Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 2013.

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1 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 01. (códigos QR para acceder directamente a los vídeos) PRIMARIA 1º ESO º ESO º ESO aplicadas º ESO académicas º ESO aplicadas º ESO académicas CALCULADORA Se recomienda que todos los alumnos adquieran una calculadora que facilite las eplicaciones en clase que les valga para todo su paso por la Enseñanza Secundaria. La propuesta es la calculadora Casio f 991SP u otra de similares prestaciones manejo. 1 Traducciones al inglés hechas por: Gema Bargueño Alonso (para 1º ESO) Clara Polo Benito (para º ESO). 1

2 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 01. ÍNDICE: I. LENGUAJE ALGEBRAICO. POLINOMIOS.... TRADUCCIÓN A LENGUAJE ALGEBRAICO... VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA... 9 OPERACIONES CON POLINOMIOS... 9 POTENCIA DE UN BINOMIO DIVISIÓN Y FACTORIZACIÓN... 1 mcm Y MCD... 1 SIMPLIFICACIÓN... FRACCIONES ALGEBRAICAS... II. ECUACIONES E INECUACIONES... 6 ECUACIONES DE 1º GRADO SIN PARÉNTESIS NI FRACCIONES... 6 ECUACIONES DE 1º GRADO CON PARÉNTESIS Y SIN FRACCIONES... 0 ECUACIONES DE 1º GRADO CON FRACCIONES... 1 ECUACIONES DE 1º GRADO CON FRACCIONES Y PARÉNTESIS... ECUACIONES DE º GRADO... ECUACIONES DE º GRADO CON PARÉNTESIS... 9 ECUACIONES DE º GRADO CON DENOMINADORES Y PARÉNTESIS... 0 GRÁFICAS Y PROBLEMAS DE PARÁBOLAS (análisis)... 0 ECUACIONES BICUADRADAS... ECUACIONES RACIONALES Y GRADOS DISTINTOS... 7

3 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 01. ECUACIONES IRRACIONALES... 9 INECUACIONES DE 1º GRADO INECUACIONES DE º GRADO PROBLEMAS DE ECUACIONES EN UNA INCÓGNITA... 6 III. SISTEMAS DE ECUACIONES Y DE INECUACIONES SISTEMAS DE 1º GRADO CON INCÓGNITAS SENCILLOS SISTEMAS DE 1º GRADO CON INCÓGNITAS Y PARÉNTESIS SISTEMAS DE 1º GRADO CON INCÓGNITAS Y DENOMINADORES SISTEMAS DE 1º GRADO CON PARÉNTESIS Y DENOMINADORES SISTEMAS DE º GRADO CON UNA RECTA Y UNA CÓNICA... 8 SISTEMAS DE º GRADO CON DOS CÓNICAS... 8 PROBLEMAS DE SISTEMAS IV. SUCESIONES Y FINANCIERA SUCESIONES MATEMÁTICA FINANCIERA

4 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 01. I. LENGUAJE ALGEBRAICO. POLINOMIOS. TRADUCCIÓN A LENGUAJE ALGEBRAICO 9. Dado un número, epresa el opuesto de su cuadrado. Given a number, epress the opposite of its square number. 10. Dado un número, epresa el inverso de su cubo. Given a number, epress the inverse of its cube number. 11. Dado un número, epresa la suma de su cuadrado su cubo. Given a number, add it its square number and its cube number. 1. Dado un número, epresa la suma de su inverso su cuadrado. Given a number, add it its inverse number and its square number. 1. Dado un número, epresa la suma de su cubo su opuesto. Given a number, add its cube number and its opposite. 1. Dados dos números e, epresa su suma. 1. Dado un número, epresa un número dos unidades maor. Given a number, epress a number two units bigger.. Dado un número, epresa un número cinco unidades menor. Given a number, epress a number five units smaller.. Dado un número, epresa el resultado de restar ese número a cinco. Given a number, subtract that number from.. Dado un número, epresa su opuesto. Given a number, epress its opposite.. Dado un número, epresa su inverso. Given a number, epress its inverse. 6. Dado un número, epresa su cuadrado. Given two numbers and, add them. 1. Dados dos números e, epresa la suma de sus opuestos. Given two numbers and, add their opposite numbers. 16. Dados dos números e, epresa la suma de sus inversos. Given two numbers and, add their inverse numbers. 17. Epresa cuánto valen cinco móviles de más dos tablets de. Epress how much five mobile phones of plus two tables of cost. 18. Epresa lo que cuesta llenar el depósito de gasolina de litros que tiene mi coche si el precio del combustible es de /l. Epress the cost of filling up the litres petrol tank of m car if the price of the petrol is euros per litre. 7. Dado un número, epresa su cubo. Consecutivos 19. Dado un número entero, epresa los números consecutivos anterior posterior. 8. Dado un número, epresa su raíz cuadrada. 0. Dado un número entero, epresa los siguientes tres números Given a number, epress its square number. Given a number, epress its cube number. Given a number, epress its square root. Given a whole number, epress the following and preceding numbers. consecutivos.

5 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 01. Given a whole number, epress the following three numbers. 1. Dado un número entero par, epresa el siguiente número par (por tanto el par consecutivo). Given an even whole number, epress the following even number (the consecutive even number).. Dado un número entero impar, epresa el siguiente número impar (por tanto el impar consecutivo). Given an odd whole number, epress the following odd number (the consecutive odd number).. Dado un número entero par, epresa los siguientes dos números pares (por tanto los siguientes pares consecutivos). Given an even whole number, epress the following two even numbers (the following consecutive even numbers).. Dado un número entero impar, epresa los siguientes tres números impares (por tanto los siguientes impares consecutivos). Given an odd whole number, epress the following three odd numbers (the following consecutive odd numbers).. Dado un número entero par, epresa el siguiente el anterior número par (tendrás tres pares consecutivos). Given an even whole number, epress the preceding even number and the following even number. (ou will get three consecutive even numbers). 6. Dado un número entero impar, epresa el siguiente el anterior número impar (tendrás tres impares consecutivos). Given an odd whole number, epress the preceding odd number and the following odd number. (You will get three consecutive odd numbers). 7. Dado un número entero, epresa el número anterior el posterior al doble del número dado. Given a whole number, epress the preceding and following numbers of the double of the given number. 8. Dado un número entero, epresa la suma de ese número con el tripe de su siguiente. Given a whole number, add that number to the triple of the following number. 9. Dado un número entero par, epresa la diferencia del número par anterior el número par posterior. Given an even whole number, subtract the preceding even number and the following even number. 0. Epresa los siguientes dos números consecutivos del triple de un número. Given the triple of a number, epress the two following consecutives numbers. 1. Dado un número entero, epresa un número 7 unidades más grande los dos números consecutivos anteriores a este. Given a whole number, epress a number which is seven units bigger and the two following preceding numbers to this one.. Dado un número entero, epresa la suma de los tres números consecutivos. Given a whole number, add the following three consecutive numbers.. Dado un número entero, epresa la diferencia del número posterior el número anterior. Given a whole number, subtract the following number and the preceding number.. Dado un número entero, epresa la raíz cuadrada de su siguiente. Given a whole number, calculate the square root of the following number.. Dado un número entero, epresa la suma de las raíces cuadradas de su siguiente su anterior. Given a whole number, add the square roots of the following and preceding numbers. 6. Dado un número entero cualquiera, epresa lo que seguro es un número par. Given an whole number, epress its even number. 7. Dado un número entero cualquiera, epresa lo que seguro es un número impar.

6 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 01. Given an whole number, epress its odd number. Multiplicativos 8. De un número, epresa su doble. Given a number, epress its double. 9. De un número, epresa su quíntuple. Given a number, epress its quintuple. 0. De un número, epresa su óctuplo. Given a number, epress its eightuple. 1. De un número, epresa su triple. Given a number, epress its triple.. De un número, epresa su sétuplo. Given a number, epress its situple.. De un número, epresa su cuádruple. Given a number, epress its quadruple.. Dado un número, epresa la mitad de su raíz cuadrada. Given a number, epress the half of its square root.. Dado un número, epresa su quíntuple más 6 unidades. Given a number, epress its quíntuple plus 6 units. 6. Dado un número, epresa su mitad aumentado en tres unidades. Given a number, calculate its half and then add three units. 7. Dado un número, epresa el doble del número siguiente. Given a number, double its following number. 8. Dado un número, epresa la mitad del número anterior. Given a number, epress the half of its preceding number. 9. Dado un número entero, epresa la suma del doble del número la tercera parte del siguiente. Given a whole number, add the double of this number and the third part of its following number. 0. Dado un número entero, epresa la diferencia del quíntuplo del número la mitad del siguiente. Given a whole number, subtract the quintuple of this number and the half of its following number. 1. De dos números e, epresa el doble del primero más el triple del segundo. Given two numbers and, add the double of the first one to the triple of the second one.. De dos números e, epresa el sétuplo del primero más el opuesto del segundo. Given two numbers and, add the situple of the first one to the opposite of the second one. Partitivos. De un número, epresa su mitad. Given a number, epress its half.. De un número, epresa su décima parte. Given a number, calculate a tenth.. De un número, epresa su cuarta parte. Given a number, calculate a quarter. 6. De un número, epresa su octava parte. Given a number, calculate an eighth. 7. De un número, epresa su tercera parte. Given a number, calculate a third. 8. De un número, epresa el opuesto de su quinta parte. Given a number, calculate the opposite of a fifth. 9. De un número, epresa el doble de su séptima parte. Given a number, calculate the double of a seventh. Combinados 60. De un número, epresa su doble más su mitad. Given a number, add its double to its half. 61. De un número, epresa su triple más su cuarta parte. Given a number, add its triple to a fourth of this number. 6. De un número, epresa su quinta parte más su quíntuplo. Given a number, add a fifth of this number to its quintuple. 6. De un número, epresa su sétuplo más su tercera parte. Given a number, add its situple to a third of this number. 6

7 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde Dados un número impar, epresa la diferencia del anterior número impar el triple del siguiente número impar. 6. Dados dos números e, epresa la suma de la seta parte del primero con el doble del segundo. Given two numbers and, add a sith of the first number to the double of the second one. 66. Dados dos números e, epresa la suma del cuádruplo del primero con el opuesto de la tercera parte del segundo. Given two numbers and, add the quadruple of the first one to a third of the opposite number of the second one. 67. Dados dos números e, epresa el opuesto de la mitad del primero sumado al opuesto del óctuplo del segundo. Given two numbers and, add the half of the opposite number of to the eightuple of the opposite of. 68. Dados dos números e, epresa el inverso del doble del primero sumado al opuesto del sétuplo del segundo. Given two numbers and, add the inverse number of the double of to the opposite number of the situple of. 69. Dados dos números e, epresa el opuesto de la tercera parte del primero restado al inverso del cuádruplo del segundo. Given two numbers and, subtract the opposite of a third of and the inverse of the quadruple of. 70. Epresa la suma de las edades de tres hermanos sabiendo que dos de ellos son gemelos el tercero tiene la mitad de años que los otros dos. Given that two brothers are twins and the third one is half the age of his two brothers, add their ages. Porcentajes 71. Dada una cantidad, epresa su 7%. Given a quantit, calculate its 7%. 7. Dada una cantidad, epresa su 1%. Given a quantit, calculate its 1%. 7. Dada una cantidad, epresa su 0%. Given a quantit, calculate its 0%. 7. Dada una cantidad, epresa su 0%. Given a quantit, calculate its 0%. 7. Dada una cantidad, epresa su 8%. Given a quantit, calculate its 8%. 76. Dada una cantidad, epresa su 10%. Given a quantit, calculate its 10%. 77. Dada una cantidad, epresa su 7,%. Given a quantit, calculate its 7.%. 78. Dada una cantidad, epresa su 1%. Given a quantit, calculate its 1%. 79. Dada una cantidad, epresa su %. Given a quantit, calculate its %. 80. Dado un artículo de, epresa lo que cuesta si se le tiene que sumar el 1% de IVA. 81. Dada una cantidad, epresa la suma de esa cantidad con su %. Given a quantit, add that quantit to its %. 8. Dada una cantidad, epresa la diferencia de esa cantidad con su 10%. Given a quantit, subtract its 10% from that quantit. 8. Dada una cantidad, epresa su 80% menos su 9%. Given a quantit, subtract its 9% from its 80%. 8. Dado un artículo de, epresa lo que cuesta si lo rebajan un 10%. Given an article of, calculate how much does it cost if it has a discount of 10%. 8. Dado un artículo en fábrica de, epresa lo que cuesta en tienda si le tienen que subir el 1% de IVA. Given an article of, calculate how much it will cost in a shop if its price has been increased 1%. 86. Dado un sueldo de, epresa en cuánto se queda si lo suben un %. Given a salar of, calculate how much it will cost if its price has been increased %. 7

8 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde Dado un sueldo de, epresa en cuánto se queda si lo bajan un %. Given a salar of, calculate how much it will cost if the price has been reduced %. 88. Epresa lo que cuesta llenar el depósito de gasoil de 90 litros que tiene un tractor si el precio del combustible es de /l pero el agricultor tiene una rebaja del %. If a tractor has a 90 litre petrol tank and the price of the petrol is /l, but the farmer has a % discount, how much does it cost to fill the petrol trank? Geométricos 89. Dado un cuadrado de lado, epresa su perímetro su área. Calculate the perimeter and the area of a square with a side. 90. Dado un rectángulo con lados e, epresa su perímetro su área. Calculate the perimeter and the area of a rectangle with two sides and. 91. Dado un triángulo equilátero de lado, epresa su perímetro. Calculate the perimeter of an equilateral triangle with a side. 9. Dado un rectángulo con base la mitad de la altura, epresa su perímetro su área. Calculate the perimeter and the area of a rectangle whose base is half its height. 9. Dado un rectángulo de altura triple que la base, epresa su perímetro su área. Calculate the perimeter and the area of a rectangle whose height is three times its base. 9. Epresa el perímetro de un triángulo isósceles en el que los lados iguales miden el doble que el lado desigual. Calculate the perimeter of an isosceles triangle whose equal sides measure the double of its remaining side. 9. Dado el ángulo desigual de un triángulo isósceles, epresa la medida de uno de los otros dos ángulos. Calculate the measure of one of the equal angles of an isosceles triangle taking into account its remaining side. 96. Dado un heágono regular inscrito en una circunferencia de radio, epresa su perímetro. Calculate the perimeter of a regular heagon inscribed in a circumference with a radius. 97. Dado un cuadrado de lado, epresa el perímetro el área de un nuevo cuadrado de lado el doble que el primero. Given a square with a side, calculate the perimeter and the area of a new square whose side measures the double of the first one. 98. Dado un cuadrado de lado, epresa el perímetro el área de un rectángulo resultado de aumentar la base en unidades la altura en unidades. Given a square with a side, calculate the perimeter and the area of a rectangle that is the result of increasing the base in units and the height in units. 99. Dado un cuadrado de lado, epresa el perímetro el área de un rectángulo resultado de disminuir la base en unidades aumentar la altura en 6 unidades. Given a square with a side, calculate the perimeter and the area of a rectangle that is the result of decreasing the base in units and increasing the height in 6 units Dado un rectángulo de lados e, epresa el perímetro el área de un nuevo rectángulo con base el doble del anterior altura aumentada en 10 unidades. Given a rectangle with sides and, calculate the perimeter and the area of a new rectangle whose base is the double of the previous one and its height is increased b 10 units Dada un solar cuadrado de perímetro metros, epresa su área. 10. Dado un rectángulo de lados e, epresa el perímetro el área de un nuevo rectángulo con base disminuida en 7 unidades altura aumentada en unidades. Given a rectangle with sides and, calculate the perimeter and the area of a new rectangle whose base is decreased b 7 units and its height is increased b units. 8

9 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 01. VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA RECUERDA: significa 10. () = + = () = + = 10. () = + = 106. () = + 1 = 107. () = + = () = 6 = 0 R 6 para Q 6 8 para P 1 para S 7 para (, ) = = 1, = 11. (, ) = 7 =, = (, ) = =, = 116. (, ) = = 6, = 117. (, ) = = 7, = F ( a, b) a b para a, b 119. K ( a, c) a c para a 10, c I ( b, c) b c para b 9, c (, ) = + = 6, = 1 b b ac 1. H ( a, b, c) para a 1, b, c 0 a b b ac 1. U ( a, b, c) para a, b, c 1 a a0 an n 1. Z( a0, an, n) para a0 1, an, n 10 n1 a0 1 r 1. W( a0, r, n) para a0, r, n 1r OPERACIONES CON POLINOMIOS 9

10 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 01. RECUERDA MONOMIO COEFICIENTE PARTE LITERAL GRADO = 1 = 1 0 RECUERDA Los monomios semejantes son aquellos que tienen la misma parte literal. 16. Clasifica los componentes de los siguientes monomios di cuáles son semejantes:,, 6, 8,, 17. Clasifica los componentes de los siguientes monomios di cuáles son semejantes: 7,,,,, Clasifica los componentes de los siguientes monomios di cuáles son semejantes: 9 6, z,, 10 z 19. Clasifica los componentes de los siguientes monomios di cuáles son semejantes: /, 9, 6/, Clasifica los componentes de los siguientes monomios di cuáles son semejantes: z, 11z, 8,, z Operaciones con monomios Suma/resta RECUERDA: solo se pueden sumar /o restar monomios semejantes. 11. = 1. 8 = 1. 7 = 1. 6 = = = = = = = = = = = = = = = 10

11 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde = = = 1. + = = + + = Producto/cociente RECUERDA: se puede multiplicar /o dividir cualquier monomio, no se necesita ser monomio semejante ( )= 17. ( )= = 19. z 6 6 z= 160. = 161. ( )= ( 7 )= = : ( 8 )= : 16 = : 7 = : ( )= 171. : = = 17. : = ( ) = ( ) = 17. ( ) ( 1)= 176. ( ) ( 6 ) ( )= 177. t t ( ) 180. = 181. = 18. = 18. ( ) = Jerarquía ( ) = ( 7 ) + 6 = ( ) = : ( ) + 1 ( ) = 188. [ 6 ( )] : ( ) = 189. [ 8 ( )] : ( 10 1 )= 190. [8 : ( )] ( 7 ) = 191. [ : ( 6 )] : ( ) = 19. : [( 6 ) : ( )] = 19. [ 1 : ] : ( ) = : [ : ( )] = : [( ) : ( )] = 196. [ 18 6 : ( )] : ( ) = 197. [ 6 ( )] : ( 6 ) 8 7 = 198. [ 18 : ( ) ] ( ) = 11

12 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde : [( 7) : ( )] [( 1) : ( )] 8= [ ( )] : ( 6) + ( 6) : [16 : ( )] + = [ 67 : ] : ( ) [ 1 : 7] : ( ) + = Cuando se saca factor común a todo un monomio, dentro del paréntesis se pone un 1 en su lugar. Sacar factor común abc abc 1b 6abc a ab ab 1ab a 0ab RECUERDA Al sacar factor común, dentro del paréntesis queda el mismo número de monomios que se tenía al principio. Cuando se saca factor común a un, dentro del paréntesis se pone un + en su lugar = ab ab 0ab = 1. 1z z 1 z = 8 1 =

13 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde ab a b ab =.. 6. ab a 0ab = 7ab 9ab 1a b = 9. z z = z 16 = = ab ab a b = = z z z = = 8 = z z z = = 8 1 = z = ab ab ab = c c 8c b c 7b c = 6 a 1 ab a = 0 1 A() = B() = 6 + C() = 9 6 D() = + E() = F() = 8 + G() = 6 9 H() = I() = + J() = + 7

14 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 01. RECUERDA El grado de un polinomio es el maor grado de entre sus monomios. Multiplicación polinomio monomio De qué grado son los polinomios resultantes?. A()=. B()=. C()= 6. 6 D()= 7. E()= 8. F()= G()= 0. H()= 1. 7 I()=. 8 J()=. I():( )=. G():( )=. I():( )= 6. F() : = Suma resta de polinomios 7. A() B() = 8. A() + B()= 9. A() B()= 60. A() D()= 61. B()+C()= 6. B() C()= 6. B()+C()= 6. B() C()= 6. A()+B()+C()= 66. A() B()+C()= 67. A()+B()+C()= 68. B() C()+D()= 69. C()+D() E()= 70. C() D() E()= 71. B()+D()+E()= 7. B() D()+E()= 7. A()+D() E()= 7. F()+G() H()= 7. F() H()+I()= 76. F()+H()+I()= 77. G()+H() I()= 78. G()+I()+J()= 79. F() H()+J()= 80. F()+I() J()= 81. G() I()+J()= 8. F()+G() H()= Operaciones con polinomios 8. B() + A() C()= 8. A()+ F()+ I()= 8. B()+G() J()= 86. C() G()+ H()= 87. B()+E()+ I()= 88. B()+ D()+0 J()= 1

15 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde B() E() G()= 90. C() D()+ J()= 91. C() E() I()= 9. D()+ E() H()= 9. C()+ F() H()= 9. D()+ G() I()= 9. E() H() J()= 96. F()+ G()+ H()+I()= F() G()+H() I()= 98. F() H()+I() J()= 99. B()+D()+ H()+J()= 00. A()+ C() E() I()= 01. A()+ E() G() J()= 0. C() E()+ I() J()= 0. D()+E() G()+ J()= 0. A()+ E()+ G()+ I()= 0. A()+D()+ F()+I()= 06. B() C()+ G()+ I()= 07. A()+E()+ D()+E()= 08. A() B()+C() E()= 09. A() B()+ C()+ D()= 10. E()+ G()+ I() J()= 11. ½ F() ¼ G()+H() I()= 1. A() ½ B()+ C()+ ¼ D()= 1. ½ E()+ I() ¼ J()= () () = 1. () + 1. () () () = Operaciones con polinomios paréntesis 16. [ C() B() ]= 17. [ D() + E() ]= [ F() 0 D() ]= 19. [ 6 J() G() ]= 0. A() [ B() + C() ]= 1. H()+ [ I() A() ]=. [ J() C() ] B()=. [ B() G() ] C()=. [ D() + F() ] E()=. C() +½ [ J() E()]= 6. E() [ H() ¼ B() ]= 7. ¼ [ A() +½ F() ] G()= 8. 1 B() [ A() ]= C() 9. () + [() ()] = 0. () + () () = Multiplicación de polinomio polinomio 1. ( ) ( + ) =. ( ) ( ) =. ( ) ( + ) =. (6 7 6+) ( + ) = 1

16 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 01.. ( 6+9) ( + ) = 6. ( 6 ) ( + 7) = 7. (7 + ++) (7 + ) = 8. ( ) ( + ) = 9. ( +1) (+) = 0. ( ) ( ) = 1. ( + ) ( + 1) =. ( + ) ( ) = Sin fracciones A() = + 7 B() = 6 + C() = D() = + E() = F() = + 7 G() = + H() = 6 + I() = + 6 J() = K() = +7. A() J()=. B() J()=. A() G()= 6. C() G()= 7. B() H()= 8. D() H()= 9. E() I()= 0. F() I()= 1. D() K()=. C() K()=. A() H()=. E() H()=. A() J() C() K() = 6. D() G()+ C() H() = 7. A() J() B() J()+ A() G()= 8. C() G()+ B() H() D() H()= 9. [ E() I() A() H()]= 60. E() I() [F() I() D() K()]= 61. () () [() () () ()] = 6. () () () () () = 6. () () + () () = 16

17 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde [ ( ) ( )] ( ) ( ) = ( ) ( ) ( )+ Con fracciones A() = B() = C()= + D() = ½ + E() = 6 + F() = ½ + ½ G() = + H() = ( ) ( )= ( ) ( )= ( ) ( ) = ( ) ( )= ( ) ( )= 17 ( ) = ( ) ( )= ( ) ( ) ( )= ( ) ( )+ = ( ) ( )+ ( ) = [ ( ) ( )] ( ) = ( ) ( ) ( )+1 = POTENCIA DE UN BINOMIO Sin fracciones SPECIAL BINOMIAL PRODUCTS No te pierdas el vídeo del canal con la demostración geométrica!

