Herramientas para el análisis de líneas de transmisión: Carta de Smith

Transcripción

1 Capítul 3: Herramientas para el análisis de líneas de transmisión: Carta de Smith En el presente capítul se va presentar la carta de Smith que cnstituye una herramienta básica en el análisis y diseñ de cualquier circuit de micrndas. El fundament de la carta de Smith es la transfrmación de impedancias y ceficientes de reflexión haciend us de una representación plar en el plan de ls ceficientes de reflexión. De esta frma se btiene una representación actada del cnjunt de tdas las impedancias pasivas existentes. Grup de Radifrecuencia, UC3M, Septiembre 009. Micrndas-3-

2 ECUACIONES DE PROPAGACIÓN EN UNA LÍNEA Dada una línea de transmisión: i(,t) v(,t) Δ Se puede btener un mdel circuital equivalente de la misma Grup de Radifrecuencia, UC3M, Septiembre 009. Micrndas-3-

3 ECUACIONES DE PROPAGACIÓN EN UNA LÍNEA i(,t) i( Δ,t) RΔ LΔ v(,t) CΔ GΔ v( Δ,t) Δ R resistencia en serie pr unidad de lngitud, Ω/m L inductancia en serie pr unidad de lngitud, H/m G cnductancia en paralel pr unidad de lngitud, S/m C capacidad pr unidad de lngitud, F/m Grup de Radifrecuencia, UC3M, Septiembre 009. Micrndas-3-3

4 i v Pr las leyes de Kirchhff: ( t) RΔ i(, t) Ecuación del telegrafista (, t) i, L Δ v tt ( t) GΔ ( Δ, t) ( Δ, t) ( Δ, t) 0 v, CΔ i tt Δ 0 ( Δ, t) 0 (, t) i( t) v R i(, t) L, tt i, t v t G v(, t) C, tt ( ) ( ) Grup de Radifrecuencia, UC3M, Septiembre 009. Aplicación de la T. Furier en t Micrndas-3-4

5 ECUACIONES DE PROPAGACIÓN EN UNA LÍNEA d d di d ( ) ( ) ( R jwl ) I ( ) ( G jwc ) ( ) Similitud cn las ecuacines de Maxwell d d d I d ( ) ( ) γ γ I ( ) 0 ( ) 0 ( R jwl) ( G jwc) γ α j β CONSTANTE DE PROPAGACIÓN Grup de Radifrecuencia, UC3M, Septiembre 009. Micrndas-3-5

6 ECUACIONES DE PROPAGACIÓN EN UNA LÍNEA ( ) e e γ γ ( ) e e ( ) e I e I I γ γ ( ) ( ) [ ] [ ] e e jwl R e e I γ γ γ γ γ I I jwc G jwl R jwl R γ ( ) e e I γ γ Grup de Radifrecuencia, UC3M, Septiembre 009. Micrndas-3-6 j C G γ

7 ECUACIONES DE PROPAGACIÓN EN UNA LÍNEA (dmini tempral) v ( ) ( ) α, t cs wt φ e β cs ( ) α wt β φ e π w λ v λ f β p β Grup de Radifrecuencia, UC3M, Septiembre 009. Micrndas-3-7

8 Línea sin pérdidas γ α j β jw LC β w α 0 LC L C ( ) β β e e λ π β π w LC I w β β ( ) e e v p β LC Grup de Radifrecuencia, UC3M, Septiembre 009. Micrndas-3-8

9 Línea cargada La nda regresiva aparece cuand la línea tiene una cndición de cierre i(,t) Origen de referencia en la carga v(,t),β L -l β β ( ) e e I 0 β β ( ) e e Grup de Radifrecuencia, UC3M, Septiembre 009. Micrndas-3-9

10 Definición del ceficiente de reflexión ( ) 0 L ( ) L I 0 L L L Γ ( ) [ ] l j l j e e β β Γ ( ) [ ] l j l j e e I β β Γ ( ) [ ] e e I Γ Grup de Radifrecuencia, UC3M, Septiembre 009. Micrndas-3-0

