Pruebas Maximin para la Calidad de Estabilización Robusta

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1 8º Congreso Nacional e Mecatrónica Noviembre 6 y 7, 9. Veracruz, Veracruz. Pruebas Maximin para la Calia e Estabilización Robusta Gutiérrez Arias José Eligio Moisés, Cabrera Martínez Javier, José Fernano Reyes Cortés Faculta e Ciencias e la Electrónica, Benemérita Universia Autónoma e Puebla Av. San Clauio y Blv. 18 Sur. Col. Jarines e San Manuel, Puebla, Pue. C.P. 757, México eléfono: () jmgutierrez@ece.buap.mx / javier_cm4@ece.buap.mx, / freyes@ece.buap.mx Resumen Existen situaciones en que se esea estimar la calia e estabilización e un sistema e control, en las cuales se esconoce como funciona el sistema e icho control; pero conocemos la entraa y la salia el mismo, estas situaciones permiten consierar los sistemas e pruebas e calia e la estabilización, como lo son las pruebas maximin. Las estrategias e pruebas maximin es una nueva irección en la teoría e control óptimo y tienen su aplicación en la práctica e pruebas. Su objetivo es evaluar el esempeño e algoritmos e estabilización esconocios, así, meiante un sistema e pruebas eterminar cuan bueno es icho algoritmo e control. En el presente trabajo, se evalúa el esempeño que presenta un controlaor esconocio que se aplica a un robot móvil, utilizano para ello las pruebas maximin. Palabras clave: Pruebas maximin, inicaor e esempeño, estimación inferior, ecuación e Riccati. 1. Introucción Hacia 196 y como respuesta a las nuevas necesiaes (plantas con múltiples entraas y salias, elevaa complejia), surge la teoría moerna e control, la cual está basaa en el análisis y la síntesis en el ominio el tiempo empleano variables e estao. Los esarrollos más avanzaos están representaos por conceptos como el control óptimo, sieno éste, un tópico especial entro e la isciplina e las ecuaciones iferenciales. Con el esarrollo el principio el máximo por Pontryagin (1958) y el métoo e la programación inámica por Bellman (1957), actualmente, la teoría e control óptimo se consiera como uno e los elementos e los métoos e optimización. La iea e control puee ser expresaa como el proceso meiante el cual se ejerce una influencia sobre el comportamiento e un objeto para alcanzar un propósito previamente fijao; pero si ahora, se esea lograr tal propósito en un tiempo mínimo o con un mínimo uso e recursos e control, entonces, este es un problema e control óptimo, ya que se quiere minimizar un funcional que epene el estao el sistema y el control, e esta manera, poemos ecir que este funcional escribe la calia e estabilización. En el establecimiento e las pruebas e estabilización en sistemas inámicos, la solución e un problema el tipo maximin es consierao como el principio e las pruebas. El conocimiento o escripción e un algoritmo e estabilización no es necesario para la realización e un proceimiento e pruebas, sólo se supone el uso e una señal e entraa y salia el algoritmo.. Establecimiento e las pruebas maximin Un sistema inámico controlable está formao generalmente por cuatro partes como se observa en la fig. 1, éstas actúan e tal forma que se prouce un mecanismo e retroalimentación [1]. Fig. 1. Diagrama e un sistema inámico controlable. Asociación Mexicana e Mecatrónica A.C. 6 Instituto ecnológico e Veracruz

2 8º Congreso Nacional e Mecatrónica Noviembre 6 y 7, 9. Veracruz, Veracruz. Para el establecimiento e las pruebas maximin, consieremos las ecuaciones en esviaciones siguientes el movimiento programao: x& = Ax + Bu + Cv, x( t) X u() U = { u() KC: ui( t) υi, i= 1, K, r (1) } v() V = { v() KC: vj( t) μ j, j = 1, K, s } Done x(t) es el vector n-imensional e esviaciones e una trayectoria aa, v( ) es el vector s-imensional e perturbaciones permanentes, u( ) es el vector r-imensional e controles estabilizaores, x(t ) X es el conjunto e esviaciones iniciales, υ i y μ j son parámetros aos que escriben los recursos e control y la perturbación permanente. U y V son conjuntos aos en los cuales el constructor trabaja prácticamente. Suponemos que el sistema (1) es estabilizable y completamente controlable para cualquier v const V si el corresponiente algoritmo e estabilización u( ) U es usao. Suponemos también que la calia e la estabilización está escrita por el criterio e