20. EQUILIBRIO GENERAL DE UN PRODUCTOR Y UN CONSUMIDOR

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2 20. EQUILIBRIO GENERAL DE UN PRODUCTOR Y UN CONSUMIDOR La literatura de prinipios del siglo XVIII nos dotó de una historia en la ue un hombre, habitante únio de una isla, atúa por momentos omo produtor y, a la vez, atúa omo un onsumidor, pero ambas aiones deben oinidir. El objetivo de este apítulo es exponer el euilibrio general de un produtor y un onsumidor al determinar un plan de produión y onsumo ue maximiza el benefiio y la utilidad del individuo ante las restriiones impuestas por la tenología y la disponibilidad de reursos 1. Red oneptual 1. El euilibrio general de un produtor y un onsumidor. 1 Produtor 1 Fator EQUILIBRIO GENERAL 1*1*1*1 1 Bien 1 Consumidor Al finalizar el tema, usted estará en ondiiones de: Demostrar la existenia del euilibrio general en el enfoue entralizado, es deir, maximizar la utilidad del onsumidor sujeto a la restriión tenológia; Comprobar la existenia del euilibrio general en el enfoue desentralizado, es deir, en primer lugar, maximizar la produión sujeta al isobenefiio y en segundo lugar, maximizar la utilidad del onsumidor sujeto a su restriión presupuestal; y Argumentar la Ley de Walras en el euilibrio general simple FUNCIÓN DE PRODUCCIÓN Y DE UTILIDAD Para simplifiar la exposiión del euilibrio general simple se supone la existenia de un agente ue simultáneamente atúa omo produtor y onsumidor. En ambos roles se omporta de forma ompetitiva, es deir, el produtor y el onsumidor atúan omo tomadores de preios, por lo ue onsideran los preios del bien y el fator dados. El agente 1 El presente apítulo onstituye parte de los mirofundamentos del modelo de ilo eonómio real de la nueva eonomía lásia.

3 eonómio, generalmente llamado Robinson Crusoe 2, representa la ombinaión de una eonomía doméstia y una empresa, por lo ue el agente ombina atividades de onsumo y de trabajo de la eonomía doméstia on las atividades de produión y de ontrataión de mano de obra de la empresa. El produtor ontrata unidades de fator trabajo, denominadas, para produir el bien de onsumo denotado por x, la funión de produión es la relaión entre las horas de trabajo y la antidad produida del bien, matemátiamente x f. Se supone ue la funión de produión umple on las ondiiones de Inada, es deir, uando se emplean ero unidades de fator el produto es nulo, onforme se adiionan unidades de fator trabajo el volumen de produión aumenta, pero el trabajo presenta rendimientos marginales dereientes, por lo ue ante su aumento la funión pierde eleridad (se aplana). Asimismo, se presume ue el sistema de preferenias del onsumidor son ontinúas, monótonas y onvexas definidas en torno al onsumo de oio y de unidades del bien produido por la empresa. La dotaión total del tiempo disponible del agente se denota por (veintiuatro horas en un día, por ejemplo) y el tiempo de trabajo por, por lo ue el tiempo de oio, denotado por o, se puede definir omo el tiempo disponible menos el tiempo de trabajo, es deir, o ; por su parte, representa el bien de onsumo, este es pereedero y no se puede almaenar de un período a otro, además la dotaión iniial del bien por parte u u o, u,. del onsumidor es nula. Así la funión de utilidad del onsumidor es El euilibrio general tiene dos enfoues, el entralizado donde el trueue es el método de interambio y, el desentralizado en donde los preios de merado umplen su papel de inentivo para realizar interambios EL ENFOQUE CENTRALIZADO El enfoue entralizado utiliza el trueue omo meanismo de interambio. La funión de produión expresa ue el volumen de produión de la empresa depende positivamente del tiempo de trabajo o esfuerzo laboral, x f en donde x es el volumen de produión y es la antidad de trabajo utilizado en el proeso produtivo. La funión de produión, grafiada en la Ilustraión 20.1, umple las siguientes propiedades: uando se oupan ero horas de trabajo la produión es nula, x f 0 0, ante el aumento de horas de trabajo el volumen de produión siempre aumenta y la funión 2 La vida e inreíbles aventuras de Robinson Crusoe, marinero de York es la obra más famosa de Daniel Defoe, publiada en 1719 y onsiderada la primera novela inglesa. Es una autobiografía fitiia del protagonista, un náufrago inglés, ue pasa 27 años en una remota isla tropial. La historia tuvo omo inspiraión hehos reales ourridos a Pedro Serrano y Alexander Selkirk. Robinson, fue el únio superviviente del naufragio de un baro merante y vivió durante algunos años ompletamente solo en una isla deshabitada era a la desemboadura del río Orinoo de Améria; hasta la apariión de Viernes, un nativo de la región.