11 Onda estacinaria ( ) P Γ Pérdidas de retrn: RL 0 lg ( Γ ) av db ( ) jβ jβl Γ e Γ e Γ e j ( θ βl ) max min ( Γ ) ( Γ ) ROE SWR max min < SWR < Γ Γ Grup de Radifrecuencia, UC3M, Septiembre 009. Micrndas-3-

12 Ceficiente de reflexión en cualquier punt de la línea Γ e e jβl l ( ) Γ ( 0 ) jβ l e Γ 0 jβl COEFICIENTE DE REFLEXIÓN EN EL RESTO DE LA LÍNEA in I jβl ( l) Γe L j tan( βl) jβl ( l ) Γ e j tan ( β l ) L Ejempls de cass particulares Grup de Radifrecuencia, UC3M, Septiembre 009. Micrndas-3-

13 Línea crtcircuitada i(,t) v(,t),β l 0 ( ) [ ] jβ jβ e e j sen( β) I ( jβ jβ ) [ e e ] cs ( β ) 0 in j tan ( β l ) 0 Grup de Radifrecuencia, UC3M, Septiembre 009. Micrndas-3-3

14 Línea en circuit abiert i(,t) v(,t),β l 0 ( ) [ ] jβ jβ e e cs( β) I j ( jβ jβ ) [ e e ] sen ( β ) 0 in j ct 0 ( β l ) Grup de Radifrecuencia, UC3M, Septiembre 009. Micrndas-3-4

15 Línea λ/ i(,t) v(,t),β L -l 0 in L Grup de Radifrecuencia, UC3M, Septiembre 009. Micrndas-3-5

16 Línea λ/4 i(,t) v(,t),β L - l 0 in L Grup de Radifrecuencia, UC3M, Septiembre 009. Micrndas-3-6

17 Línea acplada a tra línea Γ T 0 Γ [ ] j j ( ) β β e Γ e ( ) jβ T e <0 >0 T Γ Grup de Radifrecuencia, UC3M, Septiembre 009. Micrndas-3-7

18 Prpiedades del ceficiente de reflexión y de la nda estacinaria Cm cnsecuencia de la reflexión en la carga, las amplitudes de vltaje y de crriente permanecen estacinarias i a l larg de cada abscisa de la línea. ( Ls máxims curren cuand θ βl ) n. π Ls mínims curren cuand ( θ βl ) ( n ) π Máxims de vltaje cinciden cn mínims de crriente y viceversa. En una línea sin pérdidas el módul del ceficiente de reflexión permanece jβl cnstante. Γ() l Γ( 0) e Este lugar gemétric es una circunferencia en el plan cmplej de Γ l ( ) Existe una transfrmación bilineal entre impedancias y ceficientes: jβl Γ ( 0) e Γ( l) ( l) 0 ( l) l Γ( ) j βl Γ 0 e Γ l l ( ) ( ) ( ) 0 A cada ceficiente de reflexión le crrespnde un, y sól un, valr de impedancia. Grup de Radifrecuencia, UC3M, Septiembre 009. Micrndas-3-8

19 L Γ Γ L L Crrespndencia biunívca Carta de Smith Γ L L L L L Plan cmplej de impedancias. Plan cmplej de ceficientes Γ L. Representación cartesiana. Representación plar. Plan semiinfinit. Plan limitad pr la circunferencia Γ L. familias de rectas perpendiculares familias de circunferencias perpendiculares x Im(Γ) Biyección r Re(Γ) Grup de Radifrecuencia, UC3M, Septiembre 009. Micrndas-3-9

20 Carta de Smith Γ () l Nrmaliación ( l) ( l) ( l) r j Γ( l) w u jv e jβl ΓL ( u jv) L L ΓL r jx ( u jv ) L L jx r ( u ) r v ( u) v u v r r ( ) x v ( u) v x ( u ) v x Grup de Radifrecuencia, UC3M, Septiembre 009. Micrndas-3-0

