5 DISEÑO A CORTANTE DEL HORMIGÓN ARMADO 5.1 GENERALIDADES

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1 5 DISEÑO A CORTANTE DEL HORMIGÓN ARMADO 5.1 GENERALIDADES Igual que la flexión, es fundamental para la formaión del ingeniero, adquirir unos prátios, seguros y onfiables proedimientos para el diseño estrutural a ortante. Lo anterior porque a diferenia del punto de vista aadémio, donde se pueden aislar ada una de las tensiones para su tratamiento y estudio, en la pratia el problema es de mayor omplejidad al enontrar siempre un ampo de tensiones donde interatúan simultáneamente la flexión ( M ), la ortante ( ), la torsión ( T ) y la fuerza axial ( N ). Históriamente el problema de la flexión se ha entendido perfetamente hasta el punto de que los modelos teórios de omportamiento, al omprobarlos on pruebas reales en estruturas, presentan exelentes ajustes estadístios generando el reonoimiento que le otorgan la oloaión direta de estos resultados en normas y ódigos de diseño y onstruión. En ontraste la ortante igual que la torsión han tropezado on toda serie de obstáulos teórios y experimentales que han impedido un orreto entendimiento del problema. A pesar de lo anterior en las tres ultimas déadas se ha realizado un gran esfuerzo por enontrar modelos matemátios que se ajusten al omportamiento real de las estruturas hasta el punto de llegar a reonoer en los últimos reglamentos Amerianos del hormigón armado ( CIB-000, ACI ) estas nuevas teorías que explian mejor el problema y se ajustan a las pruebas experimentales. La falla a ortante, mejor onoida omo falla por traión diagonal, tiene las siguientes araterístias: a) no es únia b) es difíil de predeir ) es súbita y atastrófia d) el estudio de su omportamiento es ompletamente diferente al de flexión e ) se manifiesta por medio de fisuras inlinadas de mayor abertura que las de flexión. Debido a esto el diseño debe garantizar que en el momento de agotamiento de una estrutura la falla se iniie por un meanismo diferente al de la ortante por ejemplo obligando primero a la falla por flexión y seundariamente la ortante. Para lograr este ultimo objetivo el ingeniero debe asegurar un diseño onfiable a flexión y proporionar donde se requiera el refuerzo neesario para atender la ortante. La figura 5.1 ilustra una falla típia a ortante en vigas simplemente apoyadas y on argas en los terios medios. Se puede apreiar omo las fisuras se propagan desde la ara mas traionada del elemento al eje neutro, en la zona entral tienen direión paralela a la arga y en los terios extremos se inlinan busando el punto de apliaión de la arga. La apaidad de estas vigas esta ontrolada por la flexión ya que tienen un refuerzo a ortante adeuado en las zonas requeridas. Para evitar ambigüedades el problema real a tratar en este texto no es el diseño a ortante pura ni el de la ortante por friión. Estos temas requieren enfoques diferentes a los que aquí se propondrán por lo que solo se hará menión y referenia a ellos. Se trata de la ortante ombinada on la flexión que produe ya sea ompresión o traión diagonal esta ultima onstituyéndose en el fator prinipal de la fisuraion inlinada en las estruturas de hormigón armado.

2 En resumen se tratara primero la teoría de la ortante desde el punto de vista de la meánia estrutural, luego se estudiaran la resistenia a ortante en estruturas sin refuerzo transversal ( en el alma) para loalizar y orientar las fisuras. Posteriormente se analizaran las estruturas on refuerzo transversal logrando así una metodología para el diseño a ortante que se puede programar fáilmente para su posterior uso. P / P / R1 R L / 3 L / 3 L / 3 Figura 5.1 Fisuraion en una estrutura de hormigón armado sometida M- 5. MARCO HISTÓRICO Los primeros estudios sobre la ortante se realizaron a finales del siglo XIX propiamente para el año de 1899 uando el profesor Wilhem Ritter del Politénio de Zurih publio en su libro Die Bauweise Hennebique el modelo de la analogía de la erha omo metodología adeuada para tratar el diseño a ortante. Numerosos ensayos ontinuaron a prinipios del siglo XX para tratar de expliar y dar pautas laras al trabajo de Ritter y en este sentido Emil Mörsh en Alemania y Rihart Talbot en Estados Unidos logran los primeros avanes al respeto. En esta époa se presenta la gran disusión de si la falla es a ortante horizontal, tensiones inlinadas o traión diagonal. En 1904 la omisión alemana del hormigón armado presenta las primeras espeifiaiones sobre el diseño a ortante basadas en el trabajo de Mörsh y se propone la euaión 5.1 omo formula general para evaluar la ortante por traión diagonal. Esta expresión por su senillez fue utilizada ampliamente por mas de 50 años. v (5.1) b. z Las investigaiones de Talbot en la Universidad de Illinois onluyeron que la ortante no solo dependía de la resistenia del hormigón sino de fatores tales omo: a) la esbeltez del elemento y b) la uantía del refuerzo en traión. Estas onlusiones

