Que é o Cálculo? O Cálculo é a matemática dos cambios, velocidades e aceleracións. Cálculo Dinámico tasa de variación instantánea en t=c

Transcripción

1 Que é o Cálculo? O Cálculo é a matemática dos cambios, velocidades e aceleracións. Estúdianse as rectas tanxentes, pendentes, áreas, volúmenes, lonxitudes de arco,... e unha grande variedade de conceptos para crear modelos para as situacións da vida real. Matemáticas previas ao Cálculo Estáticas tasa de variación media t=a t=b Cálculo Dinámico tasa de variación instantánea en t=c Describe un obxecto que se move con velocidade constante Describe a velocidade dun obxecto que se move aceleradamente Dx Dy Describe a pendente dunha recta dx dy Describe a pendente dunha curva Describe o área dun rectángulo Describe o área baixo unha curva

2 Derivadas A velocidade: Como cambia a posición co tempo A potencia: Cómo cambia a enerxía co tempo A forza: Cómo cambia a enerxía potencial coa posición La inflación: Como cambian os prezos co tempo El cáncer: Cómo crecen os tumores co tempo Ecoloxía: Cómo evoluciona un ecosistema co tempo

3 Un coche sae dunha poboación e aumente progresivamente a súa velocidade A gráfica mostra o espacio percorrido polo automóbil nos dez primeiros minutos O espacio que recorre ven dado 1 2 pola ecuación: e t 10 onde e e o espacio percorrido no tempo t. a) Calcula a velocidade media en estes dez minutos V [0, 10] = b) Calcula a velicidade media nos seguintes intervalos: [0, 3], [0,5], [0, 8], [2, 4], [7, 9], [8, 10]

4 VARIACIÓN DUNHA FUNCIÓN NUN INTERVALO En cambio, o seu crecemento medio é moi distinto: Taxa de variación media Chámase taxa de variación media ( T.V.M.) dunha función, y = f (x), nun intervalo [a, b] o cociente: A T.V.M. de f (x) en [a, b] é a pendente do segmento que une os puntos A (a, f (a)) e B (b, f (b)):

5 Tasa de variación media dunha función 4ºESO Para unha función f(x) defínese a tasa de variación media de f mediante o cociente: T m f[a, b] = f(b) f(a) b a nun intervalo [a, b], La tasa de variación media nun intervalo [a, b], e o cociente entre a variación da función e a loxitude do intervalo.

6 Tasa de variación media dunha función Con frecuencia, o intervalo desígnase mediante a expresión [a, a + h], co que se nomea, así, a un extremo do intervalo, a, e a súa lonxitude, h. Si b a = h o calcular a tasa de variación media no intervalo de lonxitude h utilizaremos esta otra notación Y f(a + h) f(a + h) f(a) TVM [a,a+h] = f (a h) f (a) h f(a) a a + h X Tasa de variación Media no intervalo [a,a+h] Outra notación: y x y h

7 Se unha función é crecente en [a, b], a súa taxa de variación media é positiva; e se é decrecente, negativa.

8

9 Volvemos o problema de introdución. Lembra que a función que da o espazo recorrido en función do tempo era : 1 2 e t 10 O dono do coche recibiu unha multa por exceso de velocidade xusto cando pasaban oito minutos desde que saira da poboación. A multa foi por pasar unha limitación de 60 km/h. Vamos a facer unha estimación da velocidade os 8 minutos calculando a velocidade media en intervalos de tempo próximos a ese tempo: Calcula: V [8,9] = V [8, 8.1] = V [8, 8.01] = V [8, 8.001] = V [7, 8] = V [7.9, 8] = V [7.99, 8] = V [7.999, 8] = Que velocidade podemos conxeturar que levaba o coche os 8 min de sair da poboación?

10 Podemos definir a velocidade instantánea ( v 8 ) os 8 min de recorrido como o límite das velocidades medias nos intervalos de tempo [8, b] cando b se aproxima a 8 Se a velocidade media no int ervalo 8,b é: v [8,b] e(b) e(8) b 8 A velocidade ins tan tánea os 8minutos será : Ou ben, chamando h b 8 v v8 lim b 8 b 8 8 e(b) e(8) e(8 h) e(8) lim h 0 h 1 2 Calcula, aplicando as dúas fórmulas anteriores, V 8 lembrando que e(t) t 10

11 Intervalos encaixados [ [ [ [ ] ] ] ] 1 1,4 1,41 1,414 1,415 1,42 1,5 2 2 A sucesión de intervalos encaixados determina un único número real

12 Interpretación xeométrica da tasa de variación media Y Q f(a + h) f(a + h) - f(a) P f(a) a h a + h X A pendente da recta secante á curva, por P e Q é: m s = tg = f a h f a h = TVM [a,a+h]

13 A recta tanxente como límite de rectas secantes y f ( x 0 h) f ( x 0 ) x 0 h x h 0 x 13

14 y f ( x 0 h) f ( x 0 ) x 0 h x h 0 x 14

15 y f ( x 0 h) f ( x 0 ) x 0 h x h 0 x 15

16 y f ( x 0 h) f ( x 0 ) x 0 h x h 0 x 16

17 y f ( x 0 h) f ( x 0 ) x 0 h x h 0 x 17

18 y f ( x 0 h) f ( x 0 ) x 0 h x h 0 x 18

19 y f ( x 0 h) f ( x 0 ) x 0 h x h 0 x 19

20 y f ( x 0 h) f ( x 0 ) x 0 h x h 0 x 20

21 y f ( x 0 h) f ( x 0 ) x 0 h x h 0 x 21

22 y f ( x 0 h) f ( x 0 ) x 0 h x h 0 x 22

23 y f ( x 0 h) f ( x 0 ) x 0 h x h 0 x 23

24 y f ( x 0 h) f ( x 0 ) x 0 h x h 0 x 24

25 y f ( x 0 h) f ( x 0 ) x 0 h x h 0 x 25

26 y f ( x 0 h) f ( x 0 ) x 0 h x h 0 x 26

27 y f ( x 0 h) f ( x 0 ) x 0 h x h 0 x 27

28 y f ( x 0 h) f ( x 0 ) x 0 h x h 0 x 28

29 y f ( x 0 h) f ( x 0 ) x 0 x h 0 h x 29

30 y f ( x 0 h) f ( x 0 ) x 0 x h 0 h x 30

31 y f ( x 0 f ( x h) 0 ) x 0 x h 0 h x 31

32 y f ( x f 0 ( x h) 0 ) x 0 x0 h h x 32

33 y f ( x f ( x h ) 0 0 ) x 0 0 h x h x 33

34 y f ( x 0 f ( xh 0 )) x 0 h x h x 34

35 y f ( x 0 f ( xh 0 )) x 0 0 h x h x 35

36 y Tanxente!!! f ( x 0 f ( xh 0 ) x 0 x h 0 x 36

37 A recta tanxente como límite de rectas secantes C X Q 1 Q 2 Q 3... Q n... P s 1s2 s 3 s n t Y A recta tanxente a unha curva C nun punto P é a recta que pasa por P e é a posición límite das rectas secantes que pasan por P e Q cando Q é calquera punto de C que tende a P ó largo da curva

