Series de Fourier. FIZ Métodos de la Física Matemática II. Primer Semestre de 2012

Transcripción

1 FIZ Métodos de la Física Matemática II Primer Semestre de 2012 c sgurruti, 2012

2 Teorema de Stone - Weierstrass c sgurruti,

3 Teorema de Stone - Weierstrass Definición: El subconjunto A de C[a,b] se denomina álgebra si, para cualquier f,g A y para cualquier α R, f +g,fg,αf A. c sgurruti,

4 Teorema de Stone - Weierstrass Definición: El subconjunto A de C[a,b] se denomina álgebra si, para cualquier f,g A y para cualquier α R, f +g,fg,αf A. Si tomamos un álgebra, y le pedimos dos condiciones adicionales: c sgurruti,

5 Teorema de Stone - Weierstrass Definición: El subconjunto A de C[a,b] se denomina álgebra si, para cualquier f,g A y para cualquier α R, f +g,fg,αf A. Si tomamos un álgebra, y le pedimos dos condiciones adicionales: A contiene alguna función constante no idénticamente cero, y por tanto contiene a todas las funciones constantes. c sgurruti,

6 Teorema de Stone - Weierstrass Definición: El subconjunto A de C[a,b] se denomina álgebra si, para cualquier f,g A y para cualquier α R, f +g,fg,αf A. Si tomamos un álgebra, y le pedimos dos condiciones adicionales: A contiene alguna función constante no idénticamente cero, y por tanto contiene a todas las funciones constantes. A separa puntos en C[a,b], i.e. para cualquier par de puntos x 1,x 2 [a,b] distintos, existe una función f A tal que f(x 1 ) f(x 2 ). c sgurruti,

7 Teorema de Stone - Weierstrass Definición: El subconjunto A de C[a,b] se denomina álgebra si, para cualquier f,g A y para cualquier α R, f +g,fg,αf A. Si tomamos un álgebra, y le pedimos dos condiciones adicionales: A contiene alguna función constante no idénticamente cero, y por tanto contiene a todas las funciones constantes. A separa puntos en C[a,b], i.e. para cualquier par de puntos x 1,x 2 [a,b] distintos, existe una función f A tal que f(x 1 ) f(x 2 ). obtenemos el siguiente resultado. c sgurruti,

8 Teorema: Si A es un álgebra en C[a,b] que contiene las constantes y separa puntos, entonces A es denso en C[a, b]; i.e. cualquier función continua es aproximable por elementos del álgebra. c sgurruti,

9 Teorema: Si A es un álgebra en C[a,b] que contiene las constantes y separa puntos, entonces A es denso en C[a, b]; i.e. cualquier función continua es aproximable por elementos del álgebra. Es posible probar que que el polinomio trigonométrico a 0 + n a k cos(kx)+b k sin(kx) k=1 cumple las hipótesis del Teorema de Stone-Weierstrass en un intervalo [ π, π]. Ahora, considere el siguiente funcional: c sgurruti,

10 Teorema: Si A es un álgebra en C[a,b] que contiene las constantes y separa puntos, entonces A es denso en C[a, b]; i.e. cualquier función continua es aproximable por elementos del álgebra. Es posible probar que que el polinomio trigonométrico a 0 + n a k cos(kx)+b k sin(kx) k=1 cumple las hipótesis del Teorema de Stone-Weierstrass en un intervalo [ π, π]. Ahora, considere el siguiente funcional: F[h n,g n ] = = π π π π ( f(x) a 0 2 p L(h n,g n ) dx n=1 ( ) ) 2 h n cos(nx)+g n sin(nx) dx c sgurruti,

11 que puede ser interpretado como la desviación cuadrática del ajuste por polinomios trigonométricos a la función f(x) para la iteración p. De las ecuaciones de Euler-Lagrange para L(h n,g n ), c sgurruti,

12 que puede ser interpretado como la desviación cuadrática del ajuste por polinomios trigonométricos a la función f(x) para la iteración p. De las ecuaciones de Euler-Lagrange para L(h n,g n ), h n = 1 π π πf(x)cos(nx) dx g n = 1 π π π f(x)sin(nx) dx con n 0 para h n, y n 1 para g n. Éstos términos son los coeficientes de Fourier de f(x). c sgurruti,

13 Relaciones de Ortogonalidad c sgurruti,

14 Es útil recordar que: Relaciones de Ortogonalidad 1 π π π cos(mx)cosnx dx = δ n,m m,n 1 1 π π π sin(mx)sinnx dx = δ n,m m,n 1 1 π π π cos(mx)sinnx dx = 0 c sgurruti,

15 Series de Fourier para intervalos [a, b] c sgurruti,

16 Series de Fourier para intervalos [a, b] F(x) = a n=1 ( ) 2nπx a n cos l ( ) 2nπx +b n sin l con l = b a. Los coeficientes vienen dados por: a 0 = 2 l b a F(x) dx a n = 2 l b n = 2 l b a b a ( 2nπx cos l ( 2nπx sin l ) F(x) dx ) F(x) dx c sgurruti,

17 Motivación de Fourier c sgurruti,

18 Motivación de Fourier Considere una placa de metal plate cuadrada, cuyo lado mide π metros, con coordinadas (x,y) [0,π] [0,π]. c sgurruti,

19 Motivación de Fourier Considere una placa de metal plate cuadrada, cuyo lado mide π metros, con coordinadas (x,y) [0,π] [0,π]. Si no hay fuentes de calor dentro de la placa, y si 3 de los 4 lados se mantienen a 0 o C, mientras que el cuarto lado (dado por y = π) se mantiene a un gradiente de temperatura T(x,π) = x, es posible probar que la distribución estacionaria de calor está dada por: c sgurruti,

20 Motivación de Fourier Considere una placa de metal plate cuadrada, cuyo lado mide π metros, con coordinadas (x,y) [0,π] [0,π]. Si no hay fuentes de calor dentro de la placa, y si 3 de los 4 lados se mantienen a 0 o C, mientras que el cuarto lado (dado por y = π) se mantiene a un gradiente de temperatura T(x,π) = x, es posible probar que la distribución estacionaria de calor está dada por: T(x,y) = 2 n=1 ( 1) n+1 n sin(nx) sinh(ny) sinh(nπ) c sgurruti,

21 Ejercicios c sgurruti,

22 Ejercicios Para ver ejemplos y aplicaciones, se sugiere ver la Ayudantía 4 c sgurruti,