3 quedaron arhivadas por mas de medio siglo por el amplio uso adquirido por la teoría del diseño elástio del hormigón. En el año de 1954 varios ensayos de laboratorio onluyeron que la falla típia de los elementos de hormigón armado diseñados por teoría elástia, los uales se suponían fallaban por flexión, era la falla por traión diagonal inlusive para argas inferiores a las del rango elástio. Lo anterior quedo ompletamente omprobado on el sismo de 1954 uando por su efeto olapsaron varios hangares de la fuerza aérea de los Estados Unidos. En los estudios de las ruinas se deteto que la falla en vigas y olumnas era por traión diagonal. En onseuenia se onformaron varios omités ténios liderados por los profesores MGregor y Bresler los uales posteriormente redataron el doumento base del estudio de la ortante por teoría de resistenia onoido omo el ACI-ASCE-46. Reientemente los trabajos de Mithell y Collins, Lampert y Thurliman han propuesto nuevas tendenias al diseño unifiado ( hormigón armado y pretensado) a ortante on la atualizada teoría de la erha espaial iniialmente propuesta por Ritter, el modelo matemátio del ampo modifiado de tensiones a ompresión y la poderosa herramienta de análisis onoida omo el modelo del puntal y el tirante ( strut and tie). Los últimos doumentos versión año 000 indian una amplia experimentaión en este sentido. 5.3 TEORÍA DE LA CORTANTE EN LA MECÁNICA DE MATERIALES Para Iniiar nuestro estudio es importante reordar algunos oneptos básios tratados en los ursos elementales de resistenia de materiales. Esto permite formar una idea del omportamiento del hormigón armado uando esta sometido a bajos niveles de arga donde aun esta sin fisurar y el material ompuesto se puede modelar omo un sólido homogéneo, elástio e isotrópio. Adiionalmente el estudio se limita al estado plano de tensiones donde solo atúan la ortante y la fuerza axial. La figura 5..a representa una viga simplemente apoyada y ompuesta por una serie de franjas o laminas superpuestas una sobre otra. Cuando se aplia una arga externa las franjas deslizan una sobre otra a medida que la arga aumenta omo muestra la figura 5..b. Si por el ontrario se unen las franjas on un pegante adeuado de tal forma que se impida el deslizamiento de las franjas se podrá notar la presenia de las llamadas tensiones rasantes u horizontales o de desgarramiento horizontal figura 5... Este es un ejemplo ilustrativo porque realmente las vigas a onsiderar no están ompuestas por franjas sino que son de una sola lamina. Para determinar la expresión lásia general de las tensiones ortantes se hará referenia a las hipótesis de la teoría de la flexión ya onoida. En la figura 5.3 se muestra una viga simplemente apoyada a la ual se le aísla un elemento diferenial efetuando dos ortes en los puntos A-A y B-B separados una distania dx y a una distania y1 del eje neutro. Si se efetúa otro orte de tal forma que se aislé el bloque abd se pueden observar las siguientes fuerzas exteriores: una fuerza tangenial H en la ara inferior del bloque, una fuerza normal de ompresión R1 en la ara A-A y una fuerza normal de ompresión R en la ara B-B. La fuerza tangenial H es igual a la tensión ortante por el área de apliaión: H τ. ( b.dx ). De la teoría de la flexión se dedue que:

4 P P ( a ) ( b ) ( ) Figura 5. Cortante en vigas homogéneas Las tensiones normales en aras A-A y B-B son: M y σ (5.) I La fuerza normal en un elemento diferenial es: M y df σ da da I La resultante en ada ara omprimida es: R 1 max df. y y1 M y da I R y max. y1 ( M + dm ) I y da Del equilibrio horizontal de la seión H + R1 R 0 y ( M + dm ) y max. max. y τ. b. dx da I y1 y1 M y da I Reagrupando términos ordenando y simplifiando: dm τ. b. dx I y max. y da El termino que aparee en la integral es el onoido primer momento estátio de área respeto al eje neutro y tiene omo símbolo Q Organizando y reemplazando: dm Q dm Q Q τ (5.3) b dx I dx b I b I y 1

5 La euaión 5. es presentada en la resistenia de materiales omo la euaión que determina las tensiones ortantes en materiales homogéneos, elástios e isotrópios. La fuerza ortante es igual a la ortante horizontal H por equilibrio rotaional de la seión. Ya que H τ da. La variaión de la tensión ortante en una seión es parabólia omo se puede demostrar al resolver la integral anterior y el valor máximo depende de la forma de la seión transversal. Por ejemplo para una retangular de dimensiones b y h se tiene: ymax. y max. Q y da y b dy y1 y1 b y 1 h / b h ]. y y1 4 h τ y 1 (5.4) I 4 De la euaión 5.3 se tiene que: Si h y 1 ± τ 0 Si y 1 0 τ max. 3 b h Se demuestra que la ortante es máxima en el eje neutro y nula en las aras exteriores. La variaión es parabólia, figura 5.3, indiando que la tensión ortante promedio se puede asumir omo la fuerza ortante sobre el área transversal. E.N. y1 h τmax. b Figura 5.3 ariaión de la tensión ortante en una seión. Se onsiderara ahora la situaión de la figura 5.4 en donde se presenta una viga simplemente apoyada de seión retangular sometida a una arga uniforme de magnitud q. Para estudiar el ampo de tensiones ortantes se puede realizar el siguiente análisis: en una seión transversal a la distania x del apoyo la fuerza ortante y el momento fletor están definidos por las expresiones:

6 q l x q x y q l q M x x x En donde x es el punto en onsideraión y varia desde x 0.0 en los apoyos hasta x l / en la mitad de la luz. La tensión normal σx y la tensión ortante τxy produidas por las argas externas, se determinan on las expresiones 5. y 5.3. En ada punto de oordenadas ( x, y ) de la viga hay una pareja de valores (σx, τxy ). Considerando un elemento diferenial en los puntos 1 y 3 de la seión a-a de la figura 5.4 se onluye que la ortante es nula y solo existen tensiones normales ( traión en el punto 3 y ompresión en el punto 1). Para el elemento loalizado en el eje neutro la tensión normal es nula y solo se presenta ortante por lo que las tensiones prinipales están inlinadas un ángulo de 45 on respeto al eje X. Para aquellos elementos difereniales entre los bordes y el eje neutro hay que onsiderar tensiones ortantes y normales omo se india en la figura 5.4. generando el estado biaxial en donde las tensiones prinipales ( Traión y ompresión ) se pueden obtener on las euaiones del irulo de Mhor 5.5 o 5.6. q σxomp. τxy σxtra. b L / a) Tensiones por ortante y flexión en una viga a 1 Compresión simple τxy Cortante pura σx 3 Traión simple τxy x a b) Tensiones en una seión a-a ) Tensiones entre -3 Figura 5.4 Estado biaxial de tensiones en vigas ( flexión mas ortante )