esempeño cuarático ao en () t1 () 1 1 t (, ) = ( + ) + ( ) ( ) L uv xgx u Nu t x t Sxt El primer sumano el funcional es una integral que epene e los valores que va tomano x(t) y u(t) a lo largo el horizonte temporal, por lo tanto, valora el comportamiento el sistema a través el tiempo. El seguno sumano valora el estao en que quea el sistema al final el intervalo e tiempo que constituye el horizonte temporal el problema. Para el establecimiento e las pruebas asumimos que conocemos el sistema inámico (1) que escribe el comportamiento e las esviaciones y el criterio (), así como los conjuntos U y W. Las matrices G, N y S son constantes y satisfacen que G, N > y S. Denotemos a w=(x(t ),v) W one W =X V, formulamos los siguientes problemas e síntesis y análisis e sistemas e control []: a) El problema e estabilización minimax. inf sup L( uw, ) (3) u() U w () W b) El problema e las pruebas maximin. sup inf L( uw, ) (4) w() W u() U El problema (4) es consierao como el soporte el proceimiento e pruebas (ver el esquema funcional e la fig. ). Fig.. Esquema Funcional e las Pruebas Maximin. En el planteamiento general e las pruebas maximin asumimos que el funcional L(u,w) alcanza su máximo y su mínimo. La caena e esigualaes (5) es muy importante [5]. L = Lu, w = maxmin Luw, ( ) ( ) ww u U min max (, ) (, ) L uw Luw % = L % (5) u U w W El proceimiento e las pruebas maximin para la calia e la estabilización robusta está constituio por tres etapas [3]: En la primera etapa, la solución el problema maximin, la estrategia óptima u (x,t), la estrategia e las pruebas w (x,u,t) (si existe) y el valor el juego inámico (4) (L es la estimación inferior es ecir la calificación excelente) son eterminaos y e la primera esiguala en (5), convenimos en tomar como parámetro e evaluación o nota excelente a la solución el problema extremal (4). La seguna etapa se lleva a cabo entro el marco e la simulación inámica, cuano generaa una contraestrategia w (x,u,t), en respuesta a la acción e salia u% (t), obtenemos la estimación e estabilización real L %. El algoritmo e estabilización es consierao para nosotros como una caja negra, ao que la forma en que se construyó es esconocia para nosotros, únicamente tenemos conocimiento e la señal e salia e icho algoritmo e estabilización (sin embargo, en algunas ocasiones se consiera que la estructura el algoritmo a evaluar Asociación Mexicana e Mecatrónica A.C. 7 Instituto ecnológico e Veracruz

3 8º Congreso Nacional e Mecatrónica Noviembre 6 y 7, 9. Veracruz, Veracruz. es lineal, u% =K(t)x, one los parámetros K(t), son esconocios para nosotros). En la tercera etapa, el resultao e la prueba L %, se compara con la estimación menor L : L k = 1 (6) L% w xut,,, u% xt, ( ( ) ( )) La relación (6) es una estimación para la calia e la estabilización, mientras más cercana a la nota excelente se encuentre la estimación mejor será el algoritmo e control que se está evaluano. 3. Pruebas maximin para un robot móvil Consieramos la clase e robots móviles autónomos que consisten e tres rueas, os activas y una pasiva, con restricciones no-holonómicas, que aparecen como consecuencia e la hipótesis e no eslizamiento []. Las velociaes el centro e las rueas son enotaas como v r y v l (ver fig.3). La posición el robot (centro el arreglo e sensores) con respecto al sistema e referencia P ξ, está aa por las siguientes relaciones: & α = ω & ξ = vcosα hsinα (7) & = vsinα + hcosα El robot es un sistema no-holonómico y las velociaes e las rueas activas eben tener la irección el eje P x (el sistema e referencia P xy, tiene situao el origen en la intersección el eje e simetría el robot y el centro el eje e las rueas activas). Figura 3: Sistema e coorenaas inercial. Para obtener las ecuaciones inámicas, se sustituyen estas restricciones por fuerzas reactivas R r r, R r l. Se tienen también os fuerzas activas F r r, F r l. Meiante los teoremas principales e la mecánica se escriben las ecuaciones en el sistema P ξ. Obtenieno las siguientes relaciones inámicas m( v& + bω ) = Fr + Fl (8) J% & ω+ mbωv = F F a ( ) Sustituyeno las fuerzas activas por torques e los motores y los voltajes que son aplicaos a los mismos M = F ρ (9) Done M es el torque el motor y el moelo más simple el motor es: M = χu σϕ& (1) El miembro erecho σϕ& es la