18 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 01. RECUERDA El cuadrado de la suma es igual al cuadrado del primero más el doble del primero por el segundo más el cuadrado del segundo. El cuadrado de la resta es igual al cuadrado del primero menos el doble del primero por el segundo más el cuadrado del segundo. La suma por diferencia es igual a la diferencia de cuadrados ( ) = = = 8. 6 = 6 = (6 ) ( ) ( ) ( ) = ( ) = ( 7 ) = ( ) ( + ) = ( 67 ) = ( 7 ) ( + 7 ) = ( + 8 ) = ( + ) = ( 1 ) ( + 1 ) = ( 96 ) = ( + 6 ) ( 6 ) = 0. = t = 6

19 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde Con fracciones 7 q p q p 19. ( + ) ( + ) = ( + ) ( + )= ( ) ( 9 7 ) = ( ) ( 6 +6 z t w k z RECUERDA (a + b ) = a ab b (a b ) = a + ab b ( a + b ) = ( b a ) = b ba + a ( a b ) = [ (a + b )] = ( 1) (a + b )= (a + b ) 0. ( 7 7 ) = 1. ( + ) =. ( ) =. ( 6 ) =. ( 8 ) =. ( 9 ) = 0. 1 = 1. =.. RECUERDA (a + b ) ( a + b ) = ( b + a ) ( b a ) = b a ( a + b ) ( a b )=[ ( a b )] [ ( a + b )]=(a b ) (a + b )= a b )=

20 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 01.. = 6. = 7. = 8. + = 9. + = RECUERDA (a + b ) = a ab b (a b ) = a + ab b ( a + b ) = ( b a ) = b ba + a ( a b ) = [ (a + b )] = ( 1) (a + b ) = (a + b ) 0. + = ( a + b ) ( a b )=[ ( a b )] [ ( a + b )]=(a b ) (a + b )= a b = = 1. + =. + = 1. =. =. + =. =. + = 6. = 7. = 8. = RECUERDA (a + b ) ( a + b ) = ( b + a ) ( b a ) = b a 0

21 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 01. RECUERDA: En (a b) n, los signos son alternados empezando en +. Ejemplo: ( ) = RECUERDA: ( a+b) n = (b a) n ( a b) n = [ (a+b) ] n = ( 1) n (a+b) n. ( + ) =. ( + ) =. ( + ) = 6. ( ) = 7. ( + ) = 8. ( ) = 9. ( + ) = 60. ( ) = 61. ( ) 7 = 6. ( ) = 6. (1 ) = 6. ( ) = 6. ( + ) = 66. ( ) 8 = 67. ( + ) = 68. ( 7 ) = 69. ( 6 ) = 70. ( 7 + ) 6 = 71. ( ) = 7. ( + 8 ) = 7. ( 6 + ) = 7. ( ) = 7. ( + ) = 76. = 77. = 78. = 79. = 80. DIVISIÓN Y FACTORIZACIÓN Sin fracciones FACTORIZACIÓN CON IDENTIDAD NOTABLE FACTORISING WITH SPECIAL BINOMIAL PRODUCTS 1

22 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde t q p 8. = 86. = = = = = = = = FACTORIZACIÓN CON CARDANO FACTORISING WITH CARDANO RECUERDA: ( + a) ( + b) = + (a+b) + a b = ( + ) ( + ) 10= ( + ) ( ) + 10= ( ) ( + ) = ( ) ( ) = = = 97. 6= = = 00. = = = 0. = = 0. + = = = = = = = = Con fracciones FACTORIZACIÓN CON IDENTIDAD NOTABLE 1. = 1. + = = 16. = = =

23 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde = = + + = FACTORIZACIÓN CON CARDANO RECUERDA: ( + a) ( + b) = + (a+b) + a b + + = + ( + ) + = ( ). + + =. + =. + =. = = 7. + = 8. = 9. + = DIVISIONES + = ( + ) = + ( ) Divide los siguientes polinomios, epresando el resultado como: Dividendo = divisor cociente + resto D() = d() c() + r() RECUERDA grado del polinomio cociente c () < grado del polinomio dividendo D() grado del polinomio resto r() < grado del polinomio divisor d() grado del cociente c() + grado del divisor d()= grado del dividendo D() RESTO CERO => d() es divisor de D() 0. ( ) : ( + 6 ) 1. ( ) : ( + ). ( ) : ( ). ( ) : ( 7 ). ( ) : ( ). ( ) : ( 9 ) 6. ( ) : ( 9+6 ) 7. ( ) : ( + 1 ) 8. ( ) : ( 7 + ) 9. ( ) : ( +7 ) 0. ( ) : ( + ) 1. ( ) : ( + ). ( ) : ( +7 ). ( ) : ( 7+1 )

24 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde ( ) : ( 6 + ) ( ) : ( 7 + ) ( ) : ( ++ ) ( ) : ( +6 ) ( ) : ( 7 + ) ( ) : ( ) ( ) : ( ) RESTO DISTINTO DE CERO => d() no es divisor de D() 1. ( ):(6 +).. ( 7 8) : ( 1) ( 6 ) : ( ).. ( = : : ( ) (6 1 9) : ( ) : 1 ( ) : ( ) (6 ) : ( 1) ( 7 1) : ( ) 67. : ): ( + 7) : : 1 ( ): ( + 8) ( ): ( + 1) ( + + 1): ( + 1) Cuando en la división de polinomios el divisor es de la forma (+a), la división se puede hacer de una forma más rápida fácil por el MÉTODO DE RUFFINI 68. Averigua k para que la siguiente división sea eacta: k 1 : 69. ( 70. ( Averigua k para que la división siguiente dé resto : + ): ( 1). Averigua k para que la división siguiente dé resto 0: + + ): ( ).

25 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde Averigua k para que la división siguiente dé resto 19: ( + ): ( + ). 7. Averigua k para que la división siguiente dé resto -1: ( + ): ( ) 7. Averigua k para que la siguiente división sea eacta: ( + ): ( + 1) 7. Averigua k para que la siguiente división sea eacta: k 6 : TEOREMA DEL RESTO Ejemplo: si () = +, sabemos por el método de Ruffini que () = ( ) + => () = ( ) ( ) + = + = => El resto de la división por Ruffini! p( ), halla su valor en =. 7. Si 76. Si q ( ), halla q(). 77. Si m( ), halla su valor en = Si n( ), halla n( ). 79. Si r()= , halla r(). 80. Si s()= , halla s() Calcula el resto resultante de dividir entre ( ) sin realizar ninguna división. 8. Calcula el resto resultante de dividir el polinomio entre (+1) sin realizar la división. FACTORIZACIÓN CON RUFFINI RECUERDA Los candidatos a ser raíces enteras son los divisores del término independiente. RECUERDA Las raíces del polinomio son los puntos de corte de la gráfica de la función asociada con el eje OX ( las soluciones de su ecuación). En cada ejercicio, da las soluciones de la ecuación asociada dibuja la gráfica asociada con software matemático = = = = = = = = =

26 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde = = = 9. 0 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = FACTORIZACIÓN PASOS : 1º SACAR FACTOR COMÚN; º IDENTIDADES NOTABLES; º MÉTODO DE RUFFINI. Si todos los miembros de la clase seguimos los mismos pasos, agilizaremos la corrección de ejercicios en la pizarra nos dará tiempo a hacer más cosas. RECUERDA: las raíces del polinomio son los puntos de corte de la gráfica de la función asociada con el eje OX ( las soluciones de su ecuación) = 617. = = = = + + = = 6. + = = = = = = = = FACTORIZACIÓN DESDE GRÁFICA 6

27 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde Sabiendo que las gráficas pertenecen a funciones polinómicas de grado, halla sus epresiones genéricas. Nota: observa que la primera gráfica corta en igual a 6 ; la segunda corta en igual a 1, 1. RECUERDA Las raíces del polinomio son los puntos de corte de la gráfica de la función asociada con el eje OX ( las soluciones de su ecuación). RECUERDA Las raíces con multiplicidad par, forman valles/montañas en las gráficas; las raíces con multiplidad impar (>1), producen cambios en la curvatura de la gráfica. 61. Sabiendo que las gráficas pertenecen a funciones polinómicas de grado, halla sus epresiones. Nota: observa que la primera gráfica pasa por el punto (, ) corta en igual a, 1 ; la segunda pasa por (, ) corta en igual a. a) a) b) 6. Sabiendo que las gráficas pertenecen a funciones polinómicas de grado, halla sus epresiones. Nota: observa que la primera gráfica pasa por el punto (0, ) corta en igual a 1, 1 ; la segunda pasa por (, ) corta en igual a,,. b) a) 7 b)

28 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde Sabiendo que las gráficas pertenecen a funciones polinómicas de grado, halla sus epresiones. Nota: observa que la primera gráfica pasa por el punto (, 6) corta en igual a 1; la segunda pasa por (, ) corta en igual a 1, 0, 6. a) a) b) Sabiendo que las gráficas pertenecen a funciones polinómicas de grado, halla sus epresiones. Nota: observa que la primera gráfica pasa por el punto ( 1, ) corta en igual a, 0, ; la segunda pasa por (0, 1) corta en igual a b) FACTORIZACIÓN (no todas las raíces enteras) PASOS : 1º SACAR FACTOR COMÚN ; º IDENTIDADES NOTABLES ; º MÉTODO DE RUFFINI ; º ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO. Si todos los miembros de la clase seguimos los mismos pasos, agilizaremos la corrección de ejercicios en la pizarra nos dará tiempo a hacer más cosas. RECUERDA: las raíces del polinomio son los puntos de corte de la gráfica de la función asociada con el eje OX ( las soluciones de su ecuación). 8

29 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 01. RECUERDA: los polinomios irreducibles son de primer grado => (a+b) de segundo grado => (a+b+c) con b ac<0 En cada ejercicio, da las soluciones de la ecuación asociada dibuja la gráfica de la función asociada con software matemático. Todas las raíces racionales: = = = = = = = = = Raíces irracionales: = 6 = 7 16 = 8 1 = 6 = + 0 = + + = = = FACTORIZACIÓN DESDE GRÁFICA RECUERDA Las raíces del polinomio son los puntos de corte de la gráfica de la función asociada con el eje OX ( las soluciones de su ecuación). RECUERDA Las raíces con multiplicidad par producen puntos etremos (máimos/ mínimos) en las gráficas; las raíces con multiplidad impar (>1) producen puntos de infleión. 9 9 = = + = =0 7 = Raíces imaginarias (polinomio irreducible de grado dos): = Sabiendo que las gráficas pertenecen a funciones polinómicas de grado, halla sus epresiones. Nota: observa que la primera gráfica pasa por el punto (0, 6) corta en igual a, ; la segunda pasa por (0, ) corta en igual a 6 1/.

30 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde Sabiendo que las gráficas pertenecen a funciones polinómicas de grado, halla sus epresiones. Nota: observa que la primera gráfica pasa por el punto (, 9) corta en igual a 10, 1 10; la segunda pasa por (0, ) corta en igual a 6 6. a) b) Sabiendo que las gráficas pertenecen a funciones polinómicas de grado, halla sus epresiones. Nota: observa que la primera gráfica pasa por el punto (, 7) corta en igual a 11, 0 11; la segunda pasa por (, 1) corta en igual a,, a) b) 0 a) b) Sabiendo que las gráficas pertenecen a funciones polinómicas de grado, halla sus epresiones. Nota: observa que la primera gráfica pasa por el punto (0, 1) corta en igual a 7, 1, 1 1; la segunda pasa por (0, 10) corta en igual a,,, 66.

31 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 01. a) b) 66. Sabiendo que las gráficas pertenecen a funciones polinómicas de grado, halla sus epresiones. Nota: observa que la primera gráfica pasa por el punto (0, 6) corta en igual a /, /, ; la segunda pasa por (, 8) corta en igual a 1/ 0. a) b) mcm Y MCD mcm MCD de [( mcm MCD de [( mcm MCD de [( mcm MCD de ( mcm MCD de ( ) ( + ), ( + ) ( + )]. + 1) ( 1), ( + ) ( )]. ) ( + 9), 7 ( + ) ( )] , ) , + 1). 6 mcm MCD de ( 16,, ). 7 mcm MCD de ( 1 10, 10 1 ). mcm MCD de ( mcm MCD de ( + + ). mcm MCD de ( mcm MCD de ( mcm MCD de ( mcm MCD de ( mcm MCD de ( mcm MCD de ( mcm MCD de (, 1, + 1)., 9 + +, 7 + 6, 6 + 9). 8, + ). + 16, ) , 1 + +, + + 1). +6 +, + ) ,, 6 ). + 1).

32 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 01. SIMPLIFICACIÓN = 68. = = Sacando factor común en numerador denominador 68. a 6a = b 10a b = = abc a bc 1b ab c = 688. a a b = 10ab 10a b 689. ab1a b = 6a 0a b = 69. = 69. = Aplicando además identidades notables RECUERDA: PASOS para factorizar numerador denominador: 1º saca factor común; º = = = usa identidades notables. =

33 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde = 6 = = 6 9 = = = = = = = 71. = FRACCIONES ALGEBRAICAS mcm DEL TIPO k n = = 71. = ( 716. ) = = = = + : = = = SIMPLIFICACIÓN CON MCD = = CUALQUIER mcm

34 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde = ( ) = = = : 1 a b a b a b a b a b b a = = = 18 =

35 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 01.

36 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 01. II. ECUACIONES E INECUACIONES ECUACIONES DE 1º GRADO SIN PARÉNTESIS NI FRACCIONES INTRODUCCIÓN. Dentro de la web entra en la sección de LA PREGUNTA MATEMÁTICA busca => Cuál es la mezcla correcta para hacer un tinto de verano? BALANZAS Resuelve los ejemplos de ecuaciones empleando el equilibrio entre balanzas : +=+1 RECUERDA PASOS PARA RESOLVER ESTAS ECUACIONES : 1º aislar los términos con en el primer miembro los términos sin en el segundo miembro de la ecuación; º reducir ambos miembros; º despejar la (siempre en positivo). Si todos los miembros de la clase seguimos los mismos pasos, agilizaremos la corrección de ejercicios en la pizarra nos dará tiempo a hacer más cosas. RECUERDA ECUACIÓN => una única solución =a IDENTIDAD => infinitas soluciones 0=0 EXPRESIÓN IMPOSIBLE => ninguna solución 0=b (se supone b 0) Resuelve las siguientes ecuaciones, haciendo después la prueba de la solución. =+ 6

37 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 01. Posible solución entera = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = + Posible solución no entera = = = = = 8 + 7

38 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde = = = = = = = = = = = = = = = = Comprobar solución 811. Es = solución de la ecuación + =? 81. Es =1 solución de la ecuación 6 + =? 81. Es = solución de la ecuación 7 + = +1? 81. Es = solución de la ecuación + 1 = 9? 81. Es = 1/ solución de la ecuación 8 = 10? 816. Es =/ solución de la ecuación + = +? 817. Es = 1 solución de la ecuación + +1=0? 818. Es =0 solución de la ecuación + =? 819. Es =7 solución de la ecuación + = 1? Escribir ecuación a partir de su solución 80. Escribe una ecuación de cinco términos que tenga a = como solución. 81. Escribe una ecuación de cuatro términos que tenga a = como solución. 8. Escribe una ecuación de cinco términos que tenga a =0 como solución. 8. Escribe una ecuación de seis términos que tenga a =/ como solución. 8. Escribe una ecuación de cuatro términos que tenga a = 7 como solución. 8. Escribe una ecuación de seis términos que tenga a =9 como solución. 86. Escribe una ecuación de cuatro términos que tenga a = / como solución. 87. Escribe una ecuación de seis términos que tenga a =1 como solución. 88. Escribe una ecuación de cuatro términos que tenga a = 1/ como solución. 89. Escribe una ecuación de seis términos que tenga a =1/ como solución. 80. Escribe una ecuación de cuatro términos que tenga a = como solución. 81. Escribe una ecuación de tres términos que NO tenga a = 6 como solución. 8. Escribe una ecuación de cinco términos que NO tenga solución (epresión imposible). 8. Escribe una ecuación de tres términos que NO tenga solución (epresión imposible). 8. Escribe una ecuación de cuatro términos que NO tenga solución (epresión imposible). 8. Escribe una ecuación de seis términos que NO tenga solución (epresión imposible). 8

39 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde Escribe una ecuación de cuatro términos que tenga infinitas soluciones (identidad). 87. Escribe una ecuación de cinco términos que tenga infinitas soluciones (identidad). 88. Escribe una ecuación de tres términos que tenga infinitas soluciones (identidad). RECUERDA Una ecuación equivalente a una dada es aquella ecuación que tiene la misma solución que la ecuación dada. Escribir ecuación equivalente a una dada 89. Escribe una ecuación equivalente a la ecuación 6 + =. 80. Escribe una ecuación equivalente a la ecuación + =. 81. Escribe una ecuación equivalente a 1 + = Escribe una ecuación equivalente a la ecuación 8 =. 8. Escribe una ecuación equivalente a 6 + = + 6. DESPEJE DE UNA INCÓGNITA Despejar b en función de a: 8. b = 0 8. b + = b = a 87. a + b = b a = b a = 80. a + b = b a = 7 8. a b = b + a = 0 8. b a = 8. 7b a = a + b = 87. a b + = 88. 8b 8a = b = a a = 6b 861. b a = b 86. b a = 9b 86. b 8 = 8b + a 86. 7b 6a = b b = b + a 866. a + b = b +1 Añadiendo productos 867. ab = ba = ab = ba = ab = 87. ab = ab = 87. a + ba = a = ba 876. ba = ab ba = ab + 8 9

40 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde ba = ab ba = ab a + ba = ab 881. ba + a = ab + Sacando factor común a la b 88. b + ab = ab + = b ab = 8b 88. 6ba a = b + a 886. b a = ba ab 1 = 9b ab = b 889. b + a = a 6ab 890. ab 7b = ab a ECUACIONES DE 1º GRADO CON PARÉNTESIS Y SIN FRACCIONES RECUERDA PASOS PARA RESOLVER ESTAS ECUACIONES : 1º quitar los paréntesis ; º aislar los términos con en el primer miembro los términos sin en el segundo miembro de la ecuación; º reducir ambos miembros; º despejar la (siempre en positivo). Si todos los miembros de la clase seguimos los mismos pasos, agilizaremos la corrección de ejercicios en la pizarra nos dará tiempo a hacer más cosas. RECUERDA ECUACIÓN => una única solución =a IDENTIDAD => infinitas soluciones 0=0 EXPRESIÓN IMPOSIBLE => ninguna solución 0=b (se supone b 0) Haz la prueba siempre que lo permita el ejercicio: Posible solución entera (00) 89. 7( 18) ( 1) ( 1) = ( ) 90. ( ) = (+)= 7 0

