Un conjunto es una colección de personas, animales u objetos, bien definida.

Transcripción

1 C O N J U N T O S Había una vez un presidente que exclamaba: Mexicanos y Mexicanas.... A quién se dirigía ese presidente? Se dirigía a todos los hombres y mujeres que nacieron en el territorio nacional, es decir, a aquellas personas que nacieron dentro del área del mapa llamada México; y también se dirigía a aquellas personas que por decisión propia adquieren la nacionalidad mexicana. CONJUNTO DE MEXICANOS Y MEXICANAS Todos los hombres y mujeres que nacieron dentro del territorio nacional o que adquirieron la nacionalidad mexicana Un conjunto es una colección de personas, animales u objetos, bien definida. Que la colección está bien definida significa que, elegida una persona o un animal, o un objeto, uno puede decidir sí pertenece o no a un conjunto determinado. Las personas que nacieron en estos países no son mexicanos, a menos que hayan adquirido la nacionalidad mexicana por decisión propia. Esto significa que los alemanes, suecos, franceses, etc., no son mexicanos. Es decir, no pertenecen al conjunto de mexicanos y mexicanas.

2 LOS CONJUNTOS EN MATEMÁTICAS Los conjuntos en Matemáticas se representan con letras mayúsculas y algunos por su importancia dentro de la teoría se denotan con letras especiales, como se verá a continuación, para que en cualquier idioma el lector los reconozca. Por otra parte, los elementos de los conjuntos se representan con letras minúsculas del alfabeto. DÍGITOS = { 0,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Son los objetos matemáticos que nos sirven para expresar cualquier cantidad. A estos diez objetos (números) se les llama Dígitos y los empleamos, tomando una o varias fichas de cada caja, para construir cualquier número por pequeño o grande que sea. NÚMEROS NATURALES. N = {, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0,, 2, }. Son los números que nos sirven para contar y nos permiten resolver ecuaciones del tipo x + 3 = 0, que tiene la solución x = 7. Note que las ecuaciones que podemos resolver tienen como solución únicamente números Naturales o también llamados números Enteros Positivos. Considere que hay ecuaciones que no se pueden resolver con el conjunto de Números Naturales, por ejemplo x + 5 =, que tiene como solución x = 6. Por esta razón el conjunto de números Naturales se amplía y se anexa el cero y los números negativos, dando lugar al conjunto siguiente: NÚMEROS ENTEROS. Z = {, -5, -4, -3, -2, -, 0,, 2, 3, 4, 5, }. Con los números de este conjunto ya se puede resolver la ecuación del tipo x + 5 = y otras como x + 8 = 8, que tiene como solución x = 0. Los conjuntos se escriben con un par de llaves { y }. Los objetos dentro de las llaves se dice que son los elementos del conjunto, éstos están separados por comas. Los puntos suspensivos indican que el conjunto tiene más elementos y que quien lee sabe cuáles son los elementos que siguen, por ejemplo los conjuntos de números

3 Naturales y Enteros. Cuando no hay puntos suspensivos, se muestran todos los elementos del conjunto como en el caso de los Dígitos. Esta forma de expresar a los conjuntos se llama por Extensión. Otros conjuntos se expresan por Comprensión, esto consiste en indicar las propiedades de su elementos, por ejemplo el siguiente: Conjunto de números Racionales Q, que consiste de todos los números de la forma a b, donde a y b son números enteros y b no es cero. En símbolos se expresa así: Aquí, los símbolos se leen, tal (es) que, {x = a a, b Z, b 0}. b pertenece a o es un elemento de. Ejemplos: 5 N, 5 Z, 5 Q; que respectivamente se leen: 5 es un elemento de los números naturales, 5 pertenece al conjunto de números enteros y 5 es un elemento del conjunto de número racionales. En efecto, por si no se notó, 5 pertenece a los tres conjuntos. A cuáles otros números les ocurre lo mismo que al número 5? no es igual a o es distinto de. Ejemplos: 8 6, b 0, x y. En español se lee, 8 no es igual 6, b es distinto de cero, el número x no es igual al número y. Ejemplos de números Racionales: 2, 3 4, 3, 5 3, , 5 = 5, 0 = 0, 4 5 = 4 5 = 4 5, etc. Recuerda que las fracciones como ½ indican una división, en este caso uno entre dos. Sí se realizan las divisiones indicadas en los primeros cinco ejemplos se tiene: La parte decimal es 5. ½ tiene parte decimal finita (es 2 = 0.5 decir, termina), pues sólo tiene un dígito. La parte decimal es 75. El número ¾ tiene parte decimal 3 4 = 0.75 finita, pues sólo tiene dos dígitos.

