Ordenamiento y estadísticas de orden. Agustín J. González ELO 320: Estructura de Datos y Algoritmos

Transcripción

1 Ordeamieto y estadísticas de orde Agustí J. Gozález ELO 30: Estructura de Datos y Algoritmos 1

2 Ordeamieto y Estadísticas de Orde Problema de ordeamieto: Etrada: Ua secuecia de úmeros (a 1,a,..., a ) Salida: Ua permutació (a 1, a, a 3,...,a ) de la etrada tal que a 1 a a 3... a Solucioes: Isertio-Sort, merge-sort, eapsort, quicksort. ---> Ω( lg ) La estadística de orde i-ésimo de u cojuto de úmeros, es el i-ésimo úmero más pequeño. ---> O()

3 Heapsort La estructura de datos eap es u arreglo de objetos que puede ser vistos como u árbol biario completo. Ej

4 Propiedades del eap El arreglo puede coteer más etragas (legt(a)) que el eap ( eap_size(a)) Obviamete eap_size(a) legt(a) La raíz del árbol es A[1] (Co ídices partiedo de 1) Dado u ídice i de u odo, su padre, ijo izquierdo e ijo dereco so determiados como: Paret(i) retur i/ Left(i) retur i Rigt(i) retur i+1 Estos procedimietos se puede implemetar como macros o código i-lie. Propiedad eap : A [Paret(i)] A [i] para todo odo diferete de la raiz. 4

5 Procedimietos básicos usados e algoritmos de ordeamieto y e colas de prioridad Heapify(A,i): Etrada: Left(i) y Rigt(i) so eaps, pero A[i] puede ser meor que sus ijos. Salida: Heapify mueve A[i] acia abajo para que al sub-árbol co raíz i sea u eap. Heapify(A,i) le Feft(i) ri Rigt(i) if( le < eap_size(a) && A[le] > A[i] ) largest le else largest i if ( ri < eap_size(a) && A[ri] > A[largest] ) largest ri if (largest! i) excage A[i] <-> A[largest] Heapify(A, largest) 5

6 Aálisis de tiempo de Ejecució T() Θ(1) + Tiempo de Heapify sobre uo de los subárboles. El peor caso para el tamaño del sub-árbol es /3. Éste ocurre cuado la última fila está la mitad llea. /3 /3 T() T(/3) + Θ(1) > T() O(lg ) 6

7 Costruyedo el eap: Build_Heap La costrucció del eap se logra aplicado la fució eapify de maera de cubrir el arreglo desde abajo acia arriba. Notar que los odos ojas, ya so eap. Éstos está e A[ (/+1).. ]. El procedimieto Build_Heap va a través de los odos restates y corre eapify e cada uo. Build_Heap(A) { eap_size [A] legt [A] for i legt(a) / dowto 1 do Heapify(A,i) } Ejemplo:

8 8 Aálisis del tiempo de ejecució Cada llamado a Heapify tiee u costo O(lg) y como a lo más ay de estos llamados, ua cota superior para el costo de Build_eap es O(lg). U mejor aálisis coduce a O() Cuátos odos ay de altura? Para odos de altura el costo de Heapify es O(). Luego el costo es + O O() lg 0 lg 0 1 ) 1/ (1 1/ 0 ) ( O : Build_Heappuedeser acotadopor 0 lg 0 O O / +1

9 Algoritmo Heapsort 1.- Costruir u eap ivocado a Build_Heap.- Itercambiar el primer elemeto, la raíz y mayor elemeto, del eap co el último. 3.- Restituir la propiedad eap e el eap de -1 elemetos. Heapsort(A) Build_Heap(A) for (i legt(a) dowto ) do excage A[1] <-> A[i] eap_size [A] eap_size [A] Heapify(A,1) El costo de Heapsort es O( lg ) porque el llamado a Build_Heap toma O() y luego teemos -1 llamados a Heapify cuyo tiempo es O(lg). 9

10 Colas de Prioridad Heapsort es muy bueo, pero es superado por quicksort (lo veremos luego). La aplicació más popular de eapsort es para implemetar colas de prioridad. Ua cola de prioridad es ua estructura de datos que matiee u cojuto de S de elemetos cada uo asosiado co ua clave key. La cola de prioridad soporta las siguietes operacioes: Isert(S,x): iserta x e el cojuto S Maximum(S): retora el elemeto co mayor clave. Extract-Max(S): remueve y retora el elemeto co mayor clave. Aplicacioes: Itieració de tareas e sistemas de tiempo compartido colas de prioridad e simuladores coducidos por eveto (Evet-drive simulator) 10

11 Operacioes e Colas de prioridad Heap_Maximum(S): retora el odo raiz e tiempo θ(1). Heap_Extract_Max(A) if eap_size[a] <1 te error Heap udeflow max A[1] A[1] A[eap_size [A]] eap_size [A] eap_size [A]]-1 Heapify(A,1) retur max Tiempo de Heap_Extract_Max : O(lg ) básicamete el tiempo de Heapify Heap_Isert(A,key) eap_size [A] eap_size [A]+1 i eap_size [A] wile (i > 1 ad A[Paret(i)] < key) do A[i] A[Paret(i)] i Paret(i) A[i] key Tiempo de Heap_Isert : O(lg ) porque es el recorrido desde la ueva oja a la raíz. 11