41 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde (+6) = (+) = 1 (+7) 908. (6 ) = (+) 909. (+) = ( ) (+) = (+) 911. (+) ( ) = ( 6) + ( ) = ( ) (+6) = (+) ( 6) = ( ) = ( ) (+7) 916. (+) ( ) + ( ) = (1 ) + ( 1) 917. ( 10 ) + (+) = ( + 6) + (+) 918. ( ) ( 1) + (+1) + 1 (6 ) = (+) (8 ) + (1 ) = (+) (+) + (1 ) + (1+) = 91. ( 10) 6 ( ) = (6 ) + 9. ( ) (6 ) = + 9. (+1) + ( ) 10 = ( + ) (+) 6 ( ) + = (+1) 6 9. ( ) + ( ) = ( 1) (8+) 96. (1 ) + 6 ( + ) + ( 7) = ( ) ( + 8) (9 + ) = ( ) ( 1) ( 6) ( + ) = 7 ( + ) 99. ( ) ( ) = (1 ) ( ) = 8 ( + 6) 91. (+) (8 ) + (1 ) = (+6) 9. ( 1 + ) ( + ) = (1 ) Posible solución no entera 9. ( + 1) = 9. ( + 1) = ( ) 9. ( + 1) = 96. ( + 1) = (1 ) 97. ( ) ( 1) ( + ) + 10 = ( + ) ( ) = 7 ( + ) ( ) + ( + ) = 6 + ( 1) ( + ) = ( ) ( ) + = ( ) ( ) ( + ) + ( 1) = ( ) ( + ) = ( + ) + ( 1) ECUACIONES DE 1º GRADO CON FRACCIONES RECUERDA PASOS PARA RESOLVER ESTAS ECUACIONES : 1º quitar los denominadores reduciendo ambos miembros a común denominador; º quitar, aplicando la propiedad distributiva, los posibles paréntesis surgidos en el paso anterior; º aislar los términos con en el primer miembro los términos sin en el segundo miembro de la ecuación; º reducir ambos miembros; º despejar la (siempre en positivo). 1

42 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 01. Si todos los miembros de la clase seguimos los mismos pasos, agilizaremos la corrección de ejercicios en la pizarra nos dará tiempo a hacer más cosas. RECUERDA ECUACIÓN => una única solución =a IDENTIDAD => infinitas soluciones 0=0 EXPRESIÓN IMPOSIBLE => ninguna solución 0=b (se supone b 0) Haz la prueba siempre que lo permita el ejercicio: Posible solución entera Producto en cruz = = = = = = Numeradores con monomios = 1 + = 7 = 10 + = 1 = = 6 + = = = = = = 10 + = 11 + = = 10 Numeradores con binomios = = = = 1 = 0 =

43 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde = 97. = 97. = 97. = = 976. = =

44 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde Posible solución no entera = + = = + 1 = = + = + = + + = 0 = 0 = + 1 = 1 ECUACIONES DE 1º GRADO CON FRACCIONES Y PARÉNTESIS RECUERDA PASOS PARA RESOLVER ESTAS ECUACIONES : 1º quitar los paréntesis aplicando la propiedad distributiva; º quitar los denominadores reduciendo ambos miembros a común denominador; º quitar los posibles paréntesis surgidos en el paso anterior aplicando la propiedad distributiva; º aislar los términos con en el primer miembro los términos sin en el segundo miembro de la ecuación; º reducir ambos miembros; 6º despejar la (siempre en positivo). Si todos los miembros de la clase seguimos los mismos pasos, agilizaremos la corrección de ejercicios en la pizarra nos dará tiempo a hacer más cosas. RECUERDA ECUACIÓN => una única solución =a IDENTIDAD => infinitas soluciones 0=0 EXPRESIÓN IMPOSIBLE => ninguna solución 0=b (se supone b 0)

45 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde = 9 () () () () = = + ( 6) = ( + 1) + ( ) ( 9) = ( 1) ( + ) ( ) = ( ) ( 6) ( ) ( 8) (7 ) + = (1 6) ( + ) (0 ) = ( 1) ( 1) + 8 = () = () 100. (1 ) = (6 ) ( + ) = ( ) ( + 10) + = 0 ( + 6) + = 7 ( ) () = () () () = () = + () = () () () = = ( ) = () () () () () () () () + = () () () = = () = + ()() = () () () () () = () () + () () ECUACIONES DE º GRADO + () + () () + () + () = () = () () = 1 = ( 1) () ECUACIONES COMPLETAS RECUERDA: + + = => = ± => =

46 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 01. POSIBILIDADES: cero soluciones si < ; una solución doble si = ; dos soluciones distintas si > 0. Gráficamente, las soluciones de estas ecuaciones son los puntos de corte con el eje OX de las funciones asociadas (parábolas). En cada ejercicio, haz la PRUEBA (a mano con calculadora). Intenta dibujar grosso modo la parábola asociada dar la factorización del polinomio asociado. Posibles soluciones enteras = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =0 RESOLVIENDO CON CARDANO SOLVING WITH CARDANO RECUERDA: ( + a) ( + b) = + (a+b) + a b = ( + ) ( + ) 10= ( + ) ( ) + 10= ( ) ( + ) = ( ) ( ) Observa que una versión de estos ejercicios también está en la sección de factorización = = = = = = = = =0 6

47 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 01. ECUACIONES COMPLETAS RECUERDA: + + = => = ± => = POSIBILIDADES: cero soluciones si < ; una solución doble si = ; dos soluciones distintas si > 0. Gráficamente, las soluciones de estas ecuaciones son los puntos de corte con el eje OX de las funciones asociadas (parábolas). En cada ejercicio, haz la PRUEBA (a mano con calculadora). Intenta dibujar grosso modo la parábola asociada da la factorización del polinomio asociado. Posibles soluciones racionales = = = = = = = = = = = = = = = =0 Posibles soluciones irracionales = = = = 0 ECUACIONES INCOMPLETAS I RECUERDA: = => + = => = ± POSIBILIDADES: cero soluciones si < ; dos opuestas si > = = = = = = = = = = = = =0 ECUACIONES INCOMPLETAS II 7

48 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 01. RECUERDA: = => + siempre tiene dos soluciones => = = ( => ; ( + )= + )= la ecuación => = =0 6 =0 +1 =0 +1 =0 7 7 =0 +1 =0 1 =0 6 =0 =0 ECUACIONES INCOMPLETAS III RECUERDA: = = => = => ó ó => = =0 11. = =0 ECUACIONES DESDE GRÁFICA RECUERDA: los puntos de corte de la gráfica con el eje OX son las soluciones de la ecuación ( las raíces del polinomio) => k ( 1) ( ) 11. Da las epresiones genéricas de las ecuaciones de segundo grado que tienen a las siguientes como gráficas asociadas. Nota: la primera gráfica corta en = = ; la segunda gráfica corta en = =. a) b) Da las epresiones genéricas de las ecuaciones de segundo grado que tienen a las siguientes como gráficas asociadas. Nota: la primera gráfica corta en = =; la segunda gráfica corta en = a) b) Da las epresiones genéricas de las ecuaciones de segundo grado que tienen a las siguientes como gráficas asociadas. Nota: la primera gráfica corta en = 6 =1; la segunda gráfica corta en

49 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 01. a) b) EJERCICIOS DE ECUACIONES DE º GRADO RECUERDA: la gráfica de k ( 1) ( ) puede abrir hacia arriba o hacia abajo dependiendo del signo de k Da la epresión genérica de las ecuaciones que tienen a =9 como solución (doble). Dibuja grosso modo su gráfica asociada cuando k= Da la epresión genérica de las ecuaciones que tienen las siguientes soluciones: =+. Dibuja grosso modo su gráfica asociada cuando k= Da la epresión genérica de las ecuaciones que tienen las siguientes soluciones: =0 = 8. Dibuja grosso modo su gráfica asociada cuando k= Da la epresión genérica de las ecuaciones que tienen las siguientes soluciones: = =6. Dibuja grosso modo su gráfica asociada cuando k= Da la epresión genérica de las ecuaciones que tienen las siguientes soluciones: =0 =n. Dibuja grosso modo su gráfica asociada dependiendo del signo de k suponiendo que n es un número positivo. 11. Da la epresión genérica de las ecuaciones que tienen las siguientes soluciones: =+m. Dibuja grosso modo su gráfica asociada cuando k= Da la epresión genérica de las ecuaciones que tienen las siguientes soluciones: =p =p. Dibuja grosso modo su gráfica asociada cuando k= Dada la ecuación +6+=0, escribe la epresión genérica de una ecuación de segundo grado que tenga como soluciones el doble de las soluciones de la ecuación dada. Dibuja grosso modo su gráfica asociada cuando k= Dada la ecuación ++=0, escribe la epresión genérica de la ecuación de segundo grado que tenga el doble de soluciones que la ecuación dada. Dibuja grosso modo su gráfica asociada cuando k=1. ECUACIONES DE º GRADO CON PARÉNTESIS 117. ( ) = ( ) + = ( ) = ( ) = 8 9

50 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde ( ) = ( + 7) = ( ) ( + ) = ( 1) (7 ) 11. ( ) = 11. ( ) = ( ) ( ) = 117. ( + ) ( + 1) = ( ) ( 6) = ( 1) (10 ) ECUACIONES DE º GRADO CON DENOMINADORES Y PARÉNTESIS () () () () () () = + 1 = ( + 1) + ( ) = = = ( ) GRÁFICAS Y PROBLEMAS DE PARÁBOLAS (análisis) RECUERDA PASOS: 1º => a>0 abre hacia arriba, a<0 abre hacia abajo; º => corte con el eje OY haciendo =0, cortes con el eje OX haciendo =0; º => vértice en coordenadas v= b/a, v= f(v). En cada ejercicio, factoriza el polinomio asociado calcula sus raíces. Corte vértices son números enteros: 11. = = = = = = = = = = = = ( + ) = ( + 6) = = ( + + ) = 0 0

51 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 01. Corte vértices son números racionales: = = = = = ( 1) = (8 + ) PROBLEMAS DE PARÁBOLAS INTRODUCCIÓN. Dentro de la web entra en la sección de LA PREGUNTA MATEMÁTICA busca => Qué tienen en común, matemáticamente hablando, las fuentes, los policías los futbolistas? Tiro parabólico (MRUA <>MRU) => la traectoria =a +b +c representa distancia (en metros): la horizontal; la vertical. RECUERDA Desde el codo a la punta de la mano ha una quinta parte de la estatura, por lo tanto, un hombre con los brazos etendidos lanza un objeto desde una altura igual a su estatura 6/. FÚTBOL 11: la portería mide 7,m,m; el punto de penalti está a 11m de la portería; el área es un rectángulo de 0,m 16,m; la barrera en un tiro libre debe estar a 9,1m del balón. BALONCESTO: el aro de la canasta de baloncesto está a,0m del suelo; el punto de tiro libre está a,60m de la canasta; la línea de tiro de tres se sitúa a 7,m de la canasta (NBA). TENIS INDIVIDUAL: la cancha mide,78m 8,m; la altura de la red en los postes es 1,06m en el centro 0,91m; cada uno de los cuatro rectángulos de saque mide 6,0m,11m Un cañón dispara una bala según la traectoria parabólica dada por = +. Se pide calcular el alcance horizontal vertical máimos Un cañón hace dos disparos, siguiendo cada bala la traectoria dada por = + la primera = + la segunda respectivamente. Cuál de los dos disparos tiene maor alcance (horizontal)? Y cuál alcanza maor altura? Una fuente circular de diámetro m tienen en su centro unos chorritos que lanzan agua según la traectoria = + 6. Un transeúnte ha denunciado al auntamiento porque asegura que la fuente moja a todo el que la bordea (haga viento o esté en calma). Es cierto lo que dice el ciudadano? por si quieres saber un poco de Física que estudiarás en el futuro => El tiro parabólico ideal es una combinación de MRUA en vertical (movimiento rectilíneo uniformemente celerado por la gravedad decelerado en realidad ) MRU en horizontal (movimiento rectilíneo uniforme). En el eamen se te darán los datos que necesites. No los tienes que memorizar! El alumno que quiera atreverse con un plus de dificultad, puede voluntariamente tener en cuenta, además, las siguientes dimensiones: el aro está sujeto al tablero por un brazo de 1cm; el tablero tiene aproimadamente un metro de alto; el diámetro del aro es,7cm el diámetro del balón es cm (ha holgura para encestar). 1

52 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde En un torneo de fútbol de colegio, un niño tira un penalti que describe la traectoria dada por la siguiente parábola: = +. Dibuja la gráfica que sigue la pelota. Es posible que haa metido gol? Iván saca a pasear a su perro Erastóstenes con un palo una pelota de golf. A Erastóstenes le encanta correr a buscar la pelota, para lanzarla más lejos, Iván se auda del palo de golf. En el último golpe, la pelota describe la traectoria dada en metros por = +. Qué distancia tiene que correr Erastóstenes para conseguir la pelota? Cuánto sube la pelota antes de empezar a bajar? A qué altura está la pelota cuando se separa de Iván 0 metros en horizontal? A cuántos metros en horizontal de Iván está la pelota cuando su altura alcanza los 1 metros? Un futbolista tira un penalti que describe la traectoria dada por la siguiente parábola: =. Dibuja la gráfica que + sigue la pelota la situación de la portería. Es posible que haa metido gol? 118. Se contrata a un futbolista para hacer un anuncio de zapatillas deportivas que consiste en lanzar un balón entre las azoteas de dos rascacielos separados 9 metros (ambas con una barandilla de 1,m de alto. Tras muchos ensaos, el futbolista tira el balón a m de la barandilla del primer rascacielos, con una traectoria dada por la siguiente parábola: =. Dibuja + la gráfica que sigue la pelota la situación de los dos rascacielos con sus barandillas. Consigue el futbolista poner la pelota en la azotea del segundo rascacielos? Si lo consigue, cuánto entra en la segunda azotea? A qué altura pasa por cada barandilla? 118. Un futbolista pica el balón con una traectoria dada por la parábola = + con la intención de hacerle una vaselina al portero que mide 1,9m se encuentra a m de él. Dibuja la gráfica que sigue la pelota la situación del portero. Es posible que le haa hecho la vaselina? Si el portero ha salido,m de los palos, habrá metido gol nuestro jugador? 118. Un futbolista remata de cabeza solo ante la portería a metros de esta. El balón describe la traectoria dada por la siguiente parábola: = 0,1 + 0,7 + 1,8. Dibuja la gráfica que sigue la pelota la situación de la portería. Es posible que haa metido gol? Cuánto mide el jugador? Nota: el futbolista ni salta ni se agacha para hacer el remate Un futbolista saca de banda consiguiendo que el balón dibuje la traectoria dada por la siguiente parábola: = + +. A 1 metros se encuentra un compañero de 1,80m recibiendo el balón. Dibuja la gráfica que sigue la pelota la situación del compañero. Ha podido recibir el pase con el pie, con el pecho o con la cabeza? Cuánto mide el jugador de la banda? De cuántos metros hubiese sido el saque como máimo? Un jugador de baloncesto de,00m pega un salto lanza un tiro en la línea de tres con una traectoria dada por la siguiente parábola: = 0,0 + 0, +,. Dibuja la gráfica que sigue la pelota la situación del aro. Ha metido el tiro limpiamente? Cuánto mide el salto que da el jugador? Un jugador de baloncesto lanza un tiro libre que describe la traectoria dada por la siguiente parábola: = + +,. Dibuja la gráfica que sigue la pelota la situación del aro. Refleiona si ha conseguido meter canasta. Cuánto mide el jugador? Nota: el jugador no salta para lanzar un tiro libre Un jugador de balonceso pega un salto de 0cm lanza el balón con una traectoria dada por la parábola = 0,1 + 0,7 +,. A 1,m aparece un rival de,1m saltando para hacerle un tapón. Dibuja la gráfica que sigue la pelota la situación del rival. Cuánto ha tenido que saltar el rival para ponerle el tapón? Cuánto mide el primer jugador? Nota: no te olvides de computar el brazo etendido.

53 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde Un jugador de baloncesto lanza un tiro libre que describe la traectoria dada por la siguiente parábola: = 0,1 + 0,6 +,6. Dibuja la gráfica que sigue la pelota la situación del aro. Qué distancia máima en horizontal recorrería la pelota si no hubiese canasta? Refleiona si ha conseguido meter canasta. Cuánto sube la pelota antes de empezar a bajar? Cuánto mide el jugador? Tiro vertical (MRUA) => la traectoria h=at +bt representa altura en función del tiempo: t segundos; h altura en metros Un antidisturbios dispara en vertical al aire su pistola de bolas. La altura que alcanza la bola de goma en función del tiempo sigue la siguiente función (parabólica): h =, Cuántos segundos tarda la bola en llegar a su altura máima? Qué altura es esa? Cuánto tarda en bajar? A qué altura se encuentra la bola transcurridos segundos? Se alcanza esa misma altura en otro momento? La altura que alcanza la bala de un revólver disparado en vertical sigue la función (parabólica): h =,9 + 98,9. Cuántos segundos tarda la bala en llegar a su altura máima? Qué altura es esa? Cuánto tarda en bajar? A qué altura se encuentra la bala transcurridos 0 segundos? En qué momento alcanza la bala los,81km de altura? 119. La altura que alcanza la bala de un fusil disparado en vertical sigue la función (parabólica): h =, Cuántos minutos tarda la bala en llegar a su altura máima? Qué altura es esa? Cuántos minutos tarda en bajar? A qué altura se encuentra la bala transcurrido un minuto? En qué momento alcanza la bala los 17,60km de altura? 119. La altura que alcanza la bala de una ametralladora disparada en vertical sigue la función (parabólica): h =, Cuántos minutos tarda la bala en llegar a su altura máima? Qué altura es esa? Cuántos minutos tarda en bajar? A qué altura se encuentra la bala transcurrido medio minuto? En qué momento alcanza la bala los 1,160km de altura? Nota: la altura está en metros, el tiempo t está en segundos. Actividad empresarial => la función f(t)=at +bt +c representa dinero: t años; f(t) miles de euros La actividad empresarial de una compañía ha reportado unos beneficios que se ajustan estadísticamente a la siguiente función () = , donde t es el tiempo en años f(t) miles de euros. Dibuja esta función contesta razonadamente las preguntas: cuál ha sido el máimo beneficio que ha conseguido en estos años? En qué año se produjo ese beneficio? Según la previsión ajustada, estará alguna vez en números rojos? 119. La actividad empresarial de una compañía ha reportado unos beneficios que se ajustan estadísticamente a la siguiente función () = , donde t es el tiempo en años f(t) miles de euros. Dibuja esta función contesta razonadamente las preguntas: qué inversión de capital inicial tuvo la empresa en su creación? Cuál ha sido el máimo beneficio que ha conseguido en estos años? En qué año se produjo ese beneficio? En qué año la empresa comenzó a perder dinero respecto a la inversión inicial de capital? Cuándo empezará a estar en números rojos? La actividad empresarial de una compañía que ha operado durante 10 años ha reportado unos beneficios que se ajustan estadísticamente a la siguiente función () = + 90, donde por si quieres saber un poco de Física que estudiarás en el futuro => El tiro vertical ideal (descartando rozamientos condiciones meteorológicas) es un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (decelerado por la gravedad) cua fórmula es: =. La velocidad de las armas depende de la longitud de sus cañones. Así, la bala de un revólver no supera la velocidad del sonido (0m/s en el aire), mientras que las balas de los fusiles las ametralladoras pueden ser lanzadas entre 600m/s 1000m/s.

54 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 01. t es el tiempo en años f(t) miles de euros. Dibuja esta función contesta razonadamente las preguntas: qué inversión de capital inicial tuvo la empresa en su creación? Cuál ha sido el máimo beneficio que ha conseguido en estos años? Ha estado alguna vez en números rojos? Durante cuánto tiempo? Cuál ha sido el maor descubierto que ha tenido? En qué año se recuperó? La actividad empresarial de una pequeña compañía que ha operado durante 1 años ha reportado un capital anual que se ajusta estadísticamente a la siguiente función f(t) = t + 18t + 0, donde t es el tiempo en años f(t) miles de euros. Dibuja esta función contesta razonadamente las preguntas: qué inversión de capital inicial tuvo la empresa en su creación? Cuándo ha conseguido el maor capital de su historia? Cuál ha sido este capital? Ha estado alguna vez en números rojos? Qué capital reportó la empresa cuando cesó su actividad económica? ECUACIONES BICUADRADAS RECUERDA: Las ecuaciones bicuadradas pueden tener: cero soluciones; una única solución (obligatoriamente =0 doble o cuádruple); dos soluciones opuestas (simples o dobles); tres soluciones (obligatoriamente =0 doble otras dos opuestas simples); cuatro soluciones (simples opuestas dos a dos).

