El cálculo de primitivas de una función, esto es, el cálculo de la integral indefinida de una función, así como el cálculo de

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1 8 INTEGRALES El cálculo de primitivas de una función, esto es, el cálculo de la integral indefinida de una función, así como el cálculo de integrales definidas y su aplicación, son el eje fundamental de la unidad. Esta unidad comienza con las definiciones de primitiva e integral indefinida y la descripción de algunas propiedades básicas, en particular las referidas a la integral de la suma y el producto por constantes. A continuación se presenta una tabla de las integrales inmediatas así como la variación de la misma que considera la composición de una función cualquiera con las funciones elementales, esto es, las integrales cuasi inmediatas. La unidad continúa con una aproimación a la integral de Riemann a través de las sumas inferior y superior, orientado al cálculo de áreas para asentar una base intuitiva del concepto de integral definida cómo área bajo la curva. Posteriormente se detallan las propiedades básicas de la integral definida. A continuación, partiendo del teorema del valor medio se llega al teorema fundamental del cálculo integral (lo que permite trabajar con funciones definidas bajo el signo de integral, así como calcular su derivada). Para terminar por obtener la regla de Barrow, resultado que permite el cálculo de integrales definidas con sencillez, siempre que podamos encontrar la función primitiva. La última parte de la unidad se centra en la aplicación de los resultados e ideas que se han introducido previamente. Comenzamos por el cálculo de figuras planas definidas por una o dos funciones hasta alcanzar el cálculo de volúmenes de revolución. A través de ejemplos y ejercicios resueltos se pone en uso lo aprendido en esta unidad y la anterior, orientado principalmente al cálculo de áreas y volúmenes. Se trata de una unidad diseñada para dar un conjunto de herramientas técnicas para el cálculo de primitivas, cuya utilidad práctica se verá a continuación, cuando se trabaja la integral definida y sus aplicaciones. La metodología se ha diseñado incluyendo actividades de aprendizaje integradas que permitirán al alumnado avanzar hacia los resultados de aprendizaje de más de una competencia al mismo tiempo. Se desarrolla la competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología a lo largo de toda la unidad. A través del estudio de las integrales y sus propiedades, se desarrolla en el alumno la capacidad de aplicar el razonamiento lógico-matemático y sus herramientas para describir e interpretar distintas situaciones, así como un mayor conocimiento de la naturaleza de las funciones La competencia digital se integra a lo largo de la unidad haciendo partícipes a los alumnos de las ventajas que tiene recurrir a los medios informáticos. Especial interés tienen las actividades propuestas con herramientas tecnológicas a lo largo de los epígrafes, así como las actividades interactivas del test de autoevaluación que se encuentra al final de la unidad. A través de la incorporación del lenguaje matemático a la epresión habitual de los alumnos, se fomenta la competencia en comunicación lingüística. En esta unidad se presentan numerosos conceptos matemáticos que los alumnos han de utilizar correctamente a la hora de resolver actividades y problemas. La competencia aprender a aprender se fomenta a través de la autonomía de los alumnos a la hora de resolver problemas. Es fundamental que el profesor incida en las destrezas necesarias para comunicar con eficacia los resultados de la resolución de cualquier actividad, reto o problema. Las competencias sociales y cívicas se pueden desarrollar en esta unidad haciendo que los alumnos que antes dominen las técnicas que se detallan, ayuden a sus compañeros con más dificultades en este aspecto, potenciando el compañerismo, la empatía y la paciencia. Temporalización El tiempo previsto para el desarrollo de la unidad es de tres semanas, aunque deberá adaptarse a las necesidades de los alumnos. 8. Integrales 7

