riesg: se llega a una ecuación sbre el valr del derivad Resulta ser una ecuación diferencial parcial. La cndición de frntera depende del derivad a valrar: V t V 2 x V rx x rv 0, V ( T, x) ( x K) QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS Opcines Asiáticas y Americanas

77 Métds de Valración Ecuacines Diferenciales Parciales El truc final está en un terema de traslación : definir una nueva prbabilidad (resulta ser la PNR) baj la cual el subyacente crece al drift crrect (y el preci del derivad, cincidencialmente, también Se empata cn tería de martingalas: El prces del preci del derivad descntad resulta ser una martingala Lueg su valr hy es el valr esperad al final Se quita el descuent, llegand a que V(0) = E * [e -rt V(T)] Per a veces calcular este valr esperad n es fácil, y es mejr quedarse a mitad de camin, reslviend una ecuación diferencial parcial Para pcines asiáticas, se intrduce una nueva variable, que lleve memria del prmedi: Y Y ( t) Q( ) d t 0 QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS Opcines Asiáticas y Americanas

78 Métds de Valración Ecuacines Diferenciales Parciales En este cas, se analiza una función (valr del derivad) cn tres variables de entrada: Tiemp (t) Preci subyacente (x) Prmedi Acumulad (y) Cn un análisis similar al anterir, se llega a que el valr de una pción call asiática cn strike fij v cumple: v t 1 2 x v 2 x v rx x v x y rv 0, V ( T, x, y) ( y K) Ecuacines similares se lgran para pcines put, y para pcines cn strike fltante; es sl cambiar la cndición de frntera QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS Opcines Asiáticas y Americanas

79 Métds de Valración Métds de Diferencia Finita Slución numérica de EDP Para el estil de ecuacines que se encuentran típicamente en finanzas (ecuación de calr), se puede usar un algritm de diferencias finitas, que es muy parecid al esquema de árbles binmiales. Existen trs métds mens usads (elements finits, pr ejempl). El métd de diferencias finitas funcina mejr para una dimensinalidad menr que la SMC. Es adecuad para funcines de pag que incluyen ejercici tempran (OPCIONES AMERICANAS) y que pueden plantearse a través de una EDP. QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS Opcines Asiáticas y Americanas

80 Métds de Valración Métds de Diferencia Finita Pr qué Métds de Diferencia Finita? Casi ninguna ecuación diferencial ( EDP) se puede slucinar analíticamente Es la manera más intuitiva de aprximar una EDP Más refinads y flexibles que árbles bi/trinmiales y much más preciss. Wilmtt: I use finite difference methds abut 75% f the time, Mnte Carl simulatins 20% and the rest wuld be explicit frmula QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS Opcines Asiáticas y Americanas

81 Métds de Valración Métds de Diferencia Finita Casi cualquier escenari más realista requiere métds numérics: Ejercici american Función de pags asiática Vlatilidad n cnstante Tasa de interés n cnstante Cierts tips de barreras La EDP de BS para pcines eurpeas es una excepción. QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS Opcines Asiáticas y Americanas

82 Métds de Valración Métds de Diferencia Finita El métd de Diferencias Finitas cnsiste en aprximar Ecuacines Diferenciales Parciales, expresadas de manera cntinua, en Ecuacines Diferenciales, expresadas de manera discreta,de tal frma que puedan ser slucinadas numéricamente. Se necesita: Una malla (grid) Una ecuación diferencial discretizada Discretización de las cndicines de frntera Discretización del Valr del Derivad es así: V ( S, t) V ( is, kt) k V I QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS Opcines Asiáticas y Americanas

83 Métds de Valración Métds de Diferencia Finita (Malla y Cndicines de Frntera) V k I IS K ( strike) e r( T t), k Cndición de Frntera para S S i k 1 V i k Vi 1 k V i k Vi 1 Cndición finales t = T V(S;T) = Pag(S) V i K = Pag(iS) k-1 V k 0, k 0 Cndición de Frntera para S=0 QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS Opcines Asiáticas y Americanas t

84 QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS Opcines Asiáticas y Americanas Gracias al Terema de Feynman-Kac, es psible expresar el valr de un derivad a través de una EDP: Métds de Valración Métds de Diferencia Finita 0 ), ( ), ( ), ( 2 2 V t S c S V t S b S V t S a t V La versión discretizada es: 0 2 ) ( k i k i k k k i k k k k i k i k i V c S V V b S V V V a t V V i i i i i

85 Métds de Valración Métds de Diferencia Finita Rerganizand ls términs: k1 k k k k k k Vi Ai Vi 1 ( 1 Bi ) Vi Ci Vi 1 Cm en el cas del árbl binmial se usa inducción hacia atrás (backward inductin): k1 k La ecuación da explícitamente V i en términs de V i para i = 1,2,...,I-1 k1 k1 V y se btienen de las cndicines de frntera. 0 V I QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS Opcines Asiáticas y Americanas

86 Métds de Valración Vlatilidad Implícita Vlatilidad Implícita Una vez más, qué era σ? Es la vlatilidad usada para valrar la pción Representa la vlatilidad que se espera (a futur, durante la vida de la pción) del subyacente Relacinada cn la vlatilidad realizada, per pueden ser bastante distintas Dad que ls demás insums de las pcines se bservan, esta es la cantidad que ctizan, y transan, ls traders de pcines.

87 Métds de Valración Vlatilidad Implícita Las primas de las pcines crecen cn σ Dads S(0), K, T, r y la prima, se puede despejar σ de las fórmulas de BS Esta es la vlatilidad implícita (está implícita en la prima) se bserva en el mercad de pcines Nrmalmente varía cn el Strike (snrisas)