38 Calculamos a pendente da recta secante PQ coas coordenadas dos dous puntos P e Q. Lembra m = f ( x1) - f ( x0) x - x 1 0 Q(a+h,f(a+h)) P(a,f(a)) h f(a+h)-f(a) m = f ( a + h) - f ( a) h a a+h

39 Si h é moi pequeno, a+h está moi cerca de a. De esta forma: Q P h 0 a a+h

40 Se h 0 daquela Q está moi próximo a P A secante PQ casi se confunde coa tanxente t A pendente da secante QP é casi a pendente de t Agora ben, o valor de h non pode ser 0, anque sí todo o pequeno que se queira. E aquí intervén o concepto de límite. Q P h 0 a a+h

41 Q está moi próximo a P A secante QP case se confunde coa tanxente t A pendente da secante QP é case a pendente de t lim(pendentes das secantes)= pendente da tanxente h 0 lim h 0 f ( a + h) - f ( a) h = m t Q P a a+h

42 Definición de incremento: Incremento é a diferencia entre pares de Variábeis correspondentes. Na figura do lado, temos: x = x 1 x 0 ; y = y 1 y 0 ou y = f(x 1 ) f(x 0 ), ou aínda: y = f(x 0 + x) f(x 0 ) x incremento de x y incremento de y

43 Tasa de variación media dunha función Para unha función f(x) defínese a tasa de variación media de f nun intervalo [a, b], contido no dominio f(x), mediante o cociente: A tasa de variación media é unha medida da variación que experimenta unha función, nun intervalo, por unidad de variable independiente Y f(b) Y f(b) f(a) > 0 f(a) T m f[a, b] > 0 f(a) f(b) f(b) f(a) < 0 a b X a b X T m f[a, b] < 0

44 Tasa de variación media dunha función Si b a = h o calcular a tasa de variación media no intervalo de lonxitude h utilizaremos esta otra notación Y f(a + h) f(a + h) f(a) TVM [a,a+h] = f(a h) f(a) h f(a) a a + h X Tasa de variación Media no intervalo [a,a+h] Outra notación: y x y h

45 Interpretación xeométrica da tasa de variación media Y Q f(a + h) f(a + h) - f(a) P f(a) a h a + h X A pendente da recta secante á curva, por P e Q é: m s = tg = f a h f a h = TVM [a,a+h]

46 Tasa de variación instantanea nun punto. Concepto de número derivada O calcular a taxa de variación media en intervalos de lonxitude cada vez máis pequena, con extremo nun punto a, intentamos obter unha medida do rápido que varía a función en a. Desta forma obteremos o número derivada ou tasa instantánea da función f en x=a como o límite o que tende a TVM (a,b) cando b a f ( a ) lim b a f ( b ) f ( a ) b a

47 Tasa de variación instantánea nun punto. Concepto de número derivada Se facemos b a = h, outra forma de escribir a Tasa de variación instántanea nun punto x = a é: Y f(a + h) f(a) f ( a ) lim f(a + h) f(a) h 0 f ( a h ) f ( a ) h a a + h X Derivada de f no punto de abcisa a: o límite ten que existir e ser finito

48 Interpretación xeométrica da derivada O facer que h 0, ocorrerá que p + h tende (acércase) a p Q recorre a curva acercándose a P A recta secante á curva se converte na recta tanxente A inclinación da recta secante tende á inclinación da recta tanxente f ( p h) f ( p) mt lim f ( p) h 0 h Se a función f ten derivada no punto p, a pendente da recta tanxente á gráfica da función f neste punto é a derivada de f en p

49 Ecuación da recta tanxente Ecuación da recta que pasa por un punto A(a, b) e de pendiente m: y b = m (x a) Entón: f(a) t t Pendente da tanxente: m t = f '(a) Ecuación da recta tanxente: t a y f(a) = f '(a) (x a)

50 Observa que, agora, se lle damos a h os valores 1, 2, 3 e 4, respectivamente, intervalos do exercicio anterior. btemos as T.V.M. obtidas nos catro

51

52

53 (calculámola no último exercicio )

54

55

56

57 4. Determina a derivada de f(x) = x 2 2x nos puntos de abscisas 2, 1, 0, 1, 2, 3 e 4. Vamos a calcular a a derivada dun punto xenérico x = a f ( a h) f ( a) f ( a) lim h 0 h f(a +h)= (a+h) 2 2(a+h) = a 2 +2ah + h 2-2a 2h f(x) = x 2 2x f(a)= a 2-2a f ( a) lim h a 2ah h 2a 2h a 2a h 2 2ah h 2 h h(2a h 2) lim lim lim(2a h 2) 2a 2 h 0 h h 0 h h 0 f(-2)= -6 f(-1)= -4 f(0)=-2 f(1)= 0 f(2)=2 f(3)= 4 f(4)=6

58 Función derivada de outra Chámase función derivada dunha función f(x) á función f '(x) que asocia a cada x do dominio de f(x) a derivada de f(x) en x, sempre que exista. Derivada de f(x) = x 2 no punto 3: f '(3) = f(3 + h) f(3) lim h h 0 = lim (3 + h)2 3 2 h h 0 = h (h + 6) lim = 6 h h 0 Derivada de f(x) = x 2 no punto 2: f '(2) = f(2 + h) f(2) lim = lim (2 + h)2 2 2 h (h + 4) = lim h h h h 0 h 0 h 0 = 4 Para obter a derivada no punto x f '(x) = f(x + h) f(x) lim = lim (x + h)2 x 2 h (h + 2x) = lim = 2x h h h h 0 h 0 h 0 Dícese que a función derivada (o simplemente a derivada) de y = x 2 é f '(x) = 2x

