Introducción. Objetivos de aprendizaje

Transcripción

1 Ecuaciones e inecuaciones:expresiones algebraicas que representan problemas reales Caracterización de la gráfica de un polinomio a partir de su expresión algebraica Introducción Figura 1. Mensaje de introducción Objetivos de aprendizaje Identificar relaciones entre propiedades gráficas y sus expresiones algebraicas. Reconocer las relaciones entre la representación algebraica de la recta y su gráfica. 1

2 La recta En la vida cotidiana es común encontrar objetos de nuestro entorno o en el medio ambiente en las que se pueden simular una o varias rectas. observemos algunos ejemplos. Figura 2. Camarote y lisadero Figura 3. Lisadero inflable Figura 4. Jumping 2

3 Actividad 1 Caracterizando la recta y la pendiente Ejercicio 1 Tu hermano piensa ir de excursión, y para ello tiene que llegar hasta el árbol que se ve a lo lejos: Figura 5.Caminante a) Dibuja el camino más corto por el cual podría llegar tu hermano, para ello ve marcando dicho camino con puntos hasta llegar al árbol. b) Qué clase de línea se ha formado? Cambiaste de dirección para el trazo? c) Cuántos puntos crees que cabrían entre el lugar de donde parte tu hermano y el árbol hasta el que tiene que llegar? d) De acuerdo a las preguntas anteriores, Diga algunas características de la recta. 3

4 Los usos que podemos encontrar para la recta son diversos, entre ellos tenemos: 1) Delimitar: La recta delimita un área de la cual no pueden pasar los jugadores, antes de la jugada. Figura 6. Barrera 2) Señalizar: Las rectas señalizan el área de la cancha de tenis, lo cual permite desarrollar el juego. Figura 7. Cancha de tenis 3) Indicar comportamientos o tendencias La recta muestra cómo fue el crecimiento de la empresa en varios años. Figura 8. Presentación de rendimientos 4) Calcular la distancia más corta entre dos puntos Punto de destino Punto de origen Para llegar a un punto, el caminante planea tres rutas, siendo la más corta la señalizada con la recta de color rojo. Figura 9. Caminante 2 4

5 Algunas características de la recta son: Está constituida por una serie infinita de puntos que van en una misma dirección. Es la distancia más corta entre dos puntos. Ejercicio 2 En algunas ocasiones habrás escuchado frases como: Figura 10.Ciclistas Figura 11. Señal de tránsito Figura 12. Señales de tránsito Figura 13. El alpinista Figura 14. Aviso 5

6 Teniendo en cuenta la conversación y las imágenes, responde: A qué hacen alusión en la conversación y las imágenes? En tus palabras, describe qué es una pendiente. Dibuja tres lugares u objetos de la vida cotidiana donde se observen rectas con pendientes, dos rectas horizontales y dos rectas verticales, (demarca la recta con pendiente, con un color diferente al del dibujo). 6

7 Ejercicio 3 Teniendo en cuenta el tipo de rectas que se te solicitaron en el punto anterior, veamos en el plano cartesiano algunas rectas a través de la siguiente imagen: Figura 15. Los desplazamientos de los caminantes Si cada desplazamiento vertical y horizontal representa una unidad, entonces: A) De acuerdo la imagen, cuál es el recorrido en unidades que realiza cada montañista en forma vertical? B) De acuerdo a la imagen, cuál es el recorrido en unidades que realiza cada montañista en forma horizontal? C) Si al igual que en un plano cartesiano, todo movimiento hacia la derecha o hacia arriba es positivo, y todo movimiento hacia la izquierda o hacia abajo es negativo, responde: a) Cuál es la razón del desplazamiento total del montañista 1? desplazamiento vertical desplazamiento horizontal = = b) Cuál es la razón del desplazamiento total del montañista 2? desplazamiento vertical = = desplazamiento horizontal 7

8 c) Comparando las dos respuestas, qué conclusión sacas? d) La razón entre los desplazamientos indica la pendiente, la cual puede ser positiva o negativa. Según tus cálculos, las pendientes que calculaste son positivas o negativas? Figura 16. Los desplazamientos de los caminantes 2 A) Cuál es el recorrido en unidades que realiza cada montañista en forma vertical? B) Cuál es el recorrido en unidades que realiza cada montañista en forma horizontal? C) Hagamos lo mismo que en el ejercicio anterior: hallemos la razón entre los desplazamientos teniendo en cuenta el sentido de la dirección. e) Cuál es la razón del desplazamiento total del montañista 1? desplazamiento vertical desplazamiento horizontal = = 8