55 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 01. En cada ejercicio, da la factorización del polinomio asociado e intenta dibujar grosso modo la gráfica asociada (no podrás en todos los casos) => comprueba los resultados con software matemático. Soluciones racionales: = = = 0 =0 = 0 1= = 0 9 = =0 + = =0 =0 81 =0 =0 18 = =0

56 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde = = = = =0 16 =0 = =0 +18 = =0 + +1=0 +1=0 =0 =0 8 9 = 0 +1 = 0 =0 + 6 = =0 + 6=0 = = 0 + =0 ECUACIÓN DESDE GRÁFICA RECUERDA Las soluciones de la ecuación son los puntos de corte de la gráfica de la función asociada con el eje OX ( las raíces del polinomio). RECUERDA Las soluciones con multiplicidad par producen puntos etremos (máimos/ mínimos) en las gráficas; las soluciones con multiplidad impar (>1) producen puntos de infleión. 17. Da las epresiones genéricas de las ecuaciones bicuadradas que tienen a las siguientes como gráficas asociadas. Nota: la primera gráfica corta en + +1; la segunda gráfica corta en =0 Soluciones irracionales: = = = = 0 = = = = 0 a) b) Da las epresiones genéricas de las ecuaciones bicuadradas que tienen a las siguientes como gráficas asociadas. Nota: la primera gráfica corta en +; la segunda gráfica corta en

57 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde a) b) EJERCICIOS DE ECUACIONES BICUADRADAS RECUERDA: la gráfica de k ( 1) ( ) ( ) ( ) puede abrir hacia arriba o hacia abajo dependiendo del signo de k. 19. Da la epresión genérica de las ecuaciones bicuadradas que tienen las siguientes soluciones: =+1 (dobles). Dibuja grosso modo su gráfica asociada cuando k= Da la epresión genérica de las ecuaciones bicuadradas que tienen las siguientes soluciones: =0 doble =+7. Dibuja grosso modo su gráfica asociada cuando k= Da la epresión genérica de las ecuaciones bicuadradas que tienen las siguientes soluciones: =+ =+. Dibuja grosso modo su gráfica asociada cuando k= Da la epresión genérica de las ecuaciones bicuadradas que tienen las siguientes soluciones: =0 doble =+n. Dibuja grosso modo su gráfica asociada cuando k=1. Da la epresión genérica de las ecuaciones bicuadradas que tienen las siguientes soluciones: =+m dobles. Dibuja grosso modo su gráfica asociada cuando k= Da la epresión genérica de las ecuaciones bicuadradas que tienen las siguientes soluciones: =+p =+q. Dibuja grosso modo su gráfica asociada cuando k=1. 1. Dada la ecuación =0, escribe la epresión genérica de la ecuación bicuadrada que tenga las soluciones de la ecuación dada. Dibuja grosso modo su gráfica asociada cuando k= 1. Nota: puede tener más soluciones que la ecuación se segundo grado. 16. Dada la ecuación 8=0, escribe la epresión genérica de una ecuación bicuadrada que tenga las mismas soluciones que la ecuación dada. Dibuja grosso modo su gráfica asociada cuando k= 1. ECUACIONES RACIONALES Y GRADOS DISTINTOS

58 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde ( ) (7 ) ( 11) Resuelto en outube: = 16. = 16. = () ( ) 11 (9 6) ( 7) ( 1) 170. ( ) 6( ) ( 6) 171. ( ) ( 6) 7(6 7) (6 ) 7( ) 6( ) 7 7( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Resuelto en outube: 0 ( + ) = 8 ( ) ( ) ( ) ( + ) 176. Resuelto en outube: = = 8

59 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde Resuelto en outube: = = = () ECUACIONES IRRACIONALES PASOS: 1º aislar la raíz en un miembro de la ecuación; º elevar al cuadrado ambos miembros; º quitar la raíz reducir la ecuación; º resolver la ecuación resultante; º comprobar si la solución o soluciones de esta ecuación lo son o no de la ecuación irracional; 6º descartar las soluciones erróneas =

60 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde desarrollar el posible binomio de Newton del otro miembro; º reducir la ecuación resultante; º aislar la raíz que queda en un miembro de la ecuación; 6º elevar al cuadrado ambos miembros; 7º quitar la raíz de un miembro resolver la ecuación resultante; 8º comprobar si la solución o soluciones de esta ecuación lo son o no de la ecuación irracional; 9º descartar las soluciones erróneas. El procedimiento de resolución de estos ejercicios volverás a emplearlo en el ejercicio 8 de estenmáticas (ª evaluación => lugares geométricos) = +1 = +1 =1 + = 1 + ( 7) + 1 = ( + 6) + 1= 7 = ( + 1)= Con dos raíces ( + 1)= 10 + ( 9 + ) + + =0 1 + ( + ) = 1 PASOS: 1º aislar una raíz en uno de los miembros de la ecuación; º elevar al cuadrado ambos miembros; º quitar la raíz de un miembro = ( )

61 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde = 0 ( + ) 1= ( 1)= ( + ) + 1= + 1= + 1 ( + ) = INECUACIONES DE 1º GRADO <0 + > ( 1) + 6 < 0 ( + ) 7 0 ( 7) 0 ( ) ( ) > ( + ) 16. ( + 1) 1 8 ( 1) 1 ( + 1) ( ) INECUACIONES DE º GRADO

62 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde (6 ) < (6 ) < ( + ) < ( + ) ( + ) > ( + ) ( ) ( 1) ( ) 1 PORCENTAJES % PROBLEMAS DE ECUACIONES EN UNA INCÓGNITA Resueltos con ecuaciones de 1º grado RECUERDA LOS PASOS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS: 1.- Anota los datos haz un dibujo, esquema o tabla con ellos;.- Haz ejemplos con datos cercanos que te auden a deducir el procedimiento adecuado de resolución;.- Escribe una frase elocuente con la pista que te da el problema;.- Traduce esa frase a lenguaje algebraico, es decir, plantea la ecuación a partir de ella;.- Resuelve la ecuación de primer grado; 6.- Interpreta la solución obtenida; 7.- Comprueba la solución refleiona sobre su idoneidad. Dentro de la web entra en la sección de LA PREGUNTA MATEMÁTICA busca => 1ª Qué matemáticas tienen en común las rebajas, los bancos algunas señales de tráfico? ª Qué tienen en común las placas fotovoltaicas, las vueltas ciclistas los zapatos de tacón? RECUERDA ÍNDICE DE VARIACIÓN: es el número que multiplicado por la cantidad inicial, nos da la cantidad final. Ejemplos 100%+%=1% => índice variación=1, 100% 19%=81% => índice variación=0, Cuál era el precio de un pantalón si lo compro rebajado un 1%, tengo en el bolsillo aún me hacen falta 7, para pagarlo? How much did a pair of trousers cost if I have and I still need 7., keeping in mind that it has a reduction of 1%? 19. Cuánto cuesta un artículo si después de aplicarle el 1% de IVA, pago con un billete de 0 me devuelven 11,8? Cuánto representa el IVA? 6

63 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 01. How much does an item cost if I am charged 1% VAT, I pa with a 0 note and I am returned 11.8? How much does VAT represent? 19. He comprado el 88% de los metros de un rollo de cable industrial lo he vendido por metros sacando un beneficio de 6 /m. Si me he embolsado.00 de ganancia total, qué longitud tenía el rollo? Cuántos metros compré o? 19. He escrito un libro por el que me pagan el,% de su precio en tienda. Si este año he vendido 110 ejemplares he recibido 80,8, cuánto me pagan por cada libro? Cuál es el precio del libro en tienda? 19. Un padre reparte 90 entre sus tres hijos. El primer hijo recibe tres veces más que el segundo el segundo el 0% de lo que recibe el tercer hijo. Cuánto dinero recibe cada hijo? A father gives 90 to his three sons. The first one receives three times more than the second one and the second one receives 0% of what the third one receives. How much mone do the get? Porcentajes encadenados 196. Cuál era el precio de un producto si después de añadido el 16% de IVA se rebaja un % necesito dos billetes de 0 para pagarlo (sobrándome,7 )? A cuánto ascienden los impuestos? A cuánto asciende la rebaja posterior? 197. Tenía un dinero en el banco por el que me abonaron un 8% de intereses. Si al sacarlo me penalizaron con un % de comisiones por permanencia, cuánto dinero tenía en el banco si finalmente se me quedó en 0.0? 198. Cuál es el precio inicial de un inmueble si el precio de venta asciende a 0.90, después de haberle aplicado primero una comisión del % después a ese resultado un 10% de impuestos? A cuánto ascienden los impuestos? A cuánto asciende la comisión anterior? 199. Cuánto dinero metí en el banco si saqué esa cantidad fue el resultado de abonarle primero un 1% de intereses más un premio de fidelización de después? 100. Cuánto dinero metí en un plan de pensiones si ahora tengo 0.89,0 después de haberse reducido la cantidad inicial por 18% de impuestos, posteriormente, haber aumentado por un 9% de intereses? Comparaciones 101. En dos vasijas ha la misma cantidad de agua. Sacando el 0% de la primera 0 litros de la otra, queda en la primera vasija el triple número de litros que en la segunda. Cuántos litros había al principio en cada vasija? Cuántos litros se sacaron de la primera vasija? There is the same amount of water in two vessels. Taking out 0% of one and 0 l of the other, it is left three times more the number of liters in the first one than in the second one. How man liters were there in each vessel at the beginning? How man liters were there taking out from the first one? 10. Una constructora vende una urbanización de casas unifamiliares en una sola planta. Todas están construidas sobre los mismos metros cuadrados de parcela, sin embargo, ha dos tipos de casas. El modelo A tiene construida el 70% de la parcela, resultando una casa el doble de grande que en el modelo B, que tiene un jardín de 90m. Cuántos metros construidos de casa tiene cada modelo? Cuántos metros de jardín tiene cada tipo? 10. Dos tanques militares iguales llenan sus depósitos de gasoil completamente. El primer tanque gasta el 60% de su depósito en una larga jornada de patrulla. El segundo tanque pierde 100 litros debido a una fuga. Al final del día, el primer tanque tiene la mitad de gasoil que el segundo tanque. Cuántos litros tiene de capacidad el depósito de este tipo de tanques? Cuántos litros de gasoil gastó el primer tanque en esta jornada de patrulla? 10. Una agencia inmobiliaria oferta dos dúple de lujo nuevos con los mismos metros cuadrados. El primer dúple tiene una cocina americana de 1m. Cuánto miden los dúple si se sabe que el salón del segundo es el % de su superficie total eso equivale a la 6

64 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 01. tercera parte de la superficie total del primero descontándole la cocina? Cuánto mide el salón del segundo dúple? 10. Dos gusanitos andan en la misma dirección sentido: el primero recorre 8m al día el segundo recorre el 7% de lo que recorre el primero. Si el más lento empezó con una ventaja de 1m respecto al más rápido, al cabo de cuantos días el gusanito rápido se topa con el gusanito lento? A cuántos metros estaba cada uno, en el momento del encuentro, de su respectiva posición de salida? EDADES RECUERDA: haz una tabla con los datos Antonio tiene 1 años, su hermano Roberto 1 su padre. Cuántos años han de transcurrir para que entre los dos hijos igualen la edad del padre? Cuántos años tendrá cada uno entonces? Antonio is 1, his brother Roberto 1 and his father. In how man ears will the two children s age together match the father's? How old will each of them be? 107. Lucía tiene años su sobrina Elena 11. Hace cuántos años la edad de Lucía era el cuádruple de la edad de Elena? Cuántos años tenía cada una entonces? 108. Cuántos años tiene Enrique ho si su hermana Sofía tiene ahora 6 años hace ocho años Enrique le doblaba la edad? 109. Un padre tiene 0 años tres hijos cuas edades suman 10 años. Dentro de cuántos años la suma de las edades de los tres hijos será igual a la edad del padre? A father is 0 and has three children whose ages total 10. In how man ears the sum of the ages of three children will be equal to the father's age? 110. Julián su hermana Sandra suman ahora años. Hace cinco años su padre tenía el triple de la edad que tenían entonces los hermanos juntos. Cuántos años tiene el padre ho? 111. Una madre tiene 60 años su hijo la mitad. Cuántos años hace que la edad de la madre era cuatro veces la del hijo? A mother is 60 ears old and her son half as old. How long ago the mother s age was four times that of her son? 11. Un hombre tiene años su hijo 10. Cuántos años han de pasar para que la edad del padre sea el triple de la del hijo? A man is ears old and his son 10. How man ears must pass before the father's age is three times that of his son? 11. Dos hermanos suman 18 años el padre tiene el triple de esa cantidad. Cuántos años deben pasar para que los hermanos igualen al padre? Cuántos años tendrá entonces el padre? 11. Las edades de dos hermanos ho suman 1 años. Cuántos años tiene ahora su padre, si dentro de 17 años igualará la edad de sus hijos juntos? 11. Una persona le pregunta a un padre por la edad de su hijo. El padre, con ganas de enredar contesta: si al doble de la edad que tiene ahora se le quita el triple de los que tenía hace seis años, obtendrás su edad actual. Cuál es la edad del hijo? A person asks a father for his child's age. The father, being enigmatic, answers: Twice the age he is now minus three times the age he was si ears ago is his current age. What is his son s age? 116. Antonio tiene cuarenta años su vecino Luisito diez años. Dentro de cuánto tiempo la edad de Antonio será triple que la de Luisito? Nota: observa la diferencia de este problema con uno anterior La edad de Juan dentro de cuatro años será cinco veces la de ho. Cuántos años tiene Juan actualmente? 6

65 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde La edad de Jesús es años la de su hijo Raúl 11 años. Cuántos años hace que la edad de Jesús era el cuádruple de la edad de Raúl? 119. Rafael tiene 7 años cuenta con dos hijos cuas edades suman 10 años. Dentro de cuántos años Rafael tendrá los mismos años que la suma de las edades de sus hijos? Cuántos años tendrá él cuántos la suma de sus hijos? Rafael is 7 and has two children whose ages total 10. In how man ears will Rafael be as old as the sum of his children s ages? How old will Rafeal and his children together be? 10. Fabiola tiene 0 años sus hijos Gustavo Laura suman entre los dos la mitad de su edad. Hace cuántos años Gustavo Laura sumaban la tercera parte de la edad de su madre? GEOMÉTRICOS RECUERDA: haz con los datos un dibujo, una tabla 11. Cuál es el polígono regular en el que la suma de sus ángulos interiores vale 1.0º? Cuánto mide cada uno de sus ángulos? nota: recuerda que la suma de los ángulos de un polígono regular es 180 (n ), donde n es el número de lados. 1. Determina el valor de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo sabiendo que uno es la mitad del otro. Determine the value of the acute angles of a rectangle triangle knowing that one is half the other. 1. Determina el valor de los ángulos de un triángulo isósceles sabiendo que el ángulo desigual es la cuarta parte de los otros. 1. El perímetro de un rectángulo es dm la altura mide los / de la base. Cuál es su área? The perimeter of a rectangle is dm and the height is / of the base. What is the area? 1. Si se aumenta la base de un cuadrado en 10 unidades la altura se disminue en unidades, resulta un rectángulo de igual área que el cuadrado original. Calcula el lado del cuadrado los lados del rectángulo resultante. 16. En cuántos centímetros ha que aumentar el radio de una circunferencia para que aumente su longitud en 1,7m? Nota1: aproima π a,1. Nota: no necesitas saber el valor del radio. 17. La base de un rectángulo es 16cm. Su altura se desconoce. Se sabe, no obstante, que si la base se disminue en unidades la altura aumenta hasta su doble, el área del nuevo rectángulo es ocho unidades cuadradas maor que el área del rectángulo original. Cuáles son las dimensiones de cada rectángulo? 18. Si se disminue la base de un cuadrado en 6 unidades la altura se aumenta en 8 unidades, resulta un rectángulo de igual área que el cuadrado original. Calcula el lado del cuadrado los lados del rectángulo resultante. 19. Si el radio de un círculo crece m, su área aumenta 7π m. Halla los radios de los dos círculos las longitudes de sus circunferencias. 10. Si se aumenta la base de un cuadrado en m la altura en 1,m, resulta un rectángulo cua área es 8m maor que la del cuadrado. Qué lado tenía el cuadrado? 11. Halla el radio de una circunferencia sabiendo que la suma de su longitud su diámetro es 6,cm. Nota: aproima π a,1. 1. Si aumentamos cada lado de un cuadrado cm, el área aumenta 16cm. Halla el lado del cuadrado. 6

66 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde Si el radio de un círculo decrece m, su área disminue en 1π m. Halla los radios de los dos círculos. Halla también las longitudes de las circunferencias. 1. Un chalet está construido en una parcela rectangular con un lateral midiendo los / de otro. Si el perímetro del terreno es 100m, cuál es el área de la parcela? Cuánto miden sus laterales? 1. Cristian el granjero tiene 60m de malla para vallar un corral de avestruces rectangular que aprovecha la pared de un granero para uno de los lados largos (la base del rectángulo). Si esta base mide el tripe que la altura del rectángulo, qué dimensiones tiene el corral? Cuál es su área? BÚSQUEDA DE NÚMEROS 16. Hallar dos números consecutivos cua suma sea 11. Find two consecutive numbers whose sum is Hallar tres números consecutivos cua suma sea. Find three consecutive numbers whose sum is. 18. Hallar dos números pares consecutivos cua suma sea. Nota: recuerda que un número par se puede escribir como n. Find two consecutive even numbers whose sum is. Note: remember n is the formula for an even number. 19. Hallar tres números impares consecutivos cua suma sea 1. Nota: recuerda que un número par se puede escribir como n+1. Find three consecutive odd numbers whose sum is 1. Note: remember n+1 is the formula for an odd number. 10. Hallar dos números consecutivos sabiendo que el doble del primero más el triple del segundo nos da. Find two consecutive numbers knowing that twice the first one plus three times the second one is. 11. El doble de un número más su mitad es 1. Cuál es ese número? Twice one number plus its half is 1. What number is it? 1. El triple de un número más su cuarta parte es 6. Cuál es ese número? Three times one number plus one forth of it is 6. What number is it? 1. La mitad de un número aumentado en tres unidades nos da igual resultado que si a dicho número le restamos dos. Cuál es ese número? Half of one number, increased b three units, gives the same result as that number subtracting two units to it. What number is it? 1. Un número más el doble de su siguiente es igual a. Calcula el número. Translate. 1. La suma de un número más su mitad es igual a. Calcula el número. The addition of a number plus its half equals. Calculate the number. 16. La suma de tres múltiplos consecutivos de es 90. Calcula dichos números. Nota: recuerda que un múltiplo de tres se puede escribir como n. The addition of three consecutive multiples of is 90. Calculate those numbers. Note: remember n is the formula for a multiple of three. 17. Halla dos números consecutivos de modo que la mitad la quinta parte del primero sumen lo mismo que el tercio la cuarta parte del segundo. Find two consecutive numbers so that the addition of half and one fifth of the first number is the same as one third and one fourth of the second one. 66

67 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde La suma de cuatro números consecutivos es Cuáles son esos números? The addition of four consecutive numbers is 100. What are these numbers? 19. La suma de cuatro múltiplos consecutivos de siete es 0. Calcula esos números. The addition of four consecutive multiples of seven is 0. Calculate those numbers. 10. Calcula el número tal que su tercera parte sumada con su triple sea 70. Calculate the number so that one third of it added to its triple is Halla un número cua tercera parte más su cuarta parte sea igual a doce veces su novena parte menos 1. Find a number whose third part added to its fourth is equal to twelve times its ninth minus Halla un número cuo tercio cua mitad sumen 10. Find a number whose third and its half add up Qué número más su cuarto, más los tres quintos de la suma de ambos, menos cinco es igual al mismo número? What is the number which plus its forth, plus three-fifths of the sum of both, minus five is equal to the initial number? 1. Halla números consecutivos tales que sus divisiones entre 10, 17 6, respectivamente, suman 10. Find consecutive numbers, so that their divisions b 10, 17 and 6, respectivel, total Halla tres números consecutivos tales que sus divisiones entre 18, 1 6, respectivamente, suman. 16. Halla cuatro números naturales que sean múltiplos consecutivos de, tales que su suma sea Find four integers that are consecutive multiples of, so that their addition is Un número se multiplica por. El resultado se divide por luego se le resta. Este nuevo resultado se multiplica por 10, obteniéndose así la cuarta parte del número aumentada en 7. Cuál es el número? A number is multiplied b. The result is divided b and then is subtracted to it. This new result is multiplied b 10, obtaining as a result one the fourth of the number increased b 7. What number is it? 18. Obtén tres números consecutivos tales que tres veces el primero, mas cuatro veces el segundo ecede en 6 a cinco veces el último. 19. Obtén tres números impares consecutivos tales que tres veces el primero, mas cuatro veces el segundo ecede en 6 a cinco veces el último. Find three consecutive odd numbers, so that three times the first one, plus four times the second one eceeds in 6 five times the last one Cuál es el número natural que aumentado en la mitad del precedente en la tercera parte del siguiente da 0? What is the natural number which increased b half of the preceding one and b one third of the following one totals 0? 161. Halla números consecutivos sabiendo que 1/ del maor es la cuarta parte del resultado de restar 1 al menor. Find consecutive numbers knowing that 1/ of the largest is one fourth of the result of the lowest minus one. 16. Halla números consecutivos sabiendo que 1/ del maor es la cuarta parte del resultado de restar 1 al menor. 16. Halla tres números consecutivos impares tales que 1/ del primero más / del tercero da seis unidades menos que el segundo. Find three consecutive odd numbers so that 1/ of the first plus / of the third total si units less than the second. 16. Ha algún número cuo doble sea igual a la mitad del mismo número aumentado en tres unidades? Is there a number whose double is equal to half the same number increased b three units? 16. La suma de cuatro múltiplos consecutivos de cinco es Calcula esos números. 67