59 Función derivada doutra Probar que a función derivada de f (x) = x 2 2x é f ' (x) = 2x 2. Para probalo, imos obter a derivada de f (x) = x 2 2x nun punto calquera, x, paso a paso, como o fixemos no exercicio anterior: lim h 0 f ( x h) f ( x) h f (x + h) = (x + h) 2 2 (x + h) = x 2 + 2xh + h 2 2x 2h f (x + h) f (x) = (x 2 + 2xh + h 2 2x 2h) (x 2 2x) = 2xh + h 2 2h lim 2 f ( x h) f ( x) 2xh h 2h h lim h 0 h 0 h h(2x h 2) lim lim(2x h 2) 2x 2 h 0 h h 0 Chámase función derivada de f (ou simplemente derivada de f ) unha función f ' que asocia a cada abscisa, x, a derivada de f nese punto, f ' (x), x f (x) A derivada de f chamarémoslle f ' ou ben Df. f ( x h) f ( x) Df ( x) f ( x) lim h 0 h

60 A derivada. Diversas formas de escribila df dx x df x Df f x dx f ( x ) lim x 0 y x f ( x ) h 0 y lim h df f x f x x lim dx x x x x df dx x lim h 0 f x h f x h df dx x lim x 0 f x x f x x

61

62 REGRAS PARA OBTER AS DERIVADAS DALGUNHAS FUNCIÓNS Na páxina anterior calculamos a derivada dalgunhas funcións aplicando a definición de derivada. O proceso é longo e pesado. Con todo, existen unhas sinxelas regras prácticas coas que se pode determinar, moi facilmente, a derivada de calquera función elemental. Todas as regras que imos dar pódense demostrar, pero iso deixarémolo para o próximo curso. Agora, limitarémonos a dar as regras e a entender como se poñen en práctica. Ejemplos: f(x) K f'(x) 0

63 (Derivada de la función identidad) f(x) x f'(x) 1 f(x) x n f'(x) n x n 1 Máis exemplos:

64 Derivada de una constante por una función k f(x) f(x) K g(x) f'(x) K g'(x) Exemplos:

65 Derivada da suma de funcións, f (x) + g (x) f(x) g(x) h(x) f'(x) g'(x) h'(x) Por exemplo:

66 f(x) sen( x ) f'(x) cos( x) f(x) cos( x ) f'(x) sen( x) 1 cos (x) 2 f(x) tg(x) f'(x) 1 tan x 2 x f(x) e f'(x) e x x f(x) a f'(x) a lna x f(x) Ln( x ) f'(x) 1 x f(x) log ( x ) f'(x) a 1 lna x

67 f(x) g(x) h(x) f'(x) g'(x) h(x) g(x) h'(x) f(x) g(x) h(x) f'(x) g'(x) h(x) g(x) h'(x) 2 h(x)

68

69

70 Composición de funcións x f f(x) g g (f (x)) f g x f(x) g(f(x)) f composto con g (gof)(x)=g(f(x))

71 Función composta A función h 1 (x) = sen 2x é a composición de dúas funcións: g(x) = 2x = t f(t) = sen t R g R x 2x = t sen t = sen 2x x sen 2x h 1 (x) = f(g(x)) = f(2x) = sen 2x f R Entrada x g(x) = 2x Saída 2x h 2 (x) = f(g(x)) Entrada t= 2x f(t) = sen t Saída sen t = sen 2x g composto con f f o g(x) = f(g(x)) = sen 2x

72 Composición de de f y g g f x g f x

73

74

75 REGRA DA CADENA f(x) g(h(x)) f'(x) g'(h(x)) h'(x) Exemplos:

76 CALCULAR:

77 CALCULAR

78

79

80 Aplicacións da derivada Pendente da recta tanxente á gráfica dunha función nun punto Estudio da monotonía dunha función (crecemento/decrecemento) Optimización (Máximos e mínimos locais) Concavidade e puntos de inflexión dunha función Interpretación física: Velocidade e aceleración

81 Ecuación da recta tanxente Ecuación da recta que pasa por un punto A(a, b) e de pendiente m: y b = m (x a) Entón: f(a) t t Pendente da tanxente: m t = f '(a) Ecuación da recta tanxente: t a y f(a) = f '(a) (x a)

82 A aplicación inmediata da interpretación xeométrica é que as rectas tanxente a unha curva y = f(x) no punto P(a, f(a)) na súa forma punto-pendente é: Exemplo y f(a) = f '(a)(x a) Atopa a recta tanxente á curva f(x) = x 2 6x + 11 para x = 4. a) Calcúlase o punto P(a, f(a)): Se x = 4 f(4) = = = = 3 P(4, 3) b) A derivada para x = 4 é: f (x)= 2x 6 f (4) = = 2 c) A recta tanxente é: y f(a) = f '(a)(x a) A pendente da recta tanxente é: m = f'(4) = 2 y 3 = 2(x 4) y 3 = 2x 8 y = 2x 5

83

84 Estudio da monotonía dunha función (crecemento/decrecemento) Indica f ' nos puntos de abscisas 3, 0 e 4. Determina as pendentes das rectas tanxentes trazadas neses puntos.

85 Caracterización dos máximos e mínimos relativos pola 1ª derivada

86

87 Y Monotonía: crecimiento y decrecimiento en un intervalo Y f(x+h) f(x) f(x) f(x+h) [ a x h x+h ] b X [ a x h x+h ] b X Función creciente en [a, b] Función decreciente en [a, b] f(x) < f(x+h), (x, x+h) y h >0 f(x) < f(x+h), (x, x+h) y h >0

88 TVM [a,a+h] = f(a h) f(a) h A tasa de variación media é unha medida da variación que experimenta unha función, nun intervalo, por unidad de variable independiente Y f(a+h) Y f(a+h) f(a) > 0 f(a) T m f[a, a+h] > 0 f(a) f(a+h) f(a+h) f(a) < 0 a a+h X a a+h X T m f[a, a+h] < 0

89 Derivada nun punto máximo ou mínimo Sexa f(x) unha función definida no intervalo (a, b). Si a función alcanza un máximo ou mínimo nun punto c (a, b) e é derivable nel, entón f '(c) = 0 f '(c) = 0 f '(c) = 0 f '(c) = 0 Si a función é constante entonces f '(c) = 0 Si A é máximo, a tanxente en x = c é horizontal. A súa pendente é 0 Si A é mínimo, a tanxente en x = c é horizontal. Súa pendente é 0

90 Derivadas e monotonía I

91 Derivadas e monotonía II Y Y a a [ a x ] b X [ a x ] b X Función crecente en [a, b] f '(x) = tg a > 0 x [a, b] Función decrecente en [a, b] f '(x) = tg a < 0 x [a, b]