9 f) Cuál es la razón del desplazamiento total del montañista 2? desplazamiento vertical = desplazamiento horizontal = g) Comparando las dos respuestas Qué conclusiones sacas? h) La razón entre los desplazamientos indica la pendiente, la cual puede ser positiva o negativa. Según tus cálculos, las pendientes que calculaste qué son, positivas negativa? D) Ahora calcula la pendiente de los siguientes desplazamientos: Figura 17. Los desplazamientos de los caminantes 3 9

10 Halla la pendiente de la recta a y b de la misma manera que en las anteriores ejercicios. Pendiente recta a pendiente recta b Recuerda n El cociente de un número dividido por cero es indeterminado 0 10

11 Figura 18. Cuaderno argollado E) Para finalizar, indica qué pendientes presenta cada una de las siguientes rectas: Pendiente: Pendiente: Pendiente: Pendiente: Ejercicio 4 Observa la siguiente imagen donde un auto se desplaza por dos tramos, y responde: Tramo B Tramo A Figura 19. Vehículo por pendientes 11

12 Si cada división de la cuadricula representa una unidad: a) En qué tramo del recorrido es mayor la pendiente y por qué? (apoya tu respuesta con cifras). b) Si los desplazamientos fueran iguales en ambos tramos Cuál sería el valor de la razón que determina la pendiente? Actividad 2 Las clases de variables y sus variaciones Si la pendiente se calcula con el cociente entre el desplazamiento vertical y el desplazamiento horizontal, a los valores que representan dichos desplazamientos los podemos representar por variables o letras y podemos concluir que el valor numérico de la pendiente dependerá del valor de las variables, las cuales en determinadas situaciones presentan cierta relación. Reflexiona sobre la siguiente imagen y concluye: Figura 20. El hombre y las fábricas Según la imagen: A mayor más Según la respuesta anterior Cuál variable depende de cuál? Si una variable depende de otra, cómo la llamarías: Si una variable no depende de otra, cómo la llamarías: 12

13 Ejercicio 1 Para comprender mejor el concepto de variable dependiente y variable independiente observa las siguientes imágenes y responde: 1) Figura 21. Las vacas y la leche Según las imágenes, qué oración tiene más sentido y por qué? (Señala con una x la correcta). a. La cantidad de vacas que se tengan, depende de la cantidad de leche que se obtenga. b. La cantidad de leche que se obtenga depende de la cantidad de vacas que se tengan. 2) Figura 22. Los pulmones y el fumador 13

14 Según las imágenes qué oración tiene más sentido y por qué? (Señala con una x la correcta). a. La probabilidad de padecer cáncer de pulmón depende también, de la cantidad de cigarrillo que se fume diariamente. b. El número de cigarrillos que se fumen diariamente depende del cáncer de pulmón. 3) Figura 23. El peso y la altura Según las imágenes qué oración tiene más sentido y por qué? (Señala con una x la correcta). a. El peso de una persona depende también de su estatura. b. La estatura de una persona depende también de su peso. 14

15 Ejercicio 2 Identifica las variables y ubícalas en la columna correspondiente. a) El valor total de una compra en relación con el número de artículos comprados b) La longitud de un lado y el área de un rectángulo c) El nivel de conocimientos y las horas de lectura d) La temperatura y el nivel de agua en las represas e) El peso corporal y las cantidades consumidas de comida chatarra Tabla 1. Tabla de variables Variable independiente Variable dependiente a) b) c) d) e) Ejercicio 3 Lee cada una de las siguientes oraciones, y en cada una de ellas identifica y escribe los datos que pide la tabla que se presenta a continuación (ten en cuenta los datos de la columna de Cambios en la variable). Observa que algunos campos de la tabla ya están llenos, ello te ayudará a una mejor comprensión del desarrollo del ejercicio. a) Se paga en total $45000 por un número de entradas al cine, sabiendo que el valor de cada entrada es de $9000. b) Un profesor cobra por hora de clase, y en una sección de dos horas ha ganado c) Para un recorrido constante de 30 cm un caracol demoró 5 minutos, desarrollando cierta velocidad. d) Cada par de zapatos se vende por $20000 y los ingresos totales del día por las ventas de zapatos fueron de $