68 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde Cuál es el número natural que aumentado en el doble del número precedente da 91? Producto en cruz (resuelve la ecuación resultante haciendo el producto en cruz) 167. Qué número añadido a los dos términos de la fracción /8 la hacen equivalente a /? Nota: resuelve la ecuación resultante haciendo el producto en cruz. What number added to both elements of the fraction /8 make it equivalent to /? Note: solve the equation with cross produc 168. Qué número ha que añadir a los dos términos de la fracción 1/6 para que resulte una fracción equivalente a 7/10? Nota: resuelve la ecuación resultante haciendo el producto en cruz. What number should be added to both elements in the fraction 1/6 to make it equivalent to 7 / 10? Note: solve the equation with cross product Qué número ha que añadir a los dos términos de la fracción 1/ para que resulte una fracción equivalente a /? Nota: resuelve la ecuación resultante haciendo el producto en cruz Si el doble más uno de cierto número se divide entre dicho número más tres resulta /. Nota: resuelve la ecuación resultante haciendo el producto en cruz. If twice a number plus one is divided b that number plus three, it totals /. Note: solve the equation with cross product. Reducida a primer grado (las ecuaciones resultantes son en realidad de primer grado) 171. Halla dos números consecutivos que elevados al cuadrado presenten una diferencia igual a Halla dos números consecutivos que elevados al cuadrado presenten una diferencia igual a. 17. Halla dos números impares consecutivos que elevados al cuadrado presenten una diferencia igual a Halla dos números pares consecutivos que elevados al cuadrado presenten una diferencia igual a Halla dos múltiplos de tres consecutivos que elevados al cuadrado presenten una diferencia igual a Halla dos números impares consecutivos que elevados al cuadrado presenten una diferencia igual a 88. Sería posible encontrar estos números si la diferencia fuese igual a? Ecuaciones algebraicas racionales enteras PROBLEMAS DE NÚMEROS 177. El dividendo de una división es El cociente el resto son iguales, el divisor es doble del cociente. Cuál es el divisor? 178. El producto de dos números consecutivos es. Halla tales números El producto de dos números impares consecutivos es. Halla tales números Un número multiplicado por el doble de su siguiente es 9. Halla tales números Eisten dos números enteros consecutivos tales que el pequeño sumado al cuadrado del grande sea igual a? PROBLEMAS GEOMÉTRICOS 18. Una caja tiene de ancho cinco unidades más que de largo. Si la altura mide cm su volumen es de 1.00cm, cuáles son sus dimensiones? 18. Halla los tres lados de un triángulo rectángulo sabiendo que son tres números enteros consecutivos. 18. La superficie de una corona circular es ᴨ m el radio del círculo interior es m. Cuál es el radio del círculo eterior? 18. Uno de los lados de un rectángulo es 0cm más largo que el otro. La diagonal es, a su vez, 60cm maor que el lado más pequeño. Halla el área del rectángulo Si a un rectángulo de altura el doble que su base se le aumenta la altura en 8 unidades se le reduce la base a la mitad, su 68

69 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 01. área disminue en unidades cuadradas. Halla los lados de los dos rectángulos que se forman las áreas correspondientes Eiste un triángulo rectángulo isósceles de catetos cantidades naturales cua hipotenusa mida 7cm? Soluciones no enteras 188. Calcula la diagonal de un cuadrado cuo lado mide 0m menos que dicha diagonal. Cuánto mide el lado? 189. Halla los lados de un triángulo rectángulo isósceles cuos catetos son 0cm más cortos que la hipotenusa Calcula el lado el área de un heágono regular cua apotema mide cm Halla el área de un triángulo isósceles de altura 6cm sabiendo que la base mide la mitad que los lados iguales. Cuánto miden sus lados? Ecuaciones algebraicas racionales fraccionarias (producto en cruz o mcm del tipo k n) PROBLEMAS DE NÚMEROS 19. La diferencia entre el doble del inverso de un número el inverso de su cuadrado es 9/. Halla los números. 19. Eisten dos números naturales consecutivos que cumplan la condición de que su división sea igual a 1/? La diferencia entre el triple del inverso de un número el inverso del doble de su cuadrado es 7/18. Halla los números. PROBLEMAS GEOMÉTRICOS 19. Cuál es el lado de un cuadrado si se sabe que otro semejante a él de razón tiene un lado unidades maor? Ecuaciones algebraicas racionales fraccionarias (CON mcm difícil) PROBLEMAS DE NÚMEROS La suma de los inversos de dos números naturales consecutivos es 1/6. Halla los números La suma de los inversos de dos números pares naturales consecutivos es 1/8. Halla los números La diferencia de los inversos de dos números consecutivos múltiplos de tres es 1/96. Halla los números Eisten dos números enteros consecutivos que cumplan la condición de que el doble del inverso del primero menos el triple del inverso del cuadrado del segundo sea igual a 107/8? 100. La diferencia entre el opuesto del inverso de un número el doble de su siguiente al cuadrado es.1/10. Halla los números Eisten tres números naturales, pares consecutivos que cumplan la condición de que la suma de sus inversos sea 7? 196.

70 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 01. III. SISTEMAS DE ECUACIONES Y DE INECUACIONES SISTEMAS DE 1º GRADO CON INCÓGNITAS SENCILLOS DESPEJE DE UNA INCÓGNITA ISOLATION OF AN UNKNOWN ( + ) = ( ) = C 116. Despejar B en función del resto de incógnitas que aparecen: Isolate B as a function of the rest unknowns: ( ( =1 = = 7 = 10 = ) = 1 ( + ) = 1 +6= + 7) = 1 ( ) = 1 +=0 70 B 7 9 F B B 117. G H B P T B B 1 Q 1 B M N Sacando factor común Etract common factor B 11 B K L A B W B J B 1

71 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 01. 7B 1. 6 Z B X B 16. B S B D 7 F B 18. = 19. = + 9 B en denominador B in denominator 10. = 11. = 1. = = 1. + = 1. + = = 17. = 18. = 19. = = Ñ = = 7 1. = = 1. = = 17. = = 19. = 10. = = 1. = = 1. 8 = 16. = = INTRODUCCIÓN. Dentro de la web entra en la sección de LA PREGUNTA MATEMÁTICA busca => Cuál es la mezcla correcta para hacer un tinto de verano? 71

72 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 01. BALANZAS Resuelve los ejemplos de sistemas de ecuaciones empleando el equilibrio entre balanzas : = + + = + = = + Para resolver con balanzas. 18. = + 7 = = 1 10 = = + + = 161. = + + = = 7 = = 7 Pista: dobla los objetos en la primera balanza. = 7

73 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 01. RECUERDA Puede haber cero soluciones (SI: sistema incompatible), un punto solución (SCD: sistema compatible determinado) o infinitas soluciones (SCI: sistema compatible indeterminado). REMEMBER There ma be no solution (inconsistent sstem), a point solution (consistent and independent sstem) or infinite solutions (consistent and dependent sstem). RECUERDA LOS MÉTODOS DE RESOLUCIÓN REDUCCIÓN => 1) elige una incógnita; ) transforma el sistema en un sistema equivalente de manera que la incógnita que has elegido tenga coeficientes opuestos en sendas ecuaciones; ) suma las ecuaciones para conseguir una única ecuación en la otra incógnita; ) resuelve la ecuación; ) sustituendo el valor de la incógnita que acabas de obtener en cualquiera de las epresiones iniciales, calcula el valor de la incógnita que te falta. SUSTITUCIÓN => 1) elige una incógnita en una de las dos ecuaciones; ) despéjala ; ) sustitúela en la otra ecuación; ) obtén el valor de la otra incógnita resolviendo la ecuación resultante; ) sustituendo el valor de la incógnita que recién has sacado en la epresión despejada del principio, calcula el valor de la incógnita que te falta. IGUALACIÓN =>1) elige una incógnita; ) despéjala en las dos ecuaciones; ) iguala las dos epresiones recién despejadas; ) resuelve la ecuación resultante; ) sustituendo el valor de la incógnita que acabas de obtener en cualquiera de las epresiones iniciales, calcula el valor de la incógnita del principio. Antes de resolver el sistema, refleiona sobre su tipo (SI, SCD o SCI): Think about the tpe of sstem before solving it (SI, SCD o SCI):

74 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde = + =

75 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde = 6 + = = 7 = = 1 + = Posibles soluciones no enteras

76 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde = 8 + = = + = 0 SISTEMAS DE 1º GRADO CON INCÓGNITAS Y PARÉNTESIS RECUERDA: Puede haber cero soluciones (SI: sistema incompatible), un punto solución (SCD: sistema compatible determinado) o infinitas soluciones (SCI: sistema compatible indeterminado) ( ) 6 ( 1) ( ) 10( ) 1 ( ) ( + ) = ( 1) = (1 ) + Posibles soluciones no enteras (11 ) ( ) ( ) ( ) + = + 8 ( + ) ( ) + 1 = 0 (6 + ) (9 + 1) 10 = 0 (8 ) = 0 1( + 1)

77 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 01. ( ) = ( ) = ( ) SISTEMAS DE 1º GRADO CON INCÓGNITAS Y DENOMINADORES RECUERDA Puede haber cero soluciones (SI: sistema incompatible), un punto solución (SCD: sistema compatible determinado) o infinitas soluciones (SCI: sistema compatible indeterminado). = = = 1 = = = = 16. =

78 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde

79 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde = + = = = 168. = 1 = 169. = = = 6 + =

80 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde = + = Posibles soluciones no enteras = + = 1 = + = + = + = = = = 0 = + = + 1 = 6 SISTEMAS DE 1º GRADO CON PARÉNTESIS Y DENOMINADORES RECUERDA: Puede haber cero soluciones (SI: sistema incompatible), un punto solución (SCD: sistema compatible determinado) o infinitas soluciones (SCI: sistema compatible indeterminado). 80

81 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 01. Halla la forma general de los sistemas. Resuélvelos también el método gráfico, dando previamente las fórmulas eplícitas general implícita de las rectas ( ) 11(1 ) 0 ( ) ( ) 1 6 ( ) 0 ( ) ( 7) ( ) 1 1 ( 1) ( ) Es ( 1, 1) solución del sistema? ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) 167. () () Es (, ) solución del sistema? = () = () Nota: solución Q Formula un sistema que tenga a A(, 6) como solución Formula un sistema que tenga a B( 1, ) como solución Formula un sistema que tenga a C(0, ) como solución Formula un sistema que tenga a D(, 1) como solución Formula un sistema que tenga a E(0, 0) como solución Formula un sistema que tenga infinitas soluciones. Cómo se llaman estos sistemas? Formula un sistema SIN solución. Cómo se llaman estos sistemas? 168. Formula un sistema que NO tenga a P(7, 1) como solución Formula un sistema que NO tenga a Q(, ) como solución = 8 Formula un sistema equivalente a + = Formula un sistema equivalente a = 0 =. 81

82 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 01. SISTEMAS DE º GRADO CON UNA RECTA Y UNA CÓNICA RECUERDA: Puede haber cero soluciones, un punto solución o dos puntos solución que son los cortes de la recta la cónica (circunferencia, elipse, parábola o hipérbola). 8

83 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 01. Dibuja las rectas adecuadamente (dando sus fórmulas eplícitas general implícita). Intenta dibujar las cónicas grosso modo o audándote de software matemático. Soluciones enteras = 1 + = = 8 + = = + = = + = = 8 = = = 1 = = = + = = + = = = + = + = 1 + = 6 = 8 + = 7 + = = + = = = = 16 + = 16 Soluciones racionales = = = = = = 8 8

84 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde = = + = = ( 1) + ( + 1) = = = = = 1 Es (1, 0) solución del sistema? + = = 76 Es (6, ) solución del sistema? Y (, 0)? = = 10 Es (1, 9) solución del sistema? = = ( + ) Es (0, 0) solución del sistema? = = Es (1, 1) solución del sistema? = = 10 Es (0, 1) solución del sistema? = = Es (, 1) solución del sistema? = 9 + = 7 = 7 Es (0, 7) solución del sistema? Nota: opera la seguna ecuación con el producto en cruz Dibuja un sistema recta-cónica que tenga una única solución. Qué cónica has dibujado? Dibuja un sistema recta-cónica que tenga dos soluciones. Qué cónica has dibujado? Dibuja un sistema recta-cónica sin solución. Qué cónica has dibujado? 170. Dibuja un sistema recta-cónica sin solución en el que intervenga una hipérbola Dibuja un sistema recta-cónica con dos soluciones en el que intervenga una circunferencia. 17. Dibuja un sistema recta-cónica con un punto solución en el que intervenga una elipse. 17. Dibuja un sistema recta-cónica con dos soluciones en el que intervenga una hipérbola. 17. Dibuja un sistema recta-cónica con una solución en el que intervenga una parábola. 17. Dibuja un sistema recta-cónica con dos soluciones en el que intervenga una elipse Dibuja un sistema recta-cónica sin solución en el que intervenga una circunferencia Da las fórmulas de un sistema de recta-cónica sin solución en el que intervenga una parábola Da las fórmulas de un sistema de recta-cónica con una solución en el que intervenga una parábola Da las fórmulas de un sistema de recta-cónica con dos soluciones en el que intervenga una parábola Formula un sistema de recta-cónica que tenga a P( 1, ) como solución. Qué cónica has empleado? Atrévete a encontrar la otra solución (si la ha) Formula un sistema de recta-hipérbola que tenga a Q(, ) como solución. Atrévete a encontrar la otra solución (si la ha). 17. Formula un sistema de recta-parábola que tenga a B(, ) como solución. Atrévete a encontrar la otra solución (si la ha). 17. Formula un sistema de recta-elipse que tenga a A(, 1) como solución. Atrévete a encontrar la otra solución (si la ha). 8

85 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde SISTEMAS DE º GRADO CON DOS CÓNICAS RECUERDA: Puede haber cero soluciones, un punto solución, dos puntos solución, tres puntos solución, cuatro puntos solución o infinitos puntos solución como 8

86 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 01. cortes posibles entre las dos cónicas (circunferencias, elipses, parábolas o hipérbolas). Soluciones enteras = 6 = = 16 + = = 6 + = = 0 = = 1 = = 8 = = + = 0 = = = = = 6 + = = = = 0 = = + = 171. = 16 + = = 8 + = = 7 + = 86

87 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde = 10 + = = ( + ) = = = = 0 + ( ) = 9 = 6 ( + ) + = 9 = 1 ( ) + = 1 = = = 1 = 1 Otras soluciones 176. = 1 + = = 9 = = 176. = 1 = 9 + Es (0, ) solución de este sistema? = = Es (1, ) solución de este sistema? = 10 + = 1 Es (, 1) solución de este sistema? + = 11 = + ( + ) Es (, 0) solución de este sistema? = = 6 + = 1 Es (0, ) solución de este sistema? Formula un sistema que tenga a P(, ) como solución. Qué cónicas has empleado? Atrévete a buscar las otras soluciones (si las ha) Formula un sistema de hipérbola elipse que tenga a P(0, ) como solución. Atrévete a buscar las otras soluciones (si las ha) Formula un sistema que tenga infinitas soluciones. Qué cónicas has empleado? 177. Formula un sistema de dos parábolas que tenga a Q(, 1) como solución. Atrévete a buscar las otras soluciones (si las ha) Dibuja un sistema de dos cónicas distintas que tenga una única solución. Qué cónicas has dibujado? 177. Dibuja un sistema de dos cónicas sin solución. Qué cónicas has dibujado? Dibuja un sistema de dos cónicas distintas que tenga dos soluciones. Qué cónicas has dibujado? Dibuja un sistema de dos cónicas distintas que tenga tres soluciones. Qué cónicas has dibujado? Dibuja un sistema de dos cónicas que tenga tres soluciones. Qué cónicas has dibujado? Dibuja un sistema dos cónicas distintas que tenga cuatro soluciones. Qué cónicas has dibujado? Dibuja un sistema de dos cónicas que tenga infinitas soluciones. Qué cónicas has dibujado? Dibuja un sistema de dos cónicas sin solución en el que intervenga una hipérbola Dibuja un sistema de dos cónicas distintas con dos soluciones en el que intervenga una circunferencia Dibuja un sistema de dos cónicas distintas con un punto solución en el que intervenga una elipse. 87

88 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde Dibuja un sistema de dos cónicas con tres soluciones en el que intervenga una hipérbola Dibuja un sistema de dos cónicas con una solución en el que intervenga una parábola Dibuja un sistema de dos cónicas distintas con cuatro soluciones en el que intervenga una elipse Dibuja un sistema de dos cónicas con tres soluciones en el que intervengan dos parábolas Dibuja un sistema de dos cónicas sin solución en el que intervenga una circunferencia Dibuja un sistema de dos cónicas distintas con cuatro soluciones en el que intervenga una parábola Dibuja un sistema de dos cónicas con dos soluciones en el que intervengan cónicas con asíntotas. PROBLEMAS DE SISTEMAS GEOMÉTRICOS En una caja de material geométrico tenemos heágonos triángulos. Si tenemos 11 figuras vértices, cuántos heágonos triángulos ha? 179. Una caja de material geométrico contiene objetos triangulares pentagonales. En total ha 18 figuras se pueden contar hasta 68 lados. Cuántos objetos ha de cada clase? 179. Halla las dimensiones de un rectángulo sabiendo que si aumentáramos la base metros, el área aumentaría m ; pero que si en el rectángulo primero disminuéramos la base m aumentáramos la altura m, entonces el área disminuiría 1m respecto al original. Cuál es el área del rectángulo original? Qué dimensiones tendrían los dos rectángulos resultantes? Y sus áreas? 179. Si a un rectángulo se le aumenta cm la base cm la altura, el área aumenta cm respecto al original. Si, en cambio, se le quita 1cm a la base cm a la altura, el área disminue 1cm respecto al original. Calcula la base la altura del rectángulo primero. Qué dimensiones tendrían los otros dos rectángulos? Cuánto medirían las tres áreas? 179. Conociendo que el perímetro de un rectángulo es m, halla sus dimensiones sabiendo que si la base disminue en 1m la altura aumenta en esa misma longitud, el área se agranda en m. Cuáles son las dimensiones del segundo rectángulo? Calcula las dos áreas Cuánto mide el lado de un cuadrado, sabiendo que es cm maor que el radio de una circunferencia que el perímetro del cuadrado es 0,6cm maor que la longitud de la circunferencia? Calcula las dos áreas los dos perímetros. Nota: toma π, Cuánto mide el lado de un cuadrado, sabiendo que es,8cm maor que el radio de una circunferencia que sus perímetros respectivos son iguales? Calcula las dos áreas los dos perímetros. Nota1: toma,1. Nota: da solución decimal Un granjero tiene m de malla de alambre con el que quiere construir un gallinero rectangular aprovechando la pared de un granero. Si el largo del gallinero debe ser tres veces maor que su anchura, cuáles serán sus dimensiones? Cuánto mide el lateral del granero? Nota: el lateral del granero coincide con la anchura del gallinero, obviamente, no necesita malla. 88

89 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde Calcula la longitud de los lados de un rectángulo sabiendo que su base es / su altura que su perímetro es igual al perímetro de un cuadrado de lado 7dm. Cuántos cm mide su área? El perímetro de un rectángulo es dm. Si la altura mide los / de la base, cuál es su área cuánto mide cada lado? La longitud de uno de los lados de un rectángulo ecede a la del otro en cm. Si cada lado aumenta 1cm, la superficie total aumenta cm. Halla las dimensiones las áreas de los dos rectángulos. Dentro de la web entra en la sección de LA PREGUNTA MATEMÁTICA busca => 1ª Qué matemáticas tienen en común las rebajas, los bancos algunas señales de tráfico? ª Qué tienen en común las placas fotovoltaicas, las vueltas ciclistas los zapatos de tacón? PORCENTAJES % RECUERDA ÍNDICE DE VARIACIÓN: es el número que multiplicado por la cantidad inicial, nos da la cantidad final. Ejemplos 100%+1%=11% => índice variación=1,1 100% %=7% => índice variación=0, Un niño compra un libro un juguete por 9. Al día siguiente el valor de la compra habría sido de 9,8 porque el comerciante aumentó el precio del libro en un 10% el precio del juguete en el 8%. Cuánto le costó cada cosa? Cuánto costarían después del aumento de precio? Podría ser la siguiente solución del problema: el libro cuesta el juguete 6 (razona la respuesta)? 180. Un comerciante compra un pañuelo una bufanda por 1 los vende por 1,6. Cuánto le costó cada objeto sabiendo que en la venta del pañuelo ganó el 10% en la venta de la bufanda ganó el 1%? Cuánto tuvo que pagar por el pañuelo por la bufanda el cliente del comerciante que lo compró después? 180. En un colegio, entre chicos chicas ha 00 alumnos. Del total asisten a una ecursión 1 alumnos. Se sabe que a la ecursión han ido el 60% de los chicos el 0% de las chicas. Cuántos chicos fueron de cada seo a la ecursión? Podría ser solución del problema la siguiente: ha 10 chicos 90 chicas en ese colegio (razona la respuesta)? Y esta otra: han ido a la ecursión 100 chicos chicas (razona la respuesta)? 180. Un comerciante compra manzanas golden reineta por 7. El precio de las golden es de 0,60 /kg en tanto que las reineta valen 0,0 /Kg. Si los kilos de manzanas golden coinciden con el 7% de los kilos de manzanas reineta, cuántos Kg de cada clase se han comprado? Cuánto se ha gastado en cada variedad? Jorge Ana tienen entre los dos. Si Jorge tuviera el 0% de los euros que tiene ahora Ana tuviera el 00% que tiene ahora, entre los dos tendrían 7. Cuánto dinero tiene cada uno? Dos facturas tienen un importe conjunto de 1. Al pagarlas un comerciante al contado, ha conseguido un descuento del 10% en 89