4 es reiente, Miroeonomía. Teoría, simuladores omputaionales y retos. dx df 0, pero aumentos adiionales de trabajo generan rendimientos d d marginales dereientes, por lo ue se va aplanando, 2 2 d f d x. d d x Ilustraión La funión de produión de la empresa. x f 0 Donde: = Fator trabajo. x = Bien de onsumo. La funión de produión umple las ondiiones de Inada, es deir, on ero unidades de fator el produto es nulo (parte del origen), onforme se adiionan horas de trabajo el volumen de produión aumenta (la funión siempre es reiente), pero el trabajo presenta rendimientos marginales dereientes (la funión se va aplanando). El agente tiene una antidad fija de tiempo en ada período,, ue puede distribuir entre trabajo () y oio o, además debe onsumir (). En este tenor, la funión de utilidad del agente es una disyuntiva entre antidad de oio y onsumo. La Ilustraión 20.2 muestra todas las ombinaiones posibles de onsumo y esfuerzo laboral para un nivel de utilidad u u,, la utilidad del onsumo es dado. La funión de utilidad es la siguiente u u, reiente 2 2 u u, 2 2 utilidad marginal es dereiente, pero la utilidad marginal del onsumo es dereiente ; en tanto, la utilidad del oio es reiente 2 2 u u, 2 2 un mal 3 (por eso su signo negativo) su utilidad es dereiente utilidad marginal del trabajo es reiente 2 2 u u, 2 2 u u, y su. Cabe señalar ue el trabajo al ser 0. u u, 0, pero la 3 Si, el trabajo es un mal; es tan malo ue hay ue pagarlo para ue lo realien!

5 u u, u 3 u 2 u 1 u 0 0 Ilustraión Curvas de indiferenia Donde: = Fator trabajo. = Consumo. u = Curvas de indiferenia. Las urvas de indiferenia muestran todas las ombinaiones de onsumo y esfuerzo laboral para un nivel de utilidad dado. Su pendiente india la antidad de onsumo ue reuiere el agente para ompensar el aumento de una hora de trabajo (la relaión marginal de sustituión oio-onsumo). El nivel de utilidad es onstante a lo largo de una urva de indiferenia, pero a medida ue el individuo se desplaza vertialmente a otras urvas, manteniendo fija la antidad de trabajo, eleva su onsumo y aumentando su utilidad. La pendiente en ualuier punto de la urva de indiferenia india el inremento del onsumo neesario para ompensar el aumento de una unidad de trabajo (euivalente a la pérdida de una unidad de oio); se le denomina relaión marginal de sustituión oio-onsumo. En términos geométrios la relaión marginal de sustituión oio-onsumo es la pendiente de la urva de indiferenia; en términos matemátios es la razón de la utilidad marginal del oio respeto a la utilidad marginal del onsumo, esto es: RMS OC u, u, Relaión marginal de sustituión oio-onsumo Por otra parte, se supone ue el agente onsume todos los bienes ue produe, por lo ue: x f. El onsumo es una fuente de utilidad para el agente y sólo podrá onsumir más si eleva la produión. El problema del agente es identifiar la antidad de oio, por tanto de trabajo, y la antidad de onsumo onsistente on la dotaión iniial de tiempo disponible y el estado del arte de la tenología ue maximie la utilidad del agente. Matemátiamente, el problema del agente es maximizar su utilidad, la ue depende de su antidad de oio y de onsumo, sujeto a la disponibilidad de tiempo y a la restriión tenológia, a saber:, max u o, u, s.. a x f El problema de maximizaión restringida se simplifia utilizando una funión auxiliar lagrangiana y sustituyendo el onsumo () por las unidades produidas del bien de onsumo (x), a saber:, x, max u, x f x

6 Las tres ondiiones de primer orden son las siguientes: u, x f UMo UMo f ' 0 f ' u, x x UMx 0 UMx x x x f x 0 UMo Como: UMx f f ' PMg UMo UMx RMSo En el euilibrio general de un produtor y un onsumidor la produtividad marginal del trabajo debe ser igual a la relaión marginal de sustituión oio-onsumo 4. Este resultado signifia ue el agente eonómio elige la ombinaión de antidad de trabajo y antidad del bien de onsumo ue maximiza su utilidad, por tanto, elige la ombinaión 0, x 0, auel punto en donde la funión de produión es tangente a la urva de indiferenia, tal omo lo presenta el punto A de la Ilustraión ' x, u u, x 0 B RMS PM 0 x f u 0 u 2 u 1 0 A Ilustraión La eleión oioonsumo Donde: = Fator trabajo. x = Bien de onsumo. = Consumo. u = Curvas de indiferenia. El euilibrio se alanza en el punto de tangenia entre la urva de indiferenia y la funión de produión, determinándose la antidad de trabajo, la produión y el onsumo de euilibrio. En diho punto la relaión marginal de sustituión oioonsumo debe ser igual a la produtividad marginal del trabajo. Suponga ue la eonomía doméstia parte de la ombinaión de trabajo y onsumo representada por el punto B de la Ilustraión 20.3, en diho punto la utilidad del onsumo es igual al volumen de produión, pero la produtividad marginal del trabajo es mayor ue la relaión marginal de sustituión oio-onsumo, por lo ue el punto B no representa un euilibrio, más bien es un inentivo a inrementar el esfuerzo laboral en una antidad mayor 4 Note ue el valor de la relaión marginal de sustituión oio-onsumo es negativa. Esto suede porue la relaión marginal de sustituión es dereiente, pero omo en este aso el trabajo es un mal la multipliaión por menos uno debe mostrarse negativa.