2 bjetivos Los objetivos que los alumnos tienen que alcanzar son: Aplicar los métodos básicos para el cálculo de primitivas de funciones. Resolver integrales de funciones sencillas aplicando las técnicas para el cálculo de primitivas. Manejar el concepto de integral definida y su relación con el área bajo una curva. Conocer y aplicar el teorema del valor medio, el teorema fundamental del cálculo integral y la regla de Barrow a la resolución de problemas. Calcular el área de recintos limitados por rectas y curvas sencillas o por dos curvas. Aplicar el cálculo de integrales definidas a la resolución de problemas. Atención a la diversidad Con el fin de atender los distintos ritmos de aprendizaje de los alumnos, se proponen algunas actividades de refuerzo y de ampliación que podrán utilizarse como alternativa o complemento a las que figuran en el libro del alumno. PRGRAMACIÓN DE LA UNIDAD Contenidos Criterios de evaluación Estándares de aprendizaje evaluables Competencias clave Función primitiva. Integral de una función Integrales inmediatas Integrales cuasi inmediatas Área definida bajo una curva Integral definida de una función continua Teorema fundamental del cálculo integral. Regla de Barrow Teorema del valor medio Teorema fundamental del cálculo integral Regla de Barrow Aplicación de la integral definida al cálculo de figuras planas Área delimitada por la curva, y f(), y el eje de abscisas Área delimitada por dos curvas, y f() e y g(). Conocer los conceptos de primitiva e integral indefinida, así como sus propiedades básicas y dominar las integrales inmediatas y cuasi inmediatas.. Manejar el concepto de integral definida y su relación con el área bajo una curva.. Conocer y aplicar el teorema del valor medio, el teorema fundamental del cálculo integral y la regla de Barrow a la resolución de problemas.. Calcular el área de recintos limitados por rectas y curvas sencillas o por dos curvas... Conoce los conceptos de primitiva e integral indefinida. CMCT CL.. Calcula integrales inmediatas, reconociendo la integración como un proceso inverso a la derivación... Reconoce las integrales inmediatas que implican una aplicación de la regla de la cadena y las calcula... Entiende la aproimación al área de una figura plana a través de la doble aproimación por rectángulos contenidos y que contienen a la figura... Identifica la relación entre área bajo una curva y la integral definida... Resuelve problemas de cálculo de valor medio a través de integrales... Reconoce funciones definidas bajo el signo de integral y sabe calcular sus derivadas... Conoce y aplica la regla de Barrow al cálculo de integrales definidas... Se apoya en programas informáticos específicos para comprobar cálculos, así como eplorar situaciones nuevas en el cálculo de integrales definidas... Conoce y aplica las propiedades de las integrales definidas al cálculo de estas... Entiende el significado del signo en el cálculo integral y lo adapta para el cálculo de áreas... Realiza investigaciones utilizando programas informáticos específicos para seleccionar y estudiar situaciones nuevas del cálculo de áreas. CAA CSC CMCT CL CAA CSC CMCT CD CL CAA CMCT CD CL CAA 8 Análisis

3 PARA EL PRFESR MAPA DE CNTENIDS DE LA UNIDAD PARA EL ALUMN Presentación de la unidad Repasa lo que sabes. Función primitiva. Integral de una función Propiedades de la integral. Integrales inmediatas. Integrales cuasi inmediatas Actividades de refuerzo Actividades de ampliación. Área definida bajo una curva. Integrales definida de una función continua Prueba de evaluación. Teorema fundamental del cálculo integral. Regla de Barrow Teorema del valor medio Teorema fundamental del cálculo integral Regla de Barrow Vídeo. Teorema del valor medio 7. Aplicación de la integral definida al cálculo de áreas de figuras planas Área delimitada por una curva, y = f(), y el eje de abscisas Área delimitada por dos curvas, y = f() e y = g() Vídeo. Área delimitada por una curva y el eje de abscisas Vídeo. Área delimitada por dos curvas EJERCICIS RESUELTS EJERCICIS PRBLEMAS EVALUACIÓN Actividades interactivas. Test de autoevaluación 8. Integrales 9

4 Repasa lo que sabes (página 9). Factoriza estos polinomios. a) P() c) R() 9 e) T() b) Q() d) S() 7 9 a) P() ( ) ( ) d) En este caso nos servimos de una calculadora gráfica para obtener las raíces: b) Q() ( )( ) S() (, ) (,8 ) (,9 ) c) R() ( ) e) T() ( ) ( ). Realiza las siguientes divisiones. a) ( ) : ( ) c) ( ) : ( ) b) ( ) : ( ) d) ( ) : a) ( ) : ( ) [/( )] b) ( ) : ( ) 7 [( )/( )] c) ( ) : ( ) [( )/( )] d) ( ) : /. Deriva las siguientes funciones. a) f() e b) g() / a) f () e e / e/ e b) g () /( ) () / ( 9 ) ( ) ( ). Estudia la continuidad de las siguientes funciones. a) f() b) g() a) Se trata de un cociente de polinomios, será continua siempre que el denominador no se anule. Estudiamos el punto donde se anula: lim lim Luego no eiste el límite en, ni f(), por lo tanto la función es continua en {}. b) Para empezar estudiamos el dominio analizando el signo del radicando: Luego el dominio de g() es (, ) (, ) y cómo la continuidad es siempre un subconjunto del dominio, solo necesitamos ecluir los etremos, pues en y no eiste uno de los ( ) límites laterales, por lo tanto la función es continua en (, ) (, ).. Representa la función f() si si, e si, La función está definida para todo valor de y es continua en cada trozo. Tenemos una rama de parábola, un segmento y una función eponencial. Estudiemos la continuidad en los puntos en que cambia: lim f() y lim luego la función es continua en. lim, y lim, (, ), e,89, los límites laterales no coinciden, luego (, ) la función no es continua en,. Los tres trozos son funciones simples, así que con esta información es suficiente para representarla. Su dominio es todo valor real, es continua en todo punto salvo en,, y es derivable en todos los puntos en los que es continua salvo en el, donde hay un pico.. Calcula la recta tangente a la gráfica f() en el punto de abscisa. f (), f(), f (), la recta tangente es: y ( ) y (, ) (, ) Análisis