90 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 01. la primera un % en la segunda, con lo que al final solo paga 11. Cuál era el valor de cada factura? En cuánto se ha quedado cada una después de aplicarle el descuento? El taller de Irene hace dos modelos de camisetas: una bordada más cara otra sencilla más barata. Averigua a cuánto vende Irene cada modelo en temporada sabiendo que: Silvia pagó al principio de las rebajas por las dos camisetas (la bordada todavía sin rebaja la sencilla rebajada un 10%), mientras que Beatriz dos semanas más tarde pagó por las dos camisetas (rebajadas ambas un % repecto al precio original) Un pintor va dos veces a un almacén que vende a granel porque neceesita comprar concentrado de color rojo color azul. Estos concentrados se etraen de unos tanques se pagan por litros. El concetrado rojo vale /l mientras que el concentrado azul cuesta, /l. La primera vez el pintor paga 1 por llevarse el % del tanque rojo el % del tanque azul. La segunda vez el pintor paga 1,0 por llevarse el % del tanque rojo el 1,% del tanque azul. Cuántos litros ha en cada tanque? Cuántos litros se lleva cada vez? Noelia compra un móvil una camisa por 1 los vende por 8,6. Cuánto le costó cada cosa si ganó un 9% en el móvil un % en la camisa? Agustín compra por catálogo una sudadera unas zapatillas por 100 pero, al recibirlos en su casa probárselos, se da cuenta de que los artículos le están pequeños. Al devolverlos, le cobran una comisión del % en la sudadera del 10% en las zapatillas. Qué precio tenían la sudadera las zapatillas si le cobraron una comisión de 8? 181. Marisa gasta en el almacén en doce prendas, de las cuales, siete son pantalones chinos de colores imposibles (rosa chicle, amarillo chillón ). El resto de prensas son camisas blancas. Al revenderlos en su tienda, a las camisas les casa el % de beneficio, mientras que con los pantalones pierde el % de lo invertido. Si al final consigue una ganancia total de, cuánto pagó Marisa por cada una de las camisas pantalones? Cuánto perdió/ganó con cada una de las prendas? Nota: todos los pantalones cuestan igual; todas las camisas cuestan igual Un alcalde compra un toro una vaca brava para un encierro en las fiestas de su pueblo. Con el IVA incluido (1%), la operación le sale a.10 le han dicho que el toro cuesta tres veces una vaca. Cuál es el precio de cada animal antes de aplicarles los impuestos? EDADES 181. Entre Rodrigo David tienen ho 1 años. Dentro de tres años Rodrigo tendrá el doble de edad que David. Qué edad tiene cada uno ahora? Y dentro de tres años? 181. Héctor tiene el triple de edad que Ana dentro de dos años tendrá el doble. Qué edad tiene cada uno? El doble de la edad de Paula más el triple de la edad de Lola nos da 6 años. Si hace dos años Lola tenía la edad que tiene Paula ahora, qué edad tiene cada una? La suma de las edades de Rosa Antonio hace 6 años era de años. Dentro de dos años Rosa tendrá la edad que tenía Antonio hace tres años. Qué edad tiene cada uno ahora? Hace 8 años la edad de Javier era triple que la de Carmen dentro de años la edad de Carmen será solo la mitad de la de Javier, qué edades tienen actualmente? Qué edad tenían hace 8 años? Qué edad tendrán dentro de años? 90

91 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde Andrés tiene 0 años menos que David. Si la edad de David es cuatro veces la edad de Andrés. Cuántos años tiene cada uno? 180. Eva tiene 18 años más que Pedro. Hace 18 años la edad de Eva era / de la edad de Pedro. Halla las edades actuales de los dos jóvenes Fernando le dijo a su hijo: Hace un año tenía el triple de tu edad dentro de 1 años no tendré más que el doble. Cuál es la edad de ambos ahora? 18. La edad de Alicia es tres veces la edad de Jorge. Dentro de 8 años la suma de sus edades será 8 años. Cuáles son sus edades actuales? 18. José tiene seis años más que Sara hace 10 años José tenía el doble de la edad que ella. Cuántos años tienen José? 18. Un niño tiene siete años. Queremos averiguar la edad actual de su padre. Cuando el niño alcance la edad que ho tiene su padre, la suma de sus edades será 10 años. Cuántos años tiene ahora su padre? 18. En la actualidad la edad de un padre es triple que la de su hijo dentro de 1 años será el doble. Qué edad tiene actualmente cada uno? 186. Miguel tiene en la actualidad cinco veces la edad de Luis, pero dentro de cuatro años su edad será solamente cuatro veces maor que la edad que tendrá Luis. Cuáles son las edades de cada uno? 187. Hace dos años la edad de Isabel era cuatro veces la edad de Begoña dentro de 18 años disminuirá al doble. Cuál es la edad actual de ambas? 188. Un padre tiene el quíntuplo de la edad de su hijo. Dentro de 6 años solo tendrá el triple. Qué edad tiene actualmente cada uno? 189. Un padre tiene el triple de edad que su hijo. Si el padre tuviera 0 años menos el hijo 8 años más los dos tendrán igual edad. Qué edad tiene cada uno? 180. La edad de Belén es el triple que la de su hermana Alba. En total suman 0 años. Qué edad tiene cada una? 181. Mi hijo es ahora tres veces más joven que o. Pero hace cinco años era cuatro veces más joven. Cuántos años tiene? 18. La edad de un padre es ho veces la del hijo hace 6 años era veces la edad del hijo Cuántos años tiene cada uno? 18. Lara tiene 6 años más que Daniel. Si al triple de la edad de Daniel le sumas el doble de la edad de Lara nos da 7 años. Cuántos años tiene cada uno? 18. Laura tiene 16 años menos que Óscar dentro de años tendrá la mitad. Cuántos años tiene cada uno ahora? 18. Hace dos años un padre tenía el triple de la edad de su hijo, pero dentro de 11 solo tendrá el doble. Halla la edad que tienen ahora Calcula las edades de un padre su hija, sabiendo que entre los dos suman años que el padre es 1 años maor que su hija Elena tiene 10 años menos que Javier dentro de años será la tercera parte. Qué edad tiene cada uno? 188. El doble de la edad de Edudardo más el triple de su hermano menor, que tiene tres años menos, nos da 81 años. Cuántos años tiene cada uno? 189. Si a Rubén se le doblara la edad, aún le faltarían años para igualar la edad de su padre. Sabiendo que Rubén nació cuando su padre tenía años cuál es la edad de cada uno? 180. Calcula las edades actuales de un padre su hijo sabiendo que hace 10 años la edad del padre era el triple que la del hijo que dentro de años, a la edad del padre la faltará años para ser el doble que la de su hijo Calcula las edades de un padre un hijo sabiendo que hace 0 años uno tenía seis medios de lo que tenía el otro dentro de 10 años uno tendrá cuatro setos de lo que tenía el otro. 91

92 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde El doble de la edad de Jahel más la edad de su hermana Ruth dan los años que tiene su padre. Si dentro de dos años la edad de Jahel será el doble de la edad que tendrá Ruth, cuántos años tiene cada una ahora? 18. Marta tiene seis veces la edad de Sandra. Si dentro de dos años solo tendrá cuatro veces su edad, qué edad tiene cada una? 18. La edad de Ángel más la de José suman 6 años. Si hace tres años la edad de Ángel era doble que la de José, qué edad tiene cada uno? 18. Hace doce años Lidia tenía el triple de la edad que tenía Irene entonces. Sin embargo, dentro de cinco años Lidia solo tendrá el doble de edad que tendrá Irene. Qué edad tienen Lidia e Irene ho? Cuántos años tenían hace doce años? Cuántos años tendrán dentro de cinco años? 186. Rafael tiene 6 años cuenta con dos hijos, Sara Manuel, cuas edades suman 0 años. Si se sabe que la edad de Sara es la tercera parte de la suma de las edades de su padre de su hermano, cuántos años tienen los hijos de Rafael? 187. Vicente tiene 9 años. Hace unos años la edad de su hijo Fernando era la quinta parte que la sua. Dentro de esos mismos años, Fernando tendrá la mitad que su padre. Cuántos años tiene ho Fernando? Qué número de años hace que ocurra la situación reflejada? MEZCLAS 188. Un joero tiene dos clases de oro de distinta pureza, por lo tanto, de distinto precio. Se le ocurre hacer una cadena mezclando 0 gramos del oro barato con 0 gramos del oro caro, obteniendo una cadena de 6 /g. Si se sabe que el precio de la aleación barata es 6 menos por gramo que el precio de la aleación de oro cara. Cuál es el precio de cada tipo de aleación? Cuánto dinero ha gastado en cada clase de oro? INTRODUCCIÓN. Dentro de la web entra en la sección de LA PREGUNTA MATEMÁTICA busca => Cuál es la mezcla correcta para hacer un tinto de verano? RECUERDA La primera ecuación del sistema es para las cantidades. La segunda ecuación del sistema es para el dinero. + = + = 189. Un comerciante tiene dos clases de caramelos de 0,7 /kg 1 /Kg respectivamente. Cuántos kilogramos de cada clase debe tomar para hacer una mezcla de 69 kg a 0,9 /kg? Cuánto dinero gastará en la clase de caramelos baratos? Y en la de los caros? 180. Se mezclan dos clases de aceitunas de,6 /kg,1 /kg Cuántos kg de cada clase debo mezclar para obtener 0kg a,9 /kg? Cuánto dinero gastará en la clase de aceitunas baratas? Y en la de las caras? 181. Se mezcla té de la clase A a 7, /kg con té de la clase B a, /kg se obtiene 0kg de mezcla. El kilogramo de té mezclado es de 6,1 /kg Cuántos kilogramos de té se han mezclado de cada clase? Cuánto dinero gastará en cada clase de té? 18. Débora tiene una tienda de encurtidos quiere ofrecer 00kg de berenjenas a 6, /kg mezclando dos variedades de 6,1 /kg 7, /kg, cuánta cantidad de cada variedad tiene que 9

93 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 01. mezclar? Cuánto dinero gastará en la clase de berenjenas baratas? Y en la de las caras? 18. Para hacer tinto de verano, se mezcla casera de 0cént/litro con vino de 90cént/litro. Si se usan 0 litros de casera con el propósito de conseguir un tinto de verano a 70cént/litro, cuántos litros de vino se han de mezclar? Cuántos litros de tinto de verano se obtienen? 18. En una tienda de animales se vende pienso de perros de varias calidades. Al dueño se le ocurre mezclar un pienso barato con uno más caro para ofrecer a sus clientes una gama intermedia. El saco de pienso barato vale 10 el de pienso caro vale 17. Si al final quiere conseguir el equivalente a 8 sacos a un precio de 1 el saco, cuántos sacos de cada pienso debe mezclar para lograr su objetivo? Sabiendo que los sacos son de 1kg, cuánto cuesta el kilogramo de cada una de las tres gamas vistas? 18. En una perfumería se venden perfumes artesanales mezclando concentrado de flores a /litro con colonia barata a 1 /litro. Si se mezclan litros de colonia barata con el propósito de conseguir un perfume a 1 /litro, qué cantidad de concentrado de flores se ha de mezclar? Cuántos litros de perfume se obtendrán? MISCELÁNEA Números 186. Halla dos números cua suma es 0 su diferencia es Halla dos números cua suma sea 0 cua diferencia sea / del maor La suma de dos números da 6. Si los /9 del maor es igual a la mitad del menor más 7 unidades, cuáles son esos dos números? 189. Halla dos números tales que su diferencia sea 0 el doble del primero sumado con el cuádruple del segundo sea La suma de dos números es, el menor es igual a la séptima parte del maor. Cuáles son esos números? The addition of two numbers is, the lowest is equal to the seventh part of the highest, what are those numbers? La suma de dos números es 160 la división de uno de ellos entre el otro da 1 de cociente 6 de resto. Cuáles son esos números? 186. Descompón en dos sumandos el número 60, de modo que la división del primero entre 8 más el segundo entre sea igual a Descompón el número 8 en dos sumando tales que dividido uno por otro se obtenga de cociente de resto La suma de las tres cifras de un número capicúa es 8. La suma de la cifra de las unidades la de las centenas es igual a la cifra de las decenas. Halla ese número Hallar dos números sabiendo que el primero es 8 unidades maor que el segundo que si al primero le restas al segundo le sumas, este será la mitad que el primero. Cuáles son esos números? Halla dos números tal que la tercera parte del maor sea el doble del número anterior al menor que la diferencia entre el maor el cuádruplo del menor sea dos Dos números difieren en 8 unidades uno de ellos es los ocho novenos del otro Cuáles son esos números? Un número es tres unidades menor que el doble de otro número. Su suma es 1. Cuáles son esos números? 9

94 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde Un número equivale a la mitad del otro. Si a cada uno le agregamos 0 unidades, el primero equivaldría a /8 del segundo. Halla los dos números Halla un número de dos cifras sabiendo que la cifra de las decenas es igual a la cifra de las unidades más el doble de la cifra de las unidades es igual a la cifra de las decenas menos 1. Qué número es? La suma de las dos cifras de un número es igual a 11. Si se invierten las cifras, el número obtenido es igual al primero más 7. Cuál es el número? Nota: requiere del sistema posicional Halla un número de dos cifras sabiendo que la suma de ambas es 6 que la diferencia entre dicho número el que resulta al invertir el orden de sus cifras es 18. Nota: requiere del sistema posicional La suma de las cifras de un número es 9. La diferencia entre este número el que resulta de invertir el orden de sus cifras es 7. Cuál es ese número? Nota: requiere del sistema posicional La suma de las dos cifras de un número es 1. Calcúlalo sabiendo que si invertimos estas cifras, se consigue un segundo número cua diferencia con el primero es 18. Nota: requiere del sistema posicional Al dividir un número de dos cifras por el que resulta invirtiendo el orden de estas, se obtiene de cociente 7 de resto. Al dividir el número invertido por la cifra de las unidades se obtiene de cociente 6 de resto. Halla el número. Nota: requiere del sistema posicional La diferencia entre dos números es 6. Dividiendo el maor entre el menor, resulta de cociente 8 de resto. Calcula esos números Halla dos números cua suma sea 0 tales que, restando unidades al maor añadiéndoselas al menor, los resultados son iguales. Find two numbers whose sum is 0, so that, subtracting units to the highest and adding them to the lowest, the results are the same Halla una fracción sabiendo que si sumamos unidades al numerador, la fracción es equivalente a 1 si restamos 1 unidad al denominador la fracción sería equivalente a 1/. Nota: haz el producto en cruz El triple del numerador de una fracción es igual al doble de su denominador. Si añadimos 1 a sus dos términos la fracción resultante es equivalente a /7. Cuál es la fracción? Nota: haz el producto en cruz Si el numerador de una fracción se duplica el denominador aumenta en unidades, la fracción vale 1; pero si el denominador se triplica el numerador aumenta en, la fracción es igual a /. Halla la fracción original las dos resultantes. Nota: haz el producto en cruz Calcula los términos de una fracción sabiendo que es equivalente a 1/ que si al denominador le añadiéramos una unidad, la fracción resultante sería equivalente a 1/. Nota: haz el producto en cruz Determina una fracción sabiendo que si se suma al numerador se convierte en si se suma 6 al denominador se reduce a 1/. Nota: haz el producto en cruz El denominador de una fracción es 9 unidades más que el numerador. Si el numerador aumenta en 1 el denominador disminuen en, la fracción resultante es 7/8. Cuál es la fracción? Nota: haz el producto en cruz. Picos, patas, ruedas 188. En un corral ha conejos gallinas. En total ha 79 animales patas. Cuántos conejos cuántas gallinas ha? Podría la siguiente ser solución del problema: 1 conejos 8 gallinas (razona la respuesta)? 188. Sonia tiene 8 animales entre perros pájaros. Entre todos tienen 8 patas. Cuántos perros pájaros ha? 9

95 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde En una granja ha cerdos gallinas, sumando en total 80 patas. Si disminuimos en mil el número de cerdos, el número de gallinas será el triple que estos. Cuántos cerdos gallinas ha? Podría la siguiente ser solución del problema: 1.00 cerdos 60 gallinas (razona la respuesta)? En un taller ha vehículos de 6 ruedas. Si disminuera en dos el número de vehículos de 6 ruedas habría doble número de estos que de cuatro ruedas, cuántos vehículos ha de cada clase si en total ha 16 ruedas? En un garaje ha 7 vehículos entre motos coches. Si en total ha 18 ruedas, Cuántos vehículos ha de cada clase? Aciertos fallos Ricardo propone a su hijo el siguiente negocio: cada día te plantearé cinco problemas; por cada problema que resuelvas te daré, pero te quitaré por cada uno que no resuelvas. Al cabo de 10 días el hijo recibe 70, cuántos problemas resolvió? Cuántos falló? En un tiro al blanco se hace el siguiente convenio: el jugador, que dispone de balines recibe por cada acierto paga 1, por cada fallo. Después de tirar los balines el jugador recibe 6,. Cuántos disparos acertó cuántos falló? Un padre pone 16 problemas a su hijo con la condición de que por cada problema que resuelva recibirá 1 por cada problema que no resuelva perderá. Después de proponer soluciones a los 16 problemas, el muchacho recibió 7. Cuántos problemas resolvió? Cuánto dinero tuvo que devolver a su padre? 189. Al comenzar los estudios de bachillerato se les hace un test a los estudiantes con 0 cuestiones sobre matemáticas. Por cada cuestión contestada correctamente se les da puntos por cada cuestión incorrecta o no contestada se les quita puntos. Un alumno obtuvo en total 9 puntos. Cuántas cuestiones respondió correctamente? 189. En un concurso cada pareja debe contestar 10 preguntas. Por cada acierto gana puntos por cada fallo pierde puntos. Si al terminar el concurso una pareja tenía 18 puntos, cuántas respuestas acertaron? Cuántos puntos perdieron? Intercambios 189. Un niño dice a su amigo: dame céntimos los dos tendremos la misma cantidad. Y el amigo responde: dame 6 céntimos tú a mí o tendré el doble que tú. Qué dinero tiene cada uno? 189. Ernesto tiene el triple de libros que su amigo Alfonso. Si Ernesto le presta 6 libros tendrían los mismos. Cuántos libros tiene cada uno? Ana tiene más que Raúl. Si Ana le da 8, Raúl tendrá eactamente la mitad que Ana. Cuánto dinero tenía cada uno? Ale tiene el triple de euros que Francisco. Si Ale gasta 16 Francisco, este tendría la mitad de dinero que Ale. Cuánto dinero tiene cada uno ahora? En clase ha 9 personas más estudiando que hablando. Si un alumno que estudia se pusiera a hablar, habría el doble de personas estudiando que hablando. Cuántos alumnos ha en clase? Andrea tiene más que Luisa. Si Andrea le da 8, Luisa tendrá cuatro veces el dinero que tiene Andrea. Cuánto dinero tenía cada uno? Antonio tiene la tercera parte de dinero que Hugo. Si este le da 0, los dos tendrían el mismo dinero. Cuánto dinero tiene cada uno? Roberto tiene el triple de dinero que Víctor. Si Víctor le da 10 a Roberto, este tendrá siete veces más que Víctor. Cuánto dinero tiene cada uno? 190. En un salón A ha 18 personas más que en el B. Si pasan dos personas de A a B en este salón habrá la mitad de personas que en el A. Cuántas personas más ha en cada salón? 190. En un bar ha tres veces más clientes en la barra que bailando. Si dos personas de la barra se ponen a bailar solo habrá el doble. Cuánta gente ha ahora bailando cuantas en la barra? 9