92 Signo de f '(x): monotonía Sexa f(x) unha función derivable en (a,b), entón: 1. si f '(x) é positiva en (a,b), f(x) é crecente. 2. si f '(x) é negativa en (a,b), f(x) é decrecente. 3. si f '(x) é nula en (a,b), f(x) é constante ou ten un punto singular. f '(x) = tg a > 0 función crecente f '(x) = tg a < 0 función decrecente

93 Discriminación de máximos e mínimos relativos Si unha función ten en a un máximo ou mínimo relativo e en ese punto é derivable entón f '(a) = 0. Si en un punto é f '(a) = 0. Cómo se discrimina si é máximo ou mínimo? f ' (b) = 0 máximo relativo de coordenadas (b, f(b)) f ' < 0 f ' < 0 f ' > 0 b mínimo relativo de coordenadas (a, f(a)) f ' (a) = 0

94 Segunda derivada e extremos relativos Si unha función ten en a un máximo ou mínimo relativo e en ese punto é derivable entón f '(a) = 0. Si en un punto é f '(a) = 0. Cómo se discrimina si é máximo ou mínimo? f " (b) < 0 f ' (b) = 0 máximo f " > 0 a b f " < 0 mínimo f ' (a) = 0 f " (a) > 0 Si Si unha función f ten su súa derivada primeira nula nula nun nun punto, de de abscisa a, a, e e a súa a súa derivada segunda nese nese punto punto é negativa, é positiva, entón a a función f f presenta un un máximo mínimo relativo no punto (a, f (a)).

95 Cálculo dos intervalos de monotonía Para obter os intervalos de monotonía bastará calcular o signo da derivada no el dominio da función. 2x Intervalos de monotonía de y = 1 + x 2 y ' = 2(1 x)(1 + x) ; 2(1 x)(1 + x) (1 + x 2 ) 2 (1 + x 2 ) 2 = 0 x = 1 Sempre positivo y ' < 0 decrecente 1 1 y ' < 0 decrecente y ' > 0 crecente

96 Intervalos de crecemento e decrecemento. Máximos e mínimos O dominio de definición dunha función queda dividido en intervalos de monotonía polos puntos nos que a derivada primeira anulase ou non existe. Estudiase o signo de f (x) en cada un destes intervalos. Si f (x) > 0 a función é crecente nese intervalo e si f (x) < 0 a función é decrecente nese intervalo. Nos puntos nos que está definida a función e pasa de crecente a decrecente hai un máximo relativo e nos que pasa de decrecente a crecente hai un mínimo relativo.

97 Estudia onde é crecente ou decrecente a función f(x) = x 3-3x 2-9x + 5 Paso 1.- Derivamos a función Paso 2.- Facemos f (x) =0. (Igualamos a cero a derivada) Facemos un cadro para estudiar o signo de f (-, -1) (-1, 3) (3,+ ) f (x) f(x) 2 3x 6x 9 0 x 1 ; x 3 Paso f é crecente en (-, -1) e (3, + ) f é decrecente en ( -1, 3) No punto M( -1, 10 ) ten un MAXIMO No punto m (3, -22) ten un MÍNIMO

98 f(x) = x 3-3x 2-9x + 5

99 Estudiar o crecemento e decrecemento da función Dominio: Dom f = R { 1, 1} 1) Calculase f (x) f ( x) 2x 2 x 1 2 f(x) 1 2 x 1 2) Búscanse os valores de x para os que f (x) = 0 ou non exista f (x) ( x 2x 1) x = 0 A derivada anúlase para x = 0 e non existe f (x) en x = 1 e x = 1. 3) Divídese o dominio de definición da función en intervalos de extremos os puntos calculados no apartado anterior e estudiase o signo de f en cada un destes intervalos. Para iso facemos o cadro seguinte: x (, -1) (-1,0) (0,1) (1, + ) f f crecente crecente decrecente decrecente Máximo (0, 1) Crecente en (, 1) ( 1, 0), decrecente en (0, 1) (1, + ), Máximo (0, 1)

100 f(x) 1 2 x 1

101

102

103 Criterio de crecimiento y decrecimiento Sea f continua en [a,b] y derivable en (a,b) [Con a,b, reales, o - ] 1. f (x) 0, x (a,b) f es creciente en [a,b] 2. f (x) 0, x (a,b) f es decreciente en [a,b] 3. f (x) = 0, x (a,b) f es constante en [a,b] Hallar los intervalos abiertos en los que f es creciente o decreciente f ( x) Nótese que f es continua en toda la recta real. Para hallar sus números críticos, 3( x)( x igualamos a cero su derivada x 0, 1 Intervalo Valor prueba Signo de f (x) Conclusión 3x 2 1) 0 f 3x ( x) x x 0 Hacer f =0 Factorizar Números críticos - x 0 0 x 1 1 x x=-1 x=1/2 x=2 f (-1)=6 0 f (1/2)=-3/4 0 f (2)=6 0 creciente decreciente creciente 17

104 Criterio de concavidad Sexa f unha función que teña segunda derivada nun intervalo aberto I. 1. Si f (x) 0 para todo x en I, a gráfica de f é convexa en I 2. Si f (x) 0 para todo x en I, a gráfica de f é cóncava en I Para aplicar este criterio: Localizar os valores da x nos que f (x)=0 Localizar os valores da x nos que f (x) non está definida Buscar o signo de f en cada un dos intervalos de proba 21

105 Puntos de inflexión P Q f f Unha función f ten un punto de inflexión nun punto cando nese punto a función pasa de cóncava a convexa, ou ben, de convexa a cóncava.