5 SLUCINES DE LAS ACTIVIDADES DEL LIBR DEL ALUMN Sugerencias didácticas. Recursos TIC Teorema del valor medio (página 8) En el vídeo se muestra la resolución del ejercicio resuelto de esta página. Primero se aplica el teorema del valor medio y después se resuelve la ecuación para hallar el punto correspondiente. Puede utilizarse para mostrar en la pizarra digital un ejercicio de este tipo, indicando los pasos que deben realizarse, o para que los alumnos puedan repasar este procedimiento más tarde. Área delimitada por una curva y el eje de abscisas (página ) En el vídeo se puede ver la resolución del ejercicio resuelto de la página. Teniendo en cuenta la epresión de la función, se calcula el área resolviendo la integral racional con los límites de integración correspondientes. Puede utilizarse para mostrar en la pizarra digital un ejemplo completo de este tipo de ejercicios o para que los alumnos puedan repasarlos más tarde. Área delimitada por dos curvas (página ) En el vídeo se muestra la resolución del segundo ejercicio resuelto de esta página. Para calcular el área, primero se calculan los puntos de intersección y se representan gráficamente las funciones para determinar la integral definida correspondiente. Teniendo en cuenta la simetría de la región limitada por las funciones, se comprueba también que el área puede calcularse con el doble de una de las integrales anteriores. Puede utilizarse para mostrar en la pizarra digital un ejercicio de este tipo, indicando los pasos que deben realizarse, o para que los alumnos puedan repasar este procedimiento más tarde. (k C) k Calcula las siguientes integrales, descomponiéndolas si es necesario. a) d g) d b) d h) d c) d i) ( 7) d d) e e INTEGRALES INMEDIATAS n C n n (n ) n n (ln C) / si / si (e C) e a ln a C a ln a a ln a d j) d e) d k) f) d l) d d a) d C b) d C Actividades (páginas 98/) Comprueba que las integrales de las funciones que se ofrecen en la tabla son correctas derivando los resultados para obtener la función que se integra. k d k C n n d C, si n n d ln C e d e C a a d C, si a y a ln a INTEGRALES INMEDIATAS Derivamos cada uno de los resultados: c) / d C d) / d C e) / d C f) / d 8 C g) / d C h)( )d C i) ( 7)d 7 C j) ( / / )d 8 C k) ( )d ln ln C 8 l) /8 d 8 C 9 8. Integrales