4 3 = La parte decimal es , aparecen ocho dígitos iguales en la calculadora, pero si se hace la operación a mano, uno se da cuenta que el número tres sigue apareciendo tanto como uno avance en la división. En este caso se dice que el número /3 tiene parte decimal infinita (no termina) y periódica. El número /3 es de periodo uno, pues es un dígito el que se repite y el número que se repite se escribe con una barra en la parte superior, a saber, = = La parte decimal es , aparecen ocho dígitos iguales (6) y el último, que aparece es 7. Esto se debe a que la calculadora redondea el último dígito. Esto no significa que la parte decimal termine en 7, de hecho al realizar la división a mano o a través de un programa para computadora, el 6 continúa apareciendo, según uno avance en la división. El número 5/3 tiene parte decimal infinita de periodo uno y se expresa el 6 con una barra en la parte superior para indicar el periodo. Es decir, se escribe como =. 6. La parte decimal es finita y son tres dígitos los que se = repiten. En resumen, En el formato decimal, un número es Racional si tiene parte decimal finita o bien, tiene parte decimal infinita y periódica. Con el conjunto de números racionales se puede resolver ecuaciones del tipo: 3x + = 5 3, que tiene como solución x =

5 Conjunto de Números Irracionales I. Son todos los números que no son racionales. Es decir, todos los números que tienen parte decimal infinita y no periódica. Ejemplos de este tipo de números: π = e = = = Etc. = Todos estos ejemplos están calculados a 50 dígitos, incluyendo la parte entera, pero recuerda que su parte 3 decimal es infinita y no periódica. Claro que no son irracionales 4 = ±2, 8 números racionales, como puedes ver. 4 = 2, 256 = ±4, etc., pues son Acerca del Número Pi. Sabías que hasta 200 se habían encontrado 5 billones de dígitos en la parte decimal del número Pi? Para qué sirve este cálculo y cómo se hace? Infórmate en: Por supuesto, ahora se podría dedicar a estudiar que tipo de ecuaciones se pueden resolver con el conjunto de números irracionales, pero mejor recuerde que con el Teorema de Pitágoras se puede mostrar que un triángulo rectángulo isósceles cuyos lados iguales miden una unidad, tiene una hipotenusa de longitud 2. Construye otro triángulo rectángulo isósceles que tenga como longitud de la hipotenusa otro número irracional. Ya se han estudiado hasta aquí varios conjuntos de números, pero cómo están relacionados? Para responder a esta pregunta, recuerde que, se dijo antes, 5 es un número Natural, es número Entero y también es número Racional. De manera gráfica,

6 suponiendo que todos los números los tenemos en cajas abiertas, se verían así, desde una vista superior: En una caja como esta, están todos los números que se han estudiado, representados por un punto. Los puedes contar? Si se habla de todos los números, el área que verías cubriría la superficie de la tierra y seguro que te sobraría para cubrir otros planetas y más. Una vez hecha esta advertencia, se colocan las cajas. No te fijes en las proporciones geométricas, recuerda que hay una cantidad infinita de números. Q Z N I R Todos los números Naturales están dentro del círculo azul. Todos los números Enteros están dentro del círculo verde. Todos los números Racionales quedan a la izquierda de la curva café claro. Todos los números Irracionales quedan a la derecha de la curva café claro. A TODOS LOS NÚMEROS SE LES LLAMA NÚMEROS REALES, R. TODOS ELLOS ESTÁN DENTRO DE LA CAJA. Qué se puede decir acerca de los círculos pequeños de colores? El verde. Establece que hay números Enteros que no son números Naturales. Ejemplos: 0, -, -2, etc. El negro. Establece que hay números Racionales que no son Enteros ni Naturales. Ejemplos: ¾, ½, etc. Círculo azul. Dentro de él sólo están los números Naturales. El café claro. Establece que todos los números en esa área son números Irracionales y no son Racionales, como ya se dijo antes.