7 a la orrespondiente al punto B. Cuando la diferenia desaparee ya no ompensa trabajar más, porue al elevarse el trabajo y al desplazarse a lo largo de la funión de produión más allá del punto B, la eonomía doméstia enuentra urvas de indiferenia más elevadas aumentando su utilidad. Para identifiar la antidad de trabajo y de onsumo del agente es neesario busar la urva de indiferenia más alta ue toue en un sólo punto a la funión de produión. El punto de tangenia de la urva de indiferenia y la funión de produión determina la ombinaión de trabajo y de bienes de onsumo. En el euilibrio la pendiente de la urva de indiferenia debe ser igual a la pendiente de la funión de produión, es deir, la produtividad marginal del trabajo debe ser idéntia a la relaión marginal de sustituión oio-onsumo. Lo anterior uiere deir ue el produto marginal de una hora adiional de trabajo debe ser igual a la relaión marginal de sustituión entre el oio y la produión del bien de onsumo. Si fuera mayor sería onveniente renuniar a una determinada antidad de oio para obtener unidades adiionales del bien, en aso ontrario el oio sería una mejor opión. Este euilibrio es efiiente en el sentido de Pareto 5 en dos sentidos: A. La demanda de trabajo es téniamente óptima para la produión del bien de onsumo porue el euilibrio está en la frontera de posibilidades de produión, y B. La ombinaión de unidades del bien de onsumo y las horas de trabajo le permite al agente alanzar la máxima utilidad El aso Cobb-Douglas del enfoue entralizado Si la funión de produión se representa por x f A, en donde A es un parámetro tenológio, es la elastiidad produto del trabajo () y la funión de utilidad es,, en donde: u u o u omo y las potenias del oio y el trabajo, respetivamente. representa el oio, el onsumo, así El problema de maximizaión de la utilidad de la eonomía doméstia sujeta a la restriión tenológia es: max, s.a. x f A El mejor método para resolver este problema es el de sustituión, para ello se remplaza x por en la funión de produión A y A en la funión de utilidad, on lo ue resulta u A. Fatorizando los exponentes maximizar la funión de utilidad respeto al trabajo: max A El problema se resuelve apliando la regla del produto, esto es: u A ; así el problema es 5 En el euilibrio la relaión marginal de sustituión oio onsumo es igual a la produtividad marginal del trabajo y, omo el oio y el trabajo se onvierten a una tasa de uno a uno, el produto marginal del trabajo representa la tasa marginal de transformaión; ondiión sine ua non del euilibrio general.

8 u A A 0 u 1 1 A A 1 0 Por tratarse de una ondiión de primer orden es igual a ero. Para despejar se suma el primer término en ambos lados de la funión derivada, se eliminan términos omunes y se despeja : 1 1 A A 1 1 A A A A Para determinar el volumen de produión se sustituye la antidad óptima de trabajo en la funión de produión: x A A Para obtener la utilidad de la eonomía doméstia se sustituye el onsumo (volumen de produión óptimo) en la funión de utilidad: u A EL ENFOQUE DESCENTRALIZADO Este enfoue inorpora el meanismo de merado en dos vertientes, por una parte reuelve la oferta (produtores maximizadores del benefiio sujetos a la restriión del osto) y, por la otra, la demanda (onsumidores maximizadores de la utilidad sujetos a la restriión presupuestal). En este enfoue el produtor ompra el tiempo de oio del onsumidor para emplearlo omo esfuerzo laboral en la produión, proeso ue le permite fabriar el bien de onsumo, uya venta genera el ingreso de la empresa. Por su parte, el onsumidor peribe ingresos omo trabajador y omo empresario, mismo ue utiliza para aduirir el bien de onsumo ue produe la empresa. Se supone ue privan ondiiones ompetitivas, dado el preio del bien y del trabajo, el empresario ontrata una determinada antidad de horas de trabajo on el objetivo de produir