6 Calcula las siguientes integrales definidas. 8 Calcula el área delimitada por la gráfica de la función 8 d f(), el eje de abscisas y las rectas de ecuación a) ( )d d) (l n ) y. e b) d A e) d ( ) d d c) d ln( ) 8 ln ln a) Como la integral indefinida es C: 9 Calcula el área delimitada por las gráficas de las funciones f() y g(). ( ) d 9 Los puntos de intersección de las gráficas es en y. 7 b) Dado que la integral indefinida es ln C, tenemos que: e d [ln ]e c) Como la integral indefinida es / C si : / C si d d) Dado que la integral indefinida es C, tenemos que: ln 8 8 d (l n ) l n ln ln 8 e) Dado que la integral indefinida es ln C, tenemos que: d ( ) ln ln Averigua el área que determinan la gráfica de la función f(), el eje de ordenadas, el eje de abscisas y la recta de ecuación. Teniendo en cuenta que la función es un valor absoluto: ( )d ( )d, u / A / Determina el área de la región delimitada por la curva y 7 y el eje de abscisas. La curva corta al eje de abscisas en, y. A ( 7 )d 9,7 u / ( 7 )d Calcula el área de la región del plano encerrada por la gráfica de la función f() e, el eje de abscisas y la recta de ecuación. La curva corta al eje de abscisas en. A (e )d [e ] e,9 Calcula el área que determinan la curva y, ( ) los ejes de coordenadas y la recta de ecuación. La curva corta al eje vertical en (, ). A d ( ) u A d / u Determina el área de la región del plano limitada por las curvas y e y. Por simetría, y dado que los puntos de corte de ambas curvas están en y, tenemos que: A u ( )d Calcula el valor del coeficiente b sabiendo que el área delimitada por la parábola y b y la recta y, es u. Igualando ambas ecuaciones: y b b ( ( b ))d (,b) b (b ) La igualdad se cumple para b y b. Ejercicios y problemas (páginas 7/) Cálculo de integrales indefinidas Calcula las siguientes integrales. a) d b) d c) (ln ) d d) d ln () a) d 7 C b) d ln ( ) C ln c) (ln ) d (ln ) C d) d ln ln C ln Análisis

7 Calcula las siguientes integrales. Halla la función f() tal que f (), sabiendo e que f(). a) d e f() d ln ( ) C b) d Como f(), sustituyendo, obtenemos: C Por tanto: f () ln ( ) c) d 7 Encuentra la primitiva de f() sabiendo que d ( ) d) su gráfica tiene como asíntota horizontal y. e F() d C C C a) d ln( e ) C ( ) ( e ) Si lim F() C b) d C Luego: c) d F() ( ) C d d) C Calcula las siguientes integrales. a) ln ( ) d b) d c) e d a) ln ( ) d ln ( ) d ln ( ) C b) d d / d d ln( ) C c) e d e d e C Cálculo de primitivas Calcula la primitiva de la función que se anula en el punto de abscisa : f() d ( ) C C C F() ( ) Calcula la primitiva de la función f() (ln ) que se anula en e. F () (ln ) d (ln ) [ln ] d (ln ) C Como F(e), se tiene C /, y por lo tanto: F () (ln ) 8 Encuentra la primitiva de la función f() cuya l n recta tangente en e pasa por (, ). d F() ln ln C ln F(e) C F (e) f (e) e Luego la ecuación de la recta tangente a F en e, es: y C ( e) e Como debe pasar por (, ), tenemos: C C Es decir: F() ln ln Integral definida 9 a) d b) Calcula el valor de las siguientes integrales definidas. e d) (ln ) d d e) d c) ( ) d a) d ( )/ b) c) d ln ( ) ( ) d ) ( 7 9 e d) (ln ) d (ln ) e ( ) d e) d ( ) / 8. Integrales

8 Calcula el valor de las siguientes integrales definidas. De modo que: C C Luego f() a) d b) d c) d a) b) c) d ln ( ) d ln ( ) d ( ) d 8 d ln ln Teorema fundamental del cálculo integral Halla el valor medio de la función f() e en el intervalo [, ] y calcula en qué punto del intervalo se alcanza. El valor medio de f() e en [, ] es: e d e ()d e e, Apoyándonos en una calculadora gráfica obtenemos,8 Halla la derivada de las siguientes funciones. dt a) G() c) G() t e t dt b) G() dt d) G() t e t dt Usando el teorema fundamental del cálculo integral y la regla de la cadena, obtenemos: a) G () b) G () c) G () e e d) G () e Áreas Dada la función f(), calcula el área limitada por la gráfica de la función, el eje y las rectas verticales y. Dom f {} En hay una asíntota vertical. La función se anula en, y es positiva en el intervalo (, ). A d ln,87 u Sabiendo que la gráfica de la función f() pasa por el punto (, ) y que su función derivada es f (): a) Determina la epresión de f(). b) Calcula el área de la región limitada por la gráfica de f() y el eje de abscisas. a) f() ( )d C y f() b) Puntos de corte con el eje de abscisas: y u A ( )d Se sabe que cierta función derivable F() verifica las condiciones F () y F(). a) Calcula F(). b) Calcula el área delimitada por F() y el eje desde hasta. / a) F() d / d C / C 7 8 Imponiendo que F(), se obtiene: C C La función pedida es: F() b) Teniendo en cuenta que la función es siempre positiva, el área se obtiene al calcular: A F()d d 7 / 7/ 7 7 Calcula el área de la región limitada por la gráfica de la función f() e en, el eje de abscisas y la recta vertical. La función es positiva en de modo que el área de la región dada en el enunciado es:,9,8,7,,,,,, A e d e e u La gráfica de f() para, es:,,,, a) Halla una primitiva de f. b) Calcula el área de la región sombreada. a) Una primitiva de la función dada es: F() ln( ) b) El área sombreada es: A d ln( ) ln 7 u 7 Buscando sus etremos relativos y sus puntos de corte con los ejes, realiza una representación aproimada de la curva de ecuación y. A continuación, calcula el área encerrada por esta curva y el eje de abscisas. Para calcular los etremos relativos hacemos: Análisis