7 Los puntos anteriores se pueden expresar formalmente en Matemáticas y para ello se requieren las definiciones siguientes: Definición de Subconjunto de un Conjunto. Considere que A y B son conjuntos. Si todo elemento del conjunto A también es elemento del conjunto B, se dice que A es un subconjunto propio de B y se representa con el símbolo A B. Ejemplos:. {, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0,, 2, } {, -5, -4, -3, -2, -, 0,, 2, 3, 4, 5, } Todo Número Natural es Número Entero. Es decir, N Z 2. {2, 4, 6, 8, 0, 2, } {, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0,, 2, } Todo Número Par es Número Natural 3. Q R, I R, N R, Z R. Todos los conjuntos estudiados hasta aquí son subconjuntos propios de los Números Reales R. Con respecto a la definición anterior, en el caso de que exista la posibilidad de que con todos los elementos del conjunto A se tengan también todos los elementos del conjunto B, se usa el símbolo A B. Es decir, existe la posibilidad de que con todos los elementos del conjunto A, A sea precisamente el conjunto B. Esto nos lleva a la definición siguiente: Definición de Igualdad de Conjuntos. Considere que A y B son conjuntos. Se dice que A = B, si todo elemento de A es elemento de B y todo elemento de B también es elemento de A. Es decir, se cumplen las dos A B y B A. Antes de dar ejemplos de igualdad de conjuntos veremos sólo dos de las operaciones que se pueden realizar con conjuntos.

8 OPERACIONES CON CONJUNTOS Recuerde la figura de la caja de números Reales R, como puede ver, la caja está divida por la curva café claro en dos partes: la parte que contiene a todos los números racionales y la parte que tiene a todos los números irracionales Definición de Unión de Conjuntos. Considere que A y B son conjuntos. La unión de A y B, que se denota por A B, es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen al conjunto A o pertenecen al conjunto B o pertenecen a ambos. En la definición anterior, los elementos que pertenecen a ambos conjuntos se escriben una sola vez en el conjunto A B. Ejemplos:. R = Q I: este conjunto está formado por los elementos que pertenecen a Q o pertenecen a I, o pertenecen a ambos. O bien, R es el conjunto formado por los números racionales y los irracionales; pues en este ejemplo no hay números que pertenecen a Q y que también pertenecen a I. 2. N Z: este conjunto está formado por los elementos que pertenecen a N o pertenecen a Z, o pertenecen a ambos. Recuerde que N Z, por lo tanto, en este ejemplo, si hay elementos que pertenecen a ambos conjuntos. De hecho N Z = Z.

9 Definición de Conjunto Vacío. El conjunto vacío se representa con la letra griega (Phi) y se define como el conjunto que carece de elementos. Como veras a continuación (fi) aparece muy seguido. De hecho, es un subconjunto propio de todo conjunto. Esto se escribe como sigue: Considere que A es un conjunto. A. Todo elemento de también es un elemento de A. O de manera equivalente, Cuál elemento de no es elemento de A? Definición de Intersección de Conjuntos. Considere que A y B son conjuntos. La intersección de A y B, representada por A B, está formada por los elementos que pertenecen al conjunto A y que también pertenecen al conjunto B. Es decir, la intersección está formada por los elementos que son comunes a ambos conjuntos. Ejemplos:. Q I =. Explique. Nota. Dos conjuntos con intersección vacía se dice que son ajenos o disjuntos. 2. A =. 3. {, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0,, 2, } {, -5, -4, -3, -2, -, 0,, 2, 3, 4, 5, } = {, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0,, 2, } Ahora, ya se tienen todos los números reales dispuestos para el trabajo pero, mediante qué los voy a utilizar? Para el trabajo gráfico los números reales se emplean mediante una, dos o tres rectas como sigue: Una recta vertical, inclinada u horizontal, según el contexto, sí el problema se efectúa o desarrolla en una dimensión, como cuando caminas a lo largo de una avenida: Consulta el significado de la palabra dimensión en: El Diccionario de la lengua española es la obra de referencia de la Academia. La última edición es la 23.ª, publicada en octubre de 204.

10 Dos rectas que se intersectan en un punto, de tal manera que entre ellas forman un ángulo recto (90 ), sí el problemas que se quiere resolver o estudiar se efectúa en dos dimensiones, como cuando quieres recorrer el centro histórico de la ciudad de Puebla. Aquí, las rectas son: Av. Reforma Av. Juan de Palafox y Mendoza SE INTERSECTA CON Calle 6 de Septiembre Calle 5 de Mayo. Tres rectas que se intersectan en un punto, de tal manera que, entre cualesquiera dos de ellas, forman un ángulo recto; sí el problemas que se quiere resolver o estudiar se efectúa en tres dimensiones, como cuando diseñas el interior de un auto y en general, el diseño de muebles, oficinas, naves industriales, aviones, etc. Todo esto se estudia en el espacio de tres dimensiones, donde vivimos.