9 el bien de onsumo y maximizar su benefiio. Por otra parte, el agente trabajador vende horas de oio a la empresa en forma de trabajo reibiendo un salario, pero el agente atúa también omo empresario ue reibe un benefiio; on ambos ingresos el agente onsumidor elige su anasta de onsumo (onformada por unidades del bien de onsumo y horas de trabajo) on la finalidad de maximizar su utilidad. En el enfoue desentralizado las deisiones de produión y onsumo se desomponen en dos aiones partiulares a través del meanismo de merado. Esto es, si el agente deide rear un merado de trabajo y otro para el bien de onsumo, se omportará en un momento omo produtor y en otro omo onsumidor. En los siguientes apartados se desentralizan ambas ondutas, en primer lugar se maximiza el benefiio del produtor, después se maximiza la utilidad del onsumidor y, posteriormente, se ontrastan ambas ondutas para demostrar ue el merado euilibra ambas ondutas a través del meanismo de inentivo de los preios El produtor maximizador del benefiio El produtor ompra el tiempo de oio del onsumidor para ouparlo omo trabajo en el proeso produtivo para fabriar el bien de onsumo, uya venta genera el ingreso de la empresa. Denominando a w omo el preio del trabajo (por tanto, del oio) y a p omo el preio del bien de onsumo, el problema de maximizaión del benefiio de la empresa es el siguiente: max Como x f, el problema se resribe omo: max px w pf w f p w 0 pf ' w 0 Se suma w en ambos miembros para obtener la ondiión de euilibrio, a saber, el valor del produto marginal es igual al salario nominal: pf ' w 0 Valor del produto marginal Salario nominal El aumento de la antidad de fator trabajo produe dos efetos sobre el benefiio, en primer lugar, una hora adiional de trabajo eleva la produión en la uantía de la produtividad marginal del trabajo y el ingreso bruto derivado de las ventas aumenta en la antidad pf p PM ; en segundo lugar, los pagos de salarios aumentan en la uantía del ' salario, w. Entones, el benefiio se eleva on el aumento de la antidad de trabajo si el valor de la produtividad marginal del trabajo es superior al salario. Para maximizar el benefiio, una empresa aumenta el empleo hasta el punto en el ue el valor de la produtividad marginal es igual al salario. Dividiendo por p ambos miembros de la ondiión de euilibrio, resulta:

10 f ' Produto marginal w p Salario real Este resultado india ue el produtor elige la antidad de fator trabajo de tal manera ue el produto marginal del trabajo sea igual al salario real (salario nominal dividido por el preio del bien). En este punto, la última unidad de trabajo ontribuye a la produión exatamente lo justo para ubrir el osto adiional de esta unidad de trabajo expresada en unidades del bien (salario real). Para analizar detalladamente el proeso, se parte de la funión de benefiio y se despeja x para generar la reta isobenefiio, esto es: si = px - w, sumando el osto total y dividiendo por el preio del bien resulta: w x p p El isobenefiio se define omo el lugar geométrio de la ombinaión de antidad de fator trabajo y de unidades del bien de onsumo para un determinado nivel de benefiio. Su ordenada al origen mide el benefiio expresado en términos de unidades del bien uando la produión es nula y su pendiente euivale al salario real por ada hora de trabajo adiional. Sobre la reta de isobenefiio se elegirá un punto óptimo en donde se maximiza el benefiio, esto suede en el punto A de la Ilustraión 20.4, en donde el isobenefiio es tangente a la funión de produión, igualándose sus pendientes y determinando la antidad óptima de horas de trabajo ( 0 ) y el volumen de produión asoiado (x 0 ). La ondiión de maximizaión del benefiio establee ue la pendiente de la funión de produión, el produto marginal, sea igual a la pendiente del isobenefiio, el salario real. Diha ondiión determina la antidad óptima de trabajo ue la empresa debe oupar para maximizar el benefiio. En términos eonómios la ondiión de euilibrio establee ue la retribuión ue peribe el trabajador debe ser igual a lo ue produe. x x 0 A p 0 0 w x p p x f Ilustraión La maximizaión del benefiio de la empresa. Donde: = Cantidad de trabajo. x = Cantidad del bien. La funión de produión relaiona la antidad de esfuerzo laboral on el volumen de produión. El isobenefiio ombina la antidad de fator y volumen de produión dado elbenefiio. El empresario maximiza el benefiio en donde las pendientes de la funión de produión y el isoosto son iguales (el produto marginal del trabajo es igual al salario real) El onsumidor maximizador de la utilidad El agente atúa ahora omo onsumidor, enfrenta la deisión entre la antidad de trabajo (de oio) y su nivel de onsumo, pero está restringido por su ingreso. El ingreso del onsumidor

11 proede de dos fuentes, en primer lugar, si destina horas de trabajo peribirá un ingreso w, su ingreso por onepto de salario; en segundo lugar, omo empresario obtienen un ingreso igual al benefiio = px - w. Así, el ingreso del onsumidor, denotado por m, es igual al ingreso omo trabajador más el ingreso omo empresario, es deir, es igual al salario más el benefiio, matemátiamente: m = w + = w + px - w, y dividiendo ambos términos por p w se genera la reta presupuestal: x, on pendiente w/p ue pasa por un punto de p p dotaión (0, /p), es deir, trabajo nulo y una dotaión del bien x de /p unidades uando no realiza transaión alguna. Cabe señalar ue la restriión presupuestal del agente es idéntia a la funión de isobenefiio. Por su parte, las urvas de indiferenia muestran las diversas ombinaiones de unidades de trabajo y de unidades del bien de onsumo para un determinado nivel de utilidad, pero omo el trabajo es un mal, entones la urva de indiferenia tiene pendiente positiva. La diferenia entre la antidad máxima de trabajo y la antidad de trabajo efetivo representa la demanda de oio del agente. El problema del onsumidor es elegir la anasta de onsumo ue maximie su utilidad, dado el preio del bien, el salario y el ingreso. Matemátiamente este problema se representa de la siguiente manera: x, max u, x s.a. px w Generando la funión auxiliar lagrangiana el problema se simplifia: x, max u, x w px Las tres ondiiones de primer orden son las siguientes: u, x UMo w UMo w 0 w u, x UMx p UMx p 0 x x p w px 0 UMo UM UMo w Como =, entones en donde w p UM p UMo w UM p Relaión marginal de Salario real sustituión oio onsumo Con base en el salario real el agente elige la antidad óptima de oio (por tanto de trabajo) ue se desea ofreer, así omo la antidad ue la empresa desea emplear, en este nivel óptimo de onsumo la relaión marginal de sustituión oio-onsumo debe ser igual al salario real. Dada la restriión del ingreso, el onsumidor maximiza su utilidad sobre la urva de indiferenia más alejada posible, esto se loaliza en el punto en donde la pendiente de la urva de indiferenia es igual a la pendiente de la reta presupuestal, es deir, en donde la relaión marginal de sustituión oio-onsumo es igual al salario real. Este resultado se visualiza en el punto A de la Ilustraión 20.5.