7 σ x + σ y σ x + σ y σ 1, ± + τ xy (5.5) Cuando la tensión en la direión y es nula se tiene σy 0 σ x σ x σ 1, ± + τ xy (5.6) 4 Se puede notar que σ1 es la tensión prinipal máxima positiva ( traión) y σ es la máxima negativa ( ompresión). Las direiones se determinan on la expresión 5.7. (. φ ) τ σ xy tan (5.7) x Para determinados valores de (σx, τxy ) se obtienen los ángulos φ que indian las direiones prinipales de σ1 y σ omo se apreia en la figura Apliando la euaión 5.4 a los elementos difereniales 1 y 3 se tiene que τxy 0.0 tan (.φ ) 0.0 que da φ1 0 y φ 90. Se onluye que los bordes superior e inferior de la viga la direión de las tensiones prinipales oiniden on los ejes X, Y. Para el elemento en el eje neutro σx 0.0 y la euaión 5.7 da tan (.φ ) 8 lo que signifia que φ1 φ 45. Para los elementos loalizados en el eje neutro las direiones prinipales ortan al eje X on una inlinaión de 45. Si se determina el ángulo F para varios puntos definidos por sus oordenadas ( x, y ) es posible trazar dos familias de urvas ortogonales uyas tangentes en ada punto oiniden on las direiones de las tensiones prinipales. La figura 5.5 muestra la representaión grafia de dihas urvas para una viga simplemente apoyada y on arga uniforme. Las urvas se onoen omo las trayetorias o isostatias de tensiones prinipales, las líneas punteadas representan las isostatias de ompresión y las ontinuas las de traión. Ambos juegos de urvas ortan al eje X on una inlinaión de 45 y siempre se ruzan perpentiularmente entre si terminando la trayetoria en ada uno de los bordes superior e inferior de la viga. Lo enuniado en los párrafos anteriores evidenia el siguiente postulado: Ya que la resistenia del hormigón a traión es baja en relaión a la de ompresión, un elemento de este material tiende a fallar en direión perpendiular a las trayetorias de traión indiadas es deir siguen teóriamente las isosistas de ompresión omo se ilustra en la figura 5.6.a. En onlusión se hae neesario oloar algún tipo de refuerzo figura 5.6.b que ontribuya a mejorar la resistenia del material a estas soliitaiones. El objetivo de este estudio es presentar la metodología adeuada para determinar este refuerzo y detallarlo orretamente en las seiones de hormigón armado.

8 Como previamente se ha menionado no se debe hablar de falla por ortante ya que el patrón de fisuras no es realmente horizontal omo teóriamente se debía esperar sino inlinado debido a la ombinaión de la ortante mas flexión. La fisuraión diagonal es la araterístia típia del agotamiento por traión diagonal mas onoida en el hormigón armado ( on freuenia en la pratia se usa la palabra ortante para indiar la falla por traión diagonal, sin embargo es importante reonoer que el termino no es el mas adeuado y en lo posible se debe evitar). La falla exata por ortante se presenta por ejemplo en las aras de ontato de estruturas ompuestas en donde un elemento prefabriado soporta otro elemento vaiado en el sitio. Este sistema onstrutivo es freuentemente utilizado en losas de piso de edifiios y en puentes. En estos asos se deben diseñar onetores que absorban las tensiones horizontales que se generan en la interfase de ontato de los elementos Isosistas a traión Isosistas a ompresión Figura 5.5 Tensiones prinipales en vigas homogéneas, elástias e isotrópias

9 .. a) Formaión de fisuras según trayetorias de tensiones prinipales.. b) Patrón de fisuraion por ortante y detalle del refuerzo transversal requerido.. Hormigón a ompresión Refuerzo a traión ) Modelo de la analogía de la erha propuesto iniialmente por Ritter. Figura 5.6 Detalles de la fisuraion y refuerzo a ortante del hormigón armado

10 5.4 LA CORTANTE EN EL HORMIGÓN ARMADO. RANGO ELÁSTICO Si se Considera el equilibrio del ampo de fuerzas internas que atúan sobre un elemento diferenial a ompresión abd de la figura 5.7.a se tiene: v y ( b dx) + C 0 C 1 En donde vy es la tensión ortante horizontal a una distania y del eje neutro. C1 y C son las resultantes del ampo de fuerzas internas que atúan en el elemento. Por definiión su valor es igual al volumen del bloque omprimido: C 1 ( f + f ) 1 1y Además el valor de la tensión normal a ompresión es: ( Kd y) b f 1 y f 1 y Kd Reemplazando y organizando términos se obtiene para C1 el valor de : C f 1 y f ( ) + 1 b Kd y 1 Kd y b Kd Kd 1 1 El momento fletor que se produe en la seión 1-1 es : M 1 f 1 b Kd brazo Reemplazando el valor de M1 en la euaión de C1 se obtiene: M 1 C 1 1 brazo En forma similar se obtiene para la seión - C M brazo 1 y Kd y Kd Sustituyendo C1 y C en la euaión del equilibrio horizontal: v y ( b dx) M y 1 brazo Kd M 1 brazo 1 y Kd

11 y Despejando y simplifiando términos: M M1 1 v y 1 Kd dx b brazo Por definiión: dm M M dx dx 1 y v y 1 (5.8) b Kd ( brazo) 1 a b. d.. e f g h y dx 1 a) Elementos difereniales a ompresión y traión f1 qu f v (b.dx) a b e f C1 C T1 T d Kd g h f1y fy y ) Fuerzas a traión dx b) Fuerzas a ompresión Figura 5.7 Tensiones ortantes en vigas de hormigón armado La euaión 5.8 es valida para valores de y entre 0 y Kd. Se puede onluir que vy aumenta en forma parabólia desde ero en la ara mas omprimida hasta un máximo en el eje neutro. Si y Kd se obtiene la tensión ortante máxima

12 v y max. (5.9) b ( brazo) En forma similar se dedue que la ortante vertial es igual al valor indiado en la euaión 5.9 ya que las tensiones ortantes en dos planos perpentiulares deben estar en equilibrio. El ampo de tensiones obtenido on la euaión 5.9 no reflejan en realidad tensiones de traión, sin embargo la magnitud relativa de los valores obtenidos es una medida del patrón potenial de fisuraion inlinada de la estrutura. El ódigo ACI-318 define en forma aproximada al brazo omo igual a la altura efetiva de la viga d, y la euaión 5.9 se onoe omo: v (5.10) b d La teoría expuesta es el onoido enfoque lásio del diseño a ortante uya base esta en la resistenia de materiales. Se onsidera importante su onoimiento porque, desde un punto de vista aadémio, permite alarar algunas situaiones elementales del diseño. Los atuales enfoques permiten on mas elegania y generalidad ubrir situaiones que la teoría lásia no permite estudiar ( la ortante en vigas profundas, mensulas y uniones viga-olumna); el modelo de la analogía de la erha y el ampo de tensiones a ompresión son ejemplos típios de estos métodos. Cuando se presenta la ortante en seiones no retangulares es neesario definir un nuevo onepto que permite failitar el análisis de la seión. Este onepto se denomina flujo de ortante: q y se define omo el produto de la tensión ortante por el anho de la seión: q v b (5.11) qmax /z vmax bw q v.b v / (b.z) Figura 5.11 Conepto de flujo de ortante en vigas de hormigón armado Es evidente que si la seión es retangular el flujo de ortante varia en la misma forma que la tensión ortante, pero si la seión es diferente se debe tener en uenta la variaión vertial de su anho para la determinaión del ampo de tensiones ortantes. En general para seiones on aletas la euaión 5.10 toma la siguiente forma:

13 v (5.1) b d w 5.5 CORTANTE EN SECCIONES SIN REFUERZO TRANSERSAL Generalidades En estruturas de hormigón en las uales solo existe refuerzo para atender la flexión experimentalmente se omprueba que para argas bajas tales que las tensiones a traión no superan el modulo de rotura del hormigón, fr, el enfoque presentado en la resistenia de materiales es adeuado para estudiar el ampo de tensiones a ortante. Con algunas poas modifiaiones la teoría también se puede utilizar en el aso de que las argas se inrementen de tal forma que se produza la fisuraión del elemento teniendo en uenta que la traión la omienza a resistir el aero de refuerzo. En este estado fisurado al aumentar la apaidad estrutural de arga, se aumentan las tensiones ortantes y rápidamente se omienzan a formar fisuras inlinadas era de los apoyos y bajo argas onentradas. Es un heho por lo tanto que el refuerzo por flexión solo sirve para atender las fuerzas de traión que se generan en el interior de los elementos pero tiene poa efetividad para absorber las tensiones ortantes Criterios para definir la formaión de fisuras diagonales Cuando la flexión interatúa on la ortante se rea un estado biaxial de tensiones que genera un ampo de tensiones diagonal de traión similar al representado en las figuras 5.5 y 5.6. Estas tensiones inlinadas son proporionales a la intensidad tanto de la fuerza ortante omo del momento fletor M. De otra parte la meánia estrutural permite definir aquellas regiones en donde se ombinan altas y bajas fuerzas ortantes on bajos y altos momentos fletores permitiendo de esta manera definir la magnitud y direión de la tensiones diagonales. Para ilustrar en forma lara este riterio se presenta la figura 5.1 que muestra las zonas donde potenialmente se formaran las fisuras inlinadas. En primer lugar en las zonas donde la flexión es baja y la ortante es alta la fisuraión de la seión estará ontrolada por la ortante y prátiamente no se presentaran fisuras vertiales ( era de los apoyos y bajo altas argas onentradas). En onseuenia la tensión ortante promedia antes de la formaión de las fisuras diagonales es la indiada en la euaión 5.10 o 5.1. La distribuión exata de estas tensiones en la altura de la seión no esta bien definida pero su valor numério es una onservadora aproximaión de la intensidad media en la seión onsiderada. Por lo general la arga de fisuraión diagonal que se origina por los efetos ombinados de ortante mas flexión es menor que la obtenida de un análisis de tensiones prinipales y es también menor que la resistenia a la traión direta del hormigón. La ausa de este fenómeno es: a) la presenia de tensiones de ontraión en el hormigón, b) la redistribuión de tensiones ortantes entre fisuras y ) el debilitamiento de la seión por el efeto del refuerzo por ortante el ual produe disontinuidades longitudinales.

14 P q M alto y alto M bajo alto M alto y bajo a) Carga onentrada en la ½ de la luz b) Carga uniformemente distribuida bajo alto bajo M alto M alto M alto ) iga ontinua on arga uniforme Figura 5.1 Zonas típias que definen la formaión de fisuras diagonales Si en una determinada zona de una viga las tensiones por flexión son bajas mientras la ortante es alta, las tensiones diagonales se inlinaran un ángulo aproximado de 45 y su magnitud es igual a la tensión ortante on un máximo en el eje neutro. En onseuenia las fisuras diagonales se forman era al eje neutro, omo se ilustra en la figura 5.13.a, y

15 reiben el nombre de fisuras en el alma ; se presentan uando las tensiones diagonales son iguales a la resistenia a traión direta del hormigón, ft. Las tensiones diagonales pueden ser mayores o iguales que la tensión ortante v y la resistenia a traión del hormigón variar entre 0.5 y 0.4 la raíz uadrada de la resistenia a ompresión en ( MPa) on un valor promedio de Numerosos ensayos respaldan el uso de los anteriores valores para ft llegando a la onlusión de que en regiones donde el momento es bajo y la ortante es alta las fisuras diagonales se forman para una tensiones ortante promedio v un 15% inferiores a la resistenia a traión direta del hormigón: ( MPa) (5.13) b d v f 0.30 f El valor de de la euaión 5.13 es la fuerza ortante para la ual se observa la formaión de las fisuras diagonales. La fisuraión en el alma por ortante pura es poo freuente y se presenta prinipalmente en vigas profundas o en zonas de inflexión de vigas ontinuas. a) Fisuras en el alma por ortante pura n i b) Fisuras diagonales por ombinaión de ortante mas flexión Figura 5.13 Tipos de fisuras por flexo-ortante en vigas de hormigón armado Cuando se onsideran aquellas zonas donde tanto la ortante omo el momento son altos, la situaión es ompletamente diferente. En estas regiones el riterio es que, si la estrutura esta orretamente diseñada a flexión, primero se forman las fisuras de traión por flexión que se propagan vertialmente desde la ara mas traionada hasta el refuerzo longitudinal. El anho de estas fisuras y su longitud deben estar bien ontrolados por el diseño a flexión ya que uando las tensiones diagonales alanzan el valor de la resistenia a la traión del hormigón estas fisuras se inlinan busando el

16 entro de la viga y reen mas rápidamente aumentando su anho y longitud, figura 5.13.b. Estas fisuras se onoen omo fisuras por flexo-ortante y son las mas omunes en los elementos estruturales de hormigón armado. Experimentalmente se ha omprobado que uando se forman las fisuras por flexoortante las tensiones ortantes promedio son mayores que los valores indiados por la euaión Una expliaión razonable del heho es que en etapas previas a la formaión de estas fisuras se ha disminuido el área efetiva de ortante b.d por efeto de la baja resistenia a flexo-traión del hormigón. La magnitud de esta reduión varia onsiderablemente y onservadoramente el omité 36 del ACI y ASCE reomienda alular la resistenia a ortante en estos asos on la euaión v 0.16 f (MPa) (5.14) b. d Al omparar las euaiones 5.13 y 5.14 se onluye que la resistenia a ortante del hormigón armado se redue en era del 50% uando la ortante se ombina valores altos del momento fletor. Esto onuerda satisfatoriamente on lo observado en las pruebas experimentales. En este punto se pone en evidenia que la tensión ortante para la ual se forman las primeras fisuras diagonales en las partes superiores de las fisuras por flexión depende de la relaión entre la fuerza ortante y el momento fletor M o mejor entre las tensiones ortantes v y las tensiones por flexión f. Si v K1 ( / b.d) en donde K1 es funión de la posiión donde se presenta la fisura por flexión y f K ( M / b.d ) en donde K depende de la forma de las fisuras f v K K ( M ) b. d M K ( ) d 3 1 b. d La expresión anterior permite en forma mas elegante indiar que la formaión de las primeras fisuras diagonales dependen de la relaión M / (.d). Si esta relaión es alta se utiliza la euaión 5.13 en aso ontrario la euaión El onepto de luz de ortante y su relaión on la falla de ortante Para la definiión onsidérese la figura 5.14 donde se muestra una viga simplemente apoyada on argas puntuales en los terios medios ( aso de flexión pura ), la relaión M / puede imaginarse omo aquella longitud de viga a sobre la ual la ortante es onstante. En el aso general, uando la ortante varia ontinuamente, se determina su valor on la euaión M a (5.15)