106 Aplicación del criterio de concavidad Hallar los intervalos abiertos para los que la gráfica es cóncava o convexa f ( x ) 6 2 x 3 1 f es contínua en toda la recta real. Hallamos f y f 12 f ( x) x x 2 x 3 1 f ( x) 0 3 x = 1 f 0 Convexa f 0 Cóncava f 0 Convexa Intervalo - x -1-1 x 1 1 x Valor prueba x=-2 x=0 x=2 Signo de f (x) f (-2) 0 f (0) 0 f (2) 0 Conclusión convexa cóncava convexa

107 Si una función es tal que x (a, b), f (x) > 0, entonces f es convexa en (a, b). Si una función es tal que x (a, b), f (x) < 0, entonces f es cóncava en (a, b). (-, 2) (2, + ) f - + f U

108 f Hallar los ptos. de inflexión y discutir la concavidad de f está definida y es continua en todos los reales Hallamos f y f 3 2 ( x ) 4 x 12x 2 f ( x ) 12x x 0 x = 0, x = 2 Posibles ptos. de inflexión f 4 3 ( x ) x 4 x Intervalo - x 0 0 x 2 2 x Valor prueba x=-1 x=1 x=3 Signo de f (x) f (-1) 0 f (1) 0 f (3) 0 Conclusión convexa cóncava convexa Convexa Convexa Cóncava

109 PUNTOS SINGULARES OU CRÍTICOS Os puntos de tanxente horizontal, é dicir, aqueles onde f' (x) = 0,chámanse puntos singulares ou puntos críticos.un punto singular pode ser un máximo ou mínimo relativo ou un punto de inflexión Puntos críticos: f '(a) = 0 Mínimo f "(a) > 0 Máximo f "(a) < 0 f <0 Q f <0 Q é un punto de inflexión Observa que unha función pode ser crecente nun punto e é cero a súa derivada nel. f' ten o mesmo signo a ambos os lados do punto

110 Regra para identificar extremos relativos ( resumo ) Derivada primeira Para saber se un punto singular é máximo relativo, mínimo relativo ou punto de inflexión, estudaremos o signo da derivada nas proximidades do punto, á súa esquerda e á súa dereita. MÁXIMO MÍNIMO INFLEXIÓN f' > 0 á súa esquerda f' < 0 á súa dereita f' < 0 á súa esquerda f' > 0 á súa dereita f' ten o mesmo signo a ambos os lados do punto Na práctica, isto pode facerse obtendo valores da función en puntos moi próximos ao estudado. Derivada segunda: Se f' (x 0 ) = 0 e existe f'' (x 0 ), daquela: f'' (x 0 ) > 0 f ten un mínimo relativo en x 0 f'' (x 0 ) < 0 f ten un máximo relativo en x 0

111 Criterio para detectar o tipo de curvatura (resumo) f'' (x 0 ) > 0 f é convexa en x 0 ( U ) f'' (x 0 ) < 0 f é cóncava en x 0 ( ) f'' (x 0 ) = 0 e f''' (x 0 ) 0 f ten un punto de inflexión en x 0 Procedemento para atopar os puntos de inflexión

112 Procedemento para atopar máximos e mínimos relativos ( derivada primeira) Por exemplo, para a función f (x) = 3x 5 5x 3 sabemos que a súa derivada, f' (x) = 15x 4 15x 2, se anula en x = 1, x = 0, x = 1. Para saber como é cada un deses puntos singulares, podemos proceder así: Fariamos o cadro: (-, -1) (-1, 0) (0, 1) (1,+ ) f f crecente decrecente decrecente crecente Máximo: M(-1,2) Punto inflexión: Mínimo: m( 1,-2) (0,0) Ou ben, obtendo valores da función en puntos moi próximos ao estudado.

113 Procedemento para atopar os máximos e mínimos relativos coa derivada segunda Para atopar os máximos e mínimos relativos dunha función, séguese o seguinte procedemento: Exemplo: Atopa os máximos e mínimos da función f(x)= x 3 3x a) Calcúlase a 1ª derivada, f '(x). f (x) = 3x 2 3 b) Resólvese a ecuación, f '(x) = 0. 3x 2 3 = 0 x 2 1 = 0 x 2 = 1 c) Atópase a 2ª derivada, f ''(x) f' (x) = 6x d) Substitúense as abscisas dos posibles máximos e mínimos relativos na 2ª derivada, f ''(x). x = 1 x = 1 Se f ''(x) < 0 máximo relativo f ''(1) = 6 1 = 6 > 0 (+) Se x= 1 mínimo Se f ''(x) > 0 mínimo relativo f ''( 1) = 6( 1) = 6 < 0 ( ) Se x= -1 máximo c) Substitúense as raíces de f '(x) = 0 na función inicial y = f(x) e obtéñense as coordenadas dos máximos e mínimos relativos. x = 1 y = = 1 3 = = 2 A(1, 2) mínimo x = 1 y = ( 1) 3 3 ( 1) = = 2 B( 1, 2) máximo

114 Procedemento para atopar os máximos e mínimos relativos coa derivada segunda Para atopar os máximos e mínimos relativos dunha función, séguese o seguinte procedemento: Exemplo: Atopa os máximos e mínimos da función f(x)= x 3 3x a) Calcúlase a 1ª derivada, f '(x). f (x) = 3x 2 3 b) Resólvese a ecuación, f '(x) = 0. 3x 2 3 = 0 x 2 1 = 0 x 2 = 1 c) Atópase a 2ª derivada, f ''(x) f' (x) = 6x d) Substitúense as abscisas dos posibles máximos e mínimos relativos na 2ª derivada, f ''(x). x = 1 x = 1 Se f ''(x) < 0 máximo relativo f ''(1) = 6 1 = 6 > 0 (+) Se x= 1 mínimo Se f ''(x) > 0 mínimo relativo f ''( 1) = 6( 1) = 6 < 0 ( ) Se x= -1 máximo c) Substitúense as raíces de f '(x) = 0 na función inicial y = f(x) e obtéñense as coordenadas dos máximos e mínimos relativos. x = 1 y = = 1 3 = = 2 A(1, 2) mínimo x = 1 y = ( 1) 3 3 ( 1) = = 2 B( 1, 2) máximo

115 Si una función es tal que x (a, b), f (x) > 0, entonces f es convexa en (a, b). Si una función es tal que x (a, b), f (x) < 0, entonces f es cóncava en (a, b). (-, 0) (0, 4/3) (4/3, + ) f f U U

116 Representación gráfica de funcións

117 Esquema

118 Representación gráfica: Esquema 1. Estudar o dominio e continuidade. 2. Comprobar simetrías e periodicidade. 3. Puntos de corte cos eixes. {Eixe X: Eixe Y: f (x) = 0 f (0) 4. Calcular posibles asíntotas. {Verticais: Puntos que non están no dominio. Horizontais ou oblicuas: achando límites no infinito. 5. Monotonía. Estudar derivada primeira. 6. Curvatura. Estudar derivada segunda. { {Posibles extremos : Crecemento: Decrecemento: f (x) = 0 f (x) > 0 f (x) < 0 Posibles puntos de inflexión: Convexa: Cóncava: f (x) > 0 f (x) < 0 f (x) = 0

