MODELADO, SIMULACIÓN Y CONTROL DE UN PÉNDULO INVERTIDO USANDO COMPONENTES ANÁLOGOS SIMPLES

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1 MODELADO, SIMULACIÓN Y CONTROL DE UN PÉNDULO INVERTIDO USANDO COMPONENTES ANÁLOGOS SIMPLES Roberth Tinoco Romero, Euaro Orces Ingeniero Mecánico 004 Director e Tesis, Ingeniero Mecánico, Escuela Superior Politécnica el Litoral, 985, Master en Ciencias e Ingeniería Mecánica, California Institute of Technology USA, Bsc. California Institute of Technology USA. RESUMEN Un pénulo invertio es un ispositivo físico ue consiste en una barra cilínrica con liberta e oscilar alreeor e un pivote fijo. Este pivote es montao sobre un carro el cual en su giro puee seguir una trayectoria horizontal, Nuestro propósito final es conservar el pénulo perpenicular ante la presencia e perturbaciones, one el pénulo inclinao regresa a la posición vertical cuano se aplica al carro una fuerza e control apropiaa y al final e caa proceso e control, se pretene regresar el carro a la posición e referencia. La fuerza correcta es establecia a través e las meiciones e los valores instantáneos e la posición horizontal y el ángulo e inclinación el pénulo, por lo ue hacemos uso el iseño e un observaor e oren mínimo. El iseño es solventao bajo el uso e Matlab y Simulink, cuyo análisis, moelao y simulación nos conuce a concretar los objetivos planteaos, sin embargo al ser la simulación un aspecto importante pero bajo ningún aspecto un sustituto e un harware real, proponemos la construcción e nuestro controlaor como propósito final con uso e componentes análogos simples, el cual nos suministra claras iferencias en nuestro moelo analizao y el real, especialmente por factores tomaos bajo asunciones, tales como fricción, ruio y no linealiaes el sistema. ABSTRACT An inverte penulum is a physical evice consisting in a cylinrical bar, free to oscillate aroun a fixe pivot. The pivot is mounte on a carriage, which in its turn can move on a horizontal irection. The carriage is riven by a actuator, which can exert on it a variable force. The bar woul naturally ten to fall own from the top vertical position, which is a position of unsteay euilibrium. The goal of the experiment is to stabilize the penulum (bar) on the top vertical position. This is possible by exerting on the carriage through the actuator a force which tens to contrast the 'free' penulum ynamics. The correct force has to be calculate measuring the instant values of the horizontal position an the penulum angle (obtaine e.g. through two potentiometers). The system penulum+cart+actuator can be moele as a linear system if all the parameters are known (masses, lengths, etc.), in orer to fin a controller to stabilize it. If not all the parameters are known, one can however try to 'reconstruct' the system parameters using measure ata on the ynamics of the penulum.

2 INTRODUCCIÓN El pénulo invertio es un problema e control clásico, normalmente cubierto en clases introuctorias e controles y inámica, aemás es muy conocio por su excelente analogía para el iseño e un controlaor e vibraciones en las plataformas para el lanzamiento e un cohete, como también para la estabilización e grúas, eificaciones, robótica y sobre too para aplicaciones iácticas, por ser un excelente meio e comprobación y evaluación e las iferentes metoologías e control. Muchos pénulos invertios moernos usan sensores giroscópicos, encoers ópticos e precios exorbitantes con microprocesaores o computaoras completas para implementar sus algoritmos e control. Mientras la sofisticación e esos sensores y poer e estimación e estos ispositivos tiene sus ventajas, estos generan un problema e control intangible para el estuiante con solo conocimientos ruimentarios e esos sensores y e técnicas e controles avanzaas. De esta manera, al ser no nuevo el esafío e estabilizar el problema e un pénulo invertio sobre un carro, procuraremos controlarlo meiante el uso e simples componentes análogos tales como potenciómetros y amplificaores operacionales, en consecuencia la emostración e la solución a estableces será mas accesible a estuiantes e control introuctorias. El propósito e este proyecto, es el e comparar tres iferentes técnicas para iseñar el controlaor ue permite la estabilización el pénulo en una posición vertical bajo el control el posicionamiento el carro, en one una vez emostrao su inestabilia en lazo abierto, se recurre a moelar nuestro sistema a lazo, cuyo primer paso a iniciar es el e escribir al sistema meiante moelos matemáticos funamentaos en las leyes físicas para así proceer a su análisis. CONTENIDO. Moelo Dinámico el Pénulo Invertio. Con la finalia e entener el comportamiento e los sistemas inámicos y controlar los sistemas complejos, es necesario obtener moelos matemáticos ue los representan. I M m x bx B mg u x Finalmente, utilizano herramientas matemáticas, tales como la Transformaa e Laplace, obtenremos la función e transferencia e nuestro sistema: S s U s 3 B M m b I Bb M m mg bmg S S S