9 9 f (),, f () f (), en (, ) tenemos un máimo relativo. f, en, tenemos un mínimo relativo. f, en, tenemos un mínimo relativo. Los puntos de corte: (, ), (, ) y (, ) La gráfica aproimada es:,,,,,,,8,,,8 A,,, Dada la función f() y ( )d u,se pide: a) Dibuja su gráfica indicando su dominio, asíntotas, intervalos de crecimiento y decrecimiento, máimos y mínimos relativos, intervalos de concavidad y conveidad y puntos de infleión. b) Calcula el área comprendida entre el eje y la gráfica de f() entre. a) Dominio: (, ) Asíntota vertical ya que: lim e f () f() decrece en (, ) y crece en (, ). Mínimo relativo (y absoluto) en (, e). La segunda derivada es: (( )7/ ( ) / ( 8 8) 8 )e ( ) / Es siempre positiva. Es siempre cóncava, y por lo tanto no tiene puntos de infleión. Se recomienda el uso de software especializado para resolver esta actividad. e, e ( ) b) A d e e d e d e e e,88 u Dada la función f() calcula el área de la región acotada encerrada por su gráfica y el eje. Calculamos los puntos de corte con el eje : A d ln d 7,77 7,8 Calcula el área del recinto que está limitado por las curvas y e y. Calculamos los puntos de intersección de ambas curvas: ; y Entonces, el área pedida es: A [ ( )]d 9 9 u ( )d Calcula el área comprendida entre las gráficas de f() y g() en el primer cuadrante. si (, ) (, ) f () si [, ] A continuación se calculan las abscisas de los puntos de intersección de la recta y de la parábola: ; 8 y f () = e + + y y 8. Integrales

10 En el primer cuadrante, el área es: A [ ( )]d ( )d [ ( )]d ( )d 7,7 u Determina el área encerrada por las curvas y e y en el primer cuadrante. Las abscisas de los puntos de intersección de ambas curvas son, y. y En la figura aparece una curva que representa una función polinómica de grado dos. Los puntos de intersección de la curva con el eje son el (, ) y el (, ). Además, el área limitada por la curva y los dos ejes de coordenadas vale / u. Halla la epresión de la función polinómica. (, ) (, ) La función polinómica de grado dos debe ser de la forma: f() a( )( ) a( ) El valor del área corresponde, con signo negativo, al valor de la integral definida de f() entre y : a ( )d a a a La epresión buscada es: El área encerrada por las curvas y en el primer cuadrante es: A d / u Calcula el área del recinto de limitado por las gráficas de las funciones f () y g() cuando se consideran valores de. f() Calcula el área de la región limitada por las curvas y e y. Las curvas se cortan en:, y / Como entre y la hipérbola está por encima de la parábola calculamos: A d ln() ln, u Averiguamos los puntos de intersección de las gráficas: ( ) Las soluciones son, y. 7 Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones f(), g() y el eje de abscisas. y y y El área buscada es: A ( )d u La abscisa del punto de intersección de la parábola y la recta es: ; La primera solución no es correcta. En consecuencia, el área que hay que determinar es: A ()/ d d ()/ u Análisis