119 Dominio dunha función O dominio dunha función f é o conxunto de valores da variable x para os que está definido o valor f(x). Ejemplos a. Función polinómica D = R 3 f ( x) x 2x 3 D = R b. Funciones racionales, no están definidas para los valores los que se anula el denominador. 2 3x 5x 6 f ( x) D = R { 1, 2} 2 x x 2 c. Funciones irracionales: f ( x) n g( x) Si n impar D = R Si n par D = {x R / g (x) 0} f ( x) x 2 4 D = {x R / x 2 4 0} = ], 2[ ]2, + [ d. Funciones logarítmicas, f ( x) log g( x) D = {x R / g (x) > 0} f ( x) ln ( x 5) D = {x R / x + 5 > 0} = ] 5, + [ a e. Funciones exponenciales f x ( x) a ; a R, a > 0, a 1 D = R f. Funciones trigonométricas f ( x) sen x D = R f ( x) cos x D = R f ( x) tg x D = R kx 2 f ( x) arcsen x D = [ 1, 1] f ( x) arccos x D = [ 1, 1]

120 Puntos de corte con los ejes Son los puntos en los cuales la gráfica de la función f corta el eje de abscisas y el eje de ordenadas. x=0 y=f(x) y=0 Para determinar los puntos de corte con el eje de abscisas se resuelve el sistema: y f ( x) y 0 Para determinar los puntos de corte con el eje de ordenadas se resuelve el sistema: y f x 0 ( x) Ejemplo Puntos de corte de la gráfica de la función f (x) = x 2 4 con los ejes de coordenadas y x x y = -4 Punto de corte con el eje de ordenadas (0, 4) y y x x 2-4 = 0 x= ± 2 Puntos de corte con el eje de abscisas ( 2, 0) y (2, 0)

121 Simetrías axiais: Funcións pares Cando unha función presenta simetría respecto o eixe Y, é dicir cando f( x) = f(x) para todo x D (D: dominio da función) dise que a función es par. Consideramos a función f(x) = x 4-2x 2 d d A función é simétrica respecto do eixe Y. Polo tanto, f(-x) = (-x) 4-2(-x) 2 = x 4-2x 2 = f(x) -x x Unha función que presenta este tipo de simetría denomínase función par. x=0

122 Simetrías centrais: Funcións impares Se unha función é impar: f( x) = f(x) x D (D: dominio de la función). Unha función é impar cando a sá gráfica presenta simetría respecto o orixe de coordenadas. Consideramos a función f(x) = x 3 -x A función é simétrica respecto da orixe de coordenadas. -x x Polo tanto, f(-x) = (-x) 3 -(-x) = -x 3 +x = -f(x) Unha función que presenta este tipo de simetría denomínase función impar.

123 Periodicidade Unha función f é periódica si existe un número real p > 0 tal que para todo x no dominio de f tense que x + p pertence tamén o dominio de f y f(x + p) = f(x) Si esta igualdade cúmprese para un certo valor p tamén se cumpre para p 1 = 2p, p 2 = 3p, etc. Chámase período de f o menor valor de p que cumpre a condición de periodicidade f(x) = f(x + p) f(x + p) = f(x) x p período x + p

124 Asíntotas Las asíntotas de una curva pueden ser verticales, horizontales y oblicuas. Verticales La recta x = a es una asíntota vertical de una función f cuando existe, al menos, uno de los siguientes límites y=f(x) a y=f(x) a y=f(x) a lim x a f (x) lim x a f (x) lim x a f (x) y=f(x) lim x a y=f(x) f (x) lim x a Las ramas de la curva que se aproximan a una asíntota vertical se llaman ramas infinitas verticales f (x) lim x a y=f(x) f (x)

125 Horizontales La recta y = b es una asíntota horizontal de una función f cuando existe, al menos, uno de los siguientes límites: lim x f ( x) b lim f ( x) b ou x b b y=f(x) y=f(x) En la funciones racionales si y = b es asíntota por la derecha también lo ese por la izquierda. No es así en otras funciones como, por ejemplo, aquellas que tienen radicales o exponenciales. Las ramas de la curva que se aproximan a una asíntota horizontal se llaman ramas infinitas horizontales.

126 Oblicuas Unha recta y = mx + n, m 0 é unha asíntota oblicua si lim x lim x f ( x) mx n 0 f ( x) mx n 0 ou y = mx + n, Os valores de m e n se calculan: f ( x) m lim n lim f ( x) mx x x x Nas funciones racionais si y = mx + b é asíntota pola dereita tamén o é pola esquerda. As funciones racionais teñen asíntotas oblicuas si o grao do numerador é unha unidade superior que o grado do denominador. Pode ocorrer que a gráfica da función corte á asíntota oblicua. Este estudio faise discutindo ol sistema de ecuacións formado pola ecuación da función e a ecuación da asíntota. As ramas da curva que se aproximan a unha asíntota oblicua chámanse ramas infinitas oblicuas hiperbólicas.

127 RESUMO DA REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONS DOMINIO DA FUNCIÓN PUNTOS DE CORTE COS EIXES COORDENADOS: Eixe x: facemos y=0 Eixe y : facemos x=0 SIMETRÍAS Simétrica respecto o eixe y: Simétrica respecto a orixe: Si f(x) = f( x) (f. par) Si f(x) = f( x) (f. impar) ASÍNTOTAS VERTICALES Buscamos os valores de x para os cales a función tende a ±, lim, f( x), a ecuación da asíntota vertical será x=a x a ASÍNTOTAS (ramas parabólicas) ASÍNTOTAS HORIZONTAIS Calculamos o límite da función cando x tende a + e -. Se o valor do límite é finito (existe o límite), lim f ( x) b a asíntota é a recta y = b x ASÍNTOTAS OBLICUAS Son as rectas da forma y = m x + n. Calculamos m e n determinando o valor dos límites: f( x) m lim n lim f ( x) mx x x x