12 x x 0 A p 0 0 u 0 w x p p Ilustraión La maximizaión de la utilidad del onsumidor Donde: = Cantidad de trabajo. x = Cantidad del bien. El onsumidor maximiza la utilidad en donde las pendientes de la urva de indiferenia y la reta presupuestal son iguales; es el punto de tangenia, por lo ue la relaión marginal de sustituión oio-onsumo es igual al salario real El produtor y el onsumidor Por una parte, el produtor maximiza el benefiio en donde el produto marginal del trabajo es igual al salario real, por otra parte, el onsumidor maximiza su utilidad sujeto a la restriión presupuestal en donde la relaión marginal de sustituión oio-onsumo es igual al salario real. Ambas gráfias se agregan en la Ilustraión ELECCION DEL PRODUCTOR f ' Produto marginal del trabajo Salario real Salario real MERCADO LABORAL ELECCION DEL CONSUMIDOR w w UMo p p UM Relaión marginal de sustituión oio onsumo MERCADO DE BIENES Cabe señalar ue la euaión px = + w es una identidad ontable, si se sustituye el benefiio por sus omponentes es fáil ver la identidad: px = px - w + w, lo ue implia px = px. Lo importante de esta euaión es mostrar ue el valor de la produión se utiliza para retribuir a los fatores de la produión (tanto al trabajador omo al propietario de la empresa), por lo ue el ingreso del onsumidor es el justo para omprar la produión de la empresa. Sin embargo, por tratarse de una identidad ontable se umple para ualuier sistema de preios.

13 x w x p p x 0 A p 0 0 x f u 0 Ilustraión Euilibrio general enfoue desentralizado. Donde: = Cantidad de trabajo. x = Cantidad del bien. = Benefiio. w = Salario p = Preio del bien El produtor determina la antidad de trabajo ( 0 ) y el volumen de produión (x 0 ) maximizando el benefiio. El onsumidor determina la antidad de trabajo ( 0 ) y la antidad del bien de onsumo (x 0 = 0 ) maximizando su utilidad sujeto a la reta presupuestal. En el euilibrio, el produto marginal del trabajo es igual al salario real y la relaión marginal de sustituión oio-onsumo es igual al salario real. El papel de los preios es igualar las antidades ofreidas on las antidades demandadas tanto en el merado de bienes omo en el merado de fatores. El rol de los preios es proporionar los inentivos adeuados para ue las deisiones de la empresa y el onsumidor sean independientes pero ompatibles, lo ue permite desentralizar las deisiones de la empresa y del onsumidor Ley de Walras La Ley de Walras, establee ue para ualuier sistema de preios, la suma del valor del exeso de demanda debe ser igual a ero. Si px = + w, sustituyendo el benefio por su igualdad: px = px - w + w y px = px. Ahora, se sustituye en el segundo miembro x por f(), y resulta ue px = pf(x) y si se resta pf(x) en ambos lados de la euaión, entones resulta ue: px pf ( ) 0 p x f ( ) 0. Esta expresión orresponde a la demanda neta del bien de onsumo y signifia ue la demanda del bien de onsumo debe ser igual a su oferta para ue la demanda neta sea nula y el merado se vaíe. Asimismo, en el merado laboral la igualdad d s px px w w implia ue d w es la demanda de trabajo, en tanto ue d s es la oferta de trabajo. Si se iguala a ero y se nulifia px, se dedue ue w w 0, d s despejando el salario w 0 s w se obtiene la demanda neta del esfuerzo laboral, la ue debe igualarse a ero para ue el merado de trabajo se vaíe. Por una parte, la empresa determina la oferta del bien y la demanda de trabajo y (x, d ); por la otra, el onsumidor determina la demanda del bien y la oferta de trabajo (, s ) y sólo en el euilibrio ambas deisiones son onsistentes on el vaiado de ambos merados (x = ) y ( d = s ).