96 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde En un colegio de 00 alumnos se debe elegir cursar francés o italiano. Si se pasaran dos de francés a italiano habría el doble de estos que de francés. Cuántos han elegido cada idioma? 190. En un avión ha 00 pasajeros sentados en pasillo o ventana. Si de los que están sentados en el pasillo se sienta uno en la ventana dos de los que están en la ventana se ponen en el pasillo, de estos habría triple que de los que están en ventana. Cuántos pasajeros están sentados en el pasillo cuántos en la ventana en este momento? Un mulo dice a un caballo: si o te tomara un saco, mi carga sería doble que la tua; en cambio si o te diera un saco, tu carga sería igual a la mía. Cuántos sacos lleva cada uno? Dice Leticia a Patricia: si me das 0,, tendré lo que a ti te quede multiplicado por 8 dice Patricia a Leticia: dame 0,7 tendremos igual las dos Noelia tiene 8 coleteros más que Tamara. Si Noelia le diera cuatro coleteros a Tamara, esta tendría la tercera parte de coleteros que Noelia. Cuántos coleteros tienen entre las dos? Varios En una biblioteca ha alumnas más que alumnos. Si hubiera el doble de alumnas el triple de alumnos tendríamos 60 personas. Cuántas alumnas ha en la biblioteca? Un jugador de baloncesto ha metido 6 puntos entre canastas de dos triples. Si ha metido tres triples menos que canastas de dos, cuántos puntos de triples ha conseguido? Tengo 9 billetes de 0. Si en total tengo 10, cuántos billetes de cada tipo tengo? 191. En un avión de plazas ha asientos de 1ª ª clase. Si sabemos que se ha recaudado 6900 en un vuelo en el que se han quedado sin ocupar asientos en ª conocemos que el precio del billete de 1ª es de 00 el de ª 10, cuántos asientos de segunda ha? 191. Sabiendo que dos refrescos dos bocadillos cuesta 8 cuatro refrescos un bocadillo 7, cuánto costará un refresco dos bocadillos? 191. En un teatro las entradas de patio cuestan 0 las de anfiteatro 1. Si se han vendido 110 entradas se han recaudado 00, cuántas entradas de cada clase se han vendido? 191. Juan tiene la mitad de dinero que Pedro. Si entre los dos tienen 9, Cuánto tiene cada uno? En un hotel ha 0 habitaciones entre triples dobles. Ha 10 camas en total. Cuántas habitaciones ha de cada tipo? Pablo tiene menos que Borja. Si a este le dan 0 Pablo se gasta 16, Pablo tendría la tercera parte que Borja. Cuántos tiene cada uno ahora? Un grupo de 16 amigos entra en un bar que tiene bocadillos de dos tipos, de jamón o de calamares. Los de calamares valen 1, 7 los de jamón,. Piden 16 bocadillos en total pagan 1. Cuántos bocadillos se pidieron de cada clase? En un hotel ha 1 habitaciones entre dobles triples. Sabiendo que en total ha camas, Cuántas habitaciones ha de cada tipo? 190. En un local cobran 6 a las chicas 9 a los chicos. Si ha personas han recaudado 8 en entradas; Cuántas chicas chicos han entrado al local? 191. Al comprar dos kilos de aguacates tres de manzanas nos cobran 1 ; si compramos uno de aguacates dos de manzanas nos cobran 7. Cuánto nos costarían kilos de manzanas? 19. Tenemos billetes de 0 0. Si en total tenemos 10, Cuántos billetes tenemos de cada clase? 19. En una tienda ha dos clases de tintes A, B. Si compro uno de cada me cuesta 6 si compro dos del A tres del B pago 1. Cuánto cuesta cada uno? 96

97 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde En una carrera participan corredores de dos equipos A B. Si se retiraran dos corredores del equipo A, el equipo B tendría el doble de corredores. Cuántos corredores ha en cada equipo? 19. En un cajero se dan billetes de 0 de 0. Al rellenar los cajetines, el operario confundió los billetes los intercambió. Cuántos billetes me dio de cada si o quería sacar 190 el cajero me dio 160? 196. Para comprar una caja de rotuladores me faltan 1,80. Si costase las / partes del precio a que se vende, podría comprarla me sobrarían. Calcula el precio de la caja el dinero que tengo. To purchase a bo of markers I am 1.80 short. If it cost the / of its price, I could bu it and I would have spare Euros. Calculate the price of the bo and the mone I have Halla el peso de Iván Lourdes sabiendo que si inviertes las cifras del peso de uno de ellos, los dos pesarían lo mismo, que una de las cifras del peso es el doble que la otra que Iván pesa 6kg más que Lourdes. Nota: requiere del sistema posicional Un librero vendió 60 libros a dos precios distintos: unos a 1,9 otros a,. Obtuvo de la venta 1, Cuántos libros vendió de cada clase? 199. Ha 9 billetes de 10. Cuántos habrá de cada uno si tenemos 70? 190. Tres amigas van a comprar a unos grandes almacenes. La primera se gasta 100 en dos camisas un pantalón, La segunda 170 en tres camisas dos pantalones. Cuánto se gastara la tercera si ha comprado dos pantalones una camisa? 191. Hemos recibido tres pedidos en una empresa de informática. El primero cuesta 110 consta de dos ordenadores dos impresoras. El segundo 680 un ordenador tres impresoras. Cuánto costara el tercero si son ordenadores una impresora? 19. Si una zapatilla de tipo A dos del B cuestan 00 que es lo mismo que cuestan tres zapatillas del tipo A una del B. Cuál es el precio de cada tipo? 19. Varios amigos están jugando a los chinos con monedas de 0 céntimos. Al abrir las manos cuentan 8 monedas con un valor de 10 céntimos. Cuántas monedas ha de cada clase? 19. En un monedero ha 6 billetes con un valor 1000$. Los billetes son de $. Cuántos billetes ha de cada clase? 19. Un padre pone a su hijo 1 problemas con la siguiente condición: por cada problema que resuelva bien le dará al hijo 0,, pero por cada problema que resuelva mal o no sepa hacer, el hijo le devolverá 0,. Al final el hijo recibió,7. Cuántos problemas hicieron bien? 196. Un etranjero paga un billete de tren que cuesta 7,10 con 0 francos suizos 90$ le entregan 1,0 de vuelta. Ese mismo día ha pagado un libro que costaba 18,6 con 0 francos suizos, 0$ 0,90. A qué cambio en le han cotizado el franco suizo el $? 197. Una persona tiene monedas en ambas manos. Si pasa de la derecha a la izquierda tendrá el mismo número de monedas en las dos manos. Y si pasa de la izquierda a la derecha tendrá en está el doble número de monedas que en la otra. Cuántas monedas tiene en cada mano? NÚMEROS 198. Halla dos números cua suma sea 9 cuo producto sea Dos números suman 1. Cuáles son esos números si la suma de sus cuadrados es 7? 190. Halla dos números que sumados den 6 multiplicados den Eisten dos números que cumplan estas dos condiciones: restados den, mientras que el cuadrado del primero más el doble del cuadrado del segundo dé 1? 19. Eisten dos números tales que su producto sea 100 su diferencia sea 1? 97

98 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde Pueden eistir dos números cumpliendo que su diferencia sea 1 mientras que la diferencia de sus cuadrados sea? 19. Eisten dos números tales que el grande eceda en tres unidades al pequeño que el grande más el cuadrado del pequeño sumen? GEOMÉTRICOS 19. Un cuadrado rojo tiene 76m menos de área que otro azul, además, su lado mide m menos que el lado del azul. Halla la longitud de los lados de los dos cuadrados Halla las dimensiones de un rectángulo sabiendo que su perímetro es 8m su área 8m El perímetro de un rectángulo es 6cm su superficie 0cm. Halla las dimensiones del rectángulo Puede eistir un rectángulo de perímetro 0m cua área sea igual al área de otro rectángulo con la mitad de altura con dos metros más de base? Da las dimensiones de los dos rectángulos o razona la respuesta negativa La longitud de una circunferencia ecede en π metros a la de otra circunferencia más pequeña. Halla el radio de cada una sabiendo que el doble del área de la circunferencia pequeña ecede en π metros al área de la circunferencia grande. Cuánto miden sus longitudes áreas? NÚMEROS 190. Descompón el número 10 en dos partes, de manera que la suma de los inversos de estas sea igual a / La razón entre dos números es /. Restando 10 al primero añadiendo 10 al segundo la razón se invierte. Cuáles son esos números? 19. Halla dos números sabiendo que su producto es la suma de sus cuadrados es Eisten dos números cumpliendo que la suma de sus cuadrados sea mientras que la diferencia de esos cuadrados sea 16? 19. Eisten dos números naturales cumpliendo que el cuadrado de su diferencia sea igual a 11, en cambio, el cuadrado de su suma sea igual a 9? Da las parejas de números o razona la respuesta negativa. Nota1: las cónicas que aparecen están degeneradas (son rectas). Nota: resuelve el sistema tomando en ambos miembros la raíz cuadrada, obtendrás cuatro sistemas de rectas. 19. Puede haber dos números enteros tales que el triple del primero por el segundo sea igual al segundo al cuadrado, además, la suma de los cuadrados de los dos números sea igual a diez? Nota: observa que ha una cónica degenerada (rectas). 98

99 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 01. GEOMÉTRICOS 196. Pueden eistir dos cuadrados tales que el área del grande eceda en 9m al pequeño pero que, si le quitamos m al lado del grande, la diferencia de sus áreas se quede en 1m? Da las dimensiones de los cuadrados o razona la respuesta negativa Dos circunferencias concéntricas dejan una corona de área π m. Averigua el radio de la corona sabiendo que si el radio de la circunferencia maor aumentara en uno, el área de la corona resultante sería 8π m. Cuánto miden las áreas de las dos coronas del problema? 198. Una caja (ortoedro) tiene una altura de 1cm un volumen de 10cm. Si se le dobla la altura, se disminue en tres centímetros un lateral de la base el otro lateral se reduce a la mitad, resulta otra caja de volumen la mitad que la caja original. Da las dimensiones de las dos cajas. Solución no entera 199. Cuáles son las medidas de los catetos de un triángulo rectángulo de área 9cm si su hipotenusa tiene 0cms? Nota: da el resultado con cuatro cifras significativas ( la última redondeada). 99

100 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 01. IV. SUCESIONES Y FINANCIERA SUCESIONES TESTs Halla el siguiente término de estas sucesiones de figuras: INTRODUCCIÓN. Dentro de la web entra en la sección de LA PREGUNTA MATEMÁTICA busca => Qué dimensión tiene un copo de nieve? Cómo se construen los trastes de una guitarra? Qué tienen en común, matemáticamente hablando, las hipotecas, la música occidental las copas de los árboles? FRACTALES Sucesiones de transformaciones geométricas 196. El triángulo de Sierpinski => Describe la sucesión de iteraciones, es decir, las transformaciones geométricas empleadas. Emula las cuatro primeras iteraciones en tu cuaderno.

101 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde El copo de nieve de Koch => El copo de nieve de Koch. Describe la sucesión de iteraciones, es decir, las transformaciones geométricas empleadas. Emula las tres primeras iteraciones en tu cuaderno. SUCESIONES NUMÉRICAS Y PROGRESIONES Curva de Peano (de dimensión ) => Describe la sucesión de iteraciones (falta la primera iteración), es decir, las transformaciones geométricas empleadas. Emula las tres primeras iteraciones en tu cuaderno Falta la primera iteración en el dibujo siguiente? Describe la sucesión de iteraciones, es decir, las transformaciones geométricas empleadas. Intenta imaginar la siguiente iteración haz un esquema grosso modo en tu cuaderno. Desde término general (se empieza en n=1) Escribe los 6 primeros términos de la sucesión que tiene por fórmula para el término general an=n+. Resta los elementos consecutivos de la sucesión (diferencias de orden 1), obtienes algo especial? Escribe los primeros términos de la sucesión que tiene por fórmula para el término general an= 6n. Resta los elementos consecutivos de la sucesión (diferencias de orden 1), obtienes algo especial? Escribe los 8 primeros términos de la sucesión que tiene por fórmula para el término general an=n 1. Resta los elementos 101

102 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 01. consecutivos de la sucesión (diferencias de orden 1), obtienes algo especial? Escribe los 7 primeros términos de la sucesión que tiene por fórmula para el término general an=n +1. Resta los elementos consecutivos de la sucesión (diferencias de orden 1), obtienes algo especial? Resta los elementos de la segunda sucesión recién formada (diferencias de orden ), obtienes algo especial ahora? 197. Escribe los primeros términos de la sucesión que tiene por fórmula para el término general an=n. Resta los elementos consecutivos de la sucesión (diferencias de orden 1), obtienes algo especial? Resta los elementos consecutivos de la segunda sucesión recién formada (diferencias de orden ), obtienes algo especial ahora? 197. Escribe los primeros términos de la sucesión que tiene por fórmula para el término general an=n. Resta los elementos consecutivos de la sucesión (diferencias de orden 1), obtienes algo especial? Resta los elementos consecutivos de la segunda sucesión recién formada (diferencias de orden ), obtienes algo especial ahora? Resta los elementos consecutivos de la tercera sucesión formada (diferencias de orden ), obtienes algo especial ahora? 197. Escribe los primeros términos de la sucesión que tiene por fórmula para el término general an= n +n. Obtén las diferencias de orden 1, de orden de orden, observas algo especial? 197. Escribe los 6 primeros términos de la sucesión que tiene por fórmula para el término general an= n. Obtén las diferencias de orden 1 las diferencias de orden, notas algo especial? Escribe los primeros términos de la sucesión que tiene por fórmula para el término general an= n. Obtén las diferencias orden 1 las diferencias de orden, notas algo especial? Escribe los 1 primeros términos de la sucesión que tiene por fórmula para el término general an=( 1) n. Obtén las diferencias de orden 1, notas algo especial? Es creciente o decreciente esta sucesión? Escribe los 6 primeros términos de la sucesión que tiene por fórmula para el término general an=( ) n 1. Obtén las diferencias de orden 1, notas algo especial? Escribe los 8 primeros términos de la sucesión que tiene por fórmula para el término general an=. Es creciente o decreciente esta sucesión? Escribe los 10 primeros términos de la sucesión que tiene por fórmula para el término general an=. Es creciente o decreciente esta sucesión? Escribe los primeros términos de la sucesión que tiene por fórmula para el término general an=. Es creciente o decreciente esta sucesión? 198. Escribe los 6 primeros términos de la sucesión que tiene por fórmula para el término general an=. Es creciente o decreciente esta sucesión? 198. Escribe los primeros términos de la sucesión que tiene por fórmula para el término general an=. Es creciente o decreciente esta sucesión? 198. Escribe los primeros términos de la sucesión que tiene por fórmula para el término general an=. Es creciente o decreciente esta sucesión? 198. Factorial => Escribe los 7 primeros términos de la sucesión que tiene por fórmula para el término general an=n! Nota: recuerda de combinatoria que el factorial de un número natural se calcula multiplicando n!=n (n 1) (n ) (n ) Doble Factorial => Escribe los 10 primeros términos de la sucesión que tiene por fórmula para el término general an=n!! Nota: el doble factorial de un número natural se define por recursividad 10

103 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 01. como n!!= (n )!! n. Observa, por ejemplo, que 8!!= 6 8=8 recuerda que por convenio 0!=0!!=( 1)!!=1. Desde fórmula de recurrencia Escribe los 7 primeros términos de la sucesión que tiene por fórmula de recurrencia an= an 1+ con a1=0. Obtén las diferencias de orden 1, notas algo especial? Escribe los 8 primeros términos de la sucesión que tiene por fórmula de recurrencia an= an 1 con a1=1. Obtén las diferencias de orden 1, notas algo especial? Escribe los primeros términos de la sucesión que tiene por fórmula de recurrencia an= an 1 con a1= 1. Obtén las diferencias de orden 1, notas algo especial? Escribe los 6 primeros términos de la sucesión que tiene por fórmula de recurrencia an= an 1 con a1=. Obtén las diferencias de orden 1, notas algo especial? Escribe los primeros términos de la sucesión que tiene por fórmula de recurrencia an= an 1 con a1=. Obtén las diferencias de orden 1, notas algo especial? 199. Escribe los 10 primeros términos de la sucesión que tiene por fórmula de recurrencia an= 8 an 1 con a1=0. Obtén las diferencias de orden 1, notas algo especial? 199. Escribe los primeros términos de la sucesión que tiene por fórmula de recurrencia an= an 1 con a1= 1. Obtén las diferencias de orden 1, notas algo especial? 199. Sucesión de Fibonacci => Escribe los 10 primeros términos de la sucesión que tiene por fórmula de recurrencia an= an 1+ an con a1=1 a=1. Sabías que esta sucesión sale del problema del apareamiento de dos conejos que es la más usada por la Naturaleza: pétalos de flores, semillas de girasoles? Obtén las diferencias de orden 1 las diferencias de orden, notas algo especial? 199. Escribe los primeros términos de la sucesión que tiene por fórmula de recurrencia an= an 1 an con a1= 1 a=. Obtén las diferencias de orden 1, notas algo especial? RECUERDA El orden de una progresión aritmética coincide con el orden de sus diferencias constantes ( con el grado del polinomio que representa el término general). PROGRESIÓN ARITMÉTICA DE ORDEN 1 d = an an 1 Término general => an=a1+(n 1) d Fórmula de recurrencia => an=an 1 + d PROGRESIÓN GEOMÉTRICA r = an / an 1 Término general => an=a1 r n 1 Fórmula de recurrencia => an=an 1 r 10

104 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 01. Búsqueda de fórmula de recurrencia término general Sigue la sucesión: 1,,,,, 6, 7, 8 Calcula el término que ocupa la posición 98. Halla la fórmula de recurrencia de esta sucesión. Halla también la fórmula del término general de esta sucesión Sigue la sucesión:,, 6, 8, 10, 1 Calcula el término que ocupa la posición. Halla la fórmula de recurrencia de esta sucesión. Halla también la fórmula del término general de esta sucesión Halla el término general, la fórmula de recurrencia los siguientes elementos de la sucesión: 1,,, 7, 9 Es una progresión aritmética? De qué orden? Halla el término general, la fórmula de recurrencia los siguientes siete términos de la sucesión: 0,, 0, 1 Es una progresión aritmética? De qué orden? 000. Halla el término general los siguientes elementos de la sucesión: 1,, 9, 16,, Es una progresión aritmética? De qué orden? Halla la fórmula de recurrencia Halla el término general los siguientes cuatro términos de la sucesión:,, 10, 17, 6 Es una progresión aritmética? De qué orden? Halla la fórmula de recurrencia si es aritmética de orden Halla el término general los siguientes 7 elementos de la sucesión: 6, 1,, 9, 1 Es una progresión aritmética? De qué orden? Halla la fórmula de recurrencia si es aritmética de orden Halla el término general los siguientes términos de la sucesión: 81, 7, 9, Es una progresión aritmética o geométrica? Nota: si es aritmética, indica el orden, si este es 1, halla también la fórmula de recurrencia. 00. Halla el término general los siguientes términos de la sucesión: 0,, 8, 1, Es una progresión aritmética o geométrica? Nota: si es aritmética, indica el orden, si este es 1, halla también la fórmula de recurrencia. 00. Halla el término general los siguientes cuatro términos de la sucesión:,,, Es una progresión aritmética o geométrica? Nota: si es aritmética, indica el orden, si este es 1, halla también la fórmula de recurrencia Halla el término general los siguientes cinco términos de la sucesión:, 7, 10, 1, 16, 19 Es una progresión aritmética o geométrica? Nota: si es aritmética, indica el orden, si este es 1, halla también la fórmula de recurrencia. Con fracciones 007. Halla el término general los siguientes seis términos de la sucesión:,,,, Es una progresión aritmética o geométrica? 008. Halla el término general los siguientes siete términos de la sucesión:,,,, Es una progresión aritmética o geométrica? 009. Halla el término general los siguientes seis términos de la sucesión:, Es una progresión aritmética o,,,, geométrica? 010. Halla el término general los siguientes siete términos de la sucesión:, 0,,,,, Es una progresión aritmética o geométrica? 10

105 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde Halla el término general los siguientes seis términos de la sucesión:,,,,,, Es una progresión aritmética o geométrica? Dando término intercalado 01. En una progresión aritmética de orden uno con d=6, se sabe que el término a8=1. Escribe los 1 primeros términos de la tal progresión. 01. En una progresión aritmética de orden uno con d=, se sabe que el término a6= 9. Escribe los 10 primeros términos de la tal progresión. 01. En una progresión aritmética de orden uno con d=, se sabe que el término a7=1. Escribe los 9 primeros términos de la tal progresión. 01. En una progresión geométrica de razón r=, se sabe que el término a7=81. Escribe los 10 primeros términos de la tal progresión En una progresión geométrica de razón r=, se sabe que el término a=1. Escribe los 10 primeros términos de la tal progresión En una progresión geométrica de razón r=, se sabe que el término a= 1. Escribe los 7 primeros términos de la tal progresión. INTRODUCCIÓN. Dentro de la web entra en la sección de LA PREGUNTA MATEMÁTICA busca => Qué comparten la primera fase del mundial de fútbol, los brindis la confidencialidad en internet? SERIE => SUMA DE LOS N PRIMEROS TÉRMINOS PROGRESIÓN ARITMÉTICA DE ORDEN 1 Suma de los N primeros términos=> = ( ) PROGRESIÓN GEOMÉTRICA Suma de los N primeros términos => = => = Si 1 < r < 1, la suma de TODOS los términos será = 018. Suma los 10 primeros términos de la progresión aritmética de fórmula de recurrencia an=an 1+6 con a1=. Cuál es la fórmula para el término general? 019. Suma los 9 primeros términos de la progresión aritmética de fórmula para el término general an=n 1. Cuál es la fórmula de recurrencia? 10