3 one: M m I.. Moelao el Sistema Pénulo Invertio en el Espacio e Estaos. El primer paso a seguir, para la obtención matricial e las ecuaciones el sistema pénulo invertio en el espacio e estao, 3 4 X X y y y X 3 Consierano ue el ángulo inica la rotación e la barra el pénulo con respecto al punto P, y ue X es la ubicación el carro. Consieramos y X como salias el sistema. (Observe ue tanto como X son cantiaes ue se mien fácilmente) M m B M m b g B b I y g y m 0 0 I.. MODELADO DEL SISTEMA PÉNDULO INVERTIDO A TRAVÉS DE SIMULINK. De las ecuaciones iferenciales, resultantes el iagrama e cuerpo libre antes ilustrao tenemos: x M Cart F x M H x b H cos V sin I Pen I para la obtención e las reacciones internas en funciones e parámetros relativamente accesibles e conocer, tenemos ue: x x x m Fx H c H m c 0 Pen 3 4 y m F y Pen V mg y V mg y m 0 No obstante, y y son funciones e theta, por consiguiente, nosotros poemos representar sus erivaciones en términos e la erivaa e theta.

4 x x x x x sin x cos cos sin y y y y cos y - sin - sin - cos y ; 0 A continuación presentaremos la construcción el moelao: La aplicación e un subsistema, facilita enormemente el análisis en Simulink e la ilustración antes escrita, tal como etallamos a continuación. Cuya ejecución, suministra los siguientes resultaos:

5 El software usao, opera sin necesia e linealizar el sistema, e ahí el hecho e ue sus resultaos e inestabilia en su comportamiento sean fieignos, ya ue no viola ninguna infracción.. Simulación el sistema e control en base al métoo el lugar geométrico e las raíces. El trazo el lugar geométrico e las raíces, con ayua e Matlab proporciona la siguiente ilustración: Claramente poemos enotar ue, sin importar ue ganancia elijamos nosotros siempre tenremos un polo positivo provocano inestabilia al sistema, por ene la inclusión e un compensaor es e vital importancia. No obstante la consieración e una ganancia erivativa aicional suministra estabilia en amplio rango pero no siempre especialmente cuano los efectos e amortiguación son significantes, por lo cual una solución por meio el control PID es una excelente alternativa a consierar, cuya función e transferencia fue eterminaa a partir e prueba y error, sieno con su respectivo comportamiento el sistema a lazo cerrao. PID S 0 S S.. Análisis e la variable no controlaa. El análisis realizao ignoro las inciencias ue genera la implementación e un controlaor aecuao para la estabilización el pénulo, no obstante es interesante

6 conocer el comportamiento el esplazamiento lineal el carro, para ello ebemos remitirnos a la función e transferencia en términos e esta variable, cuyo resultao es: X s U s s 4 b I I B M m.s s 3 B s Bb mgl M m mgl.s bmgl s Done: I M m Por meio el uso e Matlab, se logra establecer lo suceio con la variable no controlaa, tal como lo exponemos a continuación: La inestabilia es irrelevante por parte el esplazamiento el carro ya ue la eterminación el compensaor ignora la inciencia e este factor, 3. Simulación el Sistema e control en base al Espacio e Estaos. 3.. Diseño el Sistema e Control meiante Ubicación e Polos. De acuero al cumplimiento e las especificaciones e esempeño, los polos e la función e transferencia a lazo cerrao, eben ser e 3i y -0. Este último valor ebe ser aproximaamente cinco veces el primer polo para consierarse a este como polo ominante. La aplicación e la fórmula e Ackermann con el uso e Matlab, establece la siguiente matriz e realimentación e estaos ue proporciona los polos eseaos; sieno verificao e antemano ue se trata e un problema e estao completamente controlable. K = [ ]; 3.. Diseño el observaor e estao e oren completo para el sistema Pénulo invertio. Consierano ue toas las variables e estao no está isponibles para su meición irecta, se procee a establecer la matriz e ganancias el observaor confirmano primero su observabilia completa a través e igual manera e la Fórmula e