suma e la fricción viscosa y la fuerza contraelectromotriz. Entonces para la ruea erecha χur σϕ& vr v+ ωa Fr = ; & ϕr = = (11) ρ Sustituyeno en la ecuación para caa ruea, y realizano operaciones en (11) se obtienen las ecuaciones inámicas: σ χ mv& + mbω + v = + ul) (1) a J% σ χ & ω+ mbωv+ ω = ul) Finalmente se obtienen las ecuaciones el movimiento que permiten simular la inámica e este robot: & ξ = vcosα hωsin α & = vsinα hωcosα (13) & α = ω σ χ mv& =mbω v + + ul) a ωσ χa J% & ω = mbωv + ul) Cualquier trayectoria real se puee conseguir realizano combinaciones e trayectorias rectas y semicírculos como se muestra en la fig. 4. Se observa que el robot puee realizar movimientos por líneas rectas horizontales o verticales en cualquier sentio, así como semicírculos también en ambos sentios. r l Asociación Mexicana e Mecatrónica A.C. 8 Instituto ecnológico e Veracruz

4 8º Congreso Nacional e Mecatrónica Noviembre 6 y 7, 9. Veracruz, Veracruz. rayectoria. ξ ϕ α v ω 5. Cuarante I irección reloj. 6. Cuarante I R cosϕ Rsinϕ,, ω t ω R ω ω t + R ω ω 7. Cuarante II irección reloj., ωt + R ω ω Fig. 4. ablero e posibles trayectorias programaas. La tabla 1 muestra el conjunto e trayectorias eseaas, cuano el movimiento se realiza a lo largo e un segmento e línea paralela al eje ξ o al eje. 8. Cuarante II 9. Cuarante III irección reloj. 1. Cuarante III 11. Cuarante IV irección reloj. 1. Cuarante IV R cosϕ Rsinϕ R cosϕ Rsinϕ,,,,, ω t + R ω t ω ω ω R ω ωt R ω ω ωt R ω ω ω t ω R ω rayectoria. ξ 1. Línea horizontal sentio negativo.. Línea horizontal vt sentio positivo. ξ 3. Línea vertical sentio negativo. 4. Línea vertical sentio positivo. α vt+ ξ + vt+ vt+ v ω v v v v abla 1. rayectorias programaas para las líneas horizontal y vertical. En la fig. 4 se muestra un tablero e entrenamiento one tenemos cuatro cuarantes, caa uno con una trayectoria circular la cual se puee realizar en irección a las manecillas el reloj o contraria a ella, entonces se tienen ocho posibles configuraciones como se muestra en la tabla. Utilizano las trayectorias programaas (tablas 1 y ) poemos escribir el sistema lineal en esviaciones, así el sistema lineal para la trayectoria 4 (tabla 1) es: & ξ = vα + hω & =v & α = ω (14) σ χ v& = v+ ( ul + ur) mρ mρ mbv a σ χa & ω = ω ω+ ( u r u l) J% J% ρ J% ρ abla. rayectorias programaas para las líneas circulares. De la misma forma que se obtuvo el sistema lineal (14) se pueen obtener sistemas lineales para caa una e las trayectorias mostraas en las tablas 1 y. 4. Estimación inferior e las pruebas maximin aplicaas a un robot móvil En este epígrafe resolvemos el problema extremal (4) para obtener la estimación inferior (paso 1) y establecer las pruebas maximin, para solucionar el problema interno e (4), hacemos uso e la programación inámica e Bellman. El criterio e esempeño () es minimizao, aa la inámica el proceso controlable (1), ahora efinimos la función e costo mínima t f ω ( x, t) = min ( x G() t x+ u N() t u) t+ ut () t ( 1) ( 1)} x t Sx t (15) Asumieno que las erivaas parciales e ω (x,t) existen y son acotaas, se escribe la ecuación e Hamilton-Jacobi-Bellman, one ω (x,t) ebe satisfacer la ecuación en erivaas parciales. = ω x t, t + min{ x G t x+ u N t u t ( ( ) ) () () ut () + xω ( x () t, t) A() t x+ B() t u} (16) Asociación Mexicana e Mecatrónica A.C. 9 Instituto ecnológico e Veracruz

5 8º Congreso Nacional e Mecatrónica Noviembre 6 y 7, 9. Veracruz, Veracruz. Done ω (x(t f ), t f )= x (t 1 )Sx(t 1 ). Asumimos que la solución e la ecuación (4.3) es e la forma ω (x,t)=x P(t)x, e esta manera se euce el siguiente control: 1 u = N B P t x (17) () Sustituyeno el control (17) en la ecuación (16) se obtiene: P() t = x + G+ P() t A+ A P() t t 1 P t BN B P t x (18) () () ()} P t 1 + G P() t BN B P() t + P() t A+ A P() t = t (19) Done (19) es la llamaa ecuación iferencial matricial e Riccati [4] con coniciones finales P(t 1 )=, al solucionar esta ecuación se obtiene la matriz P(t) lo que permite obtener completamente el control (17), así obtenemos la solución el problema interno e (4). Ahora para solucionar el problema externo e (4) consieramos cuatro movimientos programaos; en este caso las trayectorias y 4 e la tabla 1, así como las trayectorias 6 y 7 e la tabla como se muestra en la figura 5. e ecuaciones