UN ELEMENTO FINITO VIGA APTO PARA MODELAR SOLIDOS HETEROGENEOS CON ANISOTROPÍA GENERAL.

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1 Segundas Jornadas de Investigaión y Transferenia UN ELEMENTO FINITO VIGA APTO PARA MODELAR SOLIDOS HETEROGENEOS CON ANISOTROPÍA GENERAL. Eharri, Tomás, Lopardo, Edgardo 2, Saralegui, Gustavo 3 UNLP, Faultad de Ingeniería UID-DISIM. tomas.eharri@ing.unlp.edu.ar 2 edgardo.lopardo@ing.unlp.edu.ar 3 gsarale@ing.unlp.edu.ar RESUMEN. El modelado tridimensional mediante el método de los elementos finitos (MEF) de uerpos esbeltos onstituidos por sólidos heterogéneos on anisotropía general, puede resultar on un número inneesariamente alto de grados de libertad (GDL) para los reuerimientos de aproximaión. En problemas elastodinámios ue involuran sólidos anisótropos esbeltos, en general no homogéneos, el ampo de desplazamientos no puede ser restringido a priori pues su aráter predominante varía on las propiedades de la materia onstituyente. Por esta razón, la generalizaión de las teorías efiaes bajo isotropía, en general, no entrega resultados satisfatorios. Adiionalmente, las teorías had ho tienen limitada su apliaión a determinadas onfiguraiones geométrias y/o onstitutivas. En el presente trabajo se desarrolla una metodología ue permite obtener para un uerpo ilíndrio ompuesto, en general, por fases sólidas on anisotropía onstitutiva un funional energétio unidimensional del ual se derivan, a partir del prinipio de Hamilton, las euaiones de movimiento sin realizar onjeturas sobre el ampo de desplazamientos. Utilizando este funional se formula e implementa un elemento finito viga on apaidad para modelar problemas elastodinámios en sólidos anisótropos esbeltos y se estudia el omportamiento del elemento desarrollado frente a problemas on soluiones analítias, numérias y resultados experimentales. Palabras Claves: finite-element, anisotropi-beam, variational-asymptoti-method, warpingfuntions. 708

2 Faultad de Ingeniería - UNLP. INTRODUCCIÓN Las teorías aproximadas pueden separarse en dos grupos: las ue estableen a priori la inemátia de la viga, y auellas no realizan onjeturas sobre la totalidad del ampo de desplazamiento. Los trabajos perteneientes al primer grupo son freuentes en la literatura y referidos a problemas partiulares. En el segundo grupo se enuentran formulaiones generales, omúnmente basadas en el MEF, a partir de las uales se han desarrollado programas on esasa difusión o utilizados omo herramientas de investigaión. El trabajo de Giavotto & Cía. [] (983) puede onsiderarse preursor en el enfoue general del problema elastoestátio asoiado a sólidos esbeltos on anisotropía onstitutiva. Los autores presentan una teoría en vigas anisótropas basada en el MEF utilizando el prinipio de los trabajos virtuales. Este proeso ondue a un sistema de euaiones difereniales ordinarias de segundo orden on la oordenada en la direión de la generatriz del sólido omo variable independiente, uyas soluiones son polinómias o on deaimiento exponenial. Las primeras son llamadas soluiones entrales por Giavotto y de ellas se deriva la flexibilidad diferenial del sólido elástio asoiada a las resultantes de la distribuión de fuerzas en los extremos. Las soluiones exponeniales orresponden al problema de difusión de esfuerzos para una distribuión auto-euilibrada. Imponiendo la apliaión de fuerzas solo en las seiones extremas de la viga y derivando suesivamente la euaión diferenial asoiada al problema variaional, se obtiene la expresión de la flexibilidad diferenial de la viga mediante operaiones algebraias. La energía de deformaión diferenial ueda expresada en funión de nuevas deformaiones unidimensionales (deformaiones naturales de la viga), ue son euivalentes a las inemátias solo en el aso isótropo. El enfoue de Giavotto adiionalmente ha sido implementado por Bauhau, el programa desarrollado (NABSA) es apto para modelar vigas prismátias on anisotropía onstitutiva. Según expone Hodges [2] (990), Berdihevsky (98) fue el primero en demostrar, onsiderando el orden de magnitud de las antidades variaionales, ue el análisis no lineal en vigas puede ser dividido en dos problemas desaoplados: uno bidimensional lineal a nivel de la seión y el problema global no lineal unidimensional. Kosmatka & Ie [3] (99) presentan en el maro de la elastodinámia una formulaión geométriamente no lineal para vigas anisótropas homogéneas, en la ual se aproxima el ampo de desplazamientos imponiendo funiones inógnitas omandadas por las resultantes de esfuerzo a nivel de la seión. Estas son obtenidas a partir de la resoluión del problema de valor de frontera asoiado a la apliaión de resultantes de esfuerzo unitarias. Finalmente formulan un elemento de 24 GDL externos basado en desplazamientos a partir de las ondiiones de euilibrio estátio, las funiones de forma son polinomios de Hermite para las 6 variables de ampo y se introdue un GDL interno en los desplazamientos transversales para impedir el bloueo por ortante. Presenta resultados ualitativos en esfuerzos para una viga de seión elíptia empotrada sometida a una fuerza transversal, y uantitativos en el análisis modal de la misma viga libre de restriiones. Živković & Cía. [4] (200) desarrollan un elemento viga no lineal basado en desplazamientos, llamado por los autores súper elemento, apto para modelar torsión y urvatura naturales. Resuelven el problema a nivel de la seión utilizando el enfoue de Giavotto menionado anteriormente, sin resolver el inonveniente de las nuevas deformaiones naturales de la viga, razón por la ual se limita el potenial del elemento a vigas on isotropía onstitutiva. Según expone Hodges [5] (2002) el enfoue de Giavotto se enuentra en desventaja respeto del método variaional asintótio (VAM) de Berdihevsky, este pronuniamiento se fundamenta en la simpliidad on la ue el VAM puede manipular problemas no lineales. Este autor y olaboradores han utilizado diho método para obtener distintas formulaiones en vigas. A partir del VAM, Yu & Cía. desarrollaron el programa de análisis seional VABS. Yu, Hodges & Cía.[6] (2002) presentan en el maro de la elastoestátia una formulaión no lineal para vigas on torsión y urvatura naturales ue se deriva del VAM, a partir del ual es desaoplado el problema elástio tridimensional. El problema a nivel de la seión se resuelve en forma aproximada a partir de la minimizaión de la energía de deformaión. Departamento de Meánia I 709