11 Ejemplos de sistemas de coordenadas para tres dimensiones se muestran en tres colores distintos. En verde se tienen dos rectas perpendiculares que resultan de la intersección de las paredes verticales con el piso y la tercera recta o eje vertical se encuentra en la intersección de las paredes verticales. Describe los sistemas en colores amarillo y azul. Hasta el momento sólo se tienen rectas intersectadas con la condición de que formen entre ellas ángulos rectos. Falta asignar a cada una el conjunto de los números reales. Para hacer esto, se elige algún punto de la recta y se coloca el cero. A la derecha del cero se colocan todos los números reales positivos y a la izquierda de él los números reales no positivos (negativos). Sólo se muestran algunos a continuación. Note que lleva una R en la parte superior izquierda, para distinguirla. R 2 2 e π

12 En la recta anterior ya se han colocado todos los conjuntos de números: Naturales, Enteros, Racionales e Irracionales; ahora la recta se llama Recta Numérica o Recta Real. A cada punto de la Recta Real le corresponde uno y sólo un Número Real. Es decir, de manera equivalente, a cada punto de la recta le corresponde un único número real y a su vez, a cada número real le corresponde un único punto en la recta. Para recordar! Diego Rivera (Mexican ) Te has fijado en los campos de cultivo que rodean al Tecnológico. Qué hacen las personas durante la siembra? Asignan (por ejemplo) una pequeña lechuga a un lugar del terreno. De forma similar se asigna un único número real a un punto de una recta y un único punto de una recta a un número real. Sembrador de coles (Man with Lettuce) PROPIEDAD DE DENSIDAD DE LOS NÚMEROS RACIONALES Ya se mencionó antes que los números reales forman un conjunto infinito. A continuación se encontrarán algunos, muy pocos, números racionales comprendidos entre los números y 2. Esta búsqueda de números racionales esta fundamentada en su propiedad de Densidad que dice en español: Entre dos números racionales hay otro número racional.

13 Los números extremos del segmento de recta son racionales, luego entre ellos hay otro número racional, a saber: +2. Se encontró el que está exactamente a la 2 = 3 2 mitad, pero tú puedes encontrar otros, cambiando el 2 del denominador por otros números naturales. Los números 3/2 y 2 son racionales, luego entre ellos hay otro número racional, a 3 2 saber: +2 = 7. S e encontró el que está exactamente a la mitad, pero tú 2 4 puedes encontrar otros, cambiando el 2 del denominador por otros números naturales; o bien determinando otros racionales, colocados entre y 3/2. Continuando de esta manera podrías dedicar buena parte de tu vida a determinar los números racionales situados entre 7/4 y 2. De manera análoga se pueden determinar: 5/8, 3/6, 63/32, etc. LEY DE TRICOTOMÍA Recuerda que cuando vas a la feria hay un juego que consiste en un círculo giratorio de colores al cual se le pegan globos y los números con los premios y tú debes lanzar un dardo que con buen tino rompe el globo. El dardo queda insertado en el tablero circular.

14 En la Ley de Tricotomía el juego consiste en a semejanza del juego de dardos tablero y globos-, lanzar variables a un tablero circular giratorio como el que se muestra a continuación. Si la variable cae en el área naranja, la variable tomará un valor positivo. Si la variable cae en el área azul, tomará un valor negativo. Si la variable cae en el área marcada con cero, la variable tomará ese valor. La Ley de Tricotomía establece que para todo número x se cumple una y sólo una de las siguientes propiedades: x = 0. x es positivo. -x es positivo. Si lanzas una variable al círculo giratorio, ésta sólo puede caer en una y sólo una de las tres áreas. Enfatizando, al lanzar una variable al tablero, ella no puede quedar en dos áreas a la vez, mucho menos en las tres. Evita sorpresas A N A L I Z A! Cómo puede ser x positivo? Claro que puede! Considera a x un número negativo, por ejemplo x = -7, entonces multiplicas por (-) en ambos lados y así la igualdad no se altera ( ) x = ( ) 7 x = 7 Realiza operaciones y ahora tienes que x es un número positivo. Con lo anterior, recuerda:

15 Si a la variable no le precede un signo negativo, no necesariamente es positiva. Si a la variable le precede un signo negativo, no necesariamente es negativa. Toma en cuenta, cuidadosamente, el contexto del problema. PROPIEDADES DE CAMPO DE LOS NÚMEROS REALES Todo lo que has aprendido desde la escuela primaria acerca de cómo manipular los números se debe a las propiedades que se presentan en esta unidad y en particular en las Propiedades de Campo. Recuerda que cuando estudiaste las tablas de multiplicar, todas inician con un número multiplicado por uno: =, 2 = 2, 3 = 3,..., 0. También en las tablas aprendiste que 3 8 = 24 y que 8 3 = 24. O quizá resolviste problemas como: si tengo cinco pesos y compro cinco dulces de un peso cada uno, cuánto me queda? O bien, si tengo un peso y mi papá hoy no me dio dinero cuánto tengo en este momento? Bueno, se podría uno entretener un buen rato recordando los buenos momentos de la primaria, pero lo mejor es dar paso a las propiedades. Consisten de cuatro propiedades para la suma, cuatro para el producto y una propiedad que relaciona ambas operaciones, es decir, relaciona a la suma con la multiplicación. Propiedades de Campo o Cuerpo de los Números Reales. Dados dos números reales cualesquiera x y y se define la suma x + y R y el producto x y R y satisfacen las siguientes propiedades: Para la Suma Para la Multiplicación Conmutativa. x + y = y + x Conmutativa. x y = y x Asociativa. x + (y + z) = (x + y) + z Asociativa. x (y z) = (x y) z Existencia del neutro aditivo. Existe el 0 R tal que x + 0 = x Existencia del neutro multiplicativo. Existe el R tal que x = x Existencia de inversos aditivos. Para todo número real x existe x R tal que x + ( x) = 0 Distributiva. Existencia de inversos multiplicativos. Para todo número real x distinto de cero existe x = x R, tal que x x = x (y + z) = x y + x z

16 Ejemplos para ambas operaciones: Conmutativa = 9 = = 2 = 7 3. Asociativa. 2 + (3 + 9) = 4 = (2 + 3) (6 2) = 48 = (4 6) 2. El neutro aditivo es único y es el 0 (cero). El neutro multiplicativo es único y es el (uno). Inversos aditivos. 8 Su inverso aditivo es: -8 2 Su inverso aditivo es: 2-4 Su inverso aditivo es: 4 π Su inverso aditivo es: π 2 Su inverso aditivo es: 3 3 Su inverso aditivo es: Inversos multiplicativos Su inverso multiplicativo es: Su inverso multiplicativo es: Su inverso multiplicativo es: π 3 4 Su inverso multiplicativo es: Su inverso multiplicativo es: Su inverso multiplicativo es: 2 π 4 3 Durante el curso se emplearán las propiedades anteriores, por el momento se aplicarán para despejar una variable en una ecuación. Considera la ecuación 3x = 5 y despeja x. x = (aquí se escribe todo lo demás) Es decir, x es positiva, está en el numerador (es equivalente a decir que su exponente es uno), tiene coeficiente porque x = x y está sola en uno de los lados de la ecuación (es equivalente a decir que todos los demás términos de la

17 ecuación ya se han pasado, apropiadamente, al otro lado de la igualdad. En el traslado de los términos y factores de un lado al otro del signo de igualdad, se emplean las propiedades: 3x = 5 La ecuación de trabajo 3 x = 5 Nota que el -3 está multiplicando a x Cómo quito apropiadamente el -3? Es decir, cuál número multiplicado por -3 da como resultado el número? Respuesta: su inverso multiplicativo. ( 3 ) ( 3) x = ( 3 ) 5 Multiplicas en ambos lados por ( ), 3 que es el inverso multiplicativo de (-3). [( 3 ) ( 3)] x = ( 3 ) 5 Propiedad Asociativa para la multiplicación. [] x = ( 3 ) 5 Propiedad del Inverso Multiplicativo. x = ( 3 ) 5 Propiedad del Neutro Multiplicativo x = 5 3 = 5 3 x Está despejada.

18 Conjuntos en la recta real: intervalos Valor absoluto: gráficas: distancia del 0 al punto mencionado Ejercicios