11 8 Representa gráficamente el recinto plano limitado, en la región donde la abscisa es positiva, por la curva y y por la recta y. Calcula su área. 9 Los puntos de corte son y. ( )d ( )d, u Dadas las funciones: f() g() a) Dibuja el recinto plano limitado por las funciones. b) Halla su área. a) y y b) Puntos de corte en y. y ( )d y u Halla la ecuación de la recta tangente a la curva de ecuación y en el punto de abscisa. Calcula el área del recinto limitado por la tangente y la curva dada. La recta tangente es y. Corta a la curva en y. A ( )d,7 u y y Calcula el área encerrada entre la gráfica de la función eponencial f() e y el segmento que une los puntos de abscisas y. En primer lugar calcularemos la ecuación de la recta que une los puntos (, e) y, e, la pendiente de esta recta es m e e, imponiendo que pasa por (, e), tenemos: y e e e e A e e e e e d e e e e e e La curva y y la recta que pasa por los puntos A(, ) y B(, ) limitan un recinto finito del plano. Traza un esquema gráfico de dicho recinto y calcula su área. La recta tiene por ecuación: y Puntos de corte: y A ( ( ))d u a) Estudia y representa gráficamente la función f(). ( ) b) Halla el área de la región acotada comprendida entre la gráfica de la función anterior y las rectas y,. a) Dom f {} Asíntota vertical: Asíntota horizontal: y En (, ) la función es creciente, en (, ) la función es decreciente. No hay etremos. b) Cuando y, la curva y la recta se cortan en A / ( ) d, u / La curva y divide al cuadrado de vértices A(, ), B(,), C(, ) y D(, ) en dos recintos. a) Dibuja dichos recintos. b) Halla el área de cada uno. a) y y / f() ( ) y y e 8. Integrales 7

12 7 b) Veamos cuál es el área comprendida entre la recta y y la curva y,si : Punto de intersección para : / / A ( )d / El área del resto del cuadrado es: A u u Haz un dibujo del recinto limitado por las curvas y y y. Calcula el área de este recinto. Las curvas se cortan en y. Para realizar el dibujo hay que «eagerar»: y se asemeja a una «parábola» cóncava con mínimo en e y se asemeja a una cúbica siempre creciente con punto de infleión en (, ). A y y d u Calcula el área que, en el primer cuadrante, delimitan las curvas y, y e y. Puntos de cortes de las parábolas con la recta son y : ( )d ( )d A u Calcula el área de la región limitada por la curva y ln y las rectas y, y ln y. y y ln 8 y 8 y y y ln (, ln ) 8 9 El área de la región sombreada se puede calcular restando al área del rectángulo de base y altura ln, el área que delimita la curva y ln con el eje de abscisas entre y : A ln ln d Buscamos una primitiva de la función f() ln : u ln du ln d d dv d v Aplicando la regla de Barrow: ln C A ln ln d ln ln ln ( ln ) u Dibuja el recinto limitado por y, su recta tangente en el punto P(, ) y la recta y. Calcula su área. Vértice de la parábola: V (, ) Ceros de la parábola: y m f () es la pendiente de la tangente que hay que encontrar; como f () m. La tangente es: y ( ) y El punto de intersección de ambas rectas es, 9. El recinto que determinan las dos rectas y la parábola es: y / A [ ( )] d / / [ ( )] d /( ) d / y d / y u Calcula el área de la región plana limitada por la parábola y, su recta tangente en el origen de coordenadas y la recta. Dibuja también esta región. La pendiente de la tangente a la parábola en el ori- 9 gen es m y (). 8 7 Como y m Luego la ecuación de la recta tangente es y. El recinto del que se debe averiguar el área es el que muestra la figura de la derecha: y y 8 Análisis

13 A [ ( )] d 8 u Halla el área limitada por y y la recta tangente a la misma en el punto en que alcanza su máimo relativo. Dibuja el recinto. y Posibles etremos: y y. Como y (), en la función tiene un máimo relativo. La ordenada que corresponde a es y. Por tanto, la recta tangente en (, ) es horizontal y tiene por ecuación y. Los puntos de intersección de y e y son: ; El recinto del cual se debe calcular el área es: y El área buscada es: A d ln ln u Volúmenes ln Calcula el volumen del cuerpo de revolución que genera el recinto limitado por la curva y ( ) y el eje de abscisas, al girar alrededor de dicho eje. Los puntos de intersección de la curva y el eje de abscisas son y. Por tanto, el volumen será: V ( ) d ( ) d u A [ ( )] d y 7 u Calcula el área del recinto plano limitado por la curva y y la recta perpendicular a la recta y que pase por el punto de coordenadas (, ). La pendiente de la perpendicular a y es : y ( ) y Buscamos las abscisas de los puntos de intersección de esta recta y la hipérbola: y ; y El recinto del cual se debe calcular el área es: Calcula el volumen del casquete parabólico generado por la parábola y,entre y, al girar alrededor del eje. V 9 d u Calcula el volumen del cuerpo de revolución obtenido al girar la elipse y alrededor del eje. y y Los puntos de corte con el eje son: y V d ( )d, u Calcula el volumen que engendra la figura del plano delimitada por la hipérbola y y la circunferencia centrada en el origen de radio 7 en el primer cuadrante. y y 7/ La ecuación de la circunferencia es y 7 y 7 La circunferencia y la hipérbola se cortan en 7, y V, 7 d 7 9/, 8. Integrales 9