17 Como f / v K3 ( M / ) f / v K3 ( a / d ). La relaión luz de ortante a altura efetiva d ha sido también determinada experimentalmente enontrándose que esta relaión es un fator que influye en forma apreiable en la resistenia a ortante de las estruturas. Al variar la relaión a / d manteniendo onstante las otras araterístias se puede apreiar el modo de falla a ortante de los elementos estruturales. La figura 5.14 representa esta variaión. Un análisis mas detallado de los resultados indiados en la figura 5.14 permite onluir que existen al menos uatro tipo de fallas a ortante de auerdo a la relaión a / d: 0.0 < ( a / d ) < 1.0 : iga profunda falla a ortante pura ( v ) 1.0 < ( a / d ) <.5 : iga orta Falla ombinada ( f + v ) ontrola ( v ).5 < ( a / d ) < 6.0 : iga intermedia falla diagonal ( f + v ) 6.0 < ( a / d ) : iga larga falla a flexión ( f ) Momento de falla ( x a) Resistenia a ortante + ompresión Momento resistente a flexión Resistenia a ortante + traión a / d Falla Fallas a traión diagonal Fallas a ortante flexión Fallas a Tra.+ ortante ompr.+ ortante Figura 5.14 ariaión de la resistenia a ortante en funión de a / d

18 Comportamiento a ortante de vigas profundas Cuando la relaión ( a / d ) < 1.0 ontrola el efeto de las tensiones ortantes. Después de que se presenta la fisuraión transversal, estas vigas tienden a omportarse omo un aro atirantado, mientras la arga se transmite por ompresión direta alrededor del área sombreada de la figura 5.15 y por la traión del refuerzo longitudinal. Una vez se desarrollen las fisuras de ortante la viga se transforma en un aro atirantado el ual muestra una gran reserva en apaidad resistente. En este aso se pueden tener varios modos de falla omo se muestra en la figura 5.15.b. Aro a Compresión Tirante a traión a) Aión de aro del refuerzo b) Tipos de falla: 1> por anlaje > de apoyo 3> de flexión 4> borde de aro Figura 5.15 Modos de falla en vigas profundas Falla de anlaje: es deir desprendimiento del refuerzo en los apoyos Falla de apoyo: por agotamiento del hormigón en las zonas próximas al apoyo Falla de flexión: se presenta tanto era de los apoyos omo en las zonas superiores del aro a ompresión y donde el refuerzo entra en fluenia.

19 Falla de aro por efeto de la exentriidad de la fuerza de empuje del aro que da omo resultado una falla a traión sobre el apoyo y aplastamiento del hormigón en la región inlinada Comportamiento a ortante de viga orta Similar al aso de vigas profundas en las vigas ortas se tiene una resistenia a ortante que exede a las tensiones que produen la fisuraión diagonal. Una vez se forman las fisuras por flexión estas se propagan a la zona omprimida on el aumento de la arga externa y paralelamente se iniia la formaión de una fisura por debajo del refuerzo a traión que se prolonga horizontalmente a lo largo del refuerzo. La falla estrutural es el resultado de: a) una falla de anlaje en el refuerzo a traión llamada falla a traión mas ortante figura 5.16.a, b) una falla por aplastamiento del hormigón era de la ara de ompresión llamada falla de ompresión mas ortante figura 5.16.b. Perdida de adherenia por efeto de la fisura Agotamiento del hormigón a ompresión a) Falla ortante + traión b) Falla ortante + ompresión Figura 5.16 tipos de falla a ortante en vigas ortas Comportamiento a ortante de las vigas intermedias En este aso se forman iniialmente las fisuras vertiales por flexión y posteriormente las fisuras inlinadas por ortante mas flexión. Una vez se iniia la fisuraión vertial ada fisura tiende a doblarse formando una serie de segmentos o bloques de hormigón entre fisuras omo se india en la figura Cuando el anho superior del segmento se redue debido al aumento en el numero de fisuras se llega al desprendimiento del segmento por efeto de la fisuraión diagonal. En el instante de la falla la viga no transmite ninguna arga indiando en este aso que la formaión de la fisura diagonal representa la resistenia a ortante de este tipo de vigas. Esta es la ategoría de falla mas freuente en las estruturas de hormigón armado Comportamiento a ortante de las vigas largas La falla se iniia por la fluenia del refuerzo a traión y termina on el agotamiento del hormigón a ompresión en aquellas regiones donde la flexión es alta. Las fisuras se

20 extienden vertialmente, a vees on una ligera inlinaión, en toda la longitud desde los apoyos hasta las regiones de momento máximo. La resistenia de estas vigas depende ompletamente de su apaidad de absorber tensiones de flexión y no esta afetada por la magnitud de la fuerza ortante ( aso típio de la ortante en losas y imentaiones de hormigón armado). T T + dt Segmento entre fisuras Figura 5.17 Falla en vigas intermedias por traión diagonal Resistenia a ortante en vigas intermedias y largas Según el ACI la resistenia a la ual se forma la primera fisura diagonal es realmente la resistenia a ortante de la viga. Esta resistenia solo se ha podido estableer mediante el análisis estadístio de numerosas investigaiones experimentales en donde se analizan detalladamente las diferentes relaiones entre las variables que intervienen en el problema. Partiendo de la hipótesis de que la apaidad de arga de la viga se alanza uando las tensiones prinipales a traión dadas por la euaión 5.6 son iguales a la resistenia a la traion del hormigón la ual a su vez es funión de f. Se puede asumir: a) la tensión de traión en el hormigón, ft, varia on n vees la tensión de traión en el refuerzo ( on n Es / E ), b) El modulo elástio del hormigón, E, varia on la raíz de f, ) Las tensiones promedias a ortante varían on K1 ( / b.d) y d) las tensiones promedias a flexión varían on K ( M / b.d ) v v K b d b d 1 f t E E s f s f t K E 4 s f ρ M b d f K t f 5 Reemplazando las euaiones anteriores en 5.6 se obtienen las tensiones prinipales a traión uando la ortante se ombina on la flexión.