16 Tabla 2. Expresiones y variables Oración Variable dependiente Variable Independiente Expresión algebraica Cambios en la variable a) Pago total de 4,6 y 7 Número entradas de entradas b) Horas de clase 3,4,5 horas de clase c) (30 cm) 4,6,7 tiempo de V= T desplazamiento (minutos) d) Pares de zapatos 4,6.7 pares de zapatos vendidos Valores resultantes por los cambios en la variable $36000, $54000 y $63000 Ejercicio 4 Con los pares de datos que se generan en la variable dependiente, cuando varia la variable independiente se puede construir una recta en un plano cartesiano. Según la relación entre las variables las gráficas pueden ser curvas. Por no ser del tema tratado en este documento, este caso no se presentará en los ejercicios. Observa el ejemplo para la primera oración. Total de dinero pagado por el número de entradas a cine ; Total pagado ; ; ; Número de entradas Figura 24. Gráfica de la recta Número de entradas Pago total

17 Ahora haz lo mismo para la demás oraciones. 17

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19 Hoy aprendimos que: Una Recta se caracteriza por: Estar constituida por la unión de infinitos puntos que van en una misma dirección. Representa la distancia más corta entre dos puntos. La Pendiente Es la razón entre los desplazamientos verticales (movimientos en y) y los desplazamientos horizontales (movimientos en x). Se calcula con el cociente entre el desplazamiento vertical y el desplazamiento horizontal, o la razón de cambio entre las variaciones que se generan en ambos desplazamientos. Una variable independiente es aquella que toma diferentes valores que se asignan de forma aleatoria, los cuales afectan el valor de la variable dependiente. Una variable dependiente es aquella cuyo valor depende de los valores que tome la variable independiente. 19

20 1) Identifica, en las siguientes oraciones, cuál es la variable dependiente y cuál es la variable independiente. Explica por qué. A) El radio de una circunferencia y el área de esta B) El área de un triángulo y uno de sus lados C) El número de carros vendidos y los ingresos por ventas de la venta D) La arista y el volumen de un cubo E) El valor pagado y el número de entradas a un parque Responde acá 20

21 Q2. El gerente de ventas de una empresa presenta el siguiente grafico como informe final del primer semestre. El presidente de dicha compañía tiene algunos interrogantes que espera tú le ayudes a resolver, así: Figura 25. Gráfica en el plano Ventas al exterior Contesta lo siguiente expresándolo como par ordenado(x, Y) Utilidades 10 2, , , , , ,5 En qué punto las ventas al exterior y las utilidades por ventas fueron las más bajas? Expresa los puntos donde a pesar de que las ventas al exterior aumentaron, las utilidades por ventas estuvieron estables. Dónde se alcanzó el mayor valor de las utilidades por ventas? Cuál es el par ordenado que representa el último punto del gráfico? Identifica las diferentes pendientes que se presentan en la gráfica y calcúlalas. 21

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23 Figura1. Mensaje de introducción Lista de figuras Figura 2. Camarote y lisadero Figura 3. Lisadero inflable Figura 4. Jumping Figura 5.Caminante Figura 6. Barrera Figura 7. Cancha de tenis Figura 8. Presentación de rendimientos Figura 9. Caminante 2 Figura 10. Ciclistas Figura 11. Señal de tránsito Figura 12. Señales de tránsito Figura 13. El alpinista Figura 14. Aviso Figura 14. Cuaderno argollado Figura 15. Los desplazamientos de los caminantes Figura 16. Los desplazamientos de los caminantes 2 Figura 17. Los desplazamientos de los caminantes 3 Figura 18. Cuaderno argollado Figura 19. Vehículo por pendientes Figura 20. El hombre y las fábricas Figura 21. Las vacas y la leche Figura 22. Los pulmones y el fumador Figura 23. El peso y la altura Figura 24. Gráfica de la recta Figura 25. Gráfico en el plano 23

24 Lista de tablas Tabla 1. Tabla de variables Tabla 2. Expresiones y variables 24