21 r v r r Familia de circunferencias i u cn r cm parámetr ( ) r0 v r Centr r,0 r Radi r (0,0) (,0) u r Grup de Radifrecuencia, UC3M, Septiembre 009. Micrndas-3-

22 ( u ) v x x v x Familia de circunferencias cn x cm parámetr Centr Radi x x x, x x x0 (0,0) 0) (,0) x- u x-0.5 x- Grup de Radifrecuencia, UC3M, Septiembre 009. Micrndas-3-

23 Significad del sentid del mvimient en la carta? Sentid hrari: hacia generadr Sentid antihrari: hacia la carga Grup de Radifrecuencia, UC3M, Septiembre 009. Tema 3: Líneas de transmisión y carta de Smith Micrndas-3-3

24 CALCULADOR EN LA CARTA DE SMITH Para una ROE de, llevand una línea vertical pdems ver que el ceficiente de reflexión en vltaje es 0.33, el ceficiente de Reflexión en ptencia es 0. que, en db vale 9.54 db. Grup de Radifrecuencia, UC3M, Septiembre 009. Micrndas-3-4

25 Dble carta de Smith Y El ceficiente Г v - Г I Pasar de impedancias a admitancias supne girar 80º en la carta anterir. hacer una dble lectura en la carta dble Y. Grup de Radifrecuencia, UC3M, Septiembre 009. Micrndas-3-5

26 Adaptación de impedancias Supne pasar de un punt de ceficiente de reflexión (impedancia) riginal a tr final. Nrmalmente, aunque n siempre, el punt final es el rigen: ceficiente de reflexión 0 ó impedancia nrmaliada. Para realiar ese mvimient sól ns pdems mver pr circunferencias de un parámetr cnstante: Mvimient a l larg de la línea sin pérdidas: circunferencia de módul de ceficiente de reflexión cnstante. Inclusión de una celda de adaptación sin pérdidas: mvimient pr una circunferencia i de r ó g cnstante. t Inclusión de una celda de adaptación sól cn pérdidas: mvimient pr una circunferencia de reactancia cnstante (n es l habitual). Grup de Radifrecuencia, UC3M, Septiembre 009. Micrndas-3-6

27 Adaptación de impedancias Ejercicis de la carta de Smith Adaptadres simples Stub simple Dble stub Grup de Radifrecuencia, UC3M, Septiembre 009. Micrndas-3-7

28 Adaptadres simples jx 70 L 50 j0 d Encntrar la psición y el valr de la reactancia para cnseguir adaptación en la línea Grup de Radifrecuencia, UC3M, Septiembre 009. Micrndas-3-8

29 L L L 0.74 j0.4 Grup de Radifrecuencia, UC3M, Septiembre 009. Tema 3: Líneas de transmisión y carta de Smith Micrndas-3-9

30 L L 0.74 j 0. 4 Slución A: Slución B: Aimut 0.4 λ Impedancia vista j0.38 d ( )λ λ Aimut λ Impedancia vista - j0.38 d ( )λ 043)λ 0.36 λ Grup de Radifrecuencia, UC3M, Septiembre 009. Micrndas-3-30

31 Stub simple jb YL 0.4 j.35 d l Encntrar l y d para cnseguir adaptación en la línea Grup de Radifrecuencia, UC3M, Septiembre 009. Micrndas-3-3

32 Grup de Radifrecuencia, UC3M, Septiembre 009. Micrndas-3-3

33 Slución A: Aimut 0.93 λ d ( )λ 0.04 λ Admitancia vista j.3 Aimut de -j λ l ( ) λ λ Slución B: Aimut λ d ( )λ 0.54 λ Admitancia vista - j.3 Aimut de j λ l ( ) λ λ Grup de Radifrecuencia, UC3M, Septiembre 009. Micrndas-3-33