3 Segundas Jornadas de Investigaión y Transferenia Finalmente obtienen la matriz de rigidez diferenial asoiada a las deformaiones naturales típias de la teoría en vigas de Timoshenko (TVT). 2. APLICACIONES. 2.. Análisis modal. Considérese una seión transversal definida por las matries difereniales { ÆI}, en un problema unidimensional de n GDL, on r ondiiones inemátias y n r naturales. Realizado el ensamblaje elemental sobre el dominio de la viga utilizando elementos definidos por las Euaiones y, el problema ueda definido por el sistema de EDO on oefiientes onstantes: Donde: Ku Mu f () K R M 0 f u K M f u R T ; ; ; n n p neld neld neld ( e) ( e) ( e)t ( ) ( ) ( )T ( ) ( ) ; e e e ; e e ( e) ( e) ( e) K A K A M A M A f A f (3) En las expresiones en Euaión (3), A ( e) simboliza el ensamblaje elemental de modo ue las f A y f sean eliminadas. El problema elastodinámio tridimensional se ha reduido al sistema de EDO en Euaión (). Este puede integrarse diretamente mediante métodos numérios [9]. En el AMT se propone la soluión armónia en el problema de vibraión libre ( f 0): u e i t K M (4) Donde es la freuenia natural (irular) de vibraión y la soluión del PVP en Euaión (4) entrega los m (on m n r si se utilizan euaiones de restriión) pares propios { i, i }. (2) 2.2. Contraste on resultados experimentales. Considérese un sólido elástio de longitud lx=90mm, on seión transversal retangular de dimensiones {lz=3.75mm, ly=2.7mm} sobre las direiones {z, y} Diho uerpo está onstituido por el material desrito en la Tabla, uya direión prinipal de anisotropía forma un ángulo θ=30 on la direión x en el sistema de referenia. Tabla Propiedades elástias. Orientaión Propiedad Magnitud[Pa] El modelo disreto bidimensional posee 024 elementos y 663 GDL, las matries de rigidez e ineria diferenial son respetivamente: 70

4 Faultad de Ingeniería - UNLP Æ (5) sim.675 I diag( , , , 89.3, 5.25, 84.06)0 6 (6) Considerando restringido el desplazamiento en una de las seiones extremas del sólido, se obtienen las 8 primeras freuenias naturales utilizando 0 elementos unidimensionales Análisis estátio. En este aso la Euaión() se redue al sistema de euaiones algebraias siguiente: Ku f u K f (7) La Euaión entrega la soluión nodal u y las fuerzas de restriión. Obtenida la soluión nodal u, de Euaión() o Euaión (7), y utilizando la Euaión para obtener la matriz de deformaiones naturales () e (), el ampo de esfuerzos se reupera a partir de la Euaión imponiendo x 04. En la formulaión propuesta se obtiene la expresión: () () () () T () () Si ( Gx 0 GB j U j ) TB f k () u k (8) Donde el pseudo-vetor de esfuerzo en Euaión (8) orresponde al elemento unidimensional k y bidimensional j, este ultimo definido en el dominio de la fase i. La inlusión de la matriz T f orresponde a la transformaión de las deformaiones naturales asoiadas a la matriz de rigidez diferenial definida en un sistema de referenia on origen en el entro tangenial. En el aso de ue el CC haya sido obtenido en un sistema de referenia uyo origen oinide on el entro tangenial, se tiene Tf CONCLUSIONES. Se desarrollo una metodología ue permite obtener para un sólido ilíndrio ompuesto en general, por fases on anisotropía onstitutiva, un funional energétio unidimensional del ual se derivan, a partir del prinipio de Hamilton, las euaiones de movimiento sin estableer a priori el ampo de desplazamientos en el sólido. A partir de este funional fue formulado e implementado un elemento finito viga on apaidad para modelar problemas elastodinámios en sólidos anisótropos esbeltos. En el elemento viga formulado, se asume ue el ampo de desplazamiento omplementario al roto-traslaional es onstante sobre la diretriz, o en forma euivalente ue las deformaiones naturales de primer orden son uniformes. Entones la formulaión unidimensional será efetiva en general, esto es sin verifiar la hipótesis menionada, mientras los términos no onsiderados en la expresión de la energía de deformaión, sean despreiables dentro de los reuerimientos de aproximaión en la soluión del problema. Se ha demostrado ue mediante la reuperaión del estado tridimensional de esfuerzos, el elemento unidimensional permite la evaluaión esfuerzos on un nivel de detalle solo observable en el modelado sólido (MEF), uya disretizaion a nivel de la seión transversal sea euivalente a la del modelo disreto bidimensional utilizado para obtener la rigidez diferenial. Se dedue ue, si el omportamiento global de un sólido es prediho en forma aeptable por el elemento unidimensional, su desempeño será omparable on el modelado mediante elementos sólidos (MEF). El número de GDL del problema resultante on elemento formulado se redue notablemente respeto de elementos finitos de mayor jeraruía, esta ventaja se ve disminuida onforme lo hae la diferenia entre el orden de magnitud en las dimensiones (vigas no esbeltas) o se establee una dimensión intermedia (vigas de paredes delgadas). En los asos presentados, Departamento de Meánia I 7