7 Ackermann, one lo polos el observaor eben ser os o cinco veces mas negativo ue el e los polos ominantes el sistema e control, ebio a ue su tiempo e respuesta no ebe interferir con el esempeño el sistema, tal cuales son -0,-,- y -3, cuyo resultao es: L =[ ; ; ; ]; La implementación e lo escrito proporciona el siguiente comportamiento por parte e las variables controlaas: Existe una error en estao estable en relación al esplazamiento el carro, esto se ebe a ue el sistema es e tipo cero en relación a esta variable, pero en si el resultao global esta entro e lo límites permisibles. 4. Implementación el Diseño e Sistema e Control Final. Bajo el preominio e factores tales como isponibilia, costo, seguria, peso tamaño, confiabilia y precisión recurrimos a la selección el actuaor y el iseño el compensaor final realizao con principios el Control Óptimo, cuyos resultaos se inclinan hacia un motor DC e imán permanente y un compensaor electrónico para tales funciones. 4.. Conexión inámica el pénulo-motor. Consierano la inámica el motor y su relación al sistema Pénulo invertio bajo el siguiente esuema:

8 obtenemos las siguientes ecuaciones iferenciales ue escriben su comportamiento: x I B M m b J r K K R o ar x M g m J r B En one: Jo M m I r o g K I R r b a K K R ar e x K e R r Experimentalmente poemos eterminar los valores e la constante par motriz-k-, la constante fuerza electromotriz-k-, la resistencia e armaura y la inercia el motor; en los cuales junto a los emás parámetros el sistema etallaremos a continuación: a PARÁMETRO DESCRIPCIÓN VALOR M Masa el Carro 0,435 Kg. m Masa el Pénulo 0,70 Kg. l Longitu meia el Pénulo 0,65 m. b Coeficiente e Fricción Viscosa el Carro 0, N.s/m B Coeficiente e Fricción Viscosa el Pénulo 0,05 N.m/ra/s K Constante el Par Motriz 0,773 N.m/A K Constante e la Fuerza Contra electromotriz 0,5584 V/ra/s Ra Resistencia e Armaura el Motor 3,69 K Ganancia el Potenciómetro el Pénulo,637 V/ra Kx Ganancia el Potenciómetro el Carro 3,83 V/m D Diámetro e la Polea 0,075 m n Reucción e la caja Reuctora 0 Jo Inercia reucia al eje el Motor,77e-3 Kg.m Done la reucción e velocia ebe multiplicar a la constante el par motriz para proceer a su análisis. 4.. Diseño el sistema e control en base al problema el Regulaor Óptimo.

9 Nos restringiremos nuestra atención al problema e tipo regulaor, one nuestro sistema es asumio por estar en euilibrio y esear mantenerlo en tal conición a pesar e la presencia e isturbios. Entonces, el objetivo se centra en minimizar los efectos e los isturbios sobre el sistema. Esto puee ser realizao con problemas e tipo e seguimiento o servomecanismos, one el objetivo es seguir una referencia aa o entraa externa. Puee ser emostrao ue los problemas e seguimiento pueen ser convertios a problemas tipo regulaor. El problema es minimizar J con respecto a la entraa e control (t). Esto es conocio como el problema regulaor cuarático lineal Obtención e la matriz e ganancias e realimentación e estao. Reemitiénonos al principio el regulaor cuarático lineal y al uso el river el motor tipo H, ue nos permite la inversión e giro y amplificar la potencia, se procee a eterminar la matriz e realimentación meiante la ayua e Matlab, cuyo resultao se muestra a continuación: K =[ ]; 4.4. Obtención e la matriz e ganancias el observaor e oren mínimo. Debio a ue la variables e salia e pueen meir e manera irecta y esta a su vez se relaciona en forma lineal con e las 4 variables e estao, se recurre por su simplicia práctica al iseño el observaor e oren mínimo,. El resultao encontrao es: L =[ ; ]; La implementación el sistema e control iseñao bajo control óptimo suministra Poemos observar ue el gasto e energía por parte e la señal e control es menor al usao por la metoología e ubicación e polos, este es una característica inherente el control óptimo ue euilibra la conición e gasto y esempeño el sistema. Ahora, incurrieno a la ecuación el observaor e oren mínimo y la señal e control a través e la realimentación e estaos, llegamos a las siguientes igualaes: x x x