14 El euilibrio walrasiano genera un vetor de preios del bien y del trabajo (p, w) on el ue el merado de trabajo y el merado de bienes están en euilibrio simultáneamente, esto es: (p 0, w 0 ) y x(p 0, w 0 ). La ombinaión de onsumo y oio surge omo un euilibrio ompetitivo, si y sólo si, se maximiza la utilidad del onsumidor sujeto a las restriiones impuestas por la tenología y la disponibilidad de reursos. Al emplear un sistema de merado el resultado del enfoue desentralizado es idéntio al ue se obtuvo on el enfoue entralizado, es deir, si las deisiones de onsumo y produión fueran diretas, ya ue la relaión marginal de sustituión oio-onsumo es igual al salario real y el produto marginal del trabajo también es igual al salario real, entones la relaión marginal de sustituión oio-onsumo es igual al produto marginal del trabajo, es deir, ue las pendientes de la urva de indiferenia y de la funión de produión son iguales, on la diferenia de ue el enfoue desentralizado lo onsigue por medio de los preios del bien de onsumo y el trabajo. El euilibrio general es más ambiioso todavía. Suponga ue el preio del bien es igual a uno (p = 1), así la definiión del euilibrio general se redue a la asignaión del fator trabajo y a la determinaión del salario (porue el preio del bien ya está determinado). El salario de euilibrio w 0 debe ser tal ue la antidad ofreida del bien sea igual a su antidad demandada x(w 0 ) = (w 0 ) y ue la antidad demandada del trabajo sea igual a la antidad ofreida d (w 0 ) = s (w 0 ). Si el salario fuera menor al de euilibrio la antidad demanda de trabajo sería mayor ue la antidad ofreida, presentándose un exeso de demanda de trabajo. En ontraste, si el salario fuera mayor ue el de euilibrio, la antidad ofreida de trabajo sería mayor ue la antidad demandada generando exeso de oferta o desempleo. El euilibrio sólo se alanza uando el salario es tal ue vaía el merado laboral. Note ue úniamente se analiza el merado laboral porue la Ley de Walras establee ue de n merados se deben determinar n-1 preios, de dos merados basta enontrar el preio de uno de ellos, el otro funiona omo el bien numerario. Dado el salario de euilibrio automátiamente se vaía el merado de bienes. Se puede alanzar una asignaión efiiente de forma desentralizada utilizando los preios omo meanismo de oordinaión entre los agentes El aso Cobb-Douglas del enfoue desentralizado Para maximizar el benefiio de la empresa onsidere ue la funión de produión se representa por x f A, en donde x es el volumen de produión, A es un parámetro tenológio, es la antidad de horas de trabajo y es la elastiidad produto del fator trabajo. El benefiio es = px - w, en donde es el benefiio, p es el preio del bien produido, x es la antidad produida, w es el preio de una hora de trabajo y son las horas de trabajo; el benefiio es la diferenia entre el ingreso total (px) menos el osto total (w). Si en el benefiio, = px - w, se sustituye x por la funión de produión: pa w y se deriva respeto al trabajo: 1 pa w Para determinar la antidad óptima de trabajo empleado por la empresa a partir de la ondiión de primer orden se despeja : 0

15 1 1 w w pa w pa pa w * pa Ahora se sustituye * en la funión de produión para alular el volumen de produión óptimo de la empresa x*: w w x* f * A A pa pa Las soluiones obtenidas orresponden a la funión de demanda de la empresa y la oferta del bien pereedero 6. Para maximizar la utilidad del onsumidor onsidere ue la funión de utilidad se representa por, antidad de oio u u en donde u es la utilidad del onsumo ue depende de la y de la antidad del bien de onsumo () y los parámetros y son las potenias, respetivas. Por su parte, la restriión presupuestal garantiza ue el gasto sea igual al ingreso: p = p + w, en donde el preio del bien (p) multiplia a la antidad del bien de onsumo () para representar el gasto del onsumidor y el ingreso es la suma del benefiio () on el salario por hora (w) multipliado por las horas de trabajo () (reuerde ue el agente umple dos papeles, uno omo produtor y otro omo trabajador, por lo ue su ingreso proviene del benefiio de la empresa y de su ingreso omo trabajador). Asimismo, para expresar la restriión presupuestal en términos del oio se suma en ambos miembros el máximo ingreso posible w : p w w w p w w w p w w El problema de maximizaión de la utilidad sujeto a la restriión presupuestal es: max, s.a. p w w El problema se simplifia sustituyendo la funión de utilidad por la funión logarítmia de utilidad y maximizando la funión auxiliar lagrangiana:,, w p w max ln ln Las tres ondiiones de primer orden son las siguientes: 6 Para analizar el efeto del salario y el preio del bien en las funiones de demanda de trabajo y oferta del bien debe onsiderar ue sus exponentes 1/-1 y /-1 serán negativos, por lo ue el análisis debe efetuarse en términos del reíproo del término entre paréntesis. Por ejemplo, si, el término 1/-1 = 1/ y en el exponentes /-1 = 0.5/ Así, la demanda de trabajo tiene una relaión inversa on el salario y direta respeto al preio, en tanto la oferta del bien guarda una relaión direta on el preio e inversa on el salario.