34 Dble stub λ/4 jb jb r l 00 Ω SWR 6.5 l Dmin vltaje a la carga 0.68 λ r?? Grup de Radifrecuencia, UC3M, Septiembre 009. l y l para adaptación de la línea?? Micrndas-3-34

35 Grup de Radifrecuencia, UC3M, Septiembre 009. Micrndas-3-35

36 Desplaándse 0.68 λ hacia la carga: r (0.6 j.6) 0 j30 Ω Yr 0. j0.55 Slución A: Slución B: Yr 0. j 0.4 Yr 0. - j 0.4 Admitancia del stub j0.4 j0.55 -j 0.4 Aimut de j λ l ( ) λ 0.8 λ Admitancia del stub -j0.4 j0.55 -j 0.96 Aimut de j λ l ( ) λ 0.9 λ Yin j.95 Yin j.95 Aimut de j λ Aimut de -j λ Grup de Radifrecuencia, UC3M, Septiembre 009. l ( ) λ 0.44 λ Micrndas-3-36 l ( ) λ λ

37 Criteri de Bde-Fan La demstración del criteri es muy cmpleja: H. W. Bde, Netwrk Analysis and Feedback Amplifier Design, NY, 945. R. M. Fan, Theeritical limitatins n the brad band matching f arbitrary impedances, Jurnal f the Franklin Institute, vl. 49, pp , January 950, and pp February 950. Se puede cnseguir una adaptación perfecta para un anch de banda especificad? Si n se puede, cuál es la relación entre el máxim ceficiente i de reflexión que ns pdems permitir en la línea y el anch de banda? Se puede evaluar la cmplejidad d de la red de adaptación? Grup de Radifrecuencia, UC3M, Septiembre 009. Micrndas-3-37

38 0 ln Γ w dw π ( ) RC Δw ln Γ m π RC Módul Γ Γm Δw w Grup de Radifrecuencia, UC3M, Septiembre 009. Micrndas-3-38

39 Principales cnclusines del criteri de Bde-Fan Para una carga dada, d se puede cnseguir un anch de banda elevad a expensas de aumentar el ceficiente de reflexión. El ceficiente de reflexión sól puede ser cer a frecuencias discretas. Circuits cn Q mayr sn más difíciles de adaptar que ls de Q menr: (Q alta equivale a valres de R y/ C alts) Grup de Radifrecuencia, UC3M, Septiembre 009. Micrndas-3-39

40 Tería de reflexines múltiples Γ T R L 0 Γ T Γ 3 Γ Γ 0 0 Γ Γ 3 Γ R L R L T Γ T Grup de Radifrecuencia, UC3M, Septiembre 009. Micrndas-3-40

41 Γ 3 Γ T T Γ T T Γ Γ T T Γ Γ... n0 ( ) n Γ Γ T T Γ 3 Γ3 Serie gemétrica Γ Γ Γ ΓΓ3 TT Γ3 3 ( ) R L Γ Γ ( )( R ) L Recrdar adaptadr de λ/4 Grup de Radifrecuencia, UC3M, Septiembre 009. Micrndas-3-4

42 Desadaptación de la carga y del generadr G Γ G i(,t) Γ l g v(,t),β L -l in ( ) [ ] jβl jβl in l e Γ l e g in g 0 e jββ l g g Γ j l in Γl Γ e β g g g g Grup de Radifrecuencia, UC3M, Septiembre 009. Micrndas-3-4

43 * P Re{ } ini in g Re in Rin g R R X X ( ) ( ) in g in g Ptencia entregada a la carga Carga adaptada a la línea P Ad t ió l j g ( ) ( ) Rg X g P g 4Rg Adaptación cmpleja Generadr adaptad a la línea cargada P R g g Rg X g 4( ) Grup de Radifrecuencia, UC3M, Septiembre 009. Micrndas-3-43 * in g

44 Línea de transmisión cn pérdidas ( R jwl) ( G jwc) γ α j β R << wl G << wc α β w R LC G L C Línea de Heaviside R L G C α R β w C L LC Grup de Radifrecuencia, UC3M, Septiembre 009. Micrndas-3-44