21 d b K d b E f M K d b M f E K f K s s ρ ρ Despejado la tensión ortante y organizando términos: K d E f M K d E f M K K f d b s s ρ ρ En la euaión anterior las variables dependientes e independientes son las siguientes: Y [ / ( b.d.vf )] X [ M.vf / (?..d)] Reemplazando estos valores la euaión resumida queda expresada así: ( ) ( ) [ ] K X K X K K Y + + En el estudio estadístio la ortante fue definida omo aquella fuerza ausante de la fisura ritia diagonal de la viga y el momento M el orrespondiente al punto superior de la fisura. Sobre la base de aproximadamente 440 ensayos, omo se muestran en la figura 5.18 se pudo estableer la relaión matemátia entre estas dos variables utilizando los ajustes por mínimos uadrados y usando el valor orreto del modulo elástio del aero de refuerzo ( Es MPa). Los resultados estadístios de la figura 5.18 se presentan en las unidades originales en que fueron obtenidos ( libras fuerza por pulgada al uadrado ) sin embargo su uso en el diseño debe ajustarse al sistema internaional de unidades que atualmente se esta usando. La euaión 5.16 presenta la relaión experimental para determinar la resistenia a ortante en vigas intermedias. Un punto importante en la euaión 5.16 es la presenia de la uantía del refuerzo a traión omo variable en la determinaión de la resistenia a ortante. Las pruebas indiaban que al aumentar la uantía se aumentaba la tensión ortante para la ual se formaba la primera fisura diagonal lo que benefiia satisfatoriamente el omportamiento del elemento. Una expliaión mas razonable de esto es que a mayor antidad de refuerzo a traión se obtienen fisuras mas pequeñas y delgadas antes de la formaión de las fisuras diagonales, dejando por tanto una mayor área de hormigón sin fisurar disponible para resistir las tensiones ortantes f M d f d b + ρ ( MPa) (5.16)

22 b d w f ( psi) b ρ d M f w d f 3.5 (psi) b w d f b w d f [ 1000 (?..d)/ (M.vf) ] Figura 5.18 Resultados experimentales sobre resistenia a ortante en vigas intermedias Algunas pruebas experimentales indian que las tensiones para las uales se forman las fisuras diagonales en zonas de alta flexión solo dependen de la uantía del refuerzo longitudinal y de la raíz de f. La euaión 5.17 es propuesta por varios investigadores de la Universidad de Cornell on mejor aproximaión que la euaión ( ρ ) f (MPa) (5.17) v 0 bw d El intervalo de valores en la euaión 5.17 es: 0.08 f v 0.19 f. Para uantías de aero menores que el 1% la euaión 5.17 da valores mas pequeños que los obtenidos on la euaión 5.14 mientras que para valores mayores que el 1.% es todo lo ontrario. La euaión 5.17 se onsidera sufiientemente preisa para determinar la resistenia a ortante por fisuraión diagonal en vigas on relaión ( a / d ) entre.5 y 6.0 on resultados onservadores para valores bajos de ( a / d ) en el rango indiado. Algunos efetos favorables para la resistenia a ortante en vigas sin refuerzo transversal son : a)

23 un alto porentaje de refuerzo a traión y b) una lata relaión ( a / d ). Desde el ódigo ACI se ha aeptado la euaión 5.16 omo la resistenia a ortante de vigas sin refuerzo transversal. Si se define omo la fuerza ortante que resiste una seión de hormigón armado sin refuerzo transversal se obtiene la euaión ρw u d f bw d f bw d M u (MPa) (5.18) Esta es la euaión 11.5 del ódigo ACI y difiere de la equivalente en la NSR-98 porque esta ultima la trabaja a nivel de tensiones y no de fuerzas omo debe ser. El uso de la ortante y el momento mayorados, u - Mu, en lugar de los valores nominales, n - Mn, introdue pequeñas diferenias ya que ( u / Mu ) no es exatamente igual a la ( n / Mn ) por la diferenia en los oefiientes de minoraión de resistenia en flexión y ortante. Se puede notar omo en la formula 5.18 se usa la uantía del refuerzo en el alma,?w, para onsiderar las seiones on aletas. El valor de ( u d / Mu ) no debe ser mayor que 1.0 exepto uando la seión este adiionalmente sometida a fuerza axial. El uso de la euaión 5.18 en el diseño a ortante de vigas ontinuas, figura 5.19, no es realmente laro a la luz de los resultados experimentales. La aión de riostra que se ejere en las zonas donde hay ambio de momento de positivo a negativo modifian sustanialmente la relaión entre el momento y la ortante por lo que algunos investigadores reomiendan onservadoramente utilizar en estas zonas la euaión 5.14 o Riostra a1 a M (+) M (-) Figura 5.18 Fisuraión y formaión de riostra a ompresión en vigas ontinuas

24 5.5.5 Equilibrio de fuerzas en seiones fisuradas diagonalmente Comparadas on las fisuras por flexión, que normalmente se aeptan en el diseño ya que no afetan la resistenia estrutural, las de traión diagonal se deben ontrolar efiazmente ya que afetan el omportamiento de la estrutura y su modo de falla. Los estudios experimentales han onluido que: Una vez se formen las fisuras diagonales estas se propagan inmediatamente en toda la seión transversal dividiendo el elemento en dos partes uando se presenta la falla. El olapso es por lo tanto súbito y ourre prinipalmente en elementos esbeltos uando la relaión luz / altura es mayor o igual a 8.0. La ausenia del refuerzo transversal en estos asos evidenia la falla atastrófia, por lo que es buena pratia oloar un refuerzo transversal mínimo, aunque los álulos indiquen que no se requiere ( similar al diseño a flexión ), en aquellas zonas donde potenialmente se espera la formaión de fisuras diagonales logrando así una mayor onfiabilidad y garantizando un aviso previo de falla. Los ódigos admiten que solo en aquellas estruturas on altos fatores de seguridad ontra la falla por ortante omo en el aso de losas y imentaiones se puede omitir este refuerzo. Alternativamente, las fisuras diagonales pueden propagarse hasta la zona omprimida produiendo una falla de araterístias menos ritias que las del aso anterior. Este fenómeno es freuente en vigas ortas y profundas donde se tienen bajas relaiones luz / altura. En la figura 5.19 se muestra la falla típia diagonal del hormigón armado. El propósito ahora es analizar el ampo de fuerzas que atúan en esta seión fisurada. X1 P1 z y a C ax As b T d R1 m p a ay z xa Figura 5.19 ampo de fuerzas en elementos fisurados diagonalmente