16 w 0 (1) (4) w p 0 (2) (5) p w p w 0 (3) De la ondiión (1) se despeja el oio y se obtiene el oio de euilibrio, euaión (4) y de la ondiión (2) se despeja el onsumo para obtener el valor de euilibrio del onsumo, euaión (5). Los valores de euilibrio (euaiones (4) y (5)) se sustituyen en la ondiión (3), la ue garantiza ue todo el ingreso se gasta: w p w 0 p w Se despeja w w Ahora se sustituye el valor de lambda en las euaiones (4) y (5) para determinar los valores de euilibrio del oio y la antidad del bien de onsumo: w Para la antidad de oio, w w w w Se despeja para determinar el valor de euilibrio de la antidad de trabajo óptima: w w Para la antidad del bien de onsumo,, fatorizando: p p w w w En resumen, las euaiones de euilibrio de la antidad de trabajo demandada por la empresa y la ofreida por el trabajador, y así omo la antidad de euilibrio ofreida por la empresa y la demandada por el onsumidor son las siguientes:

17 PRODUCTOR (maximizaión del benefiio) d w pa 1 1 CONSUMIDOR (maximizaión de la utilidad) S w w w x A pa 1 w w La ley de Walras establee ue las demandas netas del merado laboral y el merado de bienes deben ser nulas, es deir ue la antidad demandada de trabajo sea igual a su antidad ofreida y la antidad ofreida del bien de onsumo por la empresa sea igual a la antidad demandada por el onsumidor, matemátiamente: En el merado de fatores: d s = w w 0 pa w antidad demanda de trabajo antidad ofreida de trabajo En el merado de bienes: x = 0 1 w w A pa w antidad ofreida del bien antidad demanda del bien El euilibrio general se obtiene uando se determinan los preios relevantes, es deir el preio del bien y el salario. Sin embargo, la ley de Walras establee ue sólo se neesitan resolver n-1 preios, si onsideramos ue el preio del bien es el numerario entones p = 1 y tan sólo se reuiere determinar el salario ue vaía ambos merados, esto se onsigue despejando w del exeso de demanda ya sea del merado laboral o del merado de bienes. Sin embargo, la soluión se alanza por medio de un proeso de iteraión de preios hasta ue la demanda neta sea nula. Es auí, en donde el subastador Walrasiano interviene el onduir la puja, baja los preios ante el exeso de oferta y los sube ante los exesos de demanda, hasta alanzar los preios ue vaían el merado permitiéndose hasta entones el interambio mutuamente benefiioso Efetos sustituión y riueza de un houe tenológio Dadas la funión de produión f 0 () y la urva de indiferenia u 0, grafiadas en la Ilustraión 20.7, el euilibrio se alanza en el punto A, en la tangenia de la funión de produión y la urva de indiferenia, este euilibrio determina la antidad de esfuerzo laboral 0 y la produión en x 0. En diho punto la produtividad marginal del trabajo es igual a la relaión marginal de sustituión oio-onsumo. Si a partir del punto de euilibrio A se supone un houe externo positivo, la funión de produión aumentará de f 0 () a f 2 (), alanzando el nuevo euilibrio en la funión de

18 utilidad u 2, punto C de la Ilustraión 20.7, el ue determina la antidad de esfuerzo laboral en 0 y la produión x 2. Nuevamente el euilibrio se alanza uando la produtividad marginal del trabajo es igual a la relaión marginal de sustituión oio-onsumo. Para identifiar el efeto sustituión e ingreso del houe tenológio se agrega la funión de produión ompensada f 1 (), la ue tiene la misma pendiente ue la funión de produión ue muestra el houe tenológio f 2 () y ue debe pasar estritamente por el punto de euilibrio iniial A. La funión de produión ompensada f 1 () es tangente a la urva de indiferenia u 1, en el punto B, determinando el euilibrio ompensado ue sirve para identifiar el efeto sustituión y riueza generados por el houe tenológio. x x 2 x 1 x 0 C 0 A B 1 u 2 u 1 u 0 f2 0 f1 f0 Ilustraión Efetos sustituión y riueza de un houe tenológio. Donde: = Cantidad de trabajo. x = Cantidad del bien. El efeto sustituión es el desplazamiento del punto A al punto B; al aumentar el produto marginal el agente sustituye oio por trabajo aumentando de 0 a 1 y la produión ree de x 0 a x 1. El efeto riueza es el desplazamiento del punto B al C, lo ue redue su esfuerzo laboral de 1 a 0 y la produión aumente de x 1 a x 2. El efeto sustituión es el desplazamiento del punto A al punto B, se denomina sustituión porue la funión de produión f 1 () tiene mayor produtividad marginal en ada punto respeto a la funión de produión f 0 (), al aumentar el produto marginal el agente sustituye el oio por trabajo aumentando de 0 a 1 y la produión ree de x 0 a x 1. El efeto riueza es el desplazamiento del punto B al C, se denomina riueza porue la funión de produión f 1 () tiene la misma produtividad marginal ue la funión f 2 () en ada punto, pero dada ualuier antidad de esfuerzo laboral se produe una mayor antidad de bienes, lo ue inide para ue el agente reduza su esfuerzo laboral de 1 a 0 y la produión aumente de x 1 a x 2. La produión se refuerza tanto on el efeto sustituión, aumenta de x 0 a x 1, omo el efeto riueza, alza de x 1 a x 2. En ontraste, el esfuerzo laboral tiene variaiones enontradas, por una parte, el efeto sustituión aumenta el esfuerzo laboral de 0 a 1, por la otra, el efeto riueza lo disminuye de 1 a 0. El resultado final de la suma algebraia de los efetos sustituión y riueza es ambiguo porue depende de la magnitud de ada uno, presentándose tres asos: A. Si el efeto sustituión es mayor ue el efeto riueza aumenta el esfuerzo laboral. B. Si el efeto sustituión es igual ue el efeto riueza el esfuerzo laboral no ambia. C. Si el efeto sustituión es menor ue el efeto riueza disminuye el esfuerzo laboral.