45 ( ) [ ] γ γ e Γ e ( ) [ ] γ γ I e Γ e in I ( l) ( l) tanh ( γl) ( γl) L Cn P L tanh L ptencia en la carga Pin [ αl ( ) ] Γ l e [ ] P Γ L P lss P in P L [( ) ( )] αl α e Γ e l Grup de Radifrecuencia, UC3M, Septiembre 009. Tema 3: Líneas de transmisión y carta de Smith Micrndas-3-45

46 CONCEPTO DE COEFICIENTE DE DESADAPTACIÓN Ptencia dispnible de un generadr Ptencia de entrada a la red sin pérdidas P dg g 8 R g Rg R 4 in P in P 8 Rg g in g dg g g Red sin g Γ S Γ in pérdidas M g M g in Adaptación cnjugada para máxima transferencia de ptencia Ceficiente de reflexión cnjugad: ρ in in Relación entre ceficiente de reflexión cnjugad y ceficiente de desadaptación: M g ρin * g in g * in g L Grup de Radifrecuencia, UC3M, Septiembre 009. Micrndas-3-46

47 CONCEPTO DE COEFICIENTE DE DESADAPTACIÓN (II) g g Red sin pérdidas g Γ S Γ in L M g in M Terema: el ceficiente de desadaptación a través de una red de adaptación sin pérdidas permanece cnstante a l larg de tda la estructura. M g M M M Grup de Radifrecuencia, UC3M, Septiembre 009. Micrndas-3-47

48 Cnclusines (I) Se ha presentad la línea de transmisión finaliada que rigina una nda estacinaria. Dicha nda estacinaria i viene caracteriada pr el ceficiente de reflexión en cada punt de la línea. En una línea sin pérdidas es cnstante el módul. Est supne una circunferencia. En una línea cn pérdidas hay un decrecimient del módul cn la variación de fase. Est supne una espiral. Al haber una aplicación biyectiva entre cada ceficiente de reflexión y cada impedancia, a cada ceficiente de reflexión le crrespnde una y sól una impedancia. Grup de Radifrecuencia, UC3M, Septiembre 009. Micrndas-3-48

49 Cnclusines (II) La carta de Smith cnstituye la herramienta básica para el análisis i de cualquier circuit it de micrndas. Cnsiste en una representación en el PLANO POLAR de ls ceficientes de reflexión. Pr la aplicación biyectiva entre ceficientes de reflexión e impedancias a cada ceficiente de reflexión en el plan plar le crrespnde un valr de impedancia admitancia. Grup de Radifrecuencia, UC3M, Septiembre 009. Micrndas-3-49

50 Cnclusines (III) Funcinalidades de la carta de Smith: Lectura directa del ceficiente de reflexión en módul y fase (mediante la superpsición de curvas de resistencia cnductancia- y reactancia susceptancia-, también se lee el valr de la impedancia). Obtención del valr del ceficiente de reflexión en cualquier punt de una línea sin más que hacer una rtación a través de una circunferencia de ceficiente de reflexión cnstante (centr el rigen y radi R). Representación de admitancias/impedancias sin más que hacer un gir de 80º (en la carta de Smith cnvencinal). Adaptación de impedancias mediante mvimients en, principalmente, ds familias de circunferencias: ceficientes de reflexión cnstantes y resistencias (cnductancias) cnstantes. Grup de Radifrecuencia, UC3M, Septiembre 009. Micrndas-3-50

51 Referencias. David M.Par: "Micrwave Engeneering" Secnd Editin 998, Jhn Wiley&Sns. (capítul 5). Rbert E. Cllin: "Fundatins fr micrwave engineering" New Yrk McGraw-Hill, 99. (capítul 5) 3. Bahl y Bhartia: "Micrwave Slid State Circuit Design", Wiley Interscience, 988, segunda edición. (capítul 4). Grup de Radifrecuencia, UC3M, Septiembre 009. Micrndas-3-5