25 De la figura 5.19 la ortante externa en ualquier punto interior es: ext (R1 P1) en donde R1 es la reaión en el apoyo y P1 la arga apliada. Esta ortante se debe equilibrar on las fuerzas internas que resisten esta soliitaión y las uales se pueden lasifiar en las siguientes: z: Cortante que resiste el hormigón sin fisurar a: Cortante debida a la trabazón entre agregados en la zona fisurada d: Cortante de dovela por la aión del aero de refuerzo Dependiendo de la relaión l / h se tiene al aión de aro Cada una de estas fuerzas ontribuye independientemente a la resistenia a ortante de la estrutura. Experimentalmente se ha omprobado que: z aporta del 0 al 40 % de resistenia, a aporta entre un 33 y 50 % y d entre un 15 y 5 %. La fuerza ortante interna es: int z + ay + d. Del equilibrio de fuerzas vertiales se tiene: ext. int. ext. z + ay + d. Si se toman momentos on respeto al punto a en la interseión de z on C los momentos interno y externo son: M ( x ) a, ext. R1 xa P1 a x1 M T z + p m a, int d a En donde p es la proyeión horizontal de la fisura diagonal y m es la distania entre el eje de a y el punto a. En el equilibrio Mext. Mint. M a, ext. T z + d p a m Si se despreian las fuerzas d y a las uales disminuyen a medida que aumenta el anho de las fisuras se omete un error pequeño y se obtiene: T M d p + a m M a, z z a, ext. ext. En definitiva la formaión de la fisura diagonal produe una redistribuión de tensiones internas que tienen las siguientes araterístias: Antes de la fisuraión, las tensiones ortantes promedias de la seión por el punto a tienen un valor de [ext. / (bw.d)]. Después de la fisuraión la ortante externa es resistida por la aión onjunta de a, d y z. A medida que se aumentan la tensiones externas tanto d omo a disminuyen lo que hae aumentar la ortante en la zona de hormigón sin fisurar. La fisura diagonal desrita anteriormente llega al eje neutro y se propaga a la zona omprimida antes de ser detenida por el ampo de tensiones a ompresión. En onseuenia la resultante C de las tensiones normales de ompresión atúa sobre una área mas pequeña b.y respeto al área iniial. Se onluye por tanto que la formaión de la fisura diagonal ha heho aumentar las tensiones de ompresión del hormigón.

26 Antes de la fisuraión diagonal, la fuerza de traión del refuerzo, T, en el punto b se debe solo al momento fletor en el punto b y es proporional a su valor. Con la fisuraión diagonal el valor de T se debe al momento en el punto a y también es proporional a el. Como el momento en a evidentemente es mayor que el momento en b, la formaión de la fisura ha produido un aumento súbito de las tensiones en b. Si tanto el aero omo el hormigón están en apaidad de resistir el aumento de tensiones, el equilibrio de la seión estableerá una redistribuión interna de estas y el elemento soportara una mayor arga antes de la falla. Existen varias situaiones que se deben analizar en el instante de la falla: a) Cuando la antidad de aero a traión es apenas la requerida para atender la flexión, uando se aumenten las tensiones en el refuerzo por efeto de la fisuraión produiendo la fluenia y finalmente la falla; b) si el diseño tuviera en uenta este efeto el hormigón en la zona omprimida fallaría por aplastamiento al aumentar la ortante y al flexión. En vigas profundas, a diferenia de las vigas intermedias, después de la formaión de las fisuras, la estrutura sigue tomando arga. Sin embargo esta reserva de resistenia es errátia y no es reomendable tenerla en uenta. Las pruebas de laboratorio indian e estos asos situaiones on alto grado de variabilidad mostrando unas vees alta reserva de resistenia y en otros asos valores menores a los esperados. 5.6 CORTANTE EN SECCIONES CON REFUERZO TRANSERSAL Generalidades Una de las prinipales exigenias en el diseño estrutural es garantizar que una seión desarrolle toda su apaidad resistente en flexión y esta no se vea limitada por una eventual falla prematura por ortante. Análogamente el diseñador debe prourar que su estrutura en aso de ser sobreargada no olapse en forma súbita, omo en el aso de la rotura por ortante, sino que muestre una adeuada deformaión antes del olapso o derrumbe total. Cuando una falla estrutural se iniia por flexión es síntoma de que se realizo un buen diseño ya que el aero de refuerzo omienza a fluir y gradualmente se inrementan las deformaiones y el anho de fisuras. Si por el ontrario esta no es la araterístia el riesgo es alto en el instante de una sobrearga porque el agotamiento por ortante no da signos visibles de alarma. El uso del refuerzo por ortante o transversal es el meanismo atual para aumentar la reserva de resistenia de una estrutura ante una eventual falla por ortante Tipos de refuerzo a ortante La forma típia de atender las tensiones ortantes en el hormigón es oloando aero en forma de aros retangulares que orten las poteniales fisuras diagonales que se formen por efeto del ampo de tensiones a flexotraion omo se muestra en la figura 5.0.a. Este refuerzo onoido omo estribos se amarra adeuadamente on el aero de

27 flexión onformando una erha espaial ( anasta o jaula es la palabra mas utilizada en la pratia) en donde las barras superiores e inferiores atienden la flexión y los aros o amarres transversales la ortante. a) Estrutura on estribos vertiales b) Estrutura on estribos inlinados ) Tipos de estribos en U de dos ramas d) Estribos en U de varias ramas e) Barras longitudinales dobladas Figura 5.0 Diferentes tipos de refuerzo transversal