128 CRECEMENTO E DECRECEMENTO (MÁXIMOS MÍNIMOS). 1. si f '(x) é positiva en (a,b), f(x) é crecente. 2. si f '(x) é negativa en (a,b), f(x) é decrecente. 3. si f '(x) é nula en (a,b), f(x) é constante.(punto crítico) 1º MÉTODO. Derivada primeira Para saber se un punto singular é máximo relativo, mínimo relativo ou punto de inflexión, estudaremos o signo da derivada nas proximidades do punto, á súa esquerda e á súa dereita. MÁXIMO f' > 0 á súa esquerda f' < 0 á súa dereita MÍNIMO f' < 0 á súa esquerda f' > 0 á súa dereita INFLEXIÓN f' ten o mesmo signo a ambos os lados do punto. 2º MÉTODO. Derivada segunda: Se f' (x 0 ) = 0 e existe f'' (x 0 ), daquela: f'' (x 0 ) > 0 f ten un mínimo relativo en x 0 f'' (x 0 ) < 0 f ten un máximo relativo en x 0 CONCAVIDADE E CONVEXIDADE: f'' (x 0 ) > 0 f é convexa en x 0 ( U ) f'' (x 0 ) < 0 f é cóncava en x 0 ( ) f'' (x 0 ) = 0 e f''' (x 0 ) 0 f ten un punto de inflexión en x 0

129

130

131

132

133

134 f f

135

136

137

138 (, 3) ( 3, 1) (0, 1) (1, 3) ( 3, ) f f f (x) 3 2x 6x 2 3 (1 x ) F f

139 Debuxa a gráfica de, estudando: dominio, puntos de corte cos eixos, asíntotas, intervalos de crecemento e decrecemento, máximos e mínimos relativos, puntos de inflexión e intervalos de concavidade e convexidade.

140 APLICACIÓN DA DERIVADA A OUTRAS ÁREAS Por que se utiliza a derivada? Para coñecer a variación dunha magnitude en función de outra. A derivada permitenos coñecer por exemplo: A variación do espacio en función do tempo. O crecemento dunha bacteria en función do tiempo. O desgaste dun neumático en función do tiempo. Os beneficios en función do tiempo. Pero a variación dunha magnitud vai ser sempre en función do tempo?. A resposta é negativa, xa que por exemplo: si calculamos a derivada nunha función, calculamos a variación de y en función de x

141 A derivadas pódese utilizar en calquera situación da vida real. Na Física. Si e=f(t) nos da a posición dun móvil respecto o tempo, entón v=f '(t) danos a velocidade dese móbil en cada instante Se v=g(t) nos da a velocidade dese móbil en función do tempo, entón a=g'(t) danos a súa aceleración. Exemplo: No movemento uniformemene acelerado: A ecuación que describe o movemento dun corpo. 1 x( t) x0 v0t at 2 A velocidade: é a derivada do espacio en función do tempo dx v( t) v0 at dt A aceleración é a derivada da velocidade respecto o tempo, o la 2ª derivada de espacio respecto o tempo 2 d x 2 dt 2 a( t)

142 Ejercicio 2 Un cocheciño teledirixido lanzase por unha costa. A distancia recorrida en metros o cabo de t segundos ven dada por d=0.2t t 3 a) Qué velocidade leva os 2 seg, 5 seg, y 6 seg? b) Cando el cocheciño alcanza unha velocidade de 46.8 km/h, os frenos son insuficientes Cánto tempo pode permanecer baixando sen que o condutor teña que preocuparse polos frenos? d(t)=0.2t t 3 V(t)=d (t) =0.4t+0.09t 2 v(2)=d (2)=0.4*2+0.09*2 2 =1.16 m/s, velocidade ós 2 seg v(5)=d (5)=0.4*5+0.09*5 2 =4.25 m/s, velocidade ós 5 seg v(6)=d (6)=0.4*6+0.09*6 2 =5.64 m/s, velocidade ós 6 seg Si v=46.8 Km/h Si v(t)=d (t)=0.4*t+0.09*t 2 =13 m/s, 0.4*t+0.09*t 2-13=0 0.09*t *t -13=0 resolvendo esta ecuación queda t=10 seg Ós10 segundos poden fallar os frenos do coche.

143 Ejercicio 3 La función de posición de un móvil es e = t 3 9t t (e en m, t en seg). Calcula: a) Su velocidad media en el intervalo [0,2] b) Su velocidad y aceleración en t=0 seg y t=2 seg c) En qué instante está en reposo? Ejercicio 4 Se lanza una pelota hacia arriba. La altura alcanzada en función del tiempo es. 2 6,1 24,4 4,9 h t t t Calcula: a) Distancia al suelo al ser lanzada. (El instante en que se lanza es t=0) b) Durante cuánto tiempo sube la pelota? (Sube hasta que su velocidad es 0) c) Cuál es la altura máxima que alcanza? (Calcula la altura en el instante en que v=0) d) En qué instante cae al suelo?

144 No ámbito da inxeniería. Electricidade: circuitos RLC 2 di d i i R L 0 2 dt dt C 2 d v R dv 1 v 2 dt L dt LC V LC Para coñecer o consumo eléctrico do país nun determinado instante. Nos problemas de dinámica de fluidos, para conseguir unha mellor aerodinámica. Termodinámica: Estudiar os fenomenos de transmisión de calor.

145 Hidráulica: Exemplo: P x P y P z ( V ) u g ( V ) v g ( V ) w g Predicción meteorolóxica: Si una catenaria entre dos torres está definida por la función: 1 2x 2 ( 2 x y e e 1,5) 10 Donde x e y se miden en hectómetros, halla la altura que tiene el cable en el punto más bajo entre las dos torres.? x y z dv dt u v w 1 p g 2 xv F dq dt dp dq L c p dt dt dt 1 d m 1 dq V dt 1 q dt m

146 No ámbito da medicina Na medicina tamén utilízase a derivada.. Moitas das enfermedades poden ser descritas por ecuacións, nas que se estudian o crecemento de bacterias o células malignas, é decir o número de bacterías nun instante determinado. Exemplo: En una ciudad de habitantes hay una epidemia de gripe, y la función que define el número de enfermos es: f ( x) x 10x 2 Donde x se mide en días. Cuál es el día en el que hay mayor número de enfermos?

147 No ámbito de la Economía Neste ámbito existen moitas aplicacións, xa que o obxetivo de calquer empresa é maximizar uns beneficios e minimizar uns costes. Maximizar o minimizar é o obxetivo de calquer problema de optimización. Un problema de optimización, consiste en calcular o máximo ou mínimo atado a unhas condicións Calcular o máximo ou mínimo, implica a utilización da derivada.

148 Ejercicio 5 Imaginemos que el número de bacterias de un cultivo varía con el tiempo, expresado N t t en minutos, según la ecuación para t [0,35]. Cuál es la velocidad de crecimiento en el instante 7 min.? 2

149 Los valores de las acciones de una determinada empresa a lo largo de los 12 meses de un año, están definidos por la función: f ( x) 3 x x 10 x 10 Donde x es el mes y es el valor de cada acción en euros. Calcula: El valor de las acciones al inicio y al final del año? En que mes se alcanzo el valor máximo y el mínimo de las acciones? El valor máximo y mínimo de las acciones?