10 El cual conuce al circuito electrónico ue hace la función el compensaor, U Implementación el Diseño e Sistema e Control Final /S El moelo a establecer ebe aproximarse lo mas posible al harware real, por ello la consieración e la zona muerta el motor y ganancia e los sensores utilizaos son tomaos en consieración bajo Simulink, tal cual toma la siguiente configuración: -/S Cuyo resultaos lo etallamos a continuación:

11 5. Conclusiones y Recomenaciones. Tras la construcción e nuestro harware se cumple parcialmente nuestro objetivos, ebio a problema e saturación e nuestros componentes físicos, por lo ue se hace necesario la inclusión e la inámica e los mismos para futuras mejora al igual e la elimitación e nuestra señal e control, puesto ue too ispositivo físico posee entraas y salias acotaas. La realimentación e estaos reuiere aemás el uso e sensores con un ancho e bana infinitos puesto ue es uno e los ue mas incien el la generación e ruio, tal cual fue nuestro caso por ello recurrimos al uso e aislaores en los integraos. Otro aspecto relevante fue la eviente problemas e sobrecarga en el river el motor, ebio a corrientes excesivas por arranue y cambios e giro, ebiénose incorporar el uso e un OPA 548 ieal para esta aplicación ue por sus características e excelente manejo para un amplia variea e cargas, el mismo ue internamente se protege contra sobre temperatura y sobrecargas. Se ebió aemás elimitar la región e actuación el actuaor, por contribuir a un ruio excesivo y a isturbios internos ue inestabilizaban en sistema, la cual se logro meiante el empleo e os potenciómetros e precisión Como recomenación final, para futuras mejoras al proyecto se hace necesario la obtención e ganancias significativas para la retroalimentación e estaos meibles para zonas e baja frecuencia para lograr isminuir los efectos e los isturbios internos como externos. No obstante para regiones e alta frecuencia ebe atenuarse la ganancia lo mas rápio posible a fin e reucir los efectos el ruio, por lo ue se hace inispensable incursionar al CONTROL ROBUSTO, ue consiera en el iseño e un sistema e control, coniciones mas realistas.

12 6. Referencias. BOYLESTAD ROBERT L., Electrónica: Teoría e Circuitos, Sexta eición, Prentice-Hall Hispanoamérica, México, BRUNS & SAUNDERS, Analysis of Feeback Control System, McGraw-Hill, New York, 955, pag DORF RICHARD, AND BISHOP ROBERT, Moern Control Systems, Ninth Eition, Prentice Hall, New Jersey, LEWIS JACK W., Moeling Engineering System, HighText Publications, Unite Status of America, MESSNER WILLIAM C, AND TILBURY DAWN M., Control Tutorials for Matlab an Simulink, Aison Wesley Longman, Inc. 6. OGATA KATSUHIKO, Ingeniería e Control Moerna, Tercera eición, Prentice-Hall Hispanoamérica, México D.F., ROBBINS TOM, The Stuent Eition of Simulink, Prentice-Hall, New Jersey, R. Tinoco, Diseño y Simulación e un Sistema e Control e Pénulo Invertio (Tesis, Faculta e Ingeniería Mecánica, Escuela Superior Politécnica el Litoral,005) 9. THOMSON WILLIAN T., Teoría e Vibraciones, Eitorial Prentice-Hall Internacional, España, 983, pag SHAHIAN BAHRAM an HASSUL MICHAEL, Control System Design using Matlab, Prentice-Hall, New Jersey, VAN DE VEGTE JOHN, Feeback Control System, Prentice-Hall, New Jersey, 986. Director e Tesis e Grao Ing. Euaro Orces