28 Los estribos pueden oloarse en posiión normal o inlinada respeto a la direión del refuerzo por flexión y deben separarse entre si una distania onveniente. Se utilizan barras orrugadas # 3 uando el refuerzo por flexión es menor que la # 11 y barras # 4 en aso ontrario. El estribo típio a ortante es en forma de U y puede tener mas de dos ramas de auerdo a la apaidad requerida, el estribo errado se utiliza para atender la ortante mas la torsión y es también utilizado freuentemente en los diseños estruturales. Alternativamente se puede utilizar omo refuerzo transversal parte del refuerzo longitudinal, doblando este un ángulo mayor o igual 30 on la horizontal en aquellos puntos donde no se requiera para atender las tensiones por flexión, figura 5.0.d. Esta apliaión es freuente en vigas ontinuas donde parte del refuerzo positivo se puede doblar busando el refuerzo negativo onformando este sistema de refuerzo transversal. Sin embargo su utilizaión es bastante restringida, solo se onoen apliaiones en vigas y losas de puentes, por los altos ostos en figuraión y detallado que obligan a ontinuar utilizando los aros retangulares onvenionales. El uso de mallas eletrosoldadas omo refuerzo transversal es utilizado en muros y vigas profundas, elementos prefabriados y estruturas pretensadas Funión del refuerzo transversal. Analogía de la erha El omportamiento de las estruturas que fallan a ortante, uando estas tienen refuerzo transversal, puede representarse y expliarse mediante el modelo matemátio de la analogía de la erha propuesto por Ritter a fines del siglo XIX. En la figura 5.1.a y d se muestra dos tipos de erhas lásias: Warren y Prandtl uya araterístia prinipal bajo arga es que las uerda superior está a ompresión y la inferiores a traión mientras que los elementos que onetan estas uerdas ( los puntales y las diagonales) están alternadamente sometidos a ompresión y a traión. En el aso de las estruturas de hormigón armado, figuras 5.1. y f, la resistenia a ortante se aumenta on el uso del refuerzo transversal en forma similar al omportamiento de los elementos en la erha. El refuerzo a ortante debe quedar adeuadamente anlado y doblado en al zona a ompresión para garantizar su efiienia meánia. La aión del refuerzo transversal, sea este vertial o inlinado, puede visualizarse mejor on las grafias 5.1.b y e. Aunque la analogía de la erha ha sido tradiionalmente la mejor interpretaión de la importania del refuerzo transversal en el hormigón armado, es laro que realmente este modelo no explia exatamente la forma omo se transmite la fuerza ortante en los elementos. Efetivamente el refuerzo transversal aumenta la apaidad a ortante pero tal refuerzo ontribuye muy poo a la resistenia a ortante antes de la formaión de las fisuras diagonales. Experimentalmente se ha omprobado que para suministrar una resistenia a ortante adeuada, de tal forma que haya una redistribuión de fuerzas internas en la seión en donde eventualmente se formen las fisuras diagonales, es neesario que los estribos umplan tres requisitos básios:

29 Cuerda a ompresión C T C T C T T C T C T C Cuerda a traion a) Cerha metália tipo Warren Hormigón a ompresión Refuerzo a traión b) Analogía de erha. Estribos inlinados ) Estrutura de hormigón armado on estribos inlinados Figura 5.1 Modelo de la analogía de la erha para expliar el refuerzo transversal

30 Cuerdas a ompresión Cuerda a traión d) Cerha metália tipo Prandtl Hormigón a ompresión Refuerzo a traión e) Analogía de erha. Estribos vertiales f) Estrutura de hormigón armado on estribos vertiales Figura 5.1 Modelo de la analogía de la erha. Continuaión

31 Resistir aquella parte de la ortante externa ( ext.), que no esta en apaidad de soportar el hormigón ( ). El meanismo se expliara mas adelante. Detener o impedir el reimiento de las fisuras diagonales y mantener el aporte de la trabazón de agregados ( a), en la resistenia a ortante. Esto permite también mantener mas área a ompresión de hormigón sin fisurar para resistir la ombinaión de la ortante mas la ompresión (z). Sujetar adeuadamente las barras de refuerzo por flexión ( longitudinales) y desde luego aumentar la apaidad de la aión de dovela (d). Además de estas tres funiones prinipales, la aión de dovela en los estribos puede transferir una pequeña fuerza de traión a través de la seión fisurada y el efeto de onfinamiento del estribo sobre el hormigón a ompresión aumenta ligeramente la resistenia estrutural del elemento. Si la antidad de refuerzo transversal es baja ( valores eranos a la uantía mínima) este aero entrara en fluenia una vez se forme la primera fisura diagonal y la estrutura fallara inmediatamente. Si por el ontrario es relativamente alta se presentara una falla por la ombinaión de ortante mas ompresión antes de la fluenia de los estribos. La antidad optima de aero a ortante debe ser tal que a máxima exigenia tanto el refuerzo transversal omo el hormigón en la zona a ompresión ontinúen transmitiendo la ortante inlusive después de la formaión de la primera fisura diagonal hasta que el aero transversal entre en fluenia on el fin de asegurar una falla gradual del elemento. Como se puede notar de lo indiado anteriormente, una vez se forme la primera fisura diagonal el omportamiento estrutural es omplejo y depende muho de las araterístias prinipales del ampo de fisuras ( longitud, inlinaión, loalizaión, anho). Esto para reonoer la naturaleza variable del problema y la difiultad que ha tenido en la formulaión de unas bases raionales para predeir el omportamiento. Algunos trabajos reientes ( 1999) han mostrado omo los modelos del puntal y del tirante, el ampo modifiado de tensiones a ompresión, el análisis limite y la meánia de la fratura permiten dimensionar y detallar orretamente las estruturas sometidas a ortante demostrando mayor elegania y laridad oneptual en los diseños Enfoque lásio de la resistenia a ortante En prinipio el problema que se plantea es omo lograr determinar la resistenia a ortante ( n: ortante nominal ) de una seión de hormigón armado on refuerzo transversal. La aproximaión lásia propuesta por el ACI representa en primera instania una soluión pratia y razonable. Según este instituto la ortante nominal se puede onsiderar omo la suma de la ortante que resiste el hormigón sin refuerzo transversal ( ) mas la ortante que aportan los estribos ( s). La expresión 5.19 representa esta onoida formula de diseño. + (5.19) n s Experimentalmente se ha omprobado que antes de la formaión de las primeras fisuras diagonales el aero transversal es inefetivo y el omportamiento de la seión es similar al del hormigón armado sin refuerzo transversal. Una vez se formen las fisuras