5 Segundas Jornadas de Investigaión y Transferenia el problema a resolver on elementos estruturales o sólidos, en el mejor de los asos, duplia el número de GDL del problema resultante a partir del elemento unidimensional. Aun en problemas simples, existen situaiones en las ue utilizar el modelado sólido (MEF) reuiere un número demasiado elevado de GDL para alanzar el nivel de aproximaión obtenido on el elemento unidimensional. Las pruebas de verifiaión en problemas elastodinámios indian una aproximaión aeptable a la obtenida on elementos finitos de mayor jeraruía. La orrelaión on el modelado sólido (MEF) en problemas de vibraión libre (AMT) bajo diversas onfiguraiones del material, es buena en general. La orrelaión on resultados publiados en la literatura obtenidos on formulaiones apropiadas en problemas espeífios (teorías ad ho) es buena La aproximaión a los resultados experimentales (AME) presentados es aeptable. Sin embargo debe tenerse en uenta ue su validez omo herramienta de verifiaión reuiere la determinaión fehaiente de las propiedades elástias del material y orreta implementaión de las ondiiones de borde. 5. REFERENCIAS. [] V. Giavotto, M. Borri, P. Mantegazza, G. Ghiringhelli, V. Carmashi, G. Maffioli y F. Mussi, «Anisotropi Theory and Appliations,» Computers & Strutures, vol. 6, nº -4, pp , 983. [2] D. Hodges, A. Atdgan and B. Lee, "Modeling of Composite Beams and Plates for Stati and Dynami Analisys," Interim Semi-Annual Report NASA Grant NAG-l-094, 7 January- 6 July 990. [3] J.B.Kosmatka, «The Use of Cross-Setion Warping Funtions in Composite Rotor Blade Analysis,» Final Report Nasa-Cr-9772, 992. [4] M. Živković, M. Kojić, R. Slavković y N. Grujović, «A General Beam Finite Element with Deformable Cross-Setion,» Computer Methods in Applied Mehanis and Engineering, nº 90, pp , 200. [5] W. Yu, D. Hodges, V. Volovoi y C. Cesnik, «On Timoshenko-Like Modeling of Initially Curved and Twisted Composite Beams,» International Journal Of Solids And Strutures, nº 39, p , [6] W. Yu, V. Volovoi, D. Hodges y X. Hong, «Validation of The Variational Asymptoti Beam Setional Analysis (VABS),» AIAA Journal, vol. 40, nº 0, [7] C. Lanzos, The Variational Priniples of Mehanis, Toronto: University of Toronto Press, 949. [8] L. Meirovith, Methods of Analytial Dynamis, M. Graw-Hill, 970. [9] K. Bathe, Finite Element Proedures, Pentie Hall, 996. [0] M. Mitra, S. Gopalakrishnan y M. Seetharama Bhat, «A New Super Convergent Thin Walled Composite Beam Element for Analysis of Box Beam Strutures,» International Journal Of Solids And Strutures, nº 4, p , [] ANSYS, «Release 0.0 Doumentation for ANSYS,» SAS IP, In, [2] T. Eharri Fernández, «Análisis Teório-Experimental del Comportamiento Dinámio de Una Viga en Voladizo de Material Compuesto Laminado Reforzado on Fibras,» Tesis Magistral PUCP, Lima, Perú, [3] S. Lekhnitskii, Teory of Elastiity of an Anisotropi Body, Mir Publishers, 98. [4] S. Timoshenko y J. Goodier, Theory of Elastiity, MGraw-Hill, 95. << Volver al Indie 72