5-1 Mediatrices y bisectrices de ángulos (págs )

Transcripción

1 Vocabulario altura de un triángulo centroide de un triángulo circuncentro de un triángulo circunscrito concurrente demostración indirecta equidistante incentro de un triángulo inscrito lugar geométrico mediana de un triángulo ortocentro de un triángulo punto de concurrencia segmento medio de un triángulo tripleta de Pitágoras Completa los enunciados con las palabras del vocabulario. 1. Un punto que está a la misma distancia de dos o más objetos está? de los objetos. 2. Un? es un segmento que une los puntos medios de dos lados del triángulo. 3. El punto de concurrencia de las bisectrices de los ángulos de un triángulo es el/la?. 4. Un(a)? es un conjunto de puntos que cumplen con una condición dada. 5-1 Mediatrices y bisectrices de ángulos (págs ) JL Como JM MK y ML JK, ML es la mediatriz del JK. JL = KL JL = 7.9 Teorema de la bisectriz Sustituye 7.9 por KL. m PQS, dado que m PQR = 68 Como SP = SR, SP QP, y SR QR, QS forma una bisectriz con PQR según el recíproco del teorema de la bisectriz de un ángulo. m PQS = _ 1 m PQR Def. de bisectriz de 2 un m PQS = _ 1 (68 ) = 34 2 Sustituye m PQR por BD 6. YZ 7. HT 8. m MNP Escribe una ecuación en forma de punto y pendiente para la mediatriz del segmento con los extremos dados. 9. A (-4, 5), B (6, -5) 10. X (3, 2), Y (5, 10) Indica si la información dada te permite concluir que P está en la bisectriz del ABC Capítulo 5 Propiedades y atributos de los triángulos 17

2 5-2 Bisectrices de los triángulos (págs ) DG, EG y FG son las mediatrices de ABC. Halla AG. G es el circuncentro de ABC. Según el teorema del circuncentro, G está equidistante de los vértices de ABC. AG = CG AG = 5.1 QS y RS son bisectrices de ángulos de PQR. Halla la distancia de S a PR. Teor. del circuncentro Sustituye 5.1 por CG. S es el incentro de PQR. Según el teorema del incentro, S está equidistante de los lados de PQR. La distancia de S a PQ es 17, por lo tanto, la distancia de S a PR también es 17. PX, PY y PZ son las mediatrices de GHJ. Halla cada longitud. 13. GY 14. GP 15. GJ 16. PH UA y VA son bisectrices de ángulos de UVW. 17. la distancia de A a UV 18. m WVA Halla el circuncentro de un triángulo con los vértices dados. 19. M (0, 6), N (8, 0), O (0, 0) 20. O (0, 0), R (0, -7), S (-12, 0) 5-3 Medianas y alturas de los triángulos (págs ) En JKL, JP = 42. Halla JQ. JQ = _ 2 JP Teor. del centroide 3 JQ = _ 2 Sustituye JP por (42) JQ = 28 Multiplica. Halla el ortocentro de RST con los vértices R (-5, 3), S (-2, 5) y T (-2, 0). _ -5 - (-2) = -1 La pendiente de la altura a RT es 1. Esta línea debe pasar por S (-2, 5). y - y 1 = m (x - x 1 ) Forma de punto y pendiente y - 5 = 1 (x + 2) Sustitución y = 3 Resuelve el sistema para hallar que las y = x + 7 coordenadas del ortocentro son (-4, 3). Como ST es vertical, la ecuación de la línea que contiene la altura desde R a ST es y = 3. pendiente de RT 3-0 = En DEF, DB = 24.6, y EZ = Halla cada longitud. 21. DZ 22. ZB 23. ZC 24. EC Halla el ortocentro de un triángulo con los vértices dados. 25. J (-6, 7), K (-6, 0), L (-11, 0) 26. A (1, 2), B (6, 2), C (1, -8) 27. R (2, 3), S (7, 8), T (8, 3) 28. X (-3, 2), Y (5, 2), Z (3, -4) 29. Las coordenadas de una pieza triangular de un móvil son (0, 4), (3, 8), and (6, 0). La pieza colgará de una cadena de manera que quede balanceada. En qué coordenadas se debe sujetar la cadena? 18 Guía de estudio: Repaso