150 Na Química: Para estudiar as velocidades de reacción 2A A dc dt A 2 K C 2 A

151 Si e=f(t) nos da la posición de un móvil respecto al tiempo, entonces da la velocidad de ese móvil en cada instante v=f '(t) nos Si v=g(t) nos da la velocidad de ese móvil en función del tiempo, entonces a=g'(t) nos da su aceleración.

152 APLICACIONES DE LA DERIVADA A OTRAS CIENCIAS En la Física Si e=f(t) nos da la posición de un móvil respecto al tiempo, entonces v=f '(t) nos da la velocidad de ese móvil en cada instante. Si v=g(t) nos da la velocidad de ese móvil en función del tiempo, entonces a=g'(t) nos da su aceleración. En general Si f(t) da la variación de una variable respecto al tiempo, entonces f '(t) da la rapidez con que varía esa variable al transcurrir el tiempo. Ejercicio 1 Viajero 2 En esta gráfica la línea más gruesa representa el movimiento de un autobús que arranca de la parada y va, poco a poco, ganando velocidad. Las líneas 1, 2, 3 y 4 corresponden a los movimientos de cuatro pasajeros. Las ecuaciones de cada uno de los movimientos son las siguientes: 4 2 Autobús: e t Viajero 1: e t Viajero 2: e t Viajero 3 e t t 9.5 Viajero 4: e

153 a) En qué instante llegan a la parada los viajeros 1 y 2? b) A qué distancia se encuentran de la parada los viajeros 3 y 4, cuando arranca el autobús de la parada? c) En qué instante y a qué distancia de la parada se encuentran cada uno de los cuatro viajeros con el autobús?

154 d) Calcula la velocidad tanto del autobús, como de cada viajero, en cada instante calculando la derivada de cada función espacio e) Completa esta tabla con los resultados obtenidos viajero instante de alcance velocidad viajero velocidad bus razón velocidades f) Explica la actuación de cada viajero y deduce qué viajero alcanza el autobús "suavemente" y cuál no.

155 A temperatura T dunha reacción química vén dada en función do tempo t (medido en horas) pola expresión T(t) = 2t t 2, para 0 t 2 horas. Que temperatura haberá ós 15 minutos? En que momento volverá alcanzarse esta mesma temperatura? Obte-la temperatura máxima e mínima e os momentos en que se producen. a) 15' = 0,25 h T(0,25) = 2 0,25 0,25 2 = 0,4375 t = 175, b) Achémo-lo valor de t para o cal 2t t 2 = 0,4375 t 2 2t + 0,4375 = 0 t = 0, 25 Volve alcanzar esa temperatura para t = 1,75 h = 1 h 45' c) T'(t) = 2 2t T'(t) = 0 2 2t = 0 t = 1 t T (t) T (t) + 0 crece 2 decrece 0 Máximo Alcanza a temperatura máxima para t = 1 e é de 2. A temperatura mínima é de 0 e alcanzaa para t = 0 e t = 2

156 Considerar a montaña rusa representada na figura, na que un vagón se despraza de A a B a velocidade lenta, pero constante. Representa mediante unha gráfica a velocidade que acada o vagón segundo vai percorrendo a distancia que separa A de G.Sinala razoadamente os elementos característicos da mesma (situación dos puntos A a G, continuidade, crecemento, convexidade, extremos relativos e absolutos, inflexións, etc) Se e(t) = 600t + 150t 3 115t t 5 2t 6 é a función que nos dá o espacio en metros percorrido polo vagón en t minutos, determinar a cantos metros da saída está o punto no que se acada a máxima velocidade. a) A gráfica da velocidade é: A función velocidade é continua desde A ata G. A B b C c D d E e F G É constante de A a B e de F a G. É crecente de B a C e de D a E. É decrecente de C a D e de E a F. É convexa de A a b, de c a d e de e a G. Cóncava de b a c, e de d a e. Ten un máximo relativo en C e un máximo absoluto en E. Ten un mínimo relativo en D Puntos de inflexión en b, c, d e e.

157 b) Se e(t) é a función espacio, e ( t) v( t), a función velocidade. sendo v ( t) t 460t 135t 12t v ( t) 900t 1380t 540t 60t Temos que achar o máximo desta función v ( t) 0 900t 1380t 540t 60t 0 60t (15 23t 9t t ) t (15 23t 9t t ) 0 t = 0, t = 1, t = 3, t = 5. t v (t) v(t) 600 crece 713 decrece 249 crece 1225 decrece Alcanza a velocidade máxima para t = 5.

158 A cotización das accións dunha determinada sociedade, suposto que a Bolsa funcione durante os 30 días de cada mes, en función do número d de días transcurridos, ven dada por C(d) 0'01d 3 0'45d 2 2'43d 300 Pídese: Determina os días do mes de cotización máxima e mínima, determinando ademáis para eses días os valores da cotización. Períodos de tempo nos que as accións subiron e baixaron. 3 2 El dominio de la función: C(d) 0'01d 0'45d 2'43d 300 é [0,30] La derivada de la función es: C (d)= 0,03d 2-0,95 d Puntos que anulan la derivada: d = 3 y d = 27, por tanto: (-,3) (3,27) (29, ) Si d 3 C '( d) 0 Función de cotización creciente f Si 3 d 27 C '( d) 0 Función de cotización decreciente f crec decre crec Si d 27 C '( d) 0 Función de cotización creciente Como en d = 3, la función pasa de creciente a decreciente, en el tercer día se produce un máximo relativo Como en d = 27, la función pasa de decreciente a creciente, en el vigésimo séptimo día se produce un mínimo La mínima cotización es el menor de los dos valores C(0) = 300 y C(27) = 234,39; por tanto C(27) = 234,39 La máxima cotización es el mayor de los dos valores C(3) = 303,51 y C(30) = 237,9; por tanto C(3) = 303,51 La cotización subió durante los tres primeros y los tres últimos días del mes y bajaron durante los demás días.

159 É necesario fabricar 5 unidades.

160 A gráfica sería: b) Beneficio máximo en x = 3 8 A los 3 años El beneficio sería f (3) = 10 miles de euros. c) No perderá dinero ni llegará un momento en que no obtenga beneficios ni pérdidas, pues f (x) = 0 y f (x) > 0 para todo x > 0.

161 A función é f (x) = x 2 + 6x 7. A función é f (x) = x3 + 6x2 6.