106 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde Suma los 7 primeros términos de la progresión aritmética de fórmula de recurrencia an=an 1 con a1=8. Cuál es la fórmula para el término general? 01. Suma los 8 primeros términos de la progresión aritmética de fórmula de recurrencia an=an 1+7 con a1= 0. Cuál es la fórmula para el término general? 0. Suma los 11 primeros términos de la progresión aritmética de fórmula para el término general an=n+. Cuál es la fórmula de recurrencia? 0. En una progresión aritmética con a1=1 d=, calcula la suma de sus 1 primeros términos, cuál es la fórmula para el término general? Y la fórmula de recurrencia? 0. En una progresión aritmética con a1=6 d=, calcula la suma de sus 10 primeros términos, cuál es la fórmula para el término general? Y la fórmula de recurrencia? 0. En una progresión aritmética con a1= 18 d=, calcula la suma de sus 8 primeros términos, cuál es la fórmula para el término general? Y la fórmula de recurrencia? 06. En una progresión aritmética con a1= 0 d= 8, calcula la suma de sus 1 primeros términos, cuál es la fórmula para el término general? Y la fórmula de recurrencia? 07. En una progresión aritmética con a1=0 d= 6, calcula la suma de sus 9 primeros términos, cuál es la fórmula para el término general? Y la fórmula de recurrencia? 08. Escribe los primeros términos de la progresión geométrica con a1= razón r=. Suma los 7 primeros términos. Cuál es la fórmula de recurrencia? Y la fórmula para el término general? 09. Escribe los 7 primeros términos de la progresión geométrica con a1= 1 an = an 1. Suma los 6 primeros términos. Cuál es la razón de la progresión? Cuál es la fórmula de recurrencia? Y la fórmula para el término general? 00. Escribe los 8 primeros términos de la progresión geométrica con a1= an = an 1. Suma los 9 primeros términos. Cuál es la razón de la progresión? Cuál es la fórmula para el término general? 01. Escribe los 7 primeros términos de la progresión geométrica con a1= 00 razón r=1/. Suma los primeros términos. Cuál es la razón de la progresión? Cuál es la fórmula de recurrencia? Y la fórmula para el término general? 0. Escribe los primeros términos de la progresión geométrica con a1=7 razón r= /. Suma los 6 primeros términos. Cuál es la razón de la progresión? Cuál es la fórmula de recurrencia? Y la fórmula para el término general? 0. En una progresión geométrica con a1= 1 razón r=, se pide calcular: a) la fórmula del término general; b) los cuatro primeros términos; c) la suma de los cinco primeros términos. 0. En una progresión geométrica con a1= 81 razón r= 1/, se pide calcular: a) la fórmula del término general; b) los cinco primeros términos; c) la suma de los siete primeros términos. 0. Escribe los 6 primeros términos de la progresión geométrica de término general an= n 1. Suma los 8 primeros términos. Cuál es la razón de la progresión? Cuál es la fórmula de recurrencia? 06. Escribe los 6 primeros términos de la progresión geométrica de término general an= ( ) n 1. Suma los 8 primeros términos. Cuál es la razón de la progresión? Cuál es la fórmula de recurrencia? 07. Escribe los 7 primeros términos de la progresión geométrica de término general an=( 1/) n. Suma los primeros términos. Cuál es la razón de la progresión? Cuál es la fórmula de recurrencia? 08. Escribe los primeros términos de la progresión geométrica de término general an=(/) n. Suma los 6 primeros términos. Cuál es la razón de la progresión? Cuál es la fórmula de recurrencia? 09. Suma todos los términos de la progresión geométrica de término general an= (1/) n 1. Cuál es la razón de la progresión? Cuál es la fórmula de recurrencia? 106

107 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde Escribe los primeros términos de la progresión geométrica de término general an=1.000 (1/) n 1. Suma todos términos de la progresión. Cuál es la razón de la progresión? Cuál es la fórmula de recurrencia? 01. Sea la progresión geométrica: 8,,, 1, 0 Cuál es la razón? Calcula la fórmula recurrente la fórmula del término general. Razona cuál será la suma de todos sus términos. 0. Sea la progresión geométrica: 7, 9,, 1, 1/, 1/9 Cuál es la razón? Calcula la fórmula recurrente la fórmula del término general. Razona cuál será la suma de todos sus términos. 0. Sea la progresión geométrica: 1,,, 1, 0 0 Cuál es la razón? Calcula la fórmula recurrente la fórmula del término general. Razona cuál será la suma de todos sus términos. 0. Halla el término general, la fórmula de recurrencia los siguientes cinco elementos de la sucesión: 1, 0,, 0,, 0, Suma los 70 primeros términos. Nota: desdobla esta sucesión en dos sucesiones. 0. Halla el término general, la fórmula de recurrencia los siguientes tres elementos de la sucesión: 1,,,,, 6, 7 Suma los cien primeros términos. Nota: desdobla esta sucesión en dos sucesiones. PROBLEMAS 06. Una progresión aritmética de a1= d=6 tiene por suma.700, cuántos términos se están sumando? 07. De qué tipo es la sucesión que tiene fórmula de recurrencia an = + an 1, con a1 = 1? Cuál es la fórmula para el término general? Calcula la suma de los 100 primeros términos. Cuántos términos se habrán sumado si se ha conseguido 8.80? 08. Marta gana un concurso con el siguiente premio aplazado: cinco céntimos el primer mes, diez céntimos el segundo mes, veinte céntimos el tercer mes, cuarenta céntimos el cuarto mes así durante doce meses. A cuánto asciende en realidad el premio? 09. Halla una progresión geométrica de la que sabemos a= que a+a= Halla una progresión geométrica de la que sabemos a= que a a= Este primer año de actividad, la diseñadora Sol Portero ha obtenido unos beneficios de 0 mil euros. Suponiendo que cada año sus beneficios aumentarán un 10% respecto el año anterior, cuántos beneficios le reportará su séptimo año de actividad? Qué fortuna habrá amasado al cabo de veinte años? 0. La bacteria de la salmonela es un organismo unicelular que se divide (en condiciones adecuadas de temperatura humedad) por fisión binaria (mitosis) cada media hora. Esto significa que, llegado el momento, cada individuo se convierte en dos ejemplares eactamente iguales. Imagina que ingieres una tortilla española colonizada por una sola bacteria de salmonela ho a las 1:00. Cuántas bacterias nuevas nacerán a las 19:00? A qué hora tu organismo sobrepasará el millón de salmonelas. Nota1: se supone que las condiciones ho son ideales para la reproducción de la salmonela que tú no haces nada para impedirlo. Nota: si quieres saber más sobre la salmonela, consulta en la web la pregunta matemática: qué matemáticas tienen en común los champiñones, la salmonela los fósiles? 0. Este año se han etraído del lecho de un río 1.000m de gravas, cada año, se prevé etraer un 10% más que el año anterior. Sabiendo que el volumen aproimado de gravas localizado en el río 107

108 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 01. es de 7.000m, a ese ritmo de etracción, al cabo de cuántos años se agotarán las gravas? 0. Star Wars (La Guerra De Las Galaias). Según la medición que hizo Obi Wan Kenobi, Anakin Skwalker tenía midiclorianos por célula, lo cual representaba una cantidad maor que el recuento del Maestro Yoda. Teniendo en cuenta que los midiclorianos se desintegran una vez muerto el jedi sabiendo que cada día lo hacen cinco midiclorianos, en qué año murió Darth Vader si su cadáver ho demuestra tener midiclorianos por célula? De qué tipo es la sucesión? Da la fórmula para el término general. Spoiler: Darth Vader es Anakin de adulto. 0. Este año se han etraído de una cantera.000m de rocas, cada año, se prevé etraer un 0% más que el año anterior. Sabiendo que el volumen aproimado de rocas localizado en la cantera es de 1.000m, a ese ritmo de etracción, al cabo de cuántos años se agotará la cantera? 06. Este año se ha registrado una subida del nivel del mar de mm. Suponiendo que, por el cambio climático, cada año el nivel del mar aumentará un % respecto el año anterior, cuántos años tardará en anegarse una región que inicialmente se encontraba a medio metro por encima del nivel del mar? Nota: necesitarás tantear. 07. Dejamos caer un balón desde 7m de altura. Si sabemos que en cada bote alcanzará / de la altura anterior, qué altura subirá después del tercer bote (aúdate de un dibujo)? Qué distancia recorre entre subidas bajadas en los cinco primeros botes (aúdate de un dibujo)? Qué distancia total recorrería si botase indefinidamente? 08. Cuántos triángulos ha en la octava iteración del triángulo de Sierpinski? Si el triángulo equilátero inicial tuviese un área de 1m, calcula la sucesión de áreas sombreadas de las ocho primeras iteraciones. 09. Si el lado del triángulo equilátero inicial del copo de nieve de Koch midiese m, cuánto mediría la línea que bordea el copo en la quinta iteración? Refleiona sobre lo que mediría el perímetro del copo de nieve después de un número mu grande de iteraciones. Nota: el crecimiento fractal de la Naturaleza consigue encerrar un espacio limitado por superficies casi ilimitadas (tal es así el caso de las vellosidades intestinales, las fibras nerviosas del corazón, las líneas de costas ) En Navahermosa ha un barbero llamado Javier que es un ecelente profesional por el día un simpático mago por las noches. La especialidad de Javier es hacer reír a sus amigos multiplicando las monedas que tienen en los bolsillos, pues triplica la cantidad que cada uno tiene. Esto es: si tienes una moneda en el bolsillo, mágicamente encontrarás tres; si tienes dos monedas, encontrarás seis; si tienes tres monedas, encontrarás nueve Su amigo Iván empezó con monedas ho a tiene más de cien mil!! Cuántas noches ha alternado Iván con Javier? Cuántas monedas se encontró Iván en el bolsillo la última noche que alternó con Javier? Nota: necesitarás tantear Cuántos cuadrados ha en la séptima iteración de este fractal? Si el lado del cuadrado inicial midiese dm, calcula la sucesión de áreas sombreadas de las siete primeras iteraciones. Fracción generatriz 108

109 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde Haz la suma de los términos de la progresión adecuada para hallar la fracción generatriz del número decimal 0,. 06. Haz la suma de los términos de la progresión adecuada para hallar la fracción generatriz del número decimal 1,. 06. Haz la suma de los términos de la progresión adecuada para hallar la fracción generatriz del número decimal, Haz la suma de los términos de la progresión adecuada para hallar la fracción generatriz del número decimal 1, Haz la suma de los términos de la progresión adecuada para hallar la fracción generatriz del número decimal 0, Haz la suma de los términos de la progresión adecuada para hallar la fracción generatriz del número decimal, Haz la suma de los términos de la progresión adecuada para hallar la fracción generatriz del número decimal 0, Haz la suma de los términos de la progresión adecuada para hallar la fracción generatriz del número decimal 1, Haz la suma de los términos de la progresión adecuada para hallar la fracción generatriz del número decimal 8,971. Matemática financiera (interés compuesto) RECUERDA Ejemplo para un aumento porcentual: 100%+6%=106% => índice de variación=1, Resuelto en outube. Si metes.000 en una cuenta de ahorro que te da un % de interés anual, cuánto dinero sacas del banco al final de ese año? Ahora haz la progresión adecuada para resolver el siguiente supuesto: si dejas el dinero en el banco un total de años el banco te paga los intereses anualmente, cuánto dinero sacas del banco al final del cuarto año? 07. Si metes en un fondo de inversión que te da un 9% de interés anual durante cuatro años el banco te paga los intereses anualmente, cuánto dinero sacas del banco al final del quinto año? Da la progresión adecuada para resolver este problema. 07. Si metes en un plan de pensiones que te da un 6% de interés anual durante veinte años el banco te paga los intereses anualmente, cuánto dinero sacas del banco al final del periodo contratado? Cuánto dinero tendrás al final del décimo año? 07. Si metes en una cuenta de ahorro que te da un,% de interés anual durante quince años el banco te paga los intereses anualmente, cuánto dinero sacas del banco al final del quince año? Cuánto dinero tendrás al final del décimo año? MATEMÁTICA FINANCIERA INTERÉS SIMPLE 109

110 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 01. INTERÉS COMPUESTO 07. Resuelto en outube. Ana coloca 0 en un producto financiero que le va a dar el 1,7% de interés anual en un solo abono de intereses si deja el dinero durante los próimos años. Cuánto dinero recogerá pasado ese tiempo? Cuánto tiempo tendrá que dejar el dinero para llegar a recoger 76, de intereses? 076. Guillermo invierte.070 en unos bonos que rentan el,% de interés anual durante 8 años (con un solo abono de intereses al final del plazo). Cuánto dinero recogerá pasado ese tiempo? Cuánto tiempo necesita dejar el dinero si su objetivo se limita a recoger 8, de intereses? 077. Nuria firma un plan de pensiones por valor de a un ventajoso 8% de interés anual con la condición de mantener el dinero en la entidad los próimos 1 años. Finalizado ese tiempo, Nuria percibirá el abono de intereses en un solo pago. Cuánto dinero recogerá pasados los 1 años? Qué interés tendría que pagarle el banco para llegar a sacar al final? 078. Sofía invierte.00 en una cuenta de ahorro que le renta el,% de interés anual durante los próimos seis años (con un solo abono de intereses al final del plazo). Cuánto dinero recogerá pasado ese tiempo? Qué interés tendría que pagarle el banco para llegar a sacar 6.80 al final? Capitalización I (aportación inicial única abono periódico de intereses) 079. Resuelto en outube. A Esther le han tocado en la lotería de Navidad, en lugar de gastárselo, decide meterlo en el banco. Cuánto dinero recogerá tres años más tarde si la entidad le abona el 7,% de interés anual en pago anual de intereses? Cuánto capital tendría si durante esos tres años el pago de intereses se hubiese efectuado trimestralmente? Y si se hubiese efectuado mensualmente? 080. Paola mete a plazo fijo que acaba de heredar de su madrina recientemente fallecida. Qué capital tendrá transcurridos 110

111 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 01. cinco años si ha firmado al,8% de interés anual en pago anual de intereses? Cuánto recogería si durante esos años el pago de intereses se efectuara trimestralmente? Y si se efectuara mensualmente? 081. Por el buen trabajo hecho, la empresa de Andrea le otorga una paga de beneficio de que ella prefiere ahorrar dos años para pagar un crucero alrededor del mundo. Cuánto podrá gastarse en el crucero si mete el dinero a un,6% de interés anual el banco le abona los intereses anualmente? Cuánto capital tendrá si durante esos dos años el pago de intereses se hace trimestralmente? Y si se hace mensualmente? 08. Alfonso María quieren vender su piso con el propósito de invertir el dinero en una casa más grande. Mientras encuentran la vivienda de sus sueños, piensan meter los que saquen de la venta del piso en una cuenta de ahorro de un banco que les ofrece el 6% de interés anual. Sin embargo, tienen que decidir cómo desean el pago de intereses: anual, trimestral o mensual. Qué es lo más beneficioso? Cuánto capital obtendrían en cada una de estas modalidades después de cuatro años? Qué cambios habría que hacer en las fórmulas si el pago de intereses fuese semestral? 08. Antonio ganó los del primer premio de un concurso de pianistas, aunque sus amigos le aconsejaron invertir el dinero en una galería de coleccionistas de sellos que le garantizaba el 1,% de interés anual (mu por encima del mercado), él decidió comprarse un piano nuevo. Escribe la sucesión de capitales anuales que hubiese conseguido en los cuatro primeros años. Crees que esta inversión es segura? 08. A cuánto ascendería un capital de colocado al 6% de interés anual durante 1 años si el banco abona los intereses trimestralmente? 08. Si Sergio mete.000 en el banco a un % de interés anual con pago mensual de intereses, Cuánto dinero tiene al cabo de medio año? Escribe la sucesión de capitales mensuales que consigue Cuánto dinero metió Iván en un cuenta de ahorro al,6% de interés anual si al cabo de años tiene acumulados.008,7 sabe que el pago de intereses se hace mensualmente? Cuántos intereses ha ganado con esta operación hasta ahora? Los siguientes ejercicios necesitan tanteo o el uso de logaritmos = => = 087. Cuántos años habrán de pasar para que un capital de alcance los si se encuentra en un plazo fijo del % anual (con pago de intereses anual)? 088. Cuántos años necesita un capital de 00 para convertirse en si se ingresa en una cuenta ahorro al % anual (con pago trimestral de intereses)? 089. Cuántos años habrán de pasar para que un capital de.00 supere los.000 si está colocado en el banco a un,% anual (con pago de intereses mensual)? 090. Ruth tiene invertidos en un depósito al 8,% de interés anual con pago trimestral de intereses por parte de la entidad. Cuántos años habrán de pasar para que sus ahorros superen la barrera de los ? 091. Si metes en un banco 1 años después recoges 17.19,77, a qué interés anual lo has tenido si sabes que te han hecho un pago mensual de intereses? 111

112 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde 01. Capitalización II (aportación periódica de capital abono periódico de intereses) 09. Raúl percibe cada año una beca de que ingresa en el banco a un 7% de interés anual. Cuánto dinero recogerá al cabo de 8 años si la entidad le paga los intereses anualmente? 09. Marisa reserva en una caja secreta de su apartamento 7 cada trimestre para conseguir comprar algún día un coche nuevo. Si el coche que quiere cuesta 1.00, cuántos años tardará en poder afrontarlo? Cuánto capital conseguiría si metiese el dinero en un plazo al 8,% durante esos años en lugar de dejarlo en la caja secreta? Nota: tomar el abono de intereses como trimestral. 09. Ale ahorra 900 cada año en una cuenta al % de interés anual. Escribe la sucesión de capitales anuales que consigue en los cinco primeros años. Cuánto habrá acumulado pasados catorce años? 09. Soledad ingresa cada mes 100 en su plan de pensiones al 1,% de interés anual (con pago mensual de intereses). Escribe la sucesión de capitales mensuales que genera la operación a lo largo del primer semestre. Cuánto habrá acumulado pasados once años? 096. La empresa Dulces artesanos de Esther invierte una parte de sus beneficios anuales en un producto financiero al % de interés anual con pago anual de intereses. Si lo lleva haciendo 10 años a razón de anuales, qué capital tendrá acumulado actualmente en ese producto financiero? 097. La empresa familiar de Javier tiene la costumbre de guardar en una cuenta reservada los.000 que les devuelve Hacienda del IVA declarado trimestralmente. Escribe la sucesión de capitales trimestrales que se obtienen en los dos primeros años. Cuánto habrá acumulado pasados cinco años? 098. Cuánto dinero mete Carmen trimestralmente en un cuenta de ahorro al % de interés anual si al cabo de siete años tiene acumulados 6.90,08 sabe que el pago de intereses se hace trimestralmente? Cuántos intereses ha ganado con esta operación hasta ahora? 099. Adela tiene un plan de pensiones que funciona de la siguiente manera: ella ingresa semestralmente 00 el banco le abona semestralmente los intereses correspondientes. Cuánto dinero recogerá pasados los 0 años que le quedan para jubilarse? Nota: el tipo del plan contratado es del,% de interés anual. Los siguientes ejercicios necesitan tanteo o el uso de logaritmos = => = ( ) Merche ahorra cada año 0 que mete en una cuenta al,% anual. Cuántos años habrán de pasar hasta tener.000? Nota: tomar el pago de intereses anual. 11

113 Estenmáticas: estandarización de la enseñanza de las matemáticas. Guadalupe Castellano. Desde Cuántos años necesita una aportación mensual de 0 para convertirse en si se ingresa al,6% anual (con pago mensual de intereses)? 10. Sergio mete 17 cada tres meses en un producto financiero que le da el % anual (con pago de intereses trimestral). En cuánto tiempo conseguirá Sergio superar los.000? 10. Ernesto cobra mensuales, aunque solo se gasta 00 porque vive con sus padres. Si el resto lo mete en una cuenta al,% de interés anual, cuánto habrá ahorrado en los próimos seis años si el banco le paga los intereses mensualmente? Cuántos años lleva ahorrando a si ha alcanzado 8.7,71? Amortizaciones 10. Rocío ha firmado un préstamo personal para comprarse un coche. Si lo va a devolver en un único pago dentro de 10 meses el banco le va a cobrar un 6% de interés mensual, Cuánto tendrá que pagar si cada mes se va incrementando la deuda? 10. Ale ha pedido al banco un préstamo de al 7,% de interés anual que tiene que devolver en 9 años pagando plazos mensuales, cuál será la letra del préstamo? 106. Calcula la letra mensual de un préstamo hipotecario correspondiente a una deuda de.000, si el interés es del 6% anual la vida de la hipoteca se alarga por 10 años. Cuántos intereses se pagarán al final del préstamo por la deuda inicial? 107. Calcula la letra mensual de un préstamo hipotecario correspondiente a una deuda de 8.000, si el interés es del 7,% anual la vida de la hipoteca se alarga por 1 años. Cuántos intereses se pagarán al final del préstamo por la deuda inicial? 108. Calcula la letra mensual de un préstamo hipotecario correspondiente a una deuda de 0.000, si el interés es del,6% anual la vida de la hipoteca se alarga por años. Cuántos intereses se pagarán al final del préstamo por la deuda inicial? 109. María Luisa ha firmado con su entidad financiera una hipoteca de al,% de interés anual. Si la vida de la hipoteca se alargará por años va a devolverla en cuotas anuales, cuál será la letra a pagar? Transcurridos los veintidós años, cuántos intereses en total habrá pagado María Luisa por la deuda inicial contraída? Los siguientes ejercicios necesitan tanteo o el uso de logaritmos ( ) = => = ( ) 110. Por cuántos años se alargará un préstamo hipotecario correspondiente a una deuda de 1.000, si el interés es del % anual se quiere pagar una letra anual de 800. Cuántos intereses se pagarán al final del préstamo por la deuda inicial? TAEs 111. Al comienzo de cada trimestre Andrés deposita 00 en un depósito al,% anual. De qué tipo de capitalización se trata? Cuánto dinero recogerá transcurridos 7 años? Cuál es la TAE? 11. Cuánto tiempo tendrá que estar un capital de.000 colocado al 7,% anual para convertirse en.100,0 en pago mensual de intereses? Cuánto dinero en forma de intereses he ganado en la operación? Cuál es la TAE? 11