19 Rendimiento marginal reiente Hasta ahora se ha supuesto ue el trabajo tiene rendimientos marginales dereientes. Sin embargo, si éste tiene rendimientos marginales onstantes, la funión de produión será una línea reta ue pasa por el origen, on lo ue el benefiio es nulo. Su dotaión estará ompuesta por un benefiio nulo y su dotaión iniial de horas de trabajo. Cabe señalar ue en esta ondiión la reta presupuestal es idéntia a la funión de produión. No obstante, el euilibrio se alanza en el punto de tangenia de la funión de produión y la urva de indiferenia omo en el análisis previo. Ilustraión Euilibrio general bajo diversos tipos de rendimientos marginales Rendimientos marginales onstantes Rendimientos marginales reientes x u 0 x x f x 0 Rendimientos Marginales Creientes u u, u u, x f Rendimientos Marginales Constantes x Donde: = Cantidad de trabajo; x = Cantidad del bien. Cuando los rendimientos marginales del fator trabajo son onstantes se umple la ondiión de tangenia entre la funión de utilidad y la funión de produión (idéntia a la restriión presupuestal). Sin embargo, uando la tenología exhibe rendimientos marginales reientes el punto de tangenia entre la urva de indiferenia y la funión de produión determina la máxima pérdida. En esta situaión no se puede alanzar el euilibrio general. A diferenia, uando el fator trabajo tiene rendimientos marginales reientes, la urva de indiferenia es tangente a la funión de produión, pero el punto de ontato no maximiza el benefiio, ya ue si la empresa se enfrenta al salario real igual a la relaión marginal de sustituión oio-onsumo la empresa desearía produir una antidad mayor a la ue demanda el onsumidor. En el punto de eleión óptima los ostos medios de produión son mayores a los ostos marginales, lo ue implia un benefiio negativo. Con tal de maximizar su benefiio la empresa elevaría la produión, pero sería inompatible on la demanda del bien de onsumo y la oferta de trabajo del onsumidor. Por tanto, en este aso no existe un preio al ual la demanda del onsumidor ue maximiza la utilidad sea igual a la oferta de la empresa ue maximiza el benefiio.

20 20.4. EJERCICIO DE EQUILIBRIO GENERAL 1X1X1X1 Suponga ue un agente eonómio tiene la siguiente funión de produión x f A, en donde el parámetro tenológio A 2 y la elastiidad produto 05.. Asimismo, el agente tiene la siguiente funión de utilidad u,, en donde el tiempo máximo disponible medido en horas 24, y las potenias de la funión de utilidad son 0.5 y 0.5. Con base en la informaión resulva lo siguiente 7 : A. Con base en el enfoue entralizado, alule la antidad de horas de trabajo y las unidades del bien de onsumo del agente x A B. Con base en el enfoue desentralizado, alule la antidad de horas de trabajo y las unidades produidas del bien de onsumo del agente uando el empresario maximiza el benefiio de la empresa, suponga ue el preio del bien es 1 y el salario nominal es x C. Con base en el enfoue desentralizado, alule la antidad de horas de trabajo y las unidades del bien de onsumo del agente uando el onsumidor maximiza su utilidad, suponga ue el benefiio es igual a El ejeriio se resolvió utilizando el simulador omputaional iro@onomía. Dé un li en el iono verde de la palabra 20. Euilibrio general 1X1X1X1 ( ) y se desargará la apliaión. Dé un li en ella y habilite el ontenido en Exel para visualizar las opiones. Elija el botón orrespondiente y en las eldas olor naranja esriba el valor de los parámetros. Vid. apítulo Error! No se enuentra el origen de la referenia.. Error! No se enuentra el origen de la referenia..

21 Consumo Miroeonomía. Teoría, simuladores omputaionales y retos. D. Como puede observar las deisiones tomadas por el empresario y el onsumidor son distintos porue se eligió un salario nominal arbitrario. Oupe los parámetros indiados (menos el salario nominal) para determinar el salario nominal y el salario real ue permite el vaiado de los merados de trabajo y del bien de onsumo w 0.5 w p p w w p p 2 w w p p El únio salario nominal ue vaía tanto el merado laboral omo el bien de onsumo es: y omo el preio del bien es 1, el salario nominal es igual al salario real. E. Grafiue en un uadrante la funión de produión, el isobenefiio, la funión de utilidad, la restriión presupuestal y el punto de euilibrio del agente on sus respetivas antidades de trabajo y onsumo. F. Utilidad F. Produión Euilibrio Rest. Presup. F. Utilidad 1 F. Produión 1 Euilibrio 1 Rest. Presup , Trabajo