lineales en esviaciones, para las trayectorias mostraas en la figura 5. Variable. Valor. Descripción. v 1.5 Velocia eseaa [m/s] a.4 Distancia entre las rueas [m] b.4 Distancia el centro e masa al eje e las rueas [m] h.1 Distancia el eje e las rueas al arreglo e sensores infrarrojos [m] m 4.5 Masa el robot [Kg] ρ.8 Raio e las rueas [m] R.35 Raio e inercia el carro [m] χ.1 Fricción viscosa σ.9 Fuerza contraelectromotriz el motor. abla 3. Parámetros el robot móvil. Para la línea horizontal (sentio positivo) se tiene el siguiente sistema linealizao alreeor e esta trayectoria: & ξ = v & = 1.5α.1ω () & α = ω v& =.65v +.77( ul + u r) & ω = ω.1743 ul) Análogamente obtenemos los sistemas linealizaos con las trayectorias mostraas en la fig. 5. Meiante la programación inámica resolvemos los problemas internos para caa uno e los sistemas anteriores y obtenemos los siguientes resultaos. Fig. 5. rayectorias programaas. Como consecuencia el conjunto W se consiera un conjunto iscreto, por lo que resolvemos el problema interno 4 veces y posteriormente tomamos el máximo valor eterminano con ello la estimación inferior L. Para el esarrollo e esta parte consieramos los valores numéricos e los parámetros que intervienen en el robot móvil [5] (ver tabla 3). Sustituimos los parámetros y encontramos el sistema 1. El valor el problema interno para el sistema linealizao con la trayectoria es: El valor el problema interno para el sistema linealizao con la trayectoria 4 es: El valor el problema interno para el sistema linealizao con la trayectoria 6 es: El valor el problema interno para el sistema linealizao con la trayectoria 7 es: Por lo tanto la estimación inferior para las pruebas maximin es: L = (1) Asociación Mexicana e Mecatrónica A.C. 3 Instituto ecnológico e Veracruz

6 8º Congreso Nacional e Mecatrónica Noviembre 6 y 7, 9. Veracruz, Veracruz. 5. Evaluación e un sistema e control esconocio Ahora analizamos la calia e estabilización e un algoritmo e control (pasos y 3 el sistema e pruebas maximin) que tiene la forma lineal u% =K(t)x, one: K por: ul u% = u r k k k k k = k1 k k3 k4 k 5 k 11 ξ x = α v ω Done los parámetros e K(t) están aos 8 ( ) t ( ) ( ) + = t t t t t t k1 4 = ( ) t + ( ) t ( ) t t t t t t k = t t ( ) ( ) + ( ) t t.35581t t t 5.545t k3 = ( ) t + ( ) t t t 1.568t t 17.19t t k5 = ( ) t + ( ) t t t 3.631t t 35.8t t k = k = k = k = k = Utilizano el control u% =K(t)x eterminamos la nota real L % (paso ), para ello sustituimos el controlaor en el sistema (13) y utilizamos el ínice e esempeño ao en (), con lo cual obtenemos la estimación real: L % = 13 () La última etapa (paso 3) consiste en comparar la estimación real obtenia en () con la estimación inferior (1), para esto utilizamos la relación que nos etermina la estimación para la calia e la estabilización aa en (6) t k = *1 =.35 (3) 13 De acuero a lo anterior, poemos concluir que el algoritmo e control evaluao se ebe mejorar en su esempeño. 6. Conclusiones Este trabajo se basa principalmente en el establecimiento y análisis e las pruebas maximin para la calia e estabilización robusta y como su nombre lo ice, es una estrategia e pruebas que nos eterminarán la calia e un algoritmo e control. El uso e la programación inámica es e vital importancia, ya que con este métoo se puo obtener la estimación inferior y e esta manera tener un parámetro con quien comparar cualquier sistema e control que sea aplicao a un robot móvil como lo ejemplifica este trabajo. Referencias [1] GUIÉRREZ J. E. M. Estrategias e las Pruebas Maximin para la Calia e la Estabilización, esis e octorao, México 3, pp [] Saovnichii V. A. y otros, Maximin esting of Satellite Stabilization, Mathematical Moeling of Complex Information Processing Systems, pp [3] Alexanrov V. V. y Gutiérrez J. E. M. About the Maximin esting Strategy, Sociea Matemática Mexicana, Aportaciones Matemáticas Memoria 35, México 4, pp [4] Alexanrov V. V. y Gutiérrez J. E. M. Pruebas Maximin y Juegos Geométricos, Sociea Matemática Mexicana, Aportaciones Matemáticas Memoria 35, México 5, pp. 3-1 [5] Alexanrov V. V. y otros, Optimization an Computer-Aie esting of Stabilization Precision, Mathematical Moeling of Complex Information Processing Systems, pp Asociación Mexicana e Mecatrónica A.C. 31 Instituto ecnológico e Veracruz