3 5-4 El teorema del segmento medio de un triángulo (págs ) NQ Según el teor. del segmento medio de, NQ = _ 1 KL = m NQM NP ML m NQM = m PNQ m NQM = 37 Teor. del segmento medio del Teor. de la altura de interno Sustitución 30. BC 31. XZ 32. XC 33. m BCZ 34. m BAX 35. m YXZ 36. Los vértices de GHJ son G (-4, -7), H (2, 5) y J (10, -3). V es el punto medio de GH, y W es el punto medio de HJ. Demuestra que VW GJ y VW = 1 2 GJ. 5-5 Demostración indirecta y desigualdades en un triángulo (págs ) Escribe los ángulos de RST en orden, de menor a mayor. El ángulo menor es el opuesto del lado más corto. En orden, los ángulos son S, R y T. Dos lados de un triángulo miden 15 pulgadas y 12 pulgadas. Halla el rango de posibles longitudes para el tercer lado. Sea s la longitud del tercer lado. s + 15 > 12 s + 12 > > s s > -3 s > 3 27 > s Según el teorema de desigualdad de los triángulos, 3 pulg < s < 27 pulg. 37. Escribe los lados de ABC en orden, del más corto al más largo. 38. Escribe los ángulos de FGH en orden, de menor a mayor. 39. Dos lados de un triángulo miden 13.5 centímetros y 4.5 centímetros. Halla el rango de posibles longitudes para el tercer lado. Indica si es posible que un triángulo tenga lados con las siguientes longitudes. Explica , 8.1, z, z, 3z, cuando z = Escribe una demostración indirecta de que un triángulo no puede tener dos ángulos obtusos. 5-6 Desigualdades en dos triángulos (págs ) Compara las medidas dadas. KL y ST KJ = RS, JL = RT y m J > m R. Según el teor. del eje, KL > ST. m ZXY y m XZW XY = WZ, XZ = XZ y YZ < XW. Según el recíproco del teor. del eje, m ZXY < m XZW. Compara las medidas dadas. 43. PS y RS 44. m BCA y m DCA Halla el rango de valores para n Capítulo 5 Propiedades y atributos de los triángulos 19

4 5-7 El teorema de Pitágoras (págs ) Halla el valor de x. Da tu respuesta en la forma radical más simple. a 2 + b 2 = c 2 Teor. de Pitágoras Sustitución Simplifica = x 2 45 = x 2 x = 3 5 Halla la raíz cuadrada positiva y simplifica. Halla la longitud del lado que falta. Indica si los lados forman una tripleta de Pitágoras. Explica. a 2 + b 2 = c 2 a 2 + (1.6) 2 = 2 2 a 2 = 1.44 a = 1.2 Teor. de Pitágoras Sustitución Halla a 2. Halla la raíz cuadrada positiva. Las longitudes de los lados no forman una tripleta de Pitágoras porque 1.2 y 1.6 no son números cabales. Halla el valor de x. Da tu respuesta en la forma radical más simple Halla la longitud del lado que falta. Indica si los lados forman una tripleta de Pitágoras. Explica Indica si las medidas pueden ser las longitudes de los lados de un triángulo. Si es así, clasifica el triángulo como acutángulo, obtusángulo o rectángulo , 12, , 14, , 3.6, , 3.7, Cómo aplicar triángulos rectángulos especiales (págs ) Halla los valores de las variables. Da tus respuestas en la forma radical más simple. Éste es un triángulo de 45, 45 y 90. x = 19 2 Hipot.= cateto 2 Éste es un triángulo 45, 45 y = x 2 Hipot.= cateto 2 Halla los valores de las variables. Da tus respuestas en la forma radical más simple _ = x Divide ambos lados entre 2. 2 _ 15 2 = x 2 Racionaliza el denominador Éste es un triángulo de 30, 60 y = 2x Hipot. = 2(cateto más corto) 11 = x Divide ambos lados entre 2. y = 11 3 Cateto más largo = (cateto más corto) 3 Halla el valor de cada variable. Redondea a la pulgada más cercana Guía de estudio: Repaso