14 Actividades de aplicación Determina: a) Los máimos y mínimos relativos y los puntos de infleión de la función f(). b) Una función F() tal que su derivada sea f() y F(). La función es continua en. a) f () ( ) Halla la ecuación de una curva y f() sabiendo que pasa por el punto (, ) y que la pendiente de la recta tangente en el punto de abscisa es m. f() ( ) d C Como: f() C C Luego: f() 7 8 f () si y f () ( ) ( ) f () y f () Por lo que en hay un máimo relativo y en un mínimo relativo. f () si y Estudiando el signo de la derivada segunda alrededor de estos punto se determina que los tres son puntos de infleión. b) F() d ln( ) C C Luego la función es F() ln( ). Se sabe que la gráfica de una función pasa por el punto (, ) y que f (). Se conoce también que su derivada segunda es la función g(). Calcula la función f. f () d C Como f () C C f() d C Como la gráfica pasa por (, ), f (), es decir: C C Por tanto, la función es f (). Halla f() sabiendo que f(), f () y f (). Halla la ecuación de la curva y f() que cumple que f (), y la recta tangente en el punto de abscisa tiene por ecuación y 9. f () C Puesto que f () 9 9 C C Luego: f () De donde, integrando, f () C. Puesto que la recta es tangente en el punto (, ): 9 C C Luego la curva buscada es: y De una función y f() sabemos: Su dominio de definición es todo. si Su función derivada es: f () si f() es continua en todo punto y f(). Determina el valor de f() y dibuja la gráfica de la función f(). La función f () deberá ser de la forma: C si f() C si siendo f continua en, y con f(). Con la última condición determinamos C: () C C Ahora, imponemos que sea continua en : C C 7 f () d C Como f () C Por lo que la función buscada es: si f() 7 si f () d C Como f() C La función pedida es f(). si f() 7 si 9 Determina la función F() que: F () La gráfica de la función F() presenta un mínimo en el punto de ordenada. F() C V 9 8 C C F() Análisis

15 Ejercicios de aplicación Considera la función f(). a) Calcula los puntos en que la gráfica corta a los ejes. b) Calcula los etremos relativos (máimos y mínimos), así como los intervalos de crecimiento y decrecimiento f. c) Dibuja la gráfica de f. d) Calcula f()d. a) f() si. El dominio es, es continua,y si corta a los ejes en el origen de coordenadas (, ). si b) f () si f (), puesto que f () f () En hay un punto anguloso. f () si f() decrecen en f () si f() crecen en En, y, es un mínimo absoluto: m(, ) c) 9 y 8 7 d) 7 f()d ( )d ( )d Dadas f() a y g() b. a) Calcula a y b de manera que las gráficas de f() y g() sean tangentes en el punto de abscisa, es decir, que tengan la misma tangente en este punto. b) Halla la ecuación de la recta tangente del apartado a). c) Para el valor de a obtenido en el primer apartado, calcula el valor del área de la región limitada por el eje de abscisas y la función f(). a) Las gráficas de las dos funciones serán tangentes en si f() g() y f () g (). 9 a f() a, b 9 b 7 a b) La recta tangente pasa por (, ) y tiene de pendiente : y c) Para calcular el área se deben calcular los puntos de corte con el eje: y A ( )d u La función derivada f () de una cierta función continua f: es una función a trozos formada por las semirrectas del dibujo. a) Determina si es derivable en todos los puntos de y por qué. b) Estudia el crecimiento y decrecimiento de f(). c) Averigua si f() tiene algún etremo relativo y, si es así, para qué valor de y de que tipo. d) Sabiendo que f(), calcula f(). a) La función es derivable en {}. b) La función crece para los valores con derivada positiva, es decir (, ) y decrece (, ). c) Para la derivada vale y pasa de positiva a negativa, por tanto en este punto tenemos un máimo relativo. d) El área de la función derivada desde hasta vale : f ()d f() f() f() Los beneficios de una empresa, en miles de euros por año, se ajustan a la siguiente función: B() A cuánto ascienden los beneficios acumulados en los cinco primeros años de vida de la empresa? B (acumulados) d ln ( ) (ln 9 ln ),9 Por consiguiente, los beneficios acumulados ascienden a 9,. Actividades tipo test Escoge y razona la respuesta correcta en cada caso. 8 Si F () y la gráfica de F() presenta un mínimo en el punto de ordenada, entonces: a) F() c) F() 8 b) F() d) F() 8 La respuesta correcta es la d). Veámoslo: Al integrar F () obtenemos F() F() C. Para hallar el valor de C, veamos cuáles son los etremos relativos de F. F () El etremo está en el punto de abscisa, por otro lado según el enunciado la ordenada en ese etremo es. De modo que hacemos que la función pase por el punto (, ). ( ) () C C 8 8. Integrales

16 9 En un plano el trazado de una carretera discurre según la ecuación y, siendo un río el eje. En el terre- no entre el río y la carretera hay un pinar. Si epresamos las distancias en kilómetros, cuánto vale el pinar si la hectárea se paga a euros? a) b) c) La respuesta correcta es la b). Veámoslo: y d 8 Ha /Ha 8 km 8 Ha Análisis

17 Evaluación (página ). Calcula una primitiva de la función: f() ln / F() d d ln C ln n l. Resuelve las siguientes integrales. e a) / d b) d c) ( ) d e a) d e C / b) d ( ) d ( ) d ln( ) C c) d d ( ) d ln( ) C. Dada la función f(), en el intervalo [, ] y la partición P del mismo formada por los puntos P {,,,, }, halla la suma superior y la suma inferior correspondientes a dicha partición y dicho intervalo. Suma superior: ( ()) 8 ( ()) ( ()) ( ) ( ) Suma inferior: ( ()) ( ()) ( ()) () ( ) () ( ). Halla el valor medio de la función f() ( ) en el intervalo [, ]. / / d / /,7. Encuentra el punto en el que se alcanza el valor medio de la función f() en el intervalo [, ]. El valor medio es: ( )d El punto en que se alcanza es el que satisface la ecuación f(),esto es que tiene dos soluciones: Ambos valores pertenecen al intervalo y en los dos se alcanza el valor medio.. Determina la derivada de la función G() en. t G () ( ) G () 7. Calcula el área limitada por la curva y en el intervalo [, ]. Por simetría el área se puede calcular como: A / d u 8. Integrales

18 8. Halla el área de la región del plano delimitada por la curva y y las rectas y y. Hallamos la intersección de la curva con la primera recta: ( )( ) Luego se cortan en y. Ambas funciones son continuas, luego para calcular el área debemos calcularla por separado en cada intervalo:,,,,, ; observando qué función está por encima en cada uno. Finalmente se calcula: A ( )d ( )d ( )d 9,7 u Llamando F(), hemos calculado: F F() F F F() F F() F() F F 9. Determina la función cuya derivada segunda es sabiendo que su gráfica pasa por el punto (, ) y en dicho punto la pendiente de su recta tangente es. f () f() f () f ()d C f (), usamos el valor conocido que toma la derivada en para calcular la constante de integración: f () C C f () Procedemos de la misma manera para obtener la función:f ()d C f(), basta usar que la gráfica pasa por (, ) para obtener la constante: f() C C f(). Averigua la ecuación de la parábola f() a b c que en el punto de abscisa tiene por tangente la recta y, y f (). f() a b c f () a b f () a a / Además, por ser la gráfica tangente a la recta indicada en se tiene: f () y f() Así pues: b b y / () () c c 9/ Por lo tanto: f() 9. Determina una constante positiva, a, sabiendo que la figura plana delimitada por la parábola y a, la recta y y la recta a, tiene área A (a ). La parábola pasa por el origen independientemente de a, luego tenemos que: a A a d a a a a y A (a ), igualando obtenemos a a a a Resolviendo llegamos a la solución a /, pues solo nos interesa la solución positiva de la ecuación.. La evolución de la demanda de un producto, en miles de artículos, en los cinco años transcurridos desde su aparición en el mercado, viene dada por la epresión d(t) e,t, donde t epresa el tiempo, contado por semestres. Encuentra: a) El número de artículos demandados durante los tres primeros años. b) La demanda media de artículos durante los dos últimos años. a) e,t dt e,t, ( e, ) 7,9 Luego unos 7 9 artículos. b) La demanda media anual de los últimos dos años viene dada por: e,t dt e,t, ( e e, ) 8,99 Una media anual de 8 99 artículos. Análisis