5 Respuestas, continuación CAPÍTULO 5 Vocabulario 1. equidistante 2. segmento medio 3. incentro 4. lugar geométrico 5-1 Mediatrices y bisectrices de ángulos y = x y - 6 = (x - 4) 11. No; para aplicar el recíp. del teorema de la bisectriz de un necesitas saber que AP AB y CP CB. 12. Sí; ya que AP AB, CP CB y AP CP, P está en la bisectriz de ABC según el recíp. del teorema de la bisectriz de un. Respuestas: Capítulo 5 65

6 Respuestas, continuación 5-2 Bisectrices de los triángulos (4, 3) 20. (-6, -3.5) 5-3 Medianas y alturas de los triángulos (-6, 0) 26. (1, 2) 27. (7, 4) 28. (3, 0) 29. (3, 4) 66 Respuestas: Capítulo 5

7 Respuestas, continuación 5-4 El teorema del segmento medio de un triángulo V (-1, -1); W (6, 1); pendiente de VW = 2 ; pendiente de GJ = 7 2 ; como las 7 pendientes son iguales, VW GJ. VW = 53; GJ = 2 53; como 53 = 1 2 (2 5-5 Demostración indirecta y desigualdades en un triángulo 37. BC, AC, AB 38. F, H, G 53), VW = 1 2 GJ. 39. mayor que 9 cm y menor que 18 cm 40. Sí; respuesta posible: la suma de cada par de longitudes es mayor que la tercera longitud. 41. No; respuesta posible: cuando z = 5, el valor de 3z es 15. Por lo tanto, las 3 longitudes son 5, 5 y 15. La suma de 5 y 5 es 10, lo que no es mayor que 15. Según el teorema de desigualdad de, un no puede tener estas longitudes de lado. 42. Respuesta posible: Dado: ABC Demuestra: ABC no puede tener dos obtusos. Demostración: Supongamos que ABC tiene dos obtusos. Sean A y B los obtusos. Según la def. de obtuso, m A > 90 y m B > 90. Si se suman las dos desigualdades, m A + m B > 180. Sin embargo, según el teorema de la suma del, m A + m B + m C = 180. Por lo tanto, m A + m B = m C. Pero luego,180 - m C > 180 por la sust. y, por lo tanto, m C < 0. Un no puede tener un de una medida menor que 0. Por lo tanto, la suposición de que ABC tiene 2 obtusos es falsa. Por lo tanto, un no puede tener 2 obtusos. 5-6 Desigualdades en dos triángulos 43. PS < RS 44. m BCA < m DCA < n < < n < 12.5 Respuestas: Capítulo 5 67

8 Respuestas, continuación 5-7 El teorema de Pitágoras 47. x = x = ; las longitudes no forman una tripleta de Pitágoras porque 4.5 y 7.5 no son números cabales ; las longitudes sí forman una tripleta de Pitágoras porque son números cabales distintos de cero que satisfacen la ecuación a² + b² = c². 51. triángulo; obtuso 52. no es un triángulo 53. triángulo; rectángulo 54. triángulo; agudo 5-8 Cómo aplicar triángulos rectángulos especiales 55. x = x = x = x = 24; y = x = 6 3 ; y = x = 14 3 ; y = pies 3 pulg pies 7 pulg 68